Luận văn Phân phối giá trị cho các siêu mặt trong P^n (Cp)

0 ( , ) (0, )log ( , ) log (0, ) logυ υ υµ υ−= + +∫ r r f t f fr f a dt f r t . Định lý 1.2.1.5. Với ( ) \{0}, 0rf K r∈ > , tồn tại.đa thức 0 1( ) [ ]g z b b z b z K z υ υ= + + + ∈ với ( , )r fυ υ= và một chuỗi lũy thừa: 0 ( ) 1 ,nn n n h z c z c K ∞ = = + ∈∑ . thỏa mãn: i) ( ) ( ) ( )f z h z g z= ; ii) ( , )r g b rυυµ = ; iii) ( )rh K∈ ; iv) ( , 1) 1r hµ − < và ( , ) ( , )r f g r fµ µ− < . Định nghĩa 1.2.1.6. 17 Với U K⊂ là tập mở, hàm :f U K→ được gọi là khả vi tại 0z U∈ nếu tồn tại 0 0 0 0 ( ) ( )lim : '( ). h f z h f z f z h→ + − = Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu f khả vi tại mọi z U∈ . Định nghĩa 1.2.1.7. Giả sử D là tập vô hạn trong K , ( )R D là tập các hàm hữu tỷ h không có cực điểm trong D . Khi đó, với mọi ( )h R D∈ đặt: sup ( )D z D h h z ∈ = . Kí hiệu ( )DH là đầy đủ hóa của R(D) theo tôpô sinh bởi chuẩn hội tụ đều trên D . Mỗi phần tử của ( )DH được gọi là một giải tích tử trên D hay hàm giải tích toàn cục trên D . Khi đó, ( )DH là một K -không gian vectơ và mỗi giải tích tử trên D là giới hạn đều của một dãy các hàm hữu tỷ thuộc R(D). Mệnh đề 1.2.1.8. Với r +∈ , ta có ( [0; ]) ( )rK r K=H . Định nghĩa 1.2.1.9. Giả sử D K⊂ không có điểm cô lập. Hàm :f D K→ được gọi là giải tích địa phương nếu với mỗi a D∈ , tồn tại ,{ }nr a K +∈ ⊂ sao cho 18 0 ( ) ( )nn n f z a z a ∞ = = −∑ , [ ; ]z D K a r∀ ∈ ∩ . Ký hiệu ( )Hol D là tập các hàm giải tích địa phương trên D . Mệnh đề 1.2.1.10. ( ) Hol( ).D D⊂H Định nghĩa 1.2.1.11. Giả sử D K⊂ không có điểm cô lập. Hàm : { }f D K→ ∪ ∞ được gọi là hàm phân hình toàn cục trên D nếu tồn tại một tập đếm được S D⊂ , S không có điểm giới hạn trong D sao cho f là giải tích tử trên \D S . Ký hiệu ( )DM là tập các hàm phân hình toàn cục trên D . Định nghĩa 1.2.1.12. Giả sử D K⊂ không có điểm cô lập. Hàm : { }f D K→ ∪ ∞ được gọi là hàm phân hình địa phương trên D nếu với mọi a D∈ , tồn tại ,r +∈ ,q +∈ { }na K⊂ sao cho ( ) ( )nn n q f z a z a ∞ =− = −∑ , [ ; ]z D K a r∀ ∈ ∩ . Ký hiệu ( )Mer D là tập các hàm phân hình địa phương trên D . Định nghĩa 1.2.1.13. Giả sử D K⊂ là tập mở. Một hàm :f D K→ được gọi là giải tích tại một điểm a D∈ nếu tồn tại { }ρ +∈ ∪ ∞ và na K∈ sao cho ( ; )K a Dρ ⊂ nhưng [ ; ] \K a Dρ′ ≠ ∅ với mọi ρ ρ′ > và sao cho: 19 0 ( ) ( )nn n f z a z a ∞ = = −∑ , ( ; )z K a ρ∈ . Nếu f giải tích tại mọi điểm thuộc D thì f được gọi là giải tích trên D . Ký hiệu ( )D là tập các hàm giải tích trên D . Đĩa ( ; )K a ρ nói trên được gọi là đĩa giải tích tối đại trên D . Hàm f còn được gọi là có tính chất giải tích tối đại trên D . Mệnh đề 1.2.1.14. ( ) ( ) Hol( )D D D⊂ ⊂H  . Định nghĩa 1.2.1.15. Ký hiệu ( )D trường các phân thức của ( )D . Mỗi phần tử f trong tập ( )D được gọi là một hàm phân hình trên D . Nếu f không có cực điểm trong D thì f còn được gọi là chỉnh hình. Mệnh đề 1.2.1.16. (i) (( (0; )) ( )K Kρρ =  . (ii) { }(( (0; )) | , ( ), 0ghK g h K hρρ = ∈ ≡/  . (iii) Đặt ( ( ) ( (0; ))K Kρ ρ=  . Ta có ( (0; )) ( [0; ]). r K K r ρ ρ < =  M Ký hiệu ( ( ) ( (0; )) ( )K K K∞ = ∞ =   là tập các hàm phân hình trên K . Mệnh đề 1.2.1.17. Giả sử ( ( )f Kρ∈ , khi đó tồn tại , ( )g h Kρ∈ sao cho gf h = và ( , )( , ) , 0 ( , ) r gr f r r h µµ ρ µ = ≤ < . 