Luận văn Một số hiệu úng cao tần gáy bởi trường sóng điện từ trong bán dan và plasm

với rn là véc tơ bán kính của điện tử thứ a. Li Xuất phát từ Hamiltonian (2.1), (2.2), sử dụng phương pháp Kubo- Mori và thực hiện tính toán, chúng tôi thu được hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu khi có mặt sóng điện từ mạnh khác được viết dưới dạng: GÌN I m ; (0 p,q k=±l l=-00 K W - I £ 2 x ( j f ( ã , q ) + J | ( ã , q ) J | _ 2 k s ( ã , q ) ô C 0 S Q ) . ỗ ( £ p + q - S p + in-keo), (2.3) với rip là hàm phân bố của điện tử; ã = (eF/mQ ) ; ỉf (z) là hàm Bessel đối số thực; ỗ(z) là hàm Delta; ô a p là ký hiệu hàm Kronecker Delta; s là các số n g u y ê n k h ổ n g â m (5=0,1,2,...). Chúng tôi giả thiết rằng AxDq « Ì ( t án xạ là đắng hướng và đàn hồi), hai sóng điện từ là phân cực thẳng có các tần số tương ứng thỏa mãn điều k i ê n T « c o ; n < s g (vớ i So là đ ô r ô n g v ù n g c ấ m ; Ằ là bước s ó n g c ủ a phonon). Lưu ý rằng các số hạng trong (2.3) ứng với co * sQ sẽ bằng không do sự có mặt của hàm S f f l s Q . Xét bài toán trong trường hợp đối số của hàm Bessel rất lớn so với một ( ẩ , q ) » l . Chuyển phép tính từ tổng sang tích phân [841: 45 00 nil ỵ J f ( x ) f ( Y + l Q ) = j f (Y + xQsin9)de ( v « j t » l ) , (2.4) | = -00 7 1 nil chúng ta nhận được biểu thức cho hệ số hấp thụ có dạng sau: a((0) = —— cN 4ní e ^ VIW(q)qĩ Vm ý co n p eftJ.a - 8 ãqO r ^ í dx. (ãqQ)2 - X 2 -]/2 p+q c p k=±] - ã q Q x ô ( £ p + q - Bp - k ( D + x) , (2.5) Chúng ta thực hiện phép thay thế Sp+q - S p bằng Sq trong công thức (2.5), điều này tương ứng với giả thiết là chuyển động nhiệt của các hạt tải nhỏ hơn rất nhiều dao động của chính nó trong trường sóng điện từ mạnh. Do đó chỉ số lấy tổng theo P có ý nghĩa như là số các điện tử lấp đầy, khi đó Ỵ^nỹ = n 0 ( n 0 là nồng độ hạt tải trong vùng dẫn). Điều này cho thấy hàm phân bố của điện tử không gây ảnh hương đến các tính toán sau này. Dưới đây chúng tôi quan tâm tới hai trường hợp giới hạn . 2.2. Anh hương của sóng điện từ mạnh lên hệ sô hấp thụ sóng điện từ yếu trong một sỏ trường hợp gởi hạn a. Trường hợp tham số £ 2 SE (2m*coQ /e F 2 ) » Ì Trong trường hợp này vì (X /co) - (ãq)Q/co) - (eF / V 2 m a ) Q ) « Ì nên hàm Delta có thể khai triển thành chuỗi với đối số X nhò : X 2 ỗ(8q -kco + x) wS(8q - k t D ) + x5'(£q - keo) + "(£q " M • ( 2 - 6 ) Thay (2.6) vào (2.5) và thực hiện lấy tích phân theo X chúng ta nhận được : a((o) = An 2 í - ^ c N * vm J n 0IW(q) co q SÃ Sq 5 ( s q - 0 i ) + ^ p - . ô » ( £ _ _ C 0 ) Ị , ( 2 . 7 ) Lưu ý quan trọng ở đây là do tần số lượng tử của sóng điện từ yếu nên trong công thức (2.7) chỉ có quá trình hấp thụ một photon là được tính 46 đến ( khi k= -Ì đối số của hàm Delta không bằng không). Thực hiện tính toán biểu thức (2.7) bằng cách chuyển từ tổng sang tích phân theo q. Trong gần đúng tuyến tính theo ự 2 (vì ị 2 » 1 nên ự 2 « 1 ) và trong trường hợp Ẽ||F ( với Ẽ là véc tơ sóng điện từ yếu), chúng ta nhận dược: a r ( o ) = a(r,(co » 8) 1 + — ( 3 - 2 r ) ( 2 - 2 r ) £ 10 b (2.8) ở đây ( X o ( c D » e ) là hệ số hấp thụ Frolich (khi vắng mặt sóng điện từ mạnh) trong vùng tần số lượng tử [95]: (Xọ (co » £ ) = 47Ĩ 2e z n 0 v r [ (2m G>ỵ 2] 2 l i - 2 r (2.9) c N 37ĨOT Từ (2.9) chúng ta có thể nhận thấy khi vắng mặt sóng điện từ mạnh cổ điển (F-^0.