Luận văn Một số tính chất của giới hạn ngược

1.5.2. Định lý Nếu A là mô đun trái xạ ảnh (tương ứng: B là mô đun trái nội xạ) thì ta có ngay ( ), 0nExt A B = với mọi n N∈ và mọi mô đun trái B (tương ứng: mọi 9 mô đun trái A) [1, Định lý 1&2, tr. 163]. 1.5.3. Định lý Với mọi mô đun trái A với mọi dãy khớp ngắn các mô đun trái 0 0f gB B B′ ′′→ → → → . Ta có dãy khớp ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * , , 1 1 0 , , , , ... , , , , ... Hom i f Hom i g f gn n n n Hom A B Hom A B Hom A B Ext A B Ext A B Ext A B Ext A B Ext A B δ δ + ′ ′′ ′→ → → → → ′ ′′ ′→ → → → → Tương tự , ([1], Định lý 6, tr 168) nếu B là mô đun trái và mọi dãy khớp ngắn các mô đun trái 0 0f gA A A′ ′′→ → → → thì ta có dãy khớp ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* * , , 1 1 0 , , , , ... , , , , ... Hom g i Hom f i g fn n n n Hom A B Hom A B Hom A B Ext A B Ext A B Ext A B Ext A B Ext A B δ δ + ′′ ′ ′′→ → → → → ′′ ′ ′′→ → → → → [1, Định lý 5, tr. 168]. 1.5.4. Mệnh đề Cho A,B là các mô đun trái và 0 0f gM P A→ → → → là một dãy khớp ngắn,trong đó P là mô đun xạ ảnh. Khi đó ( ) ( ) ( )( ) 1 ,, Im , B Hom M BExt A B Hom f i ≅ . 1.5.5. Hệ quả Với giả thiết như trong Mệnh đề 1.5.4, ta có ( ) ( )1 , ,Ext A B Ext A B≅ nhờ đẳng cấu ( ) ( )( ) ( ) ,: , Im , Hom M B Ext A B Hom f i ϕ → Định bởi ( )( )( ) [ ]Im ,Hom f i Eϕ α + = α với mọi ( ),Hom M Bα∈ . 1.5.6. Định lý Cho A là mô đun trái. Khi đó các khẳng định sau là tương đương : i. A là xạ ảnh. 10 ii. ( )1 , 0Ext A B = với mọi mô đun trái B. iii. ( ), 0nExt A B = với mọi 0n > và với mọi mô đun trái B [2, tr. 69]. 1.6. Hệ xạ ảnh 1.6.1. Định nghĩa I được gọi là một tập định hướng bên phải khi, với mỗi cặp phần tử ( ),α β thuộc I, tồn tại phần tử Iγ∈ mà γ ≥ α và γ ≥ β . 1.6.2. Định nghĩa { },A Iα α∈ là một họ các R-mô đun với I là tập định hướng. Với mỗi ( ),α β thuộc I, α ≤ β , fαβ là R-đồng cấu từ Aβ vào Aα . Giả sử fαβ thỏa mãn điều kiện: i. Với mỗi Iα∈ , fαα là tự đồng cấu. ii. Nếu có α ≤ β ≤ γ thì f f fαγ αβ βγ= . Ta gọi { },A fα αβ là một hệ xạ ảnh của R-mô đun trên I. Nếu { },A fα αβ và { },B gα αβ là các hệ xạ ảnh, cấu xạ từ { },A fα αβ vào { },B gα αβ là một họ các R-đồng cấu { }uα của Aα vào Bα , cho α ≤ β , ta có sơ đồ giao hoán AfA αβα β← fB Bαβα β← Dễ thấy hệ xạ ảnh I (I cố định) với cấu xạ trên là giao hoán. 1.6.3. Định nghĩa Ta có dãy sau { } { } { } { } { }, , ,u vA f B g C hα αα αβ α αβ α αβ→ → là khớp khi và chỉ khi uα uβ 11 1. u vA B Cα αα α α→ → là dãy khớp, với mỗi Iα∈ . 1.6.4. Định nghĩa Cho { },A fα αβ là một hệ xạ ảnh của R-mô đun trên tập định hướng I. Giới hạn ngược là limAα và một họ các đồng cấu chiếu ( ): lim Iu A Aα α α α∈→ thỏa: i. f u uαβ β α= khi α < β . ii. Với mỗi R-mô đun M và với mọi đồng cấu : M Aα αψ → thỏa mãn fαβ β αψ = ψ với α < β , tồn tại duy nhất đồng cấu : limM Aαθ →  sao cho uα αθ = ψ . 