Luận văn Nghiên cứu động học khuếch đại laser nd:yvo4 xung cực ngắn công suất cao sử dụng bộ khuếch đại nhiều lần truyền qua

g 1064 nm. 16 Học viên: Nguyễn Thành Dân 2018 Nghiên cứu động học khuếch đại laser Nd:YVO4 xung cực ngắn công suất cao sử dụng bộ khuếch đại nhiều lần truyền qua Thời gian sống của mức 4I11/2 rất nhỏ (cỡ vài trăm ps), do đó chỉ sau một thời gian rất ngắn sẽ hồi phục không bức xạ xuống mức cơ bản 4I9/2. Ở trạng thái cân bằng nhiệt, sự xác lập giữa hai mức này diễn ra rất nhanh. Khoảng cách năng lượng giữa hai mức 4I11/2 và 4I9/2 cỡ 0,25 eV, do đó theo phân bố Boltzmann, mức 4I11/2 gần như luôn luôn trống. Dịch chuyển quang học cho phát xạ laser là dịch chuyển giữa các mức năng lượng của ion Nd3+. Laser tinh thể Nd3+ là một laser điển hình hoạt động ở chế độ bốn mức, với mức cơ bản là 4I9/2, mức kích thích 4F5/2 (khi bơm quanh vùng 808 nm) và 4F7/2 (khi bơm quanh vùng 700 nm), mức laser trên 4F3/2 và mức laser dưới 4I11/2. Các dịch chuyển năng lượng và huỳnh quang tương ứng của ion Nd3+ được thể hiện trong Bảng 1.2. 1.2.2. Môi trường khuếch đại Nd:YVO4 Laser tinh thể Nd là loại laser được chế tạo khá phổ biến hiện nay, nó được tạo ra bằng cách thay thế các ion Y3+ của môi trường nền bằng ion Nd3+, các môi trường nền điển hình như: Y3Al5O12 (gọi tắt là YAG), YLiF4 (muối Flouride - viết tắt là YLF), YVO4 (vanadate) Nồng độ pha tạp ion Nd3+ trong tinh thể thông thường cỡ 1%, nếu nồng độ pha tạp cao hơn có thể dẫn đến hiện tượng dập tắt huỳnh quang hoặc gây biến dạng cấu trúc tinh thể. Các thông số quang học chính của môi trường laser Neodymium được trình bày trong bảng Bảng 1.3. Bảng 1.3. Các thông số của các môi trường laser Neodymium [17]. Các tính chất Nd: YAG  = 1064 nm Nd: YVO4  = 1064 nm Nd: YLF  = 1053 nm Nd: glass  = 1054 nm Nồng độ pha tạp ion Nd3+ (%) 1 1 1 3,8 Mật độ của ion Neodymium Nt (x1020 ion/cm3) 1,38 1,26 1,3 3,2 Thời gian sống huỳnh quang  (s) 230 98 480 300 Độ rộng phổ laser 0 (cm-1) 4,5 11,3 13 180 Tiết diện phát xạ cưỡng bức e (10-19 cm2) 2,8 7,6 1,9 0,4 Chiết suất n = 1,82 n = 1,82 n = 2,168 n = 1,4481 n = 1,4704 n = 1,54 Tùy theo việc pha tạp vào các nền quang học khác nhau mà các mức năng lượng tham gia quá trình laser bị suy biến. Vì vậy trong môi trường YAG và YVO4 chuyển dịch 17 Học viên: Nguyễn Thành Dân 2018 Nghiên cứu động học khuếch đại laser Nd:YVO4 xung cực ngắn công suất cao sử dụng bộ khuếch đại nhiều lần truyền qua quang học có xác suất lớn nhất ứng với bước sóng 1064 nm và trong môi trường YLF và thủy tinh, dịch chuyển quang học lớn nhất ứng với bước sóng 1053 nm và 1054 nm. Hình 1.12. Phổ hấp thụ của môi trường Nd:YVO4 nồng độ pha tạp 1% [17]. Từ Bảng 1.3, ta nhận thấy môi trường Nd:YAG và Nd:YVO4 có thời gian sống huỳnh quang ngắn, phổ phát xạ laser khá rộng, tiết diện phát xạ cưỡng bức lớn do đó các môi trường này có thể phát ra những xung ngắn, cho công suất laser cao (Nd:YVO4 phát xung ngắn hơn, công suất laser cao hơn). Hiện nay hai môi trường khuếch đại này được