Luận văn Ngưng tụ bose - Einstein, siêu chảy và siêu tinh thể

.25) Từ đây suy ra nhiệt độ chuyển pha : 1 5 1,202 B c N k T         . (1.26) Từ (1.25) và (1.26) ta suy ra : 3 0 1 c N T N T        . (1.27) Trong trường hợp boson trong các bẫy ta cần lưu ý là không thể thực hiện giới hạn nhiệt động học V  , N  , N n const V   vì thể tích bẫy là hữu hạn, N cũng là hữu hạn. Từ (1.26) nếu lấy  ~ 100 Hz, N thay đổi trong khoảng 104 – 107 như trong các thí nghiệm thì nhiệt độ cần thiết để có BEC là 210 .cT nK Thực hiện các tính toán tương tự như theo công thức (1.20) cho năng lượng của hệ ta có :   3 0 33 B B k T k T g z           nếu CT T 9   3 0 33 1 B B k T k T g           nếu CT T (1.28) Từ đó suy ra nhiệt dung riêng     3 4 3 1 12 1 B C g T C Nk g T        CT T         4 3 3 2 3 4.B g z g z C Nk g z g z         CT T (1.29) Tại cT nhiệt dung riêng không liên tục trái với kết quả cho hệ boson không ở trong bẫy. Tính số cho thấy [13,14] 6,6 BC C C Nk      (1.30) 1.4. PHÂN LOẠI CHUYỂN PHA Kết quả về sự liên tục của nhiệt dung khi chuyển pha sang BEC khác nhau trong hai trường hợp boson trong bẫy và boson không ở trong trường ngoài đặt ra vấn đề là phải xem xét lại về sự phân loại chuyển pha. Mặc dù sự phân loại chuyển pha không dễ dàng trong trường hợp tổng quát vì có rất nhiều loại chuyển pha khác nhau. Tuy nhiên thông dụng nhất là hai cách phân loại : của Ehrenfest và của Landau [ 16,17 ]. Năm 1933 Ehrenfest đề xuất : Chuyển pha được gọi là bậc n nếu đạo hàm bậc n theo nhiệt độ của ít nhất một đại lượng mô tả trạng thái của hệ như thế hóa học  T , nội năng  T , entropy  S T không liên tục ở điểm chuyển pha, còn tất cả các đạo hàm bậc thấp hơn là liên tục. Thí dụ chuyển pha khí – lỏng là bậc một vì T   là gián đoạn. Áp dụng cho BEC thì đạo hàm bậc nhất của nội năng là nhiệt dung sẽ phụ thuộc vào hệ bị giam cầm hay không mà đạo hàm đó sẽ gián đoạn hay liên tục. Tuy nhiên đạo hàm của thế hóa học theo nhiệt độ T   luôn là gián đoạn, tức là chuyển pha sang BEC là bậc một. Các kết quả nghiên cứu sâu hơn [16 ] cho thấy, tương tác và kích thước của bẫy luôn có xu hướng làm nhòe đi sự gián đoạn của đạo hàm thế hóa học . Như vậy, nếu chú ý đến các yếu tố khác thì 10 chuyển pha bậc 1 theo Ehrenfest có thể trở thành bậc 2 hoặc cao hơn. Để sự phân loại có tính tổng quát hơn, Landau đưa ra khái niệm tham số trật tự gắn liền với tính đối xứng của hệ. Tham số trật tự là đại lượng vĩ mô lượng hóa tính chất đối xứng của hệ. Theo Landau, thông thường pha ở nhiệt độ cao hơn ở nhiệt độ chuyển pha sẽ có tính đối xứng cao hơn pha ở nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ chuyển pha. Tham số trật tự sẽ bằng không ở pha đối xứng cao hơn còn nó sẽ khác không ở pha đối xứng thấp hơn. Tham số trật tự có thể định nghĩa ngay cả khi không có sự thay đổi tính đối xứng của hệ qua điểm chuyển pha. Thí dụ từ pha lỏng sang pha khí hệ luôn là đồng nhất (isotropic), nhưng mật độ hạt thay đổi một cách gián đoạn. Tham số trật tự