Luận văn Phương pháp ma trận chuyển cho môi trường phân lớp trực hướng

an và có thể nhận được thông qua các vector nghiệm riêng của hệ phương trình (1.15) đối với bán không gian. Tiếp theo, ta tìm bốn giá trị riêng của ma trận U trong phương trình (1.15) và bốn vector riêng tương ứng. Các giá trị riêng của ma trận U là nghiệm của phương trình det(U−λ I) = 0, với λ = kb là giá trị riêng của ma trận. Ta có 10 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −λ kc12 c22 1 c22 0 −k −λ 0 1 c66 −ρω2 0 −λ k 0 k2 ( c11− c 2 12 c22 ) −ρω2 −kc12 c22 −λ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = λ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −λ 0 1 c66 0 −λ k k2 ( c11− c 2 12 c22 ) −ρω2 −kc12 c22 −λ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ + −kc12 c22 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −k 0 1 c66 −ρω2 −λ k 0 −kc12 c22 −λ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ + + 1 c22 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −k −λ 1 c66 −ρω2 0 k 0 k2 ( c11− c 2 12 c22 ) −ρω2 −λ ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ −0= 0. (1.17) Khai triển các định thức ta thu được λ 4+λ 2 ( −ρω 2 c22 + ρω2 c66 − k 2c11 c66 + k2c212 c22c66 ) + + k2ρω2 c22 − k 4c11 c22 − ρω 4 c22c66 + k2ρω2c11 c22c66 = 0. (1.18) Do λ = kb, từ đó suy ra c22c66b4+ [ (c12+ c66) 2+ c22 (X− c11)+ c66 (X− c66) ] b2+ +(c11−X)(c66−X) = 0, (1.19) trong đó X = ρc2. Đây là phương trình bậc hai của b2 với nghiệm b21 và b 2 2 thỏa mãn 11 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN định lý Vieta b21+b 2 2 =− (c12+ c66)2+ c22(X− c11)+ c66(X− c66) c22c66 = S, b21 ·b22 = (c11−X)(c66−X) c22c66 = P. (1.20) Phương trình (1.19) có 4 nghiệm ± √ b21 và ± √ b22 có dạng b21 = S+ √ S2−4P 2 , b22 = S−√S2−4P 2 . (1.21) Khi S2− 4P > 0 thì bốn nghiệm này thực hoặc thuần ảo. Ngược lại, chúng là phức liên hợp theo cặp với b21 = (b 2 2) ∗, (1.22) trong đó ký hiệu "*" là phức liên hợp. Vector riêng v = [v1,v2,v3,v4]T của ma trận U tương ứng với giá trị riêng λi = kbi, i= 1,4, có các thành phần là nghiệm của hệ −kbiv1+ kc12c22v2+ 1 c22 v3 = 0 −kv1− kbiv2+ 1c66v4 = 0 −k2Xv1− kbiv3+ kv4 = 0[ k2 ( c11− c12c22 ) − k2X ] v2− kc12c22v3− kbiv4 = 0 (1.23) Rút v3 từ (1.23)1 và v4 từ (1.23)2 ta được v3 = kbic22v1− kc12v2, v4 = kc66v1+ kbic66v2. (1.24) Thay (1.24) vào phương trình (1.23)3 ta thu được mối liên hệ giữa v1 và v2 là v1 = bi (c12+ c66) b2i c22− c66+X v2. (1.25) Ta chọn v1 = bi (c12+ c66) và v2 = b2i c22−c66+X , sau đó thay vào v3 và v4 ở phương trình (1.24) ta thu được vector riêng của ma trận U tương ứng với các giá trị riêng kbi 12 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN có dạng như sau vi =  bi (c12+ c66) b2i c22− c66+X −k [c12X− (b2i c22+ c12)c66] kc66bi ( b2i c22+ c12+X )  . (1.26) Xét bài toán sóng mặt Rayleigh truyền trong bán không gian phân lớp như Hình 