1.6.5. Mệnh đề Giới hạn ngược của bất kì hệ xạ ảnh { },A fα αβ các R-mô đun trái trên tập chỉ số định hướng I là tồn tại. Tất nhiên, giới hạn ngược là một hàm tử khớp trái. 1.6.6. Mệnh đề Nếu { },A fα αβ là hệ xạ ảnh của R-mô đun trái, ta có đẳng cấu tự nhiên ( ) ( ), lim lim ,Hom M A Hom M Aα α  với mọi R-mô đun trái M. 1.6.7. Định nghĩa Cho { },A Iα α∈ là một họ các R-mô đun với I là một tập định hướng. Với mỗi ( ),α β thuộc I, α ≤ β , gαβ là R-đồng cấu từ Aα vào Aβ . Giả sử gαβ thỏa mãn điều kiện: i. Với mỗi Iα∈ , gαα là tự đồng cấu. ii. Nếu có α ≤ β ≤ γ thì g g gαγ βγ αβ= . 12 Ta gọi { },A gα αβ là một hệ cảm ứng của R-mô đun trên tập chỉ số I. 1.6.8. Định nghĩa Cho { },A gα αβ là một hệ cảm ứng của R-mô đun trên tập định hướng I. Giới hạn trực tiếp là limAα và một họ các đồng cấu nhúng ( ): lim Iv A Aα α α α∈→  thỏa: i. v g vβ αβ α= khi α < β . ii. Với mỗi R-mô đun M và với mọi đồng cấu : A Mα αψ → thỏa mãn gβ αβ αψ = ψ với α < β , tồn tại duy nhất đồng cấu : limA Mαθ → sao cho vα αθ = ψ . 1.6.9. Mệnh đề Giới hạn trực tiếp của bất kì hệ xạ ảnh { },A gα αβ các R-mô đun trái trên tập chỉ số định hướng I là tồn tại [3, tr. 239]. 1.6.10. Mệnh đề Nếu { },A gα αβ là hệ cảm ứng của R-mô đun trái, ta có đẳng cấu ( ) ( )lim , lim ,Hom A M Hom A Mα α≅  với mọi R-mô đun trái M [3, tr. 240] 13 Chương 2. TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN NGƯỢC 2.1. Hàm tử lim  2.1.1. Định nghĩa Với mỗi hệ xạ ảnh { },A fα αβ , { },T A fα αβ là mô đun con của mô đun tích I Aα α∈ ∏ được tạo thành bởi các phần tử { }aα , a f aα αβ β= với mỗi ( ), ,Iα β ∈ α ≤ β . 2.1.2. Định nghĩa Nếu { }uα là một họ các R-đồng cấu từ { },A fα αβ vào { },B gα αβ , { }T uα là R-đồng cấu xác định bởi { } { }( ) { }T u a u aαα α α= . T được gọi là hàm tử giới hạn xạ ảnh, kí hiệu { }, lim I T A f Aα αβ α=  hay { } lim I T u uα α=  . 2.1.3. Định nghĩa Cho { }A , f αβα là một hệ xạ ảnh và { } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }0 0 1 10 , , , ...A f Q p Q pα αβ α αβ α αβ→ → → → (1) là một phép giải của { }A , f αβα ; hàm tử dẫn xuất R nT được định nghĩa { } { }( )R , lim ,n nT A f H Q pα αβ α α=  Ta thấy R nT chỉ phụ thuộc vào { }A , f αβα . Nếu { }uα là một cấu xạ từ { }A , f αβα đến { },B g αβα , { }R nT uα được xác định hiển nhiên. Nếu không có sự nhầm lẫn, ta viết ( )lim n Aα để chỉ { }R ,nT A fα αβ . Từ đó, nếu { } { } { }0 , , , 0A f B g C hα αβ α αβ α αβ→ → → → là dãy khớp, ta có dãy sau khớp 14 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 lim lim lim lim lim ... lim lim lim lim ...n n n n A B C A B A B C A α α α α α + α α α α → → → → → → → → → → →          (2) 2.1.4. Định nghĩa Hệ xạ ảnh { }A , f αβα được gọi mà mềm nếu với mỗi đồng cấu chính tắc lim lim I J A Aα α→  là toàn ánh với mọi J I⊆ . 2.1.5. Mệnh đề Mọi hệ xạ ảnh { },A fα αβ có thể nhúng vào một hệ xạ ảnh mềm. Chứng minh : Mô đun 0 0 B Aα α α ≤α = ∏ với phép chiếu là một hệ xạ ảnh, Bα là xạ ảnh mềm. Hơn nữa, đồng cấu ( ) { }0 0: , ,g A B g a f a a aα α α α α α α α α→ = ≤ xác định phép nhúng của { },A fα αβ vào hệ xạ ảnh tạo bởi Bα .  