Luận văn Nghiên cứu nâng cao chất lượng điều khiển cho hệ twin rotor mimo

trên trục động cơ. Mô hình toán học được xây dựng dưới một số giả định đơn giản hóa hệ thống, trước tiên người ta cho rằng động lực học của hệ thống được mô tả bởi một dãy phương trình vi phân. Ngoài ra, cũng giả thiết rằng ma sát của hệ thống là trơn, nó cũng được giải định rằng các khí động lực học do hệ thống cánh quạt không khí gắn trên trục hai động cơ có thể được mô tả phù hợp với các mệnh đề về lý thuyết dòng chảy. Từ các giả thuyết trên cho ta xác định rõ vấn đề cần giải quyết. Đầu tiên chúng ta xét chuyển động của trục trong mặt phẳng đứng, tức là xung quanh trục nằm ngang. Theo giả thuyết thì momen dẫn động được tạo ra bởi sự chuyển động của các cánh quạt, chuyển động quay được mô tả như nguyên tắc chuyển động của con lắc. Theo định luật 2 Newton ta có: 2 2 . vv v d M J dt   (2.1) Trong đó: Mv: Là tổng số momen của các lực đặt theo phương thẳng đứng Jv: Tổng momen quán tính theo phương ngang `12 αv: Góc lệch của trục quay nối 2 động cơ cánh quạt so với phương ngang. Mà: 4 1 v iv i M M   (2.2) 8 1 v iv i J J   (2.3) Các momen của trọng lượng tác dụng vào thang ngang để làm nó quay quang trục được biểu diễn trong hình 7. Ta có momen tương ứng với các trọng lực của các thành phần của hệ thống là: Hình 7: Các lực tác dụng vào TRMS tạo ram omen trọng lượng `13 1 s r s.{[( ). ( ). ].cos 2 2 ( . ).sin } 2 t m v tr t t m m m v b b cb cb v m m M g m m l m m l m l m l           (2.4) Ta đặt: s( ). 2 t tr t t m A m m l   ; (2.5) r s( ). 2 m m m m m B m m l   ; (2.6) . 2 b b cb cb m C l m l  (2.7) Biểu thức (2.4) được viết lại như sau: 1 .{[ ].cos .sin }v v vM g A B C    (2.8) Ta có bảng 2.1 sau: Kí hiệu Ý nghĩa Giá trị Đơn vị mmr Khối lượng của động cơ và cánh quạt chính 0,236 kg Mm Khối lượng của thanh tính từ trục quay đến trục động cơ chính 0,014 kg Mtr Khối lượng của động cơ và cánh quạt đuôi 0,221 kg Mt Khối lượng của thanh tính từ trục quay đến điểm gắn động cơ ở đuôi 0,015 kg mcb Khối lượng của đối trọng 0,068 kg Mb Khối lượng của thanh gắn với đối trọng 0,022 kg mms Khối lượng của phần bao ngoài bảo vệ cho cánh quạt chính 0,219 kg Mts Khối lượng của phần bao ngoài bảo vệ cho cánh quạt đuôi 0,119 kg `14 Kí hiệu Ý nghĩa Giá trị Đơn vị Lm Chiều dài của phần trục quay tính từ điểm quay đến trục động cơ chính 0,246 m Lt Chiều dài của phần trục quay tính từ điểm quay đến trục động cơ đuôi 0,282 m Lb Chiều dài của thanh gắn đối trọng 0,290 m Lcb Khoảng cách giữa vị trí gắn đối trọng tới điểm quay. 0,276 m G Gia tốc trọng trường 9,81 m/s2 Rms Là bán kính của phần bao ngoài bảo vệ cho cánh quạt chính. 0,155 m Rts Là bán kính của phần bao ngoài bảo vệ cho cánh quạt ở đuôi 0,10 m Kv 0,0095 Hằng số kh 0,0054 Hằng số * Ta có: Mv2 = lm. Fv (ωv) (2.9) Trong đó: Mv2: Mômen của lực đẩy do cánh quạt chính gây ra; ωv: Vận tốc góc của động cơ chính; Fv (ωv): Biểu diễn sự phụ thuộc của lực đẩy của cánh quạt chính vào vận tốc góc (nó được kiểm chứng bằng thực nghiệm). 