1.1 dọc theo trục x1. Đây là mô hình phân lớp cấu tạo bởi các loại vật liệu khác nhau, nên phương trình vi phân chuyển động trong mô hình này có dạng dy dx2 = U(x2)y, (1.27) với ma trận hệ số là hàm của x2 được định nghĩa như sau U(x2) = U(i), ( x2 ∈ [ x(i−1)2 ,x (i) 2 ] , i= 1,n ) , U(x2) = U(0), (x2 ∈ [−∞,0]) , (1.28) trong đó U(i) có dạng (1.16) với tất cả các tham số vật liệu được thay thế bởi lớp thứ i. Các điều kiện biên của bài toán này là điều kiện biên tự do với ứng suất tại bề mặt trên của lớp trên cùng, điều kiện liên tục tại mặt phân cách của các lớp và điều kiện tắt dần trong bán không gian. Điều kiện biên tự do ứng suất tại bề mặt trên cùng x2 = H có dạng y3 (H;ω,k) = y4 (H;ω,k) = 0. (1.29) Điều kiện liên tục của chuyển vị và ứng suất tại mỗi mặt phân cách có dạng y(i)(x(i)2 ;ω,k) = y (i+1)(x(i)2 ;ω,k),(i= 0,n−1) (1.30) trong đó y(i)(x2;ω,k) = y(x2;ω,k) tại x2= [x (i−1) 2 ,x (i) 2 ],(i= 1,n). Và điều kiện tắt dần trong bán không gian là y(x2;ω,k)→ 0 khi x2→−∞. (1.31) Phương trình (1.27) cùng với điều kiện (1.29), (1.30) và (1.31) sẽ xác định phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh. Mục tiếp theo sẽ đi xác định ma trận nghiệm cơ bản matrizant của hệ phương trình vi phân tuyến tính (1.27). 13 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN 1.2 Phương pháp tìm ma trận matrizant Xét phương trình vi phân (1.27), nghiệm của phương trình này có thể xác định bằng phương pháp Peano-Barker (xem Frazer và các cộng sự [6], Chương VII) y(x2) =Ω ( x2,x′2 ) y ( x′2 ) , (1.32) trong đó y(x′2) là giá trị của y khi x2 = x ′ 2 vàΩ (x2,x ′ 2) là matrizant của U được định nghĩa như sau Ω ( x2,x′2 ) = I+ x2∫ x′2 U(ξ1)dξ1+ x2∫ x′2 U(ξ1) ξ1∫ x′2 U(ξ2)dξ2dξ1+ · · · (1.33) trong đó I kí hiệu ma trận đơn vị có cùng hạng U. Khi U là ma trận hằng số, thì matrizant có dạng đơn giản là Ω ( x2,x′2 ) = I+ ( x2− x′2 ) U+ 1 2 ( x2− x′2 )2U2+ · · · = exp [( x2− x′2 ) U ] . (1.34) Trong trường hợp này, gọi n là hạng của U và λi (i= 1,2, . . . ,n) là giá trị riêng của U, theo định lý Sylvester (xem Frazer và cộng sự, 1963), ta có một dạng biểu diễn của ma trận matrizant của một lớp có độ dày h như sau E(h) = exp(hU) = n ∑ i=1 eλih∏ j 6=i λ jI−U λ j−λi . (1.35) Tiếp theo, ta đi tìm dạng hiển của biểu diễn matrizant của ma trận E(h) từ biểu thức (1.35). Với hệ phương trình của bài toán truyền sóng Rayleigh đang xét thì hạng của ma trận hệ số là n= 4, và biểu thức (1.35) trở thành E(h) = eλ1h λ2I−U λ2−λ1 λ3I−U λ3−λ1 λ4I−U λ4−λ1 + e λ2hλ1I−U λ1−λ2 λ3I−U λ3−λ2 λ4I−U λ4−λ2+ + eλ3h λ1I−U λ1−λ3 λ2I−U λ2−λ3 λ4I−U λ4−λ3 + e λ4hλ1I−U λ1−λ4 λ2I−U λ2−λ4 λ3I−U λ3−λ4 (1.36) = ekb1h −b1I− U¯ −b1−b1 b2I− U¯ b2−b1 −b2I− U¯ −b2−b1 + e −kb1hb1I− U¯ b1+b1 b2I− U¯ b2+b1 −b2I− U¯ −b2+b1+ +ekb2h b1I− U¯ b1−b2 −b1I− U¯ −b1−b2 −b2I− U¯ −b2−b2 + e −kb2hb1I− U¯ b1+b2 −b1I− U¯ −b1+b2 b2I− U¯ b2+b2 , 14 