Luận văn Một số vấn đề về hình học giả Euclide

là hệ trực chuẩn của Vnk. Chứng minh: (Þ): Vì P ^ Q và P, Q là các không gian con của Vnk nên P Ç Q = . Do đó, nếu ta lấy lần lượt trong P và Q các cơ sở trực chuẩn và thì hệ sẽ là hệ trực chuẩn trong Vnk. (Ü): Nếu trong Vnk có một hệ trực chuẩn sao cho , lần lượt là cơ sở trực chuẩn của P và Q thì với Î P, Î Q, ta có: , Vậy . Do đó P ^ Q. 1.4. PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH LIÊN HỢP Dạng song tuyến tính Định nghĩa Cho không gian vectơ V trên trường số thực R. Khi đó ánh xạ: được gọi là một dạng song tuyến tính nếu thì: (i) (ii) Biểu thức tọa độ Trong Vn cho cơ sở và S là một dạng song tuyến tính. Đặt . Với ,ÎVn thì , có dạng: , Khi đó: (1) Gọi , lần lượt là ma trận cột tọa độ của , và thì từ (1) ta có: (2) Dạng (2) được gọi là dạng ma trận của dạng song tuyến tính S. Ma trận C được gọi là ma trận của dạng song tuyến tính S đối với cơ sở . Sự liên hệ giữa dạng song tuyến tính và phép biến đổi tuyến tính trong không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k Liên hệ giữa dạng song tuyến tính và phép biến đổi tuyến tính Cho phép biến đổi tuyến tính . Xét ánh xạ Dễ dàng nhận thấy S là một dạng song tuyến tính và S xác định duy nhất (do tính duy nhất của và tích vô hướng xác định trên Vnk). Giả sử là một cơ sở trực chuẩn trong Vnk, A là ma trận của phép biến đổi tuyến tính đối với cơ sở trực chuẩn đó. Ta tìm ma trận C của dạng song tuyến tính liên hợp S đối với cơ sở trực chuẩn . Ta có: . Mà ÎVnk nên: , với Suy ra: , với j ≤ k. , với j > k. Vậy: Nếu có một phép biến đổi tuyến tính của Vnk thì xác định duy nhất một dạng song tuyến tính S sao cho , ,ÎVnk. Khi đó nếu có ma trận đối với một cơ sở trực chuẩn đã chọn thì S có ma trận thỏa , với j ≤ k, và , với j > k. Ngược lại, cho một dạng song tuyến tính S trong Vnk thì tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến tính sao cho . Thật vậy: Giả sử là một cơ sở trực chuẩn trong Vnk. Gọi là ma trận của S đối với cơ sở trực chuẩn đó. Xét phép biến đổi tuyến tính sao cho có ma trận đối với cơ sở là thỏa mãn , với i ≤ k, và , với i > k. Dễ dàng thấy rằng: . Ta sẽ chứng minh là duy nhất Thật vậy: Giả sử tồn tại phép biến đổi tuyến tính sao cho Khi đó: Nên: , ÎVnk. Theo nhận xét ở mục 1.2.6, ta suy ra: hay , ÎVnk. Vậy hay là duy nhất. Do trên nên ta có định lý: Định lý: Công thức thiết lập trong Vnk một sự tương ứng 1 – 1 giữa các dạng song tuyến tính và các phép biến đổi tuyến tính. Có thể xác định sự liên hệ giữa dạng song tuyến tính với phép biến đổi tuyến tính theo một cách khác như sau: Cho phép biến đổi tuyến tính và dạng song tuyến tính tương ứng. Ta xác định phép biến đổi tuyến tính bởi điều kiện: (3) Thật vậy: Giả sử là một cơ sở trực chuẩn trong Vnk. Đặt: , trong đó dmi là các số cần xác định. Ta có: Nên: , với i ≤ k. , với i > k. Đặt . Suy ra: Đặt: n – k dòng k dòng Ta nhận thấy: và Vậy: nếu là phép biến đổi tuyến tính của Vnk thỏa mãn điều kiện (3) thì ma trận D của thỏa mãn . Do đó là duy nhất. Kết luận: Cho một phép biến đổi tuyến tính thì tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến tính thỏa mãn và ngược