Luận văn Nghiên cứu didactic việc dẫn nhập chứng minh hình học ở lớp 7 trong môi trường tích hợp Cabri II Plus

thuật dùng để giải quyết kiểu nhiệm vụ “Nhận dạng hình” và “Tạo hình hình học” dựa hoàn toàn trên thực nghiệm Khái niệm hình được định nghĩa tường minh, được hiểu theo nghĩa khái quát và thống nhất, với quan niệm ngầm ẩn “Hình là một tập hợp điểm” Các kỹ thuật dùng cho kiểu nhiệm vụ “Nhận dạng hình” và “Tạo hình hình học” được xây dựng trên các định nghĩa, tính chất và định lý có liên quan Hình vẽ sẵn có Tạo ra một hình theo biểu tượng đã có Quan hệ giữa các hình hình học không được hợp thức Hình vẽ chính là cơ sở để đưa ra các kết luận và để hình thành các kiến thức hình học Hình vẽ do người học tự vẽ Tạo ra hình theo sự chỉ dẫn cụ thể, qua đó dần đưa vào bài toán dựng hình 4 bước Hình được tạo ra từ các bộ phận có quan hệ. Bản thân các hình cũng có quan hệ với nhau Hình vẽ gợi mở các dự đoán và tạo cơ sở trực giác để chứng minh kiến thức 2.2.4. Môi trường truyền thống và môi trường có hỗ trợ Cabri 2.2.4.1. Môi trường truyền thống: • Hình vẽ tĩnh • Cần nhiều thời gian khi muốn chỉnh sửa lại hình vẽ, vì khi một yếu tố trong hình thay đổi thì các yếu tố khác có liên quan sẽ không tự động thay đổi theo • Tốn nhiều công sức đối với khâu dự đoán trong các bài toán quỹ tích, tìm điểm cố định. Nói riêng và các bài toán mà khâu phỏng đoán phụ thuộc khá nhiều vào hình vẽ nói chung. Do đó nhìn chung không có hiệu quả lắm a) Môi trường có hỗ trợ Cabri: • Hình vẽ động • Tác động được lên hình, mỗi tác động đều kéo theo sự thay đổi tương ứng của các yếu tố có liên quan, do đó vẫn đảm bảo cấu trúc hình. Chẳng hạn, vẽ M là trung điểm của đoạn thẳng AB, người vẽ muốn đoạn AB dài hơn để dễ quan sát thì khi thực hiện thao tác kéo dài đoạn AB thì điểm M sẽ tự động thay đổi theo để vẫn giữ được tính chất là trung điểm của đoạn AB mới. • Bảo toàn tính bất biến của hình. Do các yếu tố hình đều có sự thay đổi tương ứng với nhau nên những yếu tố bất biến sẽ thể hiện rõ trên hình khi người vẽ thao tác. Tính chất này hỗ trợ rất hiệu quả cho khâu dự đoán trong các bài toán quỹ tích, tìm điểm cố định • Cabri là môi trường rèn luyện suy luận một cách ngầm ẩn. Trong Cabri, các bộ phận của hình vẽ có mối quan hệ mật thiết với nhau nên đòi hỏi tính chính xác cao. Hơn nữa, ngoài các hình đặc biệt đã được thiết lập sẵn trong Cabri thì các hình khác được dựng dựa trên các tính chất của hình bằng các công cụ sẵn có. Ví dụ, dựng tam giác cân: nếu dựng bằng giấy bút thì canh theo ô ly giấy hoặc dùng thước để đo và dựng hai cạnh bằng nhau  hình vẽ dựng trên tính chất tam giác cân và có kết hợp việc đo đạc; nếu dựng trong Cabri: vì không có công cụ đo hai đoạn bằng nhau (hình theo nghĩa hình hình học chứ không phải hình vẽ cố định gắn với một số đo cụ thể) cho nên tam giác cân được dựng dựa trên tính chất hai cạnh bằng nhau và hai cạnh bằng nhau dựng dựa trên tính chất của một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng. Vì vậy thao tác dựng hình trong Cabri gắn chặt với việc suy luận, góp