Luận văn Một số liên hệ của số cân bằng và số đối cân bằng với số pell và số pell liên kết

, Pn+1 = 2Pn + Pn−1, n = 2, 3, ... (1.6) và Q1 = 1, Q2 = 3, Qn+1 = 2Qn +Qn−1, n = 2, 3, ... (1.7) Như vậy số Pell và số Pell liên kết được xác định bởi cùng một phương trình sai phân nhưng với các điều kiện ban đầu khác nhau. Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân xác định hai dãy số này là α2 − 2α− 1 = 0. Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt là α1 = 1 + √ 2 và α2 = 1− √ 2. Áp dụng công thức nghiệm (1.4) ta thu được Pn = αn1 − αn2 2 √ 2 , Qn = αn1 + α n 2 2 . (1.8) Các công thức này được gọi là công thức Binet cho dãy số Pell và dãy số Pell liên kết. 6 1.3 Số cân bằng và số đối cân bằng Khái niệm về số cân bằng được Behera và Panda [2] đưa ra. Khái niệm về số đối cân bằng được Panda và Ray [4] đưa ra. Các tác giả này cũng tìm ra được rất nhiều tính chất thú vị của các số này. Các kết quả đó đã được trình bày lại bằng tiếng Việt trong luận văn thạc sĩ [1] của Hoàng Thị Hường. Ở đây, chúng tôi chỉ nêu ra định nghĩa và một số ít các tính chất của hai số này. Định nghĩa 1.3.1. Số nguyênm được gọi là số cân bằng nếu 1 + 2 + · · ·+ (m− 1) = (m+ 1) + (m+ 2) + · · ·+ (m+ r) với r là số tự nhiên nào đó; số r được gọi là hệ số cân bằng củam. Ta coi 1 là số cân bằng đầu tiên với hệ số cân bằng là 0. Kí hiệu Bn là số cân bằng thứ n. Behera và Panda [2] đã chứng minh được dãy {Bn}∞n=0 được xác định bởi phương trình sai phân Bn+1 = 6Bn −Bn−1, n = 1, 2, ..., (1.9) với điều kiện ban đầu B0 = 1, B1 = 6. Như vậy, ta có {Bn}∞n=0 = B(6,−1, 1, 6). Phương trình đặc trưng của phương trình (1.9) là λ2 − 6λ+ 1 = 0. Phương trình đặc trưng này có hai nghiệm phân biệt λ1 = 3 + 2 √ 2 và λ2 = 3− 2 √ 2. Áp dụng công thức (1.4) ta được công thức Binet Bn = λn+11 − λn+12 λ1 − λ2 , n = 0, 1, 2, ... (1.10) 7 Chú ý rằng 3 + 2 √ 2 = (1 + √ 2)2 và 3− 2 √ 2 = (1− √ 2)2. Do đó, công thức Binet (1.10) có thể viết dưới dạng Bn = α2n1 − α2n2 4 √ 2 . (1.11) Định nghĩa 1.3.2. Số nguyênm được gọi là số đối cân bằng nếu 1 + 2 + · · ·+m = (m+ 1) + (m+ 2) + · · ·+ (m+ r) với r là số tự nhiên nào đó; số r được gọi là hệ số đối cân bằng củam. Khái niệm về số đối cân bằng được Panda và Ray [4] đưa ra. Coi 0 là số đối cân bằng đầu tiên và kí hiệu bn là số đối cân bằng thứ n. Khi đó ta có quan hệ truy hồi tuyến tính b1 = 1, b2 = 2, bn+1 = 6bn − bn−1 + 2. (1.12) Từ đây ta có được công thức Binet cho các số đối cân bằng bn = α2n−11 − α2n−12 4 √ 2 − 1 2 . (1.13) Ngoài các mối quan hệ truy hồi tuyến tính nói trên, các số cân bằng và các số đối cân bằng còn có một số quan hệ truy hồi phi tuyến sau Các công thức truy hồi phi tuyến là [1, 3] B1 = 1, Bn+1 = 3Bn + √ 8B2n + 1, (1.14) b1 = 1, bn+1 = 3bn + √ 8b2n + 8bn + 1 + 1. (1.15) Và Bn−1 = 3Bn − √ 8B2n + 1, (1.16) bn−1 = 3bn − √ 8b2n + 8bn + 1 + 1. (1.17) Hai khái niệm số cân bằng và số đối cân bằng có mối quan hệ rất chặt chẽ với nhau. Mối quan hệ này được thể hiện bởi định lý dưới đây Định lý 1.3.3. Mọi số cân bằng là một