lại. Định nghĩa Cho phép biến đổi tuyến tính . Khi đó phép biến đổi tuyến tính thỏa mãn , ,ÎVnk được gọi là phép biến đổi tuyến tính liên hợp của . Tính chất Thật vậy: Gọi A, A’, A” lần lượt là ma trận của , và đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn thì theo trên ta có: Suy ra: , trong đó id là ánh xạ đồng nhất từ . Thật vậy: Ánh xạ đồng nhất id có ma trận đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn là I thỏa Thật vậy: Gọi A, B lần lượt là ma trận của , đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn. Khi đó A + B là ma trận của đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn. Nhận thấy: Ma trận của là: Ma trận của là: Mà: Nên ta suy ra: Thật vậy: Mặt khác: Suy ra: Do đó theo nhận xét ở bài 2 ta có: Vậy: Thật vậy: Mặt khác: Suy ra: Do đó: Vậy: . 1.5. PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO Định nghĩa Đẳng cấu tuyến tính được gọi là đẳng cấu trực giao nếu với ,ÎVnk, ta có: , tức là bảo toàn tích vô hướng. Khi đó ta nói rằng Vnk đẳng cấu với V’nl. Ký hiệu: Vnk @ V’nl. Tính chất của đẳng cấu trực giao Định lý: Hai không gian vectơ giả Euclide đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng số chiều và cùng chỉ số k. Chứng minh: (Þ): Cho hai không gian vectơ giả Euclide Vnk và V’ml. Nếu Vnk @ V’ml thì n = m và tồn tại một đẳng cấu tuyến tính sao cho , , Î Vnk. Gọi là cơ sở trực chuẩn của Vnk. Khi đó: , với i ≤ k, , với j > k, và , với i ¹ j. Vì là đẳng cấu nên là một cơ sở của V’nl. Mặt khác: , , Î Vnk nên: , với i ≤ k. (1) , với j > k. , với i ¹ j. Þ là cơ sở trực chuẩn của V’nl. Þ Trong có l vectơ sao cho , với . (2) (theo bài 2) Từ (1) và (2) suy ra k = l. (Ü): Cho hai không gian vectơ giả Euclide Vnk và V’nk. Gọi , lần lượt là cơ sở trực chuẩn của Vnk và V’nk. Khi đó tồn tại một đẳng cấu tuyến tính sao cho: . Với ,ÎVnk thì: , Vậy đẳng cấu tuyến tính bảo toàn tích vô hướng nên là đẳng cấu trực giao. Do đó Vnk @ V’nk. Quan hệ đẳng cấu giữa các không gian vectơ giả Euclide là một quan hệ tương đương. Thật vậy: Vnk @ Vnk vì ánh xạ đồng nhất id: Vnk ® Vnk là đẳng cấu tuyến tính thỏa mãn , , Î Vnk. Nếu Vnk @ V’nk thì: Tồn tại đẳng cấu tuyến tính thỏa mãn , ,ÎVnk. Do đó tồn tại đẳng cấu tuyến tính ngược thỏa mãn , ,ÎV’nk và , . Vậy V’nk @ Vnk. Nếu Vnk @ V’nk và V’nk @ V’’nk thì: Tồn tại đẳng cấu tuyến tính thỏa mãn , ,ÎVnk. Tồn tại đẳng cấu tuyến tính thỏa , ,ÎV’nk. Do đó tồn tại đẳng cấu tuyến tính thỏa mãn , ,ÎVnk. Vậy Vnk @ V’’nk. Định nghĩa Đẳng cấu trực giao được gọi là phép biến đổi trực giao. Vậy phép biến đổi trực giao là phép biến đổi tuyến tính bảo toàn tích vô hướng. Định lý Ánh xạ là một phép biến đổi trực giao khi và chỉ khi nó bảo toàn tích vô hướng. Chứng minh: (Þ): Hiển nhiên theo định nghĩa. (Ü): Cho ánh xạ bảo toàn tích vô hướng của vectơ. Giả sử là một cơ sở trực chuẩn của Vnk. Khi đó: , với i ≤ k, , với j > k, và , với i ¹ j. Đặt . Do bảo toàn tích vô hướng nên: , với i ≤ k. , với j > k. , với i ¹ j. Þ là cơ sở trực chuẩn của Vnk. Vì , là các cơ sở trực chuẩn của Vnk nên tồn tại phép biến đổi tuyến tính thỏa mãn: . Lấy ÎVnk, giả sử . Khi đó, theo ý nghĩa của tọa độ trực chuẩn ta có: , với i ≤ k. , với j > k. (1) Mặt khác do và là phép biến đổi tuyến tính nên: (2) Từ (1) và (2) suy ra: , ÎVnk hay . Vậy là phép biến đổi tuyến tính bảo toàn tích vô hướng nên là phép biến đổi trực giao. Định lý Ánh xạ tuyến tính là một phép biến đổi trực giao khi và chỉ khi nó biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn. Chứng minh: (Þ): Hiển nhiên theo định nghĩa. (Ü): Cho ánh xạ tuyến tính biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn. Gọi là một cơ sở trực chuẩn của Vnk. Khi đó: , với i≤k, , với j>k, và , với i¹j. Vì biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn nên ta suy ra là cơ sở trực chuẩn của Vnk. Do đó: , với i ≤ k, , với j > k, và , với i ¹ j. Nhận thấy: với , thì: Lại có: , , ÎVnk, hay bảo toàn tích vô hướng. Vậy là ánh xạ tuyến tính bảo toàn tích vô hướng nên theo định lý ở trên ta suy ra là phép biến đổi trực giao. Hệ quả: Nếu , là các cơ sở trực chuẩn của Vnk thì tồn tại duy nhất một phép biến đổi trực giao sao cho . Định lý Ánh xạ tuyến tính là một phép biến đổi trực giao khi và chỉ khi nó bảo toàn module của vectơ. * Chứng minh: (Þ): Cho là phép biến đổi trực giao. Khi đó: , ,ÎVnk. Suy ra: , ÎVnk. , ÎVnk. Do đó bảo toàn module của vectơ. (Ü): Cho ánh xạ tuyến tính bảo toàn module của vectơ, tức là: ÎVnk thì . Suy ra: , ÎVnk. Từ đó: ,ÎVnk thì ta có: (1) Mà do là ánh xạ tuyến tính nên: (2) Mặt khác: (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: Do đó bảo toàn tích vô hướng. Vậy là ánh xạ tuyến tính bảo toàn tích vô hướng nên theo định lý ở trên ta suy ra là phép biến đổi trực giao. Nhận xét Cho phép biến đổi trực giao . Khi đó ,ÎVnk ta có: , ÎVnk. , ÎVnk. Nên: Mặt khác: , ,ÎVnk. Suy ra: , ÎVnk. Do đó: , ÎVnk. Nên: Vậy: Ngược lại, nếu phép biến đổi tuyến tính thỏa mãn thì ta có: , ,ÎVnk. Vậy là phép biến đổi tuyến tính bảo toàn tích vô hướng. Do đó theo hệ quả 1 ta có là phép biến đổi trực giao. Vậy: phép biến đổi tuyến tính là phép biến đổi trực giao khi và chỉ khi . Ma trận k – trực giao Trong Vnk, cho phép biến đổi trực giao . Ta lấy một cơ sở trực chuẩn và gọi A là ma trận của đối với cơ sở trực chuẩn đó. Khi đó A gọi là ma trận k – trực giao. Đặt . Khi đó ma trận của phép biến đổi tuyến tính liên hợp là thỏa: (D, Ik được xác định theo bài 4) Mà là phép biến đổi trực giao nên: Nên ta có: AD = DA = I (với I là ma trận đơn vị cấp n) Suy ra: (*) Ngược lại: Nếu trong Vnk, đối với một cơ sở trực chuẩn nào đó, ma trận A của phép biến đổi tuyến tính thỏa mãn , thì là phép biến đổi trực giao (suy ra từ nhận xét ở phần trên). Nhận xét: Nếu A là ma trận k – trực giao thì detA = ±1 (suy ra từ đẳng thức (*)). Định lý Phép biến đổi tuyến tính là phép biến đổi trực giao khi và chỉ khi ma trận của đối với cơ sở trực chuẩn là ma trận k – trực giao. Chứng minh: (Þ): Hiển nhiên theo định nghĩa. (Ü): Vì A là ma trận k – trực giao nên ta suy ra: Do đó: hay Vậy là phép biến đổi trực giao. Hệ quả 1: Phương trình của phép biến đổi trực giao có dạng: , trong đó A là ma trận k – trực giao cấp n; [x], [j(x)] lần lượt là ma trận cột tọa độ của vectơ , ÎVnk đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn. Hệ quả 2: Công thức đổi tọa độ trực chuẩn trong Vnk là , trong đó B là ma trận k – trực giao cấp n. Tính chất của phép biến đổi trực giao Tập hợp các phép biến đổi trực giao lập thành một nhóm, gọi là nhóm trực giao. Thật vậy: Vì nên phép đồng nhất id của Vnk là phép biến đổi trực giao. Vì tích của hai đẳng cấu trực giao là một đẳng cấu trực giao nên tích của hai phép biến đổi trực giao là một phép biến đổi trực giao. Vì đẳng cấu ngược của một đẳng cấu trực giao là đẳng cấu trực giao nên nghịch đảo của phép biến đổi trực giao là phép biến đổi trực giao. Do đó tập hợp các phép biến đổi trực giao lập thành một nhóm. Nếu vectơ riêng của Vnk không đẳng hướng thì giá trị riêng tương ứng với nó bằng 1 hoặc -1. Thật vậy: Giả sử là phép biến đổi trực giao có vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng và không đẳng hướng. Khi đó: . Ta có: Vì nên suy ra: Do đó: hoặc Phép biến đổi trực giao bảo toàn góc giữa hai vectơ. Thật vậy: Điều này suy ra ngay từ công thức tính góc giữa hai vectơ, tính chất bảo toàn tích vô hướng và bảo toàn độ dài vectơ của phép biến đổi trực giao. 1.6. PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG Định nghĩa Phép biến đổi tuyến tính được gọi là phép biến đổi đồng dạng nếu tồn tại số dương p sao cho: , với mọi ,ÎVnk. Số được gọi là hệ số đồng dạng. Nhận xét: Nếu p = 1 thì phép biến đổi đồng dạng chính là phép biến đổi trực giao. Định lý: Ánh xạ là phép biến đổi đồng dạng khi và chỉ khi tồn tại số p > 0 sao cho: , với mọi ,ÎVnk. Chứng minh: (Þ): Hiển nhiên theo định nghĩa. (Ü): Cho ánh xạ thỏa mãn: tồn tại p > 0 sao cho: , với mọi ,ÎVnk. (*) Giả sử là một cơ sở trực chuẩn của Vnk. Khi đó: , với m ≤ k, , với j > k, và , với m ¹ j. Do thỏa (*) nên: , với m ≤ k. , với j > k. , với i ¹ j. Þ là cơ sở trực giao của Vnk và , với m≤k, , với j>k. Đặt . Khi đó: , với m ≤ k. , với j > k. , với m ¹ j. Þ là cơ sở trực chuẩn của Vnk. Vì , là các cơ sở của Vnk nên tồn tại phép biến đổi tuyến tính thỏa mãn: . Lấy ÎVnk, giả sử . Khi đó, theo ý nghĩa của tọa độ trực chuẩn ta có: , với m≤k. , với j>k. (1) Mặt khác do và là phép biến đổi tuyến tính nên: (2) Từ (1) và (2) suy ra: , ÎVnk hay . Vậy là phép biến đổi tuyến tính của Vnk thỏa mãn tồn tại số dương p sao cho: , với mọi ,ÎVnk, nên theo định nghĩa ta suy ra là phép biến đổi đồng dạng. Hệ quả: Phép biến đổi đồng dạng biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực giao. Định lý Ánh xạ tuyến tính là phép biến đổi đồng dạng khi và chỉ khi tồn tại số p>0 sao cho: , với mọi ÎVnk. Chứng minh: (Þ): Cho là phép biến đổi đồng dạng. Khi đó: tồn tại số p > 0 sao cho: , ,ÎVnk. Suy ra: , ÎVnk. , ÎVnk. (Ü): Cho ánh xạ tuyến tính thỏa mãn: tồn tại số p > 0 sao cho , ÎVnk. Suy ra: , ÎVnk. Từ đó: ,ÎVnk thì ta có: (1) Mà do là ánh xạ tuyến tính nên: (2) Mặt khác: (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: Vậy là ánh xạ tuyến tính thỏa mãn tồn tại số p > 0 sao cho: , với mọi ,ÎVnk, nên theo định lý ở trên ta suy ra là phép biến đổi đồng dạng. Các tính chất của phép biến đổi đồng dạng Tập hợp các phép biến đổi đồng dạng lập thành một nhóm, gọi là nhóm đồng dạng. Thật vậy: Vì phép đồng nhất id của Vnk