Luận văn Morita context và một số lớp vành không giao hoán

Khi đó, ( ): 0x R m x rx mx mrx mx mx x rx ρ∀ ∈ − = − = − = ⇒ − ∈ Ngược lại, giả sử ρ là ideal phải, tối đại và chính quy của R. Ta sẽ chứng minh R ρ là R-module bất khả quy. ( ) ( )0R Rρ ≠ Do ρ là ideal phải, chính quy nên tồn tại r R∈ sao cho ,x rx x Rρ− ∈ ∀ ∈ . Từ đó suy ra phải có x R∈ sao cho rx ρ∉ . Thật vậy, nếu x R∀ ∈ đều có rx ρ∈ thì ,x x R Rρ ρ∈ ∀ ∈ ⇒ = (mâu thuẫn) Khi đó ( ) 0r xρ+ ≠ . Do ρ là ideal phải tối đại nên R ρ không có module con thật sự. Do đó R ρ là R-module bất khả quy. 12 1.8. Radical của một vành: Radical của vành R, ký hiệu là J(R),là tập hợp các phần tử của R mà linh hóa tất cả các module bất khả quy của R . Khi đó ( ) ( )J R A M= ∩ với M là R-module bất khả quy. J(R) là ideal hai phía của R. 1.8.1 Định nghĩa: Nếu ρ là ideal phải của R thì ( ) { }: :R x R Rxρ ρ= ∈ ⊂ Bổ đề 1.8.1.1. Nếu ρ là ideal phải chính quy của R thì ( ): Rρ là ideal hai phía lớn nhất của R nằm trong ρ . Nếu ρ là ideal phải tối đại chính quy của R thì ( ) ( ):A M Rρ= M là R-module bất khả quy thì M có dạng R ρ trong đó ρ là ideal phải tối đại chính quy. Định lý 1.8.1.2. ( ) ( ):J R Rρ= ∩ với ρ là ideal phải tối đại chính quy của R. Bổ đề 1.8.1.3. Nếu ρ là ideal chính quy của R ( )Rρ ≠ thì ρ có thể nhúng vào một ideal phải chính quy tối đại nào đó. Định lý 1.8.1.4. ( )J R ρ= ∩ với ρ là ideal phải tối đại chính quy của R. 1.8.2. Định nghĩa • a R∈ được gọi là tựa chính quy phải nếu ' : ' aa ' 0a R a a∃ ∈ + + = • a’ được gọi là tựa nghịch đảo phải của a. 13 • Tương tự cho tựa chính quy trái , tựa nghịch đảo trái. 1.8.3. Định nghĩa: Một ideal được gọi là ideal tựa chính quy phải nếu mọi phần tử của nó là tựa chính quy phải. Định lý 1.8.3.1. J(R) là ideal tựa chính quy phải và chứa mọi ideal tựa chính quy phải, tức là J(R) là ideal tựa chính quy tối đại duy nhất của R. 1.8.4. Định nghĩa: i) Phần tử a R∈ được gọi là lũy linh nếu : 0nn N a∃ ∈ = ii) Ideal phải (trái) của R được gọi là nil-ideal phải(trái) nếu mọi phần tử của nó đều lũy linh . iii) Ideal phải (trái) ρ của R được gọi là ideal lũy linh phải(trái) nếu 1 2: . ... 0,m im N a a a a ρ∃ ∈ = ∀ ∈ tức là : 0mm N ρ∃ ∈ =  Nhận xét: • Nếu ρ là lũy linh thì ρ là nil-ideal nhưng điều ngược lại không đúng. • Mọi phần tử lũy linh đều tựa chính quy. • J(R) chứa mọi là nil-ideal một phía. • Nếu R có ideal lũy linh khác 0 thì R có ideal hai phía lũy linh khác 0. 1.8.5. Định nghĩa vành J-nửa đơn: Vành R được gọi là J-nửa đơn ⇔ ( ) 0J R = Định lý 1.8.5.1. ( ) R J R là vành J-nửa đơn. 14 Định lý 1.8.5.2 Nếu A là ideal hai phía của vành R thì ( ) ( )J A J R A= ∩ Bổ đề 1.8.5.3. Mọi ideal hai phía A của vành J-nửa đơn R đều là vành J-nửa đơn. Định lý 1.8.5.4 ( )( ) ( )( )n nJ M R M J R= với ( )nM R là vành các ma trận vuông cấp n lấy hệ tử trong vành không giao hoán R nào đó. 1.8.6. Định nghĩa vành Artin Vành R được gọi là vành Artin phải nếu mọi tập khác rỗng các ideal phải của R đều có phần tử tối tiểu. Hoặc: Vành R được gọi là vành Artin phải nếu