phần hỗ trợ thêm kỹ năng suy luận hình học của người học và hình thành mối quan hệ giữa các khái niệm, tính chất của các hình, phát triển khả năng phân tích và tổng hợp. Tuy nhiên, trong Cabri pha dự đoán không thể hiện được đúng vai trò tạo sự bấp bênh và nghi ngờ dẫn đến việc phải dùng đến suy luận, bởi vì hình vẽ trong Cabri dựng được mang tính chính xác cao. Việc thao tác dịch chuyển hình nhìn chung vẫn là hoạt động thực nghiệm trên hình, cho nên dù có hiệu quả thì vẫn không thể khẳng định là đã thực hiện được trên tất cả các khả năng có thể có của hình, các pha dự đoán về cơ bản vẫn chỉ là “đoán”, những khả năng quan sát được vẫn chỉ là hữu hạn, do đó vẫn phải cần đến suy luận để hợp thức hóa kết quả. Như vậy, việc kết hợp Cabri trong dạy học góp phần củng cố thêm việc bác bỏ một ràng buộc “Kết luận dựa vào thực nghiệm” vốn đã hình thành ở học sinh từ giai đoạn đầu học hình học; từ đó càng nâng cao vai trò của suy luận trong chứng minh hình học. Tuy pha dự đoán không tạo được bấp bênh nhưng hiệu quả lại thể hiện rất rõ trong pha tìm tòi và phát hiện tính chất; đó cũng là một trong các hoạt động cần thiết và quan trọng trong quá trình nghiên cứu. (phân biệt “dự đoán” và “tìm tòi, phát hiện” ở cấp độ dạy học Dự đoán một tính chất đang nghi vấn. Vd: Cho biết a c⊥ và b c⊥ . Dự đoán xem a và b có song song với nhau không? (?1 trang 96) Dự đoán một tính chất theo hướng có gợi mở trước. Vd: quan sát tam giác vừa cắt (trên đó có vẽ ba đường trung tuyến), cho biết ba đường trung tuyến của tam giác này có cùng đi qua một điểm không? (?2 trang 65) Tìm tòi và phát hiện một tính chất được thực hiện dựa trên thực nghiệm và quan sát các bất biến từ đó đưa ra một dự đoán về một tính chất (không có gợi mở trước như pha dự đoán trên). Hơn nữa việc kết hợp Cabri sẽ giúp rút ngắn thời gian vì tính bấp bênh ít) 2.2.5. Hình và hình vẽ trong HHGN và HHSD Hình vẽ vừa cụ thể vừa tổng quát, vừa trực quan vừa trừu tượng. Đặc điểm này khiến học sinh rất dễ bị cái cụ thể cản trở cái tổng quát, gây khó khăn khi suy luận. Hình vẽ không bao quát hết tất cả các trường hợp dẫn đến bài giải không đầy đủ. Nếu thực hiện trên giấy thì học sinh rất dễ mắc sai lầm. Còn nếu trong Cabri thì các sai lầm trên sẽ được hạn chế vì nhờ có thao tác di chuyển hình dễ dàng và nhanh chóng nên học sinh có thể nhận ra nhiều trường hợp khác. 2.2.6. Phân tích các chức năng của hình vẽ trong hình học lớp 7 trong hai môi trường truyền thống và Cabri: 2.2.6.1. Minh họa đề toán, thể hiện giả thiết a) Môi trường truyền thống: Nếu nhiều giả thiết thì hình vẽ dễ gây khó khăn trực quan, hình vẽ rối (chẳng hạn có các đường vẽ trùng lên nhau). Khi đó hình vẽ gây cản trở việc suy luận của học sinh Vì hình vẽ mang tính cố định, cục bộ nên khi muốn chỉnh sửa lại hình vẽ thì mất nhiều thời gian và công sức, trong khi nếu dùng lại hình vẽ cũ thì lại gặp khó khăn về trực giác b) Môi trường Cabri: Khắc phục hai khó khăn trên của môi trường truyến thống Có một số hình thông dụng được vẽ sẵn bằng các macro, hình vẽ minh họa một cách chính xác