2 s3 r s[( ) . ( ). 2 2 ( . . )].sin .cos 2 . t mtr t t m m m b b cb cb v v v h m m m m l m m m l M l m l            (2.10) Ta có thể viết như sau: `15 Mv3 = -Ωh.(A+B+C).sinαv.cosαv (2.11) Trong đó: Mv3: Mômen của các lực ly tâm tương ứng với chuyển động của trục ngang quay quanh trục thẳng đứng. Ωh: Vận tốc góc của trục nằm ngang quay quanh trục thẳng đứng. Mà: hh d dt    (2.12) αh: Góc lệch giữa trục nối với động cơ đuôi so với phương ngang (Góc phương vị) Mv4 = -Ωv.kv (2.13) Mv4: Mômen của lực ma sát phụ thuộc vào vận tốc góc của thanh ngang quay quanh trục thẳng đứng. Ωh: Là vận tốc góc của thanh nối giữa 2 động cơ quay quanh trục quay nằm ngang. Mà vv d dt    (2.14) kv: Là hằng số. Ở hình 7, chúng ta có thể xác định được các thành phần của mômen quán tính so với trục ngang. Chú ý, mômen không phụ thuộc vào vị trí của trục nối giữa 2 động cơ nằm ngang. Ta có: Jv1 = mmr.lm 2 (2.15) 2 2 . 3 mv m l J m (2.16) `16 Jv3 = mcb.lcb 2 (2.17) 2 4 . 3 bv b l J m (2.18) Jv5 = mtr.lt 2 (2.19) 2 6 . 3 tv t l J m (2.20) s 2 2 7 s s . . 2 m v m m m m J r m l  (2.21) Jv8 = mts.rts 2 + mts.lt 2 (2.22) Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 s 2s s . . . . . . . . . . 3 3 3 2 m b t mr m m cb cb b tr t t m m m m ts v ts ts t l l l m l m m l m m l m m r m J l m r m l          2 2 s s 2 s 2 2 2 ). . . . . 2 ( ( ). 3 3 3 m t mr m m cb cb tr ts t b m ts ts b m m m m m l m l m m l l m m r m r           (2.23) Tương tự như vậy ta có thể mô tả chuyển động của trục quay tự do xung quanh trục thẳng đứng. Chuyển động quay của trục trong mặt phẳng ngang hay là quay tự do xung quanh trục thẳng đứng có thể được mô tả như chuyển động quay của một khối rắn. Ta có: 2 2 . hh h d M J dt   (2.24) Mh: Tổng hợp mômen các lực tác dụng trong mặt phẳng nằm ngang. Jh: Là tổng hợp các mômen quán tính tương đối so vơi trục thẳng đứng. `17 Mà: 2 1 h hi i M M   (2.25) 8 1 h hi i J J   (2.26) Để xác định các mômen đặt lên trục quay tự do và làm nó xoay quanh trục thẳng đứng, được thể hiện trên hình vẽ sau: *. Mh1 = lt. Fh (ωh).cosαv (2.27) ωh: Vận tốc góc quay của cánh quạt đuôi Fh (ωh): Biểu thị sự phụ thuộc của lực đẩy vào vận tốc góc quay của cánh quạt đuôi (được xác định bằng thực nghiệm) *. Mh2 = -Ωh.kh (2.28) Mh2: Là mômen của lực ma sát phụ thuộc vào vận tốc góc trục quay nằm ngang xung quanh trục thẳng đứng. kh: Là hằng số Hình 8: Momen các lực trong mặt phẳng ngang `18 Ta có biểu thức mômen quán tính: 2 1 .( .cos ) 3 m h m v m J l  (2.29) 2 2 .( .cos ) 3 t h t v m J l  (2.30) 2 3 .( .sin ) 3 b h b v m J l  (2.31) 2 4 .( .cos )h tr t vJ m l  (2.32) 2 5 r .( .cos )h m m vJ m l  (2.33) 2 6 .