Luận văn Phân tích ứng xử phi tuyến dầm composite chịu tác dụng tải trọng điều hoà di động

2) Trong đó: 0, , 0,       T L x x xu z wε (2.13a) 20, 1 ( ) 0 2        T NL xwε (2.13b) 23 Trong trường hợp chuyển vị bé thì 2, 0, ,( ) && x x xw u z , do đó nếu bỏ qua số hạng bậc cao 2,( )xw trong biểu thức tính biến dạng (2.11a) bài toán trở thành tuyến tính. Theo đinh luật Hook, ứng suất của dầm được xác định [11]: 11'xx xxQ  (2.14a) 55'xz s xzk Q  (2.14b) Trong đó: , , ,  xx xz xx xz lần lượt là biến dạng dài, biến dạng cắt, ứng suất pháp và ứng suất tiếp của dầm. ' ' 11 55,Q Q là độ cứng giảm đã được chuyển trục toạ độ từ hệ trục toạ độ địa phương sang hệ trục toạ độ tổng thể x. ks : là hệ số hiệu chỉnh ứng suất tiếp để xét đến sự phân bố ứng suất không đều khi dùng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. Lực dọc Nx, moment My và lực cắt Qz trong dầm được xác định như sau: x xx A N dA ' (2.15a) y xx A M z dA ' (2.15b) z xz A Q dA ' (2.15c) Thực hiện tích phân các phương trình (2.15a), (2.15b) , (2.15c) sau khi đã thay các phương trình (2.14a) và (2.14b) vào. Vì các hàm chuyển vị u0 và w0 không phụ thuộc vào z hay nói cách khác không phụ thuộc vào đại lượng dA nên ta có biểu thức nội lực trong dầm theo hàm chuyển vị: 2 0, 0, , 1 ( ) 2x xx x x xx x N A u w B         (2.16a) # $ 2 0, 0, , 1 2y xx x x xx x M B u w D         (2.16b) 0,z s xz xQ k A w      (2.16c) 24 Trong đó: Axx, Bxx, Dxx, Axz lần lượt là độ cứng màng, tương tác màng-uốn, uốn và cắt của dầm, và được định nghĩa như sau: ' 11xx A A Q dA ' ; '11xx A B Q zdA ' ; ' 211xx A D Q z dA ' ; '55xz A A Q dA ' (2.17) 2.3. Thiết lập phương trình chuyển động Năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm được định nghĩa như sau: 0 1 ( ) 2 L xx xx xz xz A U dAdx     ' ' (2.18a) Thay phương trình (2.11a), (2.11b), (2.14a), (2.14b) vào (2.18a), và thực hiện tích phân theo diện tích (các hàm chuyển vị không phụ thuộc vào diện tích) ta được: # $ # $ # $ 2 2 2 0, 0, , 0, 0, 22 0, , 1 121 2 2 2 ( ) xx x x xx x x x L s xz x xx x A u w B u w U dx k A w D    ( )        * * * *          + , * *    * * - . '   (2.18b)  Động năng của dầm được định nghĩa như sau: 2 2 0 1 ( ) ( ) 2 L x z A K z v v dAdx   ' ' (2.19) Trong đó ,x zv v lần lượt là vận tốc theo phương x, z và được xác định như sau: 0xv u u z   (2.20a) 0zv w w  (2.20b) Trong đó đạo hàm theo thời gian t được định nghĩa bằng dấu chấm đặt trên mỗi đại lượng. Thay (2.20a), (2.20b) vào (2.19) và thực hiện tích phân, ta có biểu thức tính động năng của dầm như sau:  # $ # $ # $ / 0 22 2 0 0 0 1 2 2 A B DL K I u w I u I dx        '     (2.21) ”‘‰¯×ǣ  ( )A A I z dA  '  ( )B A I z zdA  '   2( )D A I z z dA  '   (2.22) Công của lực P(t) di động tại thời điểm t bất kỳ theo [6] như sau: 25 ! "0 1 2( ) ( , ) ( ) ( )pW P t w x t c t t c t t    (2.23) Trong đó: px là vị trí của lực P(t) tại thời điểm t bất kỳ, và được xác định như sau : p px v t với 1 20 ; 0 /p px L t t t L v1 1  1 1  (2.24a) 1;0 ( ) 0;0 t c t t & ( )  + , 2 - . (2.24b) với 1 2,t t lần lượt là thời điểm lực đi vào dầm và thời điểm lực ra khỏi dầm. Trong nghiên cứu này 1 0t nên 03t Nguyên lý năng lượng Hamilton theo [11] được cho như sau: 0 0 ( ) T U W K dt4 4 4   ' (2.25) Trong đó: U, W, K lần lượt là năng lượng biến dạng đàn hồi, công của ngoại lực tác dụng và động năng của dầm; phiếm hàm của bài toán được xác định bởi: W U K5   (2.26) 2.4. Lời giải xấp xỉ bằng hàm đa thức Các hàm chuyển vị 0 0, ,u w  có thể được xấp xỉ bằng các hàm đa thức 0 1 2, , ,..., Nx x x x như sau: 1 0 1 0 1 1 ( )( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) N nN N n N n a t xw x t u x t b t x x t c t x    ( ) ( ) * * * *  + , + , * * * * - . - . 6 (2.27) Trong đó: N và n lần lượt là số lượng số hạng và bậc của đa thức. Phương trình chuyển động được thiết lập dựa trên nguyên lý năng lượng với phiếm hàm năng lượng là : ( , )m mJ f x t756 (2.28) Trong đó: , ( , )m mf x t7 lần lượt là nhân tử Lagrange và giá trị chuyển vị tại (0; )x L 26 Bảng 2.1: Điều kiện biên của dầm xấp xỉ bằng hàm đa thức. Điều kiện biên Vị trí x= 0 Vị trí x= L Ngàm- ngàm C-C 0 0, 0 (0, ) 0; (0, ) 0 (0, ) 0; (0, ) 0 xw t w t u t t     0 0, 0 ( , ) 0; ( , ) 0 ( , ) 0; ( , ) 0 xw L t w L t u L t L t     Ngàm- Tự do C-F 0 0, 0 (0, ) 0; (0, ) 0 (0, ) 0; (0, ) 0 xw t w t u t t     Ngàm- Gối C-H 0 0, 0 (0, ) 0; (0, ) 0 (0, ) 0; (0, ) 0 xw t w t u t t     0 0( , ) 0; ( , ) 0w L t u L t  Ngàm- tựa đơn C-S 0 0, 0 (0, ) 0; (0, ) 0 (0, ) 0; (0, ) 0 xw t w t u t t     0 ( , ) 0w L t  Gối- Gối H-H 0 0(0, ) 0; (0, ) 0w t u t  0 0( , ) 0; ( , ) 0w L t u L t  Gối- Tựa đơn H-S 0 0(0, ) 0; (0, ) 0w t u t  0 ( , ) 0w L t  Tựa đơn- tựa đơn S-S 0 (0, ) 0w t  0 ( , ) 0w L t  Phương trình Lagrange được cho như sau: 0; 1,2,...3 b n n J d J n N N q dt q 8 8     8 8 (2.29) Trong đó: Nb =2,3,4,5,6,8 phụ thuộc vào điều kiện biên khác nhau của dầm. Thay các phương trình (2.26), (2.27) vào phương trình (2.28) và sử dụng phương trình Lagrange ta được phương trình động lực học như sau: # $ # $ # $ # $ # $ # $ # $ # $ # $ # $ 11 12 1311 13 14 2122 23 24 31 32 33 34 31 41 41 43 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) NL NL NLL L L NLL L L L L L L NL L L L t t tt t tt t t tt t t     ( ) ( )     * * * *   * * * *     + , + ,     * * * *     * * * *     - . - .      K a K a K a 0a aK 0 K K K a 0 0 0b b0 K K K c cK K K K K a 0 0 0 α αK K K 0 0 0 0 0 M 0 0 0 0 M22 23 32 33 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 t t t t t   ( ) ( )   * * * * * * * *    + , + ,   * * * *   * * * *   - . - . a F M 0 b 0 M M 0 c 0 0 0 0 0  ሺʹǤ͵Ͳሻ 27 Trong đó LijK là các thành phần ma trận độ cứng tuyến tính; NLijK là các thành phần ma trận độ cứng phi tuyến (các ma trận độ cứng này phụ thuộc vào tọa độ suy rộng a(t)); ijM là các thành phần ma trận khối lượng; ( )iF t là thành