^ - 2—> 0), công thức (2.8) trở lại có dạng tương ứng với hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu (Xo trong vùng tần số lượng tử . b. Trường hợp tham sô 0< ự « 1 Trong trường hợp này, trong công thức (2.5), so sánh với đối số X, đối số keo là có thể bỏ qua. Sau khi tích phân theo X (với giả thiết Ẽ\\F) chúng ta có: a((0) = ^ í - ^ ì -Uo z W ( q ) [ ( ã q Q ) 2 - (é, Ý Ỵ ' 2 (2.10) c N V m ) co q £ q Từ (2.10) sau khi chuyển từ tổng sang tích phân và thực hiện tích phân, chúng ta thu nhận được biểu thức hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu lượng tử khi có mặt một sóng điện từ mạnh : a r ( o ) = OỈ((D > > 8 ) ^ 2 r _ 1 r ^ ) Z7I (2.1 ở đây: 47 2 r + 2 Jcb /4 * r ( § ) = 2 " - 6 r " jdx.x ( 1 - x 2 ) 1 7 2 +x 2 . a r ch 1 X (2.12) Lấy gần đúng arch (Ì / x ) « In 2 - ( x 2 /2) - In X (khi X < 1), từ (2.12) chúng ta nhận được: - Đối với trường hợp tán xạ điện tử - phonon âm : 0 Đối với trường hợp tán xạ điện tử - phonon quang: O 1 ( ^ ) « 0 , 9 8 - 2 1 n ^ > 0 Đối với trường hợp tán xạ điện tử- ion tạp chất : (2.13) (2.14) $2 (É) * T7+0 ,25 In2 ặ - 0, Ì In ạ - 0,23 > 0 (2.15) Các kết quả trên cho thấy, với các điều kiện nêu ớ trên hệ số hấp thụ sóng điện từ biên độ yếu (tần số lượng tử) trong trường hợp có mặt sóng điện từ mạnh (tần số cổ điển ) là không âm. Do đó, ít nhất là trong hai trường hợp giới hạn kế trên cho thấy không thể có sự gia tăng sóng điện từ yếu bằng một sóng điện từ mạnh khác. Kết luận chung rút ra ở đây là dưới ảnh hướng của quá trình hấp thụ nhiều photon, hệ số hấp thụ sóng điện từ biên độ yếu (tần số lượng tử) khi có mặt sóng điện từ mạnh (tần số cổ điển ) là không âm. Nghĩa là không thể gia tăng sóng điện từ yếu bằng một sóng điện từ mạnh đối với các bán dẫn có vùng dẫn rộng. 48 CHƯƠNG 3 KÍCH THÍCH THAM s ố CÁC MẬT ĐỘ SÓNG TRONG PLASMA BÁN DẪN ĐIỆN TỬ-LỖ TRỐNG BỚI TRƯỜNG BỨC XẠ ĐIỆN TỪ Cùng với sự phát triển các nguồn bức xạ mạnh với sóng cực ngắn trong phổ hồng ngoại và quang học, các bài toán về tương tác phi tuyến của bức xạ điện từ với vật chất đã được quan tâm cả về lý thuyết cùng như thực nghiệm [88]. Một trong các hướng được quan tâm nhiều là bài toán kích thích tham số mật độ sóng bởi bức xạ điện từ trong plasma thể khí và trong plasma bán dẫn. Như chúng ta biết, khi có sự hiện diện của bức xạ điện từ ngoài, khí điện tử trở lên linh động. Do đó, sẽ làm xuất hiện các điều kiện tương tác tham số và biến đổi tham số của một số loại kích thích, chẳng hạn như: p h o n o n « p h o n o n , plasmon plasmon hoặc kích thích khác loại như plasmone> phonon. Các kết quả trong [87] đã chỉ ra, sẽ có một quá trình trao đổi năng lượng giữa các kích thích này. Những năm gần đây, đã có nhiều tính toán