sử dụng rộng rãi và phổ biến nhất. Phổ hấp thụ của ion Nd3+ trải dài từ vùng nhìn thấy cho tới vùng hồng ngoại như trên Hình 1.12. Từ Hình 1.12, chúng ta thấy phổ hấp thụ của môi trường Nd:YVO4 gồm có 03 đỉnh hấp thụ chính là 600 nm, 730 nm và 800 nm. Đây là điều kiện cho việc lựa chọn nguồn bơm thích hợp. Phổ phát xạ huỳnh quang của ion Nd3+ trong nền YVO4 thu được ở nhiệt độ 300K trên Hình 1.13. Từ phổ phát xạ huỳnh quang của Nd:YVO4 chúng ta thấy rằng, phát xạ huỳnh quang mạnh nhất thu được ở vùng bước sóng 1064 nm. Vì vậy, hầu hết các laser Nd:YVO4 được chế tạo hoạt động ở vùng bước sóng này. 18 Học viên: Nguyễn Thành Dân 2018 Nghiên cứu động học khuếch đại laser Nd:YVO4 xung cực ngắn công suất cao sử dụng bộ khuếch đại nhiều lần truyền qua Hình 1.13. Phổ phát xạ huỳnh quang của Nd3+ pha tạp trong nền YVO4 [17]. Một trong những ưu điểm của Nd:YVO4 so với Nd:YAG là nó có hệ số hấp thụ lớn hơn 5 lần trong đỉnh hấp thụ xung quanh bước sóng bơm đỉnh 808 nm, chỉ phù hợp với tiêu chuẩn của các diode laser công suất cao hiện đang có sẵn. Điều này có nghĩa là một tinh thể Nd:YVO4 nhỏ hơn có thể được sử dụng làm môi trường hoạt chất của laser, dẫn đến một hệ thống laser nhỏ gọn hơn. Đối với một công suất đầu ra nhất định, điều này cũng có nghĩa là mức công suất thấp hơn mà ở đó diode laser hoạt động, do đó kéo dài tuổi thọ của laser. Băng thông hấp thụ rộng hơn của Nd: YVO4 nó có thể đạt từ 2,4 đến 6,3 lần so với Nd:YAG, cũng có ý nghĩa. Bên cạnh việc bơm hiệu quả hơn, Nd:YVO4 có khả năng lựa chọn các nguồn bơm là laser diode nhiều hơn. Đây là một trong những tiêu chí được ưu tiên trong sản xuất thương mại. Bảng 1.4. Một vài thông số chính của tinh thể pha tạp ion Nd3+ [1]. Tinh thể laser Nồng độ pha tạp (atm%) σ (x10-19cm2) α (cm-1) τ (μs) La (mm) Pth (mW) η (%) Nd:YVO4 (a-cut) 1.0 2.0 25 25 31.2 72.4 90 50 0.32 0.14 30 78 52 48.6 Nd:YVO4 (c-cut) 1.1 7 9.2 90 231 45.5 Nd:YAG 0.85 6 7.1 230 1.41 115 38.6 Tinh thể Nd:YVO4 có tiết diện phát xạ lớn hơn, cả ở 1064 nm và 1342 nm, cao hơn gấp 4 lần so với Nd:YAG, trong khi ở 1340 nm thì là 18 lần, dẫn đến hoạt động của 19 Học viên: Nguyễn Thành Dân 2018 Nghiên cứu động học khuếch đại laser Nd:YVO4 xung cực ngắn công suất cao sử dụng bộ khuếch đại nhiều lần truyền qua CW hoàn toàn vượt trội so với Nd:YAG ở 1320 nm. Những điều này làm cho Nd:YVO4 laser dễ duy trì sự phát xạ mạnh mẽ ở hai bước sóng này. Các thuộc tính laser chính của Nd: YVO4 so với Nd: YAG được liệt kê trong Bảng 1.4, bao gồm cả tiết diện phát xạ (σ), hệ số hấp thụ (α) thời gian sống huỳnh quang (τ), chiều dài hấp thụ (La), ngưỡng công suất (Pth) và hiệu suất lượng tử (η). 