Luận văn Một số tính chất của trường hữu hạn

y trình bày rõ một số tính chất của đa thức trên trường hữu hạn như: Nghiệm của đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn, đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn, phân tích đa thức trên trường hữu hạn. Chương IV. BÀI TẬP Gồm một số bài tập làm nhiệm vụ cũng cố, làm rõ những vấn đề được đề cập đến trong nội dung chính Bảng kí hiệu tập rỗng Z tập các số nguyên ước chung lớn nhất của m và n m chia hết n số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng n (R) a đồng dư với b modulo m số các số nguyên dương không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n (hàm Euler) trường có q phần tử nhóm nhân các phần tử khác không của mở rộng đơn của trường K sinh bởi phần tử a K là nhóm con của nhóm F 1 phần tử đơn vị của vành (nhóm) cấp của phần tử a (hay ) nghịch đảo của phần tử a nhóm xyclic sinh bởi phần tử a vành các đa thức theo biến x trên trường F bậc của đa thức ước chung lớn nhất của và chia hết đa thức đạo hàm của hay L là mở rộng trường của trường K bậc của mở rộng L trên trường K đặc số của vành (trường) F B. PHẦN NỘI DUNG Chương I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ NHÓM 1.1 Nhóm con 1.1.1 Định nghĩa Cho G là nhóm, H là tập con khác rỗng của G. Khi đó H là nhóm con của G nếu H với phép toán cảm sinh của phép toán trong G là nhóm. Khi H là nhóm con của G ta kí hiệu 1.1.2 Tính chất i) Cho H là tập con khác rỗng của nhóm G. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: ii) Cho G là nhóm, và thì 1.2 Nhóm hữu hạn sinh 1.2.1 Định nghĩa Cho G là một nhóm và i) Nhóm con nhỏ nhất của G chứa X được gọi là nhóm con sinh bởi X kí hiệu là . ii) Nếu và thì ta nói rằng H sinh bởi X hay X là hệ sinh của H. Đặt biệt nếu thì ta nói rằng G là một nhóm sinh bởi tập X. iii) Nếu G là một hệ sinh hữu hạn nào đó thì ta nói G là nhóm hữu hạn sinh. Đặt biệt, nếu G có hệ sinh gồm một phần tử thì G được gọi là nhóm xyclic. iv) Nếu thì được viết lại là . 1.2.2 Tính chất i) Cho G là một nhóm và . Khi đó: Nếu thì Nếu thì ii) Nếu G là nhóm xyclic sinh bởi a thì 1.3 Cấp của nhóm - cấp của phần tử 1.3.1 Định nghĩa Cho G là nhóm i) Cấp của G chính là lực lượng của G và kí hiệu là . ii) Cấp của phần tử là cấp của và kí hiệu là . 1.3.2 Tính chất i) Cho G là nhóm, . Khi đó: a có cấp hữu hạn khi và chỉ khi N sao cho . Nếu a có cấp hữu hạn là d thì . Nếu a có cấp hữu hạn là d thì d là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho . Nếu tồn tại n sao cho khi và chỉ khi ii) Cho là nhóm, và . Khi đó iii) Cho là nhóm xyclic cấp n và . Khi đó khi và chỉ khi iv) Mọi nhóm cấp nguyên tố đều là nhóm xyclic. v) Cho là nhóm xyclic. Khi đó, nếu thì là nhóm con xyclic của nhóm 2.MỘT SỐ KIẾN THỨC VÀNH VÀ TRƯỜNG 2.1 Định nghĩa Trường là một vành giao hoán, có đơn vị, nhiều hơn một phần tử và mọi phần tử khác không đều khả nghịch. 2.2 Trường con 2.2.1 Định nghĩa i) Giả sử X là trường, tập con A khác rỗng của X được gọi là trường con của X nếu A ổn định với hai phép toán trong X và A cùng với hai phép toán cảm sinh là một trường. ii) Trường con của được gọi là trường con nguyên tố nếu thỏa các điều kiện sau: không chứa trường con nào của khác Mọi trường con của đều chứa Khi thì được gọi là trường nguyên tố. 2.2.2 Tính chất i) Giả sử A là một tập con có nhiều hơn một phần tử của trường X. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: A là trường con của X và nếu và nếu ii) Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: X là trường X không có ideal nào ngoài X và Mọi đồng cấu vành khác đồng cấu không từ vành X đến vành bất kỳ đều là đơn cấu. iii) Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị, ideal M của X là ideal tối đại khi và chỉ khi là một trường. 2.3 Đồng cấu vành 2.3.1 Đinh nghĩa i) Giả sử X và Y là các vành. Ánh xạ được gọi là đồng cấu vành nếu thỏa hai điều kiện sau: với mọi Nếu thì đồng cấu được gọi là tự đồng cấu của X ii) Cho đồng cấu vành . Khi đó: là đơn cấu nếu ánh xạ là đơn ánh là toàn cấu nếu ánh xạ là toàn ánh là song ánh nếu ánh xạ là song ánh 2.3.2 Tính chất i) Tích của hai đồng cấu là đồng cấu ii) Giả sử là một đồng cấu vành. Khi đó: là một toàn cấu khi và chỉ khi là một đơn cấu khi và chỉ khi 2.4 Đặc số của vành 2.4.1 Định Nghĩa. Giả sử X là vành. Nếu tồn tại số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho thì ta nói vành X có đặc số n. Nếu không tồn tại n như vậy thì ta nói vành X có đặc số 0. Đăc số của vành X được ký hiệu . Nếu X là một trường thì ta hiểu đặc số của trường X là đặc số của vành X. 2.4.2 Tính chất i) Giả sử X là vành có đơn vị là 1 và có đặc số . Khi đó: n là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho Nếu X không có ước của không ( nói riêng X là miền nguyên, X là trường) thì n là số nguyên tố. ii) Nếu là một số nguyên tố thì: iii) Cho là một trường và là một trường con nguyên tố của nó. Nếu: có đặc số 0 thì P đẳng cấu với Q F có đặc số nguyên tố p thì P đẳng cấu với 3. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ ĐA THỨC 3.1 Bậc của đa thức 3.1.1 Định Nghĩa Giả sử với . Khi đó ta nói đa thức có bậc n, ký hiệu . Phần tử được gọi là hệ tử cao nhất, phần tử được gọi là phần tử tự do, các được gọi là hệ tử, các được gọi là hạng tử của đa thức. 3.1.2 Tính chất Cho và là hai đa thức khác không, khi đó: i) Nếu thì ii) Nếu thì iii) Nếu thì iv) Cho K là trường và . Khi đó, tồn tại duy nhất cặp đa thức và sao cho với . Các đa thức và được gọi tương ứng là thương và dư trong phép chia cho 3.2 Nghiệm của đa thức và đa thức bất khả quy 3.2.1 Định nghĩa i) Cho với và . Phần tử được gọi là giá trị của tại c. Nếu thì c được gọi là nghiệm của . Tìm nghiệm của trong là giải phương trình đại số trong . ii) Giả sử là một trường và c là một phần tử của , là một đa thức của vành và m là số tự nhiên . c là một nghiệm bội cấp m của nếu và chỉ nếu chia hết cho đa thức và không chia hết cho đa thức . Nếu người ta gọi c là nghiệm đơn, thì c được gọi là nghiệm kép. iii) Cho K là trường, đa thức trong vành gọi là bất khả quy trên K nếu có bậc là một số nguyên dương và từ điều kiện , với luôn suy ra hoặc là đa thức hằng. 3.2.2 Tính chất i) Giả sử là một trường và , . Khi đó phần dư của phép chia cho đa thức là . ii) Nếu là một trường và ,. Khi