MỤC LỤC
Trang
Mở đầu. .1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. .5
1.1. Miền xấp xỉ. .5
1.2. Tập đa cực. .9
1.3. Hàm cực trị tương đối. .9
1.4. Độ đo đa điều hoà dưới. .10
1.5. Ánh xạ chỉnh hình tách.11
1.6. Tính chất thác triển Hartogs. .14
1.7. Lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý của Rosay trên các đĩa
chỉnh hình. . .15
Chương 2. Một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình tách
biến. .17
2.1. Dạng tổng quát của định lý Alehyane - Zeriehi trong trường hợp, A D B G. .17
2.2 Bài toán 1 trong trường hợp, A D B G. .23
2.3. Bài toán 1 trong trường hợp tổng quát. .36
2.4. Bài toán 2. .51
2.5. Một số áp dụng. . 55
Kết luận . .58
Tài liệu tham khảo. . .59
66 trang |
Chia sẻ: maiphuongdc | Lượt xem: 1343 | Lượt tải: 3
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Một số kết quả nghiên cứu gần đây về các ánh xạ chỉnh hình tách biến, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ạ duy
nhất ( ( , ; , ), )Î ÇXOa a af A U B U G Zsao cho
( , ) ( , ) ( , ), a af z w f z w f z w( , ) ( , ; , )
Î Ç Ç ÇX a az w A A U B B U G
(2.5)
Cho 1
0
2
<
, từ (2.4) và (2.5) ta có thể dán họ ánh xạ
,
( )
a G a U a A A
f
Ç
|
được ánh xạ dán
( , ) Î Of A G Z
(2.6)
Từ (2.5) và (2.6) ta xác định được ánh xạ mới
f d
trên
( , ; , )
A B B D GX Ç
như sau:
, :
, ( ).
f A G
f
f D B BÇ
,
trên
trên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
sử dụng kết quả này và (2.5), (2.6) ta có
( ( , ; , ), )S Î ÇXf Of A B B D G Z
,
và
f f
trên
( , ; , )
A A B B D GX Ç Ç
.
Vì
A
là một tập con mở của đa tạp phức
D
và
G
là song chỉnh hình
tới tập mở bị chặn trong n nên áp dụng bước 1 cho
f
để có được ánh xạ
( ( , ; , ), )
Î ÇXf Of A B B D G Z
sao cho
f f
trên
( , ; , )
A B B D GX Ç
.
Dán họ ánh xạ
1
0
2
( )
f
<
lại với nhau để được f như sau:
0
: lim
f f
trên W .
Thực ra đẳng thức
1
0
2
( , ; , )
XfW A B B D G
< <
Ç
có được từ (2.4).
Bước 4: Hoàn thành chứng minh định lý.
Sơ lược chứng minh bước 4. Với mỗi Î Ça A A cho
( , ; , ): a aa A U B U Gf f X ǽ
, từ
,sÎ Of W Zo
suy ra
( ( , ; , ), )s XOa a af A U B U G ZÎ Ç
.
Do
aU
là song chỉnh hình tới một tập mở bị chặn trong m nên áp
dụng bước 3 cho
af
thì có một ánh xạ ( ( , ; , ), )Î ÇXOa a af A U B U G Zsao cho
( , ) ( , ),af z w f z w( ) ( , ; , )
a az w A A U B B U GX Ç Ç Ç
(2.7)
Cho 1
0
2
<
, từ (2.7) ta có thể dán họ ánh xạ
,
( )
aU G A A a a
f
Ç
|
được ánh
xạ ( , ) Of A G Z¢ Î .
Tương tự, với mỗi b B BÎ Ç có một ánh xạ
( ( , ; , ), )Î ÇXOb b bf A B V D V Z
sao cho
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
( , ) ( , ),bf z w f z w
( , ) ( , ; , ) Î Ç Ç ÇX b bz w A A B B V D V
(2.8)
Hơn nữa ta có thể dán họ ánh xạ
,
( )
b b D V b B B
f
Ç
½
để có được ánh
xạ ( , ) Of D B Z¢¢ Î .
Từ (2.4), (2.7) và (2.8) suy ra
f
¢ ¢¢
¦
trên
A B
.
Sử dụng kết quả này ta có thể định nghĩa ánh xạ mới
¦
:
( , ; , ) A B D G ZX
như sau
, ,
:
, .