( .sin )h cb cb vJ m l  (2.34) 2 2s 7 s s. .( .cos ) 2 t h t t t v m J r m l   (2.35) 2 2 8 s s s. ( .cos )h m m m m vJ m r m l   (2.36) Ta có: Jh = Jh1 + Jh2 + Jh3 + Jh4 + Jh5 + Jh6 + Jh7 + Jh8 (2.37) → Jh = 2.( .cos ) 3 m m v m l  + 2.( .cos ) 3 t t v m l  + 2.( .sin ) 3 b b v m l  + 2.( .cos )tr t vm l  + 2 r .( .cos )m m vm l  + 2.( .sin )cb cb vm l  + 2 2s s s. .( .cos ) 2 t t t t v m r m l  + 2 2s s s. ( .cos )m m m m vm r m l  = 2 2 2 2 2 2 2r s s( . . . . . . ).cos 3 3 m t m t tr t m m t t m m v m m l l m l m l m l m l      + 2 2 2( . . ).sin 3 b b cb cb v m l m l  + 2s s. 2 t t m r + 2s s.m mm r (2.38) Đặt 2 2. . 3 b b cb cb m E l m l  (2.39) 2 2 r s s( ). ( ). 3 3 m t m m m tr t t m m D m m l m m l      (2.40) `19 2 2s s s s. . 2 t t m m m F r m r  (2.41) → Jh = D. 2cos v + E. 2sin v + F (2.42) Phương trình mô tả chuyển động của hệ thống cánh quạt chính: 2S ( ) . [(A-B)cos -Csin ]-0.5 ( )sin 2v m v v v v v v h v v d l F k g A B C dt J          (2.43) Trong đó: 2 . . 0 ( ) ( ) si ( ). . . . 0 fvp v v v v v v v v v v fvn v v v k F F gn k k                   (2.44) v v d dt    (2.45) .v tr h v v S J J    (2.46) Sv: mômen động lượng trong mặt phẳng thẳng đứng của trục nối 2 động cơ. Jtr: Mômen quán tính của động cơ gắn với cánh quạt đuôi. Phương trình mô tả chuyển động của hệ thống cánh quạt đuôi: S ( )cos .h t h h v h h h d l F k dt J     → 2 2 S ( )cos .cos .s . in v v h t h h v h hd l F k t D E Fd         (2.47) Trong đó: 2 . . 0 ( ) ( ) si ( ). . . . 0 fhp h h h h h h h h h h fhn h h h k F F gn k k                   (2.48) h h d dt    (2.49) 2 2.cos .sin . .cos v v h mr v v h S E J D F         (2.50) `20 Sh: Mômen động lượng trong mặt phẳng nằm ngang của trục nối 2 động cơ. Jmr: Mômen quán tính của động cơ gắn với cánh quạt chính. Các biểu thức toán học (2.44), (2.45), (2.46), (2.48), (2.49), (2.50) là những biểu thức bổ sung theo định luật bảo toàn động lượng. Vận tốc góc là các hàm phi tuyến của điện áp đầu vào động cơ một chiều. Do đó chúng ta có 2 phương trình bổ sung sau: r 1 .( ), ( )vv vv v v v vv m du u u P u dt T     (2.51) tr 1 .( ), ( )hh hh h h h hh du u u P u dt T     (2.52) Trong đó: Tmr: hằng số thời gian của hệ thống động cơ cánh quạt chính. Ttr: hằng số thời gian của hệ thống động cơ cánh quạt đuôi. Trên mô hình phi tuyến của động cơ gắn cánh quạt được thay thế bởi các hệ thống tuyến tính nối tiếp nhau và tính chất phi tuyến được ổn định. Đặc tính của động cơ Ta phải xác định được các hàm phi tuyến sau: Hình 9: Sơ đồ khối biểu diễn đầu vào và đầu ra của 2 cánh quạt `21 + Hai yếu tố phi tuyến đầu vào xác định sự phụ thuộc của tốc độ quay vào điện áp đặt vào động cơ một chiều. ( )v v vvP u  ; ( )h h hhP u  (2.53) + Hai đặc tính phi tuyến xác định sự phụ thuộc của lực đẩy cánh quạt vào tốc độ vòng quay động cơ một chiều. F ( )h h hF  ; F ( )v v vF  (2.54) Mô hình của TRMS trở thành hệ 6 phương trình phi tuyến, cụ thể: h v U U U        : Là đầu vào; h h hh v v vv S u X S u                       : Là ẩn trạng thái của hệ; h h h v v v Y                         : Là đầu ra Động cơ chính Các đặc điểm của động cơ chính được thực hiện bằng các thực nghiệm, các phép đo phải chính xác để thanh ngang có thể xoay xung quanh trục thẳng đứng. Đầu tiên ta cho động cơ chính chuyển động theo chiều dọc, khi hệ thống cân bằng ta thu được: 6 5 4 3 290,99 599,73 129,26 1238,64 63,45 1283,4v vv vv vv vv vv vvu u u u u u       (2.55) Và 12 5 9 4 6 3 4 2 2( ) 3,48.10 1,09.10 . 4,123.10 1,632.10 9,544.10v v v v v vF                (2.56) Động cơ đuôi 5 4 3 22020 194,69 4283,15 262,27 3786,83h hh hh hh hh hhu u u u u      (2.57) `22 Và 14 5 11 4 7 3 4 2( ) 3.10 1,595.10 . 2,511.10 1,808.10 0,0801h h h h h h hF                (2.58) 2.3. Xây dựng mô hình toán của TRMS theo Euler – Lagrange (EL) Việc xây dựng mô hình toán của hệ thống TRMS dựa trên phương trình Lagrange được chia làm 3 phần: đầu tiên bao gồm các trục tự do (trục nối với động cơ đuôi và động cơ chính), cánh quạt đuôi, cánh quạt chính, lá chắn bảo vệ phần cánh quạt đuôi và lá chắn bảo vệ phần cánh quạt chính; thứ hai là đối trọng gồm có đối trọng và thanh để gắn đối trọng, và cuối cùng là trục quay gắn với phần đế để hệ thống có thể xoay quanh 2.3.1 Trục quay tự do Giả sử tọa độ của điểm P1 là: [rx (R1), ry (R1), rz (R1)], ta có P1O1 = R1. Ngoài ra, giả sử OO1=h, với O là gốc tọa độ. Để đơn giản hóa các con số, các trục x, y được rút ra từ O2. Từ các hình 10, 11, 12 ta có các phương trình toán học sau: x 1 1 y 1 1 z 1 1 ( ) .sin( )cos( ) .cos( ) ( ) .cos( )cos( ) .sin( ) ( ) .sin( ) h v h h v h v r R R h r R R h r R R                (2.59) Vi phân hệ phương trình (2.59) ta được vận tốc tương ứng: 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) .cos( )cos( ). .sin( )sin( ). .sin( ). ( ) .sin( )cos( ). .cos( )sin( ). .cos( ). ( ) .cos( ). h v hx h v h v h h v hy h v h v h vz v v R R R h v R R R h v R R                                       (2.60) `23 Hình 10: Twin Rotor Mimo System Hình 11: Hình chiếu đứng của hệ thống `24 Bình phương vận tốc của P1 cho bởi phương trình: 2 2 2 2 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )x y zv R v R v R v R   (2.61) Thay các phương trình trong hệ phương trình (2.60) vào phương trình (2.61) ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1( ) .cos ( ).( ) .( ) .( ) 2. . .sin( ). .h h v h vv vv R R h R R h                (2.62) Chú ý rằng αh không có tác dụng lên rz(R), ta giả định nó bằng 0, được thể hiện như hình 11. 