đó, c là nghiệm của đa thức khi và chỉ khi chia hết cho . iii) Các đa thức liên kết với đa thức là các đa thức có dạng với . iv) Các đa thức bậc nhất là các đa thức bất khả quy trên trường K và có nghiệm là v) Các đa thức bậc lớn hơn 1 bất khả quy trên trường K đều không có nghiệm trong K vi) Giả sử là trường. Khi đó, nếu là đa thức bất khả quy trong thì là một trường. Thật vậy: Lấy và suy ra nên . Khi đó tồn tại các đa thức sao cho . Do đó , mà nên . Vậy có nghịch đảo là trong . Vậy là trường. vii) Cho là đa thức bất khả quy trên trường K. Khi đó tồn tại duy nhất ( sai khác một đẳng cấu) trường E sao cho: K là trường con của E có nghiệm trong E Mọi phần tử viết được duy nhất dưới dạng 3.3 Trường phân rã của đa thức 3.3.1 Định Nghĩa i) Cho K là trường và là đa thức bậc trên K. Khi đó, trường E chứa trường K như trường con, được gọi là trường phân rã của đa thức trên K nếu có đúng n nghiệm ( kể cả nghiệm bội) trong E và E là trường tối tiểu ( theo quan hệ bao hàm ) chứa K và các nghiệm của . ii) Cho đa thức , ta gọi đa thức sau đây là đạo hàm của : 3.3.2 Tính chất Cho trường K và một đa thức bậc n. Khi đó, có nghiệm bội khi và chỉ khi trong trường phân rã của các đa thức và có một nghiệm chung. Thật vậy: Nếu là nghiệm của với số bội k thì với . Khi đó, Nếu thì là một nghiệm của với bội số ít nhất là . Nếu thì suy ra . Vậy và có nghiệm chung khi và chỉ khi là một nghiệm của với bội số ít nhất bằng 2. 4. MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ LÝ THUYẾT GALOIS 4.1 Mở rộng trường 4.1.1 Định nghĩa i) Cho là trường con của trường thì ta nói là một mở rộng của và ký hiệu hay ii) Cho , khi đó có cấu trúc - không gian . Ta biết rằng mọi không gian đều có cơ sở ( ta hiểu mỗi cơ sở của - không gian là một cơ sở mở rộng trên ). Khi đó số chiều của - không gian vectơ được gọi là bậc mở rộng của trên . Ký hiệu . Nếu thì ta nói rằng là một mở rộng hữu hạn của và ký hiệu hữu hạn. Ngược lại ta nói rằng là mở rộng vô hạn của . 4.2 Phần tử đại số 4.2.1 Định nghĩa i) Cho và . Nếu tồn tại đa thức sao cho thì được gọi là phần tử đại số trên . Nếu không tồn tại đa thức thỏa điều kiện như vậy thì được gọi là phần tử siêu việt trên ii) Đa thức bất khả quy với hệ tử của bậc cao nhất bằng 1, nhận làm nghiệm được gọi là đa thức tối tiểu của trên K. Ta ký hiệu iii) Cho và . Khi đó, bậc mở rộng được gọi là bậc của phần tử trên iv) Cho . Trường L được gọi là mở rộng đại số trên K nếu mọi phần tử của L đều là phần tử đại số trên K. Khi đó ta ký hiệu là đại số. 4.2.2 Tính chất i) Cho và . Khi đó là phần tử đại số trên K nếu và chỉ nếu một trong các điều kiện sau đây xảy ra: trong đó là cơ sở của trên K ii) Nếu - hữu hạn thì - đại số iii) Cho , giả sử trong đó là các phần tử đại số trên . Khi đó là mở rộng hữu hạn của . Chương II. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TRƯỜNG HỮU HẠN 1.Định Nghĩa Định nghĩa Trường hữu hạn là trường có hữu hạn phần tử. Định lí 2.1.1 Nếu F là trường hữu hạn thì đặc số của F là một số nguyên tố. Chứng minh. Ta có đặc số của trường hoặc là 0 hoặc là một số nguyên tố. Giả sử là trường hữu hạn có đặc số 0 thì chứa trường con nguyên tố đẳng cấu với Q. Nhưng Q là trường vô hạn nên trường con nguyên tố của là vô hạn.