A G
D B
¢
¢¢
¦
¦
¦
sử dụng công thức trên ta có thể kiểm tra
( ( , ; , ), )S ¦ Î Xf O A B D G Z
.
Từ (2.4) ta có
A
(tương ứng
B
) là một tập con mở của
Df
(tương ứng
Gf
)
nên áp dụng bước 2 cho
¦
với mỗi 1
0
2
<
ta được một ánh xạ
( ( , ; , ), ) ¦ Î Xf O A B D G Z
sao cho
¦ ¦
trên
( , ; , ) A B D GX
.
Ta có thể định nghĩa ánh xạ thác triển f .
0
: lim
¦ ¦
trên W .
Thực ra đẳng thức
1
0
2
( , ; , )
W A B D Gf X
< <
có được từ (2.4).
2.2. Bài toán 1 trong trƣờng hợp
, A D B G
.
Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày hai trường hợp riêng của bài
toán 1 với mục đích sử dụng hai hệ các miền xấp xỉ khác nhau được định
trên
trên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
nghĩa trong phần 1.1.2. Các kết quả này là công trình nghiên cứu chung của
Nguyễn Việt Anh và Pflug (xem [27,28,29]).
2.2.1. Trường hợp
,X Y
là các đa tạp một chiều.
Định lý 2.2.1. Cho
,X Y
là các diện Riemann và
D X
và
G Y
là các tập
con mở,
A
(tương ứng
B
) là tập con của
D
(tương ứng
G
) sao cho
D
(tương ứng
G
) là tốt trên
A
(tương ứng
B
), cả
A
và
B
đều là các tập có chiều
dài dương. Đặt
: ( , ; , ), : ( , ; , ),
: ( , ) : , , ) ( , , ) 1 ,
: ( , ) : , , ) ( , , ) 1 .
W W
W
W
X XA B D G A B D G
z w D G z A D w B G
z w D G z A D w B G
¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢
w
w w
Î ( <
Î ( <
Trong đó A ¢ (tương ứngB ¢ ) là tập hợp các điểm mà tại đó A (tương
ứng
B
)là đa chính quy địa phương tương ứng với hệ các miền xấp xỉ góc giá
trên
A
(tương ứng
B
) và
( , , ) A Dw
,
( , , ) A D¢w
(tương ứng
( , , ) B Gw
,
( , , ) B G¢w
)
được tính với hệ chính tắc của các miền xấp xỉ.
Khi đó với mỗi hàm
: W ¦
thoả mãn các điều kiện sau:
(i) Với mọi
Îa A
hàm
( , ) Gf a ½
là hàm chỉnh hình và có giới hạn góc
( , )f a b
tại mọi điểm
Îb B
, và với mọi
Îb B
hàm
( , ) Df b ½
là hàm chỉnh hình
và có giới hạn góc
( , )f a b
tại mọi điểm
Îa A
.
(ii)
f
là bị chặn địa phương.
(iii)
A Bf½
là liên tục.
thì tồn tại một hàm duy nhất
',Î Of W
nhận giới hạn góc
f
tại mọi điểm
của
W W ¢Ç
.
Nếu
, A B
là các tập Borel hoặc nếu
X Y thì W W ¢ .
Chứng minh:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
25
Chứng minh của định lý này gồm hai bước. Trước hết P. Pflug và
Nguyễn Việt Anh chứng minh định lý trong trường hợp
D
và
G
là các miền
Jordan trong
.
Sau đó họ chứng minh định lý trong trường hợp tổng quát.
Với mỗi
0 1< <
tập hợp
: : ( , , ) 1 D z D z A DwÎ <(tương
ứng
: : ( , , ) 1 ) G w G w B GÎ <wđược gọi là một tập mức của hàm độ đo
điều hoà
( , , ) A Dw
(tương ứng
( , , ) B Gw
). Trong bước thứ nhất P. Pflug và
Nguyễn Việt Anh cải tiến phương pháp của Gonchar (xem [8, 9]) bằng việc
vận dụng công thức của Carleman (xem [3]) và các tính chất hình học của các
tập mức của các hàm độ đo điều hoà. Trong bước thứ hai họ áp dụng định lý
kiểu chữ thập hỗn hợp để chứng minh định lý 2.2.1 với
D
(tương ứng
G
) được
thay thế bởi
D
(tương ứng
G
). Khi đó họ đi đến kết luận với các tập mở gốc
D
(tương ứng
G
) bằng kỹ thuật dán.
