Luận văn Nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh tìm điểm bất động chung cho một họ vô hạn ánh xạ giả co chặt

+ ...+ km−1) d (x0, x1) ≤ kn (1 + k + ...+ km−n−1 + ...) d (x0, x1) ≤ k n 1− kd (x0, x1) . 11 Vì k ∈ [0, 1) nên kn → 0 khi n → ∞. Do đó, {xn} là dãy Cauchy. Mặt khác (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ nên {xn} hội tụ đến một phần tử x∗ ∈ X . Với mỗi n ta có 0 ≤ d (x∗, T (x∗)) ≤ d (x∗, xn) + d (xn, T (x∗)) ≤ d (x∗, xn) + d(T (xn−1), T (x∗)) ≤ d (x∗, xn) + kd (xn−1, x∗) . (1.9) Cho n→∞ ta được 0 ≤ d(x∗, T (x∗)) ≤ 0, từ đó suy ra d (x∗, Tx∗) = 0, tức là T (x∗) = x∗. Giả sử còn có y∗ ∈ X mà T (y∗) = y∗ thì ta có d (x∗, y∗) = d (T (x∗), T (y∗)) ≤ kd (x∗, y∗) . Vì k ∈ [0, 1) nên d (x∗, y∗) = 0, tức là x∗ = y∗. Vậy điểm bất động của T là duy nhất và nguyên lý đã được chứng minh. 1.3. Bài toán đặt không chỉnh 1.3.1. Khái niệm về bài toán chỉnh và không chỉnh Khái niệm về bài toán chỉnh được J. Hadamard đưa ra khi nghiên cứu ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của phương trình elliptic cũng như parabolic. Việc tìm nghiệm x của bất kỳ bài toán nào cũng phải dựa vào dữ kiện ban đầu f , có nghĩa x = R(f). Ta sẽ coi nghiệm cũng như các dữ kiện đó là những phần tử thuộc không gian X và Y với các độ đo tương ứng ρX(x1, x2) và ρY (f1, f2), với x1, x2 ∈ X; y1, y2 ∈ Y . Giả sử đã có một khái niệm thế nào là nghiệm của một bài toán. Khi đó, bài toán tìm nghiệm x = R(f) được gọi là ổn định trên cặp không gian 12 (X, Y ), nếu với mỗi  > 0 có thể tìm được một số δ() > 0, sao cho từ ρY (f1, f2) ≤ δ() cho ta ρX(x1, x2) ≤ , ở đây x1 = R(f1), x2 = R(f2), x1, x2 ∈ X; y1, y2 ∈ Y Xét bài toán ở dạng phương trình A(x) = f (1.10) ở đây, A là ánh xạ từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y và f là phần tử thuộc Y . Định nghĩa 1.4 (Xem [1] ) Cho A : X −→ Y là một ánh xạ từ không gian mêtric X vào không gian mêtric Y . Bài toán (1.10) được gọi là bài toán đặt chỉnh nếu thỏa mãn các điều kiện sau: 1. phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ; 2. nghiệm này là duy nhất; 3. và nghiệm này phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn thì bài toán (1.10) được gọi là bài toán đặt không chỉnh. Đôi khi người ta còn gọi là bài toán đặt không chính quy hoặc bài toán thiết lập không đúng đắn. Cũng cần lưu ý rằng, một bài toán có thể thiết lập không đúng đắn trên cặp không gian metric này, nhưng lại thiết lập đúng đắn trên cặp không gian metric khác. Đối với bài toán tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.10), với dữ kiện ban đầu ở đây là A và vế phải f , trong nhiều áp dụng, thay cho giá trị chính xác (A, f), ta chỉ biết được các xấp xỉ (Ah, fδ) của chúng. Ta giả sử rằng ánh xạ A cho trước một cách chính xác, còn vế phải f cho bởi fδ thỏa mãn 13 ρY (fδ, f) ≤ δ. Như vậy, với (fδ, δ) ta cần tìm một phần tử xδ ∈ X hội tụ đến x0, nghiệm chính xác của phương trình (1.10), khi δ → 0. Phần tử xδ có tính chất như vậy được gọi là nghiệm xấp xỉ của bài toán không chỉnh trên. Mục tiếp theo sau đây, chúng tôi trình bày một số phương pháp hiệu chỉnh để tìm nghiệm xấp xỉ xδ. 1.3.2. Các phương pháp hiệu chỉnh • Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Nội dung của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình (1.10) dựa trên việc tìm phần tử cực tiểu xδα của phiếm hàm Tikhonov F δα(x) = ‖A(x)− fδ‖2 + α ‖x− x∗‖2 (1.11) ở đây, α > 0 là tham số hiệu chỉnh. Kết quả của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là với điều kiện đặt cho ánh xạ A và với cách chọn tham số α thích hợp, phần tử cực tiểu xδα là xấp xỉ tốt cho nghiệm x0 của bài toán (1.10). Định lý sau đây chỉ ra rằng bài toán cực tiểu phiếm hàm Tikhonov là bài toán đặt chỉnh. Định lí 1.2 (Xem [10]) Cho A là một ánh xạ phi tuyến từ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y , α > 0 là tham số hiệu chỉnh và {xk} là một dãy nghiệm của của (1.11), với fδ thay bởi fk sao cho fk → fδ. Khi đó, tồn tại một dãy con hội tụ của dãy {xk} và giới hạn của mọi dãy con hội tụ đều là nghiệm của (1.11). Định lý sau đây là kết quả hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh tới x0 - nghiệm của bài toán (1.10) Định lí 1.3 (Xem [10]) Cho A là một ánh xạ phi tuyến liên tục và đóng yếu từ 14 không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y . Giả sử rằng S0 = {x ∈ X : Ax = f} 6= ∅, fδ ∈ Y thỏa mãn ‖fδ − f‖ ≤ δ và tham số α(δ) được chọn sao cho α(δ)→ 0, δ 2 α → 0 khi δ → 0. Khi đó, mỗi dãy {xδkαk}, ở đây δk → 0, αk = α(δk) và x δk αk là nghiệm của (1.11), đều chứa dãy con hội tụ. Giới hạn của mọi dãy con hội tụ đều là nghiệm x∗ - chuẩn nhỏ nhất của (1.10). Ngoài ra, nếu x0 có x∗ - chuẩn nhỏ nhất là duy nhất thì lim δ→0 xδα(δ) = x0. ở đây, nghiệm x0 có x∗ - chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là nghiệm x0 thỏa mãn: A(x0) = f và ‖x0 − x∗‖ = min{‖x− x∗‖ : A(x) = f}. • Phương pháp hiệu chỉnh Lavrentive Tư tưởng chủ yếu của thuật toán màM.M. Lavrentive đề xuất là thay phương trình đang xét bằng phương trình xấp xỉ giải được với mọi vế phải và nghiệm này phụ thuộc liên tục vào vế phải trong không gian Hilbert thực H . Bằng phương pháp này nghiệm hiệu chỉnh của bài toán (1.10) được xây dựng trên cơ sở của phương trình sau: A(x) + α(x− x∗) = fδ. (1.12) Sự tồn tại nghiệm của bài toán (1.12) được trình bày trong định lý sau: Định lí 1.4 (Xem [15]) Giả sử x0 ∈ D(A) là nghiệm của phương trình (1.10) và A : D(A) −→ H là ánh xạ đơn điệu và khả vi Fréchet trong hình cầu Br(x0) ⊂ D(A) với bán kính r = ‖x0 − x∗‖ + δ α . Khi đó, phương trình (1.12) có nghiệm duy nhất xδα ∈ Br(x0). Định lý sau đây là kết quả hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh xδα tới x0 - nghiệm của bài toán (1.10). 15 Định lí 1.5 (Xem [15]) Giả sử x0 ∈ D(A) là nghiệm của bài toán (1.10) và xδα ∈ Br(x0) là nghiệm duy nhất của bài toán (1.12). Hơn nữa, nếu giả thiết các điều kiện sau thỏa mãn: (i) A là ánh xạ đơn điệu, khả vi Fréchet; (ii) tồn tại phần tử z ∈ X sao cho x0 − x∗ = A′(x0)z; (iii) tồn tại hằng số L ≥ 0 sao cho ‖A′(x)− A′(x)‖ ≤ L ‖x− y‖ với mọi x, y ∈ Br(x0), ở đây Br(x0) ⊂ D(A) là hình cầu tâm x0 bán kính r = α ‖z‖. Khi đó, với mọi α > 0 ta có:∥∥xδα − x0∥∥ ≤ δα + (‖z‖+ L2 ‖z‖2)α. Nếu tham số hiệu chỉnh α được chọn sao cho α ∼ √δ, thì∥∥xδα − x0∥∥ = O(√δ). • Phương pháp hiệu chỉnh Browder - Tikhonov Trước khi trình bày một số kết