về bài toán kích thích tham số trong gần đúng lượng tử [35]. về tương tác tham số và biến đổi tham số của các phonon âm và phonon quang trong bán dẫn khối đã được quan tâm trong [35]. Tương tác tham số và biến đổi tham số của các plasmon trong plasma bán dẫn hệ điện tử-Iỗ trống đã được nghiên cứu trong [93]. Tương tác tham số và biến đổi tham số của các plasmon và các phonon trong plasma bán dẫn điện tử-phonon đã được nghiên cứu trong [921. Tiếp nối ý tưởng của các bài toán nêu ớ trên, trong chương này chúng tôi nghiên cứu bài toán vật lý về các kích thích tham số mật độ thăng giáng phonon-điện tử-lỗ trống bởi trường bức xạ sóng điện từ. Trong mục 3.1 49 chúng tôi sẽ tiến hành thiết lập và tính toán các phương trình động cho hệ phonon-điện tử-lổ trống được kích thích bởi trường bức xạ sóng điện từ. Trong mục 3.2 chúng tôi dành cho việc trình bày về sự cộng hướng tham số và các điều kiện gia tăng tham số. Sự biến đổi tham số và các nhận xét được trình bày trong mục 3.3. 3.1. Phương trình động lượng tủ cho hệ điện tử-lỏ trông-phonon Hamiltonian H của hệ điện tử-lỗ trống-phonon trong plasma bán dần điện tử-lỗ trống khi có sự hiện diện của bức xạ điện từ được viết dưới dạng sau: H = ì ì —^— [p - f Ẵ ( t ) ] 2 a | p a JP + ỵ C 0 q b í b c ì + j p j q Ì + y y C ; s a i . ĩ* (ba + b+-) + - Y y i ^ a t - a w j a ^ a a n n Ẩ^ầẨ^ầ jq jp+q JP^ q - q ' 2 ^ Ã jp + c l J P - ^ JP J P ' ^ ' 1 ^ j M j j f t ? » q ở đây O Ì , J = 47iejej' / q 2 mô tả thế tương tác; j , j ' là các trạng thái của các điện tử (e) hoặc lỗ trống (h); C j q l a hệ số tương tác điện tử-phonon hoặc hệ số tương tác l ỗ trống-phonon ; COq là tần số chưa chuẩn hóa của các phonon (ph); tri: là khối lượng hiệu dụng của điện tử hoặc của lỗ trống; a|p và a jp tương ứng là toán tử sinh và toán tử hủy điện tử hoặc lỗ trống với véc tơ xung lượng P; Thế véc tơ Ã(t) ứng với bức xạ điện từ ngoài được mô tả bởi công thức : Ì ỠÃ F(t) = Fsin(Qt) = - - — (Trong hê đơn vị h = ỉ). (3.2) c ổt Dưới đây chúng ta định nghĩa hàm phân bố lượng tử tổng quát : 50 f(j)p+q,p(0-( ajp ajp+q) t B a ( t W b a ) : B i a ( t W b i a (3.3) ' " t • * - ' t j ở đây ký hiệu , có ý nghĩa như việc lấy trung bình thống kê cho tất cả các điện tử, lỗ trống và phonon như nhau. Từ Hamiltonian (3.1) chúng tôi nhận được phương trình chuyển động theo hàm phân bố lượng tử tổng quát được viết dưới dạng sau: (í £ + E(e)p - s ( e )p+q ) f (e)p+q,p (t) = - ^ C O S ( Q t ) f ( e ) p + q 5 p (t) + + ( f ( ° e ) p - f ( °e )p + q Á® q [n q CO" N JJ (t)]+ c ( e ) q 1 ^ ( 0 + BÍj j (t)] ,(3.4) ổ —* F E ( h ) p - £ ( h ) p + q ) f ( h ) p + q , p ( t ) = - ^ ^ - C O S Í Q t ) x X f(h)p + q.p (0+ (f(h)p - f(°h)p + q ) { ° q [ n q ( 0 " N q (t)]+ C(h)q X B 5 ( t )+B+- ( t ) (3.5) i ^ B q ( t ) = ( O q B c i ( t ) + C ( e ) _ q n q ( t ) + C ( h ) _ q N q ( t ) , (3.6) i | - B Í q ( t ) = - < D q B Í q ( t ) - C ( e ) _ q n 5 ( t ) - C ( h ) _ q N q ( t ) , (3.7) ở đây 8(j)p = p / 2rrij là năng lượng của điện tử ( j = e) hoặc nâng lượng