các tính chất hình Gắn liền hoạt động lập luận với hoạt động vẽ hình Dễ dàng phát hiện hình vẽ đúng hay sai, vì nếu hình vẽ sai thì khi dịch chuyển hình vẽ sẽ biến dạng, các bộ phận của hình không thay đổi tương ứng. 2.2.6.2. Giải toán Hình vẽ giữ vai trò dự đoán kết quả đối với các bài toán mở. Hình vẽ mang nghĩa “thí dụ ngược”, là một phương tiện thăm dò tình huống và cho phép đặt ra các giả thuyết. Trong quá trình giải toán, hình vẽ còn giúp tìm ra đường lối và cách giải. Theo đó, hình vẽ có chức năng thực nghiệm, được dùng như một công cụ khám phá Nhìn chung, hình vẽ dù trong môi trường nào cũng mang các chức năng đặc thù nêu trên trong giai đoạn tìm tòi và phát hiện của hoạt động giải toán. Tuy nhiên, môi trường có tích hợp Cabri có ưu điểm hơn nhờ hình vẽ động và thao tác được trên hình. Cabri cho phép thu hẹp phạm vi thăm dò các tình huống, cho phép đặt ra các giả thuyết khả thi và hợp lý hơn. Vd: 51 trang 128, 30 trang 67 2.2.6.3. Trình bày lời giải của học sinh Hình vẽ minh họa các giai đoạn làm bài của học sinh (gọi thêm điểm, kẻ thêm đường phụ, .) Đối với bài toán dựng hình thì hình vẽ là kết quả cần đạt được sau các bước lập luận cần thiết 2.2.7. Phân tích các tổ chức toán học liên quan đến “dẫn nhập chứng minh hình học lớp 7” T1: Tính giá trị đại lượng T2: So sánh hai đai lượng T3: Xác định tính chất của một tam giác T4: Tạo ta một hình T5: Khẳng định tính đúng sai của mệnh đề T6: Chứng minh tính chất của hình T1: Tính giá trị đại lượng T1.1: Tính số đo góc τ1.1.1: • Vẽ hình theo đúng kích thước của các đối tượng trong bài toán • Dùng thước đo độ để trả lời số đo góc Bài 4 [9, trang 82] Vẽ góc xBy có số đo bằng 60 . Vẽ góc đối đỉnh với góc xBy. Hỏi góc này có số đo bằng bao nhiêu độ Lời giải [11, trang 85] Góc đối đỉnh với xBy là ' 'x By và  0' ' 60x By = Lời giải trên không giải thích rõ căn cứ nào để có góc  0' ' 60x By = . Học sinh được yêu cầu vẽ một góc, vẽ góc đối đỉnh và hỏi số đo của góc đối đỉnh. Học sinh có thể dùng kỹ thuật đo đạc (thực nghiệm) để trả lời câu hỏi trên, do ảnh hưởng của hình học ghi nhận trước đó và do thể chế không ghi rõ mong muốn. Tuy nhiên lời giải kiểu này chỉ xuất hiện một lần. Còn từ đó về sau thể chế đều bộc lộ rõ mong muốn phải dùng lập luận để giải quyết bài toán. τ1.1.2: • Vẽ hình tượng trưng • Xác định mối quan hệ giữa góc cần tính và các góc đã có trong bài toán • Dùng tính chất về các góc phẳng để tính: o 2 góc đối đỉnh thì bằng nhau o 2 góc kề bù có tổng số đo là 1800 (?2 [9, trang 88]) o Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì tạo ra các cặp góc so le trong bằng nhau, các cặp góc đồng vị bằng nhau o Tổng 3 góc trong một tam giác bằng 1800 (Bài 2 [9, trang 108]) o Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với góc đó (Bài 2 [9, trang 108], cách 2) o Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau o Tam giác đều có ba góc đều bằng 600 θ1.1.2: Tính chất 2 góc đối đỉnh; 2 góc kề bù; tính chất 2 đường thẳng song song; tính chất tổng 3 góc trong 1 ∆ ; tính chất về 2 góc đáy của tam giác cân Θ1.1: hình học phẳng ?2 [9, trang 88] Trên hình 13 người ta cho   04 2 45A B= = . 