2.3.2 Thanh đối trọng Các tọa độ [rx (R2), ry (R2), rz (R2)] là tọa độ điểm P2 trên thanh đối trọng, ta có P2O1 = R2. Theo hình 11 ta thu đươc các phương trình sau: x 2 2 y 2 2 z 2 2 ( ) .sin( ).sin( ) .cos( ) ( ) .cos( ).sin( ) .sin( ) ( ) .cos( ) h v h h v h v r R R h r R R h r R R                 (2.63) Hình 12: Hình chiếu bằng của hệ thống `25 Vận tốc thu được sau khi ta tiến hành vi phân các phương trình trong hệ phương trình (2.63) theo thời gian là: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) .cos( )sin( ). .sin( ). os( ). .sin( ). ( ) .sin( )sin( ). .cos( ).cos( ). .cos( ). ( ) .sin( ). h v hx h v h v h h v hy h v h v h vz v v R R R c h v R R R h v R R                                       (2.64) Bình phương vận tốc của P2 cho bởi phương trình: 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )x y zv R v R v R v R   (2.65) Thay các phương trình trong hệ phương trình (2.64) vào phương trình (2.65) ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) .sin ( ).( ) .( ) .( ) 2. . . s( ). .h h v h vv vv R R h R R h co                (2.66) 2.3.3 Trục Quay Vị trí P3 có tọa độ là [rx (R3), ry (R3), rz (R3)] trên trục quay, khoảng cách giữa P3 và O là R3. rx (R3)=R3.cos() x 3 3 y 3 3 z 3 ( ) .cos( ) ( ) .sin( ) ( ) 0 h h r R R r R R r R          (2.67) Vận tốc thu được sau khi ta tiến hành vi phân các phương trình trong hệ phương trình (2.67) theo thời gian là: x 3 3 y 3 3 z 3 ( ) .sin( ). ( ) . s( ). ( ) 0 hh hh v R R v R R co v R                (2.68) `26 Bình phương vận tốc của P3 có thể được viết như sau: 2 2 2 2 2 3 3 3( ) ( ) ( ) ( )x y zv R v R v R v R   (2.69) Thay các phương trình trong hệ phương trình (2.68) vào phương trình (2.69) ta được: 2 2 2 3 3( ) .( )hv R R    (2.70) Biểu thức năng lượng Động năng và thế năng được thể hiện qua các phương trình sau: 21 ( ) ( ) 2 T v R dm R  (2.71) ( ) ( )zV g r R dm R  (2.72) Động năng và thế năng của thanh chuyển động tự do được thể hiện bằng các phương trình (2.73) và (2.77). 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 [cos ( ).( ) ( ) ]. . .( ) . .sin( ). . . . 2 2 h v h h vv T v T TT J h m h m l                (2.73) 2 2 2 2 2 1 1 1( ) ( ). ( ). . . 3 3 2 t m ms tr ts t mr ms m ms ts ts m m m J R dm R m m l m m l r m r         (2.74) 1 1( )T t tr ts m mr msm dm R m m m m m m       (2.75) 1 1 1 11 ( ). ( ).( ) 2 2 ( ) m t mr ms m tr ts t T T m m m m l m m lR dm R l mdm R          (2.76) 1 1 1.sin( ). .v T TV g m l (2.77) Động năng và thế năng của thanh đối trọng được biểu diễn như biểu thức (2.78) và (2.82): `27 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 [sin ( ).( ) ( ) ]. . .( ) . . ( ). . . . 2 2 h v h h vv T v T TT J h m h cos m l                (2.78) 2 2 2 2 2 2( ) . 3 b b cb cb m J R dm R l m l   (2.79) 2 2( )T b cbm dm R m m   (2.80) 2 2 2 22 .( ) 2 ( ) b b cb cb T T m l m lR dm R l mdm R      (2.81) 2 2 2. ( ). .v T TV g cos m l  (2.82) Động năng và thế năng của trục quay được biểu diễn như biểu thức (2.83) và (2.85): 2 3 3 1 .