Luận văn Phối hợp rèn luyện kỹ năng giải toán phương trình với phát triển tư duy hàm cho học sinh THPT trong dạy học Đại số và Giải tích

ổi phương trình, hầu như khi tiến hành giải phương trình, người ta thường tìm cách biến đổi phương trình đó về phương trình đơn giản hơn và cuối cùng dẫn đến phương trình đã biết cách giải, có thể biến đổi phương trình đó về phương trình tương đương với phương trình đã cho hoặc là phương trình hệ quả của phương trình đã cho. Xét theo quan điểm khai thác các tư tưởng chủ đạo của tư duy hàm, chúng tôi lưu ý rằng quá trình biến đổi phương trình, bất phương trình là một quá trình mang tính ''động''. Trong quá trình ''động'' đó ta khai thác yếu tố ''tĩnh'' để đạt được mục đích (là tìm nghiệm). Cái thay đổi trong biến đổi phương trình, bất phương trình là hình thức, là dạng, là loại phương trình và bất phương trình. Mục đích của sự biến đổi là giảm nhẹ khó khăn, quy lạ về quen và giữ bất biến tập nghiệm hay kiểm soát được sự thay đổi tập nghiệm sao cho sự thay đổi nếu có đều có thể kiểm tra để loại bỏ nghiệm ngoại lai hay vớt lại được các nghiệm đã bị gạt bỏ trong quá trình biến đổi. Khi đã đưa được phương trình đã cho về các dạng phương trình mẫu thì sự tương ứng xuất hiện giữa dạng phương trình với các kỹ thuật tính toán, biến đổi hay tập nghiệm chúng tôi đã trình bày ở trên được thể hiện. Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) Một học sinh thực hiện giải như sau: Biến đổi phương trình (1) thành: (2) Bình phương hai vế của phương trình (2) ta được: (3) Thực hiện phép biến đổi đồng nhất: (4) Đưa phương trình (4) về phương trình bậc hai chính tắc: (5) Giải phương trình (5) ta được các nghiệm là và Câu hỏi đặt ra: Hãy xét mối quan hệ giữa các phương trình trong qúa trình biến đổi? Diễn biến của các tập nghiệm của các phương trình đó thay đổi ra sao? Muốn vậy, học sinh phải xác định được các phép biến đổi sử dụng khi "biến đổi"nắm vững các loại phép biến đổi hệ quả và nắm vững các kiến thức đã học, dù không liên quan trực tiếp đến biến đổi phương trình. Chẳng hạn: Với thì còn nếu a = 1 thì với mọi giá trị của p và q. Từ đó, ta biết được quan hệ giữa các phương trình: Dựa vào sơ đồ trên học sinh dễ dàng biết được diễn biến của các tập nghiệm, do đó kết luận được: Nếu thay phương trình (1) bởi phương trình (5) thì có thể vừa thừa nghiệm vừa thiếu nghiệm. Vậy khắc phục điều đó ra sao? - Thử các giá trị 1 và 2 vào phương trình (1) loại bỏ nghiệm ngoại lai (nếu có), thấy chỉ một giá trị 1 thoả mãn (khắc phục thừa nghiệm). - Thử các giá trị của x làm cho cơ số luỹ thừa nhận giá trị 1 (khắc phục thiếu nghiệm do việc biến đổi từ (1) sang (2)) ta được x = 3 thoả mãn (1). Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1 và x = 3. Muốn nâng cao kỹ năng biến đổi nói chung, kỹ năng biến đổi phương trình nói riêng, đầu tiên giáo viên phải giúp học sinh nắm chắc các khái niệm cơ bản và kiến thức cơ sở, coi trọng học các khái niệm, hiểu rõ những điều cốt lõi của khái niệm, hiểu được cách vận dụng chúng để giải bài tập và đề phòng những sai lầm thường gặp. Chẳng hạn, giá trị tuyệt đối của số thực x là , giá trị tuyệt đối của số thực x phải dựa vào quan hệ của nó với số không để biện luận. Do đó khi gặp phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, hướng suy nghĩ cơ bản khi làm loại toán này là khử dấu giá trị tuyệt đối. Muốn vậy, cần phải dựa vào ý nghĩa giá trị tuyệt đối để bỏ dấu, phương pháp cụ thể là phương pháp điểm không. Tuy nhiên, khi tìm giá trị tuyệt đối phải đề phòng vận dụng khái niệm một cách hình thức dẫn đến sai lầm có tính lý thuyết như: Giải và biện luận phương trình thì không phải là chia ra ba trường hợp và để biện luận mà phải căn cứ theo và để giải. ở đây học sinh đã hiểu một cách máy móc, hình thức dẫn đến sai lầm trong phân chia trường hợp và sai lầm không tránh khỏi khi biến đổi phương trình, bất phương trình. Bên cạnh việc rèn luyện kỹ năng “biến đổi” dựa vào hằng đẳng thức, định nghĩa còn rèn kỹ năng “biến đổi” dựa vào các quy tắc, tính chất, định lý... có điều kiện kèm theo mà điều kiện đó có ý nghĩa quan trọng quy định tính đúng - sai của hằng đẳng thức đó. ví dụ 2: Giải phương trình: Một học sinh thực hiện lời giải như sau: Điều kiện: Biến đổi phương trình trở thành: Đặt . Phương trình đã cho có dạng: Cả hai giá trị t tìm được đều âm (không thỏa mãn điều kiện ) nên phương trình đã cho vô nghiệm. Hỏi: Hãy xem xét lại phép biến đổi? . Chưa đúng! Hỏi: Phép biến đổi này chỉ đúng khi nào? Khi và Như vậy, lời giải trên thực hiện không đúng. Sai lầm từ phép biến đổi: không phải là phép biến đổi tương đương. Hỏi: Khắc phục điều đó như thế nào? Hướng 1: Khắc phục sai lầm do biến đổi Thực hiện phép biến đổi tương đương: - Xét x > 3, phương trình trở thành: Giải như trên phương trình vô nghiệm. - Xét , phương trình trở thành: Đặt , phương trình có dạng: Với t = 1, ta được: Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm Với t = 3, ta được: Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm Kết luận: Phương trình có hai nghiệm và . Hướng 2: Khắc phục sai lầm do biến đổi bằng cách thay đổi cách chọn ẩn phụ Đặt . Suy ra: Khi đó, phương trình có dạng: Với ta được: Với ta được: Vậy phương trình có hai nghiệm và . Từ bài toán cho thấy sai lầm trong biến đổi do không suy xét vấn đề một cách kín kẽ, nghiêm ngặt, áp dụng hời hợt, phiến diện có tác dụng tai hại trong quá trình giải toán phương trình, bất phương trình. Giáo viên có thể yêu cầu học sinh thống kê một số các phép biến đổi đồng nhất thức cơ bản, thường gặp đối với từng mảng kiến thức được học. Đồng thời nhấn mạnh, khắc sâu điều kiện cần để xảy ra phép biến đổi đồng nhất đó. Chẳng hạn, nêu các phép biến đổi đồng nhất khi biến đổi phương trình vô tỷ: 1. 2. 3. và 4. 5. Sau khi học sinh liệt kê một số dạng đồng nhất thường gặp khi biến đổi phương trình vô tỷ, giáo viên cần giúp học sinh ý thức được việc biến đổi phương trình khi áp dụng phép biến đổi đồng nhất có thể làm thay đổi tập nghiệm, cũng có thể làm mở rộng hoặc thu hẹp tập nghiệm, tùy thuộc quá trình biến đổi chúng ta tách hoặc gộp các biểu thức có làm thay đổi tập xác định của bài toán không? Chẳng hạn như phép biến đổi ở ví dụ trên: là phép biến đổi làm thu hẹp tập xác định. Xuất phát từ định nghĩa căn thức dẫn đến Do đó nếu thay bởi thì