Luận văn Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân

ng bình nhân. - Đề xuất biện pháp dạy học giải bài tập bất đẳng thức theo định hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh. - Thực nghiệm sư phạm để tìm hiểu những khó khăn của giáo viên và học sinh trong dạy học giải bài tập bất đẳng thức, kiểm chứng giả thuyết khoa học về dạy và học giải bài tập toán bất đẳng thức theo định hướng sáng tạo ở trường Trung học phổ thông. 4 Giả thuyết nghiên cứu 8 8 Khi tổ chức được hoạt động dạy và hoạt động học bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân cho học sinh Trung học phổ thông theo định hướng sáng tạo của luận văn thì sẽ rèn luyện được tính sáng tạo của học sinh, qua đó nâng cao chất lượng dạy và học ở trường Trung học phổ thông. 5 Phƣơng pháp nghiên cứu 5.1 Nghiên cứu lí luận Nghiên cứu tài liệu lí luận về tư duy, tư duy sáng tạo và tư duy toán học. Nghiên cứu sách giáo khoa, sách giáo viên, sách nâng cao, sách chuẩn kiến thức có liên quan đến bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân. 5.2 Nghiên cứu thực tiễn Dự giờ, tổng kết, rút kinh nghiệm khi dạy theo chủ đề này. Phỏng vấn, điều tra ý kiến của học sinh, giáo viên về việc dạy và học phần này. 5.3 Thực nghiệm sư phạm Tiến hành thực nghiệm sư phạm với các lớp 10 trường Trung học phổ thông Lạng Giang số 3 - Bắc Giang. 6 Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các bài tập về bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân trong chương trình toán Trung học phổ thông và các dạng toán nâng cao. 7 Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3 chương Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn. Chương 2 Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chủ đề bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân. Chương 3 Thực nghiệm sư phạm. 9 9 Chƣơng 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tƣ duy Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết. [29] Theo từ điển triết học “Tư duy, sản phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận. Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chúng, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm. Kết quả cuối cùng của tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó”. Từ đó chúng ta có thể rút ra những đặc điểm của tư duy. - Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan. - Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện qua ngôn ngữ. - Bản chất của tư duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượng đuợc phản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của con người nhằm phản ánh đối tượng. - Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo. - Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều góc độ khác nhau từ thuộc 10 10 tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con người. Tư duy là một hình thức nhận thức lí tính của con người. Về mặt tâm lí thì tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính chất quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khác quan mà trước đó con người chưa biết. 1.2 Tƣ duy sáng tạo 1.2.1 Khái niệm về sáng tạo Các nhà nghiên cứu đã đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo. Theo tác giả [12] “Tính linh hoạt, tính độc lập, tính phê phán là những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác sáng tạo của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ” . Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao. Ý tưởng mới thề hiện ở chỗ phát hiện ra vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Tính độc đáo của ý tưởng thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất. Tùy theo mức độ của tư duy, người ta đã chia thành ba loại hình: Tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo, mỗi mức độ tư duy đi trước là tiền đề tạo nên mức độ tư duy đi sau. Có thể biểu thị mối quan hệ giữa ba loại hình tư duy như sau: Tư duy sáng taọ tạo tạo Tư duy độc lập Tư duy tích cực 11 11 Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo . Theo [20] “Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết cho tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ” . Theo [10] Tư duy sáng tạo là một kiểu tư duy, đặc trưng bởi sự sản sinh ra sản phẩm mới và xác lập các thành phần mới của hoạt động nhận thức nhằm tạo ra nó. Các thành phần mới này có lên quan đến miền động cơ, mục đích, đánh giá, các ý tưởng của chủ thể sáng tạo. Tư duy sáng tạo được phân biệt với áp dụng các tri thức và kỹ năng sẵn có. Tâm lý học người Đức Mehlhowcho rằng “Tư duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục”. Theo ông, tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi mức độ cao của chất lượng, hoạt động trí tuệ như tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính chính xác. Trong khi đó, Tác giả [24] lại cho rằng “Tư duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng của kiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và học bao gồm những chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như: sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm”. Trong cuốn “Sáng tạo Toán học”, G.Polya [26] cho rằng: “Một tư duy gọi là có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó. Có thể coi là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau này. Các bài toán vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ: Lúc những cố gắng của người giải vạch ra được những phương thức giải áp dụng cho 12 12 những bài toán khác. Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không giải được nhưng tốt vì đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả”. Tác giả [11] Sáng tạo là hoạt động tạo ra bất cứ cái gì có đồng thời tính mới và tính ích lợi (trong phạm vi áp dụng cụ thể). - Bất cứ cái gì: ở bất cứ lĩnh vực nào của thế giới vật chất và tinh thần. - Tính mới: là sự khác biệt của đối tượng cho trước so với đối tượng cùng loại ra đời trước đó về mặt thời gian. - Tính ích lợi: như tăng năng suất, tăng hiệu quả, tiết kiệm, giảm giá thành, thuận tiện khi sử dụng, thân thiện với môi trường, tính ích lợi có thể mang đến cho bản thân, cho gia đình, cho cộng đồng, cho nhân loại. - Phạm vi áp dụng: chỉ đúng trong không gian, thời gian, hoàn cảnh , điều kiện cụ thể, nếu vượt ra ngoài thì có thể biến lợi thành hại. Như vậy, để biết bất cứ cái gì có sáng tạo hay không, bạn phải so sánh cái đó với cái trước nó, nếu cái đã thay đổi nghĩa là nó mới hơn so với cái cũ đồng thời mang lại tính ích lợi cho bạn, cho cộng đồng hay cho nhân loại trong phạm vị áp dụng cụ thể thì bất cứ cái gì đó đã là sáng tạo. Như vậy có thể có nhiều cách định nghĩa khác nhau về về tư duy sáng tạo, nhưng đều có một điểm chung cốt lõi đó là: Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy của cá nhân, nó phân biệt và khác với tư duy tái tạo về bản chất, tư duy sáng tạo là sự mới mẻ của tư duy (đồng thời đây cũng là điểm phân biệt giữa tư duy sáng tạo với tư duy tái tạo). Sự khác biệt giữa tư duy sáng tạo với tư duy tái tạo là sự sản sinh ra cái mới. 1.2.2 Đặc trưng của tư duy sáng tạo a) Tính mềm dẻo 13 13 Là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức, chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật hiện tượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong mối quan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ, nhận ra bản chất của sự vật và nhiều phán đoán. Tính mềm dẻo của tư duy còn làm thay đổi một cách dễ dàng các thái độ đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con người. Tính mềm dẻo của tư duy có các đặc trưng nổi bật sau: - Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vận dụng linh hoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá và các phương pháp suy luận như: quy nạp, suy diễn tương tự. Dễ dàng chuyển từ giải pháp này sang giải pháp khác. Điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ nếu gặp trở ngại... - Suy nghĩ không dập khuôn, không máy móc áp dụng những kinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng đã có vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới đã có những yếu tố thay đổi. Có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng của những kinh nghiệm, những phương pháp, những cách nghĩ đã có từ trước. - Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết. b) Tính nhuần nhuyễn Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của tình huống hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới. Là khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Tính nhuần nhuyễn được đặc trưng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhất định các ý tưởng. Số ý tưởng càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý tưởng độc đáo. Trong trường hợp này có thể nói số lượng làm nảy sinh chất lượng. Tính nhuần nhuyễn có các đặc trưng sau: - Tính đa dạng của các cách sử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giải 14 14 pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau. Đứng trước một vấn đề cần được giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đề xuất được nhiều