của l ỗ trống ( j = h) ; ÍQP là hàm phân bố của điện tử ( j = e) hoặc của lỗ 2 2 trống ( j = h) ở trạng thái cân bằng ; O q = 47te / q ; Hàm phân bố của điện tử riq(t) và của lỗ trống Nq(t) ờ trạng thái cân bằng được viết dưới dạng: nq(t)= Ị f (e)p '+q,p ' ( t ) ỉ N q (t)= X f(h)p'+q,p'(t), (3.8) 51 Chúng ta sử dụng các hàm mới ĩ ĩq ( t ) , N q ( t ) , f(e)p'+q p ' ( t ) và ( 0 được định nghĩa như sau: f (e)p'+q,p'(0= f ( e )p + q,p(t)exp [( - ĩ A. e ) sin( a t ) ] ; 5 q 0 ) = n q 0 ) e x P [( ĩ * e ) sin( Ó t ) ] ; f(h)p'+q,p'(0= f(h)p + q,p(O e xP [ ( - i ^ h ) s i n ( fit)]; N q (t ) = N q- (t )exp [(ỈX h ) sin( ( í t ) ] (với A . ( E h ) = (eqF) / m ( e h ) Q 2 ) . Thực hiện phép biến đổi Fourier, từ các phương trình chuyển động (3.4)-(3.7) chúng ta nhận được biểu thức: K^ e ) ( (0 + ể Q ) n q ( c o + m)+ CpqFI (-e)((0 + ^ Q ) x X ì J f ' - Í • (- a > q ( m + r a ) / '=-00 = fi^c^n^iu + in) ỵje-t(K)Q-M + t'n), (3.9) í =-00 K [ j h } (ro + ỂQ ) N 5 (co + ể Q ) + a> 5 n (-h) (co + in ) (h) ì q X ỵ J r _ ể o > q - ( C 0 + ro)= -00 ự 2 c O q C ( h ) q n ( h ) ( c o + ểQ) l J r - / ( - X h ) Q ạ ( a » + / ' n ) , ( 3 . l O ) ^ =—00 QẶ(ù + m)=yl2^DẶ(ù + iQ) c - X J r _ ể ( - Ầ e ) i q ( c o + r Q ) + 00 é"=-00 00 + c ( h ) q ZJf^(^h)Nq(cO + fQ) f = - 0 0 (3.11) 52 ởđây ní j )(ffi)= ỵ f (o) _ f (ó) ( j ) p + q x ( j ) p p w ( j ) p + q " ° ( j ) p - 8 CO — l ô , (5->0) , K«>((D)=I-4>,n<B(o) , Dg(co)= (co + i ỗ ) 2 - CO? Q , ()= keo, )->2 Ba(o>)-B+ (co) , (3.12a) (3.12b) (3.12c) (3.12d) với ĩiq(cù), N ạ (co), Bq (co), B*-(o>) tương ứng là các thành phần Fourier của các hàm Hq(t), Nq(t), Bq(t), B i ( t ) ; X = Xe + A , h ; Jê(x) là hàm Bessel loại một. Chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng, từ các kết quả trên, nếu như bỏ qua các phonon, các hàm (3.9)-(3.11) trở về các hàm trong [93] cho trường hợp hệ điện tử-lỗ trống. Còn trong trường hợp bỏ qua các lỗ trống, các hàm (3.9)-(3.11) trở về các hàm trong [92] cho trường hợp hệ điện tử-phonon. 3.2. Cộng hưởng tham s ỏ Bước đầu đã có thể rút ra nhiều thông tin lý thú, ỏ đây chúng tôi muốn bàn luận trong trường hợp bức xạ điện từ ngoài F(t) kích thích ỏ hai mode: phonon và plasmon. Giải các phương trình (3.9)-(3.li) cho trường hợp co và ((ứ-ũ) tương ứng là các tần số trong vùng lân cận của các tần số phonon quang và plasma, chúng tôi nhận được phương trình tán sắc phi tuyến dưới đây: 2 r ( h ) + 1 co 2OJ <D DM > X X ỊK (e>(o> - a ) - (rị (Xe)+ J? (Xe ))(i - K - ữ )) X 53 r (h) 1 t o - n + 2co r(h) + CO x 2co, 0 - q D a (co - Q ) + J ( Â e ) ( K ^ ( o , - Q ) - K ( c o ) ) x 2 - D a (co) p(h) , ^ 0 1 C O - Q + " 0^ q 2 - D g (co-Q) = 0, (3.13) ở đây •(h) _ Cũ Kf>w (3.14) C D 0 là tần số chưa chuẩn hóa của các phonon quang, tương tác lỗ trống- phonon (h-ph) coi nhỏ hơn rất nhiều so với các tương tác khấc (e-e, e-h, h- h, e-ph) và khối lượng của điện tử là nhỏ hơn rất nhiều khối lượng của lỗ trống ( m e « m h , m e =m*). Trong trường hợp khí điện tử suy biến và giới hạn ở bước sóng dài, phương trình tán sắc (3.13) được viết dưới dạng đại số như sau: ( c o 2 - ® l \ ( ờ 2 -(Ù2_ị((ò-Q)2-Cùi ( c o - Q ) 2 - ( ú i - j f ^ e J t o ^ X í 2 2 \\. 2 5 X + co (h) = 0 (3.15) ở đây các tần số tái chuẩn hóa của phonon quang C Q + và của các plasmon co_ được viết dưới dạng: co ỉ = I[<oo2 + (<l! + <» l p" l 2 )] ± M<»»-(»p e , 2 + co < h 1 2 ,1 ì X -Ì Ì + 4 co ( p e > 2 ((Ọ ị X + Ọ • 6 V ỉ q 2 ) Ì / 2 [co ị - ((co (e )2 CO (h ) 2 I (3.16) với X = ( l - X o e / X o ) ' t r o n ễ đ ó Xo v à Xoo tương ứng là hằng số điện môi tĩnh và hằng số điện mỏi cao tần;v f là vận tốc Fermi; w ( p e ) và 0)p h ) tương 54 ứng là tần sổ chưa chuẩn hóa của điện tử và tần số plasma chưa chuẩn hóa của lỗ trống . Khi điều kiện cộng hưởng tham số được thỏa mãn (co+ + co_ = Q), tương tác tham số của hai mode trên với các tần số 0) và leo - ill ị tương ứng là các tần số trong vùng lân cận tần số tái chuẩn hóa của phonon quang co+ và của plasmon co_). V ớ i điều kiện cộng hưởng ( ( 0 + +co_ =Q), từ phương trình tán sắc (3.15) chúng tôi thu được điều kiện gia tăng tham số: khi F>F t h (cho trường hợp q // F) được viết dưới dạng: 1/2 Ì e q F t h J / 2 , < D P (e) ( M - ) 1/2 (3.17) 4 s^7 2 m e (co+ + co_) (co+co_ y ở đây các đại lượng & + và ờ_ tương ứng là các tần số va chạm của phonon quang và của plasmon. Dễ dàng nhạn thấy nếu bỏ qua các lỗ trống co;;" --> ó), từ công thức (3.17) chúng ta nhận được công thức tương ứng ,(h) p trong [92] cho hệ điện tử-phonon 3.3. Sự biến đổi tham sô và các nhận xét Sử dụng biểu thức cho Qq(co + ^Q) từ các công thức (3.9), (3.11) chúng ta tìm được mối liên hệ giữa các hàm nq(co) và Nq(co) theo công thức dưới đây: K < e ) (co + m)n 5 (co + in)+<D q n l e ) (co + ta) ỵ ỉ Ị_t. ( - X )N q (co + nì)= r = - 0 0 = 2c0q c n f ( p + £ù) X J , _ r ( - ^ e ) D q ( c O + f Q ) ể' = -00 X X -í X i (-Xe)na(o)+ / ' « ) + ĨJr-f (^h)Nq(co + rQ) . (3.18) r = - 0 0 55 Nếu như xảy ra sự khuyếch đại dao động với tần số plasma co = co ( e ) đã biết, thì từ công thức (3.18), sẽ có sự khuyếch đại dao động với tần sổ trong vùng lân cận tần số của phonon quang được mô tả bởi biểu thức sau: 2co, X J , (X , )J 0 (X h )D -q (co ( p e) ) - o q n + í Q ) J,(X)]Ng(a>$ | K ^ ( C O ^ + £ Q ) - 2 C O C q X q V p ' " Ỵ U ^ e r q r p 1 ' - " / J • (3.19) Sử dụng công thức cho hệ số biến đổi plasmon thành phonon quang trong [81]: ' (e) a n q l < ° p ' + ể Q ) (3.20) từ công thức (3.19) khi xét trường hợp Ề = Ì và trong trường hợp thỏa mãn điều kiện cộng hưởng, chúng tôi nhận được : ót = (ừ (e)2 x + l e ( ừ ị x co ( D e ) 2 +coẵ GO X X < e » 2 x Ị ,(3.21) ớ đây đại lượng A được định nghĩa như sau: Cũ (e) + Q | - W 0 = A « c o Ị , e ) , c o 5 =co 0 + C 0 p ' - x (e)2 (3.22) (Trong công thức (3.22) đại lượng w 0 là tần số tái chuẩn hóa của phonon quang). 56 Tiến hành đánh giá số : với co ( p e ) - 5 . 