Luận văn Nghiên cứu về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ở trung học phổ thông

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Giáo viên viết: I. Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D. Số M được gọi là GTLN của hàm số nếu � 𝒇(𝒙) ≤ 𝑴 , ∀𝒙 ∈ 𝑫 ∃𝒙𝟎 ∈ 𝑫 ∶ 𝒇(𝒙𝟎) = 𝑴 Kí hiệu: 𝑴 = 𝒎𝒂𝒙𝑫 𝒇(𝒙) 69. GV: Tương tự, các em cũng có định nghĩa giá trị nhỏ nhất của hàm số. Giáo viên viết: Số m được gọi là GTNN của hàm số nếu � 𝒇(𝒙) ≥ 𝒎 , ∀𝒙 ∈ 𝑫 ∃𝒙𝟎 ∈ 𝑫 ∶ 𝒇(𝒙𝟎) = 𝒎 Kí hiệu: 𝒎 = 𝒎𝒊𝒏𝑫 𝒇(𝒙) Đến thời điểm này thì khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số mới được định nghĩa một cách chính thức và được giáo viên xây dựng khá chi tiết và đầy đủ theo đúng như sách giáo khoa đã trình bày. Đồng thời, trong quá trình xây dựng định nghĩa giáo viên đã lưu ý cho học sinh về sự tồn tại các giá trị này. 70. GV: Các em viết xong hết chưa? Bây giờ, yêu cầu tiếp theo là các em hãy lập bảng biến thiên, dựa vào đồ thị để lập bảng biến thiên hàm số thứ 2 cho thầy. 71. GV: Các em làm được không ? Từ bảng biến thiên ta suy ra đồ thị. Ngược lại, từ đồ thị các em lập bảng biến thiên. Xuất hiện kiểu nhiệm vụ “Lập bảng biến thiên của hàm số cho bởi đồ thị”. Kiểu nhiệm vụ này đã từng xuất hiện trong chương trình và sách giáo khoa toán 10, giáo viên đưa ra kiểu nhiệm vụ này xem như là bước mở đầu để tiếp cận kỹ thuật “bảng biến thiên” để giải kiểu nhiệm vụ T. 72. GV: Em nào ? Các em hãy xung phong nhé! (Học sinh giơ tay) 73. GV: Thầy mời em. (Học sinh lên bảng lập bảng biến thiên) x -∞ -2 0 2 +∞ y’ + 0 - 0 + 0 - 43 y ? ? ? ? ? Học sinh không thể hiện các điểm cực trị và giới hạn tại vô cực, khi đó giáo viên ghi các dấu ? vào chỗ còn trống trong bảng biến thiên. 74. GV: Các em chú ý chiều biến thiên của hàm số. Việc lập bảng biến thiên cũng dễ thôi, chỗ nào đồng biến thì các em cho mũi tên đi lên, nghịch biến thì mũi tên đi xuống. 75. GV: Nhìn vào hình vẽ, các em nhận xét, chỗ cao nhất ứng với x bằng mấy ? 76. HS: -2 và 2. 77. GV: Như vậy, trên tập xác định, các em chia ra các miền như sau: (-∞ ; -2), (-2 ; 0), (0 ; 2) và (2 ; +∞). Các em không cần quan tâm đến y’. Dựa vào bảng biến thiên chúng ta suy luận luôn. Như vậy thì chiều biến thiên của bạn làm có đúng không ? 78. HS: Đúng ạ. 79. GV: À như vậy, chiều biến thiên của bạn đúng rồi. 80. GV: Nếu như hồi nãy, chúng ta nhìn vào đồ thị thì xác định được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, bây giờ dựa vào bảng biến thiên chúng ta có thể xác định được hay không ? Đây chính là thời điểm nghiên cứu kiểu nhiệm vụ T và xây dựng kỹ thuật 𝜏𝑏𝑏𝑡. Kỹ thuật 𝜏𝑏𝑏𝑡 được xây dựng trong sự hợp tác giữa giáo viên và học sinh. 81. GV: Thầy mời em. 82. GV: Có thể xác định được hay không ? 83. HS: Dạ được. 84. GV: Nếu được thì em sẽ làm như thế nào nữa? 85. HS: Em sẽ tính các giá trị. 86. GV: À, chúng ta phải tính các giá trị, tính các đầu mút này bằng bao nhiêu (giáo viên chỉ vào bảng biến thiên). Phải tính được các giá trị tại dấu chấm hỏi. Từ đây chúng ta xác định được ngay chỗ nào là cao nhất, chỗ nào là thấp nhất. Từ đó, ta suy ra được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. 