Luận văn Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu toán học trong việc diễn đạt một mệnh đề toán học

m thuộc các cạnh hoặc cũng có thể hiểu là tập hợp các điểm thuộc các cạnh và các điểm trong của tam giác đó. (MHHcb11, tr. 52) Cũng như trong bộ sách hình học 11 nâng cao. Ở đây cũng vậy, tất cả các định nghĩa, định lí, tính chất đều được diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường. Tuy nhiên, trong SBT, bên cạnh việc trình bày chúng bằng ngôn ngữ thông thường, còn được diễn đạt lại dưới hình thức mã hóa bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học. Tuy không phải mọi định nghĩa, định lí, tính chất đều được diễn đạt với hình thức trên. Nhưng có thể nói, đó là cơ sở giúp HS mã hóa những định nghĩa, định lí, tính chất khác bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học. Từ đó không những giúp HS hiểu được lời giải bài toán được trình bày với 46 Phan Sĩ Đức Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học hình thức trên mà còn vận dụng hình thức đó để diễn đạt lời giải bài toán khi cần thiết, chẳng hạn: Nếu đường thẳng d không nằm trong mặt phẳng (α) và d song song với đường thẳng d’ nằm trong (α) thì d song song với (α). ( ) ' ( ) ' ( ) d d d d d α α α ⊄  ⇒  ⊂   . (EHHcb11, tr. 66) Đối với hoạt động chứng minh định lí. Trong tất cả các tính chất có trình bày chứng minh, chỉ có hai lời giải được trình bày dưới hình thức “mã hóa” bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học theo cấu trúc logic dạng “A1 ∧ A2 ∧∧ An ⇒ B”, trong đó có tính đến vai trò của phép “hội” các mệnh đề toán học. Đây cũng là điểm khác biệt so với bộ sách hình học 11nc hiện hành, chẳng hạn: [] Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) a a c a c β α α β   ⊃ ⇒  ∩ =   . (MHHcb11, tr. 65) Trong giải toán, thể chế dạy học hình học 11 cb cũng ưu tiên lựa chọn hình thức diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường, kết hợp với ngôn ngữ kí hiệu toán học để trình bày lời giải bài toán ở SGK. Còn trong SGV, SBT thì ngược lại ưu tiên sử dụng hình thức diễn đạt gọn bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học theo một số cấu trúc logic thông dụng như: “A ⇒ B”, “A ⇔ B”, “A1 ∧ A2 ∧∧ An ⇒ B”, hay “(A ⇒B) ∧ C) ⇒ D”, ... Chẳng hạn: ( ) ( ) ( ) ( ) AB AB ABCD AB MN MN α α β   ⊂ ⇒  = ∩   . (GHHcb11, tr. 67) Với lựa chọn này của thể chế dạy học hình học 11 cơ bản, liệu có giúp HS hiểu được cũng như vận dụng được hình thức đó vào trình bày nội dung bài học? 47 Phan Sĩ Đức Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học 1.3.4.2.3. Chương III: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian Không xuất hiện hình thức “mã hóa” các định nghĩa, định lí, tính chất trong SGK, SGV hay SBT hình học 11 cb. Đây là sự khác biệt so với chương II của bộ sách này và chương III của bộ sách hình học 11nc. Đối với hoạt động chứng minh định lí. Có rất ít định lí được chứng minh (3/13 định lí) và đều được diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường. Phải chăng, thể chế dạy học hình học 11 cơ bản chỉ quan tâm việc áp dụng các định lí tính chất vào giải toán? Để trả lời