20 Đặc biệt 1 1( , ) ( , ) r f r f µ µ = . Mệnh đề 1.2.1.18. Với 0 r ρ< < , hàm (( ,.) : ( )r Kρµ +→  thỏa mãn: (, ( )f g Kρ∀ ∈ i) ( , ) 0r fµ = khi và chỉ khi f = 0. ii) { }( , ) max ( , ), ( , )r f g r f r gµ µ µ+ ≤ . iii) ( , ) ( , ) ( , )r fg r f r gµ µ µ= . Từ định lý 1.2.1.5 ta có định lý quan trọng sau (chứng minh xem trong [5]). Mệnh đề 1.2.1.19. (Định lý chuẩn bị Weierstrass). Cho ( ) ( )rf z K∈ . Giả sử rằng f không đồng nhất không. Khi đó tồn tại một đa thức 0 1( ) v vg z b b z b z= + + + , deg ( , )g r fυ= và một hàm chỉnh hình 1 1 ( )nn r n h c z K ∞ = = + ∈∑  sao cho i) ( ) ( ) ( )f z g z h z= , ii) ( )f z chỉ có ( , )r fυ không điểm trên (0; )K r , v) Đặt { }( , ) min | ( , )nnr f n a r r fω µ= = thì ( , ) ( , )r f r fυ ω− bằng với số không điểm của f tại những điểm z mà ( ) logv z t r= = − . vi) h không có không điểm trong (0; )D r . Sau đây ta sẽ định nghĩa các hàm đặc trưng Nevanlinna của hàm chỉnh hình trên (0; )K ρ . 1.2.2. Các hàm đặc trưng Nevanlinna của hàm chỉnh hình. Xét ( ( )f Kρ∈ (0 )ρ< ≤ ∞ và đặt 21 ( ) ( 0, 0)nn m n m f z a z a m ∞ = = ≠ ≥∑ . Hệ số ma còn được ký hiệu là *(0)f . Định nghĩa 1.2.2.1. Với a K∈ , ta đặt 1,n r f a    −  là hàm đếm của f tại a , đếm số không điểm kể cả bội của f a− mà giá trị tuyệt đối không vượt quá r . Nói riêng 10,n m f   =    . Chọn trước một số thực 0ρ mà 00 ρ ρ< < , ta có các định nghĩa sau. Định nghĩa 1.2.2.2. Ta định nghĩa hàm giá trị của f tại a bởi 0 1, 1, r n t f aN r dt f a tρ    −   = −  ∫ , 0( )rρ ρ< < Ký hiệu ( ) 0 1 1, 0, 1, 0, log , (0 ). r n t n f a f aN r f a dt n r r t f a ρ     −   − −     = = + < < −  ∫ Khi đó ta có 0 1( , ) ( , ) , 0.N r f a N f a N r f a ρ   = − = = ≥ −  22 Từ định lý 1.2.1.4 ta suy ra công thức Poisson-Jensen: Mệnh đề 1.2.2.3. ( , 0) log ( , ) log *(0)N r f r f fµ= = − , Điều này có nghĩa là 0 1, log ( , ) log ( , )N r r f f f µ µ ρ   = −    . Định nghĩa 1.2.2.4. Ta đặt số các không điểm phân biệt của f tại a trong [0; ]K r là 1,n r f a    −  và định nghĩa 0 1, 1, r n t f aN r dt f a tρ    −   = −  ∫ 0( )rρ ρ< < . 1.2.3. Các hàm đặc trưng Nevanlinna của hàm phân hình. Cố định 00 rρ ρ< < < ≤ ∞ , ta xét ( ( )f Kρ∈ . Khi đó có 0 1, ( )rf f K∈ sao cho 1 0 ff f = và 0 1,f f không có nhân tử chung trong ( )r K . Lấy bất kỳ { }a K∈ ∪ ∞ , ta có các định nghĩa sau. Định nghĩa 1.2.3.1. Ta định nghĩa hàm đếm 1,n r f a    −  của f tại a bởi 23 0 1 0 1( , ) , , 1, 1, , . n r f n r a f n r f a n r a f af    = = ∞       =  −     ≠ ∞  −  Định nghĩa 1.2.3.2. Ta