87. GV: Từ đây, ta suy ra quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Như vậy, muốn tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì ta làm gì ? 88. GV: Thầy mời em ngồi bàn 3. 89. HS: Thưa thầy làmuốn tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ta tìm tập xác định 90. GV: Tập xác định. 91. HS: Tìm y’. 92. GV: Tìm y’. Tại vì chúng ta không có đồ thị nên ta tìm y’ để lập bảng biến thiên. 93. HS: Lập bảng biến thiên. 94. GV: Lập bảng biến thiên. 95. HS: Tính các giá trị tại đầu mút. 44 96. GV: À, tính các giá trị tại các đầu mút này. Từ đó kết luận. 97. GV: Như vậy, chúng ta có quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Giáo viên viết: Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số - Tìm TXĐ; - Tìm y’, nghiệm y’, các điểm y’ không xác định; - Lập BBT; - Kết luận GTLN, GTNN. Thời điểm xây dựng kỹ thuật 𝜏𝑏𝑏𝑡 “Bảng biến thiên” giải kiểu nhiệm vụ T và xây dựng yếu tố công nghệ lý thuyết đã được diễn ra dưới hình thức hợp tác giữa giáo viên và học sinh. Mặc dù, sách giáo khoa không nêu ra tường minh việc lập bảng biến thiên để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, mà chỉ thông qua ví dụ cụ thể nhưng giáo viên đã xây dựng khá chi tiết, giúp học sinh vận dụng một số thành phần trong bảng biến thiên để tìm đáp án. 98. GV: Quy tắc này gần giống như quy tắc xét chiều biến thiên, quy tắc tìm cực trị của hàm số. Chỉ khác khâu kết luận cuối cùng thôi. 99. GV: Bây giờ chúng ta sẽ tính các đầu mút trên bảng biến thiên này nhé. Một số vị trí mà các em có thể tính được. 100. GV: Một em đọc kết quả cho thầy. Thầy mời em nữ này. (Học sinh đứng lên đọc kết quả tại các giá trị cực trị) x -∞ -2 0 2 +∞ y’ + 0 - 0 + 0 - y 4 4 ? 0 ? 101. GV: Còn hai dấu chấm hỏi ? Làm sao tính được ? 102. GV: Em nào ? (Học sinh giơ tay) 103. GV: Thầy mời em. 104. HS: Thưa thầy, mình tính lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) và lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥). 105. GV: Tính lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) và lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) 106. GV: Việc tính giới hạn này các em đã học rồi. Em nào tính nhanh cho thầy, kết quả bằng bao nhiêu ? 107. GV: Đối với hàm số đa thức thì giới hạn phụ thuộc vào bậc cao nhất thôi. 108. HS: lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = −∞ và lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = −∞ 45 (Giáo viên viết -∞ và +∞ vào hai dấu ? trong bảng biến thiên) 109. GV: Như vậy, dựa vào bảng biến thiên hàm số đạt giá trị lớn nhất là bằng..bằng 4. Các em kết luận như thế nào về giá trị nhỏ nhất của hàm số ? 