2.1.6. Hệ quả Nếu hệ xạ ảnh { },A fα αβ là một vật nội xạ trong phạm trù các hệ xạ ảnh thì { },A fα αβ là mềm. Chứng minh : Theo Mệnh đề 2.1.5, { },A fα αβ là hệ con của hệ xạ ảnh mềm. Từ { },A fα αβ là nội xạ, nên là nhân tử trực tiếp của một hệ xạ ảnh mềm, do đó { },A fα αβ là hệ xạ ảnh mềm. 2.1.7. Định nghĩa Một tập con U I⊆ là mở nếu U chứa bất kỳ phần tử α thì U chứa tất cả phần tử trước α 15 2.1.8. Bổ đề Cho hệ xạ ảnh { },A fα αβ , các điều kiện sau là tương đương : i. Với mỗi tập định hướng J I⊂ , đồng cấu chính tắc lim lim I J A Aα α← ←→ là toàn ánh. ii. Với mỗi U I⊂ là tập mở định hướng, đồng cấu chính tắc lim lim I U A Aα α← ←→ là toàn ánh. Chứng minh : Hiển nhiên ta có i ii→ . Hơn nữa, tập hợp con định hướng J được chứa trong một tập mở tối tiểu U. U chứa các phần tử của J do đó U là tập định hướng và mỗi phần tử thuộc J đều thuộc U, vậy ta có ii i→ .  2.1.9. Định nghĩa Ta nói rằng một hệ xạ ảnh là cận mềm nếu thỏa các điều kiện tương đương của Bổ đề 2.1.8. Rõ ràng một hệ mềm là cận mềm, điều ngược lại nói chung không đúng. Bổ đề sau đây là một hệ quả trực tiếp từ định nghĩa của một hệ cận mềm. 2.1.10. Bổ đề Nếu một hệ xạ ảnh là cận mềm thì thu hẹp của nó tới bất kì tập hợp con định hướng nào của I cũng là cận mềm. 2.1.11. Định nghĩa Một thứ tự λ là tự số giới hạn khi và chỉ khi tồn tại thứ tự nhỏ hơn λ, và ,∀β < λ ∃γ thỏa β <γ <λ. 2.1.12. Định nghĩa Cho X là không gian tôpô, C là phạm trù các nhóm Aben. Một cận- bó F trên X là một hàm với giá trị trong C được cho bởi: i. Với mỗi tập mở U của X, có một tương ứng với F(U) trong C. ii. Với mỗi bao hàm tập hợp V ⊆ U, tương ứng với một cấu xạ thu 16 hẹp : F(U) → F(V) trong C. Nếu F là một cận-bó trên X, và U là một tập mở của X, thì F(U) được gọi là phần của F trên U. Một phần trên X được gọi là phần toàn cục. 2.1.13. Mệnh đề Cho { } { } { } { } { }0 A , , , 0u vf B g C hα αα αβ α αβ α αβ→ → → → là dãy khớp các hệ xạ ảnh. Nếu { }A , fα αβ là cận mềm, thì lim lim0 limA lim lim 0u vB Cα αα α α→ → → →    (*) Là khớp. Chứng minh : Ta có giới hạn ngược là một hàm tử khớp trái, từ đó ta có limvα là toàn ánh. Ta chứng minh bằng quy nạp. Nếu I là hữu hạn,ta có (*) hiển nhiên là dãy khớp. Giả sử nếu I vô hạn, và giả sử bổ đề đúng với bất kì tập hợp các chỉ số (thứ tự và định hướng ). I có thể được biểu diễn bởi hợp của một họ sắp thứ tự tốt ,Iµ µ∈Ω , Ω có thứ tự, định hướng, có bậc nhỏ hơn x sao cho mỗi giới hạn v , thì ,vI Iµ= µ ⊂ ν . Cho s là bất kì trong { },C hα αβ . Do Bổ đề 2.1.10 và giả thiết quy nạp, các thu hẹp sµ của s tới Iµ là một phần tµ của { }Bα . Để chứng minh limvα toàn ánh, ta chứng minh có thể chọn tµ ,µ∈Ω sao cho tµ là thu hẹp của vt với mỗi cặp , :v vµ µ < , tức là để tµ ,µ∈Ω là phần của { },B gα αβ trên I. Theo giả thiết quy nạp, với v∈Ω , có tµ thuộc { }Bα , vµ < để tλ là thu hẹp của tµ với λ < µ . Ta sẽ chỉ ra rằng có thể tìm được vt thu hẹp đến tµ , với vµ < 17 Nếu v là tự số giới hạn , rõ ràng có thể tìm được vt thu