cho câu hỏi này, theo GHHcb11, trang 84 thì “không đi sâu vào chứng minh định lí, chỉ cần biết vận dụng các định lí để giải các bài toán []”. Đối với hoạt động giải toán, cũng như trong chương II, thể chế dạy học hình học 11 cb ưu tiên sử dụng hình thức diễn đạt có sự kết hợp giữa ngôn ngữ thông thường và ngôn ngữ kí hiệu toán học. Còn trong SGV và SBT thì ngược lại, ưu tiên chọn hình thức mã hóa bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học để diễn đạt lời giải bài toán, chẳng hạn: ( ) BH SA BH SAC BH AC ⊥  ⇒ ⊥⊥  . (EHHcb11, tr. 113) Kết luận Qua phân tích vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học trong diễn đạt một mệnh đề toán ở cấp độ tri thức cần dạy, chúng tôi có những kết luận sau: • Kí hiệu toán học xuất hiện sớm trong chương trình toán phổ thông, ngay từ lớp học đầu tiên của bậc tiểu học. Có những kí hiệu mang nhiều nghĩa khác nhau qua những lớp học, bậc học khác nhau. Do đó, đã có sự nhập nhằng, không đồng bộ trong việc sử dụng ngôn ngữ kí hiệu toán học, khi diễn đạt một mệnh đề toán học. • Kí hiệu toán học, ảnh hưởng trực tiếp đến khả năng tiếp thu thi thức và khả năng diễn đạt một mệnh đề toán học của HS. Sự xuất hiện của chúng giúp cho việc trình bày một mệnh đề toán học được gọn, rõ, xúc tích, 48 Phan Sĩ Đức Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học • Chúng có thể xem là những ostensif mang giá trị tín hiệu, đồng thời là công cụ diễn đạt của HS khi giải toán. • Trong chương trình toán phổ thông, kí hiệu toán học xuất hiện tường minh có, ngầm ẩn có. Phần lớn chúng xuất hiện trong vai trò “công cụ” trước, sau đó xuất hiện với vai trò “đối tượng” dạy học (kí hiệu ⇒; ⇔,∀, ∃,). • Tồn tại song song hai hình thức “mã hóa” và “giải mã” các định nghĩa, định lí, tính chất cũng như giải toán từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ kí hiệu toán học, theo một số cấu trúc logic thông dụng như: “A ⇒ B”; “A ⇔ B”; “A1 ∧ A2 ∧∧ An ⇒ B” và ngược lại. Bên cạnh đó chúng tôi có thống kê nhóm kí hiệu liên quan đến mệnh đề trong hình học không gian 11 như sau: Nhóm Kí hiệu toán học Tập hợp ∈, ∉, ⊂, ⊃, ∅, ∩,∪,⊄,⊅ Mệnh đề ∃, ∧, ∨,∀,⇒, ⇔ Kí hiệu toán học khác =, ≠,{, ∠, ∧, R, r, Ax, △, a, b, c,, ≈, √, ⊥, ∥, ≡, ≢,∛, sinα, cosα, tanα, cotα, ᴖ , π, 𝐴𝐵�����, �⃗�, ↷, (Ou,Ov), ±∞, |, ||, (�⃗�, 𝑏�⃗ ), 𝑎.���⃗ 𝑏�⃗ , k�⃗�, d(M, ∆), d(∆1; ∆2), (𝑎, 𝑏� ), (a, b), (P), (Q), (a, b), }, Từ đó, chúng tôi đặt ra giả thuyết sau: H1: “Việc sử dụng các kí hiệu toán học trong dạy học hình học không gian không chỉ nhằm thay thế cho các “từ”, “cụm từ” mà còn có vai trò khác đó là trong tổ chức giảng dạy của người giáo viên, nó còn là công cụ (ngôn ngữ) để suy luận diễn dịch của học sinh”. 