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN trong đó, U¯ = U/k và b1,b2 = −b1,b3 = b2,b4 = −b2 là bốn nghiệm của phương trình đặc trưng (1.19). Từ đó suy ra E(h) = 1 b21−b22 {( b21I− U¯2 )[ekhb2+ e−khb2 2 I+ ekhb2− e−khb2 2b2 U¯ ] −(b22I− U¯2)[ekhb1+ e−khb12 I+ ekhb1− e−khb12b1 U¯ ]} . (1.37) Ta xét hai trường hợp: • Xét trường hợp S2−4P< 0: Khi đó từ (1.21) ta thấy rằng b2 có giá trị phức nên ta đặt các nghiệm của phương trình đặc trưng (1.19) có dạng b1 = f + ig,b2 = f − ig,b21 = F+ iG,b22 = F− iG, (1.38) trong đó F = S 2 ,G= √ P−F2, f = 1√ 2 √√ F2+G2+F, g= 1√ 2 √√ F2+G2−F . (1.39) Biểu diễn của ma trận matrizant E(h) trong ngoặc của (1.37) là một đa thức bậc 3 của ma trận hệ số U¯. Ta sẽ đi tìm dạng tường minh của từng số hạng của đa thức này. Số hạng bậc 0 của đa thức này có dạng A0(h) = b21 ekhb2+ e−khb2 2 −b22 ekhb1+ e−khb1 2 = (F+ iG) ekh f (cos(khg)− isin(khg)+ e−kh f (cos(khg)− isin(khg) 2 − (F− iG)e kh f (cos(khg)+ isin(khg)+ e−kh f (cos(khg)− isin(khg) 2 = 2i [−sinh(kh f )sin(khg)F+ cosh(kh f )cos(khg)G] (1.40) Đối với số hạng bậc một, hệ số của nó là A1(h) = b21 ekhb2+ e−khb2 2b2 −b22 ekhb1+ e−khb1 2b1 = F+ iG f − ig [cos(khg)sinh(khg)− isin(khg)cosh(khg)] − F− iG f + ig [cos(khg)sinh(khg)+ isin(khg)cosh(khg)] = 1√ P [sinh(kh f )cos(khg)( fG+gF)− cosh(kh f )sin(khg)( f F−gG)] (1.41) 15 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN Xét hệ số của số hạng bậc hai, tương tự ta có A2(h) = 2isin(khg)sinh(khg) . (1.42) Xét hệ số của số hạng bậc ba, ta thu được A3(h) = 2i√ P (−gsinh(khg)cos(khg)+ f cosh(khg)sin(khg)) . (1.43) Từ (1.40), (1.41), (1.42) và (1.43), ta thu được E(h) = 1 b21−b22 [ A0 (h)I+A1 (h) U¯+A2 (h) U¯2+A3 (h) U¯3 ] = 1 G ( mI+nU¯+ pU¯2+qU¯3 ) , (1.44) trong đó m=−sinh(kh f )sin(khg)F+ cosh(kh f )cos(khg)G, n= sinh(kh f )cos(khg)( fG+gF)− cosh(kh f )sin(khg)( f F−gG) , p= sin(khg)sinh(khg) , q= 1√ P (−gsinh(khg)cos(khg)+ f cosh(khg)sin(khg)) . (1.45) • Xét trường hợp S2− 4P > 0: Khi đó b2 là thực nên b sẽ là thực hoặc thuần ảo. Tương tự như trên, ta tìm được biểu diễn tường minh của ma trận matrizant E(h) có dạng E(h) = ( mI+nU¯+ pU¯2+qU¯3 ) 1√ S2−4P , (1.46) trong đó m= cosh(khb2)b21− cosh(khb1)b22, n= sinh(khb2) b2 b21− sinh(khb1) b1 b22, p= cosh(khb1)− cosh(khb2) , q= sinh(khb1) b1 − sinh(khb2) b2 , (1.47) với b21 = S+ √ S2−4P 2 ,b22 = S−√S2−4P 2 . 16 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN Đối với cả hai trường hợp trên, dạng biểu diễn tường minh của ma trận ma- trizant của lớp thứ (i) trong phương trình (1.35) có dạng E(i) (hi) = α(i)  E (i) 1 1 kc(0)66 E(i)2 kc(0)66 E (i) 3 E (i) 4  , (1.48) trong đó α(i) =  1 Gi , nếu S(i) 2−4P(i) < 0 1√ (S(i))2−4P(i) , nếu S(i) 2−4P(i) > 0 (1.49) 17 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN Các ma trận E(i)j ( j = 1,4 ) là các ma trận cấp 2x2 có dạng E(i)1 (1,1) = mi+ piai, E(i)1 (1,2) = [ nie (i) 3 +qi ( bie (i) 3 −di )] e(i)2 , E(i)1 (2,1) =−ni+qi (di−ai) , E(i)1 (2,2) = mi+qibi, E(i)2 (1,1) = [ ni+qi ( ai− cie(i)3 )] e(i)2 r(i)µ , E(i)2 (1,2) = pici r(i)µ , E(i)2 (2,1) =−E(i)2 (1,2) , E(i)2 (2,2) = ni+qi (bi− ci) r(i)µ , E(i)3 (1,1) = [ −nix(i)+qi ( di−aix(i) )] r(i)µ , E(i)3 (1,2) =−pidir(i)µ , E(i)3 (2,1) =−E(i)3 (1,2) , E(i)3 (2,2) = [ (ni+qibi) ( e(i)1 − e(i)2 ( e(i)3 )2− x(i))+ e(i)2 e(i)3 qidi]r(i)µ , E(i)4 (1,1) = E (i) 1 (1,1) , E(i)4 (1,2) =−E(i)1 (2,1) , E(i)4 (2,1) =−E(i)1 (1,2) , E(i)4 (2,2) = E (i) 1 (2,2) , (1.50) trong đó r(i)ν = c(0)66 c(i)66 ρ(i) ρ(0) , r(i)µ = c(i)66 c(0)66 , (1.51) 18 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN và ai =−e(i)2 ( e(i)3 + x (i) ) , bi = e (i) 1 − x(i)− e(i)2 e(i)3 ( e(i)3 +1 ) , ci = e (i) 2 ( e(i)3 +1 ) , di = x(i)− e(i)1 − e(i)3 ai, (1.52) và mi,ni, pi,qi tùy theo hai trường hợp được xét ở trên được xác định như sau 1. Nếu S(i) 2−4P(i) < 0, mi =−sinh ( ε h¯i fi ) sin ( ε h¯igi ) Fi+ cosh ( ε h¯i fi ) cos ( ε h¯igi ) Gi, ni = 1√ P(i) [sinh ( ε h¯i fi ) cos ( ε h¯igi ) ( fiGi+giFi) − cosh(ε h¯i fi)sin(ε h¯igi)( fiFi−giGi)], pi = sinh ( ε h¯i fi ) sin ( ε h¯igi ) , qi = 1√ P(i) [ cosh ( ε h¯i fi ) sin ( ε h¯igi ) fi− sinh ( ε h¯i fi ) cos ( ε h¯igi ) gi ] , (1.53) trong đó Fi = S(i) 2 , Gi = √ P(i)−F2i , fi = 1√ 2 √√ F2i +G 2 i +Fi, gi = 1√ 2 √√ F2i +G 2 i −Fi, (1.54) và ε = kh, h¯i = hi/h (i = 1,n) là các đại lượng vô hướng h = ∑ni=1hi là tổng độ dày của các lớp trên bán không gian. 2. Nếu S(i) 2−4P(i) > 0, mi = cosh ( ε h¯ib (i) 2 )( b(i)1 )2− cosh(ε h¯ib(i)1 )(b(i)2 )2, ni = sinh ( ε h¯ib (i) 2 ) b(i)2 ( b(i)1 )2− sinh ( ε h¯ib (i) 1 ) b(i)1 ( b(i)2 )2 , pi = cosh ( ε h¯ib (i) 1 ) − cosh ( ε h¯ib (i) 2 ) , qi = sinh ( ε h¯ib (i) 1 ) b(i)1 − sinh ( ε h¯ib (i) 2 ) b(i)2 , (1.55) trong đó b(i)1 = √ S(i)+ √ (S(i))2−4P(i) 2 , b(i)2 = √ S(i)− √ (S(i))2−4P(i) 2 . (1.56) 19 CHƯƠNG 1. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN Dạng tường minh của ma trận matrizant trong các lớp và bán không gian ở trên sẽ được sử dụng để đi khảo sát bài toán tìm phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh và tỷ số H/V của nó trong môi trường phân lớp ở chương tiếp theo. 20 Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC VÀ TỶ SỐ H/V Nội dung chính của chương này sẽ sử dụng dạng hiển của matrizant tìm được ở Chương 1 để thiết lập phương trình tán sắc và tỷ số H/V của sóng mặt Rayleigh truyền trong môi trường phân lớp trực hướng. 2.1 Phương trình tán sắc Áp dụng (1.32) và (1.35) vào lớp thứ nhất, ta có y ( x(1)2 ) = E(1) (h1)y ( x(0)2 ) = E(1) (h1)y(0) , (2.1) trong đó E(1) (h1) = exp ( h1U(1) ) tính từ (1.35) cho ma trậnU(1), y(0) là vector trạng thái tại mặt trên cùng của bán không gian. Áp dụng tương tự biểu thức trên cho các lớp khác nhau và sử dụng điều kiện liên tục tại mặt biên các lớp ta có y(H) = y ( x(n)2 ) = E(n) (hn)y ( x(n−1)2 ) = E(n) (hn)E(n−1) (hn−1)y ( x(n−2)2 ) = · · ·= = E(n) (hn)E(n−1) (hn−1) . . .E(2) (h2)E(1) (h1)y(0) , (2.2) trong đó, E(i) (hi) = exp ( hiU(i) ) , (i= 1,n). 