có thể rất khác nhau : có thể là đại lượng vô hướng như số hạt trong ngưng tụ của pha BEC, có thể là vectơ như momen từ hóa khi xét chuyển pha từ... Khi đi qua điểm chuyển pha từ nhiệt độ cao hơn xuống thấp hơn, nếu đối xứng của hệ thay đổi trở thành thấp hơn đối xứng ban đầu của Hamiltonian của hệ thì người ta nói rằng đối xứng của hệ bị phá vỡ tự phát. Tự phát là vì đối xứng thay đổi mà không cần số hạng phá vỡ đối xứng trong Hamiltonian. Trong BEC, như ta thấy ở phần dưới, đối xứng chuẩn ( đối xứng gauge) của hệ boson bị phá vỡ tự phát. Landau phân các chuyển pha thành 2 loại : chuyển pha loại một hay còn gọi là chuyển pha gián đoạn nếu tham số trật tự thay đổi một cách gián đoạn qua điểm chuyển pha (khí sang lỏng-sang rắn), chuyển pha loại hai hay chuyển pha liên tục khi tham số trật tự thay đổi liên tục qua điểm chuyển pha (sắt từ-thuận từ, siêu dẫn – kim loại...). Theo phân loại theo tiêu chí của Landau thì BEC là chuyển pha loại 2 vì số hạt ngưng tụ  0n T luôn là liên tục theo T dù có hay không tương tác, có hay không bẫy giam cầm các nguyên tử trung hòa. 1.5. CÁC KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM VỀ BEC Khẳng định bằng thực nghiệm hiện tượng BEC đã từng là một giấc mơ dài lâu của vật lý. Ứng viên đầu tiên là 4He , nhất là hiện tượng tiêu chảy được cho có liên hệ trực tiếp với BEC đã được phát hiện từ rất sớm (năm 1938) bởi nhà vật lí Nga Kapitza. Tuy nhiên 4He là một hệ tương tác mạnh với thăng giáng lượng tử quá lớn (là nguyên nhân nó không kết tinh dù ở nhiệt độ rất thấp) không cho 11 phép chỉ ra một cách rõ ràng các biểu hiện trực tiếp của BEC. Sau đó người ta chuyển sang tìm BEC trong hệ các exciton. Exciton là cặp điện tử lỗ trống liên kết nên là boson. Khối lượng điện tử và lỗ trống nhỏ hơn nhiều khối lượng các hạt nhân nên hy vọng sẽ cho nhiệt độ chuyển pha cT cao theo công thức (1.16). Tuy nhiên mấy chục năm tìm kiếm trên Cu2 O không cho kết quả đáng kể nào vì sau khi bị kích thích thì điện tử lại tái hợp rất nhanh với lỗ trống vì vậy không tạo được một lượng exciton đủ lớn để có thể quan sát được BEC. Mãi tới gần đây vào năm 1995 người ta mới quan sát được BEC trong hệ khí kim loại kiềm siêu lạnh. Đầu tiên BEC được quan sát ở trong khí 87Rb gồm 2000 nguyên tử ở nhiệt độ dưới 170x10-9K [ 4 ]. Sau đó người ta quan sát được BEC ở hệ khí 7Li với 2x105 nguyên tử với Tc ≈ 400x10-9 K, và của hệ gồm 5x105 nguyên tử Na ở nhiệt độ thấp hơn 2µK [5]. Có một vài biểu hiện khác nhau đặc trưng cho BEC có thể nhận biết bằng thực nghiệm như phân bố nồng độ hạt, đo các đại lượng nhiệt động học. Thí dụ chụp phân bố hạt boson theo vận tốc của hạt ta có thể nhìn thấy dấu hiệu quan trọng là nồng độ hạt tăng vọt ở trạng thái cơ bản ứng với vận tốc chuyển động nhiệt xấp xỉ bằng không. Sau đó người ta cũng quan sát được BEC trong hệ khí Hydro siêu lạnh với 108 nguyên tử ở nhiệt độ thấp hơn 50 µK [18]. Được sự khích lệ của các kết quả với nguyên tử kim loại kiềm và hydro, hiện nay người ta đang nỗ lực tìm BEC trong các hệ exciton, biexciton với điện từ và lỗ trống cách ly trong không gian bằng các giếng thế cấu trúc nano để tăng thời gian sống cho các hạt này [18] cũng như tìm BEC trong hệ kích thích từ (magnon) trong các vật liệu từ [18 ]. 