Luận văn Nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hoà dưới

ó { }: ( , )z dist zh hW = Î W ¶W > . Theo định lý xấp xỉ chính đối với các hàm đa điều hoà dưới và định lý Dini (Royden 1963), có thể tìm được 0s > sao cho u dc e r* - < trên ¶W và 1u dc e* - < - trên K . Đặt { } \ max , trong v u trong h e d h r c e r í W Wï ï= ì ï * - W ïî . Khi đó ve  C(  ) ∩ F và như vậy { }max ,u u v uee e r- £ - £ £ tại mỗi điểm trong W . 1.3.5. Mệnh đề. Cho nWÐ £ là tập mở liên thông, và E Ð W . Khi đó các điều kiện sau tương đương : ( )i * , 0Eu W º ; ( )ii Tồn tại hàm ( )v Î WPSH âm sao cho { }: ( )E z v zÐ Î W = - ¥ Chứng minh. ( ) ( )ii iÞ là hiển nhiên. Thật vậy, nếu v như ở trên ( )ii , thì ,Ev ue W£ với mọi 0e > , từ đó , 0Eu W = hầu khắp nơi trong W . Như vậy * , 0Eu W º . Bây giờ giả sử * , 0Eu W º . Do [7] (mệnh đề 2.6.2 tr49), tồn tại một điểm a Î W sao cho , ( ) 0Eu aW = . Bởi vậy, với mỗi j Î ¥ , có thể chọn một ( )jv Î WPSH sao cho 0, 1j j E v v< < - và ( ) 2 jjv a -> - . Đặt 1 ( ) ( ), .j j v z v z z ¥ = = Î Wå Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 18 Chú ý rằng ( ) 1v a > - , v âm trong W , và Ev = - ¥ . Đồng thời v là giới hạn của dãy giảm của các tổng riêng của các hàm đa điều hoà dưới. Vì v ¹ - ¥ nên ta kết luận ( )v Î WPSH . 1.3.6. Mệnh đề. Cho W là tập con mở liên thông của n£ . Giả sử j j E E= U , trong đó jE Ð W với 1,2,...j = . Nếu * , 0jEu W º với mỗi j , thì * , 0Eu W º . Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 1.3.5 chọn ( )jv Î WPSH sao cho 0jv < và j j E v = - ¥ . Lấy điểm { } 1\ ( )j j a v - æ ö ÷çÎ W - ¥ ÷çè ø U . Bằng cách mở rộng mỗi hàm jv bởi một hằng số dương thích hợp, ta có thể giả thiết ( ) 2 jjv a -> - . Khi đó ( )j j v v= Î Wå PSH , 0v < và Ev = - ¥ . Suy ra * , 0Eu W º . 1.3.7. Mệnh đề. Cho W là tập con siêu lồi của n£ và K là một tập con compact của W . Giả thiết rằng { }jW là một dãy tăng những tập con mở của W sao cho 1 j j ¥ = W= WU và 1K Ð W . Khi đó , ,lim ( ) ( ),jK Kj u z u z zW W ® ¥ = Î W . Chứng minh. Lấy điểm 0z Î W . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng { }0 1K zÈ Ð W . Giả sử 0  là một hàm vét cạn đối với W sao cho 1   trên K. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 Lấy (0,1)e Î sao cho 0( )zr e< - . Khi đó tồn tại 0j Î ¥ sao cho tập mở 1(( , ))w r e-= - ¥ - là tập compact tương đối trong 0j W . Lấy 0 ( )ju Î WPSH sao cho 0u £ trên 0j W và 1u £ - trên K . Khi đó { }max ( ) , ( ) , ( ) ( ), \ u z z z v z z z e r w r w í - Îï ï= ì ï Î W ïî xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa 1Kv £ - và 0v £ . Như vậy 0 , 0( ) ( )Kv z u zW£ . Vì u là một phần tử tuỳ ý của họ 0 , jK u W , nên ta có 0 , 0 , 0( ) ( )jK Ku z u zeW W- £ . Do đó ta có , 0 , 0 , 0( ) ( ) ( ) j j K K Ku z u z u zeW W W- £ £ với mọi 0j j³ và e nhỏ tuỳ ý, suy ra điều phải chứng minh. 1.4. Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu Đầu tiên chúng ta nhắc lại bổ đề nổi tiếng của Cartan-Boutroux: Cho ( )p z là đa thức của một biến phức có bậc 1d ³ . Với bất kỳ 0e > , xét đa thức e -lemniscate của P được xác định bởi: ( ) ( ){ }, : ; dE P z P ze e= Î ££ . Khi đó tồn tại một phủ hữu hạn của ( ),E P e bởi đĩa mở d với bán kính ( ) 1j j d r £ £ thỏa mãn ước lượng: 1 2 j j d r ee £ £ £å . (1.1) Nói cách khác ( ) ( )log log 1/ ,P z d ze³ - " Î £ ngoài hợp của các đĩa mở d với bán kính ( ) 1j j d r £ £ thỏa mãn ước lượng 1 2 j d j r ee £ £ £å . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 Từ ước lượng này ta có thể suy ra nguyên lý cực tiểu đối với hàm chỉnh hình. Nếu f là một hàm chỉnh hình trên đĩa { }; 2z z eRÎ £C sao cho ( )0 1f = . Khi đó, với bất kỳ số thực 0 1h< < ( ) ( ) ( ) ( ) 33 log log 2 , : log , 2f e f z H M eR Hh h h æ ö ÷ç> - = çè ø xảy ra với z R£ ngoài hợp của một số hữu hạn những đĩa có bán kính ( )jr với 2j j r Rh£å . Một cách tổng quát hơn của bổ đề Cartan-Boutroux’ có thể phát biểu như sau: Với 0 2a< £ tuỳ ý tồn tại một phủ hữu hạn của ( , )E P e bởi đĩa mở d với bán kính ( )jr thỏa mãn ước lượng: ( ) 1 2 d j j r e a a e = £å . (1.2) Nói cách khác, điều đó có nghĩa là với bất kỳ (0,1]e Î cận dưới ( ) dP z e£ xảy ra với mọi z ngoài hợp của đĩa d với bán kính ( )jr thỏa mãn ước lượng ( )2 .j jr e a a e£å Điều này tương đương với ước lượng sau theo nghĩa của dung lượng Hausdorff của số chiều a : ( )( ) ( ); 2h E P e a a e e£ , [0,1]e" Î . Chúng ta kết thúc phần này bằng cách nhắc lại định nghĩa của dung lượng Hausdorff trong một tập hợp tổng quát hơn, sẽ được sử dụng về sau. Cho ( , )X d là một không gian Metric và 0p > là một số thực. Khi đó với một số thực đã cho 0d > , theo định nghĩa, dung lượng d - Hausdorff số chiều p của tập E XÐ được định nghĩa như sau: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 ( ) ( ) ( ) ( ): inf ; , , pp j j j j jj h E r B E B B B X dd dÎ ÎÎ í üï ï = Ð Îì ý ï ï î þ å ¥ ¥¥ U , trong đó ( ),B X dd là lớp tất cả các phủ đếm được ( )j jB Î ¥ của tập E bởi các hình cầu của không gian Metric ( , )X d có bán kính tại hầu hết d và ( )jr B là bán kính của hình cầu j B với mỗi j Î ¥ . Giống như trong bổ đề Cartan-Boutroux, ta có thể lấy d = + ¥ . Số tương ứng ký hiệu là ( ) ( )p ph E h E¥= và được gọi là dung lượng Hausdorff số chiều p của tập E . Độ đo Hausdorff số chiều p của tập E được định nghĩa bởi ( ) ( ) ( )0 0: sup lim p p pH E h E h E d d d d> ¯ = = . 1.5. Toán tử Monge-Ampe Cho u là đa điều hoà dưới trên miền nWÐ £ . Nếu 2u CÎ thì toán tử: ( ) ( ) ( ) 1 , : ... 