là phép biến đổi trực giao nên id là phép biến đổi đồng dạng (theo nhận xét ở phần định nghĩa). Ta chứng minh tích của hai phép biến đổi đồng dạng là một phép biến đổi đồng dạng có hệ số bằng tích các hệ số đồng dạng. Gọi , là các phép biến đổi đồng dạng của Vnk lần lượt có hệ số đồng dạng là , . Khi đó: ,ÎVnk thì: Do đó phép biến đổi tuyến tính thỏa mãn tồn tại số pq > 0 sao cho: , ,ÎVnk. Vậy theo định nghĩa ta suy ra là phép biến đổi đồng dạng hệ số . Ta chứng minh nghịch đảo của phép biến đổi đồng dạng hệ số là phép biến đổi đồng dạng hệ số . Gọi là phép biến đổi đồng dạng của Vnk có hệ số đồng dạng là . Khi đó: ,ÎVnk thì: , Do đó phép biến đổi tuyến tính ngược thỏa mãn tồn tại số > 0 sao cho: , ,ÎVnk và , . Vậy theo định nghĩa ta suy ra là phép biến đổi đồng dạng hệ số . Từ đó tập hợp các phép biến đổi đồng dạng lập thành một nhóm. Phép biến đổi đồng dạng bảo toàn góc giữa hai vectơ. Thật vậy: Điều này suy ra ngay từ công thức tính góc giữa hai vectơ và hai định lý ở trên. Mọi phép biến đổi đồng dạng đều có thể phân tích thành tích của một phép vị tự và một phép biến đổi trực giao hoặc tích của một phép biến đổi trực giao và một phép vị tự. Thật vậy: Cho là phép biến đổi đồng dạng hệ số của Vnk. Gọi là một cơ sở trực chuẩn của Vnk. Khi đó: , với m≤k, , với j>k, và , với m ¹ j. Theo trên ta có: là cơ sở trực giao của Vnk và , với m≤k, , với j>k. Suy ra: là cơ sở trực chuẩn của Vnk. Từ đó ta có thể chứng minh tính chất này dựa vào hai sơ đồ sau: Trong đó: f, g là các phép biến đổi trực giao; là phép vị tự hệ số . Phép biến đổi tuyến tính là phép biến đổi đồng dạng khi và chỉ khi nó bảo toàn tính trực giao giữa các vectơ. Chứng minh: (Þ): Cho là phép biến đổi đồng dạng. Khi đó: tồn tại số p > 0 sao cho: , ,ÎVnk. Từ đó: Nếu thì suy ra Do đó bảo toàn tính trực giao giữa các vectơ. (Ü): Cho đẳng cấu bảo toàn tính trực giao giữa các vectơ, tức là: nếu (,ÎVnk) thì ta có . Gọi là một cơ sở trực chuẩn của Vnk. Khi đó: , "j = và , với m≤k, , với j>k, , với m ¹ j. Khi đó ta có: là cơ sở của Vnk và , với m ¹ j (m,j=) (do là đẳng cấu và là một cơ sở trực chuẩn của Vnk) Nhận thấy: với m, t £ k thì ta có: Suy ra: , với m, t £ k. Đặt: , với m ≤ k. (1) Mặt khác: với m ≤ k và j > k thì ta có: Suy ra: , với m ≤ k và j > k. Do đó: , với j > k. (2) Từ (1) và (2) ta thấy: Nếu q = 0 thì: , "j = . Suy ra: ("m, j = ) Từ đó: với ÎVnk thì Xét: , "j = . Suy ra: , "j = (điều này trái với điều kiện là cơ sở của Vnk) Vậy q ¹ 0. Do đó trong Vnk, ta có cơ sở thỏa mãn và , với m ¹ j (m, j = ) nên là cơ sở trực giao của Vnk và q>0. Từ đó: ,ÎVnk thì: , Suy ra: Vậy là phép biến đổi đồng dạng. Phương trình của phép biến đổi đồng dạng Định lý: Phép biến đổi tuyến tính là phép biến đổi đồng dạng hệ số khi và chỉ khi ma trận của đối với một cơ sở trực chuẩn là , trong đó A ma trận k – trực giao. Chứng minh: (Þ): Dựa vào tính chất c ở trên, ta suy ra ma trận của đối với một cơ sở trực chuẩn là , trong đó A ma trận k – trực giao. (Ü): Gọi , lần lượt là ma trận cột tọa độ của vectơ , ÎVnk đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn. Khi đó ta có: (1) Vì A là ma trận k – trực giao nên ta suy