110. HS: Không có giá trị nhỏ nhất. 111. GV: À, chúng ta không xác định được số nhỏ nhất là bao nhiêu. Vậy hàm số này không tồn tại giá trị nhỏ nhất. Sau khi xây dựng xong kỹ thuật “bảng biến thiên”, tiếp theo là thời điểm làm việc với kỹ thuật. Thời điểm này chiếm khá nhiều thời gian. 112. GV: Ta xét ví dụ sau đây. Giáo viên viết Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau: 1) 𝒚 = 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟐 2) 𝒚 = 𝒙𝟐+𝟏 𝒙 (𝒙 > 𝟎) 113. GV: Hàm số 1 xét trên tập xác định, hàm số 2 xét trên miền x > 0. Quy tắc đã có sẵn rồi, giờ các em xung phong lên bảng làm đi nhé. 114. GV: Em thứ nhất, ai? (Học sinh giơ tay) 115. Thầy mời em. Nhi. 116. GV: Hàm số thứ 2. Có ai xung phong không ? (Học sinh giơ tay) 117. GV: Mời em. Mỹ. 118. GV: Các em ở dưới làm vào giấy nháp. (Hai học sinh lên bảng viết) (Học sinh thứ nhất) TXĐ: D = R 𝑦′ = 4𝑥3 − 4𝑥 Cho 𝑦′ = 0 ⇔ � 𝑥 = 0𝑥 = 1 𝑥 = −1 BBT: x -∞ -1 0 1 +∞ y’ - 0 + 0 - 0 + y +∞ 0 +∞ -1 -1 Vậy: 46 GTNN của hàm số là -1 khi x = -1 hoặc x = 1 Hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất (Học sinh thứ 2) TXĐ D = (0 ; +∞) Ta có: 𝑦′ = 2𝑥.𝑥−𝑥2−1 𝑥2 = 𝑥2−1 𝑥2 𝑦′ = 0 ⇔ 𝑥2 − 1 𝑥2 = 0 ⇔ 𝑥 = ±1 BBT: x -∞ -1 0 1 +∞ y’ + 0 - || - 0 + y (Học sinh trao đổi làm bài tập) (Sau khoảng 4 phút) 119. GV: Thầy sẽ kiểm tra nhe. (Giáo viên sửa bài 1) 120. GV: Đối với hàm số thứ nhất, tập xác định là R, đúng. Cho y’ = 0 ta tìm được 3 nghiệm: 0, 1 và -1. Lập bảng biến thiên và xét dấu, đúng. Hai giới hạn ? đúng. Vậy dựa vào bảng biến, chúng ta nhận thấy rằng hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng -1. Tại x bằng mấy? 121. HS: Tại x bằng -1 hoặc 1. 122. GV: À, tại x bằng -1 hoặc 1 thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất, là bằng -1. 123. GV: Hàm số này không có giá trị lớn nhất. Mặc dù kỹ thuật 𝜏𝑏𝑏𝑡 “bảng biến thiên” vừa được giáo viên xây dựng và trình bày khá chi tiết nhưng chỉ có một học sinh tìm được đáp án. Học sinh còn lại không giải được chủ yếu do không lập được bảng biến thiên của hàm số, từ đó không thể kết luận được. 124. GV: Các em kiểm tra bài thứ 2. Thầy chỉ yêu cầu xét trên khoảng (0 ; +∞). Các em cứ lập bảng biến thiên bình thường, nhưng mình cần quan tâm đến khoảng (0 ; +∞) thôi. 125. GV: Tập xác định có phải là (0 ; +∞) ? mà là D = R\{0}. Giáo viên viết D = R\{0} 126. GV: Các em xem, y’ đúng, y’ = 0 tìm được hai nghiệm 1 và -1. Đối với bảng biến thiên này, các em chỉ cần quan tâm đến một phía thôi. Chỉ cần tính được 3 vị trí này thì các em có thể kết luận được giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất. (Giáo viên chỉ tay vào bảng biến thiên) 127. GV: Tại x = 1 thì đơn giản, f(x) bằng mấy ? 47 128. HS: Bằng 2. 129. GV: Các em phải tính giới hạn khi x tiến tới +∞ và .x tiến tới đâu ? 130. HS: x tiến tới 0+. 131. GV: À, x tiến tới 0+, phải tính giới hạn bên phải số 0. Giáo viên viết 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0+ 𝑦 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 𝑦 = 132. GV: Kết quả này bằng bao nhiêu vậy ? Ai tính được ? Em nào còn nhớ ? Giáo viên viết 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0+ 𝑦 = +∞ 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 𝑦 = +∞ 133. GV: Về nhà các em xem lại cách tính giới hạn nhe. Giáo viên sửa lại bảng biến thiên x -∞ -1 0 1 +∞ y’ + 0 - - 0 + y +∞ +∞ 2 134. GV: Như vậy chúng ta kết luận là 135. HS: Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 khi x bằng 1. Hàm số không có giá trị lớn nhất. Giáo viên viết Vậy: 𝑚𝑖𝑛(0 ; +∞) 𝑓(𝑥) = 2. Hàm số không có GTLN. Thông qua các ví dụ trên, chúng tôi nhận thấy giáo viên yêu cầu học sinh làm việc với kỹ thuật khá nhiều, điều này tạo điều kiện thuận lợi cho việc nâng cao khả năng làm chủ kỹ thuật của học sinh, cũng như khẳng định phạm vi hợp thức rộng lớn của kỹ thuật. 