(mâu thuẫn). Vây đặc số của trường hữu hạn là một số nguyên tố 2.Nhóm nhân của trường hữu hạn Định lí 2.2.1 Cho là trường hữu hạn thì với mọi ta đều có . Chứng minh. Với thì ta có . Với thì số phần tử của nhóm nhân là . Suy ra . Khi đó với mọi ta đều có hay . Vậy với mọi . Định lí 2.2.2 Cho trường hữu hạn . Và là trường con của thì đa thức trong có sự phân tích trong là và là trường phân rã của đa thức trên . Chứng minh. Theo Định lí 2.2.1 ta có với mọi hay là nghiệm của đa thức . Ta viết q phần tử của là . Khi đó mỗi đa thức đều là ước của đa thức , hơn nữa các đa thức nguyên tố cùng nhau nên tích cũng là ước của . Do đa thức có bậc là q nên ta có . Vậy là trường phân rã của đa thức trên . Định lí 2.2.3 Nhóm nhân của trường hữu hạn là nhóm xyclic Chứng minh. Giả sử F là một trường hữu hạn gồm q phần tử. Đặt . Nếu hoặc h là số nguyên tố thì rõ ràng là nhóm xyclic. Do đó, ta có thể giả sử h là số nguyên dương lớn hơn 1 và không là số nguyên tố. Giả sử , với , nguyên tố khác nhau đôi một, N, . Khi đó, và đa thức có không quá nghiệm trong , suy ra tồn tại sao cho . Đặt . Ta sẽ chứng minh . Ta có, và vì nếu thì (mâu thuẫn). Do đó, và , suy ra . Mặt khác, . Vì vậy, . Đặt . Khi đó, do , với là các số nguyên tố khác nhau đôi một và giao hoán nên . Vậy . Hệ quả 2.2.4 Mỗi nhóm con hữu hạn của nhóm nhân của một trường là một nhóm xyclic. Chứng minh. Giả sử F là một trường và G là một nhóm con hữu hạn cấp n của nhóm nhân . Xét trường hợp . Gọi là trường con nguyên tố của trường F. Vì nên mọi phần tử của G đều là nghiệm của đa thức . Do đó, mọi phần tử của G đều đại số trên , suy ra là mở rộng hữu hạn, đại số trên Fp , do đó là một trường hữu hạn. Theo Định lý 2.2.3, là một nhóm xyclic. Vì vậy, G là một nhóm con xyclic của nhóm . Xét trường hợp . Vì tất cả n phần tử của G đều là nghiệm của đa thức và đa thức bậc n có không quá n nghiệm nên G là tập nghiệm của đa thức . Lập luận tương tự như chứng minh Định lý 2.2.3 (ở đó, h được thay bởi n), ta có G là một nhóm xyclic. Định nghĩa 2.2.5 Mỗi phần tử sinh của nhóm xyclic được gọi là một phần tử nguyên thủy của . Nhận xét Trường hữu hạn có tất cả phần tử nguyên thủy, trong đó là hàm Euler Định nghĩa 2.2.6 Cho trường hữu hạn , với mỗi số nguyên dương r , ta định nghĩa: Định lí 2.2.7 Cho trường hữu hạn . Khi đó, là nhóm con của và Chứng minh. Ta kiểm tra là nhóm con của . Thật vậy, ta suy ra , với . Khi đó, kéo theo . Mặt khác, , ta có , với , kéo theo , do đó . Vậy . Gọi là một phần tử nguyên thủy của . Khi đó, và . Suy ra . Định lí 2.2.8 Cho trường hữu hạn và r là một số nguyên dương. Khi đó, và , trong đó , là phần tử nguyên thủy của và Chứng minh. Vì là phần tử nguyên thủy của nên , và . Do nên kéo theo . Và do nên tồn tại các số nguyên a, b sao cho . Khi đó, suy ra , do đó . Vậy . Ta có , nhưng nên . Giả sử , với , tức có phần tử , do đó , trong đó , kéo theo (vô lý vì ). 