Luận văn Nhóm con của nhóm tuyến tính xạ ảnh unimodular bậc hai trên trường hữu hạn gồm chín phần tử

ược |𝐺| = |𝑍(𝐺)| + ∑ [𝐺:𝐶(𝑥𝑖)]𝑚𝑖=1 , trong đó {xi}i∈I là các phần tử không nằm trong tâm. Suy ra |𝑍(𝐺)| = |𝐺| − ∑ [𝐺:𝐶(𝑥𝑖)]𝑚𝑖=1 , do đó |𝑍(𝐺)| chia hết cho p . Mặt khác, 𝑍(𝐺) ≠ ∅ nên |𝑍(𝐺)| là ước của p2. Khi đó |𝑍(𝐺)| = 𝑝 hoặc |𝑍(𝐺)| = 𝑝2. Nếu |𝑍(𝐺)| = 𝑝 thì ta xét nhóm thương 𝐺/𝑍(𝐺), ta có |𝐺/𝑍(𝐺)| = 𝑝, suy ra 𝐺/𝑍(𝐺) =. Mặt khác |𝑍(𝐺)| = 𝑝 nên 𝑍(𝐺) =, do đó mỗi phần tử của G có dạng 𝑔 = 𝑥𝑢𝑦𝑣. Do tính giao hoán của x và y nên G giao hoán. Còn nếu |𝑍(𝐺)| = 𝑝2 thì dễ thấy 𝑍(𝐺) = 𝐺 nên G giao hoán. Vậy, G đẳng cấu với 2pZ nếu G chứa phần tử cấp p2 và đẳng cấu với 𝑍𝑝 × 𝑍𝑝 nếu G không chứa phần tử cấp p2. ii) Giả sử p < q. Theo Định lý Sylow, tồn tại các nhóm con A, B của G sao cho |𝐴| = 𝑝 và |𝐵| = 𝑞. Hơn nữa, A chính là một p – nhóm con Sylow của G, B chính là một q – nhóm con Sylow của G. Mà mọi nhóm hữu hạn có cấp nguyên tố đều là nhóm cyclic, nên ta có thể xem ;A a B b= = với ,a b G∈ , cấp của a là p, cấp của b là q. Gọi pn là số các p – nhóm con Sylow của G, qn là số các q – nhóm Sylow của G. Ta có 1 , |q qn kq n p= + (do nq |pq và (nq,q) = 1) (theo Định lý Sylow) và p q< nên 1qn = Khi đó: B G . Vậy G không là nhóm đơn. Tương tự 1 , |p pn kp n q= + . Khi đó, ta có hai trường hợp. Nếu 𝑛𝑝 = 1 thì A là nhóm con chuẩn tắc của G. Ta sẽ chứng minh ab có cấp là pq. Thật vậy, ta có { }A B e∩ = (do p và q nguyên tố cùng nhau) ,mà 1 1aba b A B− − ∈ ∩ (do A và B là các nhóm con chuẩn tắc của G) nên ab ba= . Khi đó, do cấp của a và b nguyên tố cùng nhau nên ab có cấp là pq. Như vậy 𝐺 = 〈𝑎𝑏〉 = 𝑍𝑝𝑞 (do G có cấp là pq). Trong trường 9 hợp pn q= , G không phải là nhóm Abel. Ta có tập tích AB là một nhóm con của G, bởi vì ( )( ) ( ) ( )( )1 1 1 1 1 11 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2a b a b a b b a a a a b b a AB− − − − − −= = ∈ (do B G ). Mặt khác AB pq , mà AB G⊂ nên 0 AB pq≤ ≤ , suy ra AB pq= . Do đó G = AB. Vậy, G không là nhóm đơn do G có q- nhóm con Sylow chuẩn tắc. Nếu ( )1 modq p≡/ thì G có một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc. Trong trường hợp này G là nhóm cyclic. Định lý 1.1.9: Cho ( )pP Syl G∈ , nếu x, y là hai phần tử của Z(P) liên hợp trong G thì chúng liên hợp trong ( ).GN P Chứng minh. Tồn tại u G∈ để .uy x= Từ ( ) ( ), ux Z P y Z P∈ ∈ thì , uP P là nhóm con Sylow của { }( )Z y . Khi đó { }( )( )pn Z y hữu hạn, theo Định lý Sylow tồn tại ( )z Z y∈ để uzP P= , suy ra ( )Guz N P∈ và . uz zx y y= = 1.2. Nhóm đơn Định nghĩa 1.2.1: Nhóm G được gọi là nhóm đơn nếu G không có nhóm con chuẩn tắc nào khác ngoài {1} và chính nó. Định lý 1.2.2: Cho G là nhóm đơn có cấp n và p là ước nguyên tố của n. Khi đó, số các p– nhóm con Sylow của G nhiều hơn 1. Chứng minh. Giả sử P là p – nhóm con Sylow duy nhất của G. Theo chứng minh 1.1.9, [𝐺:𝐺𝑃] = 𝑛𝑝 = 1, hay 𝐺 = 𝐺𝑃, do đó 𝑥𝑃𝑥−1 = 𝑃 với mọi 𝑥 ∈ 𝐺. Như vậy P phải là nhóm con chuẩn tắc thực sự của G, điều này