Luận văn Một số bài tập lý thuyết nhóm

i đó ánh xạ  là một đẳng cấu. Thật vậy, ta có , do đó f là ánh xạ và là đơn ánh, Hiển nhiên f là toàn ánh. Ngoài ra, ta có . Vậy f là đẳng cấu. Bài 4. Giả sử A và B là hai nhóm con chuẩn tắc của nhóm X sao cho và X = AB . Chứng minh rằng X đẳng cấu với nhóm Giải . Do AB = X nên với mỗi phần tử x của X viết được dưới dạng x = ab với và . Giả sử có với và thì . Vì nên do đó và . Vậy mỗi phần tử được viết một cách duy nhất dưới dạng x = ab, với . Mặt khác các phần tử của A giao hoán được với các phần tử của B. Thật vậy, với a, b tùy ý thuộc A, B, xét tích . Vì A và B là những nhóm con chuẩn tắc của X nên và . Vậy nên hay ab=ba. Ánh xạ là một đồng cấu do ab = ba, là đơn cấu do , là toàn cấu do X =AB. Vậy là đẳng cấu. Bài 5. Giả sử X là nhóm. a) Chứng minh là nhóm Abel b) Chứng minh rằng nếu thì X/H là nhóm Abel khi và chỉ khi Giải. Ta có a) Với mọi ta có nên , tức là là nhóm Abel b) Abel thì thì . Bài 6. Cho X và Y là hai nhóm xiclic cấp tương ứng là s và t và các phần tử sinh là x và y a) Chứng minh quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử với phần tử ,với k là một số tự nhiên khác không cho trước là một đồng cấu nhóm khi và chỉ khi sk là bội của t b) Chứng minh rằng nếu là đẳng cấu thì (s,k)=1. Giải. a) Nếu là đồng cấu nhóm thì . Vậy nên Ngược lại, nếu , ta chứng minh là đồng cấu nhóm. Đầu tiên, ta chứng minh là một ánh xạ. Thật vậy, nếu thì do đó . Bởi vậy tức là là ánh xạ. Ngoài ra, ta có b) Ta có . Do là đẳng cấu nên Thật vậy, do là đẳng cấu nên tức số phần tử của X và Y bằng nhau và thì Do đó là một phần tử sinh của Y nên . Vì t = s nên (s, k) = 1 Bài 7. Cho và . Chứng minh rằng: a) và b) Nếu thì và Giải. a) Vì và . Áp dụng định lý 2.3 với G được thay bởi A, H thay bởi và K thay bởi B, ta được = và (Tính chất 3.2 v chương I ) b) Giả sử . Theo tính chất 3.2 v chương I thì AC và AB là các nhóm con của G. Mặt khác, ( tính chất 3.2 vi) chương I ), ( do BC G, AC G, và BC AC ). Do đó Áp dụng định lý 2.3 với G thay bởi AC, H thay bởi BC , ta được và A /. Mặt khác . Thật vậy, vì . Lấy , suy ra a = bc với b B, c. Do đó . Suy ra Vì vậy Vậy AC/BC . Bài 8. Cho A và là toàn cấu . Chứng minh rằng Giải . Ta chỉ cần chứng minh f(A) Lấy . Do đó f là toàn cấu nên tồn tại sao cho y = f(x) Ta có yh = f(x)f(g) = f(xg) = f(gx) = f(g)f(x) = hy, Do đó . Vậy . Do đó Bài 9. a) Cho X là một nhóm giao hoán. Chứng minh rằng: Ánh xạ với k là một số nguyên cho trước, là một đồng cấu. Xác định Ker. b) Cho X là một nhóm. Ánh xạ là một đẳng cấu của nhóm X khi và chỉ khi X là nhóm Abel. Giải. a) Ta có ( vì X là nhóm Abel ) nên Kercấp x là ước của k b) Giả sử X là một nhóm Abel thì theo a) là một đồng cấu vì có cấp là ước của hay cấp x là ước của -1 Do đó là một đơn cấu, hơn nữa là một toàn cấu vì . Do đó là một đẳng cấu . Đảo lại, giả sử là một đẳng cấu, khi đó với mọi ta có Mặt khác suy ra hay ab = ba. Vậy X là một nhóm Abel. Bài 10. Chứng minh rằng có một đồng cấu duy nhất từ nhóm cộng các số hữu tỷ Q đến nhóm cộng các số nguyên Z. Từ đó suy ra nhóm cộng các số hữu tỷ Q không phải là một nhóm xiclic Giải. Giả