4 !det nc c c n j kn j k n u dd u dd u dd u n dV z z £ £ é ù ¶ê ú= Ù Ù = ¶ ¶ê úë û 1444444442 444444443 với dV là yếu có thể tích trong C n gọi là toán tử Monge-Ampe. Toán tử này có thể xem như độ đo Radon trên W , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact 0( )C W trên W . ( ) ( )0 ncC dd uj j W W ' òa Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn địa phương trên W thì tồn tại dãy     1n n u C    PHS sao cho nu u và   nc ndd u hội tụ yếu tới độ đo Radon  trên W tức là: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 ( ) ( )0lim , nc n n dd u d Cj j m j W W = " Î Wò ò . Hơn nữa  không phụ thuộc vào việc chọn dãy  nu như trên ta ký hiệu: ( )c ndd u m= và gọi là toán tử Monge-Ampe của u . 1.6. Khối lượng xạ ảnh và các số Lelong Chúng ta nhắc lại một vài định nghĩa đã biết và tính chất của những số Lelong ([4],[11]): Cho W là một miền trong n£ và ( )WPSH là nón các hàm đa điều hòa dưới u trên W sao cho u º/ - ¥ . Khi đó ( )1( ) locLW Ð WPSH là một tập con đóng đối với 1 loc L - tô pô và nó là không gian metric đầy đủ. Xét những toán tử vi phân thường trên n£ được định nghĩa bởi d = ¶ + ¶ và ( )( )1/ 2cd ip= ¶ - ¶ , do đó ( )/ .cdd i p= ¶¶ Do đó phương trình Monge-Ampere sau: ( ) ( )log n cdd z zd= xảy ra theo nghĩa của dung lượng trên n£ , trong đó ( )zd là khối lượng điểm Dirac tại gốc. Bây giờ, ta nói rằng nếu ( )V Î WPSH thì cdd V là dung lượng dương đóng của song bậc (1,1) trên W (xem [11]). Với bất kỳ a Î W cố định và 0 1r< < < sao cho ( ) { }; : ;na r z z a r= Î - £ W£B Ð , ta định nghĩa khối lượng xạ ảnh của cdd V trên hình cầu ( );a rB như sau: ( ) ( ) ( ) 1 , , : log . n c c V a r a r dd V dd z aJ - = Ù -ò B (1.3) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 Khi đó, theo kết quả đã biết của Lelong ([11]), ta có công thức sau ( ) ( ) ( ) ( )( ) B B 11 2 2 2 2 , 2 2 ,1 ! , Vc V nn n n a r n a r a r dd V r r m J b p t -- - - - - = Ù =ò , (1.4) trong đó 2 2nt - là thể tích  2 2n - chiều của hình cầu đơn vị Euclid trong 1n -£ , ( ) ( )12 1: / 2 , : / 1 ! n ni z nb b b - -= ¶ ¶ = - và ( ): 1/ 2V Vm p= D là độ đo Riesz liên kết với V . Khối lượng xạ ảnh của cdd V tại điểm a được định nghĩa bởi công thức sau: ( ) ( ) ( )( ) 2 200 2 2 , : lim , lim . V V V nrr n a r a a r r m J J t+ -®® - = = B (1.5) Số dương ( )V aJ gọi là số Lelong của cdd V hoặc số Lelong của hàm V tại điểm a . Theo một kết quả cổ điển của V.Avanissian (xem[6]), số Lelong cũng có thể được biểu thị bởi công thức sau ( ) ( ) ( )2 1 0 1 : lim log V n r r a V a r d r x J x s x + -® = = +ò , (1.6) ( ) ( ) 0 max : lim . log z a r V r V z a r J + - = ® = (1.7) trong đó 2 1n ds - là số đo diện tích đã được chuẩn hóa trên mặt cầu đơn vị ¶B Chú ý rằng khi f là một hàm chỉnh hình gần điểm a sao cho 0f º/ thì ( ) log f aJ là bậc triệt tiêu của f tại điểm a . Từ công thức (1.7), suy ra ( ) 0V aJ = nếu ( )V a > - ¥ . Công thức này chỉ ra rằng số Lelong ( )V aJ có thể xem như là trọng số kỳ dị lôgarit của V tại điểm a . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 Chương 2 NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU ĐỐI VỚI CÁC HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI Nội dung chính của chương này là trình bày việc tổng quát hóa nguyên lý mô đun cực tiểu cổ điển đối với các hàm chỉnh hình một biến số phức cho các lớp khác nhau của hàm đa điều hòa dưới, dựa vào bổ đề nổi tiếng của Cartan-Boutroux, đã trình bày ở chương 1. 2.1. Nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit Lớp Lelong trên n£ , được định nghĩa như sau: ( ) ( ) ( ){ }: ( ); log 1 . .n n nv v z z z+= Î £ + " Σ £ £L P SH O Cho  : Nu L L C ký hiệu ( )u zr là hàm Robin của u trên NC xác định bởi: ( ) ( ){ }lim logu z u z l l r l l ® + ¥ Î = - C . Hiển nhiên ( )u zr thoả mãn điều kiện thuần nhất logarit nghĩa là: ( ) ( ) log , , Nu uz z zr a r a a= + " Î ÎC C . Ngoài ra ur là đa điều hoà dưới trên NC . Để hàm ( )nV Î £L phải có một hàm Robin liên kết như sau (xem [2], [12], [17]). Với { }\ 0nz Î £ , đặt ( ) ( )( ) , : lim sup logV V z l l r z l l z Î ® ¥ = - £ . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 Do hàm này là hằng số trên đường thẳng phức tuỳ ý của n£ đi qua gốc toạ độ, suy ra rằng Vr là hàm được xác định tốt trên không gian xạ ảnh 1n -P mà có thể xem như siêu phẳng tại vô cực trong n£ . Khi đó theo Bedford và Taylor ([2]), chúng ta giới thiệu lớp sau đây ( ) ( ){ };n n VV r* = Î º/ - ¥£ £L L . Giả sử 0 w là dạng Fubini - Study trên 1n -P được chuẩn hóa bởi điều kiện 1 1 0 1 n nw - - =ò P . Khi đó nếu ( ),nV *Î £L thì hàm Robin Vr là một hàm 0 w - đa điều hòa dưới trên 1n -P , theo nghĩa nó là nửa liên tục trên trên 1n -P và thỏa mãn điều kiện 0 0 c Vdd r w+ ³ trên 1n -P . Một kết quả thú vị liên quan tới lớp ( )n* £L là công thức biểu diễn Riesz, đã biết trong trường hợp một biến số, nhưng dường như không được biết trong n£ . Ở đây sẽ trình bày một chứng minh mà sau này sẽ sử dụng đến. 2.1.1. Bổ đề. Mọi hàm L ( )nV *Î £ đều được biểu diễn bởi công thức sau ( ) ( ) 1 1 1 0log logn n nc c n VV z z dd V dd zz z r w- - -= - Ù - +ò ò P£ (2.1) với mọi nz Î £ . Chứng minh: Bằng cách phép tịnh tiến ta có thể giả sử rằng 0z = là gốc trong n£ . Theo công thức Poisson-Jensen cổ điển , với 0 r R< < , ta có: ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 1 R n n V r dt V R d V r d t tx x z s z s z J- - = = - =ò ò ò , trong đó ( ) ( ): 0,V Vt tJ J= là khối lượng xạ ảnh của cdd V trên hình cầu ( )0, tB . Từ công thức này suy ra ( )0V > - ¥ nếu và chỉ nếu ( ) 0 R V dt t t J < + ¥ò , suy ra ( ) 0lim log 0t t tJ¯ = . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 Đầu tiên giả thiết rằng ( )0V > - ¥ . Khi đó bằng cách lấy tích phân từng phần ta có công thức sau: ( ) ( ) ( )2 1 2 1 1 1 n nV R d V r d z z z s z s z- - = = - =ò ò ( ) ( ) ( )log log log R V V V r R R r r td tJ J J= - - ò và cho 0r ¯ , ta nhận được: ( ) ( ) ( ) ( )2 1 0 1 0 log log R n V VV R d V R R t d t z z s J J- = - = -ò ò . (2.2) Bây giờ chú ý rằng bằng cách xấp xỉ V bởi hàm bị chặn { }: sup ,jV V j= - theo công thức ở trên ta thấy rằng ( )0V = - ¥ khi và chỉ khi ( ) 0 log R V td tJ = - ¥ò và công thức (2.1) cũng xảy ra trong trường hợp này. Như vậy chúng ta chỉ cần chứng minh (2.1) khi ( )0V > - ¥ . Trong trường hợp đó, từ (2.2) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 log 0 log log nc c n V R V R d R R V dd V dd V z z z s J z z - - = < - = - Ùò ò . Bây giờ, vì L ( )nV *Î £ , nên từ tính lồi của giá trị trung bình ( ) 2 1 1 nV R d z z s - = ò trong log R (xem [2, bổ đề 7.4]), suy ra ( ) ( )2 1 2 1 1 | | 1 lim log n V nR V R d R d z z z s r z s - -® + ¥ = = æ ö ÷ç - = è øò ò , và khi đó ( ) ( ) 1 2 1 1 lim log 1. nR R V R d z z s - -® + ¥ = =ò Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 Bởi vậy, từ công thức Poisson-Jensen suy ra ( )lim 1R V RJ® + ¥ = , ( ) 1 lim log log nc c R R dd V dd z z z - ® + ¥ < Ùò là hữu hạn và khi đó ( )( )lim 1 log 0R V R RJ® + ¥ - = . Do đó ta có ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 0 log log n nc c V nd V dd V dd V z r z s z z - - = = - Ùò ò £ . Mặt khác, sử dụng định lý Fubini đối với phép chiếu 1 2 1 : n n p - - aS P , ta có: ( ) ( ) 1 1 1 0 1 log log n nc c n V Vd dd z r z z z r w - - - = Ù =ò ò P . Bây giờ chú ý rằng độ đo 2 1n s - đã được chuẩn hóa trên mặt cầu đơn vị 2 1n - S trùng với hạn chế của ( ) 1 log log n c cd ddz z - Ù lên 2 1n - S điều này kéo theo công thức cần tìm.  Từ công thức này suy ra lớp các hàm đa điều hòa dưới sau đây ( ) ( ){ }1 1* 0: ; 0nn n nVV r w- -= Î =ò£ £ PLlogL là tổng quát hóa một cách tự nhiên của lớp các thế vị logarit cổ điển. Với lý do này, chúng ta sẽ gọi lớp đó là lớp các thế vị logarit trong n£ . Với bất kỳ tập con nE Ì £ , nhắc lại rằng hàm cực trị Siciak- Zahariuta ’ s liên kết với E được xác định bởi công thức sau (xem [13], [14], [16]). ( ) ( ) ( ): sup ; ;sup 0nE E V z V z V V ì üï ï ï ï= Î £í ý ï ï ï ïî þ £L . Khi đó dung lượng logarit của tập E sẽ được xác định bởi công thức. ( ) ( ) P * 1 1 log 0: exp n E n V C E r w - -= - ò . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 Nhận xét rằng nếu E là tập đa cực thì * E V º + ¥ và khi đó ( )log 0C E = . Mặt khác nếu nE £Ð không đa cực thì ( )* nEV Î £L và * E V r là bị chặn trên 1n -P , trong trường hợp này ta có ( )log 0C E > . Hơn nữa, sử dụng một kết quả liên quan đến sự hội tụ của hàm Robin (xem [2]), có thể chứng minh rằng dung lượng logarit là dung lượng Choquet trên n£ . Nhận xét rằng dung lượng này liên quan tới lớp thế vị logarit bởi công thức sau, ( ) ( ){ }loglog inf sup* ; n E C E V V= Î £Llog , (2.3) trong đó { }\sup * inf supE E AV V= , A EÌ là tập đa cực. Thật vậy, từ định nghĩa của * E V và các kết quả của [1] dễ dàng thấy rằng * *sup 0 E E V = và do đó: ( ) ( ) ( ){ }* *sup ; ;sup 0 ,n nE E V z V z V V z= Î = Σ £L . Do đó ta nhận được công thức sau: ( ) ( ){ } ( ){ } P P 1 1 1 * log 0 1 * 0 log sup ; , sup 0 sup sup ; n n n n V E n n V E C E V V V V r w r w - - - - - = Î = = - Î ò ò £ £ L L (2.4) trong đó sup đạt được đối với * E V V= . Bây giờ từ (2.4) suy ra: ( ) ( ){ } P 1 1* log 0log inf sup ;n n n V E C E V Vr w - -= - Îò £L , Từ đó suy ra công thức (2.3). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 Nhận xét rằng với một tập con compact nK Ì £ có một hằng số khác được gọi một cách cổ điển là dung lượng logarit và xác định bởi công thức sau ([8],[12], [14], [17]) ( ) ( )( )* 1 : exp lim sup log exp sup KK V z z K V z zt r * ® + ¥ = æ ö æ ö ÷ ÷ç ç= - - = - è ø è ø . Từ một bất đẳng thức đã biết (xem [3], [14]), dễ dàng suy ra rằng tồn tại một hằng số 0nk > sao cho ( ) ( ) ( )log .nK C K k Kt t£ £ với tập con compact nK Ì £ tuỳ ý. Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh Bổ đề Carrtan-Boutroux tổng quát đối với lớp ( )n£Llog các thế vị logarit sau đây: 2.1.2.Định lý. Với 0 5h< < , (0,2]a Î và hàm ( )nV Î £Llog tuỳ ý , ta có ( ) ( )log 5 /V z e h³ - , (2.5) xảy ra với mọi nz Î £ ngoài hợp của một họ đếm được các hình cầu Euclid ( )( ),j jz rB với bán kính ( )jr nhỏ hơn h thỏa mãn điều kiện sau: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 , 5 , 0 j j R n n n j z r R r R a a h h a - - - + Ç ¹ Æ + å B B . Nói riêng, tập hợp đặc biệt nE h Ì £ trong đó ước lượng (2.5) không thỏa mãn là một tập Borel mà ước lượng sau xảy ra: ( ) ( ) 2 22 2 2 2 5 , 0 nn n R R h E R a a h h h h a -- - + +Ç B . Chứng minh: Giả sử ( )nV Î £Llog . Trước tiên, chú ý rằng tích phân Stieltjes đang xét liên quan đến hàm tăng ( ): ,Vg t z tJ® , nên ta có thể viết: ( ) ( ) ( ) 1 0 0 log log , nV z tdg t tdg t z + ¥ = ³ " Îò ò £ . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 Bây giờ, cố định các số thực 0 2a< £ và 0 1e< < và giả sử 0A . Khi đó kí hiệu , G G e a = là những tập con các điểm “tốt” nz Î £ mà đối với nó ta có ( ), , 0V z t At t aJ e£ " < £ . Nói riêng điều đó kéo theo ( )0lim , log 0t V z t tJ® = với z GÎ , suy ra ( )V z > - ¥ với z GÎ và tập G không là tập cực của V . Bây giờ cố định một điểm z GÎ . Khi đó ( )V z > - ¥ và lấy tích phân từng phần trong tích phân Stieltjes ta suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 1 , , , , . V V V V dt V z z t t dt dt z t z t t t A dt z t t e e a e J J J e J a ³ - ³ - - ³ - - ò ò ò ò Do ( )nV Î £L và sự chuẩn hóa của toán tử phức Monge-Ampere ta có: Do vậy chúng ta suy ra ước lượng sau: ( ) ( )log 1/ , A V z z Gae e a ³ - - " Î . Chọn A aae-= , ta được: ( ) ( )log / ,V z e z Ge³ - " Î . Bởi vậy chúng ta sẽ nhận