mọi dãy giảm các ideal phải iρ của R sẽ dừng sau hữu hạn bước, nghĩa là đến một điểm nào đó các iρ đều bằng nhau. (Vành R được gọi là vành Artin trái nếu mọi dãy giảm các ideal trái iρ của R sẽ dừng sau hữu hạn bước, nghĩa là đến một điểm nào đó các iρ đều bằng nhau). Nhận xét: • Trường, thể là vành Artin. • Tổng trực tiếp của một số hữu hạn các vành Artin là vành Artin. • Mọi vành chỉ có hữu hạn các ideal phải(trái) là vành Artin. • Vành các ma trận vuông cấp n trên một trường hay thể là vành Artin. • Ảnh đồng cấu của vành Artin là vành Artin. 15 1.8.7. Định nghĩa vành Noether: Một vành được gọi là vành Noether phải nếu bất kỳ tập hợp khác rỗng các ideal phải đều có phần tử tối đại. Hoặc: Vành R được gọi là vành Noether phải nếu mọi dãy tăng các ideal phải iρ của R sẽ dừng sau hữu hạn bước, nghĩa là đến một điểm nào đó các iρ đều bằng nhau. Định lý 1.8.7.1. Nếu R là vành Artin thì J(R) là một ideal lũy linh. Hệ quả 1.8.7.2. Trong vành Artin, mọi nil-ideal đều là ideal lũy linh. Nhận xét: Giả sử R là vành tùy ý, nếu R có ideal phải, lũy linh,khác 0 thì R sẽ có ideal phải hai phía, lũy linh khác (0) 1.8.7.1.Định nghĩa: Phần tử e R∈ được gọi là lũy đẳng nếu 2e e= Bổ đề 1.8.7.3. Giả sử R là một vành không có ideal lũy linh khác (0), giả sử 0ρ ≠ là ideal phải(trái) tối tiểu của vành R. khi đó ρ là ideal chính sinh bởi phần tử lũy đẳng nào đó trong R: eRρ = . Nhận xét: Trong vành không có ideal lũy linh khác (0) thì mọi ideal phải(trái) khác (0), tối tiểu đều là ideal chính sinh bởi phần tử lũy đẳng. 16 Bổ đề 1.8.7.4. Cho R là vành tùy ý , a R∈ sao cho 2a a− lũy linh. Khi đó, hoặc chính a lũy linh hoặc tồn tại đa thức q(x) với hệ số nguyên sao cho ( )e aq x= là phần tử lũy đẳng khác 0. 1.8.8. Định nghĩa vành nguyên thủy: Vành R được gọi là vành nguyên thủy nếu nó có một R-module bất khả quy và trung thành. Nhận xét: Vành nguyên thủy là vành J-nửa đơn. 1.8.9. Định nghĩa vành đơn: Vành R được gọi là vành đơn nếu 2R 0≠ và trong R không có ideal thực sự ngoài 0 và R. 1.8.10. Định nghĩa vành nguyên tố: Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu với mọi ,a b R∈ thì từ đẳng thức ( )aR 0b = , ta suy ra a=0 hay b=0. Nhận xét: 1. Vành R là nguyên tố nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a) Linh hóa tử bên phải của một ideal phải khác (0) của R phải bằng (0). b) Linh hóa tử bên trái của một ideal trái khác (0) của R phải bằng (0). c) Nếu A,B là hai ideal của R và AB=(0) thì ta suy ra A=(0) hoặc B=(0). 2. Mọi vành nguyên thủy đều là vành nguyên tố. 17 CHƯƠNG 2 KHÁI NIỆM MORITA CONTEXT VÀ MỘT SỐ LỚP VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm về vành Morita Context và sự tương đương Morita của 2 vành và sự tương đương Morita của 2 vành thì có cùng một tính chất được giữ nguyên trên 2 vành tương đương Morita mà ta gọi là tính chất bất biến Morita. Từ đó ta xét mối liên hệ của Morita Context với các vành không giao hoán. Để chuẩn bị cho phần này, chúng tôi đưa vào một số định nghĩa và một vài tính chất có được mà