Luận văn Một số tính chất định tính của hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính

) là điều kiện cần và đủ để chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là điều khiển được hoàn toàn. Nhận xét Theo chứng minh trên, chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là điều khiển được hoàn toàn khi và chỉ khi hai hệ tiến (2.2a) và hệ lùi (2.2b) tương ứng là điều khiển được hoàn toàn. Hơn nữa, bởi vì 1( )x k được tính một cách độc lập chỉ theo các điều khiển (0), (1),..., ( 1)u u u k  và 2 ( )x k được tính chỉ theo các điều khiển ( ), ( 1),..., ( 1)u k u k u L  nên ta có thể chọn các điều khiển tương ứng một cách độc lập để hệ (2.2a) và hệ (2.2b) là điều khiển được hoàn toàn. - 24 - 2.1.2 R-Điều khiển được Với bất kỳ điều kiện cuối cố định 22 ( ) nx L  , kí hiệu 2 ( )Rx L là tập tất cả các trạng thái ( )x k của hệ (2.1), xuất phát từ một điểm ban đầu bất kì nào đó. Tập 2 ( )Rx L được gọi là tập đạt được ban đầu (initial reachable set). Ta có 1 1 2 1 , (0), 0 , à (0), (1),..., ( )( ( ) sao cho ( ) ). nw x k L v u u u L R x L x k w           (2.8) Rõ ràng ta thấy tập đạt được ban đầu 2 ( )Rx L phụ thuộc vào 2 ( )x L . Với 2 ( )x L khác nhau, 2 ( )Rx L có thể khác nhau. 2.1.2.1 Thí dụ Xét chuỗi thời gian hữu hạn rời rạc 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1( 1) ( ) ( ), 0,1,2,... 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 x k x k u k k L                                   . (2.9) Đặt 1 21 2 2 ( )( ) ; ( ), ( )( ) x k x k x k x k x k         , 1 2 2n n  . Khi ấy hệ (2.9) có thể viết lại như sau: 1 1 2 2 1 1 0( 1) ( ) ( ); 0 1 1 0 1 1( 1) ( ) ( ), 0,1,2,... . 0 0 1 x k x k u k x k x k u k k L                                        Ta có: 1 1 1 0 1 A      ; 1 0 1 B      ; 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 A B               ;  1 1 1 10 1, 21 1rank B A B rank n       . - 25 - Tương tự, 0 1 0 0 N      ; 2 1 1 B      ; 2 0 1 1 1 0 0 1 0 NB               ;  2 2 21 1, 21 0rank B NB rank n       . Chứng tỏ chuỗi thời gian hữu hạn (2.9) là điều khiển được hoàn toàn theo Định lí 2.1.1.2, do đó ta có 2 ( ) nRx L   với bất kỳ điều kiện cuối 2 ( )x L (không phụ thuộc vào điều kiện cuối 2( )x L ) . 2.1.2.2 Thí dụ Xét chuỗi thời gian hữu hạn 1 1 2 2 1 0 0 2 0 0 1( 1) ( ) 0 0 1 0 1 0 0 ( ).( 1) ( ) 0 0 0 0 0 1 0 x k x k u k x k x k                                     (2.10) với 21 2( ) , ( )x k x k   , tức là 1 1( 1) 2 ( ) ( )x k x k u k   và 2 2 0 1 1 0( 1) ( ) 0 0 0 1 x k x k           . Với điều kiện đầy đủ  1 2(0) / ( )x x L , trạng thái của (2.10) được biểu diễn theo công thức: 1 1 1 0 2 2 ( ) 2 (0) 2 ( ); 0 1 ( ) khi 1;( ) 0 0 0 khi 0 1. k k k i i x k x u i x L k L x k k L                  (2.11) Như vậy, với điều kiện cuối 2( )x L cho trước, tập đạt được ban đầu là 2 2 2 0 1( ) ( ) ( ) 0 0 Rx L x L x L               . Rõ ràng 2 ( )Rx L phụ thuộc vào 2 ( )x L . - 26 - Từ Thí dụ trên, ta đưa ra khái niệm R-điều khiển được sau . 