mâu thuẫn với giả thiết G là nhóm đơn. Do đó số các p– nhóm con Sylow của G phải nhiều hơn 1. Định lý 1.2.3. Cho G là nhóm cấp p2q, trong đó p, q là các số nguyên tố phân biệt. Khi đó G không là nhóm đơn và G có p- nhóm con Sylow chuẩn tắc hoặc G có q- nhóm con Sylow chuẩn tắc. 10 Chứng minh. Gọi np,nq lần lượt là số các p- nhóm con Sylow và số các q- nhóm con Sylow. Giả sử G không có p- nhóm con Sylow chuẩn tắc và q- nhóm con Sylow chuẩn tắc. Khi đó np> 1 và nq> 1. Ta có, nq là ước của p2q và nq nguyên tố cùng nhau với q. Vì thế nq = p2 hoặc nq = p. Ta xét hai trường hợp: Trường hợp nq = p2, chú ý rằng nếu Q là q- nhóm con Sylow thì Q có cấp q và do đó x có cấp q với mọi e ≠ x Q. Vì thế, mỗi q-nhóm con Sylowchứa đúng q - 1 phần tử cấp q. Dễ thấy hai q- nhóm con Sylow tuỳ ý hoặc là bằng nhau, hoặc có giao là nhóm con tầm thường. Do đó số phần tử có cấp q của G là nq(q - 1). Gọi L là tập các phần tử của G không có cấp q. Ta có: |L|= p2q - nq(q - 1) = p2q - p2(q - 1) = p2. Giả sử P là một p- nhóm con Sylow. Khi đó cấp của P là p2 và vì thế tất cả p2 phần tử của P đều không có cấp q. Suy ra P = L. Do đó G chỉ có duy nhất một p- nhóm con Sylow, tức là np= 1, vô lí. Trường hợp nq = p. Theo Định lí Sylow, nq≡ 1(mod q), vì thế p ≡1(mod q). Suy ra p > q. Ta có, nplà ước của p2q và nguyên tố cùng nhau với p, vì thế np = q. Theo Định lí Sylow, np≡ 1(mod p), do đó q ≡ 1(mod p). Vì thế q > p, vô lí. Định lý 1.2.4: Mọi nhóm cấp pqr (p, q, r là các số nguyên tố đôi một khác nhau) không là nhóm đơn. Chứng minh. Giả sử p q r< < . Lấy G là nhóm cấp pqr . Giả sử G là nhóm đơn. Đặt , ,p q rn n n lần lượt là số các p- nhóm con Sylow, q- nhóm con Sylow và r- nhóm con Sylow. Do G là nhóm đơn nên G không có nhóm con chuẩn tắc thực sự. Theo 1.2.2, 1, 1, 1p q rn n n> > > . Theo Định lí Sylow, ta có |pn qr , kết hợp với 1pn > ta được pn q= , hoặc pn r= , hoặc pn qr= . Mà q< r nên pn q≥ . Mặt khác, qn pr= và 1(mod )pn q≡ , kết hợp với 1,qn p q r> < < ta suy ra qn r= hoặc qn pr= . Vậy qn r≥ . Hơn nữa, |rn pq và 1rn ≡ (mod r), kết hợp với 1,rn p q r> < < , ta suy ra rn pq= . 11 Khi đó, số phần tử cấp r trong G là ( ) ( )1 1rn r pq r− = − ; số phần tử cấp q trong G là ( ) ( )1 1qn q r q− ≥ − ; số phần tử cấp p trong G là ( ) ( )1 1pn p q p− ≥ − . Suy ra ( ) ( ) ( )1 1 1 ,G pq r q p r q pqr≥ − + − + − > điều này mâu thuẫn. Vậy G không là nhóm đơn. Định lý 1.2.5: Mọi nhóm cấp np đều không là nhóm đơn với mọi n > 1. Chứng minh. Lấy G là nhóm cấp np . Giả sử G là nhóm đơn. Theo Định lí Sylow, G có nhóm con H cấp 1np − , [ ]:G H p= . Khi đó, | !G p nên | !np p , suy ra 1n = . Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy G không là nhóm đơn. Định lý 1.2.6: Các nhóm cấp 2𝑛. 3 (𝑛 ≥ 2) không là nhóm đơn. Chứng minh. Dùng phản chứng , giả sử G là nhóm đơn có cấp 2𝑛. 3 (𝑛 ≥ 2) thì n2 > 1 nhưng theo Định lý Sylow, 𝑛23 và n2 ≡ 1(mod 2) suy ra n2 = 3 ⇒ ∃ H ≤ G, [G:H] = n2 = 3. Khi đó, G3! = 6 ⇒ 2n-11 (vô lý vì n – 1 ≥ 2). Định nghĩa 1.2.7: Cho M là tập. Khi đó kí hiệu Sym(M) là nhóm đối xứng trên tập M. Định nghĩa 1.2.8: Cho ( )S Sym M⊂ và a M∈ . Khi đó kí hiệu { }( ) ( ) ( ) ,( ) ( ) , y a khi y a a y S y y S a a khi y a a y S π ≠ ∈ ∈ =  = ∈ . Ta nói { }y y Sπ ∈ là tích hình thức các phần tử của S và viết tắt là yπ khi không có sự hiểu lầm. Định nghĩa 1.2.9: Cho G là một nhóm, H là nhóm con chỉ số n và 1,..., nx x G∈ sao cho { }1iG x H i n= ∪ ≤ ≤ . Lấy y G∈ sao cho ( )i A i iy x x h= , trong đó ih H∈ và A là 12 hàm đi từ { }1,...,n vào chính nó. Ta định nghĩa phép biến đổi T đi từ G vào H sao cho ( ) ( )[ , ]iT y h H Hπ= . Cho G là một nhóm, H là nhóm con có chỉ số hữu hạn của G và S là tập con của G. Định lý 1.2.10: Nếu { }G xH x S= ∪ ∈ , S hữu hạn, y G∈ và T là phép biến đổi từ G vào H, thì có tập con { }1' ,..., rS x x= của S và in N∈ sao cho ( ) [ ]1( ) [H,H], :ini i iT y x y x n G Hπ −= ∑ = và in nhỏ nhất để 1 .ini ix y x H− ∈ Chứng minh. Tồn tại ( )A Sym S∈ sao cho với mọi x S∈ , ( ( )) , .x xyx A x h h H= ∈ Gọi ( )1 ,..., mi ix x là chu trình bất kỳ của A. Khi đó 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ,..., , ; ... . m m m m m m i i i i i i i i i m i i i i y x x h y x x h y x x h x y x h h H − − − = = = = ∈ Tuy nhiên, nếu r m< thì 1 1 1 1 1 1 1 ... , r r r i i i i i ix y x x x h h H+ − −= ∉ sao cho m nhỏ nhất. Do định nghĩa của phép biến đổi, ( )T y là tích của [H,H] và các phần tử trong tất cả các chu trình của A. Định lý được chứng minh. Định lý 1.2.11: (Định lý Burnside) Cho G là một nhóm hữu hạn, P là p -nhóm con Sylow của G và ( ) ( ).G GN P C P= Khi đó P có phần bù chuẩn tắc trong G (tức là tồn tại nhóm K chuẩn tắc trong G và { }1K P = sao cho G KP= ). Nói riêng G không là nhóm đơn. Chứng minh. Ta có ( ) ( )G GN P C P= , ( )GP N P∈ và P là nhóm aben. Gọi T là phép biến đổi từ G vào P. Giả sử { }G xP x S= ∪ ∈ và { }\y P e∈ . Theo Định lý 1.2.10, có tập con 'S của S sao cho 13 { }1( ) 'xnT y x y x x Sπ −= ∈ với [ : ]xn G P∑ = và 1 xnx y x P− ∈ . Theo Định lý 1.1.9 tồn tại ( )Gz N P∈ để 1 1x xn nz y z x y x− −= . Vì ( ) ( )G GN P C P= nên 1 x xn nx y x y− = . Do đó, từ [ ]( ): , 1G P p = suy ra [G:P]( ) .x xn nT y y y y eπ ∑= = = ≠ Do đó er( ) .K T P E∩ = Suy ra PT P= , / er( )G K T P≅ và . er( )G P K T= . Từ đó suy ra er( )G K T P= và Ker(T) là phần bù chuẩn tắc của P. Định lý 1.2.12: Nếu G là nhóm đơn có cấp pm>p với p là số nguyên tố và không là ước của m, P là p-nhóm con Sylow của G thì ( ) ( )G GC P N P G< < và [ ]( ) : ( ) ( 1)G GN P C P p − . Chứng minh. Do G là nhóm đơn nên ( )GN P G< . Theo Định lý Burnside thì ( ) ( )G GC P N P< . Khi đó ( ) / ( )G GN P C P đẳng cấu với nhóm con của Aut(P), mà Aut(P) là nhóm cyclic cấp p-1, nên [ ]( ) : ( ) ( 1)G GN P C P p − . Định lý 1.2.13: Nếu G là nhóm hữu hạn, p là số nguyên tố, i∈N và np không đồng dư với 1 modun pi thì tồn tại hai nhóm con p-Sylow phân biệt H và K sao cho [ ]: iH H K p∩ < . Chứng minh. Gọi ( )pH Syl G∈ . Khi đó ta phân chia ( )pSyl G vào các lớp tương đương với L M khi và chỉ khi , .hM L h H= ∈ Số các lớp tương đương '( )Cl L là [ ] [ ]: ( ) :GH H N L H H L∩ = ∩ . Giả sử [ ]: iH H K p∩ ≥ , thì tất cả các '( )Cl L ngoại trừ '( )Cl H đều có ,jp j i≥ số. Do đó có 11 ... 