Luận văn Nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân với đối số lệch

tτ τ − = = + − − +∑ Tương tự như chương 1, ta cũng chứng minh được các khẳng định sau 1KerL dim KerL= ⇒ = ( ) ( ) 0 | , 0 1 T YImL y y Y y s ds dim ImL   = ∈ = ⇒ =     ∫ 1codim ImL dim KerL⇒ = = . Do đó L là toán tử Fredholm với chỉ số là 0. Đặt ( ) ( ): , 0P X KerL P x x→ = ( ) 0 1: , T YQ Y Qy y s dsImL T → = ∫ Khi đó ( ) ( )| :D L KerPL D L KerP ImL∩ ∩ → có ánh xạ ngược ký hiệu là PK . Với Ω là tập mở, bị chặn của X, ( )D L ∩Ω ≠ ∅ , N là ánh xạ L-compact trên Ω . 2.3 Các bổ đề Bổ đề 2.3.1 Cho ( ),nx∈   và ( ) ( )x t T x t+ = . Khi đó ta có ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 222 2 1 0 0 0 ... T T T n nx t dt T x t dt T x t dt−       ′ ′′≤ ≤ ≤                 ∫ ∫ ∫ Chứng minh Vì ( ) ( ),ix t 1,2,...,i n= là các hàm liên tục tuần hoàn với chu kì T nên theo định lý Lagrang tồn tại [ ]0,i Tξ ∈ sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 0i i i ix T x T x ξ− −− = ( ) ( ) 0i ix ξ⇒ = , với [ ]0,i Tξ ∈ , 1,2,...,i n= ( ) ( ) ( ) 1 1 t x t x x s ds ξ ξ′ ′ ′′= + ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 12 2 0 0 t T T x t x s ds x s ds x s ds T ξ   ′ ′′ ′′ ′′⇒ ≤ ≤ ≤      ∫ ∫ ∫ ( bất đẳng thức Holder) ( ) ( )2 2 0 T x t T x s ds′ ′′⇒ ≤ ∫ ( ) ( ) 2 22 0 0 T T x t dt T x s ds′ ′′⇒ ≤∫ ∫ ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 0 0 T T x t dt T x s ds     ′ ′′⇒ ≤           ∫ ∫ Lập luận tương tự ta sẽ có điều phải chứng minh. Bổ đề 2.3.2 [6] Cho [ )0,α ∈ +∞ là hằng số. ( ),s∈   , ( ) ( )s t T s t+ = và ( ) [ ],s t α α∈ − [ ]0,t T∀ ∈ Khi đó ( )1 ,x∀ ∈   mà ( ) ( )x t T x t+ = ta có ( ) ( )( ) ( )2 22 0 0 2 T T x t x t s t dt x t dtα ′− − ≤∫ ∫ 2.4 Các định lý Định lý 2.4.1 Giả sử 4 1n k= + là số nguyên dương và các điều kiện sau được thỏa mãn (H1) Tồn tại hằng số 0c > sao cho ( ) ( )0 1, , ,..., mf t x x x p t ∞> , t∀ ∈ , ix c> ( )0,1,...,i m= ( ) ( )0 1, , ,..., mf t x x x p t ∞< − , t∀ ∈ , ix c< − , ( )0,1,...,i m= (H2) ( ) ( ) ( )0 1 0 1 , , ,..., , , m m i i i f t x x x g t x h t x = = +∑ sao cho ( ) 1 2,g t x xβ β≤ + ( ) ( ), ,i i ih t x h t y x yα− ≤ − , 1,...,i m= ( ),i ix h t x lim x γ →∞ ≤ , 1,...,i m= trong đó 1 2, , , 0i iβ β α γ > Khi đó phương trình ( ) ( )L x N x= có nghiệm tuần hoàn nếu ( )4 2 1 1 1 2 m m k i i i i i T t T T Bα τ β γ ∞ = =   + + <    ∑ ∑ Với ( ) ( )4 1 4 21 4 3 4 1 1 1 1 k k k i k i i i i i B b T b T− + − ++ −− − = = = − −∑ ∑ , ( ),0i ib max b+ = , ( ),0i ib min b− = Chứng minh Bước 1: Đặt ( ) ( ) ( ){ }1 ( ) : , 0,1x D L KerL L x N xλ λΩ = ∈ = ∈ Ta chứng minh 1Ω là tập bị chặn. Thật vậy với 1x∈Ω ( ) ( )L x N xλ⇒ = , ( )0,1λ ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) 1 1 1 , , ,..., n n i i m i x t b x t f t x t x t t x t t p tλ λ τ τ λ − = ⇒ = + − − +∑ ( )2.2 Tích phân 2 vế ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 1 10 0 0 0 , ,..., T T T Tn n i i m i x t dt b x t dt f t x t x t t dt p t dtλ λ τ λ − = = + − +∑∫ ∫ ∫ ∫ Vì các hàm ( ) ( ) ( ) ( )1, ,..., nx t x t x t−′ là