1.3. Nguồn bơm laser bán dẫn cho môi trường khuếch đại pha tạp Nd3+ Do phổ hấp thụ của môi trường Nd:YVO4 gồm có 03 đỉnh hấp thụ chính là 600 nm, 730 nm và 800 nm, nên thích hợp với các nguồn bơm có phổ phát xạ trùng hợp với phổ hấp thụ của Nd3+, công suất laser phải đủ lớn cho hoạt động của laser Nd3+ ổn định (nhiều lần trên ngưỡng), ổn định cao về cường độ và phổ trong quá trình làm việc (điều này liên quan dến sự ổn định nhiệt độ và dòng bơm). Với nguồn bơm là đèn flash thì hiệu suất chuyển đổi năng lượng khá thấp chỉ khoảng 1% - 2% vì đèn flash có phổ phát xạ phân bố rộng, trong khi đó, tinh thể pha ion Nd3+ chỉ có thể hấp thụ trong một dải phổ hấp thụ hẹp (2  3 nm). Năng lượng của đèn bơm bị mất mát chủ yếu dưới dạng nhiệt. Do đó các laser này đòi hỏi phải có các hệ thống làm mát phức tạp dẫn đến cấu hình laser cồng kềnh. Ngày nay, nhờ sự phát triển trong công nghệ chế tạo vật liệu bán dẫn đã cho phép chế tạo được các laser bán dẫn công suất cao (hành trăm oát) với bước sóng phát xạ laser từ vùng hồng ngoại gần đến vùng tử ngoại. Vì vậy, các các laser bán dẫn thích hợp để bơm quang học cho các laser rắn, nhờ đó hiệu suất bơm cho các laser rắn được nâng lên khá cao so với các phương pháp bơm quang học truyền thống, đồng thời cấu hình laser cũng được thu gọn đáng kể. Sử dụng laser bán dẫn là nguồn bơm có những ưu điểm sau: Độ bền: Các đèn flash thường có thời gian sống ngắn, trong khi đó thời gian sử dụng của các laser bán dẫn có thể lên đến 20.000 giờ. Hiệu suất: Các laser bán dẫn cho hiệu suất bơm vượt trội so với đèn flash do bước sóng bơm của nó khá gần với đỉnh hấp thụ của tinh thể laser rắn còn đèn flash thì 95% năng lượng bơm bị mất mát do phát bức xạ trong khoảng rộng [3]. Một số môi trường laser rắn và nguồn bơm bằng laser bán dẫn được chỉ ra trong Bảng 1.5. 20 Học viên: Nguyễn Thành Dân 2018 Nghiên cứu động học khuếch đại laser Nd:YVO4 xung cực ngắn công suất cao sử dụng bộ khuếch đại nhiều lần truyền qua Bảng 1.5. Các môi trường laser rắn và nguồn bơm laser diode [3]. Môi trường laser Bước sóng bơm (nm) Vật liệu laser diode Nd:YAG 808 GaAlAs Nd:YLF 798,792 GaAlAs Nd:YVO4 809 GaAlAs Tm:YAG 805,785 GaAlAs Yb:YAG 941 GaAlAs Er:glass 980 InGaAs Cr:LiSAF 660/670 AlGaInP 1.4. Một số ứng dụng của laser xung ngắn công suất cao 1.4.1. Ứng dụng trong khoa học 1.4.1.1. Nghiên cứu về quang học phi tuyến Trong quang học cổ điển các nguồn sáng phát sóng là những nguồn không kết hợp và có cường độ nhỏ. Khi tương tác của ánh sáng với môi trường vật chất, độ phân cực của môi trường chỉ là hàm tuyến tính của cường độ điện trường của sóng tới. 𝑃 = 𝜒E Khi cường độ sóng lớn như cỡ bức xạ laser thì ta có thể biểu diễn lại độ phân cực như sau: 𝑃 = 𝜒1𝐸 + 𝜒2𝐸 2 + 𝜒3𝐸 3 Khi E càng lớn thì số hạng bậc cao của E càng trở lên lớn và chúng dẫn đến hiệu ứng quang phi tuyến. Với hiệu ứng quang phi tuyến chúng ta dễ dàng thực hiện nhân tần của laser để tạo ra các laser với tần số khác nhau là bội của laser ban đầu [4]. 1.4.1.2. Nghiên cứu plasma nóng và các phản ứng nhiệt hạch Do tia laser có tính chất là công suất cao, ở chế độ phát xung có thể đạt được công suất cỡ 1012 – 1015 W nên khi bắn tia laser vào vật chất có thể tạo ra được plasma ở nhiệt độ cao. Và ở nhiệt độ cao này, sẽ có các phản ứng nhiệt hạch, từ đây mở ra khả năng nghiên cứu phản ứng nhiệt hạch có điều khiển được trong phòng thí nghiệm. 