1(mod )rj j ipn p p p= + + + ≡ . Điều này mâu thuẫn. Vậy [ ]: iH H K p∩ < . 14 1.3. Định lý Poincare Định nghĩa 1.3.1: Cho G là một nhóm và H là nhóm con của G. Khi đó ta ký hiệu 1:G g GH gHg − ∈ = ∩ . Mệnh đề 1.3.2: GH là nhóm con chuẩn tắc lớn nhất của G nằm trong H. Chứng minh. Dễ thấy GH là nhóm con của G. Hơn nữa, GH là nhóm con chuẩn tắc của G. Thật vậy, với mọi x G∈ ta luôn có 1 1 1 1( ) ( )G Gg G g GxH x x gHg x xgH xg H − − − − ∈ ∈ = ∩ = ∩ = . Mặt khác, giả sử K là nhóm con của H và K chuẩn tắc trong G, ta chứng minh K chứa trong GH . Thật vậy, do K G và K H≤ nên 1 1,K gKg gHg g G− −= ⊆ ∀ ∈ . Do đó 1 Gg G K gHg H− ∈ ⊆ ∩ = . Định lý 1.3.3: Cho G là một nhóm. Giả sử rằng G có nhóm con H chỉ số n>1. Khi đó tồn tại một đồng cấu : nG Sρ → sao cho erk Hρ ≤ . Chứng minh. Gọi X là tập hợp tất cả các lớp kề trái của G theo nhóm con H và lấy .a G∈ Ta định nghĩa hàm : , a X X gH agH g G ρ → ∀ ∈ Dễ dàng kiểm tra được mỗi aρ là một hoán vị của X ( nghịch đảo của nó là 1aρ − ) và : X a G S a ρ ρ →  là đồng cấu. Mà X nS S≅ nên ta có đồng cấu 15 : n a G S a ρ ρ →  Nếu era K ρ∈ thì , .agH gH g G= ∀ ∈ Nói riêng aH H= nên a H∈ . Do đó er .K Hρ ≤ Hệ quả 1.3.4: Giả sử : nG Sρ → là ánh xạ được xác định trong Định lý 1.3.3. Khi đó, ta có i) GH Kerρ= ii) G G H có thể nhúng vào trong Sn. Chứng minh. i) Ta có { }da XKer a G Iρ ρ= ∈ = Với mọi era K ρ∈ thì d ( ) ,a X aI gH gH gH Xρ ρ= ⇔ = ∀ ∈ 1 1, .G agH gH g ag H a gHg g G a H − − ⇔ = ⇒ ∈ ⇔ ∈ ∀ ∈ ⇒ ∈ Ngược lại, nếu Ga H∈ thì 1,a gHg g G−∈ ∀ ∈ . Từ đó suy ra ,agH gH g G= ∀ ∈ nên era K ρ∈ . Vậy GH Kerρ= . ii) Theo i) ta có GH Kerρ= . Khi đó Imer G K ρρ ≅ nên Im .nG G SH ρ≅ ⊆ Vậy G G H có thể nhúng vào trong Sn. Định lý 1.3.5: (Định lý Poincare) Nếu G là nhóm đơn và H là nhóm con chỉ số n>1 trong G thì G nhúng được vào Sn . Chứng minh. 16 Do GH G và G là nhóm đơn nên { }1GH = . Từ đó, do Hệ quả 1.3.4 suy ra, G nhúng được vào Sn. Hệ quả 1.3.6: Nếu G là nhóm đơn có nhóm con chỉ số n > 1 thì cấp của G là ước của n!. 1.4. Cấp của một số nhóm tuyến tính trên trường hữu hạn Cho K là một vành chia, V là một không gian vectơ m-chiều trên K. Khi đó ta định nghĩa: Định nghĩa 1.4.1: Nhóm tuyến tính tổng quát 𝐺𝐿(𝑉) là nhóm tất cả ánh xạ tuyến tính không suy biến trên V. Một ma trận (hoặc phép biến đổi tuyến tính) có định thức 1 được gọi là unimodular. Nhóm tuyến tính đặc biệt 𝑆𝐿(𝑉) là nhóm con của 𝐺𝐿(𝑉) gồm tất cả các phép biến đổi unimodular. Ký hiệu Z(V) gồm tất cả các phép biến đổi vô hướng, 𝑆𝑍(𝑉) gồm tất cả các phép biến đổi vô hướng unimodular. Khi đó ta định nghĩa Nhóm tuyến tính xạ ảnh tổng quát 𝑃𝐺𝐿(𝑉) = 𝐺𝐿(𝑉)/𝑍(𝑉), Nhóm tuyến tính xạ ảnh đặc biệt 𝑃𝑆𝐿(𝑉) = 𝑆𝐿(𝑉)/𝑆𝑍(𝑉), Chọn một cơ sở được sắp { }1,..., ne e của V, khi đó mỗi 𝑇 ∈ 𝐺𝐿(𝑉) xác định một ma trận, trong đó 𝑇𝑒𝑗 = ∑ 𝛼𝑖𝑗𝑒𝑖𝑖 (cột thứ j của A gồm các tọa độ của 𝑇𝑒𝑗). Ta có định nghĩa: Định nghĩa 1.4.2: Nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên K 𝐺𝐿(𝑛,𝐾) = {�𝑎𝑖𝑗� ∈ 𝑀𝑛(𝐾), 𝑑𝑒𝑡�𝑎𝑖𝑗� ≠ 0}. Nhóm tuyến tính đặc biệt bậc n trên K 𝑆𝐿(𝑛,𝐾) = {�𝑎𝑖𝑗� ∈ 𝑀𝑛(𝐾), 𝑑𝑒𝑡�𝑎𝑖𝑗� = 1} Nhóm tuyến tính xạ ảnh tổng quát 𝑃𝐺𝐿(𝑛,𝐾) = 𝐺𝐿(𝑛,𝐾)/𝑍(𝑛,𝐾). 