hệ số đối cân bằng và mọi số đối cân bằng là một hệ số cân bằng. Cụ thể ta có Bn = rn+1 và Rn = bn với n = 1, 2, . . ., trong đó Rn là hệ số cân bằng thứ n và rn là hệ số đối cân bằng thứ n. 8 1.4 Số Lucas-cân bằng và số Lucas-đối cân bằng Một trong những đặc trưng quan trọng của số cân bằng và số đối cân bằng là 8B2n + 1 và 8b 2 n + 8bn + 1 là số chính phương. Với n = 1, 2, ..., ta gọi Cn = √ 8B2n + 1 là số Lucas-cân bằng thứ n và cn = √ 8b2n + 8bn + 1, là Lucas-số đối cân bằng thứ n. Các số Lucas-cân bằng và Lucas-đối cân bằng có nhiều tính chất thú vị và có mối quan hệ chặt chẽ với các số cân bằng và đối cân bằng (xem trong [1]). Ở đây, chúng tôi chỉ trình bày một vài tính chất của các số Lucas-cân bằng và Lucas-đối cân bằng. Định lý 1.4.1. Các dãy số Lucas-cân bằng và dãy số Lucas-đối cân bằng thỏa mãn các công thức truy hồi tương tự như dãy các số cân bằng. Cụ thể, ta có C1 = 3, C2 = 17, Cn+1 = 6Cn − Cn−1 và c1 = 1, c2 = 7, cn+1 = 6cn − cn−1 với n = 2, 3, . . . . Chứng minh. Từ (1.14) ta có C2n+1 = 8B 2 n+1 + 1 = 8 ( 3Bn + √ 8B2n + 1 )2 + 1 = ( 3 √ 8B2n + 1 + 8Bn )2 = (3Cn + 8Bn) 2. Do đó Cn+1 = 3Cn + 8Bn. (1.18) Tương tự, từ (1.16) ta có Cn−1 = 3Cn − 8Bn. (1.19) Kết hợp (1.18) và (1.19) ta thu được Cn+1 = 6Cn − Cn−1. 9 Một cách tương tự ta có cn+1 = 3cn + 8bn + 4, (1.20) và cn−1 = 3cn − 8bn − 4. (1.21) Kết hợp (1.20) và (1.21) ta thu được cn+1 = 6cn − cn−1. (1.22) Nhận xét 1.4.2. Từ định lý 1.4.1 và công thức nghiệm tổng quát (1.4) của phương trình sai phân tuyến tính ta thu được công thức Binet cho các số Lucas-cân bằng và Lucas-đối cân bằng: Cn = α2n1 + α 2n 2 2 , cn = α2n−11 + α 2n−1 2 2 , n = 1, 2, . . . . (1.23) 10 Chương 2 Một số liên hệ quan trọng Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số mối liên hệ quan trọng và thú vị giữa các số cân bằng và các số đối cân bằng với các số Pell và số Pell liên kết. Tương tự chương trước, trong chương này chúng tôi tiếp tục sử dụng kí hiệu α1 = 1 + √ 2, α2 = 1− √ 2. Ngoài ra, chúng tôi sử dụng kí hiệu (m,n) cho ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương m và n. Ta cũng chú ý ngay rằng α1α2 = −1 và tích này sẽ được sử dụng ở các chứng minh tiếp theo mà không có chú thích gì thêm. 2.1 Một số mối liên hệ liên quan đến tổng và tích Định lý sau đây cho chúng ta thấy rằng số cân bằng chính là tích của số Pell và số Pell liên kết cùng cấp (tức là cùng số thứ tự). Định lý 2.1.1. Với n = 1, 2, . . ., số cân bằng thứ n là tích của số Pell thứ n và số Pell liên kết thứ n. Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Pn và Qn từ (1.8) và của Bn từ (1.11) ta thu được Bn = α2n1 − α2n2 4 √ 2 = αn1 − αn2 2 √ 2 · α n 1 + α 2 2 2 = PnQn. Định lý sau cho ta thấy rằng mỗi số đối cân bằng được phân tích thành tích của một số Pell và một số Pell liên kết. 11 Định lý 2.1.2. Với n = 1, 2, . . . hệ số cân bằng thứ 2n bằng với tích của số Pell thứ 2n và số Pell liên kết thứ (2n− 1); hệ số cân bằng thứ (2n+ 1) bằng với tích của số Pell thứ 2n và số Pell liên kết thứ (2n+ 1). Chứng