136. GV: Các em xong hết chưa ? Đối với bài học hôm nay, về nhà các em học định nghĩa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, các em xem lại phần tính giới hạn và lập bảng biến thiên. 137. GV: Nếu không có gì, các em nghỉ, tiết tới chúng ta học tiếp. Như vậy, trong tiết học đầu tiên giáo viên đã đề cập đến 2 kỹ thuật giải kiểu nhiệm vụ T đó là kỹ thuật “đồ thị” và kỹ thuật “bảng biến thiên”. Trong đó, kỹ thuật “bảng biến thiên” được giáo viên xây dựng khá chi tiết và dành nhiều thời gian làm việc với kỹ thuật này. 48 (Trống đánh, hết giờ, ra chơi 5 phút) (Chuyển sang tiết 2) 138. GV: Các em làm bài toán số 2, chú ý ba hàm số đều được cho trên đoạn, đoạn [a ; b], đoạn [c ; d] và đoạn [m ; n]. Đây là các hàm số tổng quát 𝑦 = 𝑓1(𝑥) , 𝑦 = 𝑓2(𝑥) , 𝑦 = 𝑓3(𝑥). Thầy cho các em khoảng 7 phút để thực hiện bài tập này. (Học sinh thảo luận) (Giáo viên vẽ 3 đồ thị lên bảng) (Sau chừng 7 phút) 139. GV: Các em làm xong chưa ? 140. GV: Các em dừng lại. Các em hãy trả lời một số câu hỏi mà thầy đã đặt ra. Câu 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số. Do các bài toán đều không cho công thức nên các em dựa vào cơ sở nào để tìm cực trị. Xuất hiện kiểu nhiệm vụ :“Tìm cực trị của hàm số cho bởi đồ thị”. Kiểu nhiệm vụ này được giáo viên thêm vào như là một cách để minh họa cho kỹ thuật “đồ thị”. 141. HS: Dựa vào đồ thị. 142. GV: À, dựa vào đồ thị để ta tìm điểm cực trị. Hình ảnh của điểm cực trị như thế nào các em biết chưa ? 143. HS: Biết 144. GV: Ừ biết, thì các em sẽ tìm ngay điểm cực trị. 145. GV: Nhóm nào sau khi đã thảo luận hãy trình bày cho thầy cực trị của hàm số thứ nhất. (Gv yêu cầu 1 học sinh ngồi bàn thứ 3) 146. GV: Bàn 3 đi, sau khi 3 em đã hội ý rồi thì mình kết luận hàm số thứ nhất đạt cực đại tại đâu ? cực tiểu tại đâu ? 147. HS: Thưa thầy, đối với hàm số thứ nhất đạt cực tiểu tại x = a và giá trị cực tiểu là f1(a). 148. GV: Hàm số đạt cực tiểu tại x = a phải không ? 149. HS: Dạ phải. 150. GV: Hàm số đạt cực đại tại đâu ? 151. HS: Tại x = b. 152. GV: Giá trị cực đại là ? 153. HS: f1(b). 49 154. GV: Có ai có ý kiến khác ? Các em cứ trình bày ra, rồi thảo luận. 155. GV: Các em cũng nghĩ giống như vậy phải không ? (Học sinh không trả lời) 156. GV: Nhóm này. Sau khi thảo luận các em có kết luận gì về hàm số một. 157. HS: Giống như bạn 158. GV: Giống như bạn. 159. GV: Sao các em im lặng vậy ? 160. GV: Có ý kiến nào khác không ? 161. GV: Các em hiểu cực tiểu là sao ? 162. GV: Cực đại thì dễ. (Sau đó giáo viên lấy ví dụ. Cực đại, nó giống như đỉnh dóc, đi lên rồi đi xuống, còn cực tiểu đi xuống rồi đi lên.) 163. GV: Như vậy đối với hình vẽ thứ nhất, giá trị cực đại là bao nhiêu ? Giá trị cực tiểu là bao nhiêu ? 164. HS: Không có. 165. GV: Không có. 166. GV: Đối với hàm số thứ hai. Thầy mời nhóm này trả lời. Hàm số đạt cực tiểu tại đâu ? Em xác định được không ? 