17 Nhóm tuyến tính xạ ảnh đặc biệt bậc n trên K 𝑃𝑆𝐿(𝑛,𝐾) = 𝑆𝐿(𝑛,𝐾)/𝑆𝑍(𝑛,𝐾). Trong đó 𝑍(𝑛,𝐾) = {𝛼𝐸 ∈ 𝑀𝑛(𝐾),𝛼 ≠ 0} 𝑆𝑍(𝑛,𝐾) = {𝛼𝐸 ∈ 𝑀𝑛(𝐾), 𝛼𝑛 = 1} Nếu ( )K F q= là trường hữu hạn với 𝑞 = 𝑝𝑛 phần tử thì ta có thể thay các ký hiệu 𝐺𝐿(𝑛,𝐾), 𝑆𝐿(𝑛,𝐾), 𝑃𝐺𝐿(𝑛,𝐾), 𝑃𝑆𝐿(𝑛,𝐾) lần lượt là 𝐺𝐿(𝑛, 𝑞), 𝑆𝐿(𝑛, 𝑞), 𝑃𝐺𝐿(𝑛, 𝑞), 𝑃𝑆𝐿(𝑛, 𝑞). Định nghĩa 1.4.3. Hiển nhiên 𝐺𝐿(𝑉) ≅ 𝐺𝐿(𝑛,𝐾) và S𝐿(𝑉) ≅ 𝑆𝐿(𝑛,𝐾). Xét không gian vec tơ V trên K và V* là không gian đối ngẫu của V. Với các phần tử 𝑣 ∈ 𝑉 và 𝜌 ∈ 𝑉∗ thỏa 𝜌(𝑣) = 0, ánh xạ 𝜏𝑣,𝜌(𝑥) = 𝑥 + 𝑣𝜌(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝑉 là một phép biến đổi tuyến tính khả nghịch trong không gian vec tơ V và được gọi là một phép co. Hiển nhiên, nếu 𝜏 là phép co thì 𝜏−1 cũng là phép co. Cho 0 ≠ 𝑎 𝜖 𝐾 và 𝑖 ≠ 𝑗 là các số nguyên 1 < 𝑖, 𝑗 < 𝑛, một phép co sơ cấp 𝑡𝑖𝑗(𝑎) là một ma trận cấp 𝑛 × 𝑛 có dạng 1 + 𝑎𝐸𝑖𝑗. Phép co sơ cấp chỉ khác ma trận đơn vị là a ở vị trí thứ (i, j). Các phép co sơ cấp nằm trong 𝑆𝐿(𝑛,𝐾) và có vai trò tương tự như các 3- chu trình trong 𝐴𝑛. Tầm quan trọng của chúng là do phép nhân trái của một ma trận với phép co sơ cấp là cộng a lần dòng thứ j vào dòng thứ i, vì thế được gọi là phép toán dòng. Định lý 1.4.4. Với 𝑛 > 1, 𝑆𝐿(𝑛,𝐾) được sinh bởi các phép co sơ cấp. Chứng minh. Cho 𝐴 ∈ 𝑆𝐿(𝑛,𝐾). Ta đưa A về 1𝑛 bằng phép toán dòng. Cộng một dòng vào dòng thứ hai nếu cần thiết, ta có thể giả sử 𝑎21 ≠ 0. Cộng 𝑎21−1(1 − 𝑎11) lần dòng thứ 18 hai vào dòng đầu ta được 1 ở vị trí (1, 1). Trừ đi bội của dòng đầu ta nhận được 0 ở cột đầu bên dưới dường chéo. Định thức con thứ (1, 1) thuộc vào 𝑆𝐿(𝑛 − 1,𝐾) và có thể xử lí tương tự cho đến khi ta thu được một ma trận với 1 trên dường chéo và 0 bên dưới. Hơn nữa các phép toán dòng đưa ma trận về dạng đồng nhất. Do đó 𝑇𝑘𝑇𝑘−1 𝑇1𝐴 = 1𝑛 với phép co đã biết 𝑇𝑖, và 𝐴 = 𝑇1−1 𝑇𝑘−1−1 𝑇𝑘−1: Dĩ nhiên 𝑇𝑖−1 là một phép co và mọi phép co đều thuộc vào 𝑆𝐿(𝑛,𝐾). Định lý 1.4.5. Tâm của ( , )SL n K trong GL(n,K) là 𝑍(𝑛,𝐾). Chứng minh. Rõ ràng một ma trận vô hướng giao hoán với ma trận bất kỳ trên 𝐺𝐿(𝑛,𝐾). Ngược lại, cho 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) thuộc tâm của 𝑆𝐿(𝑛,𝐾) trên 𝐺𝐿(𝑛,𝐾). Viết 𝐸𝑖𝑗 là ma trận sơ cấp cấp 𝑛 × 𝑛 với 1 ở vị trí 𝑖𝑗 và 0 ở các vị trí còn lại. Như vậy 1 + 𝐸𝑖𝑗 ∈ 𝑆𝐿(𝑛,𝐾) nếu 𝑖 ≠ 𝑗, vì thế A và 1 + 𝐸𝑖𝑗 giao hoán khi 𝐴𝐸𝑖𝑗 = 𝐸𝑖𝑗𝐴. Hệ số thứ (𝑘, 𝑗) của 𝐴𝐸𝑖𝑗 là 𝑎𝑘𝑖 khi 𝐸𝑖𝑗𝐴 là 0 nếu 𝑘 ≠ 𝑖 và là 𝑎𝑗𝑗 trong trường hợp còn lại. Do đó 𝑎𝑘𝑖 = 0 nếu 𝑘 ≠ 𝑖 và 𝑎𝑖𝑖 = 𝑎𝑗𝑗, suy ra A vô hướng. Định lý 1.4.6. i) Tâm của 𝐺𝐿(𝑉) là 𝑍(𝑉). ii) Tâm của 𝑆𝐿(𝑛,𝐾) là 𝑆𝑍(𝑛,𝐾). Chứng minh. i) Nếu 𝑇 ∈ 𝐺𝐿(𝑉) không là một phép biến đổi vô hướng thì có 𝑣 ∈ 𝑉 sao cho {𝑣,𝑇𝑣} độc lập. Mở rộng ra một cơ sở {𝑣,𝑇𝑣, 𝑢3, , 𝑢𝑚} của V. Dễ thấy {𝑣, 𝑣 + 𝑇𝑣,𝑢3, ,𝑢𝑚} cũng là một cơ sở của V. Do đó có một phép biến đổi tuyến tính (không suy biến) 𝑆:𝑉 → 𝑉 với 𝑆𝑣 = 𝑣, 𝑆(𝑇𝑣) = 𝑣 + 𝑇𝑣 và 𝑆𝑢𝑖 = 𝑢𝑖 với mọi 𝑖 ≥ 3. Bây giờ T và S không giao hoán, với 𝑇𝑆(𝑣) = 𝑇𝑣 khi 𝑆𝑇(𝑣) = 𝑣 + 𝑇𝑉. Do đó 𝑇∉ 𝑍(𝐺𝐿(𝑉)), suy ra 𝑍(𝐺𝐿(𝑉)) = 𝑍(𝑉). 