hẹp đến tµ , với vµ < do v v I Iµ µ< =  . Nếu v không là tự số giới hạn , đặt 1v = µ + . Như trên, 1sµ+ là một phần của 1tµ+′ trên 1Iµ+ , có thu hẹp tµ′ vào Iµ tương ứng trong { }Cα . Từ đó, t tµ µ′− là một phần của rµ trên Iµ của hệ xạ ảnh { },A fα αβ . Vì hệ xạ ảnh là cận mềm, nên rµ là một phần của 1rµ+ trên 1Iµ+ . Nếu 1tµ+′′ thuộc { }Bα sinh bởi 1rµ+ , thì 1 1 1t t tµ+ µ+ µ+′ ′′= + cảm sinh 1sµ+ vào { }Cα và thu hẹp đến Iµ là ( )t t t tµ µ µ µ′ ′+ − = . Do đó 1tµ+′ thỏa mãn điều kiện, suy ra điều phải chứng minh.  2.1.14. Hệ quả Cho { } { } { } { } { }0 A , , , 0u vf B g C hα αα αβ α αβ α αβ→ → → → là dãy khớp các hệ xạ ảnh, nếu { }A , fα αβ và { },B gα αβ là hệ cận mềm, thì { },C hα αβ cũng là hệ cận mềm. Chứng minh: Cho U là tập con định hướng của I và s là phần trên U trong { },C hα αβ . Áp dụng Mệnh đề 2.1.13 với U, s là một phần của t trên U trong { },B gα αβ . Vì { },B gα αβ là hệ cận mềm, t có thể mở rộng đến một phần toàn cục, cảm sinh vào { },C hα αβ một phần toàn cục, có thu hẹp vào U trùng với s.  2.1.15. Định lý Nếu hệ xạ ảnh { }A , fα αβ là cận mềm, thì ( )lim 0n Aα← = với 0n > . Chứng mimh : Nhúng { }A , fα αβ vào hệ xạ ảnh { }Qα , tồn tại { }Cα sao cho 18 { } { } { }0 A 0vQ Cαα α α→ → → → (3) là dãy khớp. Theo định nghĩa chúng ta có ( )lim 0n Qα = với 0n > . Áp dụng dãy khớp (2), ta có ( ) ( )1 1 limlim lim lim lim 0vQ C A Qαα α α α→ → → =    Theo Mệnh đề 2.1.13 thì limvα là toàn ánh, do đó ( )1lim 0Aα = . Ta chứng minh bằng quy nạp trên n. Giả sử ( )1lim 0n X− α = với mỗi hệ cận mềm { }Xα trên U. Các dãy ( )lim n  khớp, áp dụng (3), có ( ) ( )1lim limn nA C−α α  (4) Theo Hệ quả 2.1.6 và 2.1.14, { }Cα là cận mềm. Do đó, theo giả thiết quy nạp ( )1lim 0n C− α = kết hợp với (4) suy ra điều phải chứng minh.  2.1.16. Định lý Cho { }Aα là một hệ xạ ảnh, và { } { } { } { }0 10 A ... ...nF F Fα α α α→ → → → → → (5) là dãy khớp. Nếu { }nFα là hệ cận mềm với mỗi 0n ≥ , thì ( ) ( )lim limn nA H Fα α  với limFα là phức (mô đun) thu được từ (5). Chứng minh : Dùng hạt nhân và đối hạt nhân, từ (5) ta có dãy khớp { } { } { }10 A 0n n nF A−α α α→ → → → , 0,1,2,...n = với { } { }1A A−α α= 19 Do lim  bảo toàn khớp trái nên dãy sau là khớp ( )10 limA lim lim lim 0n n n nF A H F−α α α α→ → → → →    Từ dãy khớp hàm tử ( )lim n  và Định lý 2.1.15 cho ta dãy khớp ( ) ( )1 11 10 limA lim lim lim A lim 0n n n n nF A F− −α α α α α→ → → → → =     Từ hai dãy khớp chứng tỏ có một đẳng cấu ( ) ( )11 1lim lim An nH F+ −α α  . Như trong Định lý 2.1.15, ta sẽ thu được, bằng cách thay đổi bởi các đẳng cấu ( ) ( ) ( )1 2 11 1 1lim A lim A .... lim Ann n n+− − −α α α≅ ≅ ≅   và do đó ( ) ( )11 lim lim AnnH F ++ α α≅  .  Nhận xét: Tính mềm (hay cận mềm) của một hệ xạ ảnh là một tính chất tôpô, Định lý 2.1.16 chỉ ra rằng ( )lim An α là nhóm Abel không phụ thuộc vào vành cơ sở R. 2.2. Một số kết quả trên tập các chỉ số đếm được Trong phần này, chúng ta nghiên cứu chi tiết các trường hợp tập các chỉ số I là tập đếm được, định hướng. 