1.4.1.3. Nghiên cứu sinh - hóa hiện đại Trong các phản ứng hóa học khi có sự tham gia của nhiều đồng vị hóa học thường gặp khó khăn khi ta muốn loại trừ ảnh hưởng của đồng vị nào đó trong liên kết. Tuy nhiên, do các đồng vị có năng lượng liên kết hóa học sai khác nhau ít, nhờ tia laser có 21 Học viên: Nguyễn Thành Dân 2018 Nghiên cứu động học khuếch đại laser Nd:YVO4 xung cực ngắn công suất cao sử dụng bộ khuếch đại nhiều lần truyền qua độ đơn sắc cao ta dễ dàng phá hủy liên kết nào đó khi có sự tương tác cộng hưởng. Năng lượng bức xạ laser (hf) sẽ phá hủy chỉ liên kết nào tương ứng với năng lượng này mà không ảnh hưởng đến các loại dao động với tần số f1, f2, f3 khác rất ít f. Người ta nói rằng đây chính là sự phá hủy hay kích thích chọn lọc phản ứng hóa học. Chính điều này mở ra khả năng nghiên cứu các sản phẩm trung gian của hóa học, nghiên cứu quá trình diễn biến theo thời gian của phản ứng, đây là điều mà khoa học đã mơ ước từ bấy lâu nay. Cũng chính nhờ có laser mà các nhà khoa học còn có thể nghiên cứu được phản ứng ở trạng thái kích thích. Do laser phát ra xung có độ rộng cực ngắn nên nó cho phép độ phân giải thời gian rất nhanh. Nhờ đó, một lĩnh vực ứng dụng khoa học quan trọng của các laser xung cực ngắn đã ra đời, đó là quang phổ phân giải thời gian. 1.4.2. Ứng dụng trong khoa học kĩ thuật 1.4.2.1. Trong thông tin liên lạc Vì laser có tính chất là độ đơn sắc cao và tính kết hợp cao nên laser được sử dụng rộng rãi và nhanh nhất trong ngành thông tin liên lạc. Sử dụng tia laser có những ưu điểm sau: So với sóng vô tuyến, dải sóng truyền tin của tia laser lớn gấp bội. Ví dụ với sóng vô tuyến tần số sử dụng là 104 – 3.1011 Hz, dải sóng truyền tăng lên đến 5.104 lần. Do đó, các bức xạ laser nằm trong khoảng 0,4 – 0,8 m và với mỗi kênh truyền tin là 6,5 MHz thì sử dụng laser ta có thể có gần 80.105 kênh truyền cùng một lúc và gấp 105 lần kênh truyền khi sử dụng sóng cực ngắn. Ngoài ra, do tia laser có tính chất là mang năng lượng lớn nên nó có thể đi xa hơn các sóng vô tuyến. Do đó, nếu sử dụng tia laser thì giảm được hàng tỷ lần năng lượng cần dùng. Vì vậy, tia laser được sử dụng trong truyền tin trong vũ trụ. Và nếu sử dụng các bước sóng thích hợp có thể truyền tin ở các môi trường khác nhau như trong sương mù, ở dưới biển 1.4.2.2. Ứng dụng trong nghiên cứu vũ trụ Tia laser được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu vũ trụ, ví dụ như: Tia laser được sử dụng để xác định vị trí các vật thể trong vũ trụ, theo dõi các tàu vũ trụ và liên lạc với chúng, điều khiển các tàu vũ trụ. 1.4.2.3. Ứng dụng laser để tạo ra vũ khí Vũ khí laser khi được bắn ra, tuy không có đạn như súng, pháo thường nhưng lại phát ra chùm tia laser năng lượng cao với tốc độ 300.000 km/s. Năng lượng này tập trung rất mạnh, khi chiếu vào vật thể kim loại, trong nháy mắt sẽ làm cho kim loại nóng chảy, bốc hơi, thậm chí biến thành ion. Tác dụng đó gọi là “hiệu ứng tan chảy nhiệt”. Vũ khí laser phá hoại mục tiêu chủ yếu nhờ vào hiệu ứng