19 ii) Giả sử 𝑇 ∈ 𝑆𝐿(𝑉), T không vô hướng, và S là phép biến đổi tuyến tính đã xây dựng trong i). Ma trận của S tương đối với cơ sở {𝑣,𝑇𝑣, 𝑢3, , 𝑢𝑚} là phép co sơ cấp 𝑡12(1), vì thế det 𝑆 = 1 và 𝑆 ∈ 𝑆𝐿(𝑉). Theo i), 𝑇∉ 𝑍(𝑆𝐿(𝑉)). Tức, nếu 𝑇 ∈ 𝑍(𝑆𝐿(𝑉)) thì 𝑇 = 𝛼𝐸 với 𝛼 ∈ 𝐾. Cuối cùng det(𝛼𝐸) = 𝛼𝑚, và vì thế 𝛼𝑚 = 1, do đó 𝑆𝑍(𝑉) = 𝑍(𝑆𝐿(𝑉)). Định lý 1.4.7 Nếu 𝑛 > 2 thì hai phép co bất kỳ liên hợp với nhau trong 𝑆𝐿(𝑛,𝐾). Chứng minh. Trước hết ta xét các phép co 1 + 𝑎𝐸𝑖𝑗 và 1 + 𝑏𝐸𝑖𝑗 và đặt 𝑐 = 𝑎−1𝑏. Gọi D là ma trận chéo cấp 𝑛 × 𝑛 với 1 ở vị trí (𝑖, 𝑖), c ở vị trí (𝑗, 𝑗), 𝑐−1 ở vị trí nào đó trên đường chéo và 1 ở các vị trí còn lại trên đường chéo. Khi đó 𝐷 ∈ 𝑆𝐿(𝑛,𝐾) và 𝐷−1�1 + 𝑎𝐸𝑖𝑗�𝐷 = 1 + 𝑏𝐸𝑖𝑗 . Bây giờ xét các phép co 1 + 𝑎𝐸𝑖𝑗 và 1 + 𝑎𝐸𝑟𝑗 , 𝑖 ≠ 𝑟. Gọi P là ma trận cấp 𝑛 × 𝑛 chỉ khác 1𝑛 ở chổ 1 ở vị trí (𝑟, 𝑖) và 0 ở vị trí (𝑖, 𝑖) và (𝑟, 𝑟). Khi đó 𝑃 ∈ 𝑆𝐿(𝑛,𝐾). Ta tính được 𝑃−1�1 + 𝑎𝐸𝑖𝑗�𝑃 = 1 + 𝑎𝐸𝑟𝑗, trong đó 𝑗 ≠ 𝑖, 𝑟. Tương tự 𝑄−1�1+.𝑎𝐸𝑟𝑗�𝑄 = 1 + 𝑎𝐸𝑟𝑠, trong đó Q là ma trận cùng dạng với P. Suy ra tất cả các phép co đều liên hợp với nhau trong 𝑆𝐿(𝑛,𝐾). Định lý 1.4.8 Nếu N là một nhóm con chuẩn tắc của 𝑆𝐿(2,𝐾) chứa một phép co thì 𝑁 = 𝑆𝐿(2,𝐾). Chứng minh. Lấy �1 𝑎0 1� ∈ 𝑁, trong đó 𝑎 ≠ 0. Ta chứng minh �1 𝑥0 1� ∈ 𝑁 với mọi 𝑥 ∈ 𝐾. Từ đó suy ra N sẽ chứa �0 −11 0 �−1 �1 𝑥0 1� �0 −11 0 � = � 1 0−𝑥 1�, và theo 3.3.4 ta được 𝑁 = 𝑆𝐿(2,𝐾). Do đó ta có thể giả thuyết rằng |𝐾| > 2. Liên hợp �1 𝑎0 1� với �𝑥−1 00 𝑥�, ta được �1 𝑎𝑥20 1 �. Hơn nữa N chứa ma trận �1 𝑎𝑥20 1 � �1 𝑎𝑦20 1 �−1 = �1 𝑎(𝑥2 − 𝑦2)0 1 �, với mọi 𝑥,𝑦 ∈ 𝐾 (1) 20 Nếu K có đặc trưng khác 2 thì 𝑏 = (2−1(𝑏 + 1))2 − (2−1(𝑏 − 1))2, vì thế mọi phần tử của K khác 2 bình phương và kết quả suy ra từ (1). Giả sử K có đặc trưng 2. Trong bất cứ trường hợp nào N chứa �1 𝑟0 1� và �1 𝑎0 1� thỏa 𝑎−1𝑟 là một bình phương trong K. Liên hợp các ma trận này bởi � 0 1 −1 0� được � 1 0−𝑟 1� và � 1 0−𝑎 1� tương ứng. Do đó N chứa � 1 0 −𝑎 1� �1 𝑚0 1 � � 1 0−𝑟 1� = � 1 −𝑚𝑟 𝑚𝑎𝑚𝑟 − 𝑎 − 𝑟 1 − 𝑎𝑚�, trong đó 𝑎−1𝑚 là một bình phương. Giả sử ta có thể chọn 𝑟 và 𝑚 để 𝑎𝑚𝑟 = 𝑎 + 𝑟. Khi đó N chứa 𝑦 tùy ý ��1 −𝑚𝑟 𝑚0 1 − 𝑎𝑚� , �1 −𝑦0 1 �� = �1 𝑚𝑦(1 − 𝑎)(1 −𝑚𝑟)−10 1 �. (2) Chọn 𝑙 ∈ 𝐾∗ sao cho 𝑙4 = 1. 