600 x y x’ y’ a) Hãy tính 1A [.] Lời giải [11, trang 93] Ta có:  0 0 0 01 4180 180 45 135A A= − = − = (hai góc kề bù) Bài 2 [9, trang 108] Cho tam giác ABC có  0 080 , 30B C= = . Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Tính ADC [.] Lời giải [11, trang 116] A B CD Cách 1: Xét tam giác ABC:   0 0 0 0 0180 180 80 30 70BAC B C= − − = − − =    0 0 1 2 70 35 2 2 AA A= = = = Ở tiết 1, chưa học góc ngoài của tam giác, do đó tính sđ góc ADC như sau:    0 0 2180 115ADC C A= − − = Cách 2: Sau khi học góc ngoài của tam giác, tính sđ góc ADC như sau:    0 1 115ADC B A= + = (góc ngoài của ABD∆ ) A B 3 1 3 1 4 2 4 2 Đa số dùng kỹ thuật tính dựa trên công thức, tính chất với sự xuất hiện suy luận, giải thích rõ các luận cứ. Các bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ tính số đo góc xuất hiện ở lớp 7 với mức độ khá đơn giản, chỉ cần 1 đến 2 bước suy luận là đã tìm được kết quả. Theo chúng tôi, có 2 mức độ yêu cầu về suy luận được đặt ra: “Mức đơn giản: Suy luận trên con số cụ thể” và “Mức tổng quát: Suy luận trên số đại diện”. Các hoạt động, bài tập thuộc T1.1 bước đầu dẫn dắt học sinh tập suy luận và vẫn gắn liền với các số đo cụ thể, việc làm này tạo cầu nối để học sinh khỏi bỡ ngỡ khi thoát ra khỏi hình học ghi nhận đã hình thành từ bậc tiểu học và lớp 6. Tuy nhiên, khi phân tích SGK và SGV, có thể thấy thể chế mong đợi nhiều hơn thế bằng việc đưa vào các bài tập với mong muốn các giả thiết về số đo chỉ mang tính đại diện, không chi phối đến quá trình giải toán mà chỉ xuất hiện khi cho ra kết quả cần tìm, tức là các bước suy luận không gắn với một số đo cụ thể nào mà là suy luận thuần túy dựa trên tính chất. Bài 6 [9, trang 109] Tìm số đo x ở hình 55 [.] Lời giải [11, trang 117]     0 0 90 90 A AIH B BIK + = + =  AIH BIK= (đối đỉnh) Suy ra:  A B= . Vậy  040B x= = Số đo 400 là một số đo mang tính đại diện, 3 bước lập luận trên không hề đề cập đến giả thiết về số đo 400 này, cho đến khi trả lời kết quả thì mới có. Bài toán trên có thể được nhiều học sinh giải theo mức độ 1 (gắn với số đo cụ thể) như sau:   0 0 0 090 90 40 50AIH A= − = − = Mà   050BIK AIH= = (đối đỉnh)   0 0 0 090 90 50 40B BIK= − = − = A K H B 40.0 ° I x Ưu điểm đầu tiên của lời giải theo SGV là thời gian, nếu như thay đổi dữ kiện  086A = thì học sinh dễ dàng có câu trả lời ngay lập tức, trong khi nếu theo cách tính mà nhiều học sinh có thể chọn thì việc tính toán phải bắt đầu lại từ đầu. Ưu điểm thứ hai là cách giải của SGV giúp học sinh tiếp cận với suy luận ở mức độ tổng quan hơn, đó cũng chính là yêu cầu được đặt ra đối với hình học suy diễn. Như vậy, việc SGK đưa vào bài tập trên cùng lời giải mong đợi là có chủ ý, mong muốn nâng dần kỹ năng suy luận của học sinh, từ đó thoát hoàn toàn khỏi các ràng buộc của hình học ghi nhận, vì vậy càng khẳng định vai trò và tầm quan trọng của suy luận trong giải toán. T1.2: Tính độ dài đoạn thẳng τ1.2: • Tìm tam giác vuông mà đoạn thẳng cần tìm là 1 cạnh của tam giác đó o Nếu