sử f: Q Z là một đồng cấc từ nhóm cộng Q đến nhóm cộng Z. Nếu nghĩa là tồn tại một số hữu tỷ sao cho . Ta thấy rằng , từ đó. Vậy với mọi số nguyên , Giả sử n > 1, n Z và . Ta có với Như vậy n lại là ước của n1. Vô lý Vậy chỉ có một đồng cấu 0 từ nhóm cộng các số hữu tỷ Q và nhóm cộng các số nguyên Z, Q không đẳng cấu với Z nên Q không là một nhóm xiclic ( bài 3 ) Bài 11. Tìm tất cả các đồng cấu từ a) Z đến Z b) Z đến Z c) Một nhóm xiclic cấp n đến chính nó d) Một nhóm xiclic cấp n đến một nhóm xiclic vô hạn Giải. Ta có mỗi đồng cấu f : Zn Zm hoàn toàn được xác định bởi ( tức ) Theo bài 6 thì f là đồng cấu khi và chỉ khi . Bởi vậy ta có a) Mỗi đồng cấu f : Z6 Z18 hoàn toàn xác định bởi với và . Do đó k = 0, 3, 6, 9, 12, 15 nên có tất cả 6 đồng cấu f : Z6 Z18 đó là các đồng cấu xác định bởi: , b) Mỗi đồng cấu f : Z18 Z6 hoàn toàn xác định bởi với và . Do đó . Như vậy có 6 đồng cấu f : Z18 Z6 , đó là , , , , , c) Mỗi đồng cấu f : Zn Zn hoàn toàn xác định bởi với < n và . Do đó có tất cả n đồng cấu f : Zn Zn được xác định bởi: với d) Giả sử là đồng cấu nhóm và giả sử . Khi đó ta có . Vì b có cấp vô hạn nên nk = 0, suy ra k = 0 và do đó Vậy có duy nhất một đồng cấu từ nhóm xiclic hữu hạn và nhóm xiclic cấp vô hạn đó là đồng cấu tầm thường. Bài 12. a) Tìm Ker và (25) của đồng cấu Z Z7 biết b) Tìm Ker và (18) của đồng cấu Z Z10 . Biết c) Tìm Ker và của đồng cấu Z10 Z20 biết Giải. a) Z Z7, Ker={xZ|(x)=} ={xZ| x(1) = }= { xZ|=}={xZ| 4x7} = 7Z b) Z Z10 , Ker={xZ|(x)=}={xZ|x(1)= }={xZ| = }={xZ| 6x10} = 5Z c) Z10 Z20 , Ker={ Z10|() = } ={ Z10| x() = } = { Z10| = } = { Z10| 8x20} = { Z10| x5}= { , , } Bài 13. Cho G là nhóm hữu hạn sinh, G’ là nhóm bất kỳ và mỗi ánh xạ , trong đó S là tập sinh của G. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất đồng cấu sao cho . Ngược lại, nếu G là nhóm Abel và mỗi ánh xạ đều tồn tại sao cho thì G là nhóm sinh bởi tập S. Giải. Ta biết thì , với Z, i= Xây dựng tương ứng Nếu thì , với . Khi đó hay F(e)=e. Ta chứng minh F là ánh xạ. Thật vậy, với thì . Lấy a, b thuộc G thỏa a = b thì nên (1). Vì nên , với Z, i=, j = . Vì thế . Hay . Suy ra (2) Từ (1), (2) suy ra Hay . Vì thế F(a)=F(b). Với x,y bất kỳ thuộc G thì , với Z, i=, j = . Ta thấy . Vì thế F(ab) = F(a)F(b). Nên F là đồng cấu. Lấy x bất kỳ thuộc S thì nên . Vậy . Giả sử tồn tại đồng cấu thỏa g(x)=f(x), . Lấy thì Z, i=. Khi đó . Vì thế (vì g là đồng cấu). Nên F(a)=g(a), với mọi a thuộc G. Vậy F = g hay F là duy nhất. Ngược lại. Nếu G là nhóm Abel thì . Đặt . Xét ánh xạ Ta xét đồng cấu và toàn cấu chính tắc Ta thấy và đều là mở rộng của f. Do tính duy nhất của ánh xạ mở rộng nên . Suy ra . Nên . Do đó . Lấy g bất kỳ thuộc G thì hay . Vậy . Bài 14. Chứng minh rằng : a) Ảnh đồng cấu của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh. b)Nhóm thương của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh. Giải. a) Cho G là nhóm hữu hạn sinh với tập sinh là S, G’ là nhóm và là đồng cấu. Ta chứng minh = Imf. Thật vậy, Imf khác rỗng vì . Lấy bất kỳ thuộc Imf. Khi đó . Do đó . Nên Lấy y bất kỳ thuộc f(S) thì . Do đó , vì thế . Giả sử tồn tại chứa