Bƣớc 1: Giả sử
D
và
G
là các miền Jordan.
Cho
Î{ }j j Ja
là dãy hữu hạn hoặc tập con đếm được của
A
với các tính
chất sau:
(i) Với bất kỳ
Îj J
có một lân cận mở
jU
của
ja
sao cho
jD UÇ
cũng là một miền Jordan hoặc là hợp rời nhau của hai miền Jordan.
(ii)
j
j J
A U
Với mỗi 1
0
2
<
ta định nghĩa
,
,
: : ( , , ) ,
: ,
: : ( , , ) .
j j j j
j
j J
U z D U z A U D U j J,
A U
G w G w B G
Î È Ç Ç < Î
Î < 1-
w
w
Hơn nữa với mỗi
Îj J
đặt
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
26
: ( ( ) , ; , ),
: ( ( ) , ; , ),
:
X
X
j
j j j
j j j
j W
W D U A B D U G
W D U A B D U G
f f |
Ç Ç Ç
Ç Ç Ç
¢ ¢
(2.9)
Sử dụng giả thiết của
f
và chú ý rằng
, jf j JÎ
thoả mãn điều kiện (i), (ii)
của định lý, hơn nữa vì
G
là miền Jordan và
jD UÇ
,
Îj J
cũng là miền Jordan
hoặc hợp rời nhau của hai miền Jordan ta có thể suy ra với
Îj J
có duy nhất
một hàm ( )O jjf WÎ ¢ , một tập con jA
của
( ) D U AÇ Ç
, một tập con
jB
của
B
sao cho
j jA A
( ( ) ) jD U A AÇ Ç \
và
jB B\
có độ dài không . (2.10)
jf
nhận giới hạn góc
f
trên
(( ( ) ) ) ( ) j j jD U A G D BÇ Ç È
. Đặt
j
j J
A A
và
j
j J
B B
0 0
( , ; , ),
( , ; , ).
W A B D G
W A B D G
X
X
(2.11)
Ta có thể dán họ ánh xạ
,
( ) J jj U G jf ½
để được một hàm ( ) Î Of A G. Tiếp
theo xét hàm : f W xác định bởi
:
( )
f A G
f
f D B BÇ
(2.12)
Từ (2.9) và (2.12) suy ra
A A\
và
B B\
có độ dài không (2.13)
Và
trên
trên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
27
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
, , ( )
0 0 0 0
, ( ),
lim ( , ) ( , ), 0 , , ,
2
lim ( , ) ( , ), 0 , , .
2
A
A
a
a
a
a
Î
Î
< < Î Î Ç
< < Î Î
z z w b w b
z a z a w w
f z w f z b z D b B B
f z f a w a A w G
(2.14)
Từ (2.12) và (2.14) suy ra có một hàm ( ) Of WÎ ¢ với mọi 10
2
< <
.
Từ (2.14) suy ra
f f
trên
A G
và
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
, , ( )
0 0 0 0
, ( ),
lim ( , ) ( , ), 0 , , ,
2
lim ( , ) ( , ), 0 , , .
2
A
A
a
a
a
a
< < Î Î Ç
< < Î Î
z z w b w b
z a z a w w
f z w f z b z D b B B
f z f a w a A w G
(2.15)
Dán các ánh xạ
1
0
2
( )
f
< <
lại với nhau để có được ánh xạ như sau:
0
: lim
f f
trên ( , ; , )XW A B D G¢ ¢ (2.16)
Có thể kiểm tra rằng giới hạn trong (2.16) là tồn tại và có tất cả các
tính chất cần có. Điều đó được suy ra từ bổ đề sau.
Bổ đề: Với mỗi ( , )z w WÎ ¢ đặt
( , )
1 ( , , ) ( , , )
2
z w
z A D w B Gw w
thì ( , ) ( , )f z w f z w với mọi
( , )0 z w<
Vậy ( )Of WÎ ¢ .
Chứng minh tính duy nhất của hàm f .
Thực vậy cho ( )Of WÎ ¢ có các tính chất sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
28
i) Có một tập con A (hoặc B ) của A AÇ (tương ứng B BÇ ) sao cho
mes( ) mes( )A \ A B \ B
và f nhận giới hạn góc f tại mỗi điểm của
A G D BÈ
ii) Cố định một điểm tuỳ ý
0 0( , )z w WÎ
¢, cho
U
là một thành phần liên
thông chứa
0z
của tập mở
0: ( , , ) 1 ( , , )w wÎ <z D z A D w B G
.