đoạn thẳng cần tìm là cạnh huyền thì bình phương đoạn thẳng đó bằng tổng bình phương 2 cạnh góc vuông o Nếu đoạn thẳng cần tìm là cạnh góc vuông thì bình phương đoạn thẳng đó bằng bình phương cạnh huyền trừ đi bình phương cạnh góc vuông còn lại • Kết quả: nếu bình phương đoạn thẳng là 2a thì độ dài của đoạn thẳng là a (với 0a > ) θ1.2: • Định lý Pytago • Tính chất: 2a a a= = với 0a > Bài 60 [9, trang 133] Cho tam giác nhọn ABC. Kẻ AH vuông góc với BC (H ∈ BC). Cho biết AB = 13cm, AH = 12cm, HC = 16cm. Tính các độ dài AC, BC Lời giải [11, trang 139] B A CH 12 16 13 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 16 144 256 400 20 . 13 12 169 144 25 5 . 5 16 21( ). AC AH HC AC cm BH AB AH BH cm BC BH HC cm = + = + = + = ⇒ = = − = − = = − = ⇒ = = + = + = Trong kiểu nhiệm vụ T1.2, SGK [10] còn đưa vào một số bài tập với kỹ thuật khác: bài 16 trang 63 dùng bất đẳng thức tam giác, tính chất tam giác cân và tính chất số nguyên dương; bài 25 trang 67 dùng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông và tính chất trọng tâm; bài 44 trang 76 dùng tính chất của một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng. tuy nhiên số lượng bài tập này ít và không điển hình. Đa số các bài tập đều được giải theo kỹ thuật dùng định lý Pytago. Các bài tập trên vẫn gắn với các con số cụ thể, như vậy đều không nằm ngoài mục đích muốn rút ngắn khoảng cách giữa hình học ghi nhận và hình học suy diễn trong tư duy của học sinh. Yếu tố dẫn nhập của kiểu nhiệm vụ này không chỉ dừng ở đây. Hai bài toán mô phỏng thực tế được đưa vào khiến học sinh nếu dùng thực nghiệm thì gặp nhiều khó khăn và không giải quyết được một cách tổng quát, từ đó kỹ thuật dùng suy luận nổi bật lên. Hơn nữa, với hai bài toán này học sinh cần phải tự tìm tòi, tự phát hiện đoạn thẳng cần tính Bài 58 [9, trang 132] Đố: Trong lúc anh Nam dựng tủ cho đứng thẳng, tủ có bị vướng vào trần nhà không ? (h.130). Lời giải [11, trang 139] Gọi d là đường chéo của tủ, h là chiều cao của nhà (h = 21dm) Ta thấy: 2 2 2 2 2 20 4 416 416 21 441 441 d d h h Suy ra d h = + = ⇒ = = = ⇒ = < Như vậy, khi anh Nam đẩy tủ cho đứng thẳng, tủ không bị vướng vào trần nhà. Muốn biết tủ có vướng vào trần nhà không thì học sinh cần phải tự phát hiện nhiệm vụ cần làm là so sánh độ dài của đường chéo tủ và độ cao của tường, từ đó dẫn đến việc tính toán độ dài đường chéo Bài 62 [9, trang 133] Đố: Người ta buộc con Cún bằng sợi dây có một đầu buộc tại điểm O làm cho con Cún cách điểm O nhiều nhất là 9m (h.136). Con Cún có thể tới các vị trí A, B, C, D để canh giữ mảnh vườn hình chữ nhật ABCD hay không? (Các kích thước như trên hình vẽ). Lời giải [11, trang 139] B A D C O 4 8 84 6 3 6 33 4 6 Ta tính được: 5 9 10 9 52 9 73 9 OA OC OB OD = < = > = < = < Như vậy con Cún có thể tới các vị trí A, B, D nhưng không tới được vị trí C. Muốn biết con cún có thể đến các vị trí nào để canh giữ thì học sinh cần phải tự phát hiện nhiệm vụ cần làm là so sánh chiều dài dây và khoảng cách từ O đến các đầu mút của khu vườn Được đưa vào trong phần bài tập của định