1 0 1 2 s"1 ; Xao -12.8; c o 0 ~ Q ~ 3.101 3 s'; m h » m e ~ 1 0 2 8 g; q~106 em 1 ; F~10 4 v/cm (cho GaAs) chúng ta nhận được a « Ì . Như vậy trong chương này chúng tôi đã quan tâm tới một cơ chế tham số phi tuyến dùng để kích thích mật độ sóng trong plasma bán dẫn điện tử-lỗ trống cho cặp hai mốt phonon và plasmon. Kết quả là chúng ta đã nhận được các điều kiện xuất hiện sự không ổn định trường ngưỡng và hệ số biến đổi plasmon thành phonon trong các điều kiện cộng hưởng cụ thế liên quan đến các tần số. Chúng ta cũng muốn lưu ý rằng phương trình động lượng tử cho các phonon, điện tử và các lỗ trống dưới tác động của bức xạ điện từ (3.4)-(3.7), biểu thức cho trường ngưỡng (3.17) và biểu thức cho hệ số biến đổi (3.21) lần đầu tiên được thu nhận. Trong trường hợp hệ tương tác vắng mặt các lỗ trống , từ các công thức (3.4)-(3.7),(3.17) sẽ thu lại các công thức tương ứng trong [92] cho hệ điện tử-phonon. 57 CHƯƠNG 4 GIA TẢNG PHONON ÂM TRONG H ố LƯỢNG TỬ BÁN D Ẫ N Sự gia tăng phonon âm bởi hấp thụ năng lượng trường laser trong bán dẫn khối đã được nghiên cứu đầy đủ trong các công trình [2] [3] [10], [19], [33], [51]. Lý do chính ở đây là nó có thể ứng dụng trong thục nghiệm về hấp thụ nội vùng, nên nghiên cứu bài toán này về mặt lý thuyết có ý nghĩa thực tiễn rất to lớn. V ớ i sự phát triển của kỹ thuật thực nghiệm hiện đại, việc chế tạo các hố lượng tử bán dẫn và siêu mạng bán dẫn hoàn toàn có thể thục hiện được. Đương nhiên sự gia tăng phonon bới hấp thụ năng lượng trường laser trong các cấu trúc giam cầm như vậy sẽ làm xuất hiện các đặc trưng cho hệ điện tử- photon-phonon trong các cấu trúc thấp chiều tương tự. Gần đây, có nhiều nghiên cứu về sự gia tăng phonon âm và phonon quang bởi sự hấp thụ năng lượng trường laser trong bán dần khối [2J, [3J, [10], [39] và trong siêu mạng bán dẫn [83]. Trong [97], Peiji Zhao đã nghiên cứu sự gia tăng mật độ phonon quang bới trường laser mạnh trong hố lượng tử bán dẫn. Tuy nhiên trong [971 lại bỏ qua bài toán gia tăng mật độ phonon âm trong hố lượng tử bán dẫn bởi trường laser. Vì vậy trong chương này, trong mục 4.1, trên cơ sỏ phương trình động lượng tử cho hệ điện tử- phonon của hố lượng tử bán dẫn chúng tôi nghiên cứu về mặt lý thuyết sự gia tăng phonon âm bởi sóng laser trong hố lượng tử bán dẫn với các quá trình hấp thụ một photon và hấp thụ nhiều photon. Bài toán vật lý trên cũng được mở rộng khi xét tới ảnh hưởng của từ trường ngoài lên hệ số hấp thụ phonon âm được trình bày trong mục 4.2. Qua tính toán, chúng tôi đã thu nhận được các biểu thức cho hệ số gia tăng phonon âm và điều kiện gia tăng phonon âm cho một số trường hợp giới hạn và bước đầu đánh giá và bàn luận kết quả thu được khi so sánh với kết quả của bài toán tương tự 58 trong bán dẫn thông thường. Các kết quả chính của chương này là đã chỉ ra ứng với mỗi một quá trình hấp thụ một photon hoặc quá trình hấp thụ nhiều photon trong trường laser, sự gia tăng mật độ phonon âm xảy ra với các điều kiện xác định tương ứng. 4.1. Gia tăng phonon âm trong hô lượng tử bán dẫn khi không có từ trường 4.1.1. Phương trình động lượng tử cho phonon Hamiltonian của hệ điện tử-phonon trong hố lượng