2.1.2.3 Định nghĩa Chuỗi thời gian hữu hạn rời rạc (2.1) được gọi là điều khiển được trong tập đạt được ban đầu hay R-điều khiển được nếu với mọi điều kiện cuối cố định cho trước 2 ( )x L , mọi trạng thái xuất phát từ một điều kiện ban đầu bất kì đều có thể điều khiển được về một trạng thái bất kỳ nào trong 2 ( )Rx L bởi các điều khiển ( )u k sau một thời gian nào đó. 2.1.2.4 Định lý Chuỗi thời gian rời rạc (2.1) là R-điều khiển được nếu và chỉ nếu  1 11 1 1 1 1 1, ,..., nrank B A B A B n  . Điều này có nghĩa là hệ con (2.2a) là điều khiển được hoàn toàn. Vì hệ (2.9) trong Thí dụ 2.1.2.1 là điều khiển được hoàn toàn nên nó là R-điều khiển được. Trong Thí dụ 2.1.2.2 ta có:    1 12 1rank B rank n   nên hệ (2.10) là R- điều khiển được. Mặt khác 0 1 0 0 N      ; 2 0 0 B      nên  2 2 2 0 0 , 0 2 0 0 rank B NB rank n       nên hệ (2.10) không điều khiển được hoàn toàn. Ta cũng có thể kiểm tra trực tiếp như sau. Chọn    1 2(0) / ( ) 0 0 0 Tx x L  và  0 0 0 Tw  thì  2( ) 0 0x k  với mọi 0,1,...,k L theo công thức (2.11) nên không thể tồn tại 1k và ( )u k , 0,1,...,k L để  1( ) 0 0 0x k w  được, hay hệ (2.10) là không điều khiển được hoàn toàn, mặc dù nó là R-điều khiển được. - 27 - 2.1.3 Điều khiển được nhân quả Xét chuỗi thời gian hữu hạn (2.1). Chọn điều khiển theo liên hệ ngược dạng tuyến tính ( ) ( ) ( )u k Kx k v k  , 0,1,...,k L , (2.12) trong đó m nK  là ma trận hằng, còn ( )v k là một điều khiển mới. Thay ( )u k theo công thức (2.12) vào hệ (2.1) ta được một hệ đóng ( 1) ( ) ( ) ( )Ex k A BK x k Bv k    , 0,1,...,k L . (2.13) 2.1.3.1 Định nghĩa Chuỗi thời gian rời rạc (2.1) được gọi là điều khiển được nhân quả hay Y-điều khiển được nếu tồn tại một điều khiển theo liên hệ ngược (2.12) sao cho hệ đóng (2.13) là nhân quả. Kí hiệu Y-điều khiển được là được lấy từ chữ cái đầu tiên của từ “nhân quả” của tiếng Trung Quốc. Ta có thể thấy, trong nhiều hệ thực tế, tính không nhân quả thường gây nhiều bất ngờ khó kiểm soát. Mặt khác, nó có thể là nguyên nhân gây ra nhiều vấn đề trong điều khiển, nhận dạng và đánh giá hệ thống. Tính Y-điều khiển được đảm bảo khả năng điều khiển mang tính nhân quả nhờ các điều khiển ngược theo trạng thái. Từ Định lý 2.1.1.2, ta có thể chứng minh định lý sau đây. 2.1.3.2 Định lý Chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là Y-điều khiển được nếu và chỉ nếu tồn tại một ma trận m nK  sao cho  deg ( )zE A BK rankE   . Điều kiện trên tương đương điều kiện sau: 0 0E rank rankE A E B      . - 28 - 2.2 TÍNH QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA CHUỖI THỜI GIAN HỮU HẠN Xét chuỗi thời gian hữu hạn ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ex k A k x k B k u k y k Cx k     , 0,1,2,...,k L . (2.14) Trong 2.1 ta đã đưa ra khái niệm điều khiển được hoàn toàn, R-điều khiển được và Y-điều khiển được cho chuỗi thời gian hữu hạn, là các khái niệm điều khiển đầu vào ( )u k tác động lên trạng thái ( )x k . Trong phần này, ta đưa ra ba khái niệm quan sát được, là các khái niệm đối ngẫu tương ứng với ba khái niệm điều khiển được đã nêu. Khái niệm quan sát được cho phép mô tả khả năng khôi phục lại trạng thái theo các quan sát (theo các phép đo) đầu ra ( )y k , 0,1,...,k L . Như đã chỉ ra trong 1.4, đối với chuỗi thời gian hữu hạn, trạng thái ( )x k tại mọi thời điểm k , 0 k L  là hoàn toàn được xác định bởi điều kiện trọn vẹn  1 2(0) / ( ) nx x L  và các đầu vào ( )u k , 0,1,...,k L . Bởi vì ( )u k là vectơ biết trước nên tính quan sát được của chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) thực chất là khả năng khôi phục lại điều kiện trọn vẹn  1 2(0) / ( ) nx x L  từ các phép đo đầu ra ( )y k . 