các hàm tuần hoàn chu kì T nên ta có ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1 0 0 , , ,..., 0 T T mf t x t x t t x t t dt p t dtτ τ− − + =∫ ∫ ⇒ [ ]0 0,t T∃ ∈ : ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )0 0 0 1 0 0 0 0 1, , ,..., T mf t x t x t t x t t p t dtT τ τ− − = − ∫  Ta chứng minh tồn tại [ ]1 0,t T∈ sao cho: ( )1x t c≤ Nếu ( )0x t c≤ thì chọn 1t là 0t Nếu ( )0x t c> thì ( )0x t c> hoặc ( )0x t c< − • Trường hợp ( )0x t c> Nếu ( )( )0 0ix t t cτ− > 1,i m∀ = ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )0 0 0 1 0 0 0, , ,..., mf t x t x t t x t t p tτ τ ∞⇒ − − > ( ) ( ) 0 1T p t dt p t T ∞ − ⇒ >∫ (vô lý) Do đó tồn tại { }1,2,...,j m∈ sao cho: ( )( )0 0jx t t cτ− ≤ Nếu ( )( )0 0jx t t cτ− ≥ − ( )( )0 0jx t t cτ⇒ − ≤ Vì ( )x t liên tục và ( ) ( )x t T x t+ = do đó tồn tại số nguyên k và [ ]1 0,t T∈ sao cho ( )0 0 1jt t kT tτ− = + Do đó ( ) ( )( )1 0 0jx t x t t cτ= − ≤ Nếu ( )( )0 0jx t t cτ− < − ( ): 0xξ ξ⇒ ∃ = ( )( ) ( )( )0 0 00; 0jdo x t t c x t cτ− > Chọn 1 1:t kT tξ = + . Khi đó ( )1 0x t c= ≤ Lý luận tương tự, trường hợp ( )0x t c< − ta cũng chọn được [ ]1 0,t T∈ : ( )1x t c≤ Vậy tồn tại [ ]1 0,t T∈ sao cho: ( )1x t c≤ Ta có ( ) ( ) ( ) 1 1 t t x t x t x s ds′= + ∫ ( ) ( ) ( ) 1 1 t t x t x t x s ds′⇒ ≤ + ∫ ( ) 0 T c x s ds′≤ + ∫ ( ) ( ) 0 T x t c x s ds ∞ ′⇒ ≤ + ∫ (2.3) Nhân cả 2 vế của (2.2) với ( )x t′ và lấy tích phân 2 vế trên [ ]0,T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 10 0 T Tn n i i i x t x t dt b x t x t dtλ − = ′ ′= ∑∫ ∫ ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , ,..., T T mf t x t x t t x t dt p t x t dtλ τ λ′ ′+ − +∫ ∫ (2.4) Với mỗi i nguyên dương ta có ( ) ( ) ( )2 0 0 T ix t x t dt′ =∫ ( tích phân từng phần (2i – 1) lần) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 212 1 0 0 1 T T ii ix t x t dt x t dt−−  ′ = −  ∫ ∫ ( tích phân từng phần (i-1) lần) Do đó từ (2.4) ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 22 12 1 2 1 10 0 1 1 T Tk k ik i i i x t dt b x t dtλ −+ − =    − = −    ∑∫ ∫ ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 , , ,..., T T mf t x t x t t x t t x t dt p t x t dtλ τ τ λ′ ′+ − − +∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 22 1 2 4 3 4 1 1 10 0 T Tk k i i i i i i b x t dt b x t dtλ λ−− − = =    = −   ∑ ∑∫ ∫ ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , ,..., T T mf t x t x t t x t dt p t x t dtλ τ λ′ ′+ − +∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 22 1 2 4 3 4 1 1 10 0 T Tk k i i i i i i b x t dt b x t dt−+ −− − = =    ≤ +   ∑ ∑∫ ∫ ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 , , ,..., T T mf t x t x t t x t t x t dt p t x t dtτ τ ′ ′+ − − +∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 4 3 2 22 1 2 4 1 1 10 0 i T Tk k i i i i i b x t dt b x t dt − −+ − − = =    ≤ +   ∑ ∑∫ ∫ ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 , ,..., , T T Tm i i i h t x t x t t x t dt g t x t x t dt p t x t dtτ = ′ ′ ′+ − + +∑∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 4 3 