12 CHƯƠNG 2. PHA SIÊU CHẢY VÀ SIÊU TINH THỂ 2.1. SIÊU CHẢY CỦA He [13] Hiện tượng siêu chảy được Kapitza phát hiện bằng thực nghiệm năm 1938. Ông ta thấy rằng ở TC = 2.18K, gọi là điểm , 4He từ pha lỏng thông thường (pha He I) chuyển pha bậc hai sang pha siêu chảy (pha He II) . Siêu chảy là hiện tượng chất lỏng chảy trong một ống nhỏ không có ma sát (độ nhớt bằng 0) khi vận tốc v < vC nào đó (vC gọi là vận tốc tới hạn hay vận tốc siêu chảy). 4He luôn ở pha lỏng ở áp suất khí quyển. Ngay cả khi nhiệt độ xuống tới nhiệt độ không tuyệt đối T = 0K thì vẫn không chuyển sang thể rắn. Nó ở thể rắn khi áp suất cao (ở T xấp xỉ 0K thì cần áp xuất P = 25 atm). Ở dưới nhiệt độ tới hạn TC 4He không sôi, nghĩa là độ dẫn nhiệt là lớn vô cùng. Nếu cho He II vào ống nghiệm hình trụ treo bằng sợi dây mảnh và khảo sát tần số dao động xoắn của ống hình trụ thì người ta thấy rằng có sự truyền xung lượng của thành bình chứa cho He II, nghĩa là trong một số điều kiện thí nghiệm thì độ nhớt không bằng không. Điều này có thể giải thích nếu giả thiết He II là chất lỏng hai thành phần; thành phần siêu chảy với mật độ s không có độ nhớt và thành phần chất lỏng thông thường với mật độ n . Trong thí nghiệm với dòng chất lỏng trong ống nghiệm thì thành phần siêu chảy tham gia, còn trong thí nghiệm với con lắc xoắn thì thành phần chất lỏng thông thường nhận xung lượng của thành bình. Nhiệt dung riêng ở điểm chuyển pha có dạng sau ( H.2.1) trong đó v pC C . Vì sự phụ thuộc nhiệt độ của nhiệt dung riêng có dạng chữ  nên đôi khi chuyển pha này được gọi là chuyển pha . 13 Hình 2.1 Sự phụ thuộc của nhiệt dung vào nhiệt độ. Tóm lại là ở 4.2   , 4He ở thể khí hoặc hơi bình thường, khi nhiệt độ xuống dưới 4.2K, với áp suất khí quyển 4He chuyển từ pha khí sang pha rắn. Khi hạ tiếp nhiệt độ xuống tới 2.17c   4He tiếp tục ở pha lỏng He I. Khi c  , chất lỏng 4He chuyển động tập thể không có độ nhớt - pha He II. Khi áp suất tăng (quãng 2.5MPa) thì pha rắn với cấu trúc lập phương tâm khối xuất hiện. Như vậy ở nhiệt độ thấp 4He có bốn pha, trong đó hai pha lỏng siêu chảy và lỏng thông thường được ngăn cách bằng đường  Trong hình dưới là giản đồ pha của He. 4 T (K) 1 2 3 5 Cv 6 T3 14 2.2. LÝ THUYẾT CHẤT LỎNG HAI THÀNH PHẦN VÀ TIÊU CHÍ LANDAU 2.2.1. Lý thuyết bán hiện tượng luận của Landau [13] Lý thuyết bán hiện tượng luận chất lỏng hai thành phần được Landau đề xuất vào năm 1941 để giải thích hiện tượng siêu chảy. Nội dung của lý thuyết này là: He II gồm chất lỏng siêu chảy có độ nhớt bằng không và các kích thích, được coi như là các phonon với nồng độ n (tương tự mô hình tinh thể gồm mạng tinh thể và các kích thích tập thể dao động mạng gọi là phonon). Các 1 2 3 4 5 T (K) 5 10 15 20 25 P (atm) 