2.2.1. Định nghĩa Cho A là một tập hợp và ≤ là một quan hệ thứ tự trên A. Một tập con B của A được gọi là cùng gốc nếu thỏa mãn điều kiện: Với mỗi a A∈ , tồn tại b B∈ mà a b≤ . I chứa một tập hợp con cùng gốc đẳng cấu với tập N số tự nhiên với thứ tự thông thường, và ta có thể giả sử I= N . Thật vậy, kết quả tổng quát hơn của Định lý 2.1.16 là ( ) ( )lim lim J I n nA Aα α← ←≅ với mỗi hệ xạ ảnh { }Aα và bất kỳ tập hợp con cùng gốc J của I. 2.2.2. Mệnh đề Một hệ xạ ảnh { },i ijA f với N là tập hợp các chỉ số là mềm khi và chỉ 20 khi , 1i if + là toàn ánh với mọi i N∈ . Chứng minh: Một tập hợp con mở của N có dạng { }i i n≤ với n thích hợp. Như vậy , đồng cấu lim A lim A i ni N i i nA ≤∈ ← ← → =  là toàn ánh khi và chỉ khi , 1j jf + là toàn ánh với j n≥ . Ở đây n có thể là một số nguyên.  Tất nhiên trong trường hợp này các thuật ngữ "mềm" và "cận mềm" là như nhau. 2.2.3. Định lý Cho hệ xạ ảnh { },i ijA f với N là tập hợp các chỉ số, ta có ( )lim 0n iA = với 2n ≥ . Chứng minh: Theo Mệnh đề 2.1.5 có dãy khớp { } { } { }0 , , , 0i ij i ij i ijA f B g C h→ → → → với { },i ijB g là hệ mềm. Vì vậy , 1i ig + là toàn ánh với mọi i, điều này có được bằng phép săn biểu đồ, và tương tự trong trường hợp , 1i ih + . Từ Mệnh đề 2.2.2, ta có { },i ijC h là hệ mềm. sau đó áp dụng Định lý 2.1.16. Nhận xét 1: Mệnh đề 2.2.2 dẫn đến một kết quả mạnh hơn so với định lý 2.2.3 là bất kỳ hệ xạ ảnh với N là tập hợp các chỉ số có độ dài phép giải mềm 1≤ , ta nói “chiều mềm” của N với thứ tự thông thường là 1≤ . Với N là tập các chỉ số với thứ tự thông thường. Cũng trong trường hợp I N= , ta mô tả tường minh ( )1lim iA . Cho , 1i i if f += và xét đồng cấu Ai i i N i N A Aδ ∈ ∈ →∏ ∏ Cho bởi: ( ) ( )1 2 1 1 2 2 2 3 1, ,..., ,... , ,..., ,...A n n n na a a a f a a f a a f a +δ = − − − 21 Rõ ràng 1r limAKe Aδ ≅  , là đẳng cấu tự nhiên. Ta chứng minh rằng ( )1lim ri AA Coke≅ δ . Dễ dàng kiểm tra được r 0ACoke δ = , nếu { }iA là hệ xạ ảnh mềm (các ánh xạ là toàn ánh). Và nếu { } { } { }0 0i i iA B C→ → → → là dãy khớp, với { }iB là hệ mềm, ta có sơ đồ giao hoán 0 0i i iA A A→Π →Π →Π → 0 0i i iA A A→Π →Π →Π → Áp dụng bổ đề con rắn, ta có dãy khớp 0 r r r r r r 0A B C A B CKe Ke Ke Coke Coke Coke→ δ → δ → δ → δ → δ → δ → Từ { }iB là hệ mềm, nên r 0Bcoke δ = . Như đã biết, ta có sơ đồ giao hoán mà mũi tên thẳng đứng là đẳng cấu: 0 r r r r 0A B C Dke ke ke ke→ δ → δ → δ → δ → ( ) ( )1 10 lim lim lim lim lim 0i i i i iA B C A B→ → → → → =     Trong dòng cuối cùng, ta sử dụng tính chất { }iB là hệ xạ ảnh mềm. Bằng phép "săn biểu đồ " chúng ta nhận được đẳng cấu ( )1lim ri AA Coke δ . Nhận xét 2: Nếu tập chỉ số là không đếm được, ta không có một đẳng cấu tương tự đối với ( )1lim  (và ( )lim , 1i i >  ) . Bây giờ, ta xem xét một hệ xạ ảnh của các nhóm Abel hữu hạn iA , với N là tập các chỉ số, và xác định cấu trúc của ( )1lim iA . Aδ Bδ Cδ 22 2.2.4. Mệnh đề Với mọi hệ xạ ảnh { }, ,i ijA f i∈Ν của các nhóm Abel hữu hạn, ta có ( )1lim 0iA = . 