được bất đẳng thức cần tìm, nếu chúng ta có thể thực sự ước lượng được kích thước của tập hợp : \nE G= £ . Từ định nghĩa của tập E , suy ra rằng với bất kỳ z EÎ tồn tại một số thực 0 z t e< < sao cho ( ) ( ) 1 , log 1, , 0. n nc c n V z t dd V dd z z tz - £ Ù - £ " Î " >ò £ £ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 ( ),V z zz t A t aJ > . Mặt khác, dễ dàng tính toán để chứng tỏ rằng ( )( ) ( )1 2 22 2 , , 1, , 0 n n n V Vr z r z r z rt m J - - - = £ " Î " >£B . Do đó, ta nhận được ( )( ) ( )2 2 2 22 2 2 2, , , n n V z n z V z n zz t t z t A t z E am t J t- - +- -³ > " ÎB . Chúng ta muốn loại trừ các hình cầu như thế. Vì ( )( ), z z E z t Î B là một phủ của tập E bởi những hình cầu mở Euclid, theo một bổ đề 5 - phủ kiểu Vitalli, tồn tại một họ con đếm được rời nhau các hình cầu ( )( ),j j j z t Î ¥ B sao cho 5 - họ tương ứng của hình cầu ( )( ), 5j j j z t Î ¥ B phủ E . Bây giờ, cố định 0R  và xét họ ( )( ), 5 R j j j J z t Î B của những hình cầu giao với hình cầu R B . Khi đó ta nhận được ước lượng sau: ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 5 , 5 , . R R R n n n n j n j V j j j J j J n n V j j j J A t t z t z t a a a t t J t m - + - + - - - Î Î - + - Î < £ å å å B Chú ý rằng ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 , , 0, , R R V j j V j j V j J j J n n z t z t R R m m m e t e Î Î - - æ ö ÷ç= £ + è ø £ + å UB B B ta kết luận ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 1 5 5 5 5 5 . R n n j j J n R t A R a a a e e a - - + Î - + < + = å Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 Lấy : 5j jr t= và / 5e h= , ta nhận được định lý vì họ những hình cầu ( )( ), R j j j J z r Î B phủ R E ÇB .  Nhận xét rằng kết quả trên đã trực tiếp cho một ước lượng chính xác về dung lượng Hausdorff số chiều 2 2n   của các lemniscate đa điều hoà dưới liên kết với các hàm trong lớp ( )log n£L . 2.1.3. Hệ quả. Giả sử ( )log nV Î £L và 0 1/ ee< < . Khi đó với bất kỳ (0,2],a Î dung lượng Hausdorff số chiều 2 2n a- + của lemniscate đa điều hoà dưới liên kết ( ) ( ){ }, : ; lognE V z V ze e= Î ££ thoả mãn ước lượng sau: ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 5 5 , , 0 n n n n R R e h E V R a a e e a - - - + + Ç B . 2.1.4. Hệ quả. Với bất kỳ số thực 0 2a< £ và bất kỳ tập con K Ì B , ta có ( ) ( )( )2 2 log5 n n c h K eC K a a a - + £ , trong đó ( ) 2 2 2 25 1 1 / n n n c e - -= + . Chứng minh: Nhắc lại từ công thức (2.3) ta có ( ) ( ){ }* 1log 1 log inf sup ; ; 0n no nK C K V V C rnw+ - - = Î =ò P L , trong đó *sup K V là cận trên tựa cốt yếu của V trên K . Đầu tiên, giả thiết rằng r K Ì B với 1/r e= vì vậy  log 1/C K e . Khi đó giả sử c là một số thực tuỳ ý sao cho ( )log 1/C K c e< < . Do đó tồn tại hàm ( )log nV Î L £ và một tập con đa cực A EÌ sao cho \ sup K A V c< vì Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 