minh. Áp dụng Định lí 1.3.3 và các công thức Binet của Pn và Qn trong (1.8) và của bn trong (1.11), ta thu được P2nQ2n−1 = α2n1 − α2n2 2 √ 2 · α 2n−1 1 − α2n−12 2 = α4n−11 − α4n−12 − α1 − α2 4 √ 2 = α4n−11 − α4n−12 4 √ 2 − 1 2 = R2n, và P2nQ2n+1 = α2n1 − α2n2 2 √ 2 · α 2n+1 1 − α2n+12 2 = α4n+11 − α4n+12 − α1 + α2 4 √ 2 = α 2(2n+1)−1 1 − α2(2n+1)−12 4 √ 2 − 1 2 = R2n+1. Định lí được chứng minh. Behera và Panda [2] đã chứng minh được rằng nếu n là số cân bằng với hệ số cân bằng r thì số tam giác thứ n + r là n2. Định lý sau đây se cho chúng ta sự tương ứng giữa tổng n+ r với tổng riêng bậc lẻ của dãy các số Pell. Định lý 2.1.3. Tổng riêng thứ 2n− 1 của dãy các số Pell bằng tổng của số cân bằng thứ n và hệ số làm cân bằng của số đó. Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Pn trong (1.8) và của Bn và bn trong (1.11), ta có P1 + P2 + · · ·+ P2n−1 = α1 − α2 2 √ 2 + α21 − α22 2 √ 2 + · · ·+ α 2n−1 1 − α2n−12 2 √ 2 12 = α1( α2n−11 −1 α1−1 )− α2( α2n−12 −1 α2−1 ) 2 √ 2 = α1(α 2n−1 1 − 1)− α2(α2n−12 − 1) 4 = α2n1 + α 2n 2 4 − 1 2 = α2n1 (1− α2)− α2n2 (1− α1) 4 √ 2 − 1 2 = α2n1 − α2n2 4 √ 2 + α2n−11 − α2n−12 4 √ 2 − 1 2 = Bn + bn. Theo Định lí 1.3.3 ta có bn = Rn và do đó ta có điều phải chứng minh. Panda và Ray [4] cũng đã chứng minh rằng nếu n là một số đối cân bằng với hệ số đối cân bằng r thì số tam giác thứ (n+ r) là số pronic thứ n. Định lí sau chứng tỏ mối liên quan của số n+ r này với các tổng riêng bậc chẵn của dãy các số Pell. Định lý 2.1.4. Tổng của 2n số Pell đầu tiên bằng với tổng của số đối cân bằng thứ (n+ 1) và hệ số đối cân bằng của số đó. Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Pn trong (1.8) vàBn và bn trong (1.11), ta có P1 + P2 + · · ·+ P2n = α1 − α2 2 √ 2 + α21 − α22 2 √ 2 + · · ·+ α 2n 1 − α2n2 2 √ 2 = α1( α2n1 −1 α1−1 )− α2( α2n2 −1 α2−1 ) 2 √ 2 = α1(α 2n 1 − 1)− α2(α2n2 − 1) 4 = α2n+11 + α 2n+1 2 4 − 1 2 = α2n+11 (1− α2)− α2n+12 (1− α1) 4 √ 2 − 1 2 = α2n+11 − α2n+12 4 √ 2 − 1 2 + α2n1 − α2n2 4 √ 2 = bn+1 +Bn. Theo Định lí 1.3.3 ta có Bn = rn+1 và do đó ta có điều phải chứng minh. 13 Hai định lý trên cho chúng ta các mối liên quan giữa các tổng riêng của dãy các số Pell với các số cân bằng và đối cân bằng. Hai định lý tiếp theo cho ta mối liên quan giữa các tổng riêng của dãy các số Pell có bậc lẻ và dãy các số Pell bậc chẵn với các số cân bằng và các số đối cân bằng. Định lý 2.1.5. Tổng của n số Pell có bậc lẻ đầu tiên bằng số cân bằng thứ n (và do đó bằng hệ số đối cân bằng thứ (n+ 1)). Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Pn trong (1.8) vàBn và bn trong (1.11), ta có P1 + P3 + · · ·+ P2n−1 = α1 − α2 2 √ 2 + α31 − α32 2 √ 2 + · · ·+ α 2n−1 1 − α2n−12 2 √ 2 = α1( α2n1 −1 α21−1 )− α2( α2n2 −1 α22−1 ) 2 √ 2 = (α2n1 − 1)− (α2n2 − 1) 4 √ 2 = α2n1 − α2n2 4 √ 2 = Bn. Chứng minh được hoàn thành. Định lý 2.1.6. Tổng của n số Pell có bậc chẵn đầu tiên bằng với số đối cân bằng thứ (n+ 1) (và do đó bằng hệ số cân bằng thứ n+ 1). Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Pn trong (1.8) vàBn và bn trong (1.11), ta có P2 + P4 + · · ·+ P2n = α 2 1 − α22 2 √ 2 + α41 − α42 2 √ 2 + · · ·+ α 2n 1 − α2n2 2 √ 2 = α21( α2n1 −1 α21−1 )− α 2 2( α2n2 −1 α22−1 ) 2 √ 2 = α1(α 2n 1 − 1)− α2(α2n2 − 1) 4 √ 2 = α2n+11 − α2n+12 4 √ 2 − 1 2 = bn+1. Theo Định lí 1.3.3 ta có bn+1 = Rn+1 và do đó chứng minh được hoàn thành. 14 Định lý sau cho ta mối liên hệ giữa các tổng riêng của các số Pell liên kết có bậc lẻ với tổng của các số cân bằng và hệ số cân bằng tương ứng. Định lý 2.1.7. Tổng của n số Pell liên kết có bậc lẻ đầu tiên bằng với tổng của số cân bằng thứ n và hệ số cân bằng của số đó. Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet củaQn trong (1.8) vàBn và bn trong (1.11), ta có Q1 +Q3 + · · ·+Q2n−1 = α1 + α2 2 + α31 + α 3 2 2 + · · ·+ α 2n−1 1 − α2n−12 2 = α1( α2n1 −1 α21−1 )− α2( α2n2 −1 α22−1 ) 2 = (α2n1 − 1) + (α2n2 − 1) 4 = α2n1 + α 2n 2 4 − 1 2 . Theo chứng minh trong Định lí 2.1.3 đã chỉ ra rằng α2n1 + α 2n 2 4 − 1 2 = Bn +Rn. Do đó chứng minh được hoàn thành. Tương tự, định lí sau cho ta mối liên quan giữa các tổng riêng của các số Pell liên kết bậc chẵn với tổng của các số đối cân bằng và các hệ số đối cân bằng của nó. Định lý 2.1.8. Tổng của n số Pell liên kết có bậc chẵn đầu tiên bằng với tổng của số đối cân bằng thứ (n+ 1) và hệ số đối cân bằng của số đó. Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Qn trong (1.8), ta có Q2 +Q4 + · · ·+Q2n = α 2 1 + α 2 2 2 + α41 + α 4 2 2 + · · ·+ α 2n 1 − α2n2 2 = α21( α2n1 −1 α21−1 ) + α 2 2( α2n2 −1 α22−1 ) 2 = (α2n1 − 1) + (α2n2 − 1) 4 = α2n+11 + α 2n+1 2 4 − 1 2 . 15 Theo chứng minh trong Định lí 2.1.4, ta có α2n+11 + α 2n+1 2 4 − 1 2 = bn+1 + rn+1. Từ đó ta có điều phải chứng minh. Hai định lý tiếp theo cho chúng ta mối liên hệ giữa các tổng riêng bậc chẵn và bậc lẻ của dãy các số Pell liên kết với các số cân bằng và các số đối cân bằng. Định lý 2.1.9. Tổng của 2n− 1 số Pell liên kết đầu tiên bằng hai lần số cân bằng thứ n trừ đi 1. Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Qn trong (1.8) và Bn trong (1.11), ta có Q1 +Q2 + · · ·+Q2n−1 = α1 + α2 2 + α21 + α 2 2 2 + · · ·+ α 2n−1 1 + α 2n−1 2 2 = α1( α2n−11 −1 α21−1 )− α2( α2n−12 −1 α22−1 ) 2 = α1(α 2n−1 1 − 1)− α2(α2n−12 − 1) 4 = α2n1 − α2n2 4 − 1 = 2Bn − 1. Định lý 2.1.10. Tổng của 2n số Pell liên kết đầu tiên bằng với hai lần số đối cân bằng thứ (n+ 1). Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Qn trong (1.8) và bn trong (1.11), ta có Q1 +Q2 + · · ·+Q2n = α1 + α2 2 + α21 + α 2 2 2 + · · ·+ α 2n 1 + α 2n 2 2 = α1( α2n1 −1 α1−1 )− α2( α2n2 −1 α2−1 ) 2 = α1(α 2n 1 − 1)− α2(α2n2 − 1) 2 √ 2 16 = α2n+11 − α2n+12 2 √ 2 − 1 = 2bn+1. 