49 Phan Sĩ Đức Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học Chương 2 VAI TRÒ CỦA NGÔN NGỮ KÍ HIỆU TOÁN HỌC TRONG DẠY – HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 Mục đích: chúng tôi muốn tìm hiểu với những ràng buộc của thể chế dạy học hình học 11, GV, HS ứng xử như thế nào trong việc sử dụng ngôn ngữ kí hiệu toán học để diễn đạt một mệnh đề toán học. Đối với GV, khi giảng dạy có sự đồng bộ về lời nói, cử chỉ và hình thức trình bày nội dung trên bảng? GV có tuân thủ lựa chọn hình thức trình bày nội dung bài học của SGK? Đối với HS, có trình bày nội dung bài học theo hình thức diễn đạt của GV hay SGK hay theo cách riêng? Có sự sai lệch nào trong hình thức diễn đạt nội dung bài học, nhất là định nghĩa, định lí, tính chất cũng như lời giải bài tập giữa HS, GV và SGK? Có lạm dụng ngôn ngữ kí hiệu toán học khi diễn đạt nội dung bài học? Có những sai lầm nào mắc phải khi mã hóa các định nghĩa, định lí, tính chất, cũng như trong giải toán? Có những kí hiệu nào hình thành trong quá trình học hình học không gian 11? Nhằm mục đích gì? Để từ đó trả lời cho câu hỏi Q2. 2.1. Trong vở ghi chép của học sinh Chúng tôi tiến hành phân tích vở ghi của HS khối 11. Gồm có 14 cuốn vở ghi, trong đó có 10 cuốn của HS học chương trình toán nâng cao, của hai lớp 11B1 (6 cuốn), lớp 11B2 (4 cuốn) và 4 cuốn của HS học chương trình toán cơ bản (chuẩn) của lớp 11B4, Trường THPT Đateh, Lâm Đồng. Những cuốn vở này, được chọn lọc từ nhiều cuốn vở của HS ở ba lớp 11 nêu trên, theo tiêu chí là chọn những cuốn vở có những sai lầm mang tính đặc trưng riêng trong từng cuốn. Mặt dù không được khách quan nhiều nhưng phần nào nó phản ánh thực tế những sai lầm của HS, khi học Hình học không 50 Phan Sĩ Đức Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học gian 11, ở trường THPT hiện nay. Xuất phát từ vấn đề sử dụng ngôn ngữ kí hiệu toán học trong diễn đạt một mệnh đề toán học. Vì thời gian không cho phép nên trong khuông khổ của luận văn này, chúng tôi cũng chỉ có thể làm được như vậy. Để giúp cho việc trình bày được thuận lợi, chúng tôi sử dụng hình thức viết tắt sau: VB1i, i = 1, 2,, 6, tương ứng là vở ghi của sáu HS lớp 11 B1; VB2i, i = 1, 2, 3, 4, tương ứng là vở ghi của bốn HS lớp 11B2; VB4i, i = 1, 2, 3, 4, tương ứng là vở ghi của bốn HS lớp 11B4. 2.1.1. Học sinh 11nc Vở ghi là một tài liệu không thể thiếu đối với mọi HS. Nó chứa đựng những nội dung cần thiết cho môn học đó. HS ghi chép những nội dung gì trong vở ghi của mình, có chính xác, đúng với nội dung mà GV giảng dạy? Có sai lệch nào về mặc kiến thức? Đâu là nguyên nhân gây ra sự sai lệch? Có tính đến vai trò của ngôn ngữ kí hiệu toán học? Qua phân tích chúng tôi sẽ làm rõ vấn đề này. Các định nghĩa, định lí, tính chất trong tất cả các vở ghi của HS đem phân tích, đều có một điểm chung là được diễn đạt dưới hình thức mã hóa bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học, trong đó có sử dụng một số cấu trúc logic thông dụng như: “A ⇒ B”, “A ⇔ B”, “A1 ∧ A2 ∧∧ An ⇒ B” có tính đến vai trò của phép “hội” của các mệnh đề toán học, chẳng hạn: Đây là sự khác biệt so với hình thức trình bày các định lí, tính chất trong SGK của thể chế dạy học hình học 11. 