167. HS: Dạ được. 168. GV: (GV chỉ tay vào hình vẽ) Có phải là vị trị này phải không ? 169. HS: Dạ phải. 170. GV: Vậy mình ký hiệu là xct( GV viết xct vào hình vẽ). Và đạt giá trị cực tiểu tại vị trí này phải không? 171. HS: Phải. Giáo viên viết f2(xct) 172. GV: Em làm tiếp hình thứ 3. 173. GV: Có cực đại và cực tiểu không em? 174. HS: Có 175. GV: Có, cực tiểu nằm ở chỗ nào vậy ? Có phải là chổ này không ? (GV chỉ tay vào đồ thị) 176. HS: Dạ phải. (GV viết ký hiệu cực tiểu lên hình vẽ) 177. GV: Có giá trị cực đại không ? 178. HS: Dạ, có. 179. GV: (GV chỉ vào hình). Có phải là chổ cao này không ? 180. HS: Phải. (GV viết ký hiệu cực đại lên hình vẽ) 50 181. GV: Như vậy, câu thứ nhất chúng ta làm xong. Kết thức câu hỏi 1 cho thấy kỹ thuật “đồ thị” được giáo viên và học sinh huy động để giải quyết kiểm nhiệm vụ “Tìm cực trị của hàm số cho bởi đồ thị”. Kỹ thuật này xem như là bước khởi đầu tiếp cận kiểu nhiệm vụ Tđ . 182. GV: Đến câu thứ hai, các em trả lời như thế nào ? Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên các đoạn mà người ta đã chỉ ra. Đây là thời điểm gặp gỡ đầu tiên của tổ chức toán học [Τđ, 𝜏đ𝑡 , 𝜃đ𝑡 , Θ]. Kỹ thuật “đồ thị” vẫn được giáo viên ưu tiên trong việc giải kiểu nhiệm vụ này. 183. GV: Các em dựa vào đồ thị, làm sao để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất ? Các em có tìm được không ? 184. HS: Được. 185. GV: Được, rất dễ dàng. Thầy mời Mỹ. 186. Mỹ: Thưa thầy, đối với đồ thị 1, giá trị nhỏ nhất là f1(a) tại x = a và giá trị lớn nhất là f1(b) tại x = b. Giáo viên viết GTNN: f1(a) GTLN: f1(b) 187. GV: Tương tự đối với đồ thị 2. Giá trị nhỏ nhất đạt tại đâu ? 188. Mỹ: Tại xct 189. GV: Ah, tại xct. Giá trị nhỏ nhất là f2(xct). Giáo viên viết GTNN: f2(xct) 190. GV: Giá trị lớn nhất ? 191. Mỹ: Giá trị lớn nhất đạt tại x = d. Giáo viên viết GTLN: f2(d) 192. GV: Đối với hàm số còn lại ? Giá trị nhỏ nhất đạt tại đâu ? 193. Mỹ: (Phân vân, không trả lời) 194. GV: À, chổ nào thấp nhất là giá trị nhỏ nhất thôi. (GV chỉ tay vào hình vẽ) 195. Mỹ: Giá trị nhỏ nhất đạt tại xct. Giáo viên viết GTNN: f3(xct) 196. GV: Giá trị lớn nhất ? 197. Mỹ: Giá trị lớn nhất đạt tại x = m. Giáo viên viết GTLN: f3(m) 198. GV: Các nhóm khác có làm giống bạn không ? 199. HS: Giống. 51 200. GV: À, giống như vậy thì thôi. (Học sinh cười) 201. GV: Câu hỏi số 3, các hàm số trên có đặc điểm gì chung ? .Ai trả lời ? 202. GV: Thầy mời em. 203. HS: Thưa thầy, cả ba hàm số này đều có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. 204. GV: À, chúng ta nhận thấy, cả ba hàm số này đều có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. 205. GV: Như vậy, ta có 1 đặc điểm chung. Còn hết ? 206. HS: Đều xét trên một đoạn. 207. GV: Ah, đều xét trên một đoạn. Các em còn tìm được gì nữa không ? 208. HS: Thưa thầy, giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất đều nằm ở hai đầu mút của đoạn. 209. GV: Nằm ở hai đầu mút ? đối với hàm số thứ nhất: đúng. Hàm số thứ hai: đúng. Hàm số thứ ba ? hàm số này không phải, hàm số này đạt giá trị nhỏ nhất tại xct. 210. GV: Như vậy, phát hiện này của bạn chưa đúng. 211. HS: Nếu mà.