2.2 Một số mối liên hệ liên quan đến các số Lucas-cân bằng và các số Lucas-đối cân bằng Định lý sau đây sẽ cho chúng ta thấy rằng dãy các số Pell liên kết chính là hợp của dãy các số Lucas-cân bằng và dãy các số Lucas-đối cân bằng. Định lý 2.2.1. Mọi số Pell liên kết hoặc là một số cân bằng Lucas hoặc là số đối cân bằng Lucas. Chính xác hơn, Q2n = Cn và Q2n−1 = cn, n = 1, 2, . . . . Chứng minh. Chứng minh của phần thứ nhất của định lí được suy trực tiếp từ công thức Binet của Qn và Cn trong (1.8) và (1.23) và chứng minh của phần thứ hai của định lí được suy từ các công thức Binet của Qn và cn trong (1.8) và (1.23). Định lý sau thể hiện mối liên hệ giữa hiệu của các số Lucas-cân bằng và hiệu của các số đối cân bằng. Định lý 2.2.2. Hiệu của số Lucas-cân bằng thứ n và số Lucas-cân bằng thứ (n − 1) bằng với hiệu của số đối cân bằng thứ (n+ 1) và số đối cân bằng thứ (n− 1). Chứng minh. Từ (1.18), ta có Cn = 8Bn−1 + 3Cn−1. Áp dụng công thức truy hồi trong (1.14) ta thu được Chứng minh Cn − Cn−1 = 8Bn−1 + 2Cn−1 = 2[Bn−1 + (Cn−1 + 3Bn−1)] = 2(Bn−1 +Bn). 17 Mặt khác vì [4, Theorem 4.1] 2(B1 +B2 + · · ·+Bn−1) = bn nên ta có bn+1 − bn−1 = 2(Bn−1 +Bn). Điều này chứng minh kết luận của định lí. Từ chứng minh của định lý trên ta có hệ quả trực tiếp sau: Hệ quả 2.2.3. Hiệu của các số cân bằng Lucas thứ n và (n − 1) bằng hai lần tổng của các số cân bằng thứ n và (n− 1). Định lý 2.2.2 là một liên hệ giữa hiệu của các số Lucas-cân bằng và hiệu của các số đối cân bằng. Định lý tiếp theo đây thiết lập liên hệ giữa hiệu của các số Lucas-đối cân bằng và hiệu giữa các số cân bằng. Định lý 2.2.4. Hiệu của số Lucas-đối cân bằng thứ n và số Lucas-đối cân bằng thứ (n− 1) bằng với hiệu của số cân bằng thứ n và số cân bằng thứ (n− 2). Chứng minh. Từ (1.20) ta có cn = 8bn−1 + 3cn−1 + 4. Áp dụng công thức truy hồi (1.15) và Định lý 1.3.3 ta thu được cn − cn−1 = 8bn−1 + 2cn−1 + 4 = 2[bn−1 + (3bn−1 + cn−1 + 1) + 1] = 2(bn−1 + bn + 1) = 2(Rn−1 +Rn + 1) = (2Rn−1 + 1) + (2Rn + 1). Vì [2, trang 98] Rn = −(2Bn + 1) + √ 8B2n + 1 2 , 18 nên ta có 2Rn + 1 = −2Bn + √ 8B2n + 1 = −2Bn + Cn. Do đó, cn − cn−1 = Cn + Cn−1 − 2(Bn +Bn−1). (2.1) Sử dụng các công thức Binet của Bn và Cn trong (1.11) và (1.23) ta có Cn + √ 8Bn = α 2n 1 và Cn − √ 8Bn = α 2n 2 . Do đó, với n = 1 ta có 3 + √ 8 = α21, và thay n bởi n− 1 ta có Cn−1 − √ 8Bn−1 = α 2(n−1) 2 . (2.2) Mặt khác, (3 + √ 8)(Cn − √ 8Bn) = (3Cn − 8Bn) + √ 8(Cn − 3Bn) = α21(Cn − √ 8Bn) = α21α 2n 2 = α 2(n−1) 2 . (2.3) Từ (2.1) và (2.2), ta có Cn−1 − √ 8Bn−1 = (3Cn − 8Bn) + √ 8(Cn − 3Bn). (2.4) So sánh phần hữu tỉ và phần vô tỉ ở hai vế của (2.4) ta có Cn−1 = 3Cn − 8Bn (2.5) và Bn−1 = 3Bn − 8Cn. (2.6) 19 Từ (2.5) và (2.6), ta tìm được Bn−1 = 3Bn−1 − Cn−1 = 3(3Bn − Cn)− (3Cn − 8Bn) = 17Bn − 6Cn. (2.7) Thay (2.5) và (2.6) vào (2.1) và sử dụng (2.7) ta có cn − cn−1 = 6Cn − 16Bn = Bn − (17Bn − 6Cn) = Bn −Bn−2. Định lý sau cho ta mối liên hệ giữa tổng của các số Lucas-cân bằng và các số Lucas-đối cân bằng có cùng bậc và hiệu của bình phương hai số Pell. Định lý 2.2.5. Tổng của số Lucas-cân bằng thứ n và số Lucas-đối cân bằng thứ n bằng với hiệu của bình phương của các số Pell thứ (n+ 1) và (n− 1). Chứng minh. Áp dụng công thức Binet của Pn trong (1.8), ta có P 2n+1 − P 2n−1 = [ αn+11 − αn+12 2 √ 2 ]2 − [ αn−11 − αn−12 2 √ 2 ]2 = α2n+21 + α 2n+2 2 − α2n−21 + α2n−22 8 = (α2n1 − α2n2 )(α21 − α22) 8 . Hơn nữa, do 