phương án khác nhau và từ đó có thể tìm được phương án tối ưu. - Khả năng xem xét đối tượng trên nhiều khía cạnh khác nhau, có cái nhìn sinh động từ nhiều phía đối với các sự vật hiện tượng chứ không phải cái nhìn bất biến, phiến diện, cứng nhắc. c) Tính độc đáo Là khả năng tìm kiếm và giải quyết bằng phương thức lạ hoặc duy nhất. Các đặc trưng của tính độc đáo: - Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới. - Khả năng tìm ra những mối quan hệ bên trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có mối liên hệ với nhau. - Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác. d) Tính hoàn thiện Là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩ và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng. e) Tính nhạy cảm vấn đề Là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, sự mâu thuẫn, những sai lầm, thiếu logic, chưa tối ưu,...và từ đó đưa ra những đề xuất hướng giải quyết, tạo ra cái mới. Ngoài ra tư duy sáng tạo còn có những yếu tố quan trọng khác như: Tính chính xác, năng lực định giá trị, năng lực định nghĩa lại, khả năng phán đoán. Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau. Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau (tính nhuần nhuyễn) và nhờ đề xuất được nhiều phương án khác nhau mà có thể tìm được phương án lạ, đặc sắc 15 15 (tính độc đáo). Các yếu tố cơ bản này lại có mối quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề... Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng góp phần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con người. 1.3 Dạy học Bất đẳng thức trong chƣơng trình phổ thông 1.3.1 Chương trình sách giáo khoa Sách chỉnh lí hợp nhất năm 2000, nội dung bất đẳng thức được dạy trong 3 tiết gồm 2 tiết lí thuyết và 1 tiết bài tập. Bài tập chính trong sách gồm có 8 bài, không có bài tập ứng dụng vào thực tiễn. Bài tập làm thêm gồm 4 bài 14, 15, 16, 17 trang 42 sách bài tập. Sách giáo khoa nâng cao năm 2007, nội dung bất đẳng thức được dạy trong 5 tiết gồm 2 tiết lí thuyết và 3 tiết bài tập. Bài tập trong sách gồm có 20 bài tập chính thức và 10 bài tập làm thêm. Bài tập đã có tính ứng dụng vào thực tiễn nhưng không có nhiều. Sách giáo khoa năm 2007 có nhiều ví dụ hơn, trình bày dễ hiểu hơn nhằm khuyến khích học sinh tự học, tuy nhiên có vất vả hơn. 1.3.2 Thực trạng việc học Bất đẳng thức ở trường Trung học phổ thông - Trong chương trình toán Trung học phổ thông, bất đẳng thức là một chuyên đề khó. Tuy nhiên nội dung đưa vào giảng dạy rất cơ bản, học sinh cơ bản mới chỉ tiếp cận với khái niệm bất đẳng thức và những tính chất cơ bản của bất đẳng thức. Ngoài ra học sinh được giới thiệu thêm bất đẳng thức AM-GM và bất đẳng thức Cauchy – Schwarz. Với lí thuyết như vậy học sinh lớp 10 khó có thể vận dụng linh hoạt để giải các bài toán về bất đẳng thức. - Để tìm hiểu cụ thể thực trạng việc học bất đẳng thức của học sinh trong trường Trung học phổ thông, trong quá trình giảng dạy tôi đã sử dụng phương pháp điều tra bằng phiếu để biết được những thuận lợi và khó khăn từ phía học sinh từ đó 16 16 điều chỉnh phương pháp cho phù hợp với đối tượng. - Theo bộ sách giáo khoa đưa vào sử dụng năm 2007 theo chương trình cải cách giáo dục, phần bất đẳng thức được đưa vào chương IV Đại số lớp 10. Đây là phần kiến thức khó đối với học sinh thường xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh và chọn học sinh giỏi. Chính vì vậy mà dạy nội dung này trở nên khó khăn hơn một số nội dung khác, người giáo viên cần cố gắng giúp học sinh tìm ra hướng giải quyết mỗi bài toán một cách đơn giản nhất, giúp học sinh hứng thú và chủ động hơn trong học tập. - Để tìm hiểu rõ hơn thực trạng dạy học bất đẳng thức ở trường Trung học phổ thông. Tôi đã tiến hành quan sát, dự giờ và lấy ý kiến các đồng nghiệp, sau khi điều tra phân tích tôi thu được kết quả thực tế là nhiều học sinh cho rằng bất đẳng thức là chủ đề khó, đặc biệt là việc áp dụng trong giải toán. 1.3.3 Một số nhận xét của giáo viên khi dạy học chủ đề bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân Nhìn chung bất đẳng thức là một phần rất khó đối với học sinh. Thời gian dành cho việc luyện tập bất đẳng thức còn ít. Đối với những lớp học sinh đại trà, sức học yếu có khi giáo viên dạy cho có chứ không hy vọng học sinh làm được loại bài này. Bất đẳng thức được dạy cho học sinh từ các lớp Trung học cơ sở, nhưng nó được dạy tập chung nhất ở chương trình đại số lớp 10 Trung học phổ thông. Các bài tập trong sách giáo khoa chỉ nhằm mục đích giới thiệu một số dạng toán