(Học sinh cười) 212. HS: Nếu mà hàm số liên tục trên khoảng nào đó thì hai đầu mút sẽ là cực đại hoặc cực tiểu. 213. GV: Nếu em quan tâm đến hai đầu mút là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì kết luận này đúng chưa ? 214. GV: Chưa. 215. HS: Nếu như hàm số liên tục thì 216. GV: Liên tục. Em đang đề cập đến chỗ liên tục. Liệu 3 hàm số này có liên tục trên đoạn đang xét hay không ? (Học sinh không trả lời) (Giáo viên hỏi tiếp) 217. GV: Còn nhóm nào phát hiện ra tính chất gì chung của 3 hàm số này ? 218. GV: Nghi. 219. Nghi: Thưa thầy, đều có đoạn đồng biến. 220. GV: Đều có đoạn đồng biến. (Học sinh cười) 221. GV: Còn tính chất nào chung nữa ? (Học sinh suy nghĩ) 222. GV: Thầy mời em. 223. HS: Các giá trị cực tiểu đều là giá trị nhỏ nhất. 224. GV: Các giá trị cực tiểu đều là giá trị nhỏ nhất. (GV chỉ tay vào đồ thị 1) Bên kia đâu có cực tiểu mà vẫn kết luận được. Nó không phải làm điểm chung. 225. GV: Hồi nãy, có “ý” của một bạn nói hàm số này liên tục trên một đoạn, các em kiểm tra tính chất này có phải không ? (Học sinh không trả lời) 226. GV: Đối với tính liên tục, ba hàm số này có liên tục trên đoạn đang xét hay không ? Dấu hiệu nào để chúng ta biết hàm số là liên tục hay không liên tục? 227. GV: Thầy mời em. 52 228. HS: Thưa thầy, nếu đồ thị “trơn” thì hàm số liên tục. 229. GV: “Trơn” là gì các em ? 230. GV: “Trơn” là có đạo hàm, “Gãy khúc” là không có đạo hàm. Tính liên tục thì không phải vậy. 231. GV: Nếu hàm số liên tục thì đồ thị của nó là đường như thế nào ? Đi lên hay đi xuống. 232. GV: Là một đường 233. HS: Là một đường liền nét. 234. GV: Là một đường liền nét. 235. GV: Như vậy, ba hàm số này có liện tục trên đoạn hay không ? 236. HS: Thưa thầy, có. 237. GV: Ah. Từ đồ thị của ba hàm số này, chúng ta nhận thấy ba hàm số này đều liên tục trên đoạn. 238. GV: Như vậy chúng ta nhận thấy, đối với ba hàm số này, chúng ta có 2 đặc điểm chung là hàm số liên tục trên đoạn và luôn luôn có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 239. GV: Từ ví dụ này, chúng ta có tính chất. Mọi hàm số liên tục trên đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. 240. GV: Các em qua phần II. Giáo viên viết II. Cách tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn. Tính chất: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Đây chính là thời điểm xây dựng môi trường công nghệ lý thuyết chuẩn bị nghiên cứu kỹ thuật 𝜏𝑞𝑡 giải kiểu nhiệm vụ 𝑇đ. 241. GV: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Như vậy, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số nếu có thì nó đạt được tại vị trí nào ? 242. HS: Tại hai đầu mút. 243. GV: Có thể đại tại đâu nữa ? 244. HS: Tại x cực đại hoặc x cực tiểu. 245. GV: À. Tại x cực đại hoặc x cực tiểu. Như vậy, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất đạt được tại hai đầu mút hoặc tại các điểm cực trị. 246. GV: Với nhận xét trên, muốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn thì chúng ta làm thế nào ? Chúng tôi cho rằng đây chính là thời điểm nghiên cứu kiểu nhiệm vụ Tđ và xây dựng nên kỹ thuật 𝜏𝑞𝑡. Kỹ thuật 𝜏𝑞𝑡 được xây dựng trong sự trao đổi giữa giáo viên và học sinh. (Học sinh trao đổi) 247. GV: Thầy tính f(a), f(b) thì có thể kết luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất được chưa? Được chưa ? 