tử bán dẫn với sự hiện diện của một sóng laser có phương tàng Ẽ 0 S i n ( f i t ) được viết dưới dạng: H ( t ) = ỵ £n k / 7 , n k - ^ Ă ( t ) 2 c a i a r + y c O n b n b n + Y c n X k//,n k//,n 4^ q q q iLé q q k y / , q ,n ,n x i n n ' ( q z ) a í - a r . ( b ạ + b ! q ) , (4.1) k ỊỊ + q ỊỊ, n K / / í n M H ở đây a i và an ( b í và ba) tương ứng là các toán tử sinh và hủy các điên tử (phonon); k là véc tơ sóng của điện tử; kịị (k/2/ = + ky là véc tơ sóng của điện tử trong mặt phảng (xy); C0q là năng lượng của phonon với véc tơ sóng q {ti = Ì ) ; Cq là một hằng số, đối với tán xạ điện tử - phonon âm có dạng | c - | 2 =(ị2n/2Qv )q [31], [80]; v s là vận tốc âm; Q là mật độ của tinh thể; ị là thế biến dạng; Ã(t) là thế véc tơ của trường laser _ Ị dẤ(t) = g s i n G ) t . là những giá trị rời rạc theo chỉ số n : k" = n7ĩ/L c dt ( L là độ rộng của hố thế , n=l,2,. . .); 59 In',n(q2) = ^ío L sin(k 2 n z)sin(k^z)e^ z d2 . (4.2a) Phổ năng lượng của điện tử trong hố lượng tử bán dẫn có dạng: -ti ri 2 , / / T A2I_ # 2 1 2 2 fc2TC2 8 k , , n = ' J k / / + ( ™ / L ) ]= k 7 / + s 0 n - s e 0 = ' (4.2b) 2m 2m 2m L Xuất phát từ (4.1) và thực hiện tính toán, chúng tôi thu nhận được phương trình động lượng tử cho các phonon trong hố lượng tử bán dẫn khi có mặt sóng laser được viết dưới dạng: ỡ bq 00 2 2 at q q / t r _ , _ q n ' n V M z / v k//.,n k / / -q / / , iT ' 00 X -00 o / í bq exp ị (B R / / 5 n -£ ỉ / / _- / / ? n ) ( t 1 - t ) - i^Qt 1 +isQt } j^(ãq )J s (ãq)dt 1 , (4 .3) ở đây ký hiệu X là trung bình lấy theo tất cả các trạng thái của toán tử x; ĩir là hàm phân bố của điện tử ; ã = (eẼ 0 /m e Q 2 );J,.(z) là hàm Bessel với đối số thực; 4.1.2. Sự gia tăng phonon âm trong hố lượng tử bán dẩn trong quá trình hấp thụ một photon Sử dụng phép biến đổi Fourier từ phương trình (4.3) chúng ta tìm đươc biểu thức sau: 00 co 2 2 (co-Qq)B q -(o3)= I I Cq I „ ' , n ( q z ) J t (ãq )J s (ãq) X X riq (co + £Q)Bq (co - en + SŨ.), (4.4) n k . . - q . . , n - n k , n ' trong đó: + t ĩ ì ) = ỵ — r r ^ I ' ( ô ^ + 0 ) ( 4 - 5 ) Trong trường hợp í - s từ phương trình (4.4) chúng ta thu nhận 60 được phương trình tán sắc : 00 0 í - C 0 q = X ỵ Cq I„ . n (q z ) )7(ảq)ĩĩs((ù + £Q) (4.6) n,n' ể = - 0 0 và thu nhận được hệ số hấp thụ phonon âm có dạng: n,n 'k ; / ể=-00 v,n(q z ) J ể ( ã q ) x V ( n , - , - n , - ) ô ( s k / / ,n k - . - n . . n / V P ỉh» • V Z - Q / / ' ' 1 ' " k//-q//>n k//> n ' ~ q BỂ., n - ^ õ - ^ ) (4.7) trong đó ký hiệu S(x) là hàm Delta Dirac . Trước tiên chúng ta quan tâm trường hợp đơn giản khi xét (' = Ì, điều này tương ứng với quá trình hấp thụ một photon và giả thiết rằng đối số của hàm Bessel là rất nhỏ so với Ì ( ( ã q ) = Ầ / Q « l ). Khi đó từ phương trình (4.7) hệ số hấp thụ phonon âm trong trường hợp này được viết dưới dạng: Ot(q)= Tí £ X C q V n U z ) n.n'k// v 2 Q y X (ĩir f - n r - ) ô (ép - —Br t — tưti — ũ ) (4.8) Để tính tổng trong (4.8), chúng ta chuyển từ tổng sang tích phân theo kỵ/. Kết quả là hệ số hấp thụ phonon âm trong quá trình hấp thụ một photon cho khí điện tử không suy biến được viết dưới dạng; VỚI a(q) = £ n,n' A„,n '(q) = I n ' , n (q z ) ^ ] [ A n i n . ( q ) - B n > n . ( q ) ] , (4.9) (2ny (* * 3Y / 2 £-*Ị(kL+4> (4.10) 61 B„.