định nghĩa hàm giá trị 1,N r f a    −  của f tại a bởi 0 1 0 1( , ) , , 1, 1, , . N r f N r a f N r f a N r a f af    = = ∞       =  −     ≠ ∞  −  Ký hiệu ( ) ( ) 0 1 0 ( , 0), , , 0 , . N r f a N r f a N r f af a = = ∞= =  − = ≠ ∞ Định nghĩa 1.2.3.3. Ta định nghĩa hàm đếm 1,n r f a    −  của f tại a bởi 0 1 0 1( , ) , , 1, 1, , . n r f n r a f n r f a n r a f af    = = ∞       =  −     ≠ ∞  −  Định nghĩa 1.2.3.4. Ta định nghĩa hàm giá trị 1,N r f a    −  của f tại a bởi 24 0 1 0 1( , ) , , 1, 1, , . N r f N r a f N r f a N r a f af    = = ∞       =  −     ≠ ∞  −  Định nghĩa 1.2.3.5. Ta định nghĩa hàm xấp xỉ của hàm f trên [ ]0;K r bởi ( , ) log ( , ) max{0,log ( , )}m r f r f r fµ µ+= = . Định nghĩa 1.2.3.6. Ta định nghĩa hàm đặc trưng của hàm f trên [ ]0;K r bởi ( , ) ( , ) ( , )T r f m r f N r f= + . Định nghĩa *(0)f như sau: tồn tại số nguyên m sao cho *0 ( )*(0) lim mx f zf K z→ = ∈ . Khi đó ta có các công thức sau: Mệnh đề 1.2.3.7. (Công thức Jensen). ( , 0) ( , ) log ( , ) log *(0)N r f N r f r f fµ= − = ∞ = − , và 0 1, ( , ) log ( , ) log ( , ).N r N r f r f f f µ µ ρ   − = −    Ta có thể viết lại công thức Jensen như sau: 0 1, ( , ) log ( , ).T r T r f f f µ ρ   = −    25 1.2.4. Hai định lý cơ bản Nevanlinna trong trường p-adic. Hai định lý sau tương tự như hai định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna cũng như mối liên hệ số khuyết, nhưng trong trường không Acsimet. Phần chứng minh có thể tham khảo trong [5]. Địnhlý 1.2.4.1. (Định lý cơ bản thứ nhất). Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên (0; )K ρ . Khi đó, với mọi a K∈ ta có 1 1, , ( , ) 0(1)m r N r T r f f a f a     + = +   − −    trong đó 0(1) bị chặn khi ρ→r . Định lý 1.2.4.2. (Định lý cơ bản thứ hai). Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên (0; )K ρ và 1,..., qa a là các số phân biệt trong K . Đặt { }min 1, i ji j a aδ ≠= − , { }max 1, iiA a= . Khi đó với mọi 0 ,r ρ< < Ram 1 1 1( 1) ( , ) ( , ) , ( , ) log 1( , ) , log , q f j j q f j j q T r f N r f N r N r f r S f a N r f N r r S f a = =   − ≤ + − − +  −    ≤ + − +  −  ∑ ∑ trong đó 26 Ram 1( , ) 2 ( , ) ( , ) ,R r f N r f N r f N r f  ′= − +  ′  được gọi là số hạng nhánh, 0 0 1 log ( , ) log ( , ) ( 1)log . q f j j AS f a f qµ ρ µ ρ δ= ′= − − + −∑ Lưu ý. Đặt 1 1 1 1 1 1 1, ; ,..., : , , , , q q q j jj j n r a a n r n r n r f f f a f a= =        = + −          ′ ′ − −        ∑ ∑ và ( ) 0 1 1 1 , ; ,...,1, ; ,..., . r f q q n r a a N r a a dt f tρ ′  = ′  ∫ Thì ta có 1 1 10 , ; ,..., , ,qn r a a n rf f     ≤ ≤   ′ ′    và bất đẳng thức trong định lý cơ bản thứ hai có thể được viết lại như sau 1 1 1 1( 1) ( , ) ( , ) , , ; ,..., log . q q f j j q T r f N r f N r N r a a r S f a f=     − ≤ + − − +     ′−    ∑ Định nghĩa 1.2.4.3. Số khuyết của f được xác định bởi ( ) ( )1 1, , ( ) liminf 1 limsup ( , ) ( , ) f a f a f r r m r N r a T r f T r f δ − − →∞ →∞ = = − , ( )1, ( ) 1 limsup . ( , ) f a f r N r a T r f − →∞ Θ = − 27 Nhận xét rằng 0 ( ) ( ) 1f fa aδ≤ ≤ Θ ≤ . Nếu a = ∞ , ta ký hiệu ( ) ( ), ,( ) liminf 1 limsup ( , ) ( , )f r r m r f N r f T r f T r f δ →∞ →∞ ∞ = = − , ( ),( ) 1 limsup . ( , )f r N r f T r f→∞ Θ ∞ = − Dựa vào định lý cơ bản thứ hai, ta có định lý sau được gọi là mối quan hệ số khuyết Định lý 1.2.4.4. (Quan hệ số khuyết). Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên K . Khi đó { } { } ( ) ( ) 2.f f a K a K a aδ ∈ ∪ ∞ ∈ ∪ ∞ ≤ Θ ≤∑ ∑ Định lý 1.2.4.5. Cho f là một hàm nguyên khác hằng trên K . Khi đó, 0 ( ) 1 .f a a a δ ≠ ∞ =  = ∞ Định lý 1.2.4.6. Nếu f là một hàm phân hình khác hằng trên K , khi đó có không quá một phần tử { }a K∈ ∪ ∞ sao cho ( ) 0f aδ > . Hệ quả 1.2.4.7. Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên K . Khi đó 28 { } ( ) 1f a K aδ ∈ ∪ ∞ ≤∑ . 1.3. Độ cao của hàm chỉnh hình trên ( ).n p Trong phần này ta sẽ định nghĩa độ cao của hàm chỉnh hình, phân hình 1 biến trên p và hàm chỉnh hình nhiều biến trên m p và ( ) n p . Trước hết ta nhắc lại không gian vectơ phức p-adic m-chiều là tích Đề-các laàn m p p p m = × ×     . Xét không gian vectơ phức p-adic (n + 1)-chiều 1+np . Không gian các đường thẳng đi qua gốc tọa độ của 1+np lập thành một không gian xạ ảnh phức p- adic n-chiều mà ta ký hiệu là ( )n p . Ta ký hiệu các phần tử của ( ) n p dưới dạng 0 1[ : : ... : ]nx x x . 1.3.1. Độ cao của hàm chỉnh hình một biến trên .p Cho ( )f z là một hàm chỉnh hình p-adic trên p xác định bởi 0 ( ) nn n f z a z ∞ = = ∑ . Đặt ( )t v z= ∈ , ta có ( )lim 0 lim ( ) ,nn n pn na z v a nt z→∞ →∞= ⇒ + = +∞ ∀ ∈ . Như vậy với mọi t , tồn tại một số n sao cho ( )nv a nt+ là cực tiểu. Định nghĩa 1.3.1.1. Độ cao của hàm chỉnh hình ( )f z được xác định bởi 29 { } 0 ( ) min ( )f nnH t v a nt≤ <∞= + . Định nghĩa 1.3.1.2. Độ cao của hàm phân hình ( )( ) ( ) g zf z h z = được xác định bởi ( ) ( ) ( )f g hH t H t H t= − . Nhận xét rằng độ cao của hàm phân hình f là không đổi khi ước chung lớn nhất của ,g h khác 1. Nói cách khác ( ) ( )ge g he h H t H t= với mọi hàm chỉnh hình e không đồng nhất không. 1.3.2. Độ cao của hàm chỉnh hình nhiều biến trên mp . Trước hết ta trình bày một số ký hiệu sẽ được dùng từ đây về sau  1 1 1( ) ( ,..., , ,..., )i i i mb b b b b− += , 1 1( ,..., ) (0; ) (0; )m mD r r K r K r= × × , 1 1,..., 0; 0;m mD r r K r K r= × × , (0;1) (0;1)mD K K= × × là đa đĩa đơn vị trong mp , 1( ,..., ) ,γ γ γ= ∈ m m 1 1 1, ... γγγγ γ γ= + + = mm mx x x , 1 1γ γ γ= + + m mt t t với log , 1,...,= − =i it r i m . Sau đây ta sẽ dùng ký hiệu 1( ,..., )f mH t t để chỉ độ cao của hàm chỉnh hình f tại 1( ,..., )mt t . Ngoài ra ta cũng sẽ dùng thêm các ký hiệu sau: 30 1 1( ,..., ) ( ,..., )f m f mH t t H t t + = − , { }1 1 1( ,..., ) ( ,..., ) : ( ) ( ,..., )=mf m m f mI t t v a t H t tγγ γ γ= ∈ + . Ta viết 1 , 0 ( ,..., ) ( ) km i k i i k f z z f z z ∞ = = ∑ , 1,...,i m= . Với mỗi i cố định ( 1,...,=i m ), ta ký hiệu { } { } { } , 1 1 1 , 1 1 1 , , ( ,..., ) min : ( ,..., ,..., ) ( ,..., ) , ( ,..., ) max : ( ,..., ,..., ) ( ,..., ) , (0,0) min : ( ) 0 . i f m i i m f m i f m i i m f m i f i k i n t t I t t n t t I t t n k f z γ γ γ γ γ γ γ γ + − = ∃ ∈ = ∃ ∈ = ≡/ Đặt ( )1 , 1 , 1 1 ( ,..., ) ( ,..., ) ( ,..., ) m f m i f m i f m i v t t n t t n t t− + = = −∑ , ta gọi 1( ,..., )mt t t= là một điểm tới hạn nếu ( ) 0fv t ≠ . Định nghĩa 1.3.2.1. Gọi 1( ,..., )mP x x là đa thức khác không theo m biến với hệ số trong  p . Đa thức 1( ,..., )mP x x được gọi là đa thức thuần nhất bậc d nếu 1 1( ,..., ) ( ,..., ), , \{0}λ λ λ λ= ∀ ∈ ∈  d m m i p pP x x P x x x . Điều này tương đương với P có dạng 1 1 1 1 ... 1 ... ( ,..., ) ... γγγ γ γ γ+ + = = ∑ mm m m m d P x x a x x với 1... , γ γγ ∈ ∈ mi pa . 31 Để đơn giản, ta ký hiệu 1( ,..., ) ,γ γ γ= ∈ m m 1 1 1, ... γγγγ γ γ= + + = mm mx x x . Vậy 1( ,..., ) γ γ γ = = ∑m d P x x a x . Tương tự như trường hợp hàm một biến, ta có các định nghĩa sau. Định nghĩa 1.3.2.2. Hàm : → mp pf xác định bởi chuỗi 1 0 ( ,..., ) γγ γ ∞ = = ∑mf z z a z được gọi là hàm chỉnh hình trên đa đĩa 1( ,..., )mD r r nếu chuỗi hội tụ trên đó. Hàm f chỉnh hình trên toàn mp gọi là hàm nguyên trên m p . Điểm 1( ,..., )∈ m m pz z được gọi là không điểm của f nếu 1( ,..., ) 0=mf z z . Điểm 1( ,..., )∈ m m pz z được gọi là cực điểm của f nếu 1( ,..., ) = ∞mf z z . Giả sử f và g là các hàm chỉnh hình không có không điểm chung trên một đa đĩa. Khi đó hàm f g ϕ = được gọi là hàm phân hình p-adic trên đa đĩa đó. Nếu f và g là các hàm nguyên p-adic thì ϕ là hàm phân hình p-adic trên mp hay gọi tắt là hàm phân hình. 32 Tương tự như trường hợp hàm một biến, vì lim 0γγγ →∞ =a r , ta có thể định nghĩa chuẩn của hàm chỉnh hình f trên đa đĩa 1( ,..., )mD r r như sau: Định nghĩa 1.3.2.3. Chuẩn của hàm chỉnh hình 1( ,..., )mf z z trên đa đĩa 1( ,..., )mD r r xác định bởi 1( ,..., ) 0 max γγγ≤ ≤∞=mr rf a r . Nhận xét rằng khi 1m = thì ( , )µ=rf r f là hạng tử tối đại của f . Mặt khác lim( ( ) )γγ γ→∞ + = +∞v a t , từ đó ta định nghĩa độ cao của hàm chỉnh hình như sau: Định nghĩa 1.3.2.4. Độ cao của hàm chỉnh hình 1( ,..., )mf z z được xác định bởi 1 0( ,..., ) min ( ( ) )γγ γ≤ <∞= +f mH t t v a t . Ta cũng sử dụng ký hiệu 1 1( ,..., ) ( ,..., ) + = −f m f mH t t H t t . 1.3.3. Độ cao của ánh xạ chỉnh hình nhiều biến trên ( )n p . Bây giờ ta định nghĩa ánh xạ chỉnh hình và độ cao của nó trên ( )n p . Ta nói rằng một hàm nguyên g chia hết một hàm nguyên f nếu f = gh với h là một hàm nguyên nào đó. 33 Ta nói rằng g là một ước chung lớn nhất của n hàm nguyên 1,..., nf f nếu bất kỳ hàm nguyên h nào chia hết mỗi hàm khác không if thì h cũng chia hết g. Ta nói rằng n hàm nguyên 1,..., nf f là không có ước chung nếu 1 là ước chung lớn nhất. Chú