3.Số phần tử của trường hữu hạn Bổ đề 2.3.1 Cho là trường hữu hạn chứa trường con có q phần tử thì có với Chứng minh. Ta có có không gian vectơ trên và là hữu hạn nên số chiều của là hữu hạn và bằng số vectơ trên . Nếu thì có cơ sở trênchứa n phần tử. Ta gọi là cơ sở của trên . Khi đó mọi phần tử của được biểu diễn duy nhất dưới dạng: Ta có q cách chon trong n phần tử nên có phần tử. Định lí 2.3.2 là trường hữu hạn có đặc số là p thì số phần tử của là . Trong đó p là một số nguyên tố và n là số nguyên dương bất kì. Chứng minh. Do trường hữu hạn có đặc số p nên có trường con nguyên tố đẳng cấu với . Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử . Như vậy là một mở rộng hữu hạn của . Gọi , theo Bổ đề 2.3.1 ta suy ra có phần tử. Định lí 2.3.3 Cho trường hữu hạn và là đa thức có bậc n bất khả quy trên thì là trường hữu hạn có qn phần tử. Chứng minh. Do là đa thức bất khả quy nên là trường. Lấy ta có: với và . Suy ra: . Ta có q cách chon hệ số trong n hệ số . Do đó ta có phần tử . Vậy trường có phần tử. Định lí 2.3.4 ( sự tồn tại và duy nhất của trường hữu hạn pn phần tử) Cho p là số nguyên tố và n là số nguyên dương thì tồn tại trường hữu hạn chứa đúng pn phần tử. Hơn nữa, hai trường hữu hạn có cùng số phần tử thì đẳng cấu với nhau. Chứng minh. Đặt . Xét đa thức trong . Gọi F là trường phân rã của đa thức . Khi đó có q nghiệm trong F. Ta có . Suy ra . Vậy q nghiệm trong F là những nghiệm phân biệt. Xét tập . Ta chứng minh S là trường con của F . Thật vậy: Dễ thầy 0,1 thuộc S Với suy ra , ta có : Vậy S là trường con của F. Mà đa thức phân rã trên S. Vậy S đẳng cấu với F theo tính chất trường phân rã. Mà S có q phần tử nên F cũng có q phần tử. Vậy tồn tại trường chứa đúng phần tử. Giả sử có F và F' chứa đúng phần tử khi đó theo Định lí 2.2.2 thì F và F' là trường phân rã của đa thức . Theo tính chất trường phân rã thì F đẳng cấu với F'. Vậy tồn tại duy nhất một trường chứa pn phần tử sai khác một đẳng cấu. Định lí 2.3.5 (tiêu chuẩn trường con ) Cho trường hữu hạn thì mọi trường con củacó pm phần tử, trong đó m là ước dương của n. Ngược lại, nếu m là ước dương của n thì có duy nhất trường con chứa pm phần tử. Chứng minh. Giả sử là trường con của và có . Theo bổ đề 2.3.1 ta có: với . Suy ra hay . Ngược lại nếu thì suy ra , do đó . Ta có phần tử của là nghiệm của đa thức . Khi đó tồn tại phần tử trong là nghiệm của đa thức . Kí hiệu là tập chứa phần tử là nghiệm của đa thức . Ta chứng minh là trường con của . Thật vậy: Dễ thấy 0, 1 thuộc . Với thì . Khi đó . Suy ra suy ra Vậy là trường con chứa phần tử của . Nếu tồn tại chứa đúng phần tử thì phần tử đó là nghiệm của đa thức . Nhưng chỉ có nghiệm trong . Suy ra . Chương III. ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN 1. Nghiệm của đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn Bổ đề 3.1.1 Cho là đa thức bất khả quy bậc m trên và n là một số nguyên dương. Khi đó, chia hết nếu và chỉ nếu m chia hết n. Chứng minh. Giả sử chia hết . Gọi là một nghiệm của . Khi đó, suy ra . Do đó, . Mặt khác, vì nên ta suy ra . Ngược lại, giả sử . Gọi là một nghiệm của nằm trong trường phân rã của trên . Khi đó, suy ra . Vì nên . Do đó, suy ra . Vì vậy, là một nghiệm của đa thức , kéo theo . Định lí 3.1.2 Cho là đa thức bất khả