2.2.1 Định nghĩa Chuỗi thời gian hữu hạn (2.14) được gọi là quan sát được nếu trạng thái ( )x k của nó tại mọi thời điểm k bất kì đều được xác định duy nhất bởi các điều khiển ( )u i và các đầu ra ( )y i , 0,1,...,i L . - 29 - Chuỗi thời gian hữu hạn (2.14) được gọi là R-quan sát được nếu nó là quan sát được trong mọi tập đạt được ban đầu 2 ( )Rx L với mọi điều kiện cuối 2 2( ) nx L  cố định. Chuỗi thời gian hữu hạn (2.14) được gọi là quan sát được nhân quả nếu trạng thái ( )x k của nó tại mọi thời điểm k được xác định duy nhất bởi điều kiện ban đầu 1(0)x và các điều khiển đầu vào ( )u i , 0,1,2,...,i k . 2.2.2 Định lý Chuỗi thời gian hữu hạn rời rạc (2.14) là quan sát được hoàn toàn nếu và chỉ nếu 1 11 1 1 1 1 1/ / .../ n rank C C A C A n    (2.15a) và 2 1 2 2 2 2/ / .../ n rank C C N C N n    . (2.15b) Chuỗi thời gian hữu hạn rời rạc (2.14) là R-quan sát được nếu và chỉ nếu  1 11 1 1 1 1 1/ / .../ nrank C C A C A n  . (2.16) Chuỗi thời gian hữu hạn rời rạc (2.14) là Y-quan sát được nếu và chỉ nếu 0 0 E A rank E n rankE C         . (2.17) 2.2.2.1 Thí dụ Xét chuỗi thời gian rời rạc   1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1( 1) ( ) ( ); 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 ( ) 0 1 1 0 ( ); 0,1,2,... . x k x k u k y k x k k L                                    (2.18) - 30 - Đặt 1 21 2 2 ( )( ) ; ( ), ( )( ) x k x k x k x k x k         , 1 2 2n n  . Hệ (2.18) có thể viết như sau:   1 1 2 2 1 1 0( 1) ( ) ( ); 0 1 1 0 1 1( 1) ( ) ( ); 0 0 1 ( ) 0 1 1 0 ( ); 0,1,2,... . x k x k u k x k x k u k y k x k k L                                         Ta có: 1 1 1 0 1 , 0 1 0 1 A N           ,    1 20 1 , 1 0C C  ;    1 1 1 10 1 0 10 1C A      ;    2 0 11 0 0 10 1C N      ; 1 1 1 1 0 1 1 2 0 1 C rank rank n C A             ; 2 2 2 1 0 2 0 1 C rank rank n C N            . Vì ma trận 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 E A E C                          có ma trận con lớn nhất cấp 7 7 không suy biến - 31 - 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1             nên 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 E A rank E rank C                            4 3 n rankE   . Theo Định lý 2.2.2, chuỗi thời gian hữu hạn (2.18) là không quan sát được (và không R-quan sát được), nhưng nó là Y-quan sát được. 2.2.2.2 Thí dụ Xét chuỗi thời gian hữu hạn    1 1 2 2 1 2 1 0 0 2 0 0 1( 1) ( ) 0 0 1 0 1 0 0 ( );( 1) ( ) 0 0 0 0 0 1 0 ( ) 1 0 0 ( ) / ( ) ; 0,1,2,... . x k x k u k x k x k y k x k x k k L                                       (2.19) với 21 2( ) , ( )x k x k   , tức là hệ 1 1( 1) 2 ( ) ( )x k x k u k   và - 32 - 2 2 0 1 1 0( 1) ( ) 0 0 0 1 x k x k           . Ta có:      1 1 20 12 , , 1 , 0 00 0A N C C        ;  1 1 2C A  và    2 0 10 0 0 00 0C N      ; 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 E A E C                       . Vì 0 0 E A E C       có ma trận con lớn nhất 1 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1        cấp 4 4 không suy biến nên 1 2 1 2 1 1 2 1 1 , 0 2 , 2 0 4 5 . 