( ) . 2 hT J   (2.83) 2 2 2 3 3( ) 3 hmJ R dm R h  (2.84) 3 0V  (2.85) - Phương trình Lagrange Phương trình Lagrange được viết như sau: 3 3 1 1 i iL T V   (2.86) Ta có phương trình chuyển động được đưa ra: ( ) ih ih h d L L M dt          (2.87) ( ) iv iv v d L L M dt          (2.88) `28 Thay thế các phương trình trên vào phương trình (2.86), (2.87), (2.88) ta được các phương trình sau:  2 2 21 2 1 2 3 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 [ cos sin ( ) ( ) ] [ sin( ) cos( )] [ cos( ) sin( )] 2[ ]sin( )cos( ) v v T T h T T v T T v v T T v T T v v v v h v ih i J J h m m J h m l m l h m l m l J J M                         (2.89) 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 [ ] [ sin( ) cos( )] [ ]sin( )cos( ) [ cos( ) sin( )] v T T v T T v h v v h T T v T T v iv i J J h m l m l J J g m l m l M                  (2.90) Phương trình (2.89) có thể được viết dưới dạng như sau:       1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 3 2 1 2 2 1 2 [ sin( ) cos( )] [ cos sin ( ) ( ) ] [ cos( ) sin( )] [ cos sin ( ) ( ) ] 2[ ]sin( ) cos( ) [ cos sin ( ih T T v T T v v i h v v T T T T v T T v v v v T T v v h v v M h m l m l J J h m m J h m l m l J J h m m J J J J J                                    2 1 2 3) ( ) ]v T Th m m J    (2.91) Phương trình (2.90) có thể được viết dưới dạng như sau: 21 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 [ sin( ) cos( )] [ ]sin( )cos( ) [ ] [ ] [ cos( ) sin( )] [ ] iv T T v T T v h i v v h v T T v T T v M h m l m l J J J J J J g m l m l J J                      (2.92) `29 Mà ta có:  , , ( ) . .vih prop h fric h cable h m v i M M M M k cos        (2.93) Với , . ( ). ( )prop h t h h vM l F cos  (2.94) , , . hiv prop v fric v t gryo i M M M k M      (2.95) Với , . ( )prop v m v vM l F  (2.96) . . . ( )gryo g v h vM k F cos   (2.97) 2.4. Kết luận Mô hình toán biểu diễn động học TRMS xây dựng được nhà chế tạo thiết bị TRMS cung cấp dưới dạng Newton, chưa xét đến các yếu tố ảnh hưởng tới hệ. Mô hình toán dựa theo phương pháp Lagrange là chính xác hơn do có xét đến các yếu tố ảnh hưởng tới hệ (chiều dài chốt quay, hiệu ứng bề mặt). Độ chính xác của mô hình so với mô hình nhà sản xuất cung cấp sẽ được khẳng Hình 13: Sơ đồ khối hệ thống TRMS `30 định qua thiết kế điều khiển và kết quả mô phỏng, kết quả từ thực nghiệm. Sự tồn tại sai lệch giữa mô hình xây dựng và mô hình thực là do khi xây dựng mô hình bắt buộc vẫn phải sử dụng đến một số giả thiết. Với mô hình toán đầy chính xác là cơ sở để thiết kế bộ điều khiển thỏa mãn yêu cầu chất lượng đáp ứng ra của hệ. `31 CHƯƠNG III THIẾT KẾ ĐIỀU KHIỂN CHO TRMS TRMS là hệ thống dùng để kiểm chứng các thuật toán điều khiển cho hệ nhiều vào nhiều ra, hầu hết các phương pháp điều khiển đều được ứng dụng để giải quyết bài toán TRMS. Việc thiết kế bộ điều khiển cho TRMS để có được chất lượng đáp ứng đầu ra tốt là một thách thức lớn, các kết quả mô phỏng cho thấy đáp ứng đầu ra mặc dù bám được theo lượng đặt nhưng còn có độ sai lệch lớn. Ngoài ra, các công trình nghiên cứu hầu như chưa quan tâm nhiều đến thành phần tín hiệu nhiễu tác động lên hệ thống và ảnh hưởng của chúng đến sự thay đổi các tham số của TRMS. Để giải quyết các tồn đọng trên, tác giả đề xuất thiết kế bộ điều khiển cho TRMS dựa trên mô hình Euler- Lagrange của đối tượng. 3.1 Điều khiển hệ Euler- Lagrange Khái niệm hệ Euler- Lagrange Một ứng dụng của điều khiển thụ động hóa được nhắc tới nhiều nhất trong những năm gần đây là điều khiển hệ Euler- Lagrange. Đó là hệ của vector trạng thái nRq   và của đạo hàm của nó dq z dt  mô tả bởi: ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) TT T L q z L q z R zd M q u t dt z q z                                     (3.1) Trong đó mu R   là vector các tín hiệu điều khiển (tín hiệu vào), ( )t  được xem như các thành phần tín hiệu nhiễu tác động lên hệ thống, ( , )L q z  là hàm Lagrange: `32 ( , ) K( , ) ( )L q z q z P q       Có 1 ( , ) ( ) 2 T K q z z D q z      với ma trận ( )D q  đối xứng, xác định dương, là hàm mô tả động năng, ( )P q  là hàm mô tả thế năng, bị chặn dưới theo nghĩa ( ) ,P q q     và ( )R z  là hàm tiêu tán Reyleigh thỏa mãn ( ) 0 R z z z             cũng như ( ) n mM q R    là ma trận đầu vào của hệ. Định Nghĩa: Xét hệ Euler-Lagrange có n bậc tự do, tức là có nq R   và m tín hiệu đầu vào mu R   , mô tả bởi (3.1). Hệ sẽ được gọi là: a) Đủ cơ cấu chấp hành (fully- actuated), nếu m=n. Ngược lại, hệ sẽ được gọi là thiếu cơ cấu chấp hành (underactuated), nếu m<n. b) Đủ suy giảm(fully- damped), nếu hàm tiêu tán Reyleigh có dạng: 2 1 ( ) n i i i R z z a z z               với 0ia  ,i=1, 2, , n Ngược lại, nếu có ít nhất một hằng số 0ia  thì hệ được gọi là thiếu suy giảm (underdamped). Chú ý: Trong thực tế, nhiều khi người ta xấp xỉ hàm tiêu tán Reyleigh thành dạng toàn phương với ma trận đường chéo bán xác định dương như sau: 1 ( ) 2 T R z z A z     có ( )iA diag a và 0ia  , i= 1, 2, , n Khi đó hệ sẽ chỉ là đủ suy giảm nếu mọi phần tử ia của ma trận A là dương, tức là khi và chỉ khi A là ma trận xác định dương. Ngoài ra, từ mô hình Euler-Lagrange (3.1) ta thấy khi 1 ( ) 2 T R z z A z     thì do: `33 1 ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) 2 T L q z K q z P q z D q z P q             với ( )D q  đối xứng dương ta còn có: ( , ) ( , ) ( ) ( ) TT L q z L q z d A z M q u t dt z q                              , vì A đối xứng  2 2 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) d q d q D q C q z q M q u t dt dt              (3.2) Trong đó: ( ( )) ( ( . )) 1 ( , ) 2 d D q D q z C q z A dt q          và ( ) ( ) T P q q q              Và đó là dạng khác, nhưng tương đương, của mô