không đi sâu vào chứng minh. 2.1. ĐỊNH LÝ GOLDIE: 2.1.1. Định nghĩa: Một phần tử của vành R được gọi là chính quy nếu nó không có cả ước trái lẫn ước phải của không trong R. 2.1.2. Định nghĩa: Vành ( )Q R R⊃ được gọi là vành các thương của R nếu: i) Mọi phần tử chính quy trong R đều khả nghịch trong ( )Q R . ii) Mỗi phần tử ( )q Q R∈ đều có dạng 1rs− với ,r s R∈ và s là chính quy. Nếu ( )Q R là vành các thương phải của R thì ta nói R là một thứ tự phải trong ( )Q R . Ta gọi tắt vành các thương phải là vành các thương của R. 2.1.3. Định nghĩa: Cho Q là vành thương phải của R, một tập con S của R thỏa điều kiện Ore phải nếu với mỗi Rr∈ và Ss∈ tồn tại ' R, ' Sr s∈ ∈ sao cho ' 'rs sr= . 18 Định lý 2.1.3.1. (Điều kiện Ore) Điều kiện cần và đủ để vành R có vành các thương phải là cho ,r s R∈ với s là phần tử chính quy thì tồn tại 1 1,r s R∈ với 1s chính quy sao cho 1 1rs sr= . Chứng minh: Nếu ( )Q R tồn tại thì với b là chính quy trong R, phần tử 1b a− thuộc ( )Q R nên 1 1 1 1b a a b − −= với 1 1,a b R∈ và 1b là chính quy. Do đó 1 1ab ba= Ngược lại, giả sử điều kiện Ore thỏa mãn. Đặt ( ){ }, , , íM a b a b R bch nhquy= ∈ Trong M, ta xây dựng quan hệ ( ) ( ), ,a b c d nếu 1 1bc da= với 1 1ac ca= và 1a chính quy,từ đó 1c cũng chính quy. Ta chứng minh đẳng thức trên không phụ thuộc vào sự lựa chọn 1 1,a c nhân vào bên phải a,c. Thật vậy, nếu 2 2ac ca= ta có 1 2,m m chính quy sao cho 1 1 2 2a m a m= . Khi đó: 1 1 1 1 2 2 2 2ac m ca m ca m ac m= = = Do a là chính quy nên ta suy ra 1 1 2 2c m c m= . Từ đẳng thức 1 1bc da= ta suy ra 2 2 1 1 1 1 2 2bc m bc m da m da m= = = Mà 2m chính quy nên ta có 2 2bc da= . Ta kiểm tra được quan hệ trong M như trên là quan hệ tương đương. Lớp tương đương các cặp ( ),a b sẽ ký hiệu là a b . Đặt N là tập các lớp tương đương trong M. Trong M ta trang bị 2 phép toán để nó trở thành một vành: 19 Với ,a cb d trong M, ta định nghĩa ( ) ( ) 1 1 1 ad cba c b d db ++ = với 1 1bd db= và 1 1,b d là chính quy. Tương tự, định nghĩa phép nhân ( )( ) ( ) ( )1 1 afa c b d db= với 1 1bf cb= và 1f chính quy trong R. Kiểm tra dễ dàng các phép toán trên được định nghĩa tốt và M thỏa mãn các tính chất của ( )Q R trong định nghĩa vành thương. 2.1.4. Định nghĩa: Cho S là một tập khác rỗng, đặt ( ) { }0,r S x R sx s S= ∈ = ∀ ∈ , ta gọi ( )r S là linh hóa tử phải của S và ( )r S là ideal phải của R.  Nhận xét: ( ) { }0,l S x R xs s S= ∈ = ∀ ∈ là linh hóa tử trái của S. Phần tử a R∈ là chính quy khi và chỉ khi ( ) ( ) ( )0r a l a= = 2.1.5. Định nghĩa: R-module M N⊃ gọi là mở rộng cốt yếu của N nếu với mọi module con X khác (0) của M ta có 0N X∩ ≠ . Chú ý: i) M N⊃ là một mở rộng cốt yếu của N, ta nói N là một module con cốt yếu của M, ký hiệu là eN M⊂ ii) eN M⊂ khi và chỉ khi với bất kỳ các phần tử khác không a M∈ , tồn tại r R∈ sao cho0 ar N≠ ∈ . iii) Nếu eN M⊂ và 'eM M⊂ thì 'eN M⊂ 20 Bổ đề 2.1.5.1. i) Nếu R là vành nguyên tố và I là một ideal khác 0 thì e RI R⊂ ii) Nếu N là một ideal lũy linh của vành R thì e RlannN R⊂ Chứng minh: i) Nếu0 