lý Pytago nên một suy nghĩ xuất hiện hầu hết ở học sinh là sẽ dùng công cụ định lý Pytago để giải, từ đó tìm cách minh họa lại bài toán ở dạng toán học, vì vậy các bài toán trên không quá sức với học sinh, tạo niềm tin tìm được hướng giải quyết Hơn nữa, khác với các bài tập trên có ghi rõ yêu cầu tính độ dài của đoạn thẳng nào thì việc cho 2 bài toán trên dưới dạng bài mô phỏng thực tế góp phần tạo hứng thú, tạo tính ứng dụng, phát triển khả năng tư duy, phân tích của học sinh. Như vậy yếu tố dẫn nhập (tự khám phá, tự tìm tòi) đã được thể chế quan tâm đến. Mức độ cao: Ở phần ôn tập chương III (cuối lớp 7), SGK đưa vào kiểu nhiệm vụ T1.3 với kỹ thuật giải như sau: T1.3: Tính tỉ số diện tích hai tam giác có cùng đỉnh và cùng chiều cao τ1.3: • Tìm đỉnh chung của hai tam giác • Tìm đường thẳng chứa hai cạnh đáy của tam giác, từ đó suy ra hai tam giác cùng chiều cao • Tỉ số diện tích hai tam giác bằng tỉ số hai cạnh đáy θ1.3: • Định nghĩa đường cao của tam giác • Công thức tính diện tích tam giác 1 2 S = đường cao.đáy Bài 67 [10, trang 87] Cho tam giác MNP với đường trung tuyến MR và trọng tâm Q. a) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MPQ và RPQ. b) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MNQ và RNQ. c) So sánh các diện tích của hai tam giác RPQ và RNQ Từ các kết quả trên, chứng minh các tam giác QMN, QNP, QPM có cùng diện tích (Gợi ý: Hai tam giác ở mỗi câu a, b, c có chung đường cao) Lời giải [12, trang 116] MN PR Q a) Hai tam giác MPQ, RPQ có chung đỉnh P, hai cạnh MQ và RQ cùng nằm trên một đường thẳng nên chúng có chung chiều cao xuất phát từ P. Mặt khác do Q là trọng tâm, MR là đường trung tuyến nên MQ = 2.RQ Vậy 2 (1)MPQ RPQ S S ∆ ∆ = b) Tương tự 2 (2)MNQ RNQ S S ∆ ∆ = c) Hai tam giác RPQ và RNQ có chung đỉnh Q, hai cạnh RP và RN cùng nằm trên một đường thẳng nên chúng có chung chiều cao xuất phát từ Q; hai cạnh RP và RN bằng nhau, do đó: (3)RPQ RNQS S∆ ∆= Từ (1), (2), (3) suy ra QMN QMP QNPS S S∆ ∆ ∆= = . Tuy chỉ có hai câu thuộc kiểu nhiệm vụ T1.3 nhưng việc xuất hiện của hai câu trên theo chúng tôi là có chủ ý. Bắt đầu bằng các bài tập tính toán trên số cụ thể, dần dần đưa vào bài tập với lập luận trên số đại diện và sau cùng là bài tập suy luận với mức độ cao: không có số cụ thể và số đại diện. Điều này thể hiện mong muốn dẫn dắt học sinh đến với hình học suy diễn theo con đường dần dần thoát khỏi hình học ghi nhận. Suy luận là yêu cầu quan trọng và tối cần thiết của Toán học nói chung và chứng minh hình học nói riêng. Các mức suy luận được đưa vào theo cấp độ tăng dần, góp phần rút ngắn khoảng cách giữa hai kiểu hình học, giúp học sinh tránh khỏi sự hụt hẫng, hiểu được vai trò và ý nghĩa của hình học suy diễn, tập cho học sinh dần tiếp cận với suy luận logic, với chứng minh hình học, phát triển tư duy, khả năng tự tìm tòi, tự khám phá T2: So sánh hai đại lượng T2.1: So sánh độ dài hai đoạn thẳng – so sánh bằng τ2.1: • Tìm hai tam giác mà hai đoạn thẳng cần so sánh là hai cạnh tương ứng (lựa chọn hai tam giác nào dự đoán là bằng nhau) • Chứng