Vì f , f là các hàm chỉnh hình,
0( , ) Uf w
và
0( , ) Uf w
nhận giới hạn góc
0( , )f w
tại mỗi điểm của DA A UÇ Ç ta có
0 0( , ) ( , ) f w f w
trên
U
, suy ra
0 0 0 0( , ) ( , )f z w f z w
. Vì
0 0( , )z w WÎ
¢tuỳ ý nên f là duy nhất.
Bƣớc 2: Trường hợp tổng quát.
Áp dụng cách chứng minh giống như bước 1, để chỉ ra f nhận giới hạn
góc
f
tại mọi điểm của
W W ¢Ç
P. Pflug và Nguyễn Việt Anh đã chứng minh
f
nhận giới hạn góc
0 0( , )f a w
tại
0 0( , ) a w A GÎ
¢
và f nhận giới hạn góc
0 0( , )f z b
tại
0 0( , ) z b D BÎ
¢
.
Vậy định lý được chứng minh.
2.2.2. Dạng tổng quát của định lý Gonchar
Trước hết ta có một vài định nghĩa sau.
+) Với mỗi tập con mở 2 1 nU và mỗi hàm liên tục : h U đồ
thị
' ' ' '( , ) ( , ) : ( , ) , = ( , ) nn În n n n nz z z z x iy z x U y h z x
được gọi là
một siêu mặt tôpô trong n .
+) Cho
X
là một đa tạp phức có số chiều
n
, một tập con A X được
gọi là một siêu mặt tôpô nếu với mỗi điểm
Îa A
có một bản đồ địa phương
( , : )nU Uf
quanh
a
sao cho
( )A Uf Ç
là một siêu mặt tôpô trong n .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
29
+) Cho
D X
là một tập con mở và cho
A D
là một tập con mở
(với phương diện tôpô phát sinh trên
D
). Giả sử
A
là siêu mặt tôpô , một
điểm
Îa A
được gọi là kiểu 1(tương ứng với
D
) nếu với mỗi lân cận
U
của
a
có một lân cận mở
V
của
a
sao cho
V U
và
V DÇ
là một miền. Nếu
a
không thoả mãn điều kiện trên thì
a
được gọi là kiểu 2. Dễ dàng thấy rằng nếu
a
là kiểu 2 thì với mỗi lân cận
U
của
a
có một lân cận mở
V
của
a
và hai
miền
1 2,V V
sao cho
1 2, V U V D V VÇ È
và tất cả các điểm trong
A VÇ
là
kiểu 1 tương ứng với
1V
và
2V
.
P. Pflug và Nguyễn Việt Anh đã chứng minh đã chứng minh được
mệnh đề sau:
Cho
X
là một đa tạp phức và
D
là một tập con mở của
X
,
A D
là
một tập con mở bị chặn và là siêu mặt tôpô. Với mọi
0 1 <
đặt
: : ( , , ) 1 . D z D z A DÎ <w
Khi đó
1)
A
cũng là một tập mở của
D
và
lim ( , , ) 0
z
z A D
z
w
với mọi
AÎz
.
2) Hơn nữa,
( , , )
( , , ) , .
1
z A D
z A D z DÎ
w
w
3) (Định lý duy nhất) Nếu
( )Of DÎ
sao cho
lim ( ) 0
z
f z
z
với mọi
AÎz
, thì
0.f
Từ mệnh đề trên Nguyễn Việt Anh đưa ra mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2.2.1 Cho
X
là một đa tạp phức và
D
là một tập con mở của
X
,
D
được trang bị hệ chính tắc của các miền xấp xỉ. Giả sử
A D
là tập con
mở bị chặn và là siêu mặt tôpô. Khi đó A là đa chính quy địa phương và
A A .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
30
Kết quả chính của phần này là
Định lý 2.2.2.2
Cho
,X Y
là hai đa tạp phức,
, D X G Y
là hai tập mở khác rỗng.
D
(tương ứng
G
) được trang bị hệ chính tắc của các miền xấp xỉ. Cho
A
(tương ứng
B
) là một tập con mở khác rỗng của
D
(tương ứng
G
) và cũng
là một siêu mặt tôpô. Định nghĩa
: ( , ; , ),
: ( , ) : , , ) ( , , ) 1
XW A B D G
W z w D G z A D w B Gw wÎ ( <
Cho
: W¦
thoả mãn
(i)
0( , ) ( , )s s ¦ Î ÇC OW W
;
(ii)
¦
bị chặn địa phương trên
W
;
(iii)
A B½¦
liên tục.