1− α2 = −(1− α1) = √ 2, áp dụng công thức Binet của Cn và cn trong (1.23), ta có α2n1 − α2n2√ 2 = α2n1 (1− α2) + α2n2 (1− α1) 2 = α2n1 + α 2n 2 + α 2n−1 1 + α 2n−1 2 2 20 = α2n1 + α 2n 2 2 + α2n−11 + α 2n−1 2 2 = Cn + cn. Định lí được chứng minh. Định lý sau thiết lập mối liên hệ giữa các số Lucas-đối cân bằng với tổng của hai số cân bằng liên tiếp. Định lý 2.2.6. Số Lucas-đối cân bằng thứ n bằng với tổng của các số cân bằng thứ (n− 1) và n. Chứng minh. Sử dụng các công thức Binet của Bn trong (1.11) và của cn trong (1.23) ta tìm được Bn−1 +Bn = α 2(n−1) 1 − α2(n−1)2 4 √ 2 + α2n1 − α2n2 4 √ 2 = α2n1 (1 + α 2 2)− α2n2 (1 + α21) 4 √ 2 = α2n1 (−2 √ 2α2)− α2n2 (2 √ 2α1) 4 √ 2 = α2n−1 + α2n−12 2 . Nhận xét 2.2.7. Sử dụng (1.16) ta có Bn−1 = 3Bn − Cn, và vì P2n = 2Bn và Q2n = Cn theo các Định lí 2.3.1 và Định lí 2.3.1, nên cn = 4Bn − Cn = 2P2n −Q2n. 2.3 Một số mối liên hệ liên quan đến các hàm số học Định lý dưới đây một lần nữa cho thấy sự liên quan chặt chẽ giữa các số cân bằng và các số đối cân bằng và các số Pell. 21 Định lý 2.3.1. Nếu P là một số Pell, thì [P/2] hoặc là số cân bằng hoặc là số đối cân bằng, trong đó [·] kí hiệu là hàm phần nguyên. Cụ thể hơn, ta có P2n/2 = Bn và [P2n−1/2] = bn, n = 1, 2, . . . . Chứng minh. Áp dụng công thức Binet đối với Pn trong (1.8) và đối vớiBn trong (1.11) ta có P2n 2 = α2n1 − α2n2 4 √ 2 = Bn, và do P2n−1 là chẵn, nên[ P2n−1 2 ] = P2n−1 2 − 1 2 = α2n−11 − α2n−12 4 √ 2 − 1 2 = bn. Định lý tiếp theo cho chúng ta mối liên hệ giữa trung bình cộng của các số Pell và số Pell liên kết với các số cân bằng và các số đối cân bằng. Định lý 2.3.2. Trung bình cộng của số Pell bậc lẻ thứ n và số Pell liên kết bậc lẻ thứ n bằng với số cân bằng thứ n và trung bình cộng của số Pell bậc chẵn thứ n và số Pell liên kết bậc chẵn thứ n bằng với số đối cân bằng thứ (n+ 1) cộng 1 2 . Chứng minh. Sử dụng công thức Binet của Pn, Qn và bn ta có P2n−1 +Q2n−1 2 = 1 2 [ α2n−11 − α2n−12 2 √ 2 + α2n−11 + α 2n−1 2 2 ] = −α2n1 α2(1 + √ 2) + α2n2 α1(1− √ 2) 4 √ 2 = −α2n1 α1α2 + α2n2 α1α2 4 √ 2 = α2n1 − α2n2 4 √ 2 = Bn. Tương tự, ta có P2n +Q2n 2 = 1 2 [ α2n1 − α2n2 2 √ 2 + α2n1 + α 2n 2 2 ] 22 = α2n1 (1 + √ 2)− α2n2 (1− √ 2) 4 √ 2 = α2n+11 − α2n+12 4 √ 2 = [ α 2(n+1)−1 1 − α2(n+1)−12 4 √ 2 − 1 2 ] + 1 2 = bn+1 + 1 2 . Định lý dưới đây cho ta mối liên hệ giữa số Pell, số Pell liên kết với các số tam giác. Định lý 2.3.3. Nếu n2 là một số tam giác (tức là nếu n là một số cân bằng) thì 2n là một số Pell có bậc chẵn, và nếu n(n + 1) là một số tam giác (tức là nếu n là một số đối cân bằng) thì 2n+ 1 là một số Pell có bậc lẻ. Ngược lại, nếu P là một số Pell có bậc chẵn thì P 2/4 là một số tam giác và nếu P là một số Pell có bậc lẻ thì (P 2−1)/4 là một số tam giác. Chứng minh. Nếu n2 là một số tam giác thì n là một số cân bằng, tức là n = Bk với k nào đó. Theo định lí 2.3.1 ta có 2n = 2Bk = P2k. Đảo lại, với mỗi số Pell bậc chẵn P2k, P2k/2 là một số cân và từ đó P 22k/4 là một số tam giác. Mặt khác, sử dụng các công thức Binet đối với Pn và bn trong (1.8) và (1.11), ta có P2k−1 − 1 2 = 1 2 [ α2k−11 − α2k−12 2 √ 2 − 1 ] = α2k−11 − α2k−12 4 √ 2 − 1 2 = bk. (2.8) Ta biết rằng trong n là một số đối cân bằng nếu và chỉ nếu n(n + 1) là một số tam giác [4, trang 1189]. Từ đó, nếu n(n + 1) là một số tam giác thì n = bk với k nào đó và sử dụng công thức Binet của bk trong (1.11), ta tìm được 2n+ 1 = 2bk + 1 = α2k−11 − α2k−12 2 √ 2 = P2k−1. 