2 22 1 2 4 1 1 10 0 i T Tk k i i i i i b x t dt b x t dt − −+ − − = =    ≤ +   ∑ ∑∫ ∫ ( )( )( ) ( )( ) ( ) 1 0 , , Tm i i i i h t x t t h t x t x t dtτ = ′+ − −∑∫ ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 , , T T Tm i i h t x t x t dt g t x t x t dt p t x t dt = ′ ′ ′+ + +∑∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 3 2 24 1 2 1 4 2 2 1 4 1 1 10 0 i T Tk k k i k k i k i i i b T x t dt b T x t dt − − + + − ++ − + − = =    ≤ +   ∑ ∑∫ ∫ ( )( )( ) ( )( ) ( ) 1 0 , , Tm i i i i h t x t t h t x t x t dtτ = ′+ − −∑∫ ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 , , T T Tm i i h t x t x t dt g t x t x t dt p t x t dt = ′ ′ ′+ + +∑∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) 22 1 1 10 0 , , T Tm k i i i i B x t dt h t x t t h t x t x t dtτ+ =   ′⇒ ≤ − −   ∑∫ ∫ ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 , , T T Tm i i h t x t x t dt g t x t x t dt p t x t dt = ′ ′ ′+ + +∑∫ ∫ ∫ (2.5) Chọn 0ε > sao cho ( ) ( )4 2 1 1 1 2 m m k i i i i i T t T T Bα τ β γ ε ∞ = =   + + + <    ∑ ∑ Với 0ε > ở trên, do ( ),lim i ix h t x x γ →∞ ≤ 0δ⇒ ∃ > : ( ) ( ),i ih t x xγ ε≤ + , x δ∀ > , [ ]0,t T∈ Ký hiệu [ ] ( ){ }1 0, :t T x t δ∆ = ∈ ≤ ; [ ] ( ){ }2 0, :t T x t δ∆ = ∈ > và ( ) [ ]{ }, : 0, ,i ih max h t x t T xδ δ= ∈ ≤ • ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 20 , , , T i i ih t x t x t dt h t x t x t dt h t x t x t dt ∆ ∆ ′ ′ ′≤ +∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 T T i ih x t dt x t x t dtδ γ ε′ ′≤ + +∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 T T i ih x t dt x t x t dtδ γ ε ∞′ ′≤ + +∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 T T i i ih c x t dt x t dtδ γ ε γ ε   ′ ′ ≤ + + + +        ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 22 2 0 0 T T i i ih c T x t dt T x t dtδ γ ε γ ε   ′ ′ ≤ + + ⋅ + + ⋅      ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 22 22 1 2 12 4 0 0 T T k kk k i i ih c T T x t dt T T x t dtδ γ ε γ ε + +  ≤ + + ⋅ + + ⋅       ∫ ∫ • ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 , , T T i i i i ih t x t h t x t t x t dt x t x t t x t dtτ α τ′ ′− − ≤ − −∫ ∫ ( ) ( )( ) ( ) 1 1 2 2 22 0 0 T T i ix t x t t dt x t dtα τ       ′≤ − −        ∫ ∫ ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 22 2 22 0 0 2 T T i i t x t dt x t dtα τ ∞     ′ ′≤ ⋅           ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 14 0 0 2 2 T T kk i i i it x t dt t T x t dtα τ α τ + ∞ ∞ ′≤ ≤∫ ∫ • ( )( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 0 0 , T T g t x t x t dt x t x t dtβ β′ ′≤ +∫ ∫ ( ) ( ) ( )1 2 0 0 T T x t dt x t x t dtβ β′ ′≤ +∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 1 22 1 2 0 0 T T T x t dt x t x t dtβ β ∞   ′ ′≤ +     ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 1 2 22 1 2 2 0 0 0 T T T T x t dt c x t dt x t dtβ β β     ′ ′ ′≤ + +           ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 1 1 222 2 2 1 2 2 0 0 0 T T T T x t dt c T x t dt T x t dtβ β β     ′ ′ ′≤ + +           ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 22 22 1 2 12 4 1 1 2 2 0 0 T T k kk kT c T T x t dt T x t dtβ β β+ ++   ≤ + +     ∫ ∫ • ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 T T p t x t dt p t x t dt ∞ ′ ′⋅ ≤∫ ∫ ( ) ( ) 1 22 0 T p t T x t dt ∞   ′≤      ∫ ( ) ( ) ( ) 1 222 12 0 T kkp t T T x t dt+ ∞   ≤      ∫ Dẫn đến từ (2.5) ta có ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 22 2122 1 2 12 1 1 2 10 0 T Tmkk k i i i B x t dt T c h c p t x t dtδβ β γ ε ++ + ∞ =    ≤ + + + + + ⋅        ∑∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 22 14 2 1 1 0 2 Tm m kk i i i i i T T t T x t dtβ α τ γ ε + ∞ = =   + + + +    ∑ ∑ ∫ Suy ra tồn tại 1 0M > sao cho ( ) ( ) 22 1 1 0 T kx t dt M+ ≤∫ ( ) 2 4 1 0 T kx t dt T M′⇒ ≤∫ Mặt khác, nhân hai vế (2.2) với ( ) ( )nx t ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 10 0 1 0 0 , , ,..., T Tn n i n i i T T n n m x t dt b x t x t dt f t x t x t t x t t x t dt p t x t dt λ λ τ τ λ − = = + − − + ∑∫ ∫ ∫ ∫ Làm tương tự ta có ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )21 10 0 0 , , , T T Tm n n n i i i i B x t dt g t x t x t dt h t x t h t x t t x t dtτ = ≤ + − −∑∫ ∫ ∫ ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 , T Tm n n i i h t x t x t dt p t x t dt = + +∑∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 1 0 2 Tm m nn i i i i i B T t T T x t dtα τ β γ ε− ∞ = =    ⇒ − + + + ≤       ∑ ∑ ∫ ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 22 2 1 1 2 1 0 Tm nk i i i T T c h c p t x t dtδβ β γ ε − ∞ =    ≤ + + + + +         ∑ ∫ Do đó 0M∃ > sao cho ( ) ( ) 2 0 T nx t dt M≤∫ Trong Bổ đề 2.3.1 ta đã chứng minh ( ) ( ) ( ) ( )1 0 T i nn ix t T x t dt− −≤ ∫ ( )1,2,..., 1i n= − ( ) ( ) ( ) ( )1 0 T i nn ix t T x t dt− − ∞ ⇒ ≤ ∫ ( ) ( ) 1 22 1 0 T nn iT T x t dt− −   ≤      ∫ 1 2 n i T M − − ≤ Từ (2.3) ta có ( ) ( ) 0 T x t c x t dt ∞ ′≤ + ∫ ( ) 1 22 0 T c T x t dt   ′≤ +      ∫ 12 2 1 kc T M+≤ + ( ) ( ) ( ){ }; , 1,..., 1ix max x t x t i n∞ ∞⇒ = = − 112 2 2; n ikmax c T M T M − −+  ≤ +    Vậy 0 :B x B∃ > ≤ , tức là 1Ω bị chặn. Bước 2: Đặt ( ){ }2 : 0x KerL QN xΩ = ∈ = Chứng minh 2Ω là tập bị chặn. Với 2x∈Ω x KerL⇒ ∈ và ( ) 0QN x = Do ( )KerL x t d= ⇒ = ∈  Lại có ( ) 0QN x = ( ) ( ) 0 1 , , ,..., 0 T f t d d d p t dt T ⇒  +  = ∫ ( ) ( ) 0 0 , , ,..., T T f t d d d dt p t dt⇒ = −∫ ∫ Ta chứng minh: ( )x t d c= ≤ Phản chứng: giả sử ( )x t c> , suy ra ( )x t c> hoặc ( )x t c< − Nếu ( )x t c> ( ) ( ), , ,...,f t d d d p t ∞ ⇒ > ( ) ( ) 0 0 , , ,..., T T f t d d d dt p t dt ∞ ⇒ >∫ ∫ ( ) ( ) 0 0 T T p t p t dt ∞ ⇒ − >∫ ∫ (vô lý) Nếu ( )x t c< − ( ) ( ), , ,...,f t d d d p t ∞ ⇒ < − ( ) ( ) 0 0 , , ,..., T T f t d d d dt p t dt ∞ ⇒ < −∫ ∫ ( ) ( ) 0 0 T T p t dt p t dt ∞ ⇒ − < −∫ ∫ ( ) ( ) 0 0 T T p t dt p t dt ∞ ⇒ >∫ ∫ (vô lý) Vậy điều giả sử là sai. Có nghĩa là ( )x t c≤ . Kết luận 2Ω bị chặn. Bước 3: Đặt ( ) ( ) [ ]{ }3 | 1 0, 0,1x KerL x QN xµ µ µΩ = ∈ + − = ∈ Chứng minh 3Ω là tập bị chặn. Thật vậy, với 3x∈Ω x KerL⇒ ∈ và ( ) ( ) [ ]1 0, 0,1x QN xµ µ µ+ − = ∈ Do ( )KerL x t d= ⇒ = ∈  . ( ) ( ) [ ]1 0, 0,1x QN xµ µ µ+ − = ∈ ( ) ( ) ( ) 0 11 , , ,..., 0 T d f t d d d p t dt T µ µ⇒ + −  +  = ∫ ( ) ( ) 0 1 , , ..., 1 T df t d d d p t dt T µ µ ⇒  +  = −  −∫ ( ) ( ) 0 0 1 1, ,..., 1 T T df t d d dt p t dt T T µ µ ⇒ = − − −∫ ∫ Ta chứng minh: ( )x t d c= ≤ Phản chứng: Giả sử d c> d c⇒ > hoặc d c< − Nếu d c> ( ) ( ), , ,...,f t d d d p t ∞ ⇒ > ( ) ( ) 0 0 1 1, , ,..., T T f t d d d dt p t dt T T ∞ ⇒ >∫ ∫ ( ) ( ) 0 0 1 1 1 T Tdp t dt p t dt T T µ µ ∞ ⇒ − − > −∫ ∫ ( ) ( ) 0 0 1 1T Tp t dt p t dt T T∞ ⇒ < −∫ ∫ (vô lý) Nếu d c< − ( ) ( ), , ,...,f t d d d p t ∞ ⇒ < − ( ) ( ) 0 0 1 1, , ,..., T T f t d d d dt p t dt T T ∞ ⇒ < −∫ ∫ ( ) ( ) 0 0 1 1 1 T Tdp t dt p t dt T T µ µ ∞ ⇒ − − < − −∫ ∫ ( ) ( ) 0 0 1 1 1 T T dp t dt p t dt T T µ µ∞ ⇒ < + −∫ ∫ ( ) ( ) 0 0 1 1T Tp t p t dt T T∞ ⇒ <∫ ∫ (vô lý) Vậy điều giả sử là sai, tức 3Ω là tập bị chặn. Đặt Ω là tập mở, khác rỗng, bị chặn của X sao cho ( )1 2 3Ω ⊃ Ω ∪Ω ∪Ω Khi đó L là toán tử Fredholm với chỉ số 0 và N là L-compact trên Ω . Kiểm tra các điều kiện của định lý GM. i) ( ) ( ) ( ) ( ), , 0,1L x N x x D Lλ λ≠ ∈∂Ω∩ ∈ . Thật vậy, với ( )x D L∈∂Ω∩ 1x⇒ ∉Ω ( ) ( )L x N xλ⇒ ≠ ii) ( ) 0QN x ≠ x KerL∀ ∈∂Ω∩ . Thật vậy, với x KerL∈∂Ω∩ x KerL⇒ ∈ và ( )2 0x QN x∉Ω ⇒ ≠ iii) Đặt ( ) [ ], : 0,1H x Yµ Ω× → là ánh xạ xác định như sau ( ) ( ) ( ), 1H x x QN xµ µ µ= + − Với ( ) ( ) [ ], 0,1x KerLµ ∈ ∂Ω∩ × x KerL⇒ ∈ và 3x∉Ω ( ) ( )1 0x QN xµ µ⇒ + − ≠ ( ), 0H x µ⇒ ≠ Theo tính chất bất biến đồng luân ta có ( )( ) ( )( ),0 , ,0 ,1 , ,0deg H x KerL deg H x KerLΩ∩ = Ω∩ ( )( ) ( ), ,0 , ,0 0deg QN x KerL deg x KerL⇒ Ω∩ = Ω∩ ≠ Vậy phương trình ( ) ( )L x N x= có nghiệm ( )x D L∈ ∩Ω , tức phương trình (2.1) có nghiệm tuần hoàn chu kỳ T. Định lý 2.4.2 Giả sử 4 3n k= + là số nguyên dương. Các điều kiện (H1), (H2) đều được thỏa mãn. Khi đó phương trình (2.2) sẽ có nghiệm tuần hoàn chu kỳ T nếu ( )1 2 2 1 1 2 m m n i i i i i T t T T Bα τ β γ− ∞ = =   + + <    ∑ ∑ Với ( ) ( )4 1 4 22 4 1 4 3 1 1 1 k k k i k i i i i i B b T b T− + − ++ −− − = = = − −∑ ∑ , ( ),0i ib max b+ = , ( ),0i ib min b− = Chứng minh Lập luận tương tự như phần chứng minh của Định lý 2.4.1 Định lý 2.4.3 Giả sử 4n k= là số nguyên dương. Các điều kiện (H1), (H2) đều được thỏa mãn. (H3) Giả sử tồn tại số nguyên dương s k≤ sao cho ( ) 4 1 4 1 4 1 2 0 0, 0, 1,2,...,2 s s s i b khi s k b b i k s khi s k − − − + > =  > = = − < Khi đó phương trình (2.1) có nghiệm tuần hoàn chu kỳ T nếu ( )4 2 2 3 1 1 2 m m s i i i i i T t T T Bα τ β γ− ∞ = =   + + <    ∑ ∑ ( )4 1 2 4 1 1 2 m m k i i i i i T t T T Bα τ β γ− ∞ = =   + + <    ∑ ∑ Trong đó ( ) ( ) 1 4 2 4 3 4 1 4 3 4 1 1 1 s s s i s i s i i i i B b b T b T − − + −+ − − − − = = = − −∑ ∑ ( ) ( ) 1 4 2 4 4 4 2 4 1 1 1 k k k i k i i i i i B b T b T − − + −− + − = = = − −∑ ∑ Chứng minh Từ các giả thiết (H1), (H2), lập luận tương tự như trong chứng minh Định lý 2.4.1 ta có ( ) ( ) 0 T x t c x t dt ∞ ′≤ + ∫ Nhân cả 2 vế của (2.2) với ( )x t′ và lấy tích phân 2 vế trên [ ]0,T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 