Khi đó tồn tại một hàm duy nhất
,¦ Î O W
sao cho
( , ) ( , )
lim ( , ) ( , ), ( , )
W z w f z w f Wz z z
.
Chứng minh:
Phương pháp chứng minh gồm 3 bước. Trong bước 1 ta giả sử
G
là
một miền trong m và A là một tập con mở của D . Bước thứ 2 bằng phương
pháp lát cắt và sử dụng định lý 1.6.5 ta chứng minh định lý trong trường hợp
cặp
( , )D A
và
( , )G B
đủ tốt đối với phương pháp lát cắt. Trong bước cuối cùng
chúng ta chuyển tính chỉnh hình từ trường hợp địa phương tới trường hợp
tổng quát bằng việc sử dụng lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý Rosay
trên các đĩa chỉnh hình.
Bƣớc 1: Giả sử
G
là một miền trong m , và A là một tập con mở của D .
Trước hết ta chứng minh bổ đề sau.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
31
Bổ đề 2.2.2.3: Giữ nguyên giả thiết như trong định lý, với
1,2Î { }j
, cho
( , )f Î Oj E D
là một đĩa chỉnh hình và
Îjt E
sao cho
1 1 2 2( ) ( )t tf f
và
2
,
0
1
1 ( ( )) 1, =1,2.
2
e d
i
D A D j jf <\
Khi đó
1)Với
1,2Î { }j
, hàm
( , ) ( ( ), ) jt w f t wf
thuộc vào
1 0 1( ( ( ) , ; , )) ( ( ( ) , ; , ))s s
j jA E B E G A E B E GC OX XÇ Ç Çf f
và liên tục trên
1( ( ) ) j A E Bf Ç
trong đó
1( ) : : ( ) j jA t E t A{ Î Î }f f
.
2) Với
1,2Î { }j
, cho
jf
là hàm duy nhất trong
1 1( ( ( ) , ; , )) ( ( ( ) , ; , )) X XC Oj jA E B E G A E B E Gf fÇ Ç Ç
o
thoả mãn
1( , ) ( ( ), ), ( , ) ( ( ) , ; , ) f fÎ ÇXj j jƒ t w f t w t w A E B E G
thì
1 21 2( , ) ( , ),ƒ t w ƒ t w
với mọi
Îw G
sao cho
1 ( , ) ( ( ) , ; , )fÎ ÇXj jt w A E B E G
,
1,2Î { }j
.
Chứng minh bổ đề:
Phần 1) được suy ra ngay từ giả thiết.
Chứng minh phần 2). Cố định
0 Î Èw G B
thoả mãn
1
0 ( , ) ( ( ) , ; , )
fÎ ÇXj jt w A E B E G
với
1,2Î { }j
.
Ta cần chỉ ra rằng
1 21 0 2 0( , ) ( , ).ƒ t w ƒ t w
Chú ý cả hai hàm
1 1( , )w f t wGÎ
và
2 2( , )w f t wGÎ
đều thuộc vào
( )O G
, trong đó
G
là thành phần liên thông
chứa
0w
của tập mở
1
1,2
: ( , , ) 1 max ( ( ) , )
j j
j
w G w B G t A E Ew w ,f
{ }
{ Î < Ç }
.
Mặt khác với mỗi
1,2Î { }j
và
Îw B
,
1 ( , ) ( ( ) , ; , )fÎ ÇXj jt w A E B E G
,
kết hợp với đẳng thức
1 1 2 2( ) ( )t tf f
ta có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
32
1 21 1 1 2 2 2( , ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( , ), . f f ΃ t w f t w f t w ƒ t w w B
Theo định lý duy nhất suy ra
1 21 2( , ) ( , ), . Î Gƒ t w ƒ t w w
Vậy
1 21 0 2 0( , ) ( , ).ƒ t w ƒ t w
Vậy bổ đề được chứng minh.
Bây giờ ta quay trở lại chứng minh bước 1.