21 CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC VÀ TỶ SỐ H/V Như vậy ta đã tìm được mối liên hệ giữa vector trạng thái tại mặt biên tự do trên cùng với vector trạng thái tại mặt trên của bán không gian thông qua tích của các ma trận matrizant của các lớp. Cách làm này tương tự như cách làm của phương pháp ma trận chuyển, trong đó ma trận chuyển toàn cục có ý nghĩa tương tự như tích của các ma trận matrizant ở trên. Tuy nhiên, có sự khác nhau giữa hai phương pháp. Thứ nhất là vector trạng thái được định nghĩa trong luận văn là khác với vector trạng thái được sử dụng trong phương pháp ma trận chuyển, và cách tiếp cận trong luận văn sẽ cho dạng tường minh của matrizant dễ hơn so với cách tiếp cận của phương pháp ma trận chuyển. Hơn nữa, với cách tiếp cận trong luận văn này, phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh có thể đưa về được dạng tương đương luôn nhận giá trị thực như sẽ được phân tích ở bên dưới. Để xác định y(0), có ý nghĩa như là giá trị đầu của hệ phương trình vi phân chuyển động của mô hình phân lớp, ta xét hệ thống sóng truyền trên bán không gian. Hệ sóng này được xác định từ phương trình (1.15) với U thay thế bởi U(0). Trong trường hợp tổng quát, phương trình (1.15) có bốn nghiệm cơ bản là y(0)j (x2;ω,k) = v (0) j exp ( λ (0)j x2 ) , ( j = 1,4) (2.3) trong đó λ (0)j là giá trị riêng của ma trận U (0) xác định từ (1.19) và v(0)j tương ứng là vector riêng tính từ (1.26). Để đơn giản ta kí hiệu y(i) (x2;ω,k) bằng y(i) (x2). Do điều kiện tắt dần, chỉ có hai nghiệm trong bán không gian với giá trị riêng có phần thực dương. Đó là hai giá trị riêng kb(0)1 , kb (0) 2 và được xác định từ (1.19). Do vậy, trường chuyển vị của sóng mặt Rayleigh trong bán không gian là y(0) (x2) =C1v (0) 1 e kb(0)1 x2+C2v (0) 2 e kb(0)2 x2, (2.4) trong đóC1 vàC2 là các hằng số. Tại x2 = 0, ta có y(0) = y(0) (0) =C1v (0) 1 +C2v (0) 2 . (2.5) Như vậy giá trị đầu y(0) của hệ phương trình vi phân chuyển động của mô hình đã được xác định và phụ thuộc vào hai hằng số tích phân. Phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh sẽ được nhận từ mối liên hệ giữa hai vector trạng thái tại mặt biên tự do và tại mặt trên của bán không gian cho bởi (2.2), cùng với điều kiện biên tự do. Ta sử dụng kí hiệu E(H) = E(n) (hn)E(n−1) (hn−1) . . .E(2) (h2)E(1) (h1) , (2.6) 22 CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC VÀ TỶ SỐ H/V là ma trận matrizant của toàn hệ. Từ phương trình (2.2) ta thu được y(H) =C1E(h)v (0) 1 +C2E(h)v (0) 2 . (2.7) Từ điều kiện tự do ứng suất (1.29) ta có y3 (H) = 0, y4 (H) = 0. (2.8) Như vậy ta nhận được hai phương trình thuần nhất đối với hai biếnC1 vàC2. Để