ra: Do đó: Nên: Suy ra: Hay: (2) Từ (1) và (2) ta suy ra: , ÎVnk. Vậy là phép biến đổi tuyến tính của Vnk thỏa mãn tồn tại số p > 0 sao cho: , với mọi ÎVnk, nên theo định lý ở trên ta suy ra là phép biến đổi đồng dạng. Vậy: Phương trình của phép biến đổi đồng dạng hệ số là , trong đó A là ma trận k – trực giao cấp n; [x], [j(x)] lần lượt là ma trận cột tọa độ của vectơ , ÎVnk đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn. CHƯƠNG II : KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE 2.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Định nghĩa Không gian afin thực An có nền là một không gian vectơ giả Euclide Vnk được gọi là một không gian giả Euclide n chiều chỉ số k. Ký hiệu: Enk. Không gian nền (không gian liên kết) của Enk ta ký hiệu là . Ta cũng gọi tích vô hướng trên Vnk là tích vô hướng của Enk. Nhận xét: Không gian giả Euclide có tất cả các tính chất của không gian afin. Mục tiêu trực chuẩn Mục tiêu afin của Enk thỏa mãn là một cơ sở trực chuẩn của Vnk (tức là , với i ≤ k, , với j > k, và , với i ¹ j) được gọi là một mục tiêu trực chuẩn của Enk. O được gọi là gốc mục tiêu (gốc tọa độ); được gọi là vectơ đơn vị thứ i, . Tọa độ trực chuẩn Tọa độ afin của điểm X đối với mục tiêu trực chuẩn được gọi là tọa độ trực chuẩn, tức là: XÎEnk, XÎEnk Công thức đổi tọa độ trực chuẩn Trong Enk cho hai mục tiêu trực chuẩn và . Giả sử XÎEnk. Khi đó: Tương tự như công thức đổi tọa độ afin, ta có công thức đổi tọa độ trực chuẩn có dạng: (1) (2) Trong đó: A là ma trận chuyển cơ sở từ sang (cũng là ma trận chuyển mục tiêu từ sang ). [x], [x’] lần lượt là ma trận cột tọa độ của điểm XÎEnk đối với mục tiêu , . [a] là ma trận cột tọa độ của điểm O’ đối với mục tiêu . [a’] là ma trận cột tọa độ của điểm O đối với mục tiêu . Vì , là các cơ sở trực chuẩn của Vnk nên A là ma trận k – trực giao (tức là và ). Do đó , cũng là các ma trận k – trực giao. Ngược lại: mọi công thức dạng , trong đó B là ma trận k – trực giao, đều là công thức đổi tọa độ trong Enk. Khoảng cách giữa hai điểm Định nghĩa Khoảng cách giữa hai điểm M, N của Enk hay còn gọi là độ dài đoạn thẳng MN là module của vectơ . Ký hiệu: d(M,N). * Nhận xét: d(M,N) = d(N,M). Biểu thức tọa độ Cho và . Khi đó: , nếu . , nếu . 2.2. CÁC PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE Định nghĩa m – phẳng giả Euclide chỉ số p Giả sử cho Enk là không gian giả Euclide n chiều chỉ số k với nền là không gian vectơ Vnk. Vì Enk là không gian afin nên ta có thể nói về các phẳng của nó. Giả sử Amp là m – phẳng của Enk có phương là Vmp, trong đó Vmp là không gian con của Vnk (tức là Vmp là không gian vectơ con không suy biến của Vnk). Khi đó, do Vmp cũng là một không gian vectơ giả Euclide nên Amp là một không gian giả Euclide con của Enk. Vì vậy, ta gọi Amp là m – phẳng giả Euclide chỉ số p. Nhận xét: Không phải mọi m – phẳng của Enk đều là m – phẳng giả Euclide. Ví dụ: Các đường thẳng đẳng hướng không phải là m – phẳng giả Euclide. Như vậy, các phẳng trong không gian giả Euclide có các vị trí tương đối đã xác định như trong không gian afin. Sau đây, ta sẽ xét thêm một vài vị trí tương đối của các phẳng mà