Cho
W
là tập tất cả các cặp điểm
( , ) ( )Î Èz w D G B
với các tính chất
có một đĩa chỉnh hình
( , )f Î O E D
và
Ît E
sao cho
( ) t zf
và
1 ( , ) ( ( ) , ; , )fÎ ÇX jt w A E B E G
Cho
f f
là hàm duy nhất trong
1 1( ( ( ) , ; , )) ( ( ( ) , ; , )) X XC Oj jA E B E G A E B E Gf fÇ Ç Ç
o
sao cho
1( , ) ( ( ), ), ( , ) ( ( ) , ; , ).f f fÎ ÇXƒ t w f t w t w A E B E G
(2.17)
thì hàm thác triển f được cho bởi
( , ) : ( , ).f z w ƒ t wf
(2.18)
Từ phần 2) của bổ đề trên suy ra f hoàn toàn xác định trên W . Tiếp theo ta sẽ
chứng minh
WW= = (2.19)
Thật vậy
+) Chứng minh WW= = .
Cho
( , ) Î Wz w
, từ cách định nghĩa
W
ta có thể tìm thấy một đĩa
chỉnh hình
( , )f Î O E D
, một điểm
Ît E
sao cho
( ) t zf
và
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
33
1 ( , ) ( ( ) , ; , )fÎ ÇXt w A E B E G
Từ
1( ( ), , ) ( , ( ) , )t A D t A E Ew f w f Ç
ta thấy
1( , , ) ( , , ) ( , ( ) , ) ( , , ) 1 z A D w B G t A E E w B Gw w w f wÇ <
Vậy
( , ) Îz w W
suy ra WW= = .
+) Chứng minh W= W .
Cho
( , ) Îz w W
và cố định mỗi
0 >
thoả mãn
1 ( , , ) ( , , ). < w wz A D w B G (2.20)
Áp dụng định lý Rosay và bổ đề 1.7.3 có một đĩa chỉnh hình
( , )f Î O E D
sao cho
(0) zf
và
2
,
0
1
1 ( ( )) ( , , ) .
2
e d
<f w
i
D A D z A D\
(2.21)
Chú ý rằng
2
1
,
0
1
(0, ( ) , ) ( , , ) 1 ( ( ))
2
( , , ) ( , , ) ( , , ) 1.
D D e d
w f w f
w w w
i
AA E E w B G
w B G z A D w B G
Ç
< <
\
trong đó bất đẳng thức đầu tiên suy ra từ việc áp dụng bổ đề 1.7.2, bất đẳng
thức thứ hai có được từ (2.21) và bất đẳng thức cuối cùng suy ra từ (2.20).
Do đó 1 (0, ) ( ( ) , ; , )fÎ ÇXw A E B E G suy ra ( , ) Î Wz w .
Vậy WW= = .
Từ ( 2.19) suy ra ƒ hoàn toàn xác định trên =W .
Từ (2.17) và (2.19) và sử dụng cách chứng minh như trong bước 2, bước 3
của định lý 2.1 ta có f f trên W và ,¦ Î O W
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
34
Hoàn thành chứng minh bước 1.
Bƣớc 2: Giả sử các cặp
( , )D A
và
( , )G B
đủ tốt.
Không mất tính chất tổng quát giả sử
, n mD G
. Với mọi
1
0
2
< <
định nghĩa
2 2
,
2 2
,
: ( , ) : ( ) ,( ) ( ) ( 1,1)
: ( , ) : ( ) ,( ) ( ) ( 1,1)
: : ( , , ) , : : ( , , ) ,
: int
G
, , , ,
, , , ,
, , n
n n n n n nz z z z
, , m
m m m m m mw w w w
z
E z z z z E z A E z
E w w w w E w B E w
D z D z A D w G w B G
A E
{ Î , ( , ) < }, Î ,
{ Î , ( , ) < }, Î ,
{ Î < 1- } { Î < 1- }
(
w
w
w w
2 2 2 2
, ,
( 1,1) ( 1,1)
, : int
, ,
, n , m
w
z w
B E) ( ).
(2.22)
Trước hết chúng ta áp dụng phương pháp lát cắt
Với mọi
2 2( 1,1) nz¢
xét hàm
( , ) : ( , ), ( , ) (( ) , ;( ) , ). ' ' ' 'n n n nz z z zf z w f z w z w A E B E GXÎ Ç
(2.23)
Áp dụng định lý của Gonchar ta có được một hàm thác triển
0(( ) , ;( ) , ) (( ) , ;( ) , ) ' ' ' ' ' ' 'z n n n nz z z z z zf A E B E G A E B E GC OX XÎ ( Ç )Ç ( Ç )
sao cho
( , ) ( , ), ( , ) (( ) , ;( ) , ). Î ÇX' ' ' ' 'z n n n n nz z z zf z w f z w z w A E B E G
(2.24)
Từ (2.22) và (2.24) ta xác định được một hàm mới
f
trên
( , ; , ) A B D GX
như sau:
( , ), ( , ) ,( , ) :
( , ), ( , ) .