đó. Chùm tia laser gây tác dụng tan chảy càng lớn hơn đối với cơ thể sống, thậm chí gây tử vong. Cho nên tia laser 22 Học viên: Nguyễn Thành Dân 2018 Nghiên cứu động học khuếch đại laser Nd:YVO4 xung cực ngắn công suất cao sử dụng bộ khuếch đại nhiều lần truyền qua từng được mệnh danh là tia chết chóc. Ngoài ra, khi bắn vào mục tiêu dạng kim loại, tia laser còn sinh ra tác dụng phá hoại phụ, đó là dạng ion hình thành dưới nhiệt độ cao của tia laser khi phát ra khỏi bề mặt kim loại, lực phản tác dụng sẽ gây phụ tải xung kích trên bề mặt kim loại, làm biến dạng, phá huỷ nhanh chóng vật thể. Đồng thời dạng ion còn phát ra bức xạ X, làm cho các linh kiện điện tử gần mục tiêu bị vô hiệu hoá. Một điều cần phải nói thêm là, chùm tia laser còn làm cho người ta bị mù mắt hoặc tạm thời không nhìn thấy gì. Đó là vì mắt người giống như một thấu kính hội tụ, khi bị chùm laser chiếu vào qua hội tụ của thuỷ tinh thể sẽ hình thành tiêu điểm trên võng mạc, làm cho năng lượng laser càng tập trung hơn. Tổ chức võng mạc cực mỏng bị hấp thụ năng lượng lớn của tiêu điểm ánh sáng, sẽ nhanh chóng chuyển thành nhiệt năng làm cháy bỏng võng mạc, dẫn đến mù mắt. 1.4.2.4. Tia laser phóng tàu vũ trụ Để thoát khỏi sức hút trái đất, lâu nay, loài người vẫn sử dụng tàu con thoi, loại tàu phải mang theo hàng tấn nhiên liệu và hai tên lửa đẩy lớn. Nhưng không lâu nữa, các con tàu vũ trụ sẽ lướt vào không gian trên một chùm tia laser, cần rất ít hoặc không cần chất nổ đẩy và không hề gây ô nhiễm. Ý tưởng cơ bản đằng sau kỹ thuật đẩy bằng ánh sáng là sử dụng các tia laser từ mặt đất để đốt nóng không khí đến mức làm không khí nổ tung, đẩy con tàu tiến lên phía trước. Nếu thành công, kỹ thuật đẩy bằng ánh sáng sẽ làm con tàu nhẹ hơn hàng nghìn lần, hiệu quả hơn so với các động cơ tên lửa sử dụng chất hoá học và không gây ô nhiễm. 1.4.3. Trong các ngành khoa học khác Trong công nghệ gia công kim loại: Dựa vào tính chất tia laser có cường độ lớn nên có thể khoan, hàn, cắt, gọt kim loại. Tia laser có đường kính nhỏ nên có thể thu được các lỗ khoan có đường kính cỡ bước sóng khoan được những kim loại cứng như bạch kim, hồng ngọc Với các laser xung công suất cao việc gia công kim loại được tiến hành nhanh và hiệu suất cao nên ngày nay nó được sử dụng rộng rãi trong các công đoạn khác nhau. Laser công suất cao được sử dụng như là nguồn bơm cho việc phát các laser khác. 23 Học viên: Nguyễn Thành Dân 2018 Nghiên cứu động học khuếch đại laser Nd:YVO4 xung cực ngắn công suất cao sử dụng bộ khuếch đại nhiều lần truyền qua KẾT LUẬN CHƯƠNG I Trong chương này tôi đã tìm hiểu về nguyên lý khuếch đại, nguyên lý khuếch đại laser trong các bộ khuếch đại được thực hiện dựa trên hiện tượng phát xạ cưỡng bức. Trong các cấu hình khuếch đại thì cấu hình khuếch đại nhiều lần truyền qua cho hiệu suất cao hơn. Trong quá trình khuếch đại laser xung cực ngắn, tất cả các tham số của môi trường khuếch đại, xung laser tín hiệu, laser bơm, cấu hình khuếch đại đều ảnh hưởng đến hệ số khuếch đại và