minh hai tam giác bằng nhau • Kết luận hai đoạn thẳng bằng nhau θ2.1: • Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác • Định nghĩa hai tam giác bằng nhau Θ2.1: Bài 31 [9, trang 120] Cho đoạn thẳng AB, điểm M nằm trên đường trung trực của AB. So sánh độ dài các đoạn thẳng MA và MB Lời giải [11, trang 128] A BH M ( . . ) MHA MHB c g c MA MB∆ = ∆ ⇒ = Chẳng hạn, kỹ thuật cho nhiệm vụ So sánh đoạn BE và đoạn CF như sau: Tìm đỉnh x và đỉnh y sao cho BEx CFy∆ = ∆ hoặc BEx FCy∆ = ∆ Chứng minh: BEx CFy∆ = ∆ hoặc BEx FCy∆ = ∆ Kết luận BE CF= Bài 40 [9, trang 128] Cho tam giác ABC ( )AB AC≠ , tia Ax đi qua trung điểm M của BC. Kẻ BE và CF vuông góc với Ax ( ),E Ax F Ax∈ ∈ . So sánh độ dài BE và CF Lời giải [11, trang 131] AB C M x E F BME CMF∆ = ∆ (cạnh huyền – góc nhọn) .BE CF⇒ = Cùng chung kỹ thuật τ3.1, SGK và SBT Toán 7 còn đưa vào kiểu nhiệm vụ T3.1’. Kiểu nhiệm vụ T3.1’ được đưa vào với việc nêu rõ yêu cầu “Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau” thay vì “So sánh hai đoạn thẳng” như trong kiểu nhiệm vụ T3.1 T2.1’: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau Bài 43 [9, trang 125] Cho góc xOy khác góc bẹt. Lấy các điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA<OB. Lấy các điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC=OA, OD=OB. Gọi E là giao điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: a) AD=BC [.] Lời giải [11, trang 132] O x y A C B D E a) ( . . )OAD OCB c g c AD BC∆ = ∆ ⇒ = Số bài tập thuộc T3.1 và T3.1’ chiếm một phần khá lớn trong chương trình Toán 7 (40 câu =5 câu T3.1 + 35 câu T3.1’). Hơn nữa các bài tập này chỉ bắt đầu xuất hiện từ sau bài Hai tam giác bằng nhau. Đây là kiểu nhiệm vụ khá rộng tuy nhiên chương trình lớp 7 chỉ cung cấp kiến thức đủ cho một kỹ thuật giải 3.1τ . Có thể do lớp 7 đang là giai đoạn chuyển từ hình học trực quan sang suy diễn nên thể chế chỉ mong đợi học sinh tập suy luận và làm quen dần với suy luận, do đó mong đợi việc hình thành ở học sinh một kỹ thuật dùng hai tam giác bằng nhau để so sánh hoặc chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (dĩ nhiên ở các bước lập luận ít và đơn giản) Tuy dùng chung một kỹ thuật nhưng T3.1 có dạng của một câu hỏi mở, đòi hỏi học sinh phải dự đoán về kết quả trước nên nếu so với T3.1’ thì T3.1 sẽ khó hơn và thông qua dự đoán, T3.1 đã bước đầu tạo cho học sinh thói quen và kỹ năng tự phát hiện, tự tìm tòi hơn. Vì lý do sư phạm nên trong giai đoạn chuyển tiếp ở lớp 7 thì bước dự đoán khá đơn giản, T3.1 dễ dàng thành T3.1’ thông qua việc vẽ hình. Như vậy, việc đưa T3.1 vào thể hiện chương trình đã có sự quan tâm đến bước “dẫn nhập”, tức là tập cho học sinh tự khám phá và tự giải quyết, chứ không đơn thuần là áp đặt chứng minh và hơn nữa bước chuyển này vẫn đảm bảo phù hợp với khả năng của học sinh lớp 7. T2.2: So sánh độ dài hai đoạn thẳng – so sánh hơn kém Có các kỹ thuật sau: τ2.2.1: • Nếu hai đoạn thẳng là hai cạnh của một tam giác thì ta xét hai góc đối diện tương ứng của hai cạnh đó. • So sánh hai góc trên • Kết luận về hai đoạn