0 C C rank rank n rank n C A C N E A rank E n rankE C                             Vậy chuỗi thời gian hữu hạn (2.19) không là quan sát được và cũng không là Y-quan sát được nhưng lại là R-quan sát được. 2.3 NGHIỆM, TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC VÀ QUAN SÁT ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH 2.3.1 Công thức nghiệm của hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn dừng Xét hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính dừng - 33 - ( 1) ( ) ( ); ( ) ( ), 0,1,2,... Ex k Ax k Bu k y k Cx k k      (2.20) Trong (2.20), ( ) nx k  là trạng thái, ( ) mu k  là điều khiển đầu vào và ( ) ry k  là đầu ra quan sát. Các ma trận , , ,n n n m r nE A B C       là các ma trận hằng. Ta giả sử rằng hệ (2.20) là suy biến, tức là rankE n . Sự khác biệt giữa hệ phương trình sai phân ẩn (2.20) và chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là hệ (2.1) là hệ rời rạc hữu hạn, tức là 0,1,...,k L , trong đó L là cố định cho trước, do đó nghiệm của nó được xác định theo cả điều kiện đầu 1(0)x và điều kiện cuối 2 ( )x L . Còn hệ (2.20) là một chuỗi thời gian vô hạn nên ta chỉ có điều kiện ban đầu. Trước tiên, với hệ suy biến (2.20), nếu ( , )E A là cặp ma trận chính quy thì theo Bổ đề 1.3.2 Chương 1, tồn tại hai ma trận không suy biến ,P Q sao cho 11 2 00 , 00 n n AIQEP QAP IN               . Sử dụng phép biến đổi 1 2 ( )( ) ( ) x k x k P x k      , trong đó 1 2 1 2 1 2, , n n x x n n n     , ta có thể đưa hệ (2.20) về dạng 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( ) ( ); ( ) ( ); x k A x k B u k y k C x k     (2.21a) 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( ) ( ); ( ) ( ); Nx k x k B u k y k C x k     (2.21b) 1 2( ) ( ) ( ); 0,1,2,...y k y k y k k   , (2.21c) trong đó 1 1 1 n n A  ,    1 2 1 2: / , :QB B B CP C C  - 34 - và 2 2 n n N  là lũy linh cấp h. Các hệ con (2.21a) và (2.21b) được gọi là hệ con tiến và hệ con lùi. Hệ con tiến (2.21a) là hệ phương trình sai phân thường, nghiệm của nó có thể tính được nhờ công thức sau: 1 1( ) (0) ( ), 0,1,2,...1 1 1 1 10 kk k ix k A x A B u i k i      . (2.22a) Công thức nghiệm trên thể hiện mối quan hệ nhân quả giữa trạng thái 1( )x k và các đầu vào ( ), 0,1,..., 1u i i k  . Hệ con lùi (2.21b) là một công thức truy hồi lùi của trạng thái. Bằng cách lặp lại các phép nhân bên trái với 0 1 2 1, , ,... hN I N N N  , chúng ta có ( ) ( 1) ( )2 2 2 2( ) ( 2) ( 1)2 2 2 2 3 2( 2) ( 3) ( 2)2 2 2 ... 1 1( 1) ( ) ( 1)2 2 2 x k Nx k B u k Nx k N x k NB u k N x k N x k N B u k h h hN x k h N x k h N B k h                     Ta cộng các phương trình này lại và chú ý rằng 0hN  ta có công thức biểu diễn của trạng thái con 2 ( )x k : 1( ) ( ), 0,1,2,...2 20 h ix k N B u k i k i     . (2.22b) Từ công thức này chúng ta thấy rằng, để xác định được trạng thái con 2 ( )x k thì cần phải biết các điều khiển đầu vào tương lai u(i) , ( 1k i k h    ). So sánh (2.22b) với (2.3b) chúng ta thấy rằng chúng đồng nhất với nhau khi k L h  . Sự khác nhau chỉ xảy ra tại thời điểm L h k L   . Vì vậy chúng ta có thể coi (2.1) như là trường hợp riêng của (2.20) và (2.3b) là trường hợp riêng của (2.22b). - 35 - Kết hợp (2.22a) và (2.22b) ta thu được công thức nghiệm tổng quát cho hệ (2.20) 0( ) ( ) ( )1 20 1 101 1( (0) ( ) ( );1 1 1 20 0 0 0 ( ) ( ). I x k P x k P x k I k hI Ik k i iP A P x A B u i P N B u k i Ii i y k Cx k                                      (2.23) Công thức (2.23) là công thức biểu diễn trạng thái x(k) và đầu ra đo được tại thời điểm 0,1,2,...k  bất kì. 2.3.1.1 Thí dụ Xét hệ rời rạc suy biến sau:   1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1( 1) ( ) ( ); 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 ( ) 0 1 1 0 ( ); 0,1,2,... x k x k u k y k x k k                                    (2.24) Hệ này có dạng hệt như trong Thí dụ 1.4.3 Chương 1 với một sai khác duy nhất là (2.24) là một chuỗi thời gian vô hạn. Đặt 1 2( ) ( ( ) / ( ))x k x k x k . Khi ấy ta có thể viết (2.24) dưới dạng 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( )1 1 0 ( ); 0 1 1( 1) ( ) ( 1) ( )0 1 1 ( ). 