xung laser sau khuếch đại. Để hiệu suất khuếch đại cao nhất cũng như tránh phá hủy môi trường hoạt chất thì các tham số này phải được chọn phù hợp. Môi trường laser Nd:YVO4 có ưu điểm là độ dẫn nhiệt rất cao, cho phép tiêu tán nhiệt xuất hiện trong quá trình bơm quang học, độ bền cơ học cao và có thể nuôi tinh thể khổ lớn với các đặc tính quang học rất tốt. Mật độ của ion Nd3+ vào khoảng 0,5 đến 2%. Phổ hấp thụ của ion Nd3+ trải dài từ vùng nhìn thấy cho đến vùng hồng ngoại với đỉnh hấp thụ quanh vùng 600 nm, 730 nm và 800 nm phù hợp với việc bơm bằng laser bán dẫn ở bước sóng 808 nm. Phổ phát xạ của ion Nd3+ tập trung ở bức xạ có bước sóng 1064 nm. Các ứng dụng của laser xung ngắn công suất cao trong một số ngành khoa học, khoa học kỹ thuật và trong đời sống cũng được phân tích và tìm hiểu trong chương này. 24 Học viên: Nguyễn Thành Dân 2018 Nghiên cứu động học khuếch đại laser Nd:YVO4 xung cực ngắn công suất cao sử dụng bộ khuếch đại nhiều lần truyền qua CHƯƠNG II HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH ĐẠI Trong chương I, tôi đã tổng quan kiến thức về lý thuyết khuếch đại, môi trường khuếch đại, các cấu hình khuếch đại. Để nghiên cứu sự phụ thuộc của hệ số khuếch đại vào các thông số của môi trường, xung laser cần khuếch đại, số lần khuếch đại, trong chương này tôi trình bày về hệ phương trình khuếch đại. Hệ phương trình khuếch đại này được sử dụng cho việc tính toán, mô phỏng quá trình động học trong khuếch đại laser. 2.1. Phương trình mô tả sự lan truyền xung laser cực ngắn qua môi trường khuếch đại, phương trình khuếch đại Quá trình lan truyền xung laser qua môi trường (khuếch đại hoặc hấp thụ) là một quá trình phức tạp và chịu ảnh hưởng của nhiều tham số [1, 14]. Một phương pháp được sử dụng rộng rãi trong vật lí laser để nghiên cứu sự tương tác giữa môi trường vật chất với trường bức xạ của xung ánh sáng là phương pháp bán cổ điển (còn gọi là phương pháp bán lượng tử). Theo phương pháp này ta coi trường điện từ như một sóng cổ điển được biểu diễn bằng phương trình Maxwell còn môi trường như một tập hợp các nguyên tử hoặc phân tử với các mức năng lượng rời rạc được mô tả bằng lý thuyết lượng tử. Theo mô hình bán cổ điển, điện trường E(r,t) của sóng ánh sáng cưỡng bức trong môi trường, các momen lưỡng cực pi theo các quy luật của lý thuyết lượng tử. Các momen này tập hợp thành độ phân cực vĩ mô P(r, t). Độ phân cực này tác động như một số hạng nguồn trong vế phải của phương trình sóng. Điều kiện tự phù hợp đòi hỏi rằng trường đáp ứng E’(r, t) phát sinh bởi sự phân cực phải bằng trường tới E(r,t). Việc mô tả thuận tiện nhất momen lưỡng cực điện cưỡng bức là dựa trên ma trận mật độ chứ không phải phương trình Schrodinger, bởi vì nó thuận tiện cho việc lấy trung bình thống kê trên các momen lưỡng cực để thu được độ phân cực vĩ mô. Với một hệ “nguyên tử” có hai mức năng lượng i và j, ma trận mật độ  liên hệ với hàm sóng của “nguyên tử” như sau: 𝜌(𝑡) = [ 𝜌𝑖𝑖 𝜌𝑗𝑖 𝜌𝑖𝑗 𝜌𝑗𝑗 ] = [ 𝑎𝑎∗ 𝑎∗𝑏 𝑎𝑏∗ 𝑏𝑏∗ ] trong đó a và b