51 Phan Sĩ Đức Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học Trong giải toán, hầu hết lời giải các bài tập được trình bày trong vở ghi của HS với cùng hình thức trên. Tuy nhiên, có sự xuất hiện của một số cấu trúc logic khác như: “(A ⇒ B) ∧ C ⇒ D” hay “(A ⇒ B) ∧ (C ⇒ D) ⇒ E”, chẳng hạn: Từ những ghi nhận trên, phải chăng nội dung bài học trong vở ghi của học sinh được sao chép nguyên văn từ bảng của GV? Có sai lệch nào trong quá trình sao chép đó? Sai lệch đó có dẫn đến sai lầm? Nguyên nhân do đâu? VB11 Xuất hiện một số kí hiệu “mới”, mà không xuất hiện trong chương trình toán phổ thông hiện hành như: + Kí hiệu góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian là (a,b) hay ( , )a b . Kí hiệu góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) là (a, (P)) hoặc ( , ( ))a P . Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là ((P), (Q)) hoặc (( ), ( ))P Q , chẳng hạn:   ( ) ( , ) (( ), ( )) ( ) a P a b P Q b Q ⊥ ⇒ = ⊥ Hay (B’C, A’C’) = (A’C’, A’D) Hay (a, (P)) = (a, a’), a’ là h/c of a lên P 52 Phan Sĩ Đức Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học Vậy, đâu là nguyên nhân xuất hiện những kí hiệu này? Qua phân tích ở chương 1, cho thấy nguyên nhân có thể xuất phát từ: Thứ nhất: từ công thức góc giữa hai đường thẳng a, b trong hình học phẳng là (a, b). Với quan niệm, kí hiệu của góc giữa hai đường thẳng trong không gian cũng như trong mặt phẳng. Tương tự cho các đối tượng còn lại. Thứ hai: phải chăng xuất phát từ kí hiệu góc giữa các đối tượng tương ứng trên, trong cuốn “Hình học 11 – Văn Như Cương (chủ biên) – 2000 – NXBGD” ([10])? Thông qua “kênh hình” nào đó, chẳng hạn: sách tham khảo, phương tiện nghe nhìn (Tivi, Internet, ), cũng có thể từ GV trực tiếp giảng dạy. Để làm rõ nguyên nhân thứ hai, theo [10], trang 54 thì “góc giữa hai đường thẳng a,b, kí hiệu là ( , )a b hay ( , )b a ”. Tương tự, kí hiệu của các góc còn lại đều có kí hiệu “∧”. Dù là xuất phát từ đâu. Nhưng việc sử dụng kí hiệu toán học không đúng theo quy định của thể chế dạy học hình học 11 nâng cao hiện hành là không hợp lí. + Kí hiệu của Mặt phẳng chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau hoặc song song là (a, b). Như phân tích ở chương 1, kí hiệu này không xuất hiện trong bộ sách Hình học 11 nc. Vậy, liệu có sự nhập nhằng nào liên quan đến kí hiệu của mặt phẳng chứa hai đường thẳng a, b và góc giữa hai đường thẳng a, b khi sử dụng? + Kí hiệu “∃!” thay cho cụm từ “tồn tại duy nhất”. Phải chăng, nó được tạo ra từ sự lắp ghép giữa kí hiệu “∃” và kí hiệu “!”? Được HS sử dụng trong hình thức mã hóa các định nghĩa, định lí, cũng như giải toán, chẳng hạn: Cho O, đt ∆ ∃! (P): O ∈ (P), (P) ⊥ ∆. (Tính chất 1 - §3 - chương III) Hay Cho a, b chéo nhau ∃!(P) ⊃ a mà (P) // b. (Định lí 3 - §3 – chương II) + Kí hiệu “∅” thay cho cụm từ “trung điểm” khi trình bày trung điểm của một đoạn thẳng cho trước, chẳng hạn: I là ∅ BC: I là trung điểm BC. 53 Phan Sĩ Đức Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học Đây là sự lạm dụng kí hiệu trong hình thức diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường. Kí hiệu này xuất hiện từ đâu? Phải chăng từ chữ “Trung” trong từ “Hán việt”? + Kí hiệu “ ⊥ ” thay cho cụm từ “không vuông góc”, chẳng hạn: a ⊥ (P) ⇒ ∃!