phần véc tơ tải suy rộng được tạo ra bởi tải trọng điều hòa di động. Dạng chi tiết của các ma trận LijK trong phương trình (2.30) được cho với điều kiện biên là Ngàm- Ngàm (C-C) như sau: 1 14 0( ) L i ijK x    i = 1, 2 N; j = 1 (2.31a) 1 14 ( ) L i ij LK x    i = 1, 2 N; j = 2 (2.31b) 1 14 0 ,( ) L i ij xK x    i = 1, 2 N; j = 3 (2.31c) 1 14 ,( ) L i ij L xK x    i = 1, 2 N; j = 4 (2.31d) 14 0 L ijK  i = 1, 2 N; j = 5,6,7,8 (2.31e) 24 0 L ijK  i = 1, 2 N; j = 1,2,3,4,7,8 (2.31f) 1 24 0( ) L i ijK x    i = 1, 2 N; j = 5 (2.31g) 1 24 ( ) L i ij LK x    i = 1, 2 N; j = 6 (2.31h) 34 0 L ijK  i = 1, 2 N; j = 1,2,3,4,5,6 (2.31i) 1 34 0( ) L i ijK x    i = 1, 2 N; j = 7 (2.31j) 1 34 ( ) L i ij LK x    i = 1, 2 N; j = 8 (2.31k) 1 41 0( ) L i ijK x   i = 1; j = 1, 2 N (2.31l) 1 41 ( ) L i ij LK x   i = 2; j = 1, 2 N (2.31m) 41 0 L ijK i = 3; j = 1, 2 N (2.31o) 41 0 L ijK i = 4; j = 1, 2 N (2.31p) 41 0 L ijK  i = 5,6,7,8; j = 1, 2 N (2.31q) 42 0 L ijK  i = 1,2,3,4,7,8; j = 1, 2 N (2.31s) 28 1 42 0( ) L i ijK x   i = 5; j = 1, 2 N (2.31t) 1 42 ( ) L i ij LK x   i = 6; j = 1, 2 N (2.31u) 43 0 L ijK  i = 1,2,3,4,5,6; j = 1, 2 N (2.31w) 1 43 0( ) L i ijK x   i = 7; j = 1, 2 N (2.31y) 1 43 ( ) L i ij LK x   i = 8; j = 1, 2 N (2.31z) 1 1 11 , ,0 ( ) ( ) LL i j ij s xz x xK k A x x dx    ' i, j = 1, 2, , N (2.32a) 1 1 13 ,0 ( ) ( ) LL i j ij s xz xK k A x x dx    ' i, j = 1, 2, , N (2.32b) 1 1 22 , ,0 ( ) ( ) LL i j ij xx x xK A x x dx    ' i, j = 1, 2, , N (2.32c) 1 1 23 , ,0 ( ) ( ) LL i j ij xx x xK B x x dx    ' i, j = 1, 2, , N (2.32d) 1 1 31 ,0 ( )( ) LL i j ij s xz xK k A x x dx    ' i, j = 1, 2, , N (2.32e) 1 1 32 , ,0 ( ) ( ) LL i j ij xx x xK B x x dx    ' i, j = 1, 2, , N (2.32f) 1 1 1 1 33 , ,0 0 ( )( ) ( ) ( ) L LL i j i j ij s xz xx x xK k A x x dx D x x dx       ' ' i, j = 1, 2, , N (2.32g) # $ 2 1 1 11 0, , ,0 ( ) ( ) 2 LNL i jxx ij x x x AK w x x dx  ' i, j = 1, 2, , N (2.32h) # $ 1 1 12 0, , ,0 ( ) ( ) LNL i j ij xx x x xK A w x x dx    ' i, j = 1, 2, , N (2.32i) # $ 1 1 13 0, , ,0 ( ) ( ) LNL i j ij xx x x xK B w x x dx    ' i, j = 1, 2, , N (2.32j) # $ 1 1 21 0, , ,0 ( ) ( ) 2 LNL i jxx ij x x x AK w x x dx  ' i, j = 1, 2, , N (2.32k) # $ 1 1 31 0, , ,0 ( ) ( ) 2 LNL i jxx ij x x x BK w x x dx  ' i, j = 1, 2, , N (2.32l) 1 1 11 0 ( )( ) L i j ij AM I x x dx    ' i, j = 1, 2, , N (2.32m) 1 1 22 0 ( )( ) L i j ij AM I x x dx    ' i, j = 1, 2, , N (2.32n) 1 1 23 0 ( )( ) L i j ij BM I x x dx    ' i, j = 1, 2, , N (2.32o) 29 1 1 32 0 ( )( ) L i j ij BM I x x dx    ' i, j = 1, 2, , N (2.32p) 1 1 33 0 ( )( ) L i j ij DM I x x dx    ' i, j = 1, 2, , N (2.32q) 1( )in PF P x   i = 1, 2, , N (2.32s) Trong đó 0 , Lx x lần lượt là tọa độ gối tựa bên trái và bên phải dầm. Dạng thu gọn của phương trình (2.30) như sau: ( ) ( ( )) ( ) ( )L NLt t t t       Mq K K q q F 0 (2.33) Trong đó M, KL, KNL lần lượt là ma trận khối lượng, ma trận độ cứng tuyến