0 0 1( 1) ( ) x k x k u k x k x k x k x k u k x k x k                                                             Từ các tính toán trong Thí dụ 1.4.3 Chương 1 và các công thức (2.22a), (2.22b), ta có thể biểu diễn trạng thái 1 2( ) ( ( ) / ( ))x k x k x k trong Thí dụ 2.3.1.1 như sau. - 36 - 1( ) 1 11 11 1( ) (0) ( ) (0) ( );1 1 1 1 1 12 10 10 0( )1 1 ( ) 1 12( ) ( ) ( )2 22 1 0( )2 x k k kk k ik k ix k A x A B u i x u i i ix k x k ix k N B u k i u k x k                                                            1 ( 1) ( )( 1) ,( )0 h u k u k u k u ki                  0,1,2,...k  Ta thấy, tọa độ thứ nhất 12 ( ) ( 1) ( )x k u k u k   của 2 ( )x k tại thời điểm k phụ thuộc vào điều khiển tương lai ( 1)u k  (trước một bước) và điều khiển ( )u k (tại chính thời điểm k ), trong khi đó tọa độ thứ hai 22 ( ) ( )x k u k của 2 ( )x k chỉ phụ thuộc vào điều khiển ( )u k . Nhận xét Với điều kiện ban đầu cho trước, hệ phương trình sai phân thường luôn có nghiệm, còn hệ phương trình sai phân ẩn thì không phải lúc nào cũng có nghiệm với bất kỳ điều kiện ban đầu. Ta có thể kiểm tra điều này một cách dễ dàng vì trong công thức (2.22b) khi cho 0k  thì ta sẽ được: 1(0) ( )2 20 h ix N B u i i    (2.25) hay dưới dạng khác   11 2 0 0 (0) ( ) h i i I P x N B u i     . (2.26) Như vậy, (0)x không thể là bất kì mà phải thỏa mãn điều kiện (2.26). Điều kiện (2.26) được gọi là điều kiện ban đầu chấp nhận được thỏa mãn theo trạng thái ban đầu (0)x . Kí hiệu 0I là tập hợp các trạng thái ban đầu chấp nhận được, 1 1 0 2 0 (0) (0 ) (0) ( ) h n i i I x I P x N B u i              . (2.27) Khi ( ) 0u k  thì từ (2.20) ta có: - 37 - 1 1 1 2 ( ) (0); ( ) 0, 0,1,2,... kx k A x x k k    Như vậy, trạng thái con 2 (0)x của hệ con lùi phải đồng nhất bằng 0. Các công thức (2.25) và (2.26) không chỉ cho ta thấy sự khác biệt giữa hệ phương trình sai phân ẩn và hệ phương trình sai phân thường. Nó còn cho ta thấy sự khác nhau giữa hệ phương trình sai phân ẩn và hệ phương trình vi phân đại số (xem [6], trang 243). 2.3.2 Tính nhân quả Thí dụ 2.3.1.1 cho thấy, hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn nói chung không có tính nhân quả. Để xác định được trạng thái của hệ, nói chung ta phải cần đến các điều khiển tương lai. Tính không nhân quả là đặc trưng cho hệ rời rạc suy biến. Tính không nhân quả cũng là hiện tượng thường xảy ra trong các hệ thống thực tế. Thí dụ, mô hình động Leontief trong hệ thống kinh tế được mô tả bởi hệ phương trình sau  ( ) ( ) ( 1) ( ) ( )x k Ax k B x k x k d k     , 0,1,2,...k  , trong đó ( )d k là đầu vào, bao gồm cả các khoản mục như tiêu dùng. Mục đích của sản xuất là để tiêu dùng. Nhưng thời gian bị chậm giữa hai pha sản xuất và tiêu dùng. Do đó, mục tiêu của tiêu dùng tương lai thường được sử dụng cho sản xuất trong thời điểm hiện tại. Hệ thống sẽ là