248. HS: Chưa. 249. GV: Ừ, chỉ tính giá trị tại hai đầu mút thì chưa kết luận được. Biết đâu giá trị nhỏ nhất không phải tại hai đầu mút thì sao. Các em phải tính thêm gì nữa ? 53 250. HS: Ta tìm thêm các điểm cực trị. 251. GV: À, chúng ta phải tìm thêm các điểm cực trị của hàm số trên đoạn này. 252. GV: Như vậy, đơn giản thôi. Trước hết các em phải tính y’ để tìm cực trị, tính giá trị hai đầu mút, sao đó so sánh, rồi kết luận. Từ đó chúng ta có quy tắc: Như vậy, từ đồ thị của hàm số, giáo viên cùng học sinh xây dựng kỹ thuật 𝜏đ giải kiểu nhiệm vụ 𝑇đ. Các yếu tố công nghệ lý thuyết cũng được hình thành dưới sự hợp tác giữa giáo viên và học sinh. (GV chú ý) 253. GV: Quy tắc này chỉ áp dụng cho các hàm số liên tục trên một đoạn thôi nhe. Giáo viên viết Quy tắc : (CHỈ áp dụng đối với hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]) - Tìm y’, nghiệm y’; các điểm mà y’ không xác định trên khoảng (a ; b); - Tính y(a); y(b); y(các nghiệm y’) ; y(các điểm y’ không xác định); - Kết luận: Số lớn nhất là GTLN. Số nhỏ nhất là GTNN. (Sau đó giáo viên giải thích) 254. GV: Gạch đầu dòng thứ nhất thì dễ dàng. Gạch đầu dòng thứ hai các em có hiểu không ? Tức là tính giá trị của hàm số tại a, tại b, giá trị của hàm số tại các nghiệm y’ và các điểm y’ không xác định. Sau khi tính xong các em so sánh với nhau. Số lớn nhất là giá trị lớn nhất, số nhỏ nhất là giá trị nhỏ nhất. Sau khi tìm hiểu kỹ thuật, giáo viên cho học sinh làm việc với kỹ thuật 𝜏𝑞𝑡 giải kiểu nhiệm vụ 𝑇đ. Thời điểm này trải qua khá nhiều thời gian. (Giáo viên đưa ra ví dụ) Giáo viên viết: VD: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: a) 𝑦 = 𝑥3 + 3𝑥2 − 5𝑥 + 1 trên [0 ; 3]. b) 𝑦 = 𝑥−1 2𝑥−3 trên [2 ; 5]. 255. GV: Quy tắc này chỉ áp dụng đối với các hàm số liên tục trên đoạn. Như vậy khi người ta yêu cầu tìm trên đoạn thì các em phải kiểm tra tính liên tục của nó. Lưu ý nha. Phải kiểm tra tính liên tục trước. Nếu thỏa mới áp dụng. Không thỏa thì không sử dụng được. 256. GV: Như vậy, trước hết các em kiểm tra xem các hàm số này có liên tục trên đoạn không ? 257. GV: Em nào còn nhớ ? 258. GV: Hàm số này có liên tục trên đoạn [0 ; 3] hay không ? (Học sinh không trả lời) (Giáo viên nhắc lại kiến thức cũ) 54 259. GV: Ở lớp 11, sau khi các em học xong bài “hàm số liên tục”, các em có tính chất. Hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số phân thức hữu tỉ liên tục tại mọi điểm mà nó xác định. (Giáo viên chỉ vào câu a) 260. GV: Đây là hàm số gì vậy ? 261. HS: Là hàm đa thức. 262. GV: À, là hàm đa thức.Tập xác định là gì ? 263. HS: D = R. 264. GV: À, D = R.Vậy hàm số liên tục trên R. 265. GV: Suy ra hàm số liên tục trên đoạn [0 ; 3]. 266. GV: Như vậy, câu đầu tiên các em cần phải nó là hàm số liên tục trên đoạn [0 ; 3]. 267. GV: Đối với câu b, đây là hàm phân thức. Hàm số này không xác định tại x bằng mấy ? 