tính, ma trận độ cứng phi tuyến của dầm; F(t) là véc tơ tải phụ thuộc theo thời gian do tải trọng điều hòa di động và ! " ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Tt t t t tq a b c α là tọa độ suy rộng phụ thuộc theo thời gian. Trong trường hợp bài toán dao động tự do, tọa độ suy rộng theo thời gian được cho dưới dạng _ ( ) ( ) i tn nq t q t e   , và ma trận độ cứng phi tuyến của dầm KNL và vec tơ tải F(t) bằng không. Phương trình (2.33) trở thành _ _ L 2 0q q K M (2.34) Trong đó:  là tần số góc tự nhiên. Các tần số tự nhiên này của dầm là nghiệm của phương trình đặt trưng sau: 2 0 K M (2.35) Trong trường hợp bài toán chịu tác dụng tải trọng điều hòa di động, phương trình động lực học (2.33) là phương trình phi tuyến do ma trận độ cứng phụ thuộc vào tọa độ suy rộng và thay đổi theo thời gian trong quá trình chuyển động. Ứng xử phi tuyến này là do kể đến biến dạng lớn của Von – Karman. Hiện nay, công việc giải phương trình này bằng các phương pháp giải tích là khá khó khăn nên các phương pháp số tích phân trực tiếp là sự lựa chọn tốt nhất để giải phương trình trên. 2.5. Lời giải xấp xỉ bằng hàm lượng giác 30 Các hàm chuyển vị 0 0, ,u w  được xấp xỉ bằng các hàm nội suy Ritz như sau: 0 0 1 0 ( )( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) i t j j m i t j j j i t j j x w ew x t u x t x u e x t x e    9 :  ;   ( ) ( ) * * * * * *  + , + , * * * * - . * * - . 6 (2.36) Trong đó,  là tần số của dao động tự do của dầm, 2 1i   là đơn vị ảo, ( , , )j j ju w  là những giá trị cần xác định, ( , , )j j j: 9 ; là các hàm dạng được xác định tương ứng với các điều kiện biên được cho theo [36] thể hiện qua bảng 2.2 như sau: Bảng 2.2: Hàm dạng lượng giác tương ứng với điều kiện biên của dầm. Điều kiện biên ( )j x9 ( )j x: ( )j x; C-C sin j x L < cos j x L < cos j x L < C-F (2 1)1 cos 2 j x L <  (2 1)sin 2 j x L < (2 1)sin 2 j x L < S-S 2sin j x L < 2sin j x L < 2sin j x L < Bảng 2.3: Điều kiện biên của dầm xấp xỉ bằng hàm lượng giác. Điều kiện biên Vị trí x= 0 Vị trí x= L C-C 0 0, 0 (0, ) 0; (0, ) 0 (0, ) 0; (0, ) 0 xw t w t u t t     0 0, 0 ( , ) 0; ( , ) 0 ( , ) 0; ( , ) 0 xw L t w L t u L t L t     C-F 0 0, 0 (0, ) 0; (0, ) 0 (0, ) 0; (0, ) 0 xw t w t u t t     S-S 0 (0, ) 0w t  0 ( , ) 0w L t  Áp dụng phương trình Lagrange cho bởi phương trình (2.29) ta được phương trình động lực học như sau: 31 .. 11 13 11 12 13 11 .. 22 23 21 22 23 .. 31 32 33 31 32 33 0 ( ( )) ( ( )) ( ( )) 0 0 ( ) 0 ( ( )) 0 0 0 0 ( ( )) 0 0 0 0 L L NL NL NL L L NL L L L NL t t t t t t   ( ) * *     ( ) ( )   ( * *     * * * * *      + , + , + , +       * * * * * *       - . - .   -     * * - . wK K w K a K a K a w M F K K u K a u M M u K K K K a M M ) * , * * . (2.40) Dạng chi tiết của các ma trận trong phương trình (2.37) được cho như sau : 11 , ,0 ( )( ) LL ij s xz i x j xK k A dx9 9 ' i, j = 1, 2, , N (2.38a) 13 ,0 ( )( ) LL ij s xz i x jK k A dx9 ; ' i, j = 1, 2, , N (2.38b) 22 , ,0 ( )( ) LL ij xx i x j xK A dx: : ' i, j = 1, 2, , N (2.38c) 23 , ,0 ( )( ) LL ij xx i x j xK B dx; : ' i, j = 1, 2, , N (2.38d) 31 ,0 ( )( ) LL ij s xz i j xK k A dx; 9 ' i, j = 1, 2, , N (2.38e) 32 , ,0 ( )( ) LL ij xx i x j xK B dx; : ' i, j = 1, 2, , N (2.38f) 33 , ,0 0 ( )( ) ( )( ) L LL ij s xz i j xx i x j xK k A dx D dx; ; ; ;  ' ' i, j = 1, 2, , N (2.38g) # $ 2 11 0, , ,0 ( )( ) 2 LNL xx ij x i x j x AK w dx9 9 ' i, j = 1, 2, , N (2.38h) # $12 0, , ,0 ( )( ) LNL ij xx x i x i xK A w dx: 9 ' i, j = 1, 2, , N (2.38i) # $13 0, , ,0 ( )( ) LNL ij xx x i x j xK B w dx; 9 ' i, j = 1, 2, , N (2.38j) # $21 0, , ,0 ( )( ) 2 LNL xx ij x i x i x AK w dx: 9 ' i, j = 1, 2, , N (2.38k) # $31 0, , ,0 ( )( ) 2 LNL xx ij x i x j x BK w dx; 9 ' i, j = 1, 2, , N (2.38l) 11 0 ( )( ) L ij A i jM I dx9 9 ' i, j = 1, 2, , N (2.38m) 22 0 ( )( ) L ij A i jM I dx: : ' i, j = 1, 2, , N (2.38n) 23 0 ( )( ) L ij B i jM I dx: ; ' i, j = 1, 2, , N (2.38o) 32 32 0 ( )( ) L ij B i jM I dx: ; ' i, j = 1, 2, , N (2.38p) 33 0 ( )( ) L ij D i jM I dx; ; ' i, j = 1, 2, , N (2.38q) ( )n iF P 9 i = 1, 2, , N (2.38s) Tương tự như phương pháp xấp xỉ bằng hàm đa thức, phương pháp Newmark -  theo [6] được chọn để giải phương trình động lực học phi tuyến này. Phần tiếp theo của chương trình bày giải thuật của phương pháp Newmark - . 2.6. Phương pháp Newmark -  Rời rạc hóa phương trình (2.33) theo thời gian để giải bằng phương pháp số, phương trình chuyển động tại thời điểm t kí hiệu chỉ số là i được viết lại dưới dạng : 0L NLi i i i       Mq K K q q F (2.39) Phương trình số gia giữa 2 thời điểm i và i+1 được biểu diễn là: ( )i s i     iM q f F (2.40) Trong đó các vec tơ 1( )i i i  q q q , 1( )i i i  F F F lần lượt là các vec tơ số gia của gia tốc và tải trọng ngoài giữa hai thời điểm i và i+1. Số gia của lực đàn hồi ( )s if , trong phương trình (2.40) được biểu diễn theo ma trận độ cứng cát tuyến (Secant Stiffness) bởi phương trình sau: ( ) ss i i i  f K q (2.41) Trong đó s L NLi  K K K , 1( )i i i  q q q lần lượt là ma trận độ cứng cát tuyến và số gia của chuyển vị giữa 2 thời điểm i và i+1. Như vậy phương trình số gia cân bằng giữa 2 thời điểm này được viết lại dưới dạng đơn giản là: si i i i    M q K q F (2.42) Giá trị vận tốc và chuyển vị tại cuối bước thời gian được xấp xỉ bởi : 1 1(1 )i i i it t       q q q q (2.43) 2 2 1 1(1/ 2 )i i i i it t t         q q q q q (2.44) Phương pháp NewMark được áp dụng để giải phương trình chuyển động của hệ có ứng xử phi tuyến được viết dưới dạng số gia như trong (2.42). Từ hai phương 33 trình (2.43), (2.44) suy ra biểu thức của số gia giữa hai thời điểm i và i+1 của gia tốc ( 1i i  q q q ) và của vận tốc ( 1i i  q q q ) theo các đại lượng còn lại như sau: 1 2 3 5 1 1 4 6 i i i i i i i i i i a a a a a a                 q q q q q q q q q q q q (2.45) Trong đó, các hệ số ai được cho như sau: 1a t    ; 