là các hệ số phụ thuộc thời gian trong biểu thức của hàm số: 25 Học viên: Nguyễn Thành Dân 2018 Nghiên cứu động học khuếch đại laser Nd:YVO4 xung cực ngắn công suất cao sử dụng bộ khuếch đại nhiều lần truyền qua (t) = a(t)i + b(t)j Như vậy, các yếu tố không chéo của ma trận mật độ liên quan với momen lưỡng cực của nguyên tử còn các yếu tố chéo cho biết xác suất nguyên tử ở trạng thái i hoặc j. Trong gần đúng bán cổ điển, ta có thể viết các phương trình cơ bản mô tả tương tác vật chất - ánh sáng như sau: 2.1.1. Phương trình cơ học lượng tử đối với toán tử mật độ 𝛒(𝐫, 𝐭) Phương trình cơ học lượng tử đối với toán tử mật độ 𝜌(𝑟, 𝑡): 𝑖ℏ 𝜕𝜌 𝜕𝑡 = [𝐻, 𝜌] (2.1) Trong đó, H là Hamiltonian không nhiễu loạn H0 và Hamiltonian tương tác H’: H = H0 + H’ (2.2) Hamiltonian không nhiễu loạn theo phương trình 𝐻0|𝑘⟩ = 𝐸𝑘|𝑘⟩, trong đó Ek là năng lượng trạng thái dừng tương ứng với trạng thái |𝑘⟩. Trong gần đúng lưỡng cực, Hamiltonian tương tác là H’ = - E, với  là toán tử momen lưỡng cực ( = -er đối với một electron). Các yếu tố ma trận của các giao hoán tử đối với hai trạng thái |𝑖⟩ và |𝑗⟩ là: ⟨𝑖|[𝐻0, 𝜌]𝑗⟩ = ⟨𝑖|𝐻0𝜌 − 𝜌𝐻0|𝑗⟩ = ⟨𝑖|𝐸𝑖𝜌 − 𝜌𝐸𝑖|𝑗⟩ = ℏ𝜔𝑖𝑗𝜌𝑖𝑗 ⟨𝑖|[𝐻′, 𝜌]𝑗⟩ = ⟨𝑖|𝐻′𝜌 − 𝜌𝐻′|𝑗⟩ = ∑ (𝐻𝑖𝑘 ′ 𝜌𝑘𝑗 − 𝜌𝑖𝑘𝐻𝑘𝑗 ′ )𝑘 = −𝐸 ∑ (𝜇𝑖𝑘𝜌𝑘𝑗 − 𝜌𝑖𝑘𝜇𝑘𝑗)𝑘 Thay các biểu thức trên và (2.2) vào (2.1), biến đổi ta thu được hai phương trình đối với các yếu tố chéo của ma trận mật độ: 𝜕𝜌𝑖𝑗 𝜕𝑡 = − (𝑖𝜔𝑖𝑗 + 1 𝑇2 ) 𝜌𝑖𝑗 + 𝐸 𝑖ℏ ∑ (𝜌𝑖𝑘𝜇𝑘𝑗 − 𝜇𝑖𝑘𝜌𝑘𝑗)𝑘 (2.3a) 𝜕𝜌𝑖𝑖 𝜕𝑡 = − 𝜌𝑖𝑖−𝜌𝑖𝑖 𝑒 𝑇1 + 𝐸 𝑖ℏ ∑ (𝜌𝑖𝑘𝜇𝑘𝑖 − 𝜇𝑖𝑘𝜌𝑘𝑖)𝑘 (2.3b) Trong đó, ij là tần số của photon ứng với chuyển dời giữa hai mức T1 và T2 tương ứng là thời gian tắt dần trạng thái kích thích (thời gian hồi phục dọc) và độ phân cực (thời gian phục hồi ngang). Giá trị của T1 và T2 có ảnh hưởng nhiều đến quá trình tương tác giữa trường bức xạ với môi trường. 26 Học viên: Nguyễn Thành Dân 2018 Nghiên cứu động học khuếch đại laser Nd:YVO4 xung cực ngắn công suất cao sử dụng bộ khuếch đại nhiều lần truyền qua Bảng 2.1 trình bày các giá trị điển hình của T1 và T2 đối với một số môi trường quang học. Trong phương trình (2.3b), 𝜌𝑖𝑖 𝑒 là giá trị cân bằng của yếu tố chéo (tức là giá trị chéo của toán tử mật độ cân bằng nhiệt, khi đó tất cả các yếu tố không chéo của ma trận bằng 0). Bảng 2.1. Giá trị điển hình của T1 và T2 đối với một số môi trường quang học [1]. Môi trường T1[s] T2[s] Nguyên tử được pha tạp trong môi trường rắn 10-3 - 10-6 10-11 - 10-14 Phân tử màu được pha trong dung môi hữu cơ 10-8 - 10-12 10-13 - 10-14 Bán dẫn 10-4 - 10-12 10-12 - 10-14 2.1.2. Độ phân cực vĩ mô của môi trường Độ phân cực vĩ mô của môi trường được tính bằng tổng của tất cả các momen lưỡng cực riêng lẻ [11, 23]: P = 1 𝑉 ∑ 〈𝜇〉𝑖𝑖 = 𝑁𝑣 ∑ 𝜌𝑖𝑘𝜇𝑘𝑖̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅𝑖,𝑘 (2.4) Gạch ngang bên trên biểu thị các đại lượng được lấy trung bình theo mật độ Nv. Áp dụng công thức cho giá trị kỳ vọng của một toán tử A, 〈𝐴〉 = 𝑇𝑟(𝜌𝐴), cho biểu thức (2.4) rồi thay vào phương trình (2.3a) ta thu được phương trình cho độ phân cực của môi trường đồng nhất có hai mức năng lượng: 𝑑2𝑃 𝑑𝑡2 + 2 𝑇2 . 