quy bậc m trên . Khi đó phân rã trên và tách được trên . Hơn nữa nếu là nghiệm của f(x) thì là tập hợp tất cả các nghiệm của f(x). Chứng minh. Theo Bổ đề 3.1.1, ta có từ đó suy ra phân rã trên và chỉ có toàn nghiệm đơn. Gọi là một nghiệm bất kỳ của . Ta cần chứng minh cũng là nghiệm của . Giả sử . Khi đó, . Vì thế, các phần tử là các nghiệm của . Bây giờ, ta chứng minh các phần tử này phân biệt. Thật vậy, giả sử , với . Khi đó, ta suy ra . Vì vậy, là nghiệm của đa thức kéo theo và theo Bổ đề 3.1.1, ta có (vô lí). Định nghĩa 3.1.3 Cho . Khi đó, các phần tử được gọi là các phần tử liên hợp với trên . Định lý 3.1.4 Cho trường hữu hạn và . Khi đó, các phần tử liên hợp với trên trường con bất kỳ của có cùng cấp trong nhóm . Chứng minh. Ta có , với p nguyên tố và N. Xét một trường con bất kỳ , với , của . Đặt . Khi đó, . Ta có các phần tử liên hợp với trên là . Theo Định lí 2.2.3, là nhóm xyclic, vì thế ta giả sử , suy ra Z. Vì vậy, các phần tử liên hợp với trên trường con của có dạng như sau . Khi đó, ,. Áp dụng định lý vừa chứng minh, ta nhận được kết quả sau đây: Hệ quả 3.1.5 Nếu là phần tử nguyên thủy của thì mọi phần tử liên hợp với trên một trường con bất kỳ của cũng là phần tử nguyên thủy của . Định lí 3.1.6 Cho . Khi đó, nếu d là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn thì đa thức bất khả quy trên . Chứng minh. Giả sử . Ta có là nghiệm của đa thức , do đó . Theo Bổ đề 3.1.1, ta có . Mặt khác, , vì thế , do d là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa nên ta suy ra . Theo Định lý 3.1.2 thì . 2 Căn của đơn vị và vết Định nghĩa 3.2.1 Cho là một trường bất kỳ có đặc số p (p có thể bằng 0) và n là một số nguyên dương. Ta gọi trường phân rã trên của đa thức là trường n – cyclotomic trên và ký hiệu . Mỗi nghiệm trong của đa thức được gọi là một căn bậc của đơn vị trên . Ký hiệu là tập hợp tất cả các căn bậc trên của đơn vị. Định lý 3.2.2 Cho là một trường bất kỳ có đặc số p (p có thể bằng 0) và n là một số nguyên dương. Khi đó, là một nhóm xyclic có cấp không chia hết cho p. Cụ thể: (i) Nếu thì là nhóm xyclic cấp . (ii) Nếu và thì và là nhóm xyclic cấp m. Chứng minh. (i) Đặt , là đạo hàm của đa thức . Vì n không chia hết cho p nên và không có nghiệm chung, suy ra không có nghiệm bội. Do đó, . Giả sử a và b là hai nghiệm tùy ý trong của . Khi đó, , , , suy ra . Vì vậy, là nhóm con hữu hạn cấp n của nhóm nên theo Hệ quả 2.2.4, cũng là nhóm xyclic. (ii) Vì nên . Do đó, . Suy ra và đa thức có m nghiệm bội bậc trong . Vì vậy, . Định nghĩa 3.2.3 Cho là trường đặc trưng và n là một số nguyên dương không chia hết cho p. Ta gọi mỗi phần tử sinh của nhóm xyclic là một căn nguyên thủy bậc trên của đơn vị. Nhận xét. Có tất cả căn nguyên thủy bậc n trên K của đơn vị. Định nghĩa 3.2.4 Cho và . Vết của trên , ký hiệu là , là tổng của tất cả các phần tử liên hợp với trên . Như vậy, . Định lý 3.2.5 Cho và . Khi đó, hàm vết thỏa mãn các tính chất sau: (i) ; (ii) ; (iii) ; (iv) . Chứng minh. (i) , ta có . (ii) , ta có . (iii) , . Vì nên . Vì vậy, . (iv) , ta có (vì ) . 3.Đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn Định lí 3.3.1 Giả sử là đa thức có bậc n thì f(x) là đa thức bất khả quy trên nếu và chỉ nếu : và với Chứng minh. Nếu bất khả quy trên thì theo Bổ đề 3.1.1, ta có và , với . Nếu khả quy trên thì có nhân tử bất khả quy trên . Giả sử và . Theo Bổ đề 3.1.1, ta có , do đó (mâu thuẫn). Vậy bất khả quy trên . Định lý 3.3.2 Cho là đa thức bậc . Khi đó, các điều kiện sau là tương đương: (i) bất khả quy trên . (ii) bất khả quy, trong đó sao cho . Chứng minh. Trước hết, ta có nhận xét: Cho là đa thức bậc n trên . Khi đó, cũng là một đa thức trên . (b) Nếu bất khả quy và thì là đa thức có bậc n. Bây giờ ta sẽ chứng minh (i)(ii): Giả sử bất khả quy trên . Nếu khả quy thì được phân tích thành ít nhất hai nhân tử bất khả quy. Giả sử là tích của m nhân tử bất khả quy trên , với . Do đó, , trong đó là các đa thức bất khả quy trên và sao cho . Ta có Theo nhận xét trên, ta có và lần lượt có bậc là . Ta suy ra khả quy (mâu thuẫn). Vì vậy, bất khả quy trên . Giả sử bất khả quy trên . Do nên . Gọi là nghiệm của nằm trong trường phân rã của trên . Khi đó, và . Đặt . (1) Ta có kéo theo . Do đó là một nghiệm của và . Do (1) nên là một nghiệm của đa thức , đa thức này có bậc 1. Do đó, . Rõ ràng, . Vậy ta được . Mặt khác, . Vì vậy, . Theo nhận xét trên, có bậc n. Vì vậy, bất khả quy trên . Định lí 3.3.3 Cho là đa thức bậc . Nếu bất khả quy trên thì: a) Tổng các hệ tử của khác 0 b) Chứng minh. a) Giả sử tổng các hệ tử của bằng 0 suy ra 1 là nghiệm của (mâu thuẫn). Vậy tổng các hệ tử của khác 0. b) Giả sử . Ta có , vì nên kéo theo khả quy . Vì vậy, bất khả quy trên . Khi , chúng ta có: Định lí 3.3.4 Cho . Nếu bất khả quy trên thì a) Số các số hạng của có hệ số bằng 1 là số lẻ. b) Có số hạng của với hệ số bằng 1 sao cho . Chứng minh. a) Vì là trường đặc trưng 2 nên các hệ số của các số hạng khác 0 của đa thức trên đều bằng 1. Do đó, số các số hạng của có hệ số bằng 1 phải là số lẻ ( nếu là số chẵn thì ). b) Nếu thì hiển nhiên định lý đúng. Giả sử không có dạng x. Khi đó, ta có thể viết , trong đó . Giả sử, , suy ra , với Z. Khi đó, Do đó, khả quy (mâu thuẫn). Vì vậy, tồn tại sao cho . Định lý 3.3.5 Cho , với p là một số nguyên tố. Khi đó, tam thức , , bất khả quy trên khi và chỉ khi . Chứng minh. Gọi là một nghiệm của trong trường phân rã của trên . Ta sẽ chứng minh: bằng quy nạp. Thật vậy, vì là một nghiệm của nên suy ra . Vậy đẳng thức đúng khi . Giả sử đẳng thức đúng với . Ta chứng minh đẳng thức đúng với Ta có: Suy ra đẳng thức đúng với . Vậy đẳng thức đúng với mọi Khi đó, (2) Vì vậy, khi và chỉ khi kéo theo , tức là mỗi nghiệm của đều nằm trong . Do đó, khi và chỉ khi là tích của các đa thức bậc nhất trong . Giả sử . Đặt , khi đó . Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng bằng quy nạp. Thật vậy, theo (2), Vậy đẳng thức đúng khi . Giả sử đẳng thức đúng khi . Ta chứng minh đẳng thức đúng với . Thật vậy Suy ra đẳng thức đúng với . Vậy đẳng thức đúng với mọi Hơn nữa, do nên ta có . Do đó, có tất cả p phần tử liên hợp phân biệt trên . Theo Định lý 3.1.6, ta suy ra đa thức tối tiểu của trên có bậc là p, chính là đa thức . Vì vậy, bất khả quy trên . 