điển hình trong việc chứng minh bất đẳng thức vì vậy bài tập thì ít nhưng mỗi bài một dạng gây khó khăn cho học sinh khi làm bài. Phần bài tập, học sinh chuẩn bị ở nhà hoặc chuẩn bị một ít phút trước khi lên lớp sau đó giáo viên gọi học sinh khá lên chữa bài. Như vậy mô hình chung giáo viên đã bỏ qua lớp học sinh có lực học trung bình 17 17 và yếu. Do đó học sinh yếu ngày càng sợ học hơn, ngày càng bị bỏ rơi. Một số bài toán được phát triển theo hướng khái quát hoá và đặc biệt hoá cho đối tượng học sinh khá và học sinh giỏi. Việc rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh chưa đầy đủ, thường các thầy cô chú ý đến việc rèn luyện khả năng suy diễn, chưa chú ý đến khả năng quy nạp cho học sinh. Thời gian không cho phép dạy học toán nói chung và dạy học bất đẳng thức nói riêng bằng cách tổ chức các tình huống có vấn đề đòi hỏi có dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa các ý kiến trái ngược hay các tình huống có chứa một số điều kiện xuất phát rồi yêu cầu học sinh đề xuất các giải pháp. Hình thức học nói chung còn chưa đa dạng, phong phú, cách truyền đạt đôi lúc chưa cuốn hút học sinh vào bài học. Học sinh tiếp nhận kiến thức còn thụ động. Vai trò của giáo viên chủ yếu vẫn là thông báo kiến thức, cao hơn nữa cũng chỉ là dạy cách chứng minh, cách phán đoán và một số kĩ năng nhất định chứ chưa làm được vai trò của người khơi nguồn sáng tạo, kích thích học sinh tìm tòi. Thuận lợi cho việc dạy học bất đẳng thức là ở chỗ đây là một bài toán có mặt rất thường xuyên trong các đề thi đại học vì vậy một phần lớn học sinh vẫn muốn tìm hiểu và nắm chắc kiến thức về bất đẳng thức. 1.4 Một số biện pháp phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh 1.4.1 Chú trọng bồi dưỡng các thao tác duy và trang bị cho học sinh những tri thức về phương pháp của hoạt động nhận thức Quan điểm này cho rằng để phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh, giáo viên cần dạy cho học sinh thành thạo các tư duy, phân tích, tổng hợp, so sánh, quy nạp, tương tự, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa, Trong đó phân tích và tổng hợp đóng vai trò trọng tâm. Quan điểm trên chỉ rõ trong quá trình dạy học giáo viên phải cung cấp cho học sinh những tri thức về phương pháp để học sinh có thể tìm tòi, tự mình phát hiện 18 18 và phát biểu vấn đề, dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải của một bài toán, hướng chứng minh một định lý, giúp học sinh hiểu sâu sắc các khái niệm các mệnh đề, ý nghĩa và nội dung các công thức, các chứng minh, từ đó mà nhớ lâu các công thức toán học và nếu quên thì có thể tìm lại được. 1.4.2 Bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo cho học sinh Các nhà nghiên cứu đã đưa ra nhiều yếu tố đặc trưng cho tư duy sáng tạo cho học sinh. Đối với học sinh thì các yếu tố đó là tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn và tính nhậy cảm vấn đề. Trên cơ sở đó để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thì trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tố của tư duy sáng tạo. Có thể khai thác từng nội dung giảng dạy, có thể đề xuất các câu hỏi sư phạm nhằm giúp học sinh lật đi lật lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm thật vững bản chất các khái niệm, các mệnh đề, tránh được lối học thuộc lòng máy móc và lối vận dụng thiếu sáng tạo. Để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh, trong quá trình dạy học giáo viên cần sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố của tư duy sáng tạo như: những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụng công thức tổng quát để khắc phục hành động máy móc, không thay đổi phù hợp với điều kiện mới; những bài có nhiều lời giải khác nhau đòi hỏi học sinh phải biết chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác; những bài tập trong đó có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song nhau, giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược được xảy ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận. 1.4.3 Rèn luyện và bồi dưỡng năng lực phát hiện vấn đề mới cho học sinh Về giảng dạy lí thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu trong đó giáo viên tạo ra các tình huống gợi vấn đề để dẫn dắt học sinh tìm tòi, khám phá kiến thức mới. Nói cách khác là vận dụng tối đa phương pháp dạy học giải quyết 19 19 vấn đề qua các giờ lên lớp. Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõ điều phải chứng minh, bài tập mở, học sinh phải tự lập, tìm tòi để phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề. Cần hướng dẫn học sinh khai thác, khám phá những kết quả mới từ các bài toán đã giải. 20 20 1.4.4 Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học Phát triển năng lực tư duy sáng tạo là một quá trình lâu dài, cần tiến hành thường xuyên hết các tiết học này sang các tiết học khác, năm này sang năm khác trong tất cả các khâu của quá trình dạy học, trong nội khóa cũng như các hoạt động ngoại khóa. Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyện khả năng tư duy sáng tạo trong việc toán học hóa các tình huống trong thực tế, trong việc viết báo toán với những đề toán tương tự sáng tác, những cách giải mới khai thác từ các bài toán đã giải. 21 21 Kết luận chƣơng 1 Luận văn đã nêu ra được các khái niệm về tư duy, tư duy sáng tạo. Đưa ra thực trạng về việc học bất đẳng thức ở trường Trung học phổ thông, từ đó luận văn đưa ra một số biện pháp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. 22 22 Chƣơng 2 RÈN LUYỆN TƢ DUY VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRUNG BÌNH CỘNG TRUNG BÌNH NHÂN 2.1 Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân a) Các đại lượng trung bình của hai số không âm Với hai số không âm , .a b Kí hiệu 2 a b A   là trung bình cộng của hai số , .a b G ab là trung bình nhân của hai số , .a b 2 2 2 a b Q   là trung bình toàn phương của hai số , .a b 2 1 1 H a b   là trung bình điều hòa của hai số dương , .a b Ta có bất đẳng thức .Q A G H   Chứng minh. Từ   2 0a b  ta suy ra 2 a b ab   , 2 0a ab b   , . 2 a b ab   hay .A G (1) Từ   2 2 2 2 20 2 0 2a b a ab b a b ab         hay     2 2 22 22 2 2 a b a b a b a b        hay .Q A (2) Mặt khác 2 1 1 1 1 2 2 0 1 1 ab a b a b ab a b              23 23 hay .G H (3) Kết hợp (1), (2), (3) ta có .Q A G H   Dấu “=” trong các bất đẳng thức này đều xảy ra khi .a b - Mở rộng ra cho n số không âm 1 2 3, , ,..., na a a a ta cũng có 1 2 3 ... na a a aA n      là trung bình cộng của n số 1 2 3, , ,..., .na a a a 1 2 3... n nG a a a a là trung bình nhân của n số 1 2 3, , ,..., .na a a a 2 2 2 2 1 2 3 ... na a a aQ n     là trung bình toàn phương của n số 1 2 3, , ,..., .na a a a 1 2 3 1 1 1 1 n n H a a a a        là trung bình điều hòa của n số dương 1 2 3, , ,..., .na a a a Ta cũng có bất đẳng thức .Q A G H   Dấu “=” xảy ra khi 1 2 3 ... .na a a a    Chú ý. , , ,A G Q H theo thứ tự là viết tắt của các từ arithmetic mean (trung bình cộng), geometric mean (trung bình nhân), quadratic mean (trung bình toàn phương) và harmonic mean (trung bình điều hòa). b) Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân Cho n số thực không âm 1 2 3, , ,..., , , 2na a a a n n  ta luôn có 1 2 3 1 2 3... . . . ... . n n na a a a n a a a a     Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 3 ... .na a a a    2.2 Một số kĩ thuật thƣờng sử dụng 2.2.1 Kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức AM-GM Trong kĩ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “=” trong bất đẳng thức AM- GM và các quy tắc về tính đồng thời của dấu “=”, quy tắc biên và quy tắc đối xứng sẽ được sử dụng để tìm điểm rơi của biến. Ví dụ 2.2.1 Cho 2.a  Tìm giá trị nhỏ nhất của 24 24 1 .S a a   Sai lầm thường gặp. 1 1 2 . 2.S a a a a     Dấu “=” xảy ra khi 1 a a  hay 1a  , nhưng điều này vô lí vì giả thiết là 2.a  Phân tích. Chọn điểm rơi, ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử 1 a để sao cho khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy dấu “=” xảy ra khi 2.a  Có các hình thức tách sau 1 1 1 1 1 , ; , ; , ; , ; .a a a a a a a a a a                                  Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi 1 1 ; .a a       1 2 1 1 , . 2 a a    Hay 2 1 2  , suy ra 4.  Lời giải. Ta có 1 3 1 3 3.2 5 2 1 4 4 4 4 4 2 a a a a S a a         . Dấu “=” xảy ra khi 2.a  Bình luận. Ta sử dụng điều kiện dấu “=” và điểm rơi là 2a  dựa trên quy tắc biên để tìm ra 4.  Ở đây ta thấy tính đồng thời của dấu “=” trong việc áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số 1 , 4 a a và 3 4 a đạt giá trị lớn nhất khi 2,a  tức là chúng có điểm rơi 2.a  Ví dụ 2.2.2 Cho 2.a  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 1 .S a a   Phân tích. Sơ đồ chọn điểm rơi 2a  , ta có 2 2 1 1 , . 4 a a    Suy ra 8.  Sai lầm thường gặp 25 25 2 2 2 1 1 7 1 7 2 7 2 . 8 8 8 8 88 2 7.2 2 7 9 . 8 4 4 48.2 a a a a a S a a a a a                    Suy ra 9 min . 4 S  Nguyên nhân sai lầm. Mặc dù chọn điểm rơi 2a  và 9 min 4 S  là đáp số đúng nhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số, nế