ý rằng các ước chung lớn nhất tồn tại trong vành các hàm nguyên trên mp (xem [10]). Định nghĩa 1.3.3.1. Ánh xạ chỉnh hình : ( )→ = m n np pf   , là một lớp tương đương của bộ n + 1 hàm nguyên 1 1( ,..., )+nf f sao cho 1 1,..., +nf f không có ước chung nào trong vành các hàm nguyên trên  m p , trong đó hai bộ 1 1( ,..., )+nf f và 1 1( ,..., )+ng g là tương đương nếu tồn tại một hằng số c sao cho =i if cg với mọi i. Ta đồng nhất f với một phần tử đại diện của nó. 1 1( ,..., )+= nf f f . Định nghĩa 1.3.3.2. Độ cao của một ánh xạ chỉnh hình 1 1( ,..., )nf f f += được định nghĩa bởi 1 11 1( ,..., ) min ( ,..., )≤ ≤ += if m f mi nH t t H t t . Ta cũng dùng ký hiệu 1 1( ,..., ) ( ,..., ) + = −f m f mH t t H t t . 34 Chú ý rằng 1 1( ,..., ), ( ,..., )f m f mH t t H t t + được định nghĩa tốt sai khác một hằng số. 1.3.4. Đường cong chỉnh hình. Ở đây ta chỉ giới thiệu sơ lược về khái niệm đường cong chỉnh hình và độ cao của nó. Định nghĩa 1.3.4.1. Cho 1 1( ,..., ) : ( ) n n p pf f f += →  là một ánh xạ chỉnh hình. Trong đó if là các hàm chỉnh hình trong p và không có chung không điểm. Khi đó, ta gọi f là một đường cong chỉnh hình trong ( )n p . Định nghĩa 1.3.4.2. Độ cao của một đường cong chỉnh hình 1 1( ,..., )nf f f += được định nghĩa bởi 1 1 ( ) min ( ) if fi n H t H t ≤ ≤ + = . Ta cũng dùng ký hiệu ( ) ( )f fH t H t + = − . Chú ý rằng ( ), ( )f fH t H t + được định nghĩa tốt sai khác một hằng số. 1.4. Các siêu mặt p-adic. Chi tiết về đa tạp đại số và đa tạp xạ ảnh có thể xem trong [3]. Ở đây chỉ xin giới thiệu tóm tắt lại một số khái niệm quan trọng. Định nghĩa 1.4.1. Giả sử 1 0 1,..., [ , ,..., ]∈r p nP P x x x là các đa thức thuần nhất. Tập hợp { }1 0 1 0 1( ,..., ) [ : : ... : ] ( ) | ( , ,..., ) 0, 1,...,= ∈ = =nr n p i nV P P x x x P x x x i r 35 được gọi là đa tạp đại số xác định bởi 1,..., rP P . Trang bị cho đa tạp đại số một tôpô không gian xạ ảnh phức thì ta được đa tạp xạ ảnh. Định nghĩa 1.4.2. Một siêu mặt p-adic trong ( )n p là một đa tạp xạ ảnh xác định bởi một đa thức thuần nhất P như sau { }0 1 0 1( ) [ : : ... : ] ( ) | ( , ,..., ) 0= ∈ =nn p nV P x x x P x x x . Bậc của siêu mặt chính là bậc của đa thức P . Định nghĩa 1.4.3. Một họ 1,..., qQ Q của các đa thức theo n + 1 biến với các hệ số trong  p ( 1)≥ +q n được gọi là được chấp nhận nếu bất kỳ tập hợp n + 1 đa thức nào trong họ này cũng không có không điểm chung trong 1 {0}+ −np . Định nghĩa 1.4.4. Cho iX là siêu mặt trong n xác định bởi các phương trình 0, 1,...,= =iQ i q , trong đó iQ là các đa thức thuần nhất bậc id . 1,..., , 1≥ +qX X q n được gọi là ở vị trí tổng quát nếu họ 1,..., qQ Q được chấp nhận. Định nghĩa 1.4.5. Độ cao của siêu mặt X có phương trình 0Q = được xác định bởi 1 1( , ,..., ) ( ,..., )f m Q f mH X t t H t t=  . 