2.2.5. Mệnh đề Các nhóm Abel ( )1lim ,iA i∈Ν , iA tự do hữu hạn đều có dạng ( )1Ext ,Z M Z , với M là nhóm Abel không xoắn đếm được. Chứng minh: Như kết quả của chứng minh Mệnh đề 2.1.5, tồn tại dãy khớp các hệ xạ ảnh { } { } { }0 0i i iA B C→ → → → ( i jj iB A≤≅ ⊕ ) Với { }iB là hệ mềm, mỗi iB tự do hữu hạn, và đồng cấu i iA B→ chia được với mỗi i (tất nhiên nói chung không chính tắc ), do đó iC là tự do hữu hạn. Kí hiệu ( )* Z ,A Hom A Z= . Vì tất cả các nhóm đều tự do hữu hạn, ta có dãy khớp: { } { } { }* * *0 0i i iC B A→ → → → Và do đó, lim  là một hàm tử khớp : * * *0 lim lim lim 0i i iC B A→ → → →   Từ đó dẫn tới dãy khớp: ( ) ( ) ( )* * *Z Z Z0 lim , lim , lim ,i i iHom A Z Hom B Z Hom C Z→ → →   ( ) ( ) 1 * 1 *Ext lim , Ext lim ,Z i Z iA Z B Z→ →  Ở đây * *lim i ii NB A∈= ⊕ là tự do. Ta có đối ngẫu , với iA , iB và iC là các tạo ảnh, thu được: ( )1 *0 lim lim lim Ext lim , 0i i i Z iA B C A Z→ → → → →    23 Đối chiếu với dãy khớp: ( )10 lim lim lim lim 0i i i iA B C A→ → → → →    Suy ra ( )* 1 *lim Ext lim ,i Z iA A Z  , với *lim iA là một giới hạn của các nhóm Abel tự do hữu hạn, do đó đếm được và không xoắn. Mặt khác bất kỳ nhóm Abel đếm được M mà không xoắn là giao của lọc đếm được các nhóm con iA tự do hữu hạn. Từ đó ta có ( ) ( )11 *Ext , limZ iM Z A≅  .  2.2.6. Định lý Các nhóm ( )1lim ,iA i∈Ν , iA tự do hữu hạn đều có dạng ( )1Ext ,Z M Z , với M là nhóm Abel không xoắn đếm được. Chứng minh: Ta viết ( )Ai T kí hiệu cho nhóm con không xoắn của Ai , ta có dãy khớp các hệ xạ ảnh ( ){ } { } ( ){ }0 A A A / A 0i i i iT T→ → → → ( )2lim  biến mất khi tập chỉ số là đếm được, vì vậy ta suy ra dãy khớp ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1lim A lim A lim A / A 0i i i iT Tϕ→ → →   Theo Mệnh đề 2.2.4, đồng cấu ϕ là một đẳng đẳng cấu. Với mỗi i, ( )A / Ai i T không xoắn và hữu hạn, do đó là tự do, và theo Mệnh đề 2.2.5 có ( )1lim Ai có dạng ( )1Ext ,Z M Z , M là nhóm Abel đếm được không xoắn.  Sự khẳng định ngược lại của Định lý 2.2.6 là một trường hợp đặc biệt của Mệnh đề 2.2.5. 2.2.7. Định lý Nhóm Abel mô tả ở Định lý 2.2.6 ( và Mệnh đề 2.2.5) là chia được. Chứng minh: 24 Lấy { }iA , i N∈ là hệ xạ ảnh các nhóm Abel hữu hạn. Theo Mệnh đề 2.2.6 ta có thể giả sử iA là tự do với mọi i. Nếu x là một số nguyên 0≠ , ta có dãy khớp các hệ xạ ảnh: { } { } { }0 / 0xi i i iA A A xA•→ → → → Từ đó có dãy khớp: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1lim lim lim / 0xi i i iA A A xA•→ → =   Trường hợp phần tử cuối bằng 0, thì /i iA xA là hữu hạn (Mệnh đề 2.3.4). Do đó phép nhân bởi x là toàn ánh với ( )1lim iA , suy ra điều phải chứng minh.  