trong không gian afin chưa định nghĩa. Hai phẳng trực giao Định nghĩa 1: Hai cái phẳng P và Q của Enk được gọi là trực giao nếu phương của chúng trực giao với nhau. Ký hiệu: Q ^ P hay P ^ Q. Vậy: P ^ Q Định nghĩa 2: Hai phẳng P và Q của Enk được gọi là bù trực giao với nhau nếu phương của chúng bù trực giao với nhau. Vậy: hai phẳng P và Q bù trực giao với nhau Tính chất Nếu hai phẳng P và Q bù trực giao với nhau thì dimP + dimQ = n. Thật vậy: Vì P và Q bù trực giao với nhau nên . Suy ra: Do đó: dimP + dimQ = = n Nếu hai phẳng giả Euclide P và Q trực giao với nhau thì chúng có không quá một điểm chung. Thật vậy: Vì P và Q là hai phẳng giả Euclide trực giao với nhau nên Từ đó: nếu M, N Î PÇQ thì Suy ra: hay M º N. Nếu P là cái phẳng giả Euclide và phẳng Q bù trực giao với P thì Q cũng là cái phẳng giả Euclide. Thật vậy: Vì P là cái phẳng giả Euclide nên là không gian vectơ con không suy biến của . Do đó cũng là không gian vectơ con không suy biến của . Suy ra Q là cái phẳng giả Euclide. Nếu hai phẳng giả Euclide P và Q bù trực giao với nhau thì chúng có một điểm chung. Thật vậy: Vì P và Q là hai phẳng giả Euclide bù trực giao với nhau nên chúng có không quá một điểm chung và Theo tính chất a ta có: dimP + dimQ = n Giả sử PÇQ = Æ. Khi đó: dim(P + Q) = dimP + dimQ - + 1 = n – 0 + 1 = n + 1 > n Điều này vô lý vì (P+Q) Í Enk Vậy P và Q có một điểm chung duy nhất. Nếu phẳng P trực giao với phẳng Q và phẳng S bù trực giao với phẳng Q thì P và S cùng phương. Thật vậy: Vì P trực giao với Q nên Vì S bù trực giao với Q nên Suy ra: hay P và S cùng phương. Hai phẳng phân biệt cùng bù trực giao với một cái phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau và có cùng số chiều. Thật vậy: Cho P và S là hai cái phẳng phân biệt cùng bù trực giao với phẳng Q. Khi đó: theo tính chất e ta có P và S cùng phương và Mà P và S phân biệt nên chúng song song nhau và có cùng số chiều. Qua một điểm M đã cho có một và chỉ một cái phẳng bù trực giao với một cái phẳng đã cho. Thật vậy: Giả sử P và S là hai cái phẳng cùng qua điểm M và bù trực giao với phẳng Q. Theo tính chất f ta có P và S cùng phương và Mà P và S cùng qua M nên PÇS ¹ Æ. Do đó P º S hay P duy nhất. 2.3. PHÉP DỜI Định nghĩa Phép afin f : Enk ® Enk được gọi là phép dời (hay còn gọi là phép biến đổi đẳng cự) nếu nền là phép biến đổi trực giao. Định lý (Sự nhận biết phép dời) Ánh xạ f : Enk ® Enk là phép dời khi và chỉ khi f bảo toàn khoảng cách giữa các điểm, tức là với mọi M, N Î Enk thì ta có d(f(M),f(N)) = d(M,N). Chứng minh: (Þ): Cho ánh xạ f : Enk ® Enk là một phép dời. Khi đó theo định nghĩa ta có là phép biến đổi trực giao. Suy ra bảo toàn module của vectơ. Từ đó: với mọi M, N Î Enk thì: Vậy f bảo toàn khoảng cách giữa các điểm. (Ü): Cho ánh xạ f : Enk ® Enk bảo toàn khoảng cách giữa các điểm. Xét tương ứng được xác định như sau: Lấy điểm I cố định thuộc Enk. Gọi I’ = f(I). Với Î, IÎEnk thì $! MÎEnk sao cho: . Suy ra $! M’ÎEnk sao cho: M’ = f(M). Mà I’ÎEnk nên $!