2 2 1a t   ; 3 1a t   ; 4a   ; 5 1 2 a   ; 6 ( 1)2 a t     (2.46) Với =1/2 và =1/4 Thay hai phương trình trong (2.45) vào (2.42), kết quả thu được hệ phương trình đại số tuyến tính với ẩn số q là số gia chuyển vị giữa hai thời điểm i và i+1, q có dạng là: # $ # $eff effii i   K q F (2.47) Với # $eff i K là độ cứng hiệu dụng và # $eff i F là số gia tải trọng hiệu dụng trong từng bước thời gian chúng được xác định bởi các biểu thức dưới đây: # $ # $ eff 2 1 eff 3 5 4 6( ) ( ) s ii i i i i ii a a a a a a           K M C K F F M q q C q q (2.48) Ma trận độ cứng các tuyến siK trong phương trình (2.48) chưa biết giá trị nhưng có thể xấp xỉ bằng độ cứng tiếp tuyến tại thời điểm i. Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (2.47) thu được giá trị của số gia chuyển vị iq , từ giá trị iq này thay vào phương trình (2.45) thu được giá trị của số gia vận tốc và gia tốc là , q q . Thay tiếp vào (2.44) sẽ tìm được vận tốc và gia tốc tại điểm cuối bước thời gian. Như vậy từ nghiệm đã biết tại thời điểm trước là i, ta tìm được nghiệm tại thời điểm i +1. Thuật toán để giải phương trình chuyển động trong bài toán động lực học kết cấu có ứng xử phi tuyến theo phương pháp Newmark được mô tả như sau: 34  Thông số đầu vào 1. Khai báo các ma trận khối lượng M, ma trận cản C (nếu có) của hệ 2. Mô tả quan hệ lực đàn hồi và chuyển vị 3. Mô tả hàm tải trọng theo thời gian 0 0 0, ,q q q 4. Khai báo điều kiện ban đầu 5. Chọn bước thời gian t 6. Rời rạc hóa véc tơ tải trọng theo thời gian 7. Xác định ma trận độ cứng tiếp tuyến tại i =0, 0tK  Trong từng bước thời gian 1. Xác định ma trận độ cứng hiệu dung theo (2.48) 2. Tính số gia véc tơ tải trọng hiệu dụng tại i+1 theo (2.48) 3. Giải hệ phương trình đại số tuyến tính (2.47) để tìm số gia của chuyển vị 4. Tìm các giá trị vận tốc và gia tốc tại thời điểm i+1 theo các phương trình (2.43) và (2.44) 5. Xác định ma trận độ cứng tiếp tuyến tại thời điểm i+1,  Lặp lại quá trình “trong từng bước thời gian” cho bước thời gian kế tiếp. 2.7. Kết luận Chương 2 đã thiết lập phương trình động lực học phi tuyến của dầm Composite chịu tải trọng điều hòa di động sử dụng phương trình Lagrange và lý thuyết dầm Timoshenko. Sự phi tuyến là do kể đến ảnh hưởng của biến dạng lớn Von – Karman. Do tính đơn giản và dễ sử dụng trong lập trình tính toán mà phương pháp tích phân từng bước Newmark-  được chọn để giải hệ phương trình phi tuyến này. 35 Chương 3 VÍ DỤ SỐ 3.1. Giới thiệu Trong chương này, một số ví dụ số sẽ được đưa ra và so sánh với các nghiên cứu trước đó để kiểm chứng độ tin cậy của kết quả số đã áp dụng cho mô hình này. Luận văn sẽ phân tích ứng xử của dầm Composite với các điều kiện biên khác nhau bằng việc xấp xỉ hai hàm dạng khác nhau thông qua các ví dụ số, gồm: Xác định tần số dao động riêng của dầm Composite. Khảo sát sự ảnh hưởng của tần số lực kích thích đến chuyển vị lớn nhất. Khảo sát sự ảnh hưởng của hệ số vận