36 Kết luận chương 1. Chương này trình bày các khái niệm và tính chất liên quan đến hàm chỉnh hình, phân hình một biến; độ cao của hàm chỉnh hình, hàm phân hình một biến cũng như độ cao của ánh xạ chỉnh hình nhiều biến và cách xây dựng độ cao của siêu mặt trong ( )n p . Ta cũng đã giới thiệu về phiên bản p-adic của định lý Nevanlinna trong trường hợp một biến. Các kiến thức của chương 1 sẽ làm cơ sở để ta nghiên cứu về phân phối giá trị của các siêu mặt trong ( )n p qua phiên bản p-adic nhiều chiều trong không gian ( ) n p của hai định lý cơ bản Nevanlinna ở chương sau. 37 Chương 2. Phân phối giá trị trên các siêu mặt trong ( )n p Chương này là nội dung chính của luận văn và gồm hai phần. Phần thứ nhất trình bày chứng minh công thức Poisson-Jensen trong trường hợp hàm nhiều biến trong trường p-adic; phần thứ hai sẽ chứng minh phiên bản p-adic trong không gian ( )n p của hai định lý cơ bản Nevanlinna. 2.1. Công thức Poisson-Jensen của hàm nhiều biến trong trường p-adic. Định nghĩa 2.1.1. Tập hợp các số z trong  p mà 1≤z tạo thành một vành con đóng của  p . Ta ký hiệu vành con này là  (được gọi là vành các số nguyên của  p ), và tập hợp các số z mà 1<z tạo thành một ideal tối đại  trong  . Ta kí hiệu trường p =   là trường các lớp thặng dư. Chú ý rằng vì  p là đóng đại số, nên   p cũng vậy, và nói riêng  p không thể là một trường hữu hạn. Cho một phần tử w trong  , kí hiệu lớp tương đương của nó trong   p là w . Cho 0 γ γ γ ∞ = = ∑f a z là một hàm nguyên khác không trên mp . Chọn 1( ,..., )= my y y sao cho { } { }(1,...,1) 0max : max : maxγ γ γγγ γ ≤ ≤∞= = = =y a f a a . Định nghĩa fˆ bởi 38  0 ˆ ( ) y a f z z a γ γ γ ∞ = = ∑ . Vì f là hàm nguyên, 1γ < y a a với mọi γ chỉ trừ một số hữu hạn trường hợp, và như vậy fˆ là một đa thức theo m-biến với hệ số trong   p . Ngoài ra vì 1=y y a a , nên fˆ không phải là đa thức không. Bổ đề 2.1.2. Cho 1 0 ( ,..., ) , 1,...,γγ γ ∞ = = =∑ ss mf z z a z s q là q hàm nguyên khác không trên mp . Khi đó với mọi 1( ,..., ) ⊂  m m pD r r tồn tại 1 1( ,..., ) ( ,..., )= ∈m mu u u D r r sao cho 1 1 ( ,..., ) ( ,..., ) , 1,..., ms m s r r f u u f s q= = . Chứng minh. Lưu ý rằng tập hợp 1( ,..., ) +∈ m mr r sao cho tồn tại 1,..., ∈m px x với , 1,...,= =i ix r i m , là tập trù mật trong + m . Do đó, không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết rằng 1,..., mD r r ≠ ∅ . Trước hết ta chứng minh rằng nếu 1( ,..., ) (1,...,1)=mr r , thì tồn tại 1( ,..., ) m mw w w D= ∈ sao cho (2.1.1) (1,...,1) 0 ( ) max , 1,...,ss sf w f a s qγγ≤ <∞= = = . 39 Thật vậy, với mỗi 1,...,=s q , chọn 1( ,..., )= s s s my y y sao cho { }(1,...,1)max : γγ= =ssy a f . Đặt { }, 1,..., .= =sf s q Vì sf không phải đa thức không nên  1= ∏ q s s f cũng vậy. Do đó tồn tại 1( ,..., )= ∈ m mw w w D sao cho w không phải là một nghiệm của  1= ∏ q s s f . Nói cách khác, w không phải là nghiệm của mọi sˆf . Vì w không phải là một nghiệm của tất cả sf , nên với mỗi 1,...,=s q ta có   ˆ( ) 0sf w ≠ =  , hay ( ) , 1,..., s s s y f w s q a ∉ = , suy ra ( ) 1 ( ) s s ss s ys y f w f w a a = ⇔ = . Bây giờ ta chứng minh trong trường hợp 1( ,..., )mr r tùy ý. Đặt 1( ,..., ) m m px x x= ∈ sao cho =i ix r . 