'z nf z w z w A Gf z w
f z w z w D B
Î
Î
(2.25)
Áp dụng bước 1 ta có hàm thác triển
0( , ; , ) ( , ; , ) Î ÇX XC Of A B D G A B D G( ) ( )
thoả mãn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
35
( , ) ( , ), ( , ) ( , ; , ) Î Xf z w f z w z w A B D G
(2.26)
Mặt khác từ (2.22) ta thấy
0
lim ( , ) ( , ) w wz A ,D z A,D
và
0
lim ( , , ) ( , , ) w B G w B Gw w
(2.27)
Bằng cách dán các ánh xạ
1
0
2
< <
( )f
lại với nhau ta có ánh xạ f
0
lim ( )
:
f W D B
f
f A G
o
È (2.28)
Từ (2.23) và (2.27) ta thấy giới hạn trong (2.28) tồn tại và có tất cả các tính
chất cần có trong định lý.
Bước 3: Trường hợp tổng quát
Tiếp tục xét các hàm sau với mọi
2 2( 1,1) nz¢
và
2 2( 1,1) mw¢
( , ) : ( , ), ( , ) (( ) , ;( ) , ).
( , ) : ( , ), ( , ) (( ,( ) ; ,( ) )
' ' ' '
w' ' ' '
n n n nz z z z
m m m mw w w
f z w f z w z w A E B E G
f z w f z z A B E D E
X
X
Î Ç
Î Ç
(2.29)
Áp dụng kết quả bước 2 ta có hai hàm thác triển tương ứng là
0
0
(( ) , ;( ) , ) (( ) , ;( ) , )
( ,( ) ; ,( ) ( ,( ) ; ,( )
Î ( Ç )Ç ( Ç ),
Î ( Ç )) Ç ( Ç ))
X X
X X
C O
C O
' ' ' ' ' ' '
' ' ' ' ' ' '
z n n n nz z z z z z
w m m m mw w w w w w
f A E B E G A E B E G
f A B E D E A B E D E
thoả mãn
( , ) ( , ), ( , ) (( ) , ;( ) , ),
( , ) ( , ), ( , ) ( ,( ) ; ,( ) ).
B
Î Ç
Î Ç
X
X
' ' ' ' '
' ' ' ' '
z n n n n nz z z z
w m m m m mw w w w
f z w f z w z w A E E G
f z w f z w z w A B E D E
(2.30)
Từ (2.22) -(2.24) và (2.29)- (2.30) có thể kiểm tra được
( , ) ( , ), ( , ) . ¢ ¢ Îz n mwf z w f z w z w A B
Vì thế ta có thể định nghĩa một hàm mới
f
trên
( , ; , ) A B D GX
như sau:
( , ), ( , ) ,
( , ) :
( , ), ( , ) .
'z n
w n
f z w z w A G
f z w
f z w z w D B¢
(2.31)
trên
trên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
36
Áp dụng định lý 2.1 suy ra hàm 0( , ; , ) Î XOf A B D G( )sao cho
( , ) ( , ), ( , ) ( , ; , ) Î Xf z w f z w z w A B D G
(2.32)
Bằng cách dán các ánh xạ
1
0
2
< <
( )f
lại với nhau để có ánh xạ sau
0
lim
:
.
f W
f
f W
o
(2.33)
Sử dụng đồng nhất thức đầu tiên trong (2.27) và (2.29)- (2.32) suy ra giới
hạn trong (2.33) là tồn tại. Hơn nữa f f trên W và ( ) ( )Î ÇC Of W W o.
Vậy định lý đã được chứng minh.