tốc không thứ nguyên đến chuyển vị lớn nhất. Khảo sát sự ảnh hưởng của tỉ số L/h đến ứng xử của dầm. Khảo sát chuyển vị của dầm tại một khoảng thời gian nhất định khi vật tốc di chuyển thay đổi. Trong các ví dụ số quy ước, chuyển vị đi xuống tương ứng với dấu dương, chuyển vị lên tương ứng với dấu âm; vị trí mặt trên của tiết diện dầm so với trục thanh ứng với giá trị âm của z, vị trí mặt dưới của tiết diện dầm so với trục thanh ứng với giá trị dương của z. 3.2. Khảo sát độ hội tụ 3.2.1. Bài toán 1: Khảo sát ảnh hưởng của bậc đa thức và hàm lượng giác Các đặc trưng của dầm được chọn để phân tích trong bài toán 1 như sau: Dầm composite cross-ply hướng sợi không đối xứng [0o/90o] chiều dài L=20m; chiều rộng b=0.5m; 20LS h   ; P0=1000kN; =20rad/s; vp=10m/s. Trong đó vật liệu có thông số như sau: Module đàn hồi 1 2 40E E ; 1 241.5E GPa ; 36 12 13 20.6 G G E ; 23 20.5G E ; 12 0.25  ; 13 12 23 12;     ; 2 31 10 /  x KN m . Hệ số hiệu chỉnh ứng suất cắt được chọn ks=5/6. Tổng số bước thời gian được chọn trong bài toán tuyến tính RL1=250. Tần số không thứ nguyên cơ bản thứ i: 2 2  =  i i L h E . Khảo sát sự ảnh hưởng của giá trị N trong hàm chuyển vị đến chuyển vị lớn nhất tại giữa nhịp của dầm, từ đó xác định giá trị giới hạn của N. Bảng 3.1: Tần số không thứ nguyên thứ nhất của dầm composite cross-ply theo N với các điều kiện biên khác nhau. N Hàm đa thức Hàm lượng giác C-F C-C S-S C-F C-C S-S 2 155.4690 - 0.0000 2.5951 15.6579 7.2011 4 2.6022 277.4117 7.7497 2.5896 15.5443 7.2011 6 2.5883 15.5386 7.2021 2.5885 15.5125 7.2011 8 2.5878 15.5262 7.2011 2.5881 15.4975 7.2011 10 2.5876 15.4980 7.2011 2.5879 15.4887 7.2011 12 2.5875 15.4840 7.2011 2.5878 15.4829 7.2011 14 2.5874 15.4755 7.2011 2.5877 15.4787 7.2011 Bảng 3.2: Chuyển vị tuyến tính lớn nhất tại giữa nhịp của dầm composite cross- ply theo N với các điều kiện biên khác nhau. N Hàm đa thức Hàm lượng giác C-F C-C S-S C-F C-C S-S 2 0.0000 0.0000 0.0000 0.0632 0.0465 0.0291 4 0.0149 0.0000 0.0327 0.1000 0.0477 0.0291 6 0.0351 0.0479 0.0293 0.1024 0.0481 0.0291 8 0.0369 0.0485 0.0295 - - 0.0291 10 0.0375 0.0493 0.0296 - - 0.0291 12 0.0377 0.0496 0.0296 - - 0.0291 14 0.0379 0.0498 0.0296 - - 0.0291 37 Từ bảng 3.1 và bảng 3.2 cho thấy rằng: N=12 cho chuyển vị và tần số không thứ nguyên cơ bản của dầm với các điều kiện biên khác nhau là hội tụ cho hàm dạng xấp xỉ là hàm đa thức với sai số nhỏ hơn 0.3%. Tuy nhiên với lời giải xấp xỉ là hàm lượng giác thì mất rất nhiều thời gian để tính được chuyển vị khi N>6 và đây cũng là hạn chế của hàm lượng giác do lời giải này có sự hội tụ rất chậm. 3.2.2. Bài toán 2: Khảo sát ảnh hưởng số bước thời gian tính toán Phương pháp Newmark là một phương pháp tích phân trực tiếp thường được sử dụng trong các bài toán về phân tích động lực học kết cấu. Ưu điểm của phương pháp này là tính đơn giản và dễ lập trình trong quá trình tính toán. Tuy nhiên độ chính xác