RX≠ ⊂ thì 0 X IXI≠ ⊂ ∩ ii) Nếu0 RX≠ ⊂ ,chọn k sao cho 0kXN ≠ nhưng 1 0kXN + = khi đó kXN X lannN⊆ ∩ 2.1.6. Định nghĩa: Module U được gọi là đều nếu 0U ≠ và mỗi module con khác không của U là cốt yếu. 2.1.7. Định nghĩa: Module M có chiều đều hữu hạn nếu nó không chứa tổng trực tiếp vô hạn các module con khác không. Định lý 2.1.7.1 Cho M là module có chiều đều hữu hạn và đặt 1 n i iU=⊕ là tổng trực tiếp hữu hạn các module con đều của M là cốt yếu trong M. Khi đó: i) Mọi tổng trực tiếp các module con khác 0 của M có tối đa n hạng tử. ii) Một tổng trực tiếp các module con của M là cốt yếu trong M nếu và chỉ nếu M là tổng trực tiếp của đúng n hạng tử. Chú ý: Số nguyên không âm n trong định lý gọi là chiều đều(hay chiều Goldie) của M, ký hiệu là udimM. Nếu M không có chiều đều hữu hạn, ta viết dimu M = ∞ 21 2.1.8. Định nghĩa: Vành R gọi là vành Goldie phải nếu: i) R thỏa điều kiện dãy tăng các linh hóa phải. ii) R không tồn tại tổng trực tiếp vô hạn các ideal phải khác 0. Chú ý: Vành Noether phải là vành Goldie phải. Định lý 2.1.8.1. (định lý Goldie) Nếu R là vành Goldie phải nửa nguyên tố thì R có vành các thương bên phải Q là vành Artin nửa đơn. Chứng minh: Để chứng minh định lý ta cần chứng minh một vài bổ để sau: Bổ đề 2.1.8.2. A là vành nửa nguyên tố thỏa điều kiện dãy tăng trên các linh hóa tử phải. Nếu I và J là ideal phải của A, J I⊆ và ( ) ( )l I l J≠ thì có phần tử a I∈ sao cho 0aI ≠ và 0aI J∩ = Chứng minh: Vì J I⊆ nên ( ) ( )l J l I⊇ mà ( ) ( )l I l J≠ nên ( ) ( )l J l I⊃ Theo điều kiện dãy tăng trên các linh hóa tử phải kéo theo điều kiện dãy giảm trên các linh hóa tử trái. Lấy U là linh hóa tử trái nhỏ nhất thỏa ( ) ( )l J U l I⊇ ⊃ Vì 0UI ≠ và A là nửa nguyên tố nên 0UIUI ≠ Do đó tồn tại au IU∈ sao cho 0UauI ≠ Giả sử: 0auI I∩ ≠ thì tồn tại x I∈ sao cho 0 aux I≠ ∈ Vì x I∈ nên ( ) ( )l x l I⊇ , hơn nữa ( ) ( )U l x l I∩ ⊇ 22 Do tính tối tiểu của U nên ( ) ( )U l x l I∩ = hay ( )U l x U∩ = (vì giao các linh hóa tử trái là linh hóa tử trái) Suy ra ( )U l x⊂ nên 0ux = (vô lý vì 0aux ≠ ) ( ) ,aux aux=0l J U J U⊇ ∈ ⇒ Do đó ( ) ( )Uau l x Uau U Uau l I⊂ ⇒ ⊂ ⇒ ⊂ (không xảy ra) Bổ đề được chứng minh. Hệ quả 2.1.8.3. A là vành nửa nguyên tố thỏa điều kiện dãy tăng trên các linh hóa tử phải. Nếu xA và yA là hai ideal cốt yếu của A thì yxA là một ideal cốt yếu của A. Chứng minh: Lấy I là ideal phải khác 0. { }B a A ya I= ∈ ∈ Vì yA là ideal cốt yếu, 0B ≠ và 0yB yA I= ∩ ≠ nên theo định nghĩa của B thì ( )r y B⊆ Mà 0yB ≠ và ( ) 0yr y = nên ( ) ( )( )l B l r y≠ Theo bổ đề 2.1.8.2. tồn tại u B∈ sao cho 0uB ≠ và ( ) 0uB r y∩ = Vì uB là ideal phải trong A và uB B⊂ nên nếu đặt J uB= thì ta được 0J ≠ và ( ) 0J r y∩ = Giả sử { }K a A xa J= ∈ ∈ Vì xA là ideal cốt yếu nên 0xK xA J= ∩ ≠ hơn nữa 0yxK ≠ Mà yJyxK yA A⊆ ⊆ ⊆ nên 0yxA I∩ ≠ Vậy yxA là ideal cốt yếu. 23 Hệ quả 2.1.8.4. A là vành nửa nguyên tố thỏa điều kiện dãy tăng trên các linh hóa tử phải. Nếu xA là ideal cốt yếu trong A thì x là phần tử chính quy trong A. Chứng minh: Xét ( )l x Vì A là nửa