không nhân quả nếu các biến không gian nhiều hơn các biến thời gian. 2.3.2.1 Tính nhân quả giữa trạng thái và đầu vào Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng hệ (2.20) có dạng (2.21). Rõ ràng, nếu hệ con lùi (2.21b) là nhân quả thì hệ (2.21) là nhân quả. Từ công thức (2.23) ta thấy rằng tồn tại mối quan hệ nhân quả giữa trạng thái và đầu vào nếu và chỉ nếu 2 0NB  . - 38 - 2.3.2.2 Tính nhân quả giữa đầu vào và đầu ra Bởi vì quan hệ vào-ra chỉ phụ thuộc vào tính điều khiển được và tính quan sát được của các hệ con nên ta giả sử rằng cặp ma trận 2 2( , , )N B C là điều khiển được và quan sát được, tức là  2 12 2 2 2, ,..., nrank B NB N B n  và 2 12 2 2 2/ / .../ n rank C C N C N n    . Do hệ phương trình sai phân thường (2.21a) có quan hệ nhân quả nên quan hệ nhân quả tồn tại giữa ( )y k và  ( ), 0,1,2,...,u i i k nếu và chỉ nếu mối quan hệ ấy tồn tại giữa 2 ( )y k và  ( ), 0,1,2,...,u i i k . Hơn nữa, từ công thức (2.22b) ta có 1 2 2 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ), 0,1,2,... h i i y k C x k C N B u k i k       . (2.28) Như vậy, quan hệ nhân quả giữa 2 ( )y k và các đầu vào  ( ), 0,1,2,...,u i i k xảy ra (và do đó có quan hệ nhân quả giữa ( )y k và các đầu vào  ( ), 0,1,2,...,u i i k xảy ra) khi và chỉ khi 2 2 0, 1,2,..., 1 iC N B i h   . Hệ 1h  điều kiện trên có thể viết gọn lại dưới dạng 1 1 2 2 2 2 2 2/ / .../ , ,..., 0 h hC C N C N N B NB N B         . (2.29) Do giả thiết 2 2( , , )N B C là điều khiển được và quan sát được, tức là  2 12 2 2 2, ,..., nrank B NB N B n  và 2 1 2 2 2 2/ / .../ n rank C C N C N n    nên 0N  . - 39 - 2.3.3 Tính điều khiển được và quan sát được Tương tự như trong 2.2 và 2.3, ta đưa vào các khái niệm điều khiển được và quan sát được cho hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn như sau. 2.3.3.1 Định nghĩa Hệ (2.20) được gọi là điều khiển được (tương ứng, R-điều khiển được; Y-điều khiển được) nếu với mọi Ln đủ lớn, chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là điều khiển được (tương ứng, R-điều khiển được; Y-điều khiển được). Hệ (2.20) được gọi là quan sát được (tương ứng, R-quan sát được; Y-quan sát được) nếu với mọi Ln đủ lớn, chuỗi thời gian hữu hạn (2.1) là quan sát được (tương ứng R-quan sát được; Y-quan sát được). Song song với hệ phương trình sai phân ẩn (2.20), ta xét hệ phương trình vi phân ẩn (hệ phương trình vi phân đại số) tuyến tính dừng sau đây ( ) ( ); ( ) ( ), 0. Ex Ax t Bu t y t Cx t t      (2.30) Định lý dưới đây cho mối quan hệ giữa tính điều khiển được và quan sát được của hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn và hệ phương trình vi phân đại số (xem [6], trang 244). 2.3.3.2 Định lý Hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính (2.20) là điều khiển được (R-điều khiển được; Y-điều khiển được) nếu và chỉ nếu hệ liên tục (2.30) là điều khiển được (R-điều khiển được; Y-điều khiển được). Hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính (2.20) là quan sát được (R-quan sát được, Y-quan sát được) nếu và chỉ nếu hệ liên tục (2.30) là quan sát được (R- quan sát được, Y-quan sát được). Như vậy, nhờ định lý này, ta có thể kiểm tra tính điều khiển được và quan sát được của hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn (2.20) bằng cách sử dụng các tiêu chuẩn điều khiển được và quan