30 35 40 45 6 T = 2.22K P = 2.29 atm Khí He I (chất lỏng thông thường) 4He II (siêu chảy) He I (rắn) T = 1,743K P = 29,09 atm H.2.2. Giản đồ pha của 4He He II: pha siêu chảy He I: Pha lỏng thông thường 15 kích thích này đóng vai trò là thành phần chất lỏng thông thường. Đại lượng n được đưa vào một cách giả định mà không phải là mật độ cụ thể nào. Từ giả thiết về các phonon suy ra ngay nhiệt dung riêng của He II ở nhiệt độ thấp tỷ lệ 3 vì đó là đóng góp của phonon. Tổng nồng độ hai thành phần chất lỏng của He II là không đổi nhưng tỷ số của chúng n s   có thể thay đổi, nhưng khi n thay đổi thì nhiệt độ thay đổi. Điều này dẫn tới sự xuất hiện của một loại dao động mới, được gọi là sóng âm thứ hai, để phân biệt với phonon –được gọi là sóng âm thứ nhất. Bản chất của sóng âm thứ hai là sự lan truyền của dao động nhiệt độ và có thể kích thích bằng các xung nhiệt độ thay vì là các xung áp suất đối với phonon. Sóng âm thứ hai có thể coi như sóng của mật độ trong khí phonon. Nếu như vậy thì vận tốc sóng âm thứ hai sẽ bằng 1 3 vận tốc sóng âm thứ nhất bởi vì từ phương trình chung của thủy động học có thể chứng minh rằng nếu vận tốc của các hạt trong chất lỏng là c thì vận tốc sóng âm trong chất lỏng đó là 3 c . Tiên đoán lý thuyết này của Landau sau đó đã được xác nhận bằng thực nghiệm. Để giải thích các đại lượng đo được bằng thực nghiệm ở pha He II lân cận điểm  , Landau giả thiết sự tồn tại một loại kích thích khác nữa và được gọi là roton với phổ năng lượng phụ thuộc xung lượng của phonon và roton có dạng như sau: Hình 2.3 . Phổ phonon và roton theo Landau E(P) P Phonon roton 16 Ở nhiệt độ thấp, phổ năng lượng kích thích có dạng   cp P  và các kích thích là phonon, ở xung lượng lân cận 0 , các kích thích là roton và năng lượng kích thích có dạng: 2 0( )( ) 2    p p p  (2.1) Ở công thức trên 8,5  K , 0,16 Hem là khối lượng hiệu dụng còn 8 1 0p 1,9.10 cm  Sau này lý thuyết bán hiện tượng luận của Landau cũng được xác nhận bằng lý thuyết vi mô. 2.2.2. Tiêu chí của Landau về vận tốc siêu chảy tới hạn [13]. Xét chất lỏng ở T= 0 K, mọi hạt ở trạng thái cơ bản và chuyển động tương đối so với ống chứa với vận tốc không đổi u . Nếu chất lỏng có độ nhớt thì do ma sát với mặt ống mà động năng giảm. Ta coi quá trình giảm vận tốc là thông qua quá trình sinh ra các kích thích cơ bản (kiểu như chuẩn hạt Bogoliubov trong khí Bose có tương tác. Xét hệ quy chiếu K gắn với chất lỏng (chuyển động với vận tốc u với hệ phòng thí nghiệm). Trong hệ quy chiếu này chất lỏng đứng yên. Nếu một kích thích cơ bản với xung lượng p sinh ra trong chất lỏng thì năng lượng của toàn bộ chất lỏng trong hệ quy chiếu K sẽ là  0E p , trong đó 0E là năng lượng trạng thái cơ bản của chất lỏng ( vì ở T = 0 K), còn  p là năng lượng kích thích cơ bản Bây giờ ta xét trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm K’. Hệ quy chiếu phòng thí nghiệm K’ sẽ chuyển động so với K với vận tốc -u . Ta xét biến đổi Galileo dạng tổng quát. Xét một vật có năng lượng E và xung lượng P trong hệ quy chiếu K. Chuyển sang hệ quy chiếu 'K , chuyển động với vận tốc V so với K theo hướng X: 'P P MV  (2.2) 17 ' ' 2 ' 2 ' 1 2 2 X X Vt v v V P E P MV M M              21 2 E PV MV   (2.3) Thay V =-u vào (2.2) và (2.3) ta có:   ' ' 21 . 