„.(q) = 1/2 (271) 8m Ml. n 0 e 2m L e P A „ , „ ' ( q ) 5 ( 4 1 1 ) 2 2 An,n'(q) = - ^ T 7 T ( n ' 2 - " 2 ) + ^ + 0 ^ + Q 2m L 2m k„ ; „ = m Vn'(q) mm q// (4.12) (4.13) ở đây n 0 là mật độ điện tử ; p = l / k B T . Từ công thức (4.9) chúng ta có thể nhận thấy rằng, hệ số hấp thụ sẽ nhận giá trị âm <x(q) < 0 nếu điều kiện sau được thỏa mãn: An,n'(q)<Bn,n'(q) . (4.14) Điều này có ý nghĩa quan trọng là chúng ta đã nhận được hệ số gia tầng phonon âm bởi sóng laser trong hố lượng tử bán dẫn. 4.1.3. Sự gia tăng phonon âm trong hô lượng tử bán dẩn trong quá trình hấp thụ nhiều photon Từ phương trình (4.7) chúng ta nhận được: I n \ n ( q z ) 2 I J ? ( * / 0 ) x c f = -ao a(q) = n X n ,n x Z { n n ( k ) 5 ( e n ( k ) - s n . ( k + q) + 0 ) ( q ) - ể n ) - n „ . ( k ) x k x ô ( e n . ( k ) - e n ( k - q ) - © ( q ) - « ỉ ) . (4.15) Trong trường hợp hấp thụ nhiều photon, tương ứng với tham số Xia > Ì, chúng tôi sử dụng công thức biến đổi trong [79]: +CO •00 B(l2 -tị) nẬ2 -si (4.16) 62 trong đ ó : s + = s n ( k ) - s n . ( k + q) + co(q), e_ =s n - (k ) - s n (k -q) -oo(q) , Ì khi z>0 0 khi z < 0 ' và chúng ta nhận được biểu thức hệ số hấp thụ có dạng sau: e(z)= a(q)=x C; nai h\n(<ỉzị ỉ* k n n ( k ) - r = = z - n n . ( k ) (4.17) VÃ? - sỉ Thực hiện phép tính chuyển từ tổng trong (4.17) sang phép tính tích phân theo k, chúng ta thu được biểu thức giải tích dưới đây cho hệ số hấp thụ phonon âm bơi sóng laser cho quá trình hấp thụ nhiều photon : a(q) = n 0 \l/2 Ti 3 2 Z C q In',n(qz) e k T X run t ? r « + i/2) X > to V- f X V _ exp An,n' + J m 2^2q^kT ^ 2 + ( A „ V + C ù ( q ) ) } ni Ả ^ 2 q ỉ k T (An,n' +»(q)) xexp trong đó m 2 2 2/rq,kT v A n . n ' -G>(q), x.2+ An,n--0)(q) m Ả /22q^kT A n , n - = 6 0 ( n 2 - n ' 2 ) 1 (A . -©(q)) , (4.18) (4.19) 2m 4.1.4. Tính toán sô và nhận xét Chúng tôi tiến hành đánh giá số và vẽ đồ thị biểu thức giải tích (4.9) cho quá trình hấp thụ một photon (hình 6) và biểu thức giải tích (4.18) cho quá trình hấp thụ nhiều photon (hình 7). Hệ số hấp thụ phonon âm được vẽ đồ thị như là một hàm của năng lượng sóng laser Kì (từ Ì đến 5 meV) và năng lượng của phonon âm TicOq (từ 20 đến 100 meV). Từ đồ thị chúng ta 63 có thể nhận thấy: - Đối với quá trình hấp thụ một photon : trong vùng năng lượng khảo sát chúng ta nhận được hệ số gia tăng phonon âm <x(q) < 0 . - Đối với quá trình hấp thụ nhiều photon: trong vùng nâng lượng kháo sát chúng ta có thể nhận được hệ số gia tăng phonon âm cc(q) < 0 hoặc hệ số hấp thụ phonon âm ot(q) > 0 . Energy of L W rneV u 20 Energy of phonon meV Hình 6: Sự phụ thuộc của hệ số hấp thụ ct(q) vào năng lượng h co q và hũ. trong trường hợp hấp thụ một photon . Chúng ta có thể nhận thấy rằng sự phụ thuộc của hệ số gia tâng phonon âm vào năng lượng sóng laser HQ và năng lượng của pho