2.3. Bài toán 1 trong trƣờng hợp tổng quát.
Trong phần 2.1 và 2.2 chúng ta đã giải quyết được bài toán 1 trong
một số trường hợp riêng biệt nhưng rất quan trọng. Những kết quả này cho
chúng ta hy vọng rằng có thể giải quyết được bài toán 1 trong trường hợp tổng
quát. Mục đích chính của phần này là chứng tỏ suy luận trên. Kết quả chính là
định lý sau:
Định lý 2.3.1
Cho
, X Y
là hai đa tạp phức,
, D X G Y
là hai tập mở,
A
(tương
ứng
B
) là tập con của D (tương ứngG ),D (tương ứngG ) được trang bị với
một hệ các miền xấp xỉ
,
( )
D I
A( )
z
a z a
z
(tương ứng
,
( )
G I
A( )
h
b h b
h
. Giả sử
( , , ) 1 <w A D
trên
D
và
( , , ) 1 <w B G
trên
G
. Cho
Z
là không gian giải tích
phức có tính chất thác triển Hartogs. Khi đó với mỗi ánh xạ
: f W Z
thoả
mãn các điều kiện sau:
•
( , ) ( , )s s
oÎ ÇC Of W Z W Z
;
•
f
bị chặn địa phương dọc theo
( , ; , ) Ç ÇA D B G D GX
;
•
A Bf½
liên tục tại tất cả các điểm của
( ) ( ) Ç ÇA D B G
.
trên
trên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
37
thì tồn tại một ánh xạ duy nhất
,Î Of W Z
nhận
A
- giới hạn
( , )f z h
tại mọi
điểm
( , )z h Î ÇW W
.
Định ký 2.3.1 có một hệ quả quan trọng, trước khi nói đến hệ quả này ta
cần giới thiệu một thuật ngữ. Một đa tạp phức
M
được gọi là một đa tạp
Liouville nếu
( )P SH M
không chứa bất kỳ một hàm bị chặn trên khác hằng
nào.
Ta thấy lớp các đa tạp Liouville chứa lớp các đa tạp compact liên thông.
Hệ quả 2.3.2.
Chúng ta giữ nguyên giả thiết và ký hiệu như trong định lý 2.3.1. Giả
sử rằng
G
là một đa tạp Liouville. Khi đó với mỗi ánh xạ
: f W Z
thoả
mãn các điều kiện sau:
•
( , ) ( , )Î ÇC O oS Sf W Z W Z
;
•
f
bị chặn địa phương dọc theo
( , ; , ) Ç ÇA D B G D GX
;
•
½A Bf
là hàm liên tục tại tất cả các điểm của
( ) ( ) Ç ÇA D B G
,
thì tồn tại một ánh xạ duy nhất
,Î Of D G Z
nhận
A
- giới hạn
( , )f z h
tại
mọi điểm ( , )z h Î ÇW W.
Hệ quả 1 được suy ra từ định lý 2.3.1 khi
( , , ) 0 B Gw
.
Để chứng mịnh định lý 2.3.1 ta cần đưa ra định nghĩa và chứng minh
các mệnh đề sau.
Định nghĩa: Cho
D
là một tập mở bị chặn trong n ,
0, ÎA D z D
và
0 >
.Cho
A
là một hệ các miền xấp xỉ của
D
. Giả sử
A
là đa chính quy
địa phương (tương đối với
A
) và
( , , ) 1 A D <w
trên
D
. Khi đó tồn tại một
ánh xạ bị chặn
( , ) nEOf
và một tập con đếm được
0 EG
với các tính
chất sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
38
1) Mỗi điểm của
0G
là một điểm trù mật của
0G
,
0(0) zf
,
( )E Df
,
0 : ( ) , z f zG Î ÎE A
và
0 0
1
1 .mes( ) ( , , ) .
2
z A DG < w
2) Cho
( , ) ( , ) C OD A D¦ Î È Ç
sao cho
( )f D
bị chặn,
thì tồn tại một hàm bị chặn
( , )Î Og E
sao cho
g f f
trong một lân cận
của
0 EÎ
và
( ) ( )( ) g fz f z
với mọi
0z Î G
. Hơn nữa
0 0
( , )G½Î GCg
.
Khi đó mỗi cặp
0( )Gf ,
được gọi là
- candidate của bộ ba
0( , , ).z A D
Mệnh đề 2.3.3.
Cho
D
là một tập mở bị chặn trong n ,
0, ÎA D z D
và
0 >
.Cho
A
là một hệ các miền xấp xỉ của
D
. Giả sử
A
là đa chính quy
địa phương (tương đối với
A
) và
( , , ) 1 A D <w
trên
D
. Khi đó tồn tại một
ánh xạ bị chặn
( , ) nEOf
và một tập con đếm được
0 EG
với các
tính ch
Các file đính kèm theo tài liệu này:
- LV2010_SP_DuongThiHongNgoc.pdf