nguyên tố nên ( ) 0l A = Nếu ( ) 0l x ≠ thì áp dụng bổ đề 2.1.8.2. cho ideal I=A, J=xA Vì xA là ideal cốt yếu nên ta có ( ) 0l x = Xét ( )r x Ta có; ( ) ( )2 ...r x r x⊆ ⊂ Theo điều kiện dãy tăng các linh hóa tử phải thì tồn tại ( ) ( )10 : n nn r x r x +> = Nếu ( )na x A r x∈ ∩ thì na x y= và 10 nxa x y+= = ( do ( ) ( )1n ny r x r x+∈ = và 0a = ) . Do đó: ( ) 0nx A r x∩ = Theo hệ quả 2.1.8.3. thì nx A là ideal cốt yếu nên ta được ( ) 0r x = Vậy x là phần tử chính quy trong A. Bổ đề 2.1.8.5. Cho A là vành Goldie phải nửa nguyên tố thì A thỏa điều kiện dãy giảm trên các linh hỏa tử phải. 24 Chứng minh: Lầy 1 2 ... ...nR R R⊃ ⊃ ⊃ là dãy giảm nghiêm ngặt các linh hóa tử phải, tức là ( ) ( )1 ,n nl R l R n N+≠ ∀ ∈ Áp dụng bổ đề 2.1.8.2. trên, ta tìm được một ideal phải khác 0 là i iI R⊆ sao cho 1 0i iI R +∩ = Khi đó iI tạo nên một tổng trực tiếp vô hạn các ideal phải trong A(mâu thuẫn với điều kiện A là vành Goldie phải) Đpcm. Bổ đề 2.1.8.6. Cho A là vành Goldie phải nửa nguyên tố. Nếu Ax∈ và ( )r 0x = thì xA là ideal cốt yếu và x là phần tử chính quy. Chứng minh: Giả sử tồn tại ideal phải 0I ≠ của A sao cho 0I xA∩ = Vì ( )r 0x = nên 20 1 2 ... 0n na xa x a x a+ + + + = trong đó ia I∈ và n là số nguyên dương bé nhất thỏa tính chất này. Khi đó 0 0a I xA∈ ∩ = nên ( )11 2 ... 0n nx a xa x a−+ + + = Vì ( )r 0x = nên 2 10 1 2 ... 0n na xa x a x a−+ + + + = (mâu thuẫn về tính tối tiều của số nguyên dương n) Do đó: 0 1 2 ... 0na a a a= = = = = Do A không có một tổng trực tiếp vô hạn các ideal phải nên ta được 0I xA∩ ≠ nghĩa là xA là ideal cốt yếu và theo hệ quả 2.1.8.4. thì x là phần tử chính quy. 25 Bổ đề 2.1.8.7. Cho A là vành Goldie phải nửa nguyên tố. Nếu I là ideal phải cốt yếu của A thì I chứa phần tử chính quy của A. Chứng minh: Ta chứng minh một ideal phải 0I ≠ bất kỳ của vành A chứa một phần tử x thỏa ( ) ( )2r x r x= Vì A là vành nửa nguyên tố nên chứa phần tử không lũy linh Xét tập các linh hóa tử phải ( ){ }, 0nS r y y I y= ∈ ≠ Vì A là vành Goldie phải nên bất kỳ dãy giảm các phần tử của S đều có phần tử tối đại. Theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại ( )r x Vì ( ) ( )2r x r x⊆ nên ( ) ( )2r x r x= Lấy I là ideal cốt yếu của A Giả sử I không chứa bất kỳ phần tử d A∈ sao cho ( ) 0r d = Trong trường hợp này ta xây dựng một dãy các phần tử 1 2, ,..., , 0,n ia a a I a i∈ ≠ ∀ thỏa : i) ( ) ( )2i ir a r a= ii) 0i ja a = iii) 1 2 ... na A a A a A⊕ ⊕ ⊕ là tổng trực tiếp Giả sử ta có dãy 1 2, ,..., na a a I∈ thỏa điều kiện i),ii),iii) Lấy 1 2 1 2... ...n nb a a a a A a A a A= + + + ∈ ⊕ ⊕ ⊕ Vì cách chọn I không chứa phần tử d A∈ sao cho ( ) 0r d = nên 0b ≠ và ( ) ( ) 1 n ii r b r a = = ∩ 26 Lấy ( )x r b I∈ ∩ Vì I là ideal cốt yếu và ( ) 0r b ≠ nên 0X ≠ Theo cách chứng minh trên X có chứa phần tử lũy linh khác 0 là 1na + sao cho ( ) ( )21 1n nr a r a+ += Vì ( )1na r b+ ∈ nên ta có: 1 0, 1i ia a i n+ = ∀ < + • Ta sẽ chứng minh 1 2 ... na A a A a A⊕ ⊕ ⊕ là tổng trực tiếp Lấy ( )1 2 1... n ny a A a A a A a