2 o P p M u E E p p u M u           (2.4) Nếu không có kích thích thì ' ' 21 2 o P M u E E M u        (2.5) Tức là khi có kích thích cơ bản thì xung lượng chất lỏng thay đổi một lượng p còn năng lượng thay đổi   . 0p p u   , hay:   . . 0p p u p u     và  p u p   Vậy muốn có siêu chảy thì trong hệ không được có kích thích cơ bản, tức là vận tốc chảy của chất lỏng phải nhỏ hơn vận tốc tới hạn   minc p p v p   (2.6) ( min p có nghĩa là phải tìm cực tiểu trong cả khoảng giá trị của p ) Đây là tiêu chí của Landau về vận tốc tới hạn siêu chảy.. Áp dụng cho khí Bose lý tưởng ta có: 18     2 2 min 0c p p m p v p      Nghĩa là không có siêu chảy nếu hệ boson không tương tác. Hệ boson có tương tác nói chung không thể giải một cách chính xác để thu nghiệm giải tích. Tuy nhiên, bằng một số gần đúng thích hợp, người ta có thể thu được các kết quả sau cho phổ kích thích của hệ khi tương tác là yếu (H.2.4a) và khi tương tác là mạnh (H.2.4b). Hình 2.4: a) Phổ kích thích khi tương tác yếu. b) Phổ kích thích khi tương tác mạnh Ta thấy khi tương tác yếu, hình 2.4a cho ta dạng 2.3 như lý thuyết của Landau. 2.3. MỐI LIÊN HỆ GIỮA BEC VÀ SIÊU CHẢY [13,14,16] 2.3.1. Đánh giá chung Nhiều người cho rằng siêu chảy có liên quan chặt chẽ với BEC, trong đó phần chất lỏng siêu chảy chính là các boson ở trong ngưng tụ. Tuy nhiên, giữa BEC và siêu chảy không có mối quan hệ đơn nhất, cụ thể là BEC không là điều kiện cần và đủ của siêu chảy. Chẳng hạn, ở các hệ thấp chiều như các nguyên tử bị bẫy trong không gian hai chiều tính chất siêu chảy không kèm theo ngưng tụ Bose- Einstein. Hay qua thí dụ ở trên, hệ boson lý tưởng bao giờ cũng có BEC ở nhiệt độ thấp nhưng muốn có siêu chảy thì phải có tương tác để phổ kích thích Roton 19 phụ thuộc tuyến tính vào xung lượng ở gần đúng sóng dài để thoả mãn tiêu chí Landau. Ta so sánh cụ thể siêu chảy của hệ 4He với các kết quả lý thuyết về BEC tính toán trên giả thiết hệ nguyên tử He tự do. Trước hết 4He là hệ các boson mà tính chất siêu chảy và ngưng tụ Bose- Einstein đều ở nhiệt độ thấp. Ta thực hiện một số đánh giá định lượng sau. Trước hết so sánh nhiệt độ chuyển pha BEC tính lý thuyết với nhiệt độ chuyển pha siêu chảy thực nghiệm. Thay số cho hệ 4He vào công thức (1.16) ta có: 2 2 2/3 2 1 .3,31. 