Ta đã biết, tất cả các nhóm Abel chia được là tổng trực tiếp các nhóm con chia được và không chia được, Q và ( )Z p∞ . ( Nhắc lại ( )Z p∞ là /P Z , với P là nhóm các số hữu tỉ có mẫu chung là bội của số nguyên tố p ). Với các nhóm được mô tả trong Định lý 2.2.6, ta thiết lập ( ) ( ) ( )( )( )01Ext , Z pnnZ p M Z Q p= ⊕ ⊕ ∞∑ (1) Với ( )0nQ biểu thị tổng trực tiếp của 0n nhóm Q , tương tự ( ) ( ) Z np p∞ biểu thị tổng trực tiếp của pn nhóm ( )Z p∞ . Ta sẽ xác định 0n và pn ở trên. 2.2.8. Định lý Lấy G là nhóm Abel trong Định lý 2.2.6 có dạng ( )Ext ,M Z , M đếm được và không xoắn. Nếu G không bằng 0, ta có i. 0x0 2n = . ii. pn là hữu hạn (có thể bằng 0) hoặc 0x2= . Ngược lại, với mỗi số 0n , pn thỏa mãn (i) và (ii), có một nhóm Abel M đếm được và không xoắn với phân tích (1). 25 Chứng minh : Trước tiên, ta chứng minh 0x0 2n = . Từ định nghĩa ( )Ext ,M Z ta thấy rằng bậc của ( )Ext ,M Z không lớn hơn 0x2 , do đó 0x0 2n ≤ (và tương tự 0x2pn ≤ ) Lấy { }ja là tập hợp (hữu hạn hoặc đếm được) các phần tử trong M độc lập tuyến tính trên Z, và iM là nhóm con có hạng hữu hạn được lập bởi các phần tử phụ thuộc tuyến tính { }ja của M, j i≤ . Ta có 1,i i iM M M M += ∪ ⊆ iM có hạng hữu hạn, 1 /i iM M+ không xoắn, G 0≠ , do đó tồn tại iM không tự do; nếu tất cả iM không tự do hữu hạn, 1 /i iM M+ là không xoắn và hữu hạn, ta có 1 2 1 3 2/ / ...M M M M M M≅ ⊕ ⊕ ⊕ và M là tự do, mâu thuẫn với 0G ≠ . Vì vậy, tồn tại một nhóm con K không tự do có hạng hữu hạn. K không hữu hạn sinh. Dễ thấy 0n là chiều (trên Q ) của không gian véctơ ZQ G⊗ . Từ K M⊆ dẫn đến toàn cấu ( ) ( )Ext , Ext , 0M Z K Z→ → Và hàm tử 0x Q⊗ − là khớp phải , điều đó chứng tỏ Q xuất hiện 0x2 lần trong khai triển của ( )Ext ,K Z . Nếu K có hạng n, tồn tại dãy khớp 0 Z 0n K C→ → → → (2) Trong đó C là một nhóm xoắn. (2) cho ta dãy khớp ( ) ( ) ( ) ( )Z Z , Ext , Ext , Ext , 0n n nHom Z C Z K Z Z Z= → → → = Vậy rõ ràng chiều (trên Q ) của không gian véctơ ( )Z Ext ,Q C Z⊗ bằng 0x2 . 26 Vì K có hạng n, và K là một nhóm con của nQ , do đó C là một nhóm con của ( ) ( )( )/ Z nn p Q Z p⊕ ∞ , trong đó p chạy qua các số nguyên tố. Tất cả p thành phần p-nguyên sơ pC của C là một nhóm con của ( )Z np∞ , và do đó là nhóm Artin. Từ đó dãy giảm 2 ...p p pC pC p C⊇ ⊇ ⊇ là dừng, nên tồn tại r mà r r 1 p pp C p C += . Vậy rp pD p C= chia được và ,p p pC D F⊕ với r/p p pF C p C là một nhóm hữu hạn. Bây giờ ta xem xét hai trường hợp: i. Tồn tại p sao cho 0pD ≠ . ii. 0pD = với mọi p. Trong trường hợp i. ( )ZpD p⊇ ∞ , điều đó chứng tỏ rằng chiều ( trên Q ) của ( )( )Ext Z ,p Z∞ là 0x2 . Áp dụng dãy khớp các hàm tử Hom và Ext cho 0 Z / 0Q Q Z→ → → → Thu được ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )Ext , , / ,Z p Z Hom Z p Q Z Hom Z p Z p∞ ∞ ∞ ∞  . Từ đó đẳng cấu với nhóm cộng các số p-adic. Vậy, ta đã chứng minh xong trong trường hợp i. Trong trường hợp ii. 0pF ≠ với mọi p, do đó K là hữu hạn sinh. Vậy, tồn tại một dãy vô hạn 1,...., ,...ip p các số nguyên tố mà / i ip S Z Zp C= ⊕ ⊆ . Ext là hàm tử khớp phải, điều đó chứng tỏ chiều ( trên Q ) của không gian véctơ ( )Ext S,Q Z⊗ là 0x2 . Nhưng ( )Ext S, / i i p Z Z Zp∏ là nhóm bậc 0x2 , có nhóm con xoắn đếm được. Bây giờ ta chứng minh pn là hữu hạn (có thể bằng 0) hoặc 0 x2= . 