268. HS: 𝐷 = 𝑅\ �3 2 � 269. GV: 𝐷 = 𝑅\ �3 2 �. Như vậy hàm số này liên tục trên khoảng �−∞; 3 2 � và �3 2 ; +∞� 270. GV: Rồi, các em làm hai bài này nhé. Các em có quy tắc rồi. 271. GV: Em nam ngồi trong góc, làm bài thứ nhất. 272. GV: Một em nữ. Yến Nhi đi. (Hai học sinh lên bảng làm bài tập) 273. GV: Các em sửa lại câu a cho dễ làm. (Cả lớp ồ lên) Giáo viên viết lại câu a 𝑦 = 𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥 + 1 (Hai học sinh tiếp tục làm bài trên bảng, cả lớp thảo luận và làm vào giấy nháp) Hai học sinh viết a) 𝑦 = 𝑥3 + 𝑥2 − 5𝑥 + 1 𝑦′ = 3𝑥2 + 𝑥 − 5 b) 𝑦 = 𝑥−1 2𝑥−3 trên [2 ; 5]. 𝑦′ = (𝑥 − 1)′(2𝑥 − 3) − (2𝑥 − 3)′(𝑥 − 1)(2𝑥 − 3)2 = 2𝑥 − 3 − 2𝑥 + 1(2𝑥 − 3)2 = −1(2𝑥 − 3)2 (Do hai học sinh làm bài chậm nên giáo viên yêu cầu hai học sinh về chỗ) (Giáo viên nhắc nhở các em về việc tính đạo hàm) 274. GV: Thôi, các em về chỗ đi nhe. (Giáo viên chỉ vào câu a) 275. GV: Một em đứng lên đọc cho thầy. 276. GV: y’ của bạn đúng hay sai? 55 277. HS: Sai. 278. GV: Chỗ này là số mấy ? 279. HS: Số 2 Giáo viên viết 𝑦′ = 3𝑥2 + 2𝑥 − 5 280. GV: Sau đó làm gì nữa ? 281. HS: Cho y’ = 0 để tìm nghiệm. Giáo viên viết 𝑦′ = 0 ⇔ 3𝑥2 + 2𝑥 − 5 = 0 ⇔ � 𝑥 = 1 (𝑛ℎậ𝑛) 𝑥 = − 53 (𝑙𝑜ạ𝑖) 282. GV: Có lấy hết hai giá trị này không ? 283. HS: Dạ, không. 284. GV: Các em lưu ý. Tìm nghiệm là tìm ở đâu ? Trong khoảng (a ; b). Lấy nghiệm trong khoảng (0 ; 3) thôi, bên ngoài bỏ. 285. GV: Rồi làm gì nữa các em. 286. HS: Thế 0, 3, 1 vào y.. 287. GV: Chúng ta phải tính giá trị của hàm số tại 1 nè, giá trị của hàm số tại 0 nè và giá trị hàm số tại3. Giáo viên viết y(1) = -2 y(0) = 1 y(3) = 22 288. GV: Vậy giá trị lớn nhất là mấy ? 289. HS: Là 22 290. GV: Là 22 khi x = 3. Các em phải chỉ ra khi x = 3. Giáo viên viết Vậy GTLN là y(3) = 22 291. GV: Giá trị nhỏ nhất là ? 292. HS: y(1) = -2 Giáo viên viết GTNN là y(1) = -2 293. GV: Nếu các em trình bày như thế này thì các em xem có đầy đủ chưa ? 294. GV: chưa. Thiếu cái gì ? Ai biết ? (Nghe 1 học sinh nói hàm số liên tục) 295. GV: Thiếu một câu, câu đầu tiên. 296. GV: Chúng ta phải nói hàm số này liên tục trên đoạn [0 ; 3]. Giáo viên viết 56 Hàm số liên tục trên đoạn [0 ; 3]. (Giáo viên lưu ý) 297. GV: Còn chỗ màngười ta yêu câu tìm tại các điểm mà y’ không xác định thì các em lưu ý cho thầy những lớp hàm số như hàm số chứa giá trị tuyệt đối hoặc là ghép hai, ba hàm số lại với nhau, thì mới có những điểm mà y’ không xác định. Thông thường thì các em chỉ dừng lại tại y’ = 0. 298. GV: Câu đầu tiên các em cần phải nói là hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a ; b]. 299. GV: Các em kiểm tra câu b. 300. GV: y’ đúng hay sai. 301. HS: Thưa thầy làem chưa làm tới thầy ơi. 302. GV: Em tính nhanh cho thầy coi. 303. HS: Dạ, đúng rồi thầy ơi. 304. GV: 1 nhân -3 trừ -1 nhân 2 bằng -1, y’ đúng. Rồi sao nữa. 305. HS: Cho y’ = 0. 306. GV: Cho y’ = 0 để tìm nghiệm phải không ? 307. HS: Dạ phải. (Nghe một vài học sinh nói: “nhỏ hơn không rồi”) 308. HS: Thưa thầy, y’ < 0 vô nghiệm rồi thầy ơi. Giáo viên viết 𝑦′ = −1(2𝑥 − 3)2 < 0 ∀𝑥 ∈ [2 ; 5] 309. GV: Rồi làm sao nữa ? 310. HS: Thưa thầy là. 311.