f(S) . Lấy y bất kỳ thuộc Imf thì tồn tại x thuộc G sao cho y = f(x). Vì nên , với Z, i=. Do đó và . Nên Imf. Vì thế . Vậy ảnh đồng cấu của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh. b) Cho G là nhóm, . Xét toàn cấu chính tắc Theo chứng minh trên thì Vậy nhóm thương của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh. Từ kết quả trên suy ra nếu G= và là toàn cấu nhóm thì G’=. Bài 15. Cho X là nhóm sinh bởi tập S với , Y là nhóm bất kỳ và là các đồng cấu nhóm. Chứng minh rằng f = g khi và chỉ khi với mọi Giải. Nếu f = g thì f(x) = g(x), . Do đó với mọi Nếu với mọi , ta phải chứng minh f = g. Thật vậy, với mọi x thuộc X ta có , Z, i=. Thế thì Nên , với . Vậy f = g Bài 16. Cho X là nhóm, Y là nhóm sinh bởi tập và đồng cấu nhóm . Chứng minh rằng f là toàn cấu khi và chỉ khi f là toàn ánh lên S’ Giải. Nếu là đồng cấu và là toàn ánh lên tập S’ thì với mỗi i= 1, 2, …, m luôn tồn tại để cho f(xi) = yi . Lấy y là phần tử bất kỳ thuộc Y, ta phải chứng minh tồn tại x thuộc X để cho f(x) = y. Vì nên . Chọn với xi thỏa f(xi) = yi; i = 1, 2,…,l. Hiển nhiên . Khi đó . Vậy f là toàn cấu . Nếu f là toàn cấu thì hiển nhiên f là toàn ánh lên tập S’ Bài 17. Cho Gi là nhóm, . Chứng minh rằng là nhóm hữu hạn sinh khi và chỉ khi Gi là nhóm hữu hạn sinh, . Giải. Cho là nhóm hữu hạn sinh. Xét phép chiếu chính tắc chỉ số i . Vì phép chiếu chính tắc là toàn cấu nên theo bài 14 thì Gi là nhóm hữu hạn sinh. Cho Gi là nhóm hữu hạn sinh, . Gọi , với . Ta chứng minh với Thật vậy, lấy x = (. Trong đó , nên , với Z, . Do đó . Vì thế x= Do vậy : Nên Do đó G = . Vậy =. D) MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1) Các phát biểu sau là đúng hay sai: a) Hay nhóm bất kỳ G, G, luôn tồn tại đồng cấu từ G và G,. b) Mọi đồng cấu nhóm là đơn cấu khi và chỉ khi hạt nhân của nó chỉ chứa phần tử đơn vị. c) Một đồng cấu nhóm có thể có hạt nhân là tập rỗng. d) Tồn tại duy nhất đồng cấu từ Z7 Z12. e) Có tất cả bốn đồng cấu từ Z3 Z12 f) Với X, Y là 2 nhóm xiclic cấp m, n tồn tại đẳng cấu nhóm từ X vào Y. g) Nhóm cộng các số hữu tỷ Q là một nhóm xiclic. h) Cho là đồng cấu nhóm, và X = . Khi đó f(x) có thể không là nhóm xiclic. 2) Cho G là nhóm và ( g1, g2 ) g1 g2 Chứng minh rằng f là đồng cấu nhóm khi và chỉ khi G là nhóm Abel. 3) Chứng minh rằng nếu A là một nhóm con chuẩn tắc của X thì tồn tại một song ánh từ tập hợp các nhóm con chuẩn tắc của X chứa A đến tập hợp các nhóm con chuẩn tắc của X/A. 4) Cho G là nhóm và . Chứng minh rằng G Z35 5) Cho là đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y và A là nhóm con của X. Chứng minh rằng , với . 6) Cho là đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y và . Chứng minh rằng CHƯƠNG IV. ĐỊNH LÝ LAGRANGE VÀ NHÓM GIẢI ĐƯỢC A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa Cho G là nhóm, H G, a G (i) Tập Ha ={ ha|hH } được gọi là lớp ghép phải của a đối với nhóm con H (ii) Tập aH ={ah| hH } được gọi là lớp ghép trái của a đối với nhóm con H Nhận xét. Cho G là nhóm, H G. Khi đó, mọi a G, ta có |aH| = |Ha| = |H| ( ở đây ta hiểu |aH| là lực lượng của tập aH ) 2. Định nghĩa Cho X là nhóm và H