(Q): a ⊂ (Q) ⊥ (P). (Hệ quả 3 - §4 Hai mặt phẳng vuông góc) Phải chăng, kí hiệu “ ⊥ ” được tạo ra bằng cách dùng dấu “/” gạch đè chồng lên kí hiệu “⊥”? Như vậy, với kết quả này phần nào trả lời cho câu hỏi mà chúng tôi đã đặt ra trong chương 1 là: Liệu có hình thành nơi HS quy tắc: “dùng dấu “/” đè chồng lên những kí hiệu toán học mang giá trị khẳng định để tạo nên những kí hiệu mang giá trị phủ định?” + Kí hiệu ( ) thay cho cụm từ “độ dài” của đoạn thẳng cho trước, chẳng hạn: 2( ) 2 aAO = Kí hiệu trên được tạo ra từ kí hiệu nào? Hay nó xuất hiện trong bộ sách toán ở bậc học nào? Theo G6, tập 1, trang 148 thì: SGK của nhiều nước kí hiệu: đường thẳng AB là (AB), đường thẳng xy là (xy), đường thẳng a là (a), Ta không sử dụng kí hiệu này để tránh phức tạp cho học sinh. (G6, tập 1, tr. 148) Như vậy kí hiệu “( )” cũng không phải thay cho cụm từ “độ dài” của đoạn thẳng. Có thể đây là sự bất cẩn của HS trong quá trình ghi chép. Từ những ghi nhận trên, liệu còn có những sai lầm nào sẽ xảy ra do sử dụng những kí hiệu “mới” này, trong quá trình diễn đạt một mệnh đề toán học? Ngoài ra, còn xuất hiện những sai lầm trong quá trình mã hóa các định nghĩa, định lí, tính chất và lời giải bài toán bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học. i) Sai lầm do lạm dụng kí hiệu, chẳng hạn: 1) Cho O, đt ∆ ∃! (P): O ∈ (P), (P) ⊥ ∆. (Tính chất 1 - §3 – chương III) 2) Cho a, b chéo nhau ∃! (P) ⊃ a mà (P) // b. (Định lí 3 - §3 – chương II) 3) a) Hai đường thẳng phân biệt cùng // vs 1 đt thứ 3 thì // vs nhau b) Qua 1 điểm nằm ngoài 1 mp, ∃ duy I’ 1 mp // vs mp đã cho 54 Phan Sĩ Đức Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học c) Hai đáy là 2 đa jác = nhau. Các cạnh bên // vs = nhau d) △ SAO ⊥ e) c: gọi là đường ⊥ chung of 2 đt chéo nhau 4) ( ) ( ) ( ) ( ) a P P Q a Q ⊂  ⇒ ⊥ ⊥  . (Định lí 2 - §4 Hai mặt phẳng vuông góc) Trong tình huống 1) và 2), HS lạm dụng kí hiệu “∃!” khi mã hóa hai tính chất trên. Trong tình huống 2), HS còn mã hóa không đúng cấu trúc logic vì định lí này được phát biểu dạng “Nếu thì”. Dường như ở đây, HS đã áp dụng hình thức mã hóa một cách máy móc theo kiểu “phiên dịch” thô từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ kí hiệu toán học. Trong các tình huống của 3) rất thường thấy ở đại đa số HS hiện nay, ở hầu hết các bậc học. Đó là, lạm dụng một số kí hiệu, kể cả những từ viết tắt để thay thế từ ngữ trong hình thức diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thường những định nghĩa, định lí, tính chất. Thậm chí, ngay cả các đề mục trong bài học, Chính điều đó đã làm giảm đi sự trong sáng của ngôn ngữ thông thường lẫn ngôn ngữ kí hiệu toán học. Vậy, làm thế nào để giúp HS giảm bớt sự lạm dụng kí hiệu trong hình thức diễn đạt nội dung bài học? Trong tình huống 4), liệu có phải đây là một sự vô ý của HS khi sử dụng kí hiệu “{ }” để diễn đạt “hội” của hai mệnh đề tương ứng trong hình thức mã hóa định lí trên? Hay HS cho rằng kí hiệu đó cũng giống như kí hiệu “{” hay kí hiệu “}”, khi diễn đạt “hội” các mệnh đề toán học? Cũng có khả năng, HS cho rằng việc mã hóa định nghĩa, định lí chỉ mang tính hình thức nên không quan tâm đến việc có sử dụng đúng kí hiệu hay không. ii) Sai lầm do sử dụng sai cấu trúc logic, giá trị kí hiệu toán học, chẳng hạn: 1) ( ) ( ) d a d A d a A α α ∩ ∈  ⇔ ∩ =∩ =  . (Cách xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng - §1 Đại cương về Đường thẳng và Mặt phẳng) 55 Phan Sĩ Đức Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học 2) ( ) ( ) a P b P a b a b ⊥  ⊥  ≡/   . (Định lí 3 - §3 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) 3) ( ) ( ) ( ) ( ) P Q a P a Q a ⊥ = ∆ ⊂ ⊥ ⊥ ∆  . (Định lí 3 - §4 Hai mặt phẳng vuông góc) 4) ∀∆ ⊂ (P), ∆ ⊥ d ⇒ d ⊥ (P). (Định nghĩa 1 - §3 – chương III) 5) ( ) ( ) ( ) ( ), b (Q) mp P a b P Q a Q ⊃ ∩ ≠∅ ⇔     . (Định lí 1 - §4 Hai mặt phẳng song song) 6) ( ) ( ) ( ) a a a b α α α ⊄  ⇒⊂    . (Định lí 1 - §3 Đường thẳng song song với Mặt phẳng) Trong tình huống 1), HS sử dụng kí hiệu “∈”, để diễn đạt quan hệ bao hàm giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là không đúng với giá trị của nó. Hơn nữa, hình thức diễn đạt trên sai cấu trúc logic, khi sử dụng kí hiệu “⇔”. Vì trong tình huống này, điều kiện ngược lại có thể không xảy ra. Ngoài ra, có sự lạm dụng trong cách diễn đạt (d ∩ a ∈ (α)), không thể diễn đạt “liên hoàn” như vậy. Trong tình huống 2), 3) đều không có kí hiệu “⇒”. Phải chăng, HS cho rằng sự xuất hiện kí hiệu này là không cần thiết, không ảnh hưởng đến nội dung của định lí? Hay HS không quan tâm đến cấu trúc logic khi sử dụng? Riêng tình huống 2) là của một định lí được mã hóa bằng ngôn ngữ kí hiệu toán học trong SGK hình học 11 nc. Như vậy, với sai lầm này cho thấy HS đã không quan tâm đến hình thức mã hóa trong SGK. Còn tình huống 3) kí hiệu “⊥” cùng lúc thay thế cụm từ “vuông góc” và “cắt nhau” của hai mặt phẳng (P) và (Q). Tình huống 4) là hình thức mã hóa của định nghĩa “Đường thẳng vuông góc với Mặt phẳng”. Nội dung của định nghĩa này được phát biểu dưới dạng “Nếu thì” và hiểu theo nghĩa của mệnh đề “tương đương”. Tức là, mệnh đề đảo của định nghĩa này là mệnh đề đúng. Nhưng, HS đã không quan tâm đến vấn đề này. Chỉ mã hóa theo chiều thuận, mà không xem xét chiều ngược lại của định nghĩa. Vì vậy, HS đã sử dụng kí hiệu “⇒”. Đây cũng là tình huống thường thấy ở HS. Hơn nữa, trong hình thức mã hóa 56 Phan Sĩ Đức Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học đó ghi “∀∆ ⊂ (P)” là chưa phù hợp với cấu trúc của mệnh đề chứa “∀”. Phải ghi là “∀∆: ∆ ⊂ (P)”. Trong tình huống 5) và 6), ngoài việc xuất hiện hình thức diễn đạt “liên hoàn” như đã phân tích, chẳng hạn: “mp(P) ⊃ a ∩ b ≠ ∅” là không phù hợp. Riêng tình huống 5) sử dụng kí hiệu “⇔” là không đúng với nội dung định lí. Đồng thời, HS sử dụng “a ∩ b ≠ ∅” để chỉ hai đường thẳng trong không gian cắt nhau cũng không chính xác. Phải chăng sai lầm này do HS cho rằng a // b thì a ∩ b = ∅, ngược lại a ∩ b ≠ ∅ thì chúng cắt nhau? Ngoài ra, từ những sai lầm trong các tình huống trên còn cho thấy HS không nắm vững nội dung của định nghĩa, định lí trước khi mã hóa chúng. iii) Sai lầm do không nắm vững nội dung định lí, chẳng hạn: ( ) ( ) ( ) ( ) a Q P Q a b a P ⊂  ∩ =    . (Định lí 2 - §3 – chương II) Hay ( ) ( ) ( ) ( ) P a P Q b a Q a  ∩ =     . (Hệ quả 2 – Định lí 2 - §3 – chương II) Cả hai tình huống mã hóa trên, đều không đúng cấu trúc logic dạng “A1 ∧ A2 ∧∧ An ⇒ B” vì đều không có kí hiệu “⇒”. Hơn