𝑙 tồn tại vì nếu tất cả các lũy thừa bốn trong 𝐾∗ là 𝑙 thì |𝐾| = 3 hoặc 5. Đặt 𝑚 = 𝑎−1(1 + 𝑙−1) và 𝑟 = 𝑎𝑙2. Điều này thỏa 𝑎𝑚𝑟 = 𝑎 + 𝑟 và 𝑎−1𝑚 = (𝑎−1(1 + 𝑙−1))2, vì thế sự chọn lựa 𝑚 và 𝑟. Khi đó 𝑚𝑦(𝑟 − 𝑎)(1 −𝑚𝑟)−1 = 𝑦(𝑙−4 − 1), điều này bao quát trên tất cả K cũng như các giá trị 𝑦. Kết quả được suy ra ngay từ (2). Định lý 1.4.9 Cho N là một nhóm con chuẩn tắc của 𝑆𝐿(2,𝐾) không chứa trong tâm và |𝐾| > 3. Khi đó 𝑁 = 𝑆𝐿(2,𝐾). Chứng minh. Vì N có thể bị thay thế bởi một liên hợp trong 𝐺𝐿(𝑛,𝐾) nếu cần nên ta có thể giả thiết N chứa một phần tử không tâm A dạng chính tắc hữu tỉ. Theo 1.4.8, ta có thể giả thiết N không chứa một phép co. Trước hết giả sử 𝐴 = �𝑎 00 𝑎−1�, trong đó 𝑎 ≠ 𝑎−1. Nếu 𝐵 = �1 10 1� thì N phải chứa hoán tử [𝐴,𝐵] = 𝐴−1𝐵−1𝐴𝐵 = �1 1 − 𝑎−20 1 �. Đây là một phép co vì 𝑎2 ≠ 1. 21 Suy ra A phải có dạng �0 1 𝑏 𝑎 �. Ở đây 𝑏 = 1 vì det𝐴 = 1. Giao hoán tử của �𝐴−1, �1 −𝑥20 1 �� = � 1 −𝑥2−𝑥2 1 + 𝑥4� ∈ 𝑁, với mọi 𝑥 ∈ 𝐾. Liên hợp của ma trận này bởi �𝑥 −1 −𝑥−10 𝑥 � được � 0 1−1 2 + 𝑥4�. Do đó N chứa ma trận � 0 1 −1 2 + 𝑥4�−1 � 0 1−1 2 + 𝑦4� = �1 𝑥4 − 𝑦40 1 �, với mọi 𝑥 ≠ 0,𝑦 ≠ 0. Vì N không chứa phép co nên lũy thừa bậc bốn của mọi phần tử khác không của K bằng 1. Nhưng đa thức 𝑡4 − 1 có nhiều nhất bốn nghiệm trong K. Do đó |𝐾| = 𝑞 hữu hạn và 𝑞 − 1 ≤ 4. Vì 𝑞 > 3 theo giả thiết nên 𝑞 = 5. Trường hợp đòi hỏi một chứng minh đặc biệt. Ta biết N chứa � 0 1 −1 3�, bởi việc cho 𝑥 = 1 ở trên. N cũng chứa hoán tử của � 0 1 −1 𝑎�−1 = �𝑎 −11 0 � và �1 −20 1 �, là � 1 −2−2 0 � vì 𝑞 = 5. Liên hợp � 1 −2−2 0 � bởi � 2 −1 −2 −1� thuộc 𝑆𝐿(2,5) được � 0 1−1 1� trong N. Sau cùng N chứa � 0 1 −1 3�−1 � 0 1−1 1� = �1 20 1�, là một phép co. Định nghĩa 1.4.10: Ta nói nhóm con G của ( )nGL K là bất biến đối với những phép biến đổi unimodular, nếu 1 , ( ).nG G SL Kσ σ σ − ≤ ∀ ∈ Định lý 1.4.11: Giả sử 3n ≥ hoặc 2n = nhưng K chứa không ít hơn 4 phần tử. Nếu G là nhóm con của ( )nGL K , bất biến đối với những phép biến đổi unimodular, và G không nằm trong tâm của ( )nGL K thì G chứa ( )nSL K . Định lý 1.4.11 nhằm để chứng minh Định lý Jordan-Dickson. Đi chứng minh Định lý 1.4.11 rất phước tạp và vượt quá khả năng của luận văn cao học, nên ta có thể tham khảo trong [2], Định lý 6.4.4, trang 137. 22 Định lý 1.4.12: (Jordan-Dickson): S ( )nP L K là nhóm đơn, ngoại trừ các nhóm 2 2( )PSL F và 2 3( )PSL F . Chứng minh. Giả sử H là một nhóm con chuẩn tắc của S ( )nP L K . Xét đồng cấu tự nhiên 0: ( ) ( ) / S ( )n n nSL K SL K P L Kϕ → Ζ = . Đặt 1( )G Hϕ−= . Khi đó, ( )nG SL K . Nếu 0G Z⊆ thì 1H = . Nếu 0G Z⊄ thì theo Định lý 1.4.11, ( )nG SL K= , ngoại trừ các trường hợp khi 2n = , 2K F= hoặc 3K F= . Do đó S ( )nH P L K= . Theo một định lý nổi tiếng của Wedderburn thì mọi vành chia hữu hạn đều là trường. Bây giờ ta xét K là trường hữu hạn. Ký hiệu ( , )GL n q , ( , )SL n q và S ( , )P L n q tương ứng là các nhóm tuyến tính tổng quát, nhóm tuyến tính đặc biệt và nhóm tuyến tính xạ ảnh unimodular bậc n trên trường hữu hạn qK F= gồm q phần tử. Định lý 1.4.13: i) Cấp của GL(n,q) là ( 1)/2 1 ( 1) n n n i i q q− = −∏ . ii) Cấp của SL(n,q) là ( 1)/2 2 ( 1) n n n i i q q− = −∏ . iii) Cấp của PSL(n,q) là ( 1)/2 2 1 ( 1) n n n i i q q d − = −∏ , trong đó d là ước chung lớn nhất của n và q-1. Chứng minh. (i) Gọi V là không gian vectơ n chiều trên Fq, {e1,, en} là cơ sở của V và ( )GL Vσ ∈ . Đặt ' ( ), 1i ie e i nσ= ∀ ≤ ≤ . 