X, số các lớp ghép trái ( hoặc phải ) của x theo nhóm con H được gọi là chỉ số của H trong X, kí hiệu 3. Định lý Lagrange Giả sử H là nhóm con của nhóm hữu hạn X. Khi đó là ước của và = 4. Công thức lớp X là hữu hạn, khi đó: =+, Chú ý. Cho X là nhóm. Khi đó (i) Nếu H X thì =. , ( X tùy ý ) (ii) Nếu X- hữu hạn, HX thì = (iii) Nếu X- hữu hạn, khi đóx X, là ước của 5. Định nghĩa Giả sử X là nhóm, khi đó: (i) Nếu có số nguyên dương m sao cho xm =e thì m được gọi là số mũ của x. (ii) Số nguyên dương m được gọi là số mũ của nhóm X nếu m là số nguyên dương sao cho xm = e, mọi x thuộc X iii) Cho p là một số nguyên tố. Nhóm X được gọi là nhóm strictly p-closed nếu tồn tại duy nhất H là p-nhóm con Sylow của G và G/H là nhóm giao hoán với số mũ là ước của p-1 6. Mệnh đề Cấp của nhóm hữu hạn X là một số mũ của nó. 7. Định nghĩa Giả sử p là số nguyên tố, khi đó: (i) Nhóm H được gọi là p- nhóm nếu cấp của nó là một lũy thừa của p. (ii) Nhóm H được gọi là p- nhóm con của nhóm X nếu H X và H là p- nhóm. (iii) Nhóm H được gọi là p- nhóm con Sylow của nhóm X nếu H là p- nhóm con của X và H = pn là lũy thừa cao nhất của p chia hết 8. Tính chất. (i) Giả sử X là nhóm Abel, hữu hạn cấp m và p là số nguyên tố chia hết cho m. Khi đó X có chứa một nhóm con cấp p. (ii) ( Định lý Sylow 1 ) Giả sử X là nhóm hữu hạn, p là số nguyên tố chia hết cho . Khi đó luôn luôn tồn tại p- nhóm Sylow của X. (iii) ( Hệ quả Cauchy ) Nếu số nguyên tố p chia hết cấp của nhóm hữu hạn X thì trong X sẽ tồn tại phần tử cấp p. iv) ( Định lý Sylow 2 ) Giả sử X là nhóm hữu hạn và p là ước nguyên tố của . Khi đó: • Mọi p- nhóm con H của X đều nằm trong p-nhóm con Sylow nào đó của X • Nếu là p-nhóm con sylow của X chúng liên hợp với nhau, tức là x X sao cho P2 = x. P1. x-1 ( P1 =xP2x-1 ). • Nếu r là số các p- nhóm con Sylow của X thì r 1 ( mod p ), r v) Nếu = mpk ( m, p ) = 1, p nguyên tố, khi đó số p- nhóm con Sylow của X là ước của m. (vi) Nếu H là p- nhóm con Sylow cấp t duy nhất của X thì H X. (vii) Cho G là nhóm hữu hạn. Nếu G có đúng một p- nhóm con Sylow với mỗi p là ước nguyên tố của thì G là tích trực tiếp của các p- nhóm con Sylow của nó. 9. Định nghĩa. Cho dãy các nhóm con của nhóm G (*) sao cho . Dãy (*) được gọi là dãy chuẩn tắc của G và kí hiệu là Với (*) là dãy chuẩn tắc của G, khi đó i) Số n đựoc gọi là độ dài của chuỗi ii) Các được gọi là các số hạng của dãy iii) Các nhóm thương được gọi là các nhân tử của dãy 10. Định nghĩa. i) Dãy chuẩn tắc của G được gọi là dãy Abel nếu tất cả các nhân tử của dãy đều là nhóm giao hoán. ii) Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy xiclic nếu tất cả các nhân tử của dãy đều là nhóm xiclic iii) Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy hợp thành nếu tất cả các nhân tử của dãy đều là nhóm đơn. 11. Định nghĩa. i) Cho G là nhóm, H được gọi là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G nếu H<G và không tồn tại sao cho H được gọi là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G nếu H<G và không tồn tại sao cho ii) Một nhân tử cơ bản của nhóm G là nhóm thương H/K, với và H/K