nữa, nội dung trong hai tình huống trên đều sai lệch so với nội dung định lí trong SGK. Sai lầm này phải chăng xuất phát từ việc HS cho rằng: điều kiện “ ( ) ( ) a Q a P ⊂    ” đủ để suy ra (P) ∩ (Q) = b // a? Hay, điều kiện “ ( ) ( ) P a Q a      ” đủ để suy ra (P) ∩ (Q) = b // a? Hay do HS không sắp xếp lại kí hiệu toán học sau khi thay thế mà vẫn giữ nguyên thứ tự của chúng như ngôn ngữ thông thường trong quá trình mã hóa? 57 Phan Sĩ Đức Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học iv) Sai lầm do không hiểu phép “hội” của các mệnh đề toán học, chẳng hạn: a c b c a b⊥ ⇒ ⊥  . (Nhận xét - §2 Hai đường thẳng vuông góc) Hay ( ) ( ) (P) (Q) (R) (Q) (R) P Q ⇒     . (Hệ quả 2 – Tính chất 1 - §4 – chương II) Rõ ràng trong hai tình huống trên, HS không sử dụng kí hiệu “{” hoặc “}” trong hình thức mã hóa các mệnh đề tương ứng. Phải chăng, HS cho rằng việc có hay không có kí hiệu “{” hoặc “}” là không ảnh hưởng đến nội dung của định lí? Hay sai lầm đó do HS không hiểu phép “hội” của các mệnh đề toán học? v) Những tình huống mã hóa sai trong lời giải bài tập, chẳng hạn: 1) ( ) ( ) ( ) MN SB MN MNP SB MNP SB MNP   ⊂ ⇔  ⊄   . (Sử dụng sai cấu trúc) 2) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) AB ABCD d AB ABCD α α  ⇔ ∩ =⊂   (đi wa O và // AB). (Sử dụng sai cấu trúc, kí hiệu, lạm dụng kí hiệu trong hình thức trình bày) 3) ( ) ( )' ( ' ), ( ) ' ,A M AB A AB ABC A M CMCM AB ⊥  =⊥  . (Lạm dụng, thiếu kí hiệu) 4) ( ) ( ) MN AD MN SABAD AB AD SAB AD SA  ⇒ ⊥⊥  ⊥ ⊥    . (Thiếu kí hiệu) 5) ABCD là hbh ⇔ 4SA SB SC SD SO+ + + =      . (sai cấu trúc logic) Phải chăng, những sai lầm này do HS vận dụng một cách máy móc quá trình mã hóa các định nghĩa, định lí, tính chất? Để tránh sự cồng kềnh và trùng lặp. Các vở ghi còn lại, Chúng tôi chỉ tập trung phân tích những tình huống sai lầm mang tính khác biệt. 58 Phan Sĩ Đức Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học VB12 HS này sử dụng các kí hiệu “khoảng cách” có sự khác biệt so với kí hiệu trong SGK, chẳng hạn: d(M, (P)); d(M, ∆); d((P), (Q)); d(a, b) lần lượt là các công thức tính khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng (P), đường thẳng ∆, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q), khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b trong không gian. Những công thức này, được hình thành từ công thức tính khoảng cách tương ứng trong SGK hình học 11 nc. Sự sai lệch này không gây ra sai lầm cho HS khi giải toán. VB13 Xuất hiện sai lầm liên quan đến kí hiệu “//” trong lời giải bài toán, chẳng hạn: [] PQ // EH ⇒ ( )PQ EFGH   Sai lầm này do HS đã đồng nhất vai trò của vectơ với đường thẳng. Hoặc có thể HS cho rằng vectơ cũng có quan hệ song song với mặt phẳng như giữa đường thẳng với mặt phẳng. VB14 Xuất hiện tình huống sai lầm sau: Nếu (P) và (Q) // thì (R) × (P) thì × (Q) và các giao tuyến //. Sai lầm này của HS xuất phát từ đâu? Phải chăng, đây là một hình thức trình bày nội dung định lí bằng ngôn ngữ thông thường mà ở đó có sự lạm dụng những kí hiệu thay thế cho những “từ” có thể được và giữ nguyên chúng theo thứ tự của ngôn ngữ thông thường? Trong đó có sử dụng kí hiệu “×” thay cho từ “cắt nhau” giữa hai mặt phẳng. Kí hiệu này phải chăng được tạo ra từ hình vẽ mô tả trực quan vị trí tương đối (cắt nhau) của hai mặt phẳng trong không gian? VB15 Trong vở ghi của HS này, xuất hiện những tình huống sai lầm sau: 1) ( )AC EG AC EFGH⇒      . 