23 Khi đó, { }' '1,..., ne e cũng là một cơ sở của V. Phần tử 'ie có thể được chọn bất kỳ từ 1nq − phần tử khác 0 của V. Giả sử ta đã chọn được những vectơ ' '1,..., ( )ie e i n< . Các vec tơ này sinh ra một không gian con số chiều i, nên gồm iq phần tử. Ta có thể chọn bất kỳ một vec tơ nào nằm ngoài không gian con này để làm vec tơ ' 1ie + . Có n iq q− khả năng chọn như vậy. Vậy, tổng các khả năng để chọn bộ các vec tơ { }' '1,..., ne e là 1 ( 1)/2 1 ( 1)( )...( ) ( 1). n n n n n n n n i q q q q q q q− − = − − − = −∏ Hiển nhiên đây chính là cấp của GL(n,q). (ii) Đặt K=Fq .Rõ ràng SL(n,q) là nhân của toàn cấu *det : ( , )GL n q K→ . Do đó ( 1)/2 * 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( 1) 1 n n n i i GL n q GL n q SL n q q q K q − = = = = − − ∏ . (iii) Mỗi phần tử thuộc tâm của SL(n,q) đều có dạng [α,, α], với *Kα ∈ thỏa 1nα = . Do đó cấp của Z(SL(n,q)) bằng số nghiệm của phương trình Xn=1 trong K*. Trước hết nhận xét rằng * 1K q= − nên * 1, 1qx K x −∀ ∈ = . Do đó đa thức 1qX − phân rã thành những nhân tử tuyến tính khác nhau trên K. Đặt ( , 1)d n q= − là ước chung lớn nhất của n và q-1. Khi đó, tồn tại các số nguyên r và s sao cho d=nr + (q-1).s. Từ đây suy ra 1 1d nα α= ⇔ = . Vậy, thay vì tìm số các nghiệm khác nhau của phương trình Xn=1 trong K*, ta tìm số các nghiệm khác nhau của phương trình 1dα = trong K*. Đa thức 1qX − -1 có q-1 nghiệm khác nhau trong K* nên 1dX − (là ước của 1qX − -1) cũng phải có d nghiệm khác nhau trong K*. Do đó, ( ( , ))Z SL n q d= suy ra 24 1( , ) ( , )PSL n q SL n q d = . 25 CHƯƠNG 2: NHÓM CON CỦA NHÓM TUYẾN TÍNH XẠ ẢNH UNIMORDULAR BẬC HAI TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN GỒM CHÍN PHẦN TỬ Đặt S (2,9)G P L= . Khi đó theo Định lý 1.4.13 ta có ( 1) 22 2 1 1. . ( 1) .9.(9 1) 360 ( , 1) 2 n n n i i G q q n q − = = Π − = − = − . Trong Lý thuyết nhóm hữu hạn có một kết quả nói rằng tất cả các nhóm đơn cấp 360 đều đẳng cấu với nhau. Theo Định lý 1.4.12 thì PSL(2,9) là nhóm đơn. Do A6 cũng là nhóm đơn cấp 360, do đó 6S (2,9) .P L A≅ 2.1. Các 3-nhóm con Sylow của G Mệnh đề 2.1: G có 10 các 3-nhóm con Sylow. Mọi 3-nhóm con Sylow của G đều đẳng cấu với 3 3×  . Chứng minh. Ta có 3 2360 2 .3 .5G = = . Gọi n3 là số các 3-nhóm con Sylow của G. Vì G là nhóm đơn, nên theo Định lý 1.2.2 thì n3 >1. Theo Định lý Sylow ta có 3 40n và 3 1 ( d3)n mo≡ nên n3=4 hoặc n3=10 hoặc n3=40. Gọi P là một 3-nhóm con Sylow của G thì cấp của P bằng 9. Nếu n3=4, theo Định lý 1.1.7, thì ( ): 4GG N P   = . Do đó G có nhóm con chỉ số 4, theo Hệ quả 1.3.6, suy ra cấp G là ước của 4!=24, điều này vô lý với cấp G bằng 360. Nếu 3 40n = thì ( ): 40GG N P   = hay ( ) 9GN P = . Do đó ( ) .GP N P= Hơn nữa, ( )GP N P nên ( ).GP N P= Vì 9P = nên theo Định lý 1.1.8, P là nhóm aben. Do đó ( ) ,GP C P≤ suy ra ( ).GP C P= Vậy, ( ) ( ).G GN P P C P= = Theo định lí 1.2.11, suy ra G không là nhóm đơn, điều này trái với giả thiết. Vậy n3=10