𝑑𝑃 𝑑𝑡 + 𝜔21 2 𝑃 = 2𝜔21 3ℏ |𝜇12| 2(𝑁1 − 𝑁2)𝐸 (2.5) Trong đó, N1 - N2 = Nv(𝜌11 − 𝜌22)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅= - N là hiệu độ tích lũy giữa hai mức trong một đơn vị thể tích, nó tuân theo phương trình (suy ra từ (2.3b)): 𝜕 𝜕𝑡 ∆𝑁 + ∆𝑁−∆𝑁0 𝑇1 = 2 ℏ𝜔21 𝜕𝑃 𝜕𝑡 𝐸 (2.6) Thực tế, đây là phương trình cân bằng năng lượng trong đó vế phải chứa sự mất mát năng lượng của trường để làm phân cực môi trường. N0 là hiệu độ tích lũy giữa hai mức khi chưa có trường bức xạ tới. 2.1.3. Phương trình sóng một chiều Phương trình sóng một chiều đối với điện trường được cưỡng bức bởi độ phân cực P(z,t) là: 𝜕2𝐸 𝜕𝑧2 − 1 𝑐 𝜕2𝐸 𝜕𝑡2 = 4𝜋 𝑐2 𝜕2𝑃 𝜕𝑡2 (2.7) 27 Học viên: Nguyễn Thành Dân 2018 Nghiên cứu động học khuếch đại laser Nd:YVO4 xung cực ngắn công suất cao sử dụng bộ khuếch đại nhiều lần truyền qua Tuy nhiên, phương trình này đã bị phức tạp một cách không cần thiết đối với đa số trường hợp thực tiễn. Chẳng hạn, ngay cả đối với các xung có độ rộng cỡ vài chục femtô giây, đường bao của xung là một hàm thay đổi chậm so với tần số sóng. Vì vậy, với sóng quang học được phân cực thẳng, khi đó cả điện trường và độ phân cực có thể biểu diễn ở dạng vô hướng: E = 1 2 {𝐸 ̃exp[i(0t - k0z) + ] P = 1 2 {𝑃 ̃exp[i(0t - k0z) + ] Trong đó k0 = 0/c là số sóng. Thay các biểu thức trên vào phương trình (2.7) ta thu được: 𝜕�̃� 𝜕𝑧 + 1 𝑐 𝜕�̃� 𝜕𝑡 = −2𝑖𝜋𝑘0�̃� (2.8) Ở đây, ta đã bỏ qua các số hạng 𝜕2�̃� 𝜕𝑧2 , 𝜕2�̃� 𝜕𝑡2 , 𝜕2�̃� 𝜕𝑡2 . Cũng trong cùng điều kiện đó các phương trình (2.5) và (2.6) trở thành: 𝜕�̃� 𝜕𝑡 + �̃� 𝑇2 = 𝑖 |𝜇12| 2 3ℏ 𝑁�̃� (2.9a) 𝜕 𝜕𝑡 ∆𝑁 + ∆𝑁−∆𝑁0 𝑇1 = − 1 ℏ 𝐼𝑚(�̃��̃�∗) (2.9b) Ở đây, ta đã giả thiết rằng 21 = 0. Điều này có nghĩa tương tác giữa xung ánh sáng với môi trường là tương tác cộng hưởng. Các phương trình (2.8) và (2.9a), (2.9b) tạo thành hệ phương trình mô tả sự tương tác cộng hưởng giữa trường bức xạ với môi trường hai mức. Nếu �̃� thay đổi ít trong khoảng thời gian cỡ T2 ta thu được gần đúng phương trình tốc độ, có nghĩa khi độ rộng phổ của tín hiệu là hẹp so với 𝑇2 −1. Đối với hệ laser xung điều này có nghĩa là thời gian tắt pha T2 không đáng kể so với độ rộng xung (T2 << t), hay nói cách khác, sự tương tác giữa xung laser với môi trường là không kết hợp. Như vậy bỏ qua 𝜕�̃� 𝜕𝑡 trong phương trình (2.9a) ta thu được: �̃� = 𝑖𝑁|𝜇12| 2𝑇2 3ℏ �̃� (2.10) Phương trình (2.8) và (2.9b) trở thành: 𝜕�̃� 𝜕𝑧 + 1 𝑐 𝜕�̃� 𝜕𝑡 = − 2𝜋𝜔0|𝜇12| 2𝑇2 3ℏ𝑐 ∆𝑁�̃� (2.11a) 28 Học viên: Nguyễn Thành Dân 2018 Nghiên cứu động học khuếch đại laser Nd:YVO4 xung cực ngắn công suất cao sử dụng bộ khuếch đại nhiều lần truyền qua 𝜕 𝜕𝑡 ∆𝑁 + ∆𝑁−∆𝑁0 𝑇1 = − |𝜇12| 2𝑇2 3ℏ2 ∆𝑁|�̃�| 2 (2.11b) Nhân cả hai vế của (2.11a), (2.11b) với �̃�∗ ta được: 𝜕𝐼 𝜕𝑧 + 1 𝑐 𝜕𝐼 𝜕𝑡 = 𝜎∆𝑁𝐼 (2.12a) 𝜕 𝜕𝑡 ∆𝑁 + ∆𝑁−∆𝑁0 𝑇1 = −2𝜎∆𝑁𝐼 (2.12b) Trong đó I = (𝑐/8𝜋ℏ𝜔0)|�̃�| 2 [photon.cm-2.s-1] là mật độ thông lượng photon (cường độ bức xạ) và 𝜎 = 4𝜋𝜔0|𝜇12| 2𝑇2/3ℏ𝑐 là tiết diện chuyển dời (ở tần số 0). Các phương trình (2.12a), (2.12b) tạo nên hệ phương