23 Do đó, nếu P là một số Pell có bậc lẻ, tức là P = P2k−1 với k nào đó, khi đó theo (2.8), ta có P 2 − 1 4 = [ P − 1 2 ] [ P + 1 2 ] = bk(bk + 1). Định lý được chứng minh. Định lý dưới đây cho thấy rằng mỗi số Pell và mỗi số Pell liên kết có thể được xem như ước chung lớn nhất của các số cân bằng và đối cân bằng. Định lý 2.3.4. Ước chung lớn nhất của một số cân bằng và một số đối cân bằng có cùng bậc hoặc là một số Pell hoặc là một số Pell liên kết có cùng bậc đó. Cụ thể hơn, ta có (B2n−1, R2n−1) = Q2n−1 và (B2n, R2n) = P2n. Chứng minh. Theo các Định lý 2.1.1 và Định lý 2.1.2, và do với mỗi n Pn và Pn−1 là nguyên tố cùng nhau, nên ta có (B2n−1, R2n−1) = (P2n−1Q2n−1, P2n−2Q2n−1) = Q2n−1(P2n−1, P2n−2) = Q2n−1. Tương tự, sử dụng các Định lý 2.1.1 và Định lý 2.1.2, và do với mỗi n, Qn và Qn−1 là nguyên tố cùng nhau, nên ta có (B2n, R2n) = (P2nQ2n, P2nQ2n−1) = P2n(Q2n, Q2n−1) = P2n. Định lí được chứng minh. Tương tự như Định lý 2.3.4, ta có định lý sau: Định lý 2.3.5. Ước chung lớn nhất của hai số đối cân bằng liên tiếp hoặc bằng 2 lần số Pell liên kết bậc lẻ hoặc bằng một số Pell bậc chẵn. Nói một cách chính xác hơn, ta có (R2n−1, R2n) = 2Q2n−1 và (R2n, R2n+1) = P2n. 24 Chứng minh. Áp dụng Định lý 2.1.2 và do hai số Pell liên tiếp là nguyên tố cùng nhau và ước chung lớn nhất của các số Pell bậc chẵn liên tiếp là 2, nên (R2n−1, R2n) = (P2n−2Q2n−1, P2nQ2n−1) = Q2n−1(P2n−2, P2n) = 2Q2n−1 và (R2n, R2n+1) = (Q2n−1P2n, P2nQ2n+1) = P2n(Q2n−1, Q2n+1) = P2n(Q2n−1, 2Q2n +Q2n−1) = P2n(Q2n−1, 2Q2n) = P2n. Định lí được chứng minh. 25 Chương 3 Nghiệm của một số phương trình Diophant Trong chương này, ta xét một vài phương trình mà toàn bộ các nghiệm được biểu diễn qua các số cân bằng, số đối cân bằng, số Pell và các số Pell liên kết. 3.1 Phương trình x + (x + 1) + · · · + (x + y) = x(x + y) Phương trình đầu tiên chúng ta xét là tìm hai số tự nhiên sao cho tổng của tất cả các số tự nhiên từ số bé hơn đến số lớn hơn bằng tích của hai số đó. Định lý 3.1.1. Các nghiệm của phương trình Diophant x+ (x+ 1) + · · ·+ (x+ y) = x(x+ y) là x = Rn + 1 và y = Bn −Rn − 1, n = 1, 2, . . . . Chứng minh 1. Ta biết rằng, B là số cân bằng với hệ số cân bằng là R nếu 1 + 2 + · · ·+ (B − 1) = (B + 1) + (B + 2) + · · ·+ (B +R). Do đó, (R + 1) + (R + 2) + · · ·+ (B − 1) = (B + 1) + (B + 2) + · · ·+ (B +R)− (1 + 2 + · · ·+R) = RB. Cộng B vào hai vế ta có (R + 1) + (R + 2) + · · ·+B = (R + 1)B. 26 Do đó, x = R + 1, x+ y = B. Từ đây suy ra điều cần chứng minh. Chứng minh 2. Dưới đây là một chứng minh khác của định lý 3.1.1 bằng cách sử dụng phương trình Pell: Phương trình Diophant x+ (x+ 