Î sao cho: Đặt . Theo cách xác định trên ta có j là một ánh xạ từ . Lấy Î. Khi đó, $! NÎEnk sao cho: . Suy ra $! N’ÎEnk sao cho: Vì f bảo toàn khoảng cách giữa các điểm nên ta có: d(f(M),f(N)) = d(M,N) Û d(M’,N’) = d(M,N) Û Û Û Û (1) Lại có: f bảo toàn khoảng cách giữa các điểm nên: (2) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: Vậy j là ánh xạ bảo toàn tích vô hướng nên j là phép biến đổi trực giao. Mặt khác: Suy ra hay j là ánh xạ nền của f. Do đó f là ánh xạ afin có nền là một phép biến đổi trực giao. Suy ra f là phép dời. Hệ quả: Phép dời không làm thay đổi tỷ số độ dài của hai đoạn thẳng tùy ý. Định lý Phép afin f : Enk ® Enk là phép dời khi và chỉ khi f biến mục tiêu trực chuẩn thành mục tiêu trực chuẩn. Chứng minh: (Þ): Cho phép afin f : Enk ® Enk là một phép dời. Khi đó theo định nghĩa ta có là phép biến đổi trực giao. Suy ra biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn. Gọi là một mục tiêu trực chuẩn của Enk. Khi đó là một cơ sở trực chuẩn của (tức là , với i≤k, , với j>k, và , với i ¹ j). Vì biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn nên là một cơ sở trực chuẩn của . Suy ra là một mục tiêu trực chuẩn của Enk. Do đó f biến mục tiêu trực chuẩn thành mục tiêu trực chuẩn. (Ü): Cho phép afin f : Enk ® Enk biến mục tiêu trực chuẩn thành mục tiêu trực chuẩn. Gọi là một mục tiêu trực chuẩn của Enk. Khi đó cũng là một mục tiêu trực chuẩn của Enk. Do đó phép biến đổi tuyến tính nền biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn . Suy ra là phép biến đổi trực giao. Vì phép afin f có nền là phép biến đổi trực giao nên theo định nghĩa ta suy ra f là phép dời. Tính chất Tập hợp các phép dời lập thành một nhóm con của nhóm các phép biến đổi afin của Enk. Nhóm này được gọi là nhóm dời. Thật vậy: Ta luôn có: Tích của hai phép dời là một phép dời: tính chất này dễ dàng được suy ra từ định nghĩa và các tính chất: - Tích của hai phép afin là một phép afin. - Tích của hai phép biến đổi trực giao là một phép biến đổi trực giao. - Nếu j có nền là , y có nền là thì y.j có nền là (Với j, y là các ánh xạ afin). Nghịch đảo của một phép dời là một phép dời: tính chất này dễ dàng được suy ra từ định nghĩa và các tính chất: - Nghịch đảo của một phép afin là một phép afin. - Nghịch đảo của một phép biến đổi trực giao là một phép biến đổi trực giao. - Nếu phép afin j có nền là thì j-1 có nền là . Vậy tập hợp các phép dời lập thành một nhóm con của nhóm các phép biến đổi afin của Enk. Phép dời biến cái phẳng thành cái phẳng có cùng số chiều với nó, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến siêu phẳng thành siêu phẳng. Thật vậy: Vì phép dời là một phép afin nên nó biến cái phẳng thành cái phẳng có cùng số chiều, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến siêu phẳng thành siêu phẳng. Phương trình của phép dời Định lý: Phương trình của phép dời f đối với mục tiêu trực chuẩn có dạng: , trong đó A là ma trận k – trực giao cấp n; [x], [x’], [b] lần lượt là ma trận cột tọa độ của điểm X, f(X), f(O)ÎEnk. Ngược lại, mỗi một phương trình có dạng như trên đều là phương trình của một phép dời trong Enk đối với một mục tiêu trực chuẩn đã chọn. * Chứng minh: Định lý này được suy ra ngay từ phương trình của phép biến đổi trực giao. 2.4. PHÉP ĐỒNG DẠNG Định nghĩa Phép afin f : Enk ® Enk