10 0 T Tn n i i i x t x t dt b x t x t dtλ − = ′ ′= ∑∫ ∫ ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 , , ,..., T T mf t x t x t t x t t x t dt p t x t dtλ τ τ λ′ ′+ − − +∫ ∫ Với mỗi i nguyên dương ta có ( ) ( ) ( )2 0 0 T ix t x t dt′ =∫ ( tích phân từng phần (2i – 1) lần) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 212 1 0 0 1 T T ii ix t x t dt x t dt−−  ′ = −  ∫ ∫ ( tích phân từng phần (i-1) lần) Vì 4n k= nên ta có ( ) ( ) ( )4 14 1 0 T s sb x t x t dt − − ′− ∫ ( ) ( ) ( ) 2 1 21 2 1 1 0 1 Ts i i i i b x t dt − − − =  = −  ∑ ∫ ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 , , ,..., T T mf t x t x t t x t t x t dt p t x t dtτ τ ′ ′+ − − +∫ ∫ ( ) ( ) 22 4 1 0 T s sb x t dt−  ⇒  ∫ ( ) ( ) 22 1 4 3 1 0 Ts i i i b x t dt−− =  =  ∑ ∫ ( ) ( ) 1 22 4 1 1 0 Ts i i i b x t dt − − =  −  ∑ ∫ ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )1 0 0 , , ,..., T T mf t x t x t t x t t x t dt p t x t dtτ τ ′ ′+ − − +∫ ∫ ( ) ( ) 22 4 1 0 T s sb x t dt−  ⇒  ∫ ( ) ( ) 22 1 4 3 1 0 Ts i i i b x t dt−+ − =  ≤  ∑ ∫ ( ) ( ) 1 22 4 1 1 0 Ts i i i b x t dt − − − =  +  ∑ ∫ ( )( ) ( ) 0 , T g t x t x t dt′+∫ ( )( )( ) ( )( ) ( ) 1 0 , , Tm i i i i h t x t t h t x t x t dtτ = ′+ − −∑∫ ( )( ) ( ) 1 0 , Tm i i h t x t x t dt = ′+∑∫ ( ) ( ) 0 T p t x t dt′+∫ ( ) ( ) ( ) ( ) 224 1 4 2 4 1 3 2 1 1 0 2 Tm m ss s s i i i i i B T T t T x t dtγ ε α τ β− − − ∞ = =    ⇒ − + − −     ∑ ∑ ∫ ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 2222 1 1 2 1 0 Tm ss i i i T T c h c p t x t dtδβ β γ ε − ∞ =    ≤ + + + + +         ∑ ∫ Do đó tồn tại 1 0M > sao cho ( ) ( ) 22 1 0 T sx t dt M≤∫ Theo Bổ đề 2.3.1, tồn tại 2 0M > sao cho ( ) 2 2 0 T x t dt M′ ≤∫ Mặt khác, nhân hai vế của (2.2) với ( ) ( )nx t và lý luận tương tự ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 1 4 2 1 1 0 2 Tm m nk i i i i i B T t T T x t dtα τ β γ ε− ∞ = =     − + + +        ∑ ∑ ∫ ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 2222 1 1 2 1 0 Tm sk i i i T T c h c p t x t dtδβ β γ ε − ∞ =    ≤ + + + + +         ∑ ∫ Do đó tồn tại số 0M > sao cho ( ) ( ) 2 0 T nx t dt M≤∫ Tiếp tục lý luận tương tự như trong phần chứng minh của Định lý 2.4.1 ta cũng sẽ chứng minh được phương trình (2.1) có nghiệm tuần hoàn chu kỳ T. Chương 3 NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC HAI LOẠI TRUNG HÒA VỚI ĐỐI SỐ LỆCH ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1, ,..., nx t cx t a t x t g t x t t x t t p tτ τ τ′′ ′′+ − + + − − = 3.1 Giới thiệu Chương này trình bày sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình vi phân bậc 2 loại trung hòa với đối số lệch sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1, ,..., nx t cx t a t x t g t x t t x t t p tτ τ τ′′ ′′+ − + + − − = (3.1) Trong đó • 1c < , τ là hằng số • ( ) ( ) ( ), ,i t a t p tτ là các hàm thực liên tục trên  tuần hoàn với chu kì T • ( )1,ng +∈   và tuần hoàn theo biến thứ nhất, nghĩa là ( ) ( )1 2 1 2, , ,..., , , ,...,n ng t T x x x g t x x x+ = , ( )1 2, ,..., nnx x x∀ ∈ Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương trình (3.1), chúng tôi sử dụng Định lý điểm bất động Krasnoselskii và thuyết trùng bậc Mawhin. 