3,31 3,07C B B T n K k m ma k         (2.7) Ta thu được nhiệt độ TC chuyển pha BEC cho hệ bosons lý tưởng cũng khá gần nhiệt độ chuyển pha TC siêu chảy đo thực nghiệm (2,17K). Ta xét mật độ ngưng tụ hạt trong ngưng tụ ở pha BEC cho hệ 4He tự do theo công thức (1.18 ). Nếu ta coi BEC gồm 2 thành phần: với số hạt No (tương ứng siêu chảy) và với số hạt NT (chất lỏng bình thường). Từ (1.18) ta có đồ thị so sánh tỷ số nồng độ hạt ở hai pha giữa lý thuyết BEC và thực nghiệm trong hình 2.5 20 Hình 2.5: So sánh tỷ số nồng độ hạt ở hai pha Bây giờ ta so sánh sự phụ thuộc nhiệt dung riêng CV vào T của BEC tính theo ( 1.21 ) với kết quả thực nghiệm siêu chảy. T (K) 2 0.5 1 1.5 2.5 3 Thực nghiệm 0.5 1 Lý thuyết BEC 21 Hình 2.6 So sánh sự phụ thuộc nhiệt dung riêng vào nhiệt độ. Các so sánh thực nghiệm siêu chảy với lý thuyết hệ khí boson He tự do ở trên là cơ sở để giả thiết rằng có mối liên quan trực tiếp giữa BEC và siêu chảy của 4He. 2.3.2: Hàm sóng vĩ mô [13] Ma trận mật độ một hạt của hệ nhiều hạt định nghĩa như sau: (2.8) Trong đó và là các toán tử trường (hủy và sinh hạt tại r  ), ký hiệu là lấy trong bình nhiệt động học (khi N, V   thì N/V = constant, N là số hạt, V là thể tích). Trung bình của toán tử Aˆ tương ứng với đại lượng vật lý A định nghĩa là T (K) 2,4 1,6 2 2,2 2,8 3,2 Thực nghiệm 2 4 Thực nghiệm BEC bose gas 6 8 10 12 1,2 . Phụ thuộc Cv vào T 22 ˆ ˆˆA Tr A (2.9) trong đó ˆ là ma trận mật độ ứng với Hamiltonian đã cho. Nếu 'rr   thì ma trận mật độ một hạt )(),()',()1( rnrrnrrn   được gọi là mật độ chéo (diagonal density) hay phân bố một hạt. Phân tích toán từ trường dưới dạng (2.10) với ˆ ˆ,i ia a  là toán tử hủy (sinh) hạt ở trạng thái i. Tách số hạng với i=0 ứng với trạng thái cơ bản trong (2.10): (2.11) Theo Bogoliubov, vì số hạt trong ngưng tụ 1 No   oo aa nên có thể coi gần đúng 0aˆ và 0aˆ  là c số: oN~ . Nguyên nhân là giao hoán tử của hai toán tử sinh hủy bằng một, còn bản thân toán tử 1~ oN nên có thể bỏ qua giao hoán tử của chúng và coi 0aˆ và 0aˆ  là c số. Lúc đó ooaˆ ~ ( )o oN r được xem như là trường cổ điển và (2.11) trở thành : (2.12) với Cho hệ khí Bose loãng, ở nhiệt độ T nhỏ, có thể bỏ qua và làm việc với trường cổ điển và hệ coi như cổ điển (giống như giới hạn cổ điển trong điện động lực, khi trường photon thay bằng trường điện từ cổ điển). Hàm ( )o r được coi là hàm sóng của ngưng tụ và đóng vai trò là tham số trật tự. Đây là đại lượng phức: (2.13) 23 o xác định phần đóng góp của ngưng tụ vào mật độ chéo, còn thừa số pha S(r) đóng vai trò chính trong hiện tượng kết hợp và siêu chảy. Ở T > TC thì ( ) 0o r  . Toán tử trường xác định chính xác tới thừa số pha e i mà không thay đổi gì tính chất của hệ (Hamiltonian không thay đổi), nghĩa là hệ ban đầu có đối xứng gauge. Nhưng khi chọn hàm sóng với pha xác định thì vectơ trạng thái không còn đối xứng gauge nữa tức là đã phá vỡ đối xứng gauge. Như vậy sự tồn tại của hàm song dạng (2.13) liên quan tới phá vỡ đối xứng gauge tự phát. Từ cơ học lượng từ; vận tốc k mm p v     của hạt bằng tác dụng của toán tử vận tốc lên hàm sóng (2.14) Trong pha BEC thì n(1)(r,r ') = fˆ+(r) ⌢ f(r ') @ n o , nên coi oo nr )( ; số hạng đầu bằng không. Vậy suy ra: (2.15) Công thức (2.15) cho thấy mối liên hệ trực tiếp giữa vận tốc siêu chảy và pha của hàm sóng BEC. 2.4. SIÊU TINH THỂ 2.4.1. Khái niệm pha siêu tinh thể Pha siêu tinh thể được đề xuất từ cách đây hơn 50 năm [8,9]. Sau khi phát hiện siêu chảy của He, một câu hỏi xuất hiện là có thể tồn tại đồng thời pha rắn tinh thể và pha siêu chảy, nhất là khi 4He có thể ở trạng thái rắn khi áp xuất p > 25 atm, và nhiệt độ T nhỏ. Thoạt nhìn thì pha tinh thể là sự sắp xếp có trật tự của các nguyên tử còn pha siêu chảy là sự chuyển động tự do của các nguyên tử, như hai pha này cùng đồng tồn tại là vô lý. Ta sẽ xem xét vấn đề từ quan điểm chuyển pha của Landau. 