là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G/K iii) Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy cơ bản nếu tất cả các nhân tử của dãy đều là nhân tử cơ bản iv) Nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu G có một dãy Abel v) Cho G là nhóm, P là một tính chất nào đó của nhóm Một dãy poly-P là dãy chuẩn tắc của G mà tất cả các nhân tử của dãy đều có tính chất P Nhóm G được gọi là nhóm poly-p nếu nó có một dãy poly-P vi) G là nhóm giải được nếu nó là nhóm polyabelian vii) G là nhóm polyxylic nếu nó có một dãy polyxylic viii) Giả sử P, Q là các tính chất nào đó của nhóm. Nhóm G được gọi là nhóm P-by-Q nếu có sao cho N có tính chất P và G/N có tính chất Q Nhận xét. Tính chất P và Q của nhóm được bảo toàn qua phép đẳng cấu. Do đó tính chất của nhóm poly-P và nhóm P-by-Q được bảo toàn qua phép đẳng cấu. 12. Tính chất (i) Cho G là nhóm hữu hạn. Khi đó, G luôn có một dãy cơ bản. (ii) Cho G là nhóm giải được hữu hạn. Khi đó G có một dãy hợp thành với các nhân tử là nhóm có cấp nguyên tố. (iii) Nhóm con của nhóm giải được là nhóm giải được iv) Ảnh đồng cấu của nhóm giải được là nhóm giải được (v) Nhóm thương của nhóm giải được là nhóm giải được (vi) Cho X là nhóm và HX. Khi đó X giải được khi và chỉ khi H và X/H là nhóm giải được B) CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP Bài toán 1. Chứng minh nhóm X là giải được Phương pháp giải. Ta xây dựng một dãy các nhóm con của X X= XX X . . . X = sao cho dãy trên thỏa các tính chất (i) Mọi h Xi, mọi x Xi-1, ta có xhx-1 Xi hoặc x-1hx Xi (ii) Xi-1/ Xi là nhóm Abel, tức là mọi x, y Xi-1, ta có xyx-1y-1 Xi () Bài toán 2. Chứng minh nhóm X cấp n < là giải được Phương pháp giải. Cách 1. Sử dụng phương pháp của bài toán trên Cách 2. Tìm một mhóm con chuẩn tắc H của X sao cho (i) H là nhóm giải được (ii) X/H là nhóm giải được C) MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI Bài 1. Cho là một đồng cấu từ nhóm hữu hạn X đến nhóm hữu hạn Y. Chứng minh rằng: a) Cấp của chia hết cho cấp của f(a) b) Cấp của X chia hết cho cấp của f(X) Giải. a) Giả sử cấp của a là m, khi đó . Khi đó Vậy cấp của f(a) là ước của m. b) Do X hữu hạn nên cấp của X/Kerf bằng chỉ số của Kerf là một ước của cấp của X ( Định lý Lagrange ). Vậy cấp của f(X) là một ước của cấp của X. Bài 2. Chứng minh rằng mọi nhóm cấp nguyên tố đều là nhóm xiclic. Giải. Gọi X là nhóm có cấp là p ( p là số nguyên tố ) và x X\ , khi đó >1. Theo định lý Lagrange thì là ước của p. Do p nguyên tố nên = p, do đó X = . Vậy X là nhóm xiclic. Bài 3. Chứng minh rằng mọi nhóm cấp nhỏ hơn hoặc bằng 5 đều là nhóm Abel. Giải. Ta có mọi nhóm cấp 1,2,3,5 đều là nhóm Abel ( do 2,3,5 là các số nguyên tố nên mọi nhóm cấp 2,3,5 đều là nhóm xiclic do đó là nhóm Abel ). Ta chứng minh nếu = 4 thì X là nhóm Abel. Thật vậy nếu x X sao cho = 4 thì X là nhóm xiclic, do đó X là nhóm Abel. Nếu trong X không có phần tử nào cấp 4 tức là mọi x X, xe thì x2 = e. Do đó X là nhóm Abel. ( bài 12 chương I ) Bài 4. a) Cho X là nhóm hữu hạn, H X, K X. Chứng minh rằng = b) Chứng minh rằng mọi nhóm cấp 15 đều là nhóm Abel. Giải a) Ta có HK/K H/HK. Do đó = = = b) Giả