3.2 Các bổ đề Bổ đề 3.2.1 Giả sử M là số dương thỏa 2 0 M T π < <     . Khi đó với bất kỳ hàm ϕ xác định trên [ ]0,T , phương trình ( ) ( ) ( )x t Mx t tϕ′′ + = có nghiệm ( ) ( ) ( ), t T t x t G t s s dsϕ + = ∫ Với ( ) os 2, 2 sin 2 Tc t s G t s T α αα  − +   = , [ ],s t t T∈ + , Mα = Chứng minh ( ) ( ) ( )x t Mx t tϕ′′ + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , t T t T t T t t t G t s x s ds M G t s x s ds G t s s dsϕ + + + ′′⇒ + =∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2, , , , , t T t T t T s t t t G Gx s G t s x s t s t s MG t s x s ds G t s s ds s s ϕ + + + =  ∂ ∂ ′⇒ − + + =  ∂ ∂    ∫ ∫ Chọn ( ),G t s sao cho: ( ) ( ), ,G t t T G t t+ = (3.2) ( ) ( ), , 1G Gt t t t T s s ∂ ∂ − + = ∂ ∂ (3.3) ( ) ( ) 2 2 , , 0 G t s MG t s s ∂ + = ∂ (3.4) Từ (3.4) và 2 0 M T π < <     ta có ( ) ( ) ( ),G t s A t cos s B t sin sα α= + với Mα = ( ) ( ) ( ),G t s A t sin s B t cos s s α α α α∂⇒ = − + ∂ Từ (3.2) và (3.3) ta có ( ) 2 2 2 Tcos t A t Tsin α αα  +   = và ( ) 2 2 2 Tsin t B t Tsin α αα  +   = ( ) os 2, 2 sin 2 Tc t s G t s T α αα  − +   ⇒ = , [ ],s t t T∈ + Khi đó nghiệm của phương trình (3.1) có dạng ( ) ( ) ( ), t T t x t G t s s dsϕ + = ∫ . Bổ đề 3.2.2 i) Với 2 0 M T π < <     ta có ( ) ( ) 10 , 2 2 G t s Tsin αα < ≤ ii) ( ) 1, t T t G t s ds M + =∫ Chứng minh i) Với 2 0 M T π < <     thì ; 2 2 2 Tt s π πα −   − + ∈        Dẫn đến ( ) ( ) 10 , 2 2 G t s Tsin αα < ≤ . ii) ( ) 2 1 12, 2 sin 2 t T t T t t Tcos t s G t s ds dsT M α α αα + +  − +   = = =∫ ∫ Chứng minh tương tự như Bổ đề 3.2.1 và 3.2.2 ta có các bổ đề sau Bổ đề 3.2.3 Giả sử M là số dương thỏa 2 0 M T π < <     . Với bất kỳ hàm ϕ xác định trên [ ]0,T , phương trình ( ) ( ) ( )x t Mx t tλ ϕ′′ + = , 0 1λ< < có nghiệm ( ) ( ) ( )1 , t T t x t G t s s dsϕ + = ∫ Với ( ) 1 1 1 1 2, 2 2 Tcos t s G t s Tsin α αα  − +   = , [ ],s t t T∈ + , 1 Mα λ= Bổ đề 3.2.4 i) ( ) ( )1 1, ,G t t T G t t+ = ii) ( )1 1, t T t G t s ds Mλ + =∫ 3.3 Các định lý Định lý 3.3.1 Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn : (H1) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) 2 0, 0, 0 T T m min a t a t M max a t T π < = ≤ ≤ = <     (H2) Tồn tại số 1 0K > sao cho ( )0 1 02g m c M K p≤ − − Trong đó ( ) [ ]{ }0 1 1, ,..., : 0, , , 1,2,...,n ig max g t x x t T x K i n= ∈ ≤ = [ ] ( )0 0,axTp m p t= Khi đó phương trình (3.1) có nghiệm tuần hoàn chu kỳ T. Chứng minh Đặt ( ) ( ) ( ){ }2 , :X x x t T x t= ∈ + =   Với x X∈ , [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) 0, 0, 0, ax ax ax T T T x m x t m x t m x t′ ′′= + + Khi đó ( ),X ⋅ là không gian Banach. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )1 3.1 , ,..., n x t Mx t cx t p t M a t x t g t x t t x t t τ τ τ ′′ ′′⇔ + = − − + + − − − − ( ) ( ) ( ), t T t x t c G t s x s dsτ + ′′⇔ = − −∫ ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1, , ,..., t T n t G t s M a s x s g s x s s x s s p s dsτ τ +  + − − − − + ∫ Áp dụng tích phân từng phần ta được ( ) ( ), t T t G t s x s dsτ + ′′ −∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 , t T t Gx t t s x s ds s τ τ + ∂ = − + − ∂∫ ( ) ( ) ( ), t T t x t M G t s x s dsτ τ + = − − −∫ Vậy ( ) ( ) ( ) ( ), t T t x t cx t cM G t s x s dsτ τ + = − − + −∫ ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1, , ,..., t T n t G t s M a s x s g s x s s x s s p s dsτ τ +  + − − − − + ∫ Đặt các ánh xạ :U X X→ , :S X X→ như sau ( )( ) ( )Ux t cx t τ= − − ( )( ) ( ) ( ), t T t Sx t cM G t s x s dsτ + = − +∫ ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1, , ,..., t T n t G t s M a s x s g s x s s x s s p s dsτ τ +  + − − − − + ∫ Ta có ( )( ) ( )( )Ux t T Ux t+ = và ( )( ) ( )( )Sx t T Sx t+ = . Khi đó điểm bất động của U S+ là nghiệm tuần hoàn chu kì T của (3.1). Lấy ,x y X∈ và ( ) ( )1 1,x t K y t K≤ ≤ Ta chứng minh ( )( ) 1Uy Sx t K+ ≤ ( )( ) ( ) 1Uy t cy t c Kτ= − − ≤ ( ) ( ) ( )1 1, , t T t T t t cM G t s x s ds c K M G t s ds c Kτ + + − ≤ =∫ ∫ (3.5) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1, , ,..., t T n t G t s M a s x s g s x s s x s s p s dsτ τ +  − − − − + ∫ ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )1, , ,..., t T n t G t s M a s x s g s x s s x s s p s dsτ τ + ≤ − − − − +∫ ( ) ( )( ) ( ), t T t G t s M a s x s ds + ≤ −∫ ( ) ( )( ) ( )( )( )1, , ,..., t T n t G t s g s x s s x s s dsτ τ + + − −∫ ( ) ( ), t T t G t s p s ds + + ∫ 1 M m K M − ≤ 0 0 g p M + + (3.6) Từ (3.5), (3.6) ta có ( )( ) 0 011 g pmSx t c K M M + ≤ + − +    Khi đó ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 011 2 g pmUy Sx t Uy t Sx t c K M M + + ≤ + ≤ + − +    ( ) 1 1 1 2 1 2 m c M Kmc K K M M − ≤ + − + =    Đặt ( )2 1 0 01K c M M m K g pc β  = + − + + − , ( )3 1 0 021K c M M m K g pc  = + − + + − và ( ) ( ) ( ){ }1 2 3, ,G x X x t K x t K x t K′ ′′= ∈ ≤ ≤ ≤ Khi đó G là tập con lồi, đóng, bị chặn của X Ta kiểm tra các điều kiện của định lý Krasnoselskii i) ,x y G∈ Uy Sx G⇒ + ∈ . Thật vậy, ở phần trên ta đã chứng minh ( )( ) 1Uy Sx t K+ ≤ với ( ) ( )1 1,x t K y t K≤ ≤ ( ) ( ) ( )Uy t cy t τ′ ′= − − ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 t T t Tsin t s Sx t cM x s dsTsin α τα + − + ′ = − −∫ ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )12 , ,..., 2 2 t T n t Tsin t s M a s x s g s x s s x s s p s dsTsin α τ τα + − +  − − − − − + ∫ Đặt 2 2 T Tsin β α= ( ) ( ) 1Sx t c M Kβ′ ≤ ( ) 1 0 0M m K g pβ+  − + +   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2Uy Sx t Uy t Sx t c K′ ′ ′+ ≤ + ≤ + 1c M Kβ ( ) 1 0 0M m K g pβ+  − + +   ( )2 1 0 0c K c M M m K g pβ  = + + − + +  ( )2 2 21c K c K K= + − = ( ) ( ) ( )Uy t cy t τ′′ ′′= − − ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )1, ,..., nSx t cMx t M a t x t g t x t t x t tτ τ τ′′ = − + − − − − ( ) ( )( )p t M Sx t+ − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Uy Sx t Uy t Sx t′′ ′′ ′′+ ≤ + ( )3 1 1 0 0c K c MK M m K g p≤ + + − + + ( ) 1 0 0M c M m K g p+ + − + + ( )3 1 0 0