A+∈ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ( )1 1 , , n n i i i i y a x a x x x A+ = = = ∈∑ Ta có: 21 1 1 1 1 1 0 n n i i i a a x a a x a x+ = = = =∑ Do đó: ( ) ( )21 1 1x r a r a∈ = hay 1 1 0a x = Vì thế 1 2 n n i i i a x a x+ = = ∑ Giả sử: 0,j ja x j i n= ∀ < < hay 1 1 n n j j j a x a x+ = = ∑ suy ra 2 1 1 0 n i n i j j i i j a a x a a x a x+ = = = =∑ Khi đó 0i ia x = . Tiếp tục quá trình trên ta được y=0. Nghĩa là xây dựng được một tổng trực tiếp vô hạn 1 2 1... ...n na A a A a A a A+⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕ các ideal phải khác 0. Vậy I chứa phần tử d A∈ sao cho ( ) 0r d = 27 Chứng minh định lý Goldie: Trước hết A là vành Ore phải Lấy a A∈ và b S∈ theo bổ đề 2.1.8.6. bA là ideal cốt yếu trong A Suy ra { }:X u A au bA= ∈ ∈ cũng là ideal cốt yếu phải trong A Theo bổ đề 2.1.8.7. X phải chứa phần tử chính quy x S∈ nên ax ,by y A= ∈ Do đó, A là vành Ore phải. Nên A có vành các thương phải 1ASQ −= Bây giờ ta chứng minh Q là vành nửa đơn Lấy I là ideal phải của Q thì 1 AI I= ∩ là ideal phải của A. Do đó tồn tại một tổng trực tiếp tối đại các ideal phải 1 2 ... nJ I I I= ⊕ ⊕ ⊕ của A chứa 1I Do tính tối đại của J suy ra J là ideal cốt yếu. Theo bổ đề 2.1.8.7 thì J chứa một phần tử chính quy nên JQ=Q Đặt 1 2 ... nP I I I= ⊕ ⊕ ⊕ thì ta có: ( )1 1Q JQ I P Q I PQ= = ⊕ = ⊕ Tồn tại một phần tử lũy đẳng e Q∈ sao cho I eQ= Thật vậy, bất kỳ ideal phải nào của Q đều là chính quy Vì thế vành Q là vành Noether phải nên là vành Goldie phải Vì một ideal phải bất kỳ của Q đều được sinh bởi một phần tử lũy đẳng nên Q không có ideal lũy linh.( vì nếu e là một phần tử lũy đẳng khác 0 thì 0,ne e n= ≠ ∀ ) Do đó Q là vành nửa nguyên tố 28 Lấy I là ideal phải của Q thì I eQ= , trong đó 2e e= là phần tử lũy đẳng của Q. Vì e và 1f e= − là cặp lũy đẳng trực giao nên ( ) ( )l I l e fQ= = và ( ) ( )eQ r f r fQ= = Do đó bất kỳ ideal phải của Q đều là linh hóa tử phải. Mà Q là vành Goldie phải nửa nguyên tố nên theo bổ đề 2.1.8.5. Q thỏa mãn điều kiện dãy giảm trên các hoán tử phải nên Q là vành Artin phải Vành Artin phải và nửa nguyên tố là vành nửa đơn. 2.1.9. Định nghĩa: Cho 1 2,R R là 2 thứ tự phải của cùng một vành thương Q. Ta nói 1 2R R nếu có các phần tử chính quy 1 2 1 2, , ,a a b b Q∈ sao cho 1 1 1 2,a R b R⊆ và 2 2 2 1,a R b R⊆ . Khi đó, 1 2,R R gọi là tương đương thứ tự phải. 2.1.10. Định nghĩa: I là một R-ideal phân thức phải (R là thứ tự phải của vành thương Q) nếu I là module con của RQ sao cho ,a b∃ khả nghịch trong Q mà aI R⊆ và bR I⊆ • Định nghĩa tương tự cho R-ideal phân thức trái, R-ideal phân thức (2 phía) • Cho R,S là 2 thứ tự của vành thương Q, Nếu I vừa là R-ideal phân thức phải vừa là S-ideal phân thức trái thì I là (S,R) –ideal phân thức. Chú ý: Mọi ideal phải cốt yếu của vành Goldie phải nửa nguyên tố là R-ideal phải phân thức. 29 2.1.11. Định nghĩa: Thứ tự phải và thứ tự trái của R-ideal phân thức phải (trái) I tương ứng là: ( ) { }rO I q Q Iq I= ∈ ⊆ ( ) { }lO I q Q qI I= ∈ ⊆ Định lý 2.1.11.1. Cho R là thứ tự phải của vành thương Q và I,J⊳Q r khi đó: i)I↪IQ≃I⊗Q . ii)Hom R (I,J) ↪ Hom Q (IQ,JQ); α↦α⊗1 iii)Hom R (I,J)={β∈Hom Q (IQ,JQ)|βI⊆J} iv)Nếu I là R-ideal phân thức thì Hom R (I,J)={q∈Q|qI⊆J } và EndI≃O l (I) 2.2. MORITA CONTEXT: 2.2. 