chỉ mới xét trường hợp còn bỏ sót trường hợp . Giáo viên cần hình thành và rèn luyện kỹ năng giải phương trình, bất phương trình bằng biến đổi tương đương do áp dụng hằng đẳng thức, các phép biến đổi đồng nhất hoặc áp dụng định lý về phép biến đổi tương đương. Ngoài ra cũng cần quan tâm rèn luyện kỹ năng giải phương trình, bất phương trình bằng biến đổi hệ quả. Rèn luyện kỹ năng biến đổi phương trình là một khâu rất quan trọng trong quá trình giải phương trình, biến đổi sai lầm dẫn đến bài toán giải sai. Thế nhưng không dễ dàng gì học sinh nhận ra bước biến đổi của mình là sai lầm. Ví dụ 3: Giải phương trình: Có học sinh thay cơ số và biến đổi như sau: (6) tức (7) Tiếp tục biến đổi và rút gọn ta được: (8) Hỏi: x = 16 có là nghiệm duy nhất không? Thực tế thì x = 1 cũng là đáp số của bài toán. Hỏi: Vậy ở bước biến đổi nào có vấn đề? Câu hỏi này buộc học sinh phải phân tích từng bước trong quá trình giải để tìm ra vấn đề: Học sinh hiểu rõ ở từng bước sự biến đổi được dựa vào định nghĩa, định lý, hệ quả nào. ở bước 1 dựa vào hệ quả , ở bước 2 dựa vào định lý và , ở bước 3 dựa vào định nghĩa hàm số logarit và lũy thừa hai vế. Nhưng lại khó khăn tìm ra nguyên nhân sai lầm ở bước biến đổi nào. Giáo viên cần giúp học sinh xem xét, kiểm tra sự biến đổi ở từng bước. Phân tích quá trình giải ở bước 1, khi thay cơ số và biến đổi thành phương trình (6) ta đã co hẹp khoảng xác định của hàm số: Từ ban đầu x > 0 và biến thành mà phạm vi thu nhỏ lại vừa đúng nghiệm của phương trình ban đầu. Như vậy, vì xem thường phương trình biến đổi mà gây nên thu hẹp khoảng xác định, dẫn đến bỏ sót nghiệm, đó là một biểu hiện cụ thể tư duy không chặt chẽ trong quá trình biến đổi. Cần phải khắc phục sai lầm này như thế nào? - Hướng 1: Thử giá trị làm co hẹp khoảng xác định vào phương trình ban đầu, tìm lại nghiệm bị mất (nếu có). Thay x = 1 vào phương trình đã cho thấy thỏa mãn. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 16. - Hướng 2: Tìm cách biến đổi khác không làm thay đổi khoảng xác định. Chẳng hạn: Nếu dùng cách thay đổi cơ số logarit thông thường thì không làm thay đổi khoảng định nghĩa, nên sẽ không bỏ sót nghiệm. Phương trình ban đầu có thể biến đổi như sau: Xảy ra hai trường hợp: Trường hợp 1: Trường hợp 2: Kiểm tra lại thấy thỏa mãn phương trình đã cho. Vậy phương trình có hai nghiệm . 2.2.3. Rèn kỹ năng giải phương trình thông qua đánh giá giá trị các biểu thức thành phần Có nhiều bài toán giải phương trình, bất phương trình bằng cách đánh giá giá trị các biểu thức thành phần cho ta kết quả nhanh chóng, dễ dàng mà các cách làm khác có thể bế tắc hoặc khó khăn, phức tạp hơn. Việc đánh giá giá trị các biểu thức thành phần có thể dựa trên tam thức bậc hai, các tính chất của bất đẳng thức, các bất đẳng thức cơ bản... ở đây chúng tôi muốn đề cập đến kỹ năng đánh giá trị các biểu thức thành phần dựa trên đặc điểm, tính chất của các hàm số thành phần có mặt trong phương trình, bất phương trình. Phải khẳng định rằng không phải bài toán nào cũng giải được bằng phương pháp đánh giá. Tùy thuộc vào đặc điểm từng dạng, từng biểu thức thành phần. Cần rèn cho học sinh có “con mắt nhìn toán học” nhạy bén và tinh tế khi đứng trước một bài toán, xem xét mối quan hệ giữa các giá trị của các biểu thức thành phần. Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) Mới nhìn phương trình thấy hình thức rắc rối: Vế phải là tổng hai hàm số mũ và vế trái lại là hàm lượng giác phức tạp, học sinh thường không khỏi hoang mang, bế tắc. Giáo viên cần giúp học sinh nghiên cứu đặc điểm của từng biểu thức thành phần, tìm tập giá trị của chúng trên tập xác định . Hỏi: Tìm điều kiện của phương trình? Hỏi: Đánh giá giá trị của vế phải trên hay tìm tập giá trị của hàm thành phần ? Ta có: . Dấu bằng xảy ra khi tức là x = 0.Hỏi: Tiếp tục đánh giá giá trị của vế trái trên ? Do x = 0 thì , vì vậy x = 0 là giá trị duy nhất làm cho giá trị hai vế bằng nhau. Giáo viên cần chỉ cho học sinh thấy: có những phương trình cực kỳ phức tạp, sau khi cố gắng huy động tất cả những phương pháp quen thuộc vẫn không đem đến lời giải khi đó ta thử nghĩ tới con đường đánh giá giá trị các biểu thức thành phần. Cơ sở để ta nghĩ đến con đường này là nhận thấy hai vế rất khác biệt về tính chất, chúng có chứa các phép toán phức tạp và có vẻ như giá trị của từng vế có xu hướng không vượt quá, không bé thua một số nào đó. Ví dụ 2: Giải phương trình: (2) Nhìn vào phương trình học sinh không khỏi ái ngại, không biết lựa chọn phương pháp nào để giải. Đây là phương trình vô tỷ mà bậc của căn thức ở biểu thức thành phần lại khác nhau, không thể khử dấu căn bằng biến đổi tương đương. Nhưng nếu để ý, nhận thấy là nghiệm của phương trình. Vậy ngoài ra, phương trình còn nghiệm nào khác không? Lúc này cần huy động kỹ năng đánh giá giá trị các biểu thức thành phần ở học sinh. Xem xét kỹ càng hơn, nhận thấy bậc của ẩn x dưới dấu căn là bậc chẵn nên khi xét , có thể thay việc xét 3 trường hợp bằng việc xét gộp và . Trường hợp 1: Lấy (3) cộng với (4) ta được: Phương trình (2) vô nghiệm. Trường hợp 2: Cộng (5) và (6) ta có: Phương trình (2) vô nghiệm. Vậy phương trình có hai nghiệm là Tất nhiên không phải bài toán nào ta cũng tìm ngay được sự đối lập của các biểu thức thành phần mà cần phải biến đổi linh hoạt khi xem xét chúng với các điều kiện kèm theo (xét trên tập xác định) mới hy vọng thành công. Có những bài toán việc ta ý thức được khó có thể giải được bằng cách biến đổi thông thường, ta nghĩ tới con đường không mẫu mực đó là "đánh giá" thử áp dụng vào phương trình đó xem sao. Việc làm này, đôi khi chỉ mang tính mò mẫm, dự đoán chứ chưa đảm bảo thành công. Có hàng lớp các bài toán mà việc giải chúng có nhiều cách khác nhau, thậm chí có cả thuật giải để giải từng dạng toán đó, nhưng đối với từng bài cụ thể nếu ta chịu khó xem xét sự biểu hiện các mối liên hệ giữa các yếu tố tạo nên bài toán, tìm được sự đối lập tương đối, giữa các biểu thức thành phần, sự tương ứng giữa các giá trị của các biểu thức đó với điều kiện của bài toán và sự tương ứng giữa các giá trị của ẩn x với giá trị của các biểu thức khi đánh giá, ta có thể nhanh chóng tìm ra đáp số của bài toán. Ví dụ 3: Tìm tất cả các tham số m để bất phương trình sau có nghiệm: (7) Lời giải: Biến đổi (8) Để ý trong có: Mặt khác: . Do đó: . Vậy (7) có nghiệm khi và chỉ khi . Việc đánh giá giá trị các biểu thức thành phần cần dựa vào các giá trị cực trị, tập giá trị của hàm thành phần, ngoài ra còn lợi dụng tính đơn điệu, tính chẵn lẻ của các hàm thành phần. Chẳng hạn như ví dụ trên đã lợi dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số mũ (Hàm số đồng biến trên khi a > 1, nghịch biến trên khi 0 < a <1). Ví dụ 4: Giải phương trình: (9) Biến đổi phương trình . Rõ ràng, không thể giải phương trình bằng cách biến đổi thông thường. Vế phải là hằng số còn vế trái là tổng của một hàm lượng giác và một hàm đa thức. Làm thế nào để chúng sát lại gần nhau? Ta nghĩ tới việc đánh giá giá trị của vế trái xem sao? Đặt Việc đánh giá giá trị của vế trái chính là việc tìm tập giá trị của hàm f(x) trên . Tuy nhiên nếu để ý ta nhận thấy: f(x) = f(-x); là hàm chẵn; nên chỉ cần xét với . Cách vạn năng để giải loại toán này là dùng công cụ đạo hàm. Thật vậy, ta có: . Do đó là hàm đồng biến là hàm đồng biến . Nên là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 5: Giải phương trình: Đường lối chung để giải các phương trình vô tỷ là thực hiện các phép biến đổi tương đương, nhưng với bài toán cụ thể này thì việc vận dụng đường lối đó sẽ rất phức tạp. Lợi dụng tính chất của hàm số, đánh giá giá trị của vế phải xem sao? Xét hàm số .Ta có thể thấy ngay được các tính chất sau: - Miền xác định của hàm số f(x) là: - f(x) là hàm số chẵn vì f(x) = f(-x). Vì vậy ta hãy xét với mọi x: . Khi đó: Từ đó: cho nên với mọi x: phương trình vô nghiệm. Do tính chất chẵn của hàm số f(x) nên ta suy ra với mọi x: phương trình cũng vô nghiệm. Lời giải ngắn gọn của bài toán có được do ta khai thác đúng tính chất của hàm số f(x) có mặt trong bài toán. Ví dụ 6: Giải phương trình: (10) Nhận thấy x = 2 là nghiệm của phương trình. Thực hiện phép biến đổi tương đương: Lợi dụng tính chất của hàm số mũ, đánh giá trị của VT khi x > 2 và x < 2 ta thấy: Với x < 2: ;   (vì 0 < a <1 hàm số y = ax nghịch biến). Nên Phương trình (11) không có nghiệm x < 2. Tương tự xét x > 2: Do đó x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình. Ví dụ 7: Giải phương trình Rõ ràng không thể giải được bằng biến đổi thông thường. Hãy đánh giá trị của các biểu thức thành phần trên : VP = có Có kết luận gì về nghiệm của phương trình ? (Phương trình vô nghiệm) 2.2.4. Rèn kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ, cách phát biểu bài toán Trong khi tiến hành giải phương trình, người ta thường biến đổi, đưa về những phương trình đơn giản hơn và cuối cùng dẫn đến một phương trình đã biết cách giải. Tuy nhiên nếu hiểu từ "biến đổi" theo nghĩa thông thường, thuần túy thì không phải sự biến đổi nào cũng dẫn đến phương trình đơn giản hơn và đã có cách giải. Rất nhiều trường hợp cách làm đó không đem lại kết quả gì, do việc tính toán dẫn đến vô cùng phức tạp, bài toán dẫn đến không rơi vào trường hợp đặc biệt quen biết rõ ràng nào cả. Bằng cách "biến đổi" theo nghĩa rộng, phát biểu lại bài toán mà với cách phát biểu này, bài toán mới hoàn toàn tương đương với bài toán ban đầu nhưng dưới dạng dễ hiểu, cho ta cách giải bài toán tự nhiên và đơn giản. Việc chuyển đổi cách phát biểu bài toán đưa về bài toán tương đương bao hàm sự biến đổi đại số hoặc lượng giác, phép thế, ẩn số phụ, bằng cách chuyển đổi từ ngôn ngữ toán học này sang ngôn ngữ toán học khác (đại số, hình học, giải tích, tổ hợp ...). ở đây chúng tôi quan tâm nhiều đến việc chuyển đổi cách phát biểu bài toán ban đầu sang bài toán mới tương đương với nó, bằng cách đặt ẩn phụ, đây cũng là cách thường gặp khi giải phương trình. Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (1) Lời giải chưa đúng: Điều kiện: Đặt Phương trình (1) trở thành: (2) Điều kiện để phương trình có nghiệm là: . Hai tình huống có thể xảy ra: Thứ nhất: Học sinh có ý tìm hiểu miền biến thiên của u để từ đó biết rằng tương ứng với u nào sẽ có x nhưng rất tiếc vì họ đã không giải quyết được điều đó cho nên không thiết lập được sự tương ứng. Thứ hai: Học sinh sẽ không nghĩ đến điều đó, không ý thức được quy luật rằng mỗi x thì tương ứng vơi một u nhưng có thể một u nào đó sẽ không có x nào cả. Rút cuộc đáp số cũng là nhưng muốn giải đúng thì phải bổ sung thêm đoạn sau: Với u0 > 0 thì Với thì Từ hai trường hợp trên suy ra: Mọi u đều tồn tại x. Bài toán quy về tìm m để phương trình (ẩn u) có nghiệm. Thực ra bài toán trên nếu khắc sâu mối quan hệ giữa ẩn cũ và ẩn mới, làm cho học sinh luôn ý thức tìm điều kiện cho ẩn phụ u khi biết miền xác định của x là . Đồng thời ý thức đựoc sự tương quan giữa tính có nghiệm của phương trình ban đầu với phương trình sau khi chuyển đổi, tránh thói quen áp đặt yêu cầu bài toán đối với ẩn ban đầu sang áp dụng cho ẩn phụ thì bài toán trên còn có cách giải khác (dĩ nhiên trong bài toán này việc tìm điều kiện cho ẩn phụ không dễ dàng gì nên chọn cách làm ở trên vẫn hơn). Việc chuyển đổi cách phát biểu bài toán về bài toán tương đương bằng cách đặt ẩn phụ, cần rèn cho học sinh thói quen đặt điều kiện cho ẩn phụ có lập luận, có căn cứ chặt chẽ, tránh đưa ra những nhận định về điều kiện của ẩn phụ một cách cảm tính thiếu cơ sở chặt chẽ như thì điều kiện là t > 0 vì t là hàm số mũ hay với x > 0 thì t > 0 vì t là tổng của hai số dương... Cố nhiên trong các bài toán giải phương trình, bất phương trình không chứa tham số thì việc đặt điều kiện đúng cho ẩn phụ chỉ giúp ta loại bỏ trường hợp vô nghiệm chứ không dẫn đến những sai lầm trong khi giải toán. Song, đối với những bài toán chứa tham số thì việc đặt đúng điều kiện cho ẩn phụ có tính chất tiên quyết đối với việc giải phương trình, bất phương trình đã cho. Trong trường hợp này, nếu ta lờ đi việc đặt điều kiện cho ẩn phụ hoặc đặt có điều kiện cho ẩn phụ nhưng không chính xác (điều kiện của ẩn phụ quá rộng hoặc quá hẹp) đều dẫn đến việc giải bài toán sai ngay từ bước đầu khi chuyển đổi bài toán thậm chí bế tắc không tìm ra được hướng giải. Ví dụ 2: Xác định m để phương trình sau có nghiệm: (3) Lời giải chưa đúng: Đặt . Điều kiện t > 0 (vì t là hàm số mũ). Khi đó phương trình có dạng: (4) Bài toán chuyển về tìm m để (4) có nghiệm t > 0. Xảy ra các trường hợp sau: Trường hợp 1: . Do đó phương trình vô nghiệm. Trường hợp 2: (3) có nghiệm (4) có nghiệm t > 0 Khả năng 1: (4) có một nghiệm t > 0 Khả năng 2: (4) có