27 Trước tiên ta thấy pn bằng với chiều (trên /Z Zp ) của không gian véctơ ( )( )/ ,Ext ,Hom Z Zp M Z . có đẳng cấu ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Ext / , , / ,Ext , Ext / , Tor / , , Z Zp Hom M Z Hom Z Zp M Z Z Zp M Z Hom Z Zp M Z ⊕ ⊗ ⊕  (3) Theo kết quả của Nunke-Rotman: tất cả các nhóm đếm được M có thể biểu diễn dưới dạng M L M ′= ⊕ với L tự do và ( ), 0Hom M Z′ = . Từ ( ) ( )Ext , Ext ,M Z M Z′ ta có thể giả sử ( ), 0Hom M Z = . Hơn nữa, M không xoắn, ( )Tor , 0M− = suy biến thành đẳng cấu ( )( ) ( )( )/ ,Ext , Ext / ,Hom Z Zp M Z Z Zp M Z≅ ⊗ ( )/Z Zp M⊗ là một không gian véctơ trên ( )/Z Zp , Do đó ( )/ I Z Zp⊕∑ có tập chỉ số là hữu hạn hoặc đếm được. Từ đó có ( )( ) ( )Ext / , / I Z Zp M Z Z Zp⊗ ≅∏ Nếu I hữu hạn, thì pn hữu hạn ; nếu I đếm được thì 0 x2pn = . Ta đã chứng minh phần đầu tiên của Định lý 2.2.8. Cuối cùng, xét bậc 0x0 2n = , pn , p là số nguyên tố thỏa mãn ii). Với M phù hợp, ta chứng minh các trường hợp sau. Trường hợp 0x0 2n = , 0pn = với mọi p. Từ Q chia được, ( )Ext ,Q Z không xoắn, do đó, theo các chứng minh trên, ta có ( ) ( )0Ext , NQ Z Q , với 0x 0 2n = . Trong trường hợp tổng quát, hoặc kP , k là số nguyên, là tập số đầu tiên mà 0kpk n x≤ < hoặc P′ là tập số đầu tiên mà 0x2pn ′ = . 28 Lấy kM là nhóm con ( cộng tính ) của Q , bao gồm số hữu tỉ mà mẫu số chia hết cho bất kỳ kp , và M ′ là nhóm các số hữu tỉ mà mẫu số chia hết cho bất kỳ p′ . Sử dụng đẳng cấu (4) dễ thấy ( )( )0x 1 k k M M M ∞ = ′= ⊕ ⊕∑ là nhóm không xoắn đếm đươc. 2.2.9. Hệ quả Cho G là một nhóm Abel có bậc 0x2≤ . Các điều kiện sau là tương đương: i. G là nhóm được mô tả trong Định lý 2.2.5, tức là có dạng ( )Ext ,M Z , M đếm được và không xoắn. ii. Đối với một tôpô phù hợp G (như một nhóm tôpô) là compắc và liên thông. Nhận xét : Định lý 2.2.8 cho kết quả ([4], tr 36): Một nhóm đếm được và không xoắn M là tự do nếu (và chỉ nếu) ( )Ext ,M Z là đếm được. 2.3. Thứ nguyên đối đồng điều của một tập hợp bậc kx Trong phần trước chúng ta đã thấy, cho I N= (hoặc bất kỳ I định hướng đếm được) thì ( )lim 0p iA = với bất kì hệ xạ ảnh iA là nhóm Abel và với mọi 2p ≥ . Ta nói rằng N có thứ nguyên đối đồng điều 1≤ . Ta đã chứng minh rằng chiều mềm của N là 1≤ (Xem nhận xét ở Định lý 2.2.3). Đối với một tập có thứ tự định hướng bậc kx , ta có định lý sau 2.3.1. Định lý Cho I là tập thứ tự định hướng kx≤ . Với mọi hệ xạ ảnh { },A fα αβ thì ( )lim 0i Aα = với 2i k≥ + . Ta nói, I là thứ nguyên đối đồng điều 1k≤ + . Chứng minh : 29 Ta chứng minh bằng quy nạp trên k. Với 0k = , đây là kết quả của Định lý 2.2.3. Giả sử điều cần chứng minh đúng với ,hx h k< . có { }Aα là một hệ xạ ảnh { } { } { } { }0 10 A .... pF F Fα α α α→ → → → → → (1) một phép giải (cận) mềm của { }Aα . (1) được hợp thành bởi các dãy khớp sau : { } { } { } { } { } { } { } { } { } 0 1 1 1 2 1 0 A 0 0 0 0 0p p p F X X F X X F X α α α α α α + α α α → → → → → → → → → → → → (2) Chuyển ngược lại ta suy ra ( ) ( )1 1lim limi iA X −α α  .