quả của phương pháp hiệu chỉnh Browder - Tikhonov cho bài toán đặt không chỉnh, chúng tôi nhắc lại khái niệm sau: Cho E là một không gian Banach phản xạ, E∗ là không gian liên hợp của E. Cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là ‖ã‖. Ta viết 〈x∗, x〉 thay cho x∗(x), với x∗ ∈ E∗ và x ∈ E. ánh xạ U s : E −→ E∗ (nói chung là đa trị) được định nghĩa bởi: U s(x) = {x∗ ∈ E : 〈x∗, x〉 = ‖x∗‖s−1 ‖x‖ = ‖x‖s}, s ≥ 2 (1.13) gọi là ánh xạ đối ngẫu của E. Khi s = 2 thì U s được viết là U và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E. Trong trường hợp E là một không gian Hilbert thì U = I , ở đây I là ánh xạ đơn vị trong E. Ta có bổ đề sau: 16 Bổ đề 1.1 (Xem[1]) Cho E là một không gian Banach thực, E∗ là không gian liên hợp của E, f ∈ E∗ và A : E −→ E∗ là ánh xạ h-liên tục từ E vào E∗, tức là ánh xạ A thỏa mãn tính chất: A(x+ ht) ⇀ Ax khi t→ 0+,∀x, y ∈ E Khi đó, nếu tồn tại x0 ∈ E thỏa mãn bất đẳng thức 〈A(x)− f, x− x0〉 ≥ 0 ∀x ∈ E thì x0 là nghiệm của phương trình A(x) = f . Bổ đề (1.1) gọi là bổ đề Minty, tên một nhà toán học Mỹ, người đã chứng minh sự kiện trên trong không gian Hilbert. Sau này chính ông và Browder đã chứng minh một cách độc lập cho không gian Banach Tư tưởng của phương pháp hiệu chỉnh do Browder đề xuất năm 1966 cho bài toán bất đẳng thức biến phân (còn gọi là phương pháp hiệu chỉnh Browder - Tikhonov) là đưa vào toán tử M : E −→ E∗ có tính chất h- liên tục, đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh. Một dạng của toán tửM là ánh xạ đối ngẫu U s của E. Bằng phương pháp này, Alber [3] đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình (1.10) trên cơ sở phương trình A(x) + αU s(x− x∗) = fδ. (1.14) Giả sử rằng E là không gian Banach thực có tính chất Ephimov - Stechkin (viết tắt là tính chất E - S), nghĩa là trong E có sự hội tụ yếu của các phần tử (xn ⇀ x) và sự hội tụ theo chuẩn (‖xn‖ → ‖x‖) luôn kéo theo sự hội tụ mạnh (‖xn − x‖ → 0), E∗ là không gian lồi chặt. Ta có kết quả sau: Định lí 1.6 (Xem [1]) Cho A : E −→ E∗ là một ánh xạ đơn điệu và h-liên tục. Khi đó, với mỗi α > 0 và fδ ∈ E∗, phương trình (1.14) có duy nhất 17 nghiệm xδα. Ngoài ra, nếu α, δ α → 0 thì xδα hội tụ đến nghiệm x0 có x∗ - chuẩn nhỏ nhất của bài toán (1.10). 1.4. Nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân 1.4.1. Bài toán bất đẳng thức biến phân Bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệu lần đầu tiên bởi các nhà toán học Kinderlehrer và Stampacchia [12] vào năm 1980. Những nghiên cứu đầu tiên về bài toán này liên quan đến việc giải các bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên có dạng của phương trình đạo hàm riêng. Từ đó bài toán bất đẳng thức biến phân có những bước phát triển mạnh mẽ và trở thành một vấn đề được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Sau đây chúng tôi phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân dưới dạng cổ điển. • Phát biểu bài toán Cho H là không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi đóng của H và F : C −→ H là một ánh xạ liên tục. Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển của ánh xạ đơn trị, viết tắt là V I(F,C), được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho: 〈F (x∗), x− x∗〉 ≥ 0 ∀x ∈ C. (1.15) Tập hợp những điểm x∗ ∈ C thỏa mãn (1.15) được gọi là tập nghiệm của bài toán V I(F,C). • Mối quan hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân với một số bài toán khác Bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F,C) có mối quan hệ mật thiết với một số bài toán khác trong giải tích, như là: bài toán quy hoạch lồi, bài toán 18 bù phi tuyến và bài toán điểm bất động. +) Bài toán quy hoạch lồi Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H và f : C −→ H là một hàm lồi trên C. Bài toán quy hoạch lồi được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho: f(x∗) = min{f(x)|x ∈ C}. (1.16) Mệnh đề sau đây cho biết mối quan hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán quy hoạch lồi. Mệnh đề 1.3 ( Xem [12]) Cho C là một tập con lồi khác rỗng của không gian Hilbert H và f : C −→ H là một hàm lồi, khả vi trên C. Khi đó, x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (1.16) khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của bài toán (1.15), với F (x) = f ′(x). +) Bài toán bù phi tuyến Trước khi phát biểu bài toán bù phi tuyến chúng tôi cần nhắc lại một vài khái niệm sau: Một tập con C ⊂ H được gọi là nón nếu, với mọi x ∈ C và hằng số λ > 0 ta có λx ∈ C. Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi. Như vậy, một tập lồi C là một nón lồi khi và chỉ khi có các tính chất sau: (i) λC ⊆ C; (ii) C + C ⊆ C. Cho C là một nón lồi trong không gian Hilbert H và F : C −→ H là một ánh xạ liên tục. Bài toán bù phi tuyến của ánh xạ đơn trị được phát biểu như sau: 19 Tìm x∗ ∈ C sao cho: 〈F (x∗), x∗〉 = 0, (1.17) trong đó F (x∗) ∈ C∗, với C∗ là nón đối ngẫu của C, được định nghĩa là: C∗ := {x ∈ H : 〈x, y〉 ≥ 0, ∀ y ∈ C}. Rõ ràng bài toán bù phi tuyến là bài toán: Tìm x∗ ∈ C và F (x∗) ∈ C∗ sao cho: C 3 x∗ ⊥ F (x∗) ∈ C∗ (1.18) Ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.4 ( Xem [12])Nếu C là một nón lồi đóng trong không gian Hilbert H thì, bài toán bù (1.17) tương đương với bài toán bất đẳng thức biến phân (1.15). +) Bài toán điểm bất động Đề tiện cho việc trình bày, chúng tôi xin nhắc lại khái niệm bài toán điểm bất động của ánh xạ đơn trị. Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H và T : C −→ C là một ánh xạ liên tục. Bài toán điểm bất động được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho x∗ = T (x∗). (1.19) Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 1.5 ( Xem [12]) Nếu ánh xạ F xác định bởi F (x) := x− T (x), ∀x ∈ C 20 thì bài toán điểm bất động (1.19) tương đương với bài toán bất đẳng thức biến phân (1.15). • Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F,C) phụ thuộc vào hàm F và miền ràng buộc C. Định lí sau cho ta biết điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán V I(F,C) trong không gian Hilbert. Định lí 1.7 (Xem [12]) Cho C là một tập con lồi, compact của không gian Hilbert H và F : C −→ H là một ánh xạ đơn điệu, liên tục trên C. Khi đó, tồn tại x∗ ∈ C sao cho 〈F (x∗), x− x∗〉 ≥ 0 ∀x ∈ C. Giả sử rằng, C là một tập con lồi đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H . Kí hiệu ∑ R = {u : ‖u‖ ≤ R} là hình cầu đóng tâm O ∈ H , bán kính R. Khi đó, CR = C ⋂∑ R là một tập lồi compact. Theo định lí (1.7), ta có: xR ∈ CR : 〈F (xR), x− xR〉 ≥ 0 ∀x ∈ CR. Định lý tiếp theo sau đây là điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán V I(F,C). Định lí 1.8 (Xem [12]) Cho C là một tập con lồi đóng và khác rỗng của không gian HilbertH và F : C −→ H là một ánh xạ đơn điệu, liên tục trên C. Điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân x∗ ∈ C : 〈F (x∗), x− x∗〉 ≥ 0 ∀x ∈ C là tồn tại R > 0 sao cho có ít nhất một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân xR ∈ CR : 〈F (xR), x− xR〉 ≥ 0 ∀x ∈ CR 21 thỏa mãn điều kiện ‖xR‖ < R. Hệ quả 1.1 Cho C là một tập con lồi đóng và khác rỗng của không gian Hilbert H , F : C −→ H là một ánh xạ liên tục trên C và thỏa mãn điều kiện: ∃x ∈ C : lim ‖x‖→∞ 〈F (x)− F (y), x− y〉 ‖x− y‖ = +∞ ∀x ∈ C. Khi đó, tồn tại x∗ ∈ C sao cho 〈F (x∗), x− x∗〉 ≥ 0 ∀x ∈ C. Thông thường nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân không phải là duy nhất. Tuy nhiên vẫn có điều kiện để đảm bảo cho sự duy nhất của nghiệm. Ta giả sử rằng x′ và x′′ là hai nghiệm khác nhau của bài toán V I(F,C). Khi đó ta có: x′ ∈ C : 〈F (x′), x− x′〉 ≥ 0 ∀x ∈ C, và x′′ ∈ C : 〈F (x′′), x− x′′〉 ≥ 0 ∀x ∈ C. Trong bất đẳng thức thứ nhất ta chọn x = x′′ và trong bất đẳng thức thứ hai ta chọn x = x′, sau đó cộng vế tương ứng của hai bất đẳng thức ta được: 〈F (x′)− F (x′′), x′ − x′′〉 ≤ 0. Do đó, điều kiện để bài toán V I(F,C) có nghiệm duy nhất là: 〈F (x′)− F (x′′), x′ − x′′〉 > 0 ∀x′, x′′ ∈ C và x′ 6= x′′. (1.20) Vậy điều kiện (1.20) kéo theo tính duy nhất cho nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F,C). Điều kiện đó được gọi là điều kiện đơn điệu chặt. 22 1.4.2. Phương pháp bài toán phụ Phương pháp bài toán phụ được đề xuất bởi G. Cohen [7] vào năm 1980 khi nghiên cứu các bài toán tối ưu. Năm 1988 [8] Cohen đưa ra kết quả vận dụng phương pháp bài toán phụ để xác định nghiệm cho bất đẳng thức biến phân. Sau đây chúng tôi trình bày phương pháp bài toán phụ tổng quát và kết quả vận dụng phương pháp bài toán phụ để xác định nghiệm của bất đẳng thức biến phân. Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H và f là một phiếm hàm lồi trên H . Giả thiết Λ Ta nói rằng phiếm hàm f thỏa mãn giả thiết Λ nếu với mọi dãy {uk}k∈N ⊂ C sao cho ‖uk‖ → +∞ thì f(uk)→ +∞. Hiển nhiên phiếm hàm f thỏa mãn giả thiết Λ nếu C là một tập bị chặn. Ta kí hiệu f ′(u) là đạo hàm Gâteaux của phiếm hàm f tại u. Ta xét bài toán tối ưu sau: Tìm u∗ ∈ C sao cho: (MP ) : min u∈C f(u) (1.21) ở đây, f là phiếm hàm lồi, liên tục và khả vi Gâteaux. Bổ đề sau đây cho ta kết quả tồn tại nghiệm của bài toán (MP ). Bổ đề 1.2 (Xem [7] ) Nếu phiếm hàm f thỏa mãn giả thiết Λ thì bài toán (MP ) tồn tại ít nhất một nghiệm u∗. Hơn nữa, nghiệm u∗ là duy nhất nếu f ′ đơn điệu mạnh. Với mỗi v ∈ C và  > 0, cho ϕ là một phiếm hàm lồi và khả vi Gâteaux, 23 ta xác định một phiếm hàm sau: G : u 7→ ϕ(u) + 〈f ′(v)− ϕ′(v), u〉 . (1.22) Khi đó (G)′(v) = f ′(v). Theo Bổ đề 1.2, nếu v là nghiệm của bài toán (1.21) thì v là nghiệm của bài toán sau min u∈C ϕ(u) + 〈f ′(v)− ϕ′(v), u〉 (1.23) Từ đó dẫn đến thuật toán sau: Cho {ϕn}n∈N là các phiếm hàm