sát được của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính (2.30). - 40 - 2.4 TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN ẨN TUYẾN TÍNH Một trong những tính chất quan trọng của hệ động lực là tính ổn định. Với hệ có tham số điều khiển, vấn đề khi nào hệ có thể ổn định hóa được là rất quan trọng trong cả lý thuyết và ứng dụng. Trong phần này, chúng ta xét khái niệm ổn định và ổn định hóa được cho hệ phương trình sai phân ẩn tuyến tính. 2.4.1 Tính ổn định của hệ phương trình sai phân tuyến tính Xét hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn không có điều khỉển ( ) ( ), 0,1,2,...Ex k Ax k k  (2.31) 2.4.1.1 Định nghĩa Hệ rời rạc (2.31) được gọi là ổn định nếu tồn tại hai số 0,0 1    sao cho mọi nghiệm ( )x k của nó thỏa mãn bất đẳng thức ( ) (0)kx k x (2.32) với bất kỳ điều kiện ban đầu chấp nhận được (0)x và mọi 1,2,...k  . Nhận xét Theo định nghĩa trên, do 0 1  nên nếu hệ (2.31) là ổn định thì mọi nghiệm của phương trình sai phân (2.31) thỏa mãn điều kiện lim ( ) 0 k x k  (2.33) với mọi (0)x chấp nhận được. Như vậy, khái niệm ổn định theo Định nghĩa 2.4.1.1 là mạnh hơn khái niệm ổn định tiệm cận toàn cục theo Lyapunov (Ổn định tiệm cận toàn cục theo Lyapunov chỉ đòi hỏi điều kiện lim ( ) 0 k x k  với mọi (0)x chấp nhận được mà không đòi hỏi bất đẳng thức (2.32). Nếu hệ (2.31) là chính qui (cặp ma trận  ,E A là chính qui) thì hệ (2.31) đưa được về dạng (xem công thức 2.21a) và (2.21b) khi ( ) 0u k  ): - 41 - 1 1 1( 1) ( )x k A x k  ; (2.32a) 2 2( 1) ( )Nx k x k  , 0,1,2,...k  (2.32b) Phương trình (2.31) có nghiệm là (xem công thức (2.21a) và (2.21b): ( ) (0)1 1 1 kx k A x ; (2.33a) (0) 02x  , 0,1,2,...k  (2.33b) Như vậy, hệ chính qui (2.31) là ổn định khi và chỉ khi hệ (2.32a) là ổn định. Điều này dẫn ta tới Định lý sau. 2.4.1.2 Định lý ([6], trang 245) Hệ phương trình sai phân (2.31) là ổn định nếu và chỉ nếu tập các điểm cực hữu hạn (the finite pole set) của nó  ( , ) : , 0E A s sE As     nằm trọn trong hình tròn đơn vị  2 2: , , , 1U z x iy x y x y       trên mặt phẳng phức. 2.4.1.3 Thí dụ Hệ phương trình sai phân tuyến tính ẩn 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0( 1) ( ); 0,1,2,... 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 x k x k k                      (2.34) có 1 0 0 0 1 1 0 0 -1 -1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 s-1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 -1 s 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0-1 s sE A s                                                             . Vậy - 42 - 2 1 2 -1 -1 0 0 0 s-1 0 0 det( ) ( 1) 0 1 0 0 -1 s 0 0 0-1 s sE A s s s        . Chứng tỏ hệ (2.34) không ổn định. Hệ phương trình sai phân (2.34) có thể viết tường minh dưới dạng 1 1 2 2 3 3 4 4 ( 1) ( )1 0 0 0 1 1 0 0 ( 1) ( )0 1 0 0 0 1 0 0 ( 1) ( )0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1( 1) ( ) x k x k x k x k x k x k x k x k                                         hay 1 1 2 2 2 4 3 4 ( 1) ( ) ( ); ( 1) ( ); ( 1) ( ); 0 ( ). x k x k x k x k x k x k x k x k         Phương trình 2 2( 1) ( )x k x k  cho 2 2 2 2( 1) ( ) ( 1) ... (0)x k x k x k x      . Từ đây hiển nhiên điều kiện (2.32) (hay (2.33)) không được thỏa mãn. Vậy hệ (2.31) không ổn định (theo Định nghĩa 2.4.1.1). Hệ (2.31) là phương trình sai phân ẩn tuyế