59 Phan Sĩ Đức Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học 2) ( ) ( ) ( ) d a P d b P d P a b ⊥ ⊂  ⊥ ⊂ ⇒ ⊥ ×  . Trong tình huống 1) HS đã sử dụng kí hiệu “//” thay cho cụm từ “cùng phương”, khi diễn đạt hai vectơ cùng phương. Sai lầm này do HS đã đồng nhất vai trò của đường thẳng với vectơ như đã phân tích trong VB13. Ở tình huống 2), sai lầm này thường gặp ở hầu hết HS hiện nay, do HS giữ nguyên thứ tự kí hiệu sau khi thay thế như ngôn ngữ thông thường mà không có sự sắp xếp chúng theo nghĩa toán học. Ngoài ra, còn sử dụng kí hiệu “×” để thay cho từ “cắt” khi diễn đạt hai đường thẳng cắt nhau. Sự xuất hiện của kí hiệu “×”, giải thích như trong VB14. VB16 Xuất hiện tình huống “mã hóa” định lí sau: a ⊥ ( ) ( ) ' ( ) P b P b a b a P   ⊂ ⇒ ⊥ ⊥ ⊂  . (Định lí ba đường vuông góc - §3 – chương III) Sai lầm thứ nhất đó là: Định lí này được phát biểu dưới dạng mệnh đề tương đương, tuy nhiên HS đã không quan tâm đến điều đó. Có thể vì hầu hết các định lí đều phát biểu dạng mệnh đề “A ⇒ B” hoặc “A1∧ A2 ∧∧ An ⇒ B”. Thứ hai, HS đã mã hóa theo kiểu “phiên dịch” thô từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ kí hiệu toán học, mà không có sự sắp xếp chúng theo thứ tự logic. Hoặc HS không quan tâm đến nội dung của định lí. Điều này cho thấy việc mã hóa các định nghĩa, định lí, tính chất của HS chỉ mang tính hình thức, rập khuông, không tôn trọng nội dung định lí cũng như giá trị của kí hiệu toán học hay cấu trúc logic. VB21 Chỉ xuất hiện kí hiệu góc dạng có dấu “∧”, chẳng hạn: ( , )a b , ( , ( ))a P , (( ), ( ))P Q . Ngoài ra, HS còn mắc phải sai lầm liên quan đến phép “tuyển” và phép “hội”, đó là sử dụng kí hiệu “{” thay cho từ “hoặc” khi diễn đạt “tuyển” của hai mệnh đề, chẳng hạn: 60 Phan Sĩ Đức Một nghiên cứu về ngôn ngữ kí hiệu Toán học 1 2 0 1 2 0α ∆ ∆ ⇒ =∆ ≡ ∆  . Như vậy, ở đây phải chăng HS chưa hiểu giá trị của kí hiệu “{” nhằm thay thế cho từ nào hay cụm từ nào khi diễn đạt một mệnh đề toán học. Hay đã ngầm cho rằng hai kí hiệu “{” và “[” là như nhau? Hay đơn thuần đây chỉ là sai lầm do việc ghi chép gây ra? Tương tự, còn có tình huống sau: ( ) trong mp (P) ( ) , a c b c I a P a b ∩ = ⇒ ⊥ ⊥ ⊥ . Sai lầm trong tình huống này do HS đã sử dụng kí hiệu ( ) để diễn đạt tập chứa một phần tử I, thay vì sử dụng kí hiệu “{ }”. Có thể do HS không hiểu được giá trị kí hiệu “( )” và “{ }”. Ngoài ra còn có sự nhập nhằng trong việc sử dụng ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngôn ngữ thông thường trong hình thức mã hóa trên. VB22 Xuất hiện tình huống: 1 2 0 1 2 ; =0α ∆ ∆ ∆ ≡ ∆  Trong tình huống này HS sử dụng kí hiệu “[” thay cho từ “hoặc” nhưng lại trình bày không hợp logic khi thiếu kí hiệu “⇒” trong hình thức diễn đạt trên. VB23 Xuất hiện những tình huống sau: 1) A ∉ mp (P), A // B ⇒ A // mp(P). (Định lí 1 - §3 – chương