24 2.4.1.1. Trật tự tầm xa chéo và pha tinh thể. Như trên đã nói, trong công thức (2.8) ta đặt 'rr   thì ma trận mật độ một hạt )(),()',()1( rnrrnrrn   được gọi là mật độ chéo (diagonal density). Nếu )(rn  thỏa mãn: )()( rnarn    (2.17) trong đó a  là bộ các vecto bất kỳ, khác không, thì người ta nói rằng hệ có trật tự tầm xa chéo (DLRO-Diagonal Long Range Order). Với tinh thể với các nguyên tử ở nút mạng, khi không kể tới dao động mạng, ta luôn có mật độ nguyên tử thoả mãn: (2.18) Ta thấy (2.18) là trường hợp riêng của (2.17). Trong không gian liên tục, đồng nhất và đẳng hướng, không có trường ngoài thì Hamiltonian có đối xứng tịnh tiến, tức là bất biến khi dịch chuyển tọa độ với bất kỳ một vectơ cơ sở nào và trạng thái với )(rn  bằng hằng số trong toàn không gian là một vectơ riêng của Hamiltonian. Điều kiện (2.17) có nghĩa là hệ chỉ bất biến với phép tịnh tiến với vecto a  , nghĩa là bất biến tịnh tiến bị phá vỡ một cách tự phát (Hamiltonian ban đầu bất biến, nhưng vectơ trạng thái không còn bất biến). Người ta nói rằng, pha tinh thể đã phá vỡ đối xứng tịnh tiến tự phát và có tham số trật tự chéo. “Tự phát” có nghĩa là không cần thêm vào một số hạng phá vỡ đối xứng vào Hamiltonian ban đầu. Pha lỏng là khi mật độ hạt )(rn  là hằng trong toàn chất lỏng, nên không phá vỡ đối xứng tịnh tiến và không có DLRO. Tương tự như vậy, trong lý thuyết từ, Hamiltonian Heisenberg ban đầu bất biến với phép quay trong không gian spin, nhưng trạng thái sắt từ và phản sắt từ có từ hóa theo một hướng (thí dụ oz); tức là đối xứng quay bị phá vỡ một cách tự phát. Tham số trật tự là độ từ hóa zS . 2.4.1.2. Trật tự tầm xa không chéo và siêu chảy. 25 Trong công thức (2.8), nếu n(1)(r,r’)  no0 khi |r-r’|  ∞ thì ta nói rằng hệ có trật tự tầm xa không chéo (ODLRO – Off Diagonal Long Range Order). Ý nghĩa của ODLRO là sự có mặt của hạt ở 'r và sự có mặt của hạt ở r là hai sự kiện ảnh hưởng qua lại lẫn nhau. Mở rộng cho trường hợp các hạt phân bố trên mạng, nếu (1) ˆ ˆ 0ij i j on a a n    khi độ lớn của  ji RR  thì nói rằng hệ hạt trên mạng có trật tự tầm xa không chéo ( ở đây ˆ ia và ˆia  là các toán tử hủy và sinh hạt ở iR  chứ không phải là toán tử sinh hủy hạt ở trạng thái )(ri   ). Như vậy hàm ( )o r được coi là hàm sóng của ngưng tụ như được định nghĩa ở (2.14) đóng vai trò là tham số trật tự tầm xa không chéo, trong đó phần modun o là đóng góp của ngưng tụ BEC, còn thừa số pha S(r) đóng vai trò chính trong hiện tượng siêu chảy. Từ những trình bày ở đây ta thấy sự tồn tại pha siêu chảy không mâu thuẫn với sự có mặt của pha tinh thể. Pha tinh thể là trật tự trong không gian thực, với tham số trật tự tầm xa chéo, phá vỡ đối xứng tịnh tiến tự phát. Pha siêu lỏng là trật tự trong không gian xung lượng, với tham số trật tự tầm xa không chéo phá vỡ đối xứng gauge tự phát (kết hợp pha trên toàn hệ). 