hai nghiệm t > 0: Do đặt điều kiện cho ẩn phụ chưa thật chính xác nên chưa thiết lập được sự tướng ứng giữa t và x, t > 0 chỉ là điều kiện hẹp, bởi thực chất điều kiện cho t phải là nên việc chuyển đổi bài toán ban đầu về bài toán theo ẩn phụ không tương đương. Vì vậy, làm việc với bài toán trên ẩn phụ không giải quyết được vấn đề đặt ra. Sau khi đặt đúng điều kiện của ẩn phụ thì bài toán chuyển về tìm m để (4) có nghiệm . Không khó khăn khi học sinh giải quyết bài toán mới này cho đáp số . Nếu không ý thức được mối quan hệ giữa miền biến thiên của ẩn phụ với miền xác định x của bài toán, lãng quên điều kiện của ẩn phụ thì học sinh sẽ lúng túng khi chuyển đổi bài toán hoặc giữ nguyên yêu cầu bài toán từ ẩn ban đầu áp đặt sang bài toán đối với ẩn phụ tức là chuyển đổi sai bài toán. Chẳng hạn như ví dụ 3, học sinh lãng quên điều kiện của t nên cho rằng (3) có nghiệm tương đương với (4) có nghiệm. Cần làm rõ mối quan hệ hai chiều giữa ẩn và ẩn mới, việc tìm điều kiện cho ẩn mới chính là việc tìm tập giá trị của hàm với mọi x thuộc miền xác định cuả bài toán. Cách vạn năng để tìm tập giá trị của hàm là dùng đạo hàm nhưng tùy từng bài cụ thể mà ta có thể có cách làm ngắn gọn hơn như áp dụng các bất đẳng thức cơ bản, tính chất của bất đẳng thức, của hàm số mũ, tam thức bậc hai... Cần rèn cho học sinh ý thức được sự tương ứng giữa yêu cầu của bài toán ban đầu và bài toán sau khi chuyển đổi. Ví dụ 3: Tìm m để phương trình: (5) có 4 nghiệm phân biệt. Học sinh nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (5) nên chia cả hai vế của phương trình cho , ta được: Để tiến hành giải phương trình học sinh đặt ẩn phụ , điều kiện Được: (6) Vấn đề đặt ra là để (5) có 4 nghiệm phân biệt thì (6) có bao nhiêu nghiệm? Thỏa mãn điều kiện gì? Học sinh phải nhận thức được mỗi x thì tương ứng với một t nhưng ngược lại thì thế nào? Với mỗi t thì có thể không có x nào (khi ), có thể có một x (khi t = 2), có thể có hai x phân biệt (khi ), cơ sở có kết luận này từ việc đặt ẩn phụ khi nào có nghiệm, vô nghiệm. Học sinh nắm bắt được mối quan hệ tác động qua lại giữa số nghiệm phương trình (5) và số nghiệm phương trình (6) không những giải quyết tốt bài toán trên mà còn giải quyết được các bài toán như: Tìm m để phương trình vô nghiệm, có một nghiệm, có hai nghiệm phân biệt, có ba nghiệm phân biệt. Đồng thời có thể tổng quát hóa bài toán. Quay trở lại bài toán trên: Học sinh nhận thức được sự tương ứng mỗi nghiệm t của (6) mà ta được hai nghiệm phân biệt của (5). Do đó để (5) có bốn nghiệm phân biệt thì (6) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 sao cho và . Bài toán trở về tìm m để (6) có 2 nghiệm phân biệt t1, t2 sao cho và . Phần việc còn lại học sinh giải quyết bài toán cần huy động kiến thức về tam thức bậc hai. Cần rèn cho học sinh kỹ năng chuyển đổi từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ toán học Từ việc phát biểu bài toán bằng ngôn ngữ thông thường sang phát biểu bài toán bằng công thức, bằng ký hiệu toán học và ngược lại. Điều này không chỉ cần khi giảng dạy toán phương trình , cho học sinh thấy được sự ứng dụng thực tế của lý thuyết phương trình