sử = 15 = 3.5 Nên trong X tồn tại 3- nhóm con Sylow, Gọi r là số 3-nhóm con Sylow, ta có r = 1 Do đó tồn tại duy nhất 3- nhóm con Sylow H, = 3 H X. Tương tự trong X cũng tồn tại 5- nhóm con Sylow của X Nếu s là số 5- nhóm con Sylow của X thì Tồn tại duy nhất 5- nhóm con Sylow K, = 5 KX ( KHK ) Ta thấy HK = (1) Vì nếu > 1 = 3 ( đều này không thể vì HK H, HK K và = nên HK = H nên HK H K mà không là ước của ) Ta có = = 15 = Mặt khác HKX HK = X (2) Ta có H, K là nhóm xiclic ( có cấp nguyên tố ) và ( ,) = 1 nên HK = X là nhóm xyclic Vậy X là nhóm Abel Bài 5. Cho G là nhóm hữu hạn, HG. a) Chứng minh rằng nếu H, G/H là p- nhóm thì G là p- nhóm b)Chứng minh rằng nếu H là p- nhóm, G là p- nhóm thì G/H là p- nhóm Giải . a) Ta có = pk ( do G/H là p-nhóm ) = pk = pkpl = pk+l ( H là p- nhóm ) G là p- nhóm. b) Nếu G là p- nhóm, H là p- nhóm Ta có = pm = pn ( H G, m n ), p nguyên tố G/H là p- nhóm Bài 6. a) Chứng minh rằng nếu nhóm Xlà p- nhóm hữu hạn thì b) Chứng minh rằng mọi p- nhóm đều là nhóm giải được. Giải . a) Xét công thức lớp: Do , tức Do đó là nhóm con thực sự của nhóm X. Do X là p- nhóm nên là nhóm con thực sự của nhóm X nên là lũy thừa của p là một bội của p Do đó b) Gọi X là p- nhóm và với n là số tự nhiên. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n. Với n = 0, 1 n = 0 thì là nhóm Abel nên X là nhóm giải được với chuỗi giải được là X n = 1 thì X là nhóm xiclic nên X là nhóm Abel, do đó X là nhóm giải được Giả sử định lý đúng cho mọi nhóm cấp pk xét tâm giao hoán Z(X) của X . Theo định lý Lagrange thì tồn tại số tự nhiên r n để . Theo a thì Z(X) khác nên r0 Vì thế ( X hữu hạn, Z(X)X ) Do giả thuyết quy nạp nên X/Z(X) là nhóm giải được. Theo bài 4 thì X là nhóm giải được Bài 7. a) Chứng minh rằng nếu X không phải là nhóm Abel thì X/Z(X) không phải là nhóm xiclic. b) Chứng minh rằng mọi nhóm cấp p2 đều là nhóm Abel với p là số nguyên tố. Giải . a) Giả sử X/Z(X) là nhóm xiclic z0 X, X/Z(X) = Mọi x, y X, tồn tại k, m Z sao cho , . Suy ra tồn tại z1, z2 Z(X) sao cho x = zz1, y = zz2 Ta có = Do đó X là nhóm Abel Vậy nếu X không phải là nhóm Abel thì X/Z(X) không thể là nhóm xiclic b) Giả sử p là số nguyên tố Ta có là p- nhóm theo 6a) thì Z(G) {e}. Do đó hoặc Nếu Z(G) = p G/Z(G) là nhóm xiclic G là nhóm Abel 7a) Nếu là nhóm xiclic G là nhóm Abel Bài 8. Nếu nhóm X khác không có nhóm con chuẩn tắc nào ngoài X được gọi là nhóm đơn. Chứng minh rằng nhóm giải được là nhóm đơn khi và chỉ khi nó là nhóm giải được cấp nguyên tố. Giải. Giả sử X là nhóm đơn giải được với dãy Abel là: Không mất tính tổng quát giả sử với mọi i= Do , nhưng X là nhóm đơn và nên . Vì X giải được nên Abel. Do đó nếu H là nhóm con của X thì H cũng là nhóm con chuẩn tắc của X. Mà X chỉ có hai nhóm con chính tắc tầm thường và X nên X chỉ có hai nhóm con tầm thường. Thật vậy, nếu X có thêm một nhóm con khác X và là K thì K cũng là nhóm con chuẩn tắc của X trái giả thiết X là nhóm đơn. Theo bài 8 chương II thì X là nhóm xiclic cấp nguyên tố nên X là nhóm giải được cấp nguyên tố. Giả sử X là nhóm giải được cấp nguyên tố thì ; X chỉ có hai nhóm con X và nên X không có