2.4.2. Kết quả thực nghiệm về siêu tinh thể trong He 4 [10,11] Những thí nghiệm đầu tiên về siêu tinh thể được thực hiện với He. Pha tinh thể có thể xác định bằng bằng tán xạ Bragg. Còn pha siêu chảy trong vật rắn có thể dùng phép đo moment quán tính không cổ điển do Leggett đề xuất. Giả sử ta có một bình chứa và vật ở trong bình, ta cho bình chứa đó quay với vận tốc góc w. Moment quán tính của cả hệ bằng tổng moment của bình chứa Ibình và của vật Ivật: Icl = Ibình + Ivật. Tổng moment quán tính Icl là moment quán tính cổ điển. Bây giờ trong bình ta chứa vật liệu sinh thể với No nguyên tử siêu chảy. Nếu vận tốc quay v = wr < vC , vì không có ma sát nên các nguyên tử này không 26 quay theo (r là khoảng cách từ nguyên tử siêu chảy tới trục quay). Vì vậy momen quán tính I của vật liệu siêu tinh thể (moment quán tính không cổ điển) nhỏ hơn moment quán tính cổ điển. Tỷ số clI I cho ta biết tỷ lệ số nguyên tử siêu chảy so với số nguyên tử bình thường. cl s I I N N 1 (2.19) Công thức (2.19) là cơ sở của phép đo momen quán tính không cổ điển. Năm 2004, trong một thí nghiệm tinh tế đo dao động xoắn của Heli 4 ở thể rắn, Chan và Kim [10] đã cho rằng tồn tại pha siêu tinh thể dựa trên sự giảm tần số dao động ở nhiệt độ thấp của Heli 4. Sau đó đã có rất nhiều công trình thực nghiệm nghiên cứu vấn đề này [xem 12 và tài liệu trích dẫn trong đó] Năm 2012 một số thực nghiệm cho thấy sự thay đổi của hệ số đàn hồi xoắn ở nhiệt độ thấp cũng có thể cho hiệu ứng về sự thay đổi tần số con lắc xoắn cùng bậc với giả thiết do siêu chảy [11], vì vậy các kết luận về sự tồn tại pha siêu tinh thể là không hiển nhiên [11]. Năm 2015 một số tác giả thực hiện các thí nghiệm với dao động xoắn chế độ đôi và ba cho rằng có sự tồn tại siêu tinh thể . Tuy nhiên hiện nay sự tồn tại pha siêu tinh thể trong He 4 vẫn chưa được khẳng định một cách chắc chắn. 2.4.3. Siêu tinh thể trong mạng quang học Những tiến bộ trong kỹ thuật bẫy quang học và tạo nhiệt độ siêu lạnh đã mở ra nhiều triển vọng mới trong việc phát hiện pha siêu tinh thể. Bằng cách phối hợp các chùm laser và từ trường người ta có thể tạo nên hệ các nguyên tử trung hòa phân bố trên các mạng có cấu trúc đa dạng : mạng hình vuông, mạng tam giác, mạng tổ ongNgoài ra tương tác giữa các nguyên tử trên mỗi nút, tương tác giữa các nút, cũng như xác xuất nhảy nút có thể điều khiển được bằng cách thay đổi điều kiện thí nghiệm. Điều này đã khích lệ các nhà lý thuyết nghiên cứu những hiệu ứng vật lý trên các mô hình rất đa dạng. Về mặt thực nghiệm, có nhiều kết quả đã chỉ ra rằng có dấu hiệu tồn tại trạng thái siêu tinh thể trong các khí nguyên tử lưỡng cực như khí Cr, Dy, Er ở nhiệt độ siêu