trong khoa học và đời sống mà còn giúp học sinh lĩnh hội tốt các phần kiến thức khác, nắm bắt các khái niệm, định lý ở dạng lời và ở dạng công thức toán học. Việc "phiên dịch" một vấn đề từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ toán học và ngược lại, giúp học sinh nắm vững kiến thức hơn đồng thời giúp cho việc hình thành các liên tưởng thuận và các liên tưởng nghịch ở học sinh. Thực ra việc rèn học sinh kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ từ ngôn ngữ thông thường sang ngôn ngữ toán học khi dạy học phương trình chính là việc làm kết hợp giữa dạy học giải phương trình và dạy học giải toán bằng cách lập trình. Theo Nguyễn Bá Kim khâu mấu chốt là dạy cho học sinh biết lập phương trình xuất phát từ tình huống thực tế của bài toán, cần xoáy vào rèn luyện cho học sinh hai khả năng sau: - Rèn luyện cho học sinh khả năng phát hiện những hệ thức giữa những đại lượng. - Rèn luyện cho học sinh khả năng sử dụng những biểu thức chứa biến để biểu thị những tình huống thực tế. Rèn kỹ năng chuyển đổi cách phát biểu bài toán, cần làm rõ cho học sinh xác định yêu cầu của bài toán trước và sau khi biến đổi, dựa trên phép biến đổi đó là tương đương hay hệ quả. Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (7) Bằng việc chuyển vế và bình phương hai vế, đưa về phương trình: (8) Học sinh phải xác định được phương trình (7) có nghiệm không tương đương với phương trình (8) có nghiệm, nghiệm của (7) là nghiệm của (8) nhưng ngược lại không luôn đúng, vì phép biến đổi là phép biến đổi hệ quả. Như vậy, ý thức được điều này học sinh mới chuyển đổi đúng: Để phương trình (7) có nghiệm thì (8) phải có nghiệm . Ngoài ra cần rèn cho học sinh kỹ năng chuyển đổi bài toán từ bài toán thuận sang bài toán nghịch và ngược lại, sự chuyển đổi đó phải đầy đủ và triệt để. Việc chuyển đổi từ bài toán thuận sang bài toán ngược và ngược lại giúp ta giải quyết nhiều bài toán dễ dàng, đơn giản hơn. Nhưng cần phải giúp học sinh ý thức được sự chuyển đổi đó phải đúng và đầy đủ, nhiều học sinh mắc phải sai lầm khi chuyển đổi do không nắm vững lý thuyết mệnh đề hoặc áp dụng không đúng. Ví dụ 5: Định m để bất phương trình sau vô nghiệm: Nhiều học sinh cho rằng: Bài toán ngược của bài toán trên là "Định m để có nghiệm". Họ lý giải phủ định của f(x) -2, còn bài toán f(x) 1). 2.2.5. Rèn kỹ năng giải phương trình thông qua xét sự biến thiên của hàm số Nhiều bài toán việc biến đổi chúng một cách chân phương để tìm ra lời giải gặp nhiều khó khăn, phức tạp nhưng nếu dùng công cụ đạo hàm xét sự biến thiên của hàm số xác định được từ phương trình đã cho, đem lại kết quả nhanh chóng, gọn gàng. Đặc biệt là các bài toán phương trình, bất phương trình chứa tham số. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với n chẵn và dương, a > 3 thì phương trình: (1) vô nghiệm. Để chứng minh phương trình (1) vô nghiệm ta cần chứng minh: f(x) > 0 với mọi x hoặc f(x) < 0 với mọi, trong đó f(x) là vế trái của phương trình (1). Do f(x) là đa thức bậc chẵn và n + 1 > 0, cho nên . Do đó để chứng minh phương trình đã cho vô nghiệm, ta chứng minh: f(x) > 0 với mọi x. Muốn vậy ta có thể chứng minh