thế ( ){ }\ : ; logc rK A K z V z cÌ = Î <B . Theo nguyên lý cực tiểu đối với lớp ( )log nL £ , với 5 5ech = < , ta có ( ) ( )log 5 / logV z e ch³ - = với \z EÎ B , trong đó E Ì B là một tập Borel thoả mãn ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 2 22 2 5 / 5 5 1 5 . nn n nn r h E r ec a a a h h a a -- - + -- + £ + £ Từ định nghĩa \ c K A K EÌ Ì , ta kết luận: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 1 5 \ n n r ec h K A a a a - - + + £ . Vì ( )logc C K> là tuỳ ý, nên ta nhận được bất đẳng thức: ( ) ( ) ( )( ) 2 2 log2 2 5 1 5 \ n n r eC K h K A a a a - - + + £. Vì nA Ì £ là đa cực, nên nó là cực trong 2n¡ và theo một kết quả đã biết trong lý thuyết thế vị cổ điển (xem [10]), ta suy ra rằng ( )2 2 0nh Aa- + = và ( ) ( )2 2 2 2 \n nh K h K Aa a- + - += , điều đó đã suy ra ước lượng cần chứng minh trong trường hợp r K BÌ . Bây giờ nếu K Ì B là tập con bất kỳ, thì áp dụng bất đẳng thức cuối cho tập rK rÌ B ta được bất đẳng thức cần tìm. 2.2. Cận dưới đối với hàm đa điều hoà dưới Giả sử B là hình cầu đơn vị Euclid mở trong n£ . Với mỗi z Î B , chúng ta kí hiệu z F là đẳng cấu đối hợp của hình cầu đơn vị B lấy điểm z Î B là gốc. Khi đó hàm Green đa phức ( ) ( ): ,zG G zz z= của hình cầu đơn vị B với cực logarit tại điểm z Î B được xác định bởi công thức: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 ( ) ( ) ( ): log , ,z zG zz z z= F Î ´B B Dễ thấy rằng phương trình cơ bản Monge-Ampere sau: ( ) n c z z dd G d= (2.6) xảy ra theo nghĩa dòng trên B , trong đó z d là khối lượng Dirac đơn vị tại điểm z . Ta đã biết công thức ( ) ( ), : Zd z z z= FB xác định một khoảng cách trên hình cầu đơn vị B , liên quan với khoảng cách Bergman r B bởi công thức sau: ( ) ( ), , tanh 1 z d z n r z z = + B B . Bây giờ xét hình cầu tương ứng tâm z Î B và bán kính (0,1)r Î được xác định bởi: ( ) ( ){ }: ;z zr rw z z= Î F <B , và định nghĩa hàm “khối lượng xạ ảnh bất biến” sau: 1 ( ) ( , ) : ( ) z c c n V z r z r dd V dd G w q -= Ùò , với z Î B và 0 1r< < đồng thời nhận xét rằng: 1( , ) ( log | |) (0, ) z r c c n V z Vz r dd V dd rq z J - F= F Ù =ò B oo và khi đó 0 lim ( , ) (0) ( ) z r V V V z r zq J J ® F = = o với z Î B tuỳ ý, vì z F là một tự đẳng cấu lấy gốc tại điểm z (xem [4]). Trước tiên, chúng ta chứng minh bổ đề sau, tương tự với kết quả của H. Milloux. 2.2.1. Bổ đề. Giả sử V là một hàm đa điều hoà dưới trên hình cầu đơn vị Euclid mở nÌ £B với khối lượng Riesz bị chặn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 ( ) : (1 / 2 )V Vm p= D < + ¥ò B B . Giả sử ta định nghĩa thế vị Green đa phức sau: 1( ) : ( ) ,c c nV z zz G dd V dd G -= Ùò B G z Î B . (2.7) Khi đó tồn tại một hằng số 0 n c > sao cho với số thực 0 1s< < tuỳ ý và 0 min{3 ,1}sh< < , ( ) ( , ) log(3/ ) ( ) log( / )V V n Vz z s c e sq h m³