1.Định nghĩa: Cho R,S là một vành tùy ý và M là một nhóm cộng aben.M được gọi là S- R song module nếu tồn tại các ánh xạ ( ) : , f M R M m r mr × →  ( ) : , g S M M s m sm × →  thỏa: 1) ( )1 2 1 2m r r mr mr+ = + 2) ( )m n r mr nr+ = + với 3) ( ) ( )1 2 1 2mr r m r r= 4) ( )1 2 1 2s s m s m s m+ = + 5) ( )s m n sm sn+ = + 6) ( ) ( )1 2 1 2s s m s s m= 7) ( ) ( )sm r s mr= 30 2.2. 2.Định nghĩa: • Cho M,N là các R-module. Ánh xạ :f M N→ gọi là R đồng cấu module trái nếu với mọi 1 2, ,m m m M∈ và với mọi r R∈ ( ) ( ) ( )1 2 1 2f m m f m f m+ = + ( ) ( )f rm rf m= • Cho M,N là các R-S song module .Ánh xạ :f M N→ gọi là S-R đồng cấu song module nếu nó vừa là đồng cấu của R-module phải vừa là đồng cấu của S-module trái. 2.2. 3.Định nghĩa Morita Context: • Cho R là một vành và M là một R-module phải , nếu ( )* ,M Hom M R= và RS EndM= thì S RM và *R SM là các song module. Hơn nữa cho ,m n M∈ và = *Mα ∈ thì ta có: Tích . , .m R m Sα α∈ ∈ cho bởi ( ).m mα α= và .mα là ánh xạ ( )n m nα Vì * , *MM S M M R⊆ ⊆ có thể kiểm tra được rằng ma trận * / , , , * M R M r r R s S m M M S m s α α      = ∈ ∈ ∈ ∈          Với các phép toán hình thức của ma trận 2x2 được một vành. Thật vậy, ta kiểm tra với 2 phép toán cộng và nhân 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 * M r r r r R M m s m s m m s s S α α α α+ +        + = ∈       + +        Và: ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 21 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 * * M r r m r sr r R M m s m s Sm r s m m s s α α αα α α  + +      = ∈       + +        31 Một cách tổng quát, ta định nghĩa: • Giả sử R,S là các vành , WR S S RV là các song module và : W R, : W SS RV Vθ ψ⊗ → ⊗ → là các đồng cấu song module Ma trận: W R V T S   =     có thể được cho bởi các phép toán hình thức của ma trận 2x2, dùng θ và ψ trong định nghĩa phép nhân. Nếuθ và ψ thỏa mãn điều kiện kết hợp đòi hỏi để T là 1 vành thì tập hợp ( ), , ,W, ,R S V θ ψ được gọi là Morita Context, và T là vành Morita Context. 2.2.4. Định nghĩa: M là xạ ảnh nếu và chỉ nếu M thỏa một trong các điều kiện sau: i) Cho ' v N N→ là toàn cấu của R module phải, và với mọi đồng cấu M N φ → tồn tại duy nhất một đồng cấu ' 'M N φ → thỏa mãn 'ovφ φ= ii) Mỗi toàn cấu f Q M→ của các R module phải là chẻ ra, nghĩa là, có 1 đồng cấu s M Q→ thỏa mãn o Mf s Id= iii) M là hạng tử trực tiếp của một module tự F do nào đó, nghĩa là 'F M M≈ ⊕ cho một module M’ nào đó. Bổ đề 2.2.4.1. i) MR Là xạ ảnh hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu tồn tại , *i im M g M∈ ∈ sao cho với mỗi x M∈ có hữu hạn 0ig x ≠ mà i im g x x=∑ ii) MR là xạ ảnh hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu M *M S= thì M*R cũng là xạ ảnh hữu hạn sinh và ( ) ( )M *, * *Hom M R M= 32 Chứng minh: (i)Giả sử MR là xạ ảnh thì M IK R⊕  với mọi tập chỉ số I và module KR . Cho { }ei là cơ sở tự do của IR ,và i i ie m k= + , với ,i im M k K∈ ∈ . Xét gi là ánh xạ tọa độ IR R→ tương ứng với ei thu hẹp đến M . Vậy { }mi ,{ }gi thỏa đòi hỏi i im g x x=∑ . Ngược lại, mỗi toàn cấu IR R→ chuyển mỗi ei thành mi là chẻ ra bởi đồng cấu i ix e g x∑ Vậy MR là xạ ảnh. (ii)Nếu MR là xạ ảnh hữu hạn sinh, thì lấy I hữu hạn { }1,2,...,n khi đó 1 1 * n i i i m g MM = = ∈∑ vì vậy *MM S= Ngược lại, nếu *MM S= ,thì 1 1 n i i i m g S = = ∈∑ và do đó iM m R=∑ . Hệ quả 2.2.4.2. Cho R là thứ tự phải trong vành thương Q và cho M là R-ideal phải phân thức. Nếu MR là xạ ảnh thì MR là hữu hạn sinh. Chứng minh: Do R là thứ tự phải trong vành thương Q, ta đồng nhất M với tập{ }/q Q qM R∈ ⊆ Bây giớ M chứa phần tử nghịch đảo x. Áp dụng bổ đề 2.2.4.1 i) chứng tỏ rằng g 0i ≠ với hữu hạn i hay cho i=1,2,...,n suy ra rằng 1 n i i M m R = = ∑ 33 2.2.5. Định nghĩa: module MR được gọi là generator nếu M *M R= .  Theo bổ đề 2.2.4.1. generator là đối ngẫu với xạ ảnh hữu hạn sinh. Sự đối ngẫu này được làm rõ bởi các kết quả sau. Bổ đề 2.2.5.1. i) MR là xạ ảnh hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu M đẳng cấu với hạng tử của nR với mọi n. ii) MR là generator nếu và chỉ nếu R đẳng cấu với hạng tử của nM với mọi n. Chứng minh: i) Hiển nhiên từ ở trên. ii) Nếu MR là generator thì 1 1 n i i i xα = =∑ với *,i iM x Mα ∈ ∈ Ánh xạ ,nM R cho bởi ( )1 2, ,..., n i im m m mα là toàn cấu và là ánh xạ chẻ ra vì R R là xạ ảnh. Dễ dàng thấy nghịch đảo cho chiều ngược lại. 2.2.6. Định nghĩa: Nếu MR là module xạ ảnh và là generator, nó được gọi là progenerator.  Hệ quả của kết quả sau chỉ ra rằng tính chất này của bất kỳ Morita Context đặc trưng progenerator. Nó cũng chứng tỏ rằng có tính đối xứng hoàn toàn giữa R và S, giữa M và M*. 34 Mệnh đề 2.2.6.1. Giả sử rằng: W R V S       là vành Morita Context và VW=R, thì: i) V , WS S là xạ ảnh hữu hạn sinh. ii) V,WR R là generator. iii) ( ) ( )V W *,W V *S S  . iv) ( ) ( )R d V ,R d WS SEn En  v) :V W VW Rµ ⊗ → = là đẳng cấu R-song module. Chứng minh: Tính đối xứng chứng tỏ rằng nó đủ để chứng minh nửa đầu của (i) đến (iv) Vì VW=R nên có ,w Wi iv V∈ ∈ sao cho 1 1 w n i i i v = = ∑ i)Xét các S-đồng cấu sau: ( )1: ; w ,...,wn nV S v v vα →  và ( )1: ; s ,...,sn n i iS V v sβ → ∑ Khi đó ( ) wi iv v v vβα = =∑ nên 1Vβα = . Vậy SV là xạ ảnh hữu hạn sinh ii)Xét R-đồng cấu nV R→ cho bởi ( )1v' ,..., v' ' wn i iv∑ là toàn ánh Vây VR là generator. (iii)Xét ( R,S)–đồng cấu song module sau: ( ): W *SVδ → Với v V∈ tác động bởi phép nhân bên phải. 35 Vì ( ) 1 1 w w n n i i i i i i v v v v v = =   = =    ∑ ∑ suy ra δ là đơn xạ Và nếu ( )W *Sf ∈ thì ( ) ( ) ( )w w w w w wi i i if f v v f v= = =∑ ∑ Với ( )wi iv v f=∑ và δ là toàn xạ. Vậy ( )V W *S (iv)tương tự, với r R∈ tác động trên SV do phép nhân trái ,chứng tỏ rằng WSR End (v) giả sử: ( )( )v' w ' 0j jjµ ⊗ =∑ thì ( ) ( ) ( ), ,v' w ' v' w ' w v' w ' wj j j j i i j j i ij i j i jv v⊗ = ⊗ = ⊗∑ ∑ ∑ ( )( ) ( )( )v' w '