lồi, khả vi Gâteaux và {n}n∈N là một dãy số thực dương. Thuật toán cơ bản (i) Tại bước k = 0, chọn tùy ý 0 và u0 ∈ C, giải bài toán phụ sau min u∈C ϕ(u) + 〈0f ′(u0)− ϕ′(u0), u〉 . (1.24) Gọi u1 là nghiệm của bài toán (1.24). (ii) Tại bước k = n, biết un và n, giải bài toán phụ: (AP ) : min u∈C ϕ(u) + 〈nf ′(un)− ϕ′(un), u〉 . (1.25) Gọi un+1 là nghiệm của bài toán (1.25). (iii) Dừng, nếu ‖un+1 − un‖ nhỏ hơn một sai số cho trước. Ngược lại, thay n← n+ 1 và trở về bước (ii). Sự tồn tại nghiệm của bài toán cơ bản (MP ) và của bài toán phụ (AP ) được trình bày trong định lý sau: Định lí 1.9 (Xem [7] ) Giả sử các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) Phiếm hàm f thỏa mãn giả thiết Λ; 24 (ii) f là một phiếm hàm lồi, với đạo hàm Gâteaux f ′ liên tục L - Lipschitz trên C; (iii) ϕ là một phiếm hàm lồi, với đạo hàm Gâteaux ϕ′ liên tục B - Lipschitz và b - đơn điệu mạnh trên C. Khi đó, bài toán (MP ) tồn tại ít nhất một nghiệm u∗ và bài toán (AP ) có duy nhất nghiệm un+1, ∀n ∈ N. Giả sử rằng n thỏa mãn điều kiện α < n < 2b L+ β , với α > 0, β > 0 (1.26) thì dãy {f(un)} giảm nghiêm ngặt (trừ khi un = u∗, ∀n ∈ N) và hội tụ tới {f(u∗)} và mọi điểm tụ yếu của dãy {un} là nghiệm của bài toán (MP ). (iv) Nếu giả thiết thêm rằng f ′ đơn điệu mạnh với hằng số a trên C, thì dãy {un} hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất u∗ của bài toán (MP ). Từ kết quả của Cohen đã có một số các mở rộng khác như: G. Mastroeni [13] đã vận dụng nguyên lý bài toán phụ để tìm nghiệm cho bài toán cân bằng tổng quát. N.E. Farouq [11] vận dụng nguyên lý bài toán phụ để chứng minh cho sự hội tụ mạnh tới nghiệm của bài toán bất đẳng thức biên phân với toán tử đơn điệu. Năm 2000, J. Baasansuren và A. A. Khan [4] là những người đầu tiên đề xuất thuật toán "Nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh", là sự hợp giữa phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov với phương pháp bài toán phụ để tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán bất đẳng thức biến phân. Sau đây chúng tôi trình bày thuật toán nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh để xác định nghiệm cho bài toán bất đẳng thức biến phân 25 1.4.3. Thuật toán nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân Xét bài toán bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh sau: Tìm xα ∈ C sao cho: 〈F (xα) + αxα, v − xα〉 ≥ 0 ∀ v ∈ C. (1.27) Nghiệm xα của bài toán (1.27) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của bài toán (1.15). Sự tồn tại nghiệm hiệu chỉnh xα được trình bày trong định lý sau. Định lí 1.10 (Xem [4]) Cho H là một không gian Hilbert thực và C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H . Giả sử rằng F : C −→ H là một ánh xạ đơn điệu và h - liên tục. Khi đó, (i) với mỗi α > 0, bài toán (1.27) có nghiệm duy nhất xα. Hơn nữa, nếu F liên tục Lipchitz thì lim α→0 ‖xα − x∗‖ = 0 trong đó, x∗ là nghiệm duy nhất của bài toán bất đẳng thức biến phân (1.15). (ii) Nếu xαn và xαm là hai nghiệm của bài toán (1.27), tương ứng với các tham số hiệu chỉnh αn và αm, thì ta có: ‖xαn − xαm‖ ≤M |αn − αm| αn vớiM là hằng số. Với mỗi v ∈ C ta xét bài toán phụ sau: min u∈C (ϕ(u) + 〈kF (v)− ϕ′(v), u〉) (1.28) ở đây, ϕ : H −→ R là một hàm lồi và khả vi Gâteaux, {k}k∈N là một dãy số dương. 