hình Euler-Lagrange (3.1) Do nhiều hệ phi tuyến được mô tả bằng mô hình Euler-Lagrange (3.1) hoặc (3.2) như vậy, thay vì mô hình trạng thái quen biết trước đây, nên việc tiến hành phân tích và thiết kế bộ điều khiển trực tiếp cho lớp mô hình phi tuyến này là cần thiết. Phân tích tính ổn định Lyapunov và tính thụ động Sau đây ta khảo sát chất lượng động học của hệ phi tuyến Euler-Lagrange trực tiếp từ mô hình (3.2) Định lý 3.1: Hệ Euler-Lagrange (3.2) là: a) Cân bằng tại ( ,0) e q  với e q  là nghiệm của ( ) ( ) 0 0 T P q q q           (3.3) `34 b) Thụ động cùng với tín hiệu ra ( )Ty M q z    và hàm trữ năng (storage funtion): 1 ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) 2 T S q z K q z P q z D q z P q             c) Ổn định tiệm cận tại ( ,0) e q  nếu nó đủ suy giảm và e q  là điểm cực tiểu của hàm thế năng ( )P q  theo nghĩa ( ) P( ), e e P q q q q        . Hệ sẽ còn là GAS tại đó nếu có thêm ( ) ( ) e e P q q P q      là hàm hợp thức. Điều khiển ổn định tiệm cận Không mất tính tổng quát, sau đây ta sẽ giả sử ràng hệ Euler-Lagrange (3.2) là cân bằng tại gốc tọa độ, tức là có 0 e q   hay (0) 0    , vì nếu điều đó không xảy ra thì ta chỉ cần thực hiện phép chuyển gốc tọa độ e q q q     . Với giả thiết trên và dựa theo kết quả định lý (3.1) về tính thụ động của hệ cũng như khả năng điều khiển ổn định tiệm cận hệ thụ động ta đến ngay được kết luận sau: Định Lý 3.2: Xét hệ Euler- Lagrange (3.2) đủ cơ cấu chấp hành và cân bằng tại gốc. Khi đó bộ điều khiển phản hồi trạng thái (hình 14): ( , ) ( ( ) ), 0Tr q z M q z         tùy chọn sẽ làm cho hệ ổn định tiệm cận Lyapunov tại gốc , , (0 0)   nếu a) Hoặc có det ( ) 0,M q q     `35 b) Hoặc hệ tự dò được tới gốc Chú ý: Trong khá nhiều ứng dụng thực tế, hệ Euler- Lagrange mô tả bởi (3.2) còn được giả thiết thêm rằng giữa ma trận ( )D q  đối xứng, xác định dương và ( , )C q z  có quan hệ đối xứng lệch (skew- symmetry): ( ) ( , ) ( , ) ( ) 2 ( , ) 0, TTd dD q C q z C q z x D q C q z x x dt dt                           (3.4) Do đó các phần tử ( , )ikc q z  của ma trận ( , )C q z  sẽ có dạng ij 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( , ) 2 n ik jk ik j j j i k d q d q d q c q z z q q q                      Với ( ) ( )jk kjd q d q    là các phần tử của ma trận ( )D q  . Điều khiển tuyến tính hóa chính xác Quay lại xet hệ Euler-Lagrange (3.2), viết tắt là hệ EL, đủ cơ cấu chấp hành và có ( )M q I   , không có nhiễu tác động  ( ) 0t  , mô tả bởi: 2 2 ( ) ( , ) ( ) d q d q D q C q z q u dt dt          với d q z dt    (3.5) Hệ Euler- Lagrange - Hình 14: Cho định lý 3.2 `36 Do hệ (3.5) có ma trận ( )D q  xác định dương, tức là không suy biến, nên khi sử dụng bộ điều khiển động (dynamic) với đầu vào là v  : ( ) ( , ) ( ) d q u D q v C q z q dt          (3.6) Hệ sẽ trở thành tuyến tính (hình 15):