4. Phân tích đa thức trên trường hữu hạn Bổ đề 3.4.1 Cho là một đa thức trong và là 2 phần tử khác nhau của . Khi đó, . Chứng minh. Ta có . Do đó . Bổ đề 3.4.2 Cho là một đa thức có hệ tử của bậc cao nhất là 1 trong và là một đa thức trong . Khi đó, thỏa mãn nếu và chỉ nếu nếu và chỉ nếu . Chứng minh. Ta có , với thuộc . Khi đó, ta thay bởi vào công thức ta được . Vì và nên ta có. Do đó thỏa mãn điều kiện nếu và chỉ nếu , nghĩa là . Hơn nữa, nếu và chỉ nếu . Định lí 3.4.3 Cho f(x) là đa thức có hệ tử của bậc cao nhất là 1 của và g(x) là đa thức của sao cho thì Chứng minh. Ta dễ thấy rằng . Theo Bổ đề 3.4.1 ta có , với và . Vì nên . Mặt khác, theo Bổ đề 3.4.1 và Bổ đề 3.4.2 ta có . Từ đó ta suy ra . Định lí 3.4.4 Cho f(x) , trong đó q là lũy thừa của số nguyên tố p và f'(x)=0 thì: với Chứng minh.  Lấy với và . Khi đó . Vì nên suy ra . Tức là . Khi đó ta có thể viết lại các hệ tử đó như sau: với Vì thế ta có thể viết dưới dạng sau: . Xét là một đồng cấu. Thật vậy: Khi đó trong có Suy ra Đặt . Khi đó, và . Định lí 3.4.5 Cho là lũy thừa của một đa thức bất khả quy trên và giả sử rằng . i) Nếu thì là đa thức bất khả quy. ii) Nếu thì là đa thức bất khả quy. Khi đó, với . Chứng minh. Lấy với là một đa thức bất khả quy trong . Khi đó . vì , . Nếu thì . Do đó là một đa thức bất khả quy. Nếu thì là một đa thức bất khả quy. Chương IV. BÀI TẬP Bài 1. Chứng minh rằng tổng của tất cả các phần tử của trường hữu hạn bằng 0 ngoại trừ trường Giải Giả sử là trường hữu hạn và . Khi đó mọi phần tử thuộc đều là nghiệm của phương trình . Vì nên theo Viet ta có . Bài 2. Chứng minh rằng 3 và 5 là phần tử nguyên thủy của nhưng 2 không phải. Tìm sao cho trong . Giải Ta có . Xét đa thức , dễ thấy không là nghiệm của . Đặt . Xét đa thức ,ta có không là nghiệm của đa thức . Đặt và đặt , khi đó suy ra là phần tử sinh của . Vậy là phần tử nguyên thủy của . Ta có số phần tử nguyên thuỷ của là . là phần tử nguyên thủy trong khi và chỉ , suy ra ( lấy ).Mà nên 5 là phần tử nguyên thủy của . Do và nên 2 không là phần tử nguyên thủy của . Tìm sao cho trong . Ta có: và Suy ra . Vậy ta tìm được và . Bài 3. Tìm cấp của 3 trong Giải Ta có . Xét đa thức , thấy không là nghiệm của . Đặt Xét đa thức , thấy không là nghiệm của đa thức . Đặt . Đặt suy ra , nên 11 là phần tử sinh của . Vì suy ra với Z+, do đó Do ta suy ra . Vậy Bài 4. (Định lý Wilson). Chứng minh rằng nếu và chỉ nếu p là một số nguyên tố Giải Do p là một số nguyên tố nên là nhóm xyclic cấp suy ra hay đa thức có nghiệm trong . Do đó , thay ta được . Vậy . Giả sử . Ta cần chứng minh p là số nguyên tố. Thật vậy, nếu p là hợp số khi đó tồn tại sao cho tức là . Do đó . (trái giả thiết) Vậy p là số nguyên tố. Bài 5. Chứng minh rằng nếu nhóm nhân của trường là xyclic thì hữu hạn. Giải Giả sử , xét Trường hợp , nếu suy ra (vô lý). Do đó , vì nên suy ra kéo theo hữu hạn do đó hữu hạn. Trường hợp , nếu thì nên hữu hạn. Nếu , ta xét kéo theo . Nếu thì (vô lý) nên , suy ra kéo theo . Khi đó tồn tại Z+ sao cho suy ra do đó nên hữu hạn. Vậy hữu hạn. Bài 6. Cho q là lũy thừa của một số nguyên tố và r là một ước nguyên tố của . Cho và trong . Khi đó,