nhóm con chuẩn tắc nào ngoài X và . Do đó X là nhóm đơn. Vậy X là nhóm đơn giải được Bài 9. Chứng minh rằng H, K là nhóm giải được thì là nhóm giải được. Giải. H là nhóm giải được nên ta có chuỗi giải được: K là nhóm giải được nên ta có chuỗi giải được : Không mất tính tổng quát giả sử Ta chứng minh và là nhóm Abel Thật vậy, mọi , , với Vì H giải được nên K giải được nên Ta có Do đó Mọi Ta có Do H giải được nên ( ) K giải được nên ( ) Ta có Do đó là nhóm Abel Vậy là nhóm giải được Bài 10. a) Chứng minh rằng mọi nhóm cấp 6 đều giải được b) Hỏi mọi nhóm cấp pq với pq là các số nguyên tố có phải là nhóm giải được không ? Tại sao ? Giải . a) Trong X tồn tại 3-nhóm con Sylow Gọi r là số 3-nhóm con Sylow Trong X tồn tại duy nhất 3-nhóm con Sylow H do đó , Vậy H giải được, giải được do đó X giải được b) Với giải được. Không mất tính tổng quát giả sử p > q Khi đó theo định lý Sylow thì trong X tồn tại q – nhóm con Sylow Gọi r là số q – nhóm con Sylow Khi đó Tồn tại duy nhất q – nhóm con Sylow H nên , Nên H, X/H là nhóm giải được do đó X là nhóm giải được. Bài 11. Chứng minh rằng mọi cấp 30 đều giải được Giải. Ta có Trong X tồn tại 5-nhóm con Sylow Gọi r là số 5-nhóm con Sylow, theo định lý Sylow • r = 1, khi đó trong X tồn tại duy nhất 5-nhóm con Sylow H nên H giải được. Mặt khác = 6 X/H giải được Vậy X giải được • r = 6, khi đó trong X có 6 nhóm 5-nhóm con Sylow Tập hợp 6 nhóm 5-nhóm con Sylow có 25 phần tử (mỗi nhóm có 5 phần tử, trong mỗi nhóm đều có chung phần tử đơn vị và mỗi nhóm đều là nhóm xiclic ( do cấp nguyên tố ) nên ngoài phân tử đơn vị các phần tử ở mỗi nhóm là khác nhau nên bất kỳ 2 nhóm 5-nhóm con Sylow có chung một phần tử khác ngoài đơn vị thì chúng phải trùng nhau ) Do = 2.3.5 nên trong X tồn tại 3-nhóm con Sylow Gọi t là số 3- nhóm con Sylow Với t =10 loại do trong X không có đủ phần tử t = 1 Vậy tồn tại 3-nhóm con Sylow K trong X nên K giải được. Mặt khác, X/K giải được Vậy X/K giải được và K giải được nên X giải được Vậy mọi nhóm cấp 30 đều giải được . Bài 12. Chứng minh rằng mọi nhóm cấp pqr với p, q, r là các số nguyên tố r pq đều là nhóm giải được. Giải . Ta có Trong X tồn tại r –nhóm con Sylow Gọi a là số r –nhóm con Sylow. Do rpq nên a = 1 Trong X tồn tại duy nhất r-nhóm con Sylow H. Mặt khác Vậy H giải được, X/H giải được nên X giải được Vậy mọi nhóm cấp pqr ( p, q, r là số nguyên tố ), rpq đều là nhóm giải được. Bài 13. a)Chứng minh rằng mọi cấp 12 đều giải được. b) Chứng minh rằng mọi nhóm cấp 588 là nhóm giải được Giải . a) Giả sử Trong X tồn tại 3- nhóm con Sylow Gọi r là số 3- nhóm con Sylow, khi đó Trong X tồn tại duy nhất 3- nhóm con Sylow H nên H X và |H| = 3. Mặt khác |X/H| = Ta có giải được, nên X/H giải được. Do đó X giải được. b) Giả sử Trong X tồn tại 7-nhóm con Sylow Gọi r là số 7-nhóm con Sylow Tồn tại duy nhất 7-nhóm con Sylow H của X nên H giải được. Mặt khác giải được. Do đó X giải được Vậy mọi nhóm cấp 588 là nhóm giải được D. MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: a) Mọi nhóm cấp 9 đều giải được b) Mọi nhóm cấp nguyên tố đều giải được c) Mọi nhóm hữu hạn có cấp chia hết cho 5 