thẳng theo tính chất: cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn θ2.2.1: • Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác Bài 2 [10, trang 56] So sánh các góc của tam giác ABC, biết rằng: AB = 2cm, BC = 4cm, AC = 5cm Lời giải [12 , trang 69] Tính góc C dựa vào tính chất tổng ba góc của một tam giác   ( )0 0180 55C B A= − + = Sắp xếp các góc từ nhỏ đến lớn và viết các cạnh đối diện tương ứng ở dòng dưới:    B C A AC AB BC Căn cứ vào định lý 2 ta có các bất đẳng thức AC AB BC< < τ2.2.2: a) Ta xét xem hai đoạn thẳng cần so sánh là hình chiếu của hai đường xiên nào mà ta có thể dễ dàng so sánh (2 đường xiên cùng xuất phát từ một điểm chiếu lên một đường thẳng) Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau Nếu đường xiên nào lớn hơn thì hình chiếu đó lớn hơn b) Ta xét xem hai đoạn thẳng cần so sánh là đường xiên của hai hình chiếu nào mà ta có thể dễ dàng so sánh (2 đường xiên cùng xuất phát từ một điểm chiếu lên một đường thẳng) Nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau Nếu hình chiếu nào lớn hơn thì đường xiên đó lớn hơn θ2.2.2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu Bài 9 [10, trang 59] Để tập bơi nâng dần khoảng cách, hàng ngày bạn Nam xuất phát từ M, ngày thứ nhất bạn bơi đến A, ngày thứ hai bạn bơi đến B, ngày thứ ba bạn bơi đến C,(hình) Hỏi rằng bạn Nam tập bơi như thế có đúng mục đích đề ra hay không? (ngày hôm sau có bơi được xa hơn ngày hôm trước hay không? Vì sao? Lời giải [12 , trang 74] Do ...AB AC AD< < nên ...MA MB MC MD< < < (định lí 1, định lí 2) Vậy ngày hôm sau bạn Nam bơi được xa hơn ngày hôm trước τ2.2.3: So sánh hai đoạn thẳng qua một đoạn thẳng trung gian θ2.2.3: Tính chất bắc cầu: “Nếu a=b và b=c thì a=c” Bài 29 [10, trang 67] Cho G là trọng tâm của tam giác đều ABC. Chứng minh rằng: GA = GB = GC. Lời giải [12 , trang 87] Gọi AD, BE, CF là các đường trung tuyến của tam giác đều ABC. Làm tương tự bài 26 (Chứng minh định lí: “Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau”), ta có: AD = BE = CF. Mặt khác, do G là trọng tâm của tam giác ABC nên 2 2 2; ; 3 3 3 GA AD GB BE GC CF= = = Từ (1) và (2) suy ra: GA = GB = GC Ngoài ra sau khi học xong tính chất ba đường trung tuyến, học sinh còn gặp hai bài tập so sánh hai đoạn thẳng bằng tỷ lệ Bài 30 [10, trang 67] Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Trên tia AG lấy điểm G’ sao cho G là trung điểm của AG’ a) So sánh các cạnh của tam giác BGG’ với các đường trung tuyến của tam giác ABC. b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG’ với các cạnh của tam giác ABC. Lời giải [12 , trang 88] A B CD EGF G' K I a) So sánh các cạnh của tam giác BGG’ với các đường trung tuyến của tam giác ABC. 2 2 2; ' ; ' 3 3 3 BG BE GG AD G B CF= = = ( )( ) ' ' . . .do BDG CDG c g c∆ = ∆ b) So sánh các đường trung tuyến của tam giác BGG’ với các cạnh của tam giác ABC. 1 2 BD BC= do D là trung điểm của BC. ( ) 1' . . ' 2 KGG EGA c g c G K AE AC∆ = ∆ ⇒ = =     ( )' ( . . ) ' / / ' ' 1GDC G DB c g c GCD G BD GC BG FGB G BG∆ = ∆ ⇒ = ⇒ ⇒ = ( )2 1 1' '