1) + · · ·+ (x+ y) = x(x+ y) tương đương với (2y + 1)2 − 2(2x− 1)2 = −1. Đặt u = 2y + 1 và v = 2x− 1, ta thu được phương trình Pell mới u2 − 2v2 = −1. Nghiệm cơ bản của phương trình này là u = 1 và v = 1. Do đó, nghiệm tổng quát là un + √ 2vn = (1 + √ 2)n, n = 1, 2, . . . . Vì un − √ 2vn = (1− √ 2)n, n = 1, 2, . . . , nên un = (1 + √ 2)n + (1−√2)n 2 = Qn, và vn = (1 + √ 2)n + (1−√2)n 2 √ 2 = Pn. Vì cả un và vn là lẻ và Pn lẻ nếu n lẻ, nên ta có un = Q2n−1, vn = P2n−1, n = 1, 2, . . . . Do đó 2y + 1 = Q2n−1, 2x− 1 = P2n−1, 27 hay y = (Q2n−1 − 1) 2 , x = (P2n−1 + 1) 2 . Áp dụng các công thức Binet trong (1.8) và (1.11) ta thu được x = (P2n−1 + 1) 2 = Rn + 1, và theo Định lý 2.1.7 ta có x+ y = (P2n−1 +Q2n−1) 2 = Bn, từ đây là suy ra kết luận của định lí. Định lý sau đây cho chúng ta một biểu diễn khác của các nghiệm của phương trình Diophant đang xét. Định lý 3.1.2. Các nghiệm của phương trình Diophant x+ (x+ 1) + · · ·+ (x+ y) = x(x+ y) là x = Bn và y = Rn+1 −Bn, n = 1, 2, . . . . Chứng minh 1. Nếu b là số đối cân bằng với hệ số đối cân bằng là r thì 1 + 2 + · · ·+ b = (b+ 1) + (b+ 2) + · · ·+ (b+ r), hay (r + 1) + (r + 2) + · · ·+ b = (b+ 1) + (b+ 2) + · · ·+ (b+ r)− (1 + 2 + · · ·+ r) = rb. Do đó, x = r và x+y = b. Bây giờ áp dụng Định lí 1.3.3, ta kết luận rằng nếu x = Bn thì x+ y = Rn+1. Chứng minh 2. Cũng như trong định lý trước, trong trường hợp này ta cũng có một chứng minh khác sử dụng phương trình Pell: 28 Phương trình Diophant x+ (x+ 1) + · · ·+ (x+ y) = x(x+ y) là tương đương với (2y + 1)2 − 2(2x)2 = 1. Đặt u = 2y + 1, v = 2x, ta thu được phương trình Pell u2 − 2v2 = 1, u là lẻ , v là chẵn. Nghiệm cơ bản của phương trình này là u = 3 và v = 2. Do đó, nghiệm tổng quát là un + √ 2vn = (3 + 2 √ 2)n, n = 1, 2, . . . . Điều này suy ra un − √ 2vn = (3− 2 √ 2)n, n = 1, 2, . . . . Theo hai phương trình cuối và các Định lí 2.3.1 và 2.2.1, ta có un = (3 + 2 √ 2)n + (3− 2√2)n 2 = α2n1 + α 2n 2 2 = Cn = Q2n, và vn = (3 + 2 √ 2)n − (3− 2√2)n 2 = α2n1 + α 2n 2 2 √ 2 = 2Bn = P2n. Ta thấy rằng Q2n luôn là lẻ và P2n luôn là chẵn. Do đó, 2y + 1 = Cn, 2x = 2Bn, hay y = (Cn − 1) 2 , x = Bn. Do đó x+ y = 2Bn + Cn − 1 2 . 29 Nhưng theo [4, Hệ quả 6.4], ta có 2Bn + Cn − 1 2 = Rn+1. 3.2 Phương trình 1 + 2 + · · · + x = y2 Trong mục này chúng ta xem xét nghiệm của phương trình Diophant gồm hai số mà tổng của tất cả các số tự nhiên cho đến số lớn hơn bằng bình phương của số bé hơn. Định lý dưới đây cho ta trường hợp số lớn hơn là số chẵn. Định lý 3.2.1. Các nghiệm của phương trình Diophant 1 + 2 + · · ·+ 2x = y2 là x = P 22n = 4B 2 n và y = P2nQ2n = B2n, n = 1, 2, . . . . Chứng minh. Phương trình Diophant 1 + 2 + · · ·+ 2x = y2 tương đương với x(2x+ 1) = y2. Vì x và 2x+ 1 là nguyên tố cùng nhau, nên x và 2x+ 1 phải là bình phương. Đặt 2x+ 1 = (2l + 1)2, ta tìm x = 4 · l(l + 1) 2 . Vì x là bình phương nên l(l + 1)/2 là bình phương của mộ số tam giác. Do đó x = 4B2n = P 2 2n, n = 1, 2, . . . . 30 Theo Định lý 2.1.1 ta có y = √ x(2x+ 1) = √ 4B2n(8B 2 n +