đều chứa nhóm xiclic cấp 5 d) Cho G là nhóm cấp 8, trong G tồn tại nhóm con cấp 3 e) Mọi nhóm cấp 45 đều có chứa nhóm con chuẩn tắc cấp 9 f) Mọi nhóm cấp 27 đều có chứa phần tử cấp 3 2) Chứng minh rằng mọi nhóm cấp 28 đều giải được 3) Cho H, K là hai nhóm con giải được của nhóm X và Chứng minh rằng HK là nhóm giải được 4) Chứng minh rằng mọi nhóm cấp lẻ bé hơn 60 đều giải được 5) Chứng minh rằng Sn là nhóm giải được với n < 5 6) Chứng minh rằng Sn không là nhóm giải được với CHƯƠNG V. NHÓM LŨY LINH A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa Ta nói rằng nhóm con K chuẩn hóa H nếu Như vậy K chuẩn hóa H khi và chỉ khi 2. Định nghĩa Cho H là nhóm con của G, tâm của H trong G là CG(H) = { xG |xh = hx, mọi h H }= {x G| [x, h] = e, mọi h H } Ta nói nhóm con K tâm hoán H nếu Như vậy khi và chỉ khi 3. Tính chất (i) Nếu và thì khi và chỉ khi: (ii) Nếu và là đồng cấu thì f ([H, K]) = [f(H), f(K)] (iii) Cho G là một nhóm hữu hạn và . Nếu P là một nhóm con Sylow của H thì và là ước của (iv) Cho . Khi đó G/H là nhóm giao hoán khi và chỉ khi v) Nếu P là một p-nhóm con Sylow của một nhóm hữu hạn G thì NG(P) bằng chuẩn hóa của nó trong G 4. Định nghĩa Nhóm con đặc trưng của G được xác định bằng quy nạp như sau: , Nhận xét (i) (ii ) Từ và tính chất 3 (i) ta được 5. Định nghĩa Chuỗi tâm dưới ( hay chuỗi tâm giảm ) của G là chuỗi: 6. Định nghiã Tâm trên là nhóm con đặc trưng của G xác định bằng quy nạp như sau: Tức là nếu là đồng cấu tự nhiên thì là nghịch ảnh của tâm Ta có vì Suy ra hay 7. Định nghĩa (i) Chuỗi tâm trên ( hay chuỗi tâm tăng ) của G là chuỗi … Nếu không có gì nhầm lẫn ta có thể viết gọn lại thay cho và thay cho (ii) Chuỗi chuẩn tắc với và được gọi là chuỗi trung tâm. (iii) Nhóm con hoán tử trên của G được định nghĩa bằng quy nạp với mọi Với ta kí hiệu Ta có với mọi i Chuỗi được gọi là chuỗi dẫn xuất của G. 8. Tính chất (i) Cho G là nhóm. Nếu tồn tại c N sao cho thì: với mọi i và khi đó Ngược lại, nếu tồn tại c N sao cho thì với mọi i và . (ii) Chuỗi chuẩn tắc của G là chuỗi trung tâm khi và chỉ khi với mỗi i = 1,…, n. (iii) Nếu là chuỗi giải được thì với mọi iv) Nhóm G là nhóm giải được khi và chỉ khi tồn tại n N sao cho Nhận xét. Chuỗi dẫn xuất là chuỗi giải được khi và chỉ khi G là nhóm giải được. 9. Định nghĩa (i) Cho , nhóm con của M của G được gọi là nhóm con cực đại của G nếu và G không có nhóm con của H nào để . Nếu. G vô hạn thì G có thể không có nhóm con cực đại nào. Nhận xét. Cho, khi đó K là nhóm con cực đại của có cấp nguyên tố (ii) Cho G là nhóm. Nhóm con của Frattini của nó ký hiệu là được định nghĩa bằng giao của tất cả các nhóm con cực đại của G. Nếu một nhóm G (vô hạn ) không có nhóm con cực đại, ta định nghĩa 10. Định nghĩa Cho , A là một tập khác rỗng các tự đẳng cấu của G. H được gọi là A con bất biến nếu Nhận xét. Nếu A = 1, mọi nhóm con của G là bất biến Nếu H là một G nhóm con bất biến thì H được gọi là nhóm con đặc trưng của G, kí hiệu H char G. Vậy H char G nếu với tự đẳng cấu của G 11. Tính chất i) Nếu với mọi tự đẳng cấu thì H char G. ii) Nếu H char G thì iii) Cho , nếu , AutG thì H char G iv) Nếu H