26 Lấy 0 > 0 và u0 tùy ý thuộc C, ta giải bài toán sau: min u∈C (ϕ(u) + 〈0F (u0)− ϕ′(u0), u〉). (1.29) Gọi u1 là nghiệm của bài toán (1.29). Tiếp tục thay thế u0, 0 bởi u1 và 1, ta giải bài toán min u∈C (ϕ(u) + 〈1F (u1)− ϕ′(u1), u〉). (1.30) Gọi u2 là nghiệm của bài toán (1.30). Từ đó dẫn đến thuật toán sau. • Thuật toán I (i) Tại bước k = 0, bắt đầu với u0 và 0; (ii) Tại bước k = n, biết un và n, giải bài toán phụ sau: min u∈C (ϕ(u) + 〈nF (un)− ϕ′(un), u〉). (1.31) Gọi un+1 là nghiệm của bài toán (1.31). (iii) Dừng, nếu ‖un+1 − un‖ nhỏ hơn một sai số cho trước. Ngược lại, thay n←− n+ 1 và trở về bước (ii). Sau đây, chúng tôi trình bày thuật toán nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh, là sự kết hợp giữa Thuật toán I với phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov, để tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán bất đẳng thức biến phân (1.15). • Thuật toán II (i) Tại bước k = 0, bắt đầu với z0, 0 và α0; (ii) Tại bước k = n, biết zn, n và αn, giải bài toán phụ hiệu chỉnh sau: min z∈C (ϕ(z) + 〈n(F (zn) + αnzn)− ϕ′(zn), z〉); (1.32) Gọi zn+1 là nghiệm của bài toán (1.32). (iii) Dừng, nếu ‖zn+1 − zn‖ nhỏ hơn một sai số cho trước. Ngược lại, thay n←− n+ 1 và trở về bước (ii). 27 Giả sử rằng {n}n≥0 và {αn}n≥0 là hai dãy số thực thỏa mãn các điều kiện sau: Điều kiện Ψ (i) 0 < n ≤ 1; 0 < αn+1 ≤ αn ≤ 1; αn → 0 khi n→∞; (ii) ∑∞ n=0 nαn =∞; ∑∞ n=0  2 n <∞; (iii) ∑∞ n=0 (αn − αn+1)2 α3nn <∞. Ta có định lý sau: Định lí 1.11 (Xem [4]) Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi đóng và khác rỗng của H . Cho F : C −→ H là một ánh xạ đơn điệu và h - liên tục. Giả sử rằng ϕ : H −→ R là một hàm lồi chính thường, khả vi Gâteaux, với đạo hàm ϕ′ là một hàm đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz. Khi đó, với mỗi n ∈ N, bài toán (1.32) có nghiệm duy nhất zn+1. Hơn nữa, nếu {n}n≥0 và {αn}n≥0 là hai dãy số thực thỏa mãn điều kiện (Ψ) và F ánh xạ liên tục Lipschitz thì: lim ‖zn+1 − x∗‖ = 0 trong đó, x∗ là nghiệm duy nhất của bài toán (1.15). 28 Chương 2 Nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh tìm điểm bất động chung cho một họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt Trong chương này chúng tôi trình bày phương pháp hiệu chỉnh và nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh để tìm điểm bất động chung cho một họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert. 2.1. Phương pháp hiệu chỉnh tìm điểm bất động chung cho một họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt Trong mục này, chúng tôi trình bày phương pháp hiệu chỉnh để tìm điểm bất động chung cho một họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt trong không gian Hilbert. Trước hết chúng tôi nêu lại khái niệm ánh xạ giả co chặt. Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H . ánh xạ T : C −→ H được gọi là λ-giả co chặt, theo Browder- Petryshyn [5], nếu tồn tại một hằng số λ ∈ [0; 1) sao cho với mọi x, y ∈ C ta có: ‖T (x)− T (y)‖2 ≤ ‖x− y‖2 + λ ‖(I − T )(x)− (I − T )(y)‖2 (2.1) 29 ở đây I là ánh xạ đồng nhất trong H . Kí hiệu Fix(T ) là tập điểm bất động của ánh xạ T , tức là: Fix(T ) = {u∗ ∈ C : u∗ = T (u∗)}. Bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ T tương đương với bài toán tìm nghiệm của bất đẳng thức biến phân sau: Tìm u∗ ∈ C sao cho 〈A0(u∗), v − u∗〉 ≥ 0 ∀ v ∈ C,A0 = I − T, (2.2) trong đó, A0 là ánh xạ đơn điệu và liên tục Lipschitz trên C. Để giải bài toán (2.2), người ta giải bài toán bất đẳng thức biến phân xấp xỉ sau: Tìm u∗ ∈ C sao cho 〈A0(uα) + αuα, v − uα〉 ≥ 0, ∀ v ∈ C, (2.3) ở đây, α là tham số hiệu chỉnh đủ nhỏ dần tới 0. Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H . Giả sử {Ti}∞i=1 là một họ vô hạn các ánh xạ λi - giả co chặt từ C vào H thỏa mãn điều kiện F = ⋂∞i=1 Fix(Ti) 6= ∅. Xét bài toán sau: Tìm u∗ ∈ F (2.4) Để tìm điểm bất động chung cho họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt, ta xây dựng nghiệm hiệu chỉnh uα trên cơ sở giải bài toán bất đẳng thức biến phân sau: Tìm uα ∈ C sao cho〈 ∞∑ i=1 γiAi(uα) + αuα, v − uα 〉 ≥ 0 ∀ v ∈ C (2.5) 30 trong đó, Ai = I − Ti, α là tham số hiệu chỉnh đủ nhỏ dần tới 0 và {γi}∞i=1 là một dãy số thực thỏa mãn điều kiện: γi > 0; ∞∑ i=1 γi λ˜i = γ <∞, λ˜i = 1− λi 2 . (2.6) Để trình bày kết quả cho sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.5), chúng tôi cần nêu lại một số kết quả bổ trợ sau: Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H và G : CìC −→ (−∞,+∞) là một song hàm thỏa mãn điều kiệnG(u, u) = 0, ∀u ∈ C. Bài toán cân bằng được phát biểu như sau: Tìm u∗ ∈ C sao cho G(u∗, v) ≥ 0 ∀ v ∈ C. (2.7) Giả sử rằng hàm G thỏa mãn các điều kiện sau: Điều kiện A: (A1) G(u, v) +G(v, u) ≤ 0 ∀ (u, v) ∈ C ì C; (A2) Với mỗi u ∈ C, G(u, ã) : C → (−∞,+∞) là hàm lồi và nửa liên tục dưới; (A3) limt→+0G((1− t)u+ tz, v) ≤ G(u, v) ∀ (u, z, v) ∈ C ì C ì C. Bổ đề 2.1 (Xem [9]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian HilbertH và G : CìC → (−∞,+∞) là một hàm xác định trên CìC và thỏa mãn điều kiện (A). Cho r > 0 và x ∈ H tùy ý. Khi đó, tồn tại z ∈ C sao cho thỏa mãn điều kiện sau; G(z, v) + 1 r 〈z − x, v − z〉 ≥ 0 ∀ v ∈ C. Bổ đề 2.2 (Xem [9]). Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian HilbertH và G : CìC → (−∞,+∞) là một hàm xác định trên CìC 31 và thỏa mãn điều kiện (A). Cho r > 0 và x ∈ H tùy ý, ánh xạ Tr : H → C xác định như sau: Tr(x) = {z ∈ K : G(z, v) + 1 r 〈z − x, v − z〉 ≥ 0 ∀ v ∈ C}. Khi đó, ta có: (i) Tr là ánh xạ đơn trị; (ii) Tr là ánh xạ không giãn, tức là với x, y ∈ H ta có: ‖Tr(x)− Tr(y)‖2 ≤ 〈Tr(x)− Tr(y), x− y〉 ; (iii) Fix(Tr) = EP (G); ở đây, EP (G) là tập điểm nghiệm của bài toán cân bằng (2.7). (iv) EP (G) là một tập lồi và đóng. Bổ đề 2.3 (Xem [14]) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H . Giả sử T : C −→ H là ánh xạ λ - giả co chặt. Khi đó, I −T là ánh xạ demiclosed tại 0; tức là, dãy {xn} trong C hội tụ yếu tới x ∈ C và dãy {(I − T )(xn)} hội tụ mạnh tới 0, thì suy ra (I − T )(x) = 0. Bổ đề 2.4 (Xem [11]) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H . Giả sử T : C −→ H là ánh xạ λ-giả co chặt. Khi đó, T là ánh xạ liên tục Lipschitz, với hằng số L = 1 + λ 1− λ . Bổ đề 2.5 (Xem [11]) Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H . Giả sử T : C −