40 Xét phép biến hình sau trong mp ( ) 1 1( ) ( ,..., )ϕ =m m mz x z x z . Ta có 1( ) ( ,..., )ϕ = m mD D r r , và 1 0 ( ,..., ) ( )γ γγ γ ϕ ∞ = = ∑ ss mf z z a x z là các hàm nguyên khác không trên mp . Do (2.1.1) nên tồn tại 1( ,..., )= mw w w sao cho 1 1 10 0 ( ,..., )0 ( ) max max max . γγγ γ γγ γ γ γγ ϕ ≤ <∞ ≤ <∞ ≤ <∞ = = = =   m m s s s m s s r r f w a x a x x a r f Đặt ( )ϕ=u w . Thì 1( ,..., )∈ mu D r r và 1( ,..., ) ( ) = ms s r r f u f , 1,...,=s q . □ Bổ đề 2.1.3. Cho 1( ,..., ), 1,2,...=s mf z z s q , là q hàm chỉnh hình khác không trên 1( ,..., )mD r r . Khi đó tồn tại 1 1( ,..., ) ( ,..., )m mu u u D r r= ∈ sao cho 1( ,..., ) ( ) , 1,2,..., .= = ms s r r f u f s q Chứng minh. Giả sử 41 1 0 ( ,..., ) .γγ γ ∞ = = ∑ ss mf z z a z Với mỗi 1,2,...,=s q , đặt { } 1( ,..., )0 max : m s s s r r k a r fγγγ γ≤ <∞= = . Thì 0 , 1,...,γγ γ≤ ≤ = =∑ s s s k P a z s q là các hàm nguyên khác không trên mp . Theo Bổ đề 2.1.2, tồn tại 1 1( ,..., ) ( ,..., )m mu u u D r r= ∈ với =i iu r sao cho 1( ,..., ) ( ) , 1,..., .= = ms s r r P u P s q Hơn nữa, 1 1( ,..., ) ( ,..., ) , ( ) ( ) , 1,..., .= = = m ms s s sr r r r P f P u f u s q Do đó 1( ,..., ) ( ) , 1,..., .= = ms s r r f u f s q Bổ đề 2.1.3 được chứng minh xong. □ Ta có ngay hệ quả sau của bổ đề 2.1.3, Hệ quả 2.1.4. Cho 1( ,..., )mf z z là hàm chỉnh hình khác không trên 1( ,..., )mD r r . Thì 42 11 ( ,..., )( ,..., ) max ( ) ∈ = mm r ru D r r f u f . Chứng minh. Với mọi 1( ,..., )mu D r r∈ 1( ,..., ) ( ) mr r f u f≤ , suy ra 11 ( ,..., )( ,..., ) max ( ) mm r ru D r r f u f ∈ ≤ . Mặt khác theo bổ đề 2.1.3 thì có 1( ,..., )mu D r r∈ sao cho 1( ,..., ) ( ) mr r f u f= . Tóm lại ta có 1 11 ( ,..., ) ( ,..., )( ,..., ) ( ) max ( ) m mm r r r ru D r r f f u f u f ∈ = ≤ ≤ , suy ra 11 ( ,..., )( ,..., ) max ( ) mm r ru D r r f u f ∈ = . □ Trước khi chứng minh công thức Poisson-Jensen cho hàm p-adic nhiều biến, ta sẽ đưa ra một số định nghĩa và ký hiệu. Ký hiệu 2.1.5. Cho f là một hàm chỉnh hình khác không trên 1( ,..., )mD r r . Đặt 1 , 0 ( ,..., ) ( ) , 1,2,..., . ∞ = = =∑ km i k i i k f z z f z z i m 43 Ta ký hiệu , 1 , 1 2 , 1(0,0), ( ,..., ), ( ,..., )i f i f m i f ml n k n t t k n t t − += = = . Khi đó tồn tại bộ chỉ số 1 1( ,..., ,..., ) ( ,..., )i m f mI t tγ γ γ γ= ∈ , và 1 1( ,..., ,..., ) ( ,..., )i m f mI t tµ µ µ µ= ∈ , sao cho 1γ =i k , 2µ =i k . Ta xét các hàm chỉnh hình trên 1( ,..., )mD r r sau 1 ,( ,..., ) ( ) l l m i l i if z z f z z= ,  1 1 11 , ( ,..., ) ( ) kk m i k i if z z f z z= ,  2 2 21 , ( ,..., ) ( ) kk m i k i if z z f z z= . Các hàm này không đồng nhất không. Đặt 1 1 1 1 2 21 1 1 1 ( ,..., ) ( ,..., ) ( ,..., ) ( ,..., ) { ( ,..., ) ( ,..., ) :