của lời giải chỉ được chấp nhận khi bước thời gian tính toán là tương đối nhỏ. Số bước thời gian tính toán (RL) càng nhiều thì kết quả bài toán càng hội tụ về kết quả chính xác. Vì vậy việc xác định số bước thời gian tính toán (RL) hợp lý trong phương pháp Newmark cho kết quả hội tụ là cần thiết. Các đặc trưng của dầm như sau: Dầm composite cross-ply hướng sợi không đối xứng [0o/90o], L=20m; b=0.5m; 20LS h   ; P0=1000kN; =20rad/s; vp=10m/s; 1 2 40E E ; 1 241.5E GPa ; 12 13 20.6 G G E ; 23 20.5G E ; 12 0.25  ; 13 12 23 12;     ; 2 31389 10 /x KN m  . ks=5/6. Bảng 3.3: Chuyển vị tuyến tính lớn nhất tại giữa nhịp của dầm composite cross-ply theo số bước thời gian tính toán (RL1) với các điều kiện biên khác nhau. RL1 Hàm đa thức Hàm lượng giác C-F C-C S-S C-F C-C S-S 50 0.0614 0.0647 0.0249 0.1626 0.0635 0.0254 100 0.0446 0.0517 0.0286 0.1101 0.0509 0.0282 150 0.0393 0.0497 0.0291 0.1036 0.0489 0.0289 200 0.0377 0.0489 0.0294 0.1012 0.0481 0.0290 250 0.0369 0.0485 0.0295 0.1000 0.0477 0.0291 300 0.0365 0.0483 0.0296 0.0994 0.0476 0.0291 38 Bảng 3.4: Chuyển vị phi tuyến lớn nhất tại giữa nhịp của dầm composite cross-ply theo số bước thời gian tính toán (RL2) với các điều kiện biên khác nhau RL2 Hàm đa thức (N=12) Hàm lượng giác (N=4) C-F C-C S-S C-F C-C S-S 100 0.04488 0.05150 0.02864 0.10370 0.05049 0.02818 200 0.03786 0.04876 0.02943 0.09558 0.04782 0.02899 300 0.03662 0.04818 0.02955 0.09448 0.04725 0.02914 400 0.03619 0.04797 0.02961 0.09424 0.04705 0.02920 500 0.03599 0.04787 0.02964 0.09423 0.04695 0.02922 600 0.03589 0.04782 0.02964 0.09421 0.04690 0.02924 Từ bảng 3.3 và bảng 3.4 cho thấy rằng khi RL=250 cho chuyển vị tuyến tính của dầm là hội tụ và khi RL=500 cho chuyển vị phi tuyến của dầm là hội tụ với sai số nhỏ hơn 0.3% ở cả hai lời giải được xấp xỉ bằng hàm đa thức và hàm lượng giác. 3.3. So sánh với các nghiên cứu khác Để chứng minh độ tin cậy của kết quả trong Luận văn, một số ví dụ số được đưa ra và so sánh với các nghiên cứu trước đó để kiểm chứng độ tin cậy và đúng đắn của phương pháp nghiên cứu trong Luận văn. Một số kết quả của bài toán xác định tần số không thứ nguyên của dầm với các điều kiện biên khác nhau và theo các góc sợi thay đổi khác nhau được so sánh với các nghiên cứu trước đó của Khdeir [34], Vo [15], Nguyen [36] thể hiện trong bảng 3.4 và bảng 3.5. 3.3.1. Bài toán 3: Xác định tần số dao động riêng của dầm Composite Dầm composite cross-ply hướng sợi đối xứng [0o/90o/0o] và hướng sợi không đối xứng [0o/90o]; L=20m; b=1m; 1 2 40E E ; 1 241.5E GPa ; 12 13 20.6 G G E ; 23 20.5G E ; 12 0.25  ; 13 12 23 12;     ; 31.0 /Kg m  ; ks=5/6. Xác định tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên tương ứng với các điều kiện biên S-S, C-C, C-F. 39 Bảng 3.5: Hiệu ứng của hệ số L/H lên tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên cơ bản của dầm composite lớp sợi cross-ply đối xứng và không đối xứng. ĐK Bi