hệ có nghiệm không tầm thường ta có ∆(ω,k) = [ E3i (H)v (0) 1 (i) ][ E4i (H)v (0) 2 (i) ] + − [ E3i (H)v (0) 2 (i) ][ E4i (H)v (0) 1 (i) ] = 0. (2.9) Đây chính là phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh truyền trong môi trường phân lớp. Chú ý rằng phương trình này đã được nhận trong Takeuchi và Saito (1972) [18] nhưng ma trận matrizant không được xác định. Trong cuốn sách trên đường cong tán sắc của sóng mặt Rayleigh được xác định bằng một số phương pháp tích phân trực tiếp từ dạng của hệ phương trình vi phân chuyển động. Các phương pháp tính toán số gần đúng bằng cách sử dụng phương trình (2.9) này bản thân chúng đã có một số khó khăn nhưng một vấn đề dễ nhận thấy ở đây là làm sao để lựa chọn hai trong số bốn nghiệm trong bán không gian thỏa mãn điều kiện tắt dần, bởi vì giá trị riêng của phương trình chuyển của bán không gian ở dạng số phức tổng quát. Trong phần tiếp theo, phương trình tán sắc trên sẽ được viết ở một dạng mới với mục đích để tránh những khó khăn nói trên. Phương trình (2.9) có thể được biểu diễn dưới dạng ∆(ω,k) =M ·V= 0, (2.10) trong đóM và V là hai vector sáu thành phần được định nghĩa như sau 23 CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC VÀ TỶ SỐ H/V V=  v(0)1 (1)v (0) 2 (2)−v(0)2 (1)v(0)1 (2) v(0)1 (1)v (0) 2 (3)−v(0)2 (1)v(0)1 (3) v(0)1 (1)v (0) 2 (4)−v(0)2 (1)v(0)1 (4) v(0)1 (2)v (0) 2 (3)−v(0)2 (2)v(0)1 (3) v(0)1 (2)v (0) 2 (4)−v(0)2 (2)v(0)1 (4) v(0)1 (3)v (0) 2 (4)−v(0)2 (3)v(0)1 (4)  , (2.11) và M=  E31(H)E42(H)−E41(H)E32(H) E31(H)E43(H)−E41(H)E33(H) E31(H)E44(H)−E41(H)E34(H) E32(H)E43(H)−E42(H)E33(H) E32(H)E44(H)−E42(H)E34(H) E33(H)E44(H)−E43(H)E34(H)  . (2.12) Chú ý rằng b(0)1 = ( b(0)2 )∗ . Vì thế, v(0)1 = ( v(0)2 )∗ và từ (2.11) ta có thể viết vector V thành V= ( b(0)1 −b(0)2 ) k ( c(0)66 )3[ V¯1 kc(0)66 ,V¯2,V¯3,V¯4,V¯5,kc (0) 66 V¯6 ]T , (2.13) trong đó V¯= [V¯1,V¯2,V¯3,V¯4,V¯5,V¯6] T là vector không thứ nguyên và có thành phần là 24 CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC VÀ TỶ SỐ H/V V¯1 = ( e(0)3 +1 )[ −e(0)2 √ P(0)−1+ x(0) ] , V¯2 =− ( e(0)3 +1 )( e(0)3 x (0)+ e(0)2 √ P(0)− e(0)3 ) , V¯3 =− ( e(0)3 +1 ) e(0)2 √ P(0) √ S(0)+2 √ P(0), V¯4 =− ( e(0)3 +1 ) e(0)2 ( x(0)−1 )√ S(0)+2 √ P(0), V¯5 =− ( e(0)2 )2 P(0)+ e(0)2 ( 1− x(0) ) S(0)+ e(0)2 ( e(0)3 +1 )√ P(0)+ + ( e(0)3 + x (0) )( 1− x(0) ) , V¯6 = e (0) 2 e (0) 3 ( x(0)−1 ) S(0)− ( e(0)2 )2 P(0)+ e(0)2 ( e(0)3 +1 ) x(0) √ P(0)+ + e(0)3 ( e(0)3 + x (0) )( x(0)−1 ) , (2.14) Trong các phương trình này, ta đã sử dụng các đại lượng không thứ nguyên được định nghĩa như sau e(i)1 = c(i)11 c(i)66 , e(i)2 = c(i)22 c(i)66 , e(i)3 = c(i)12 c(i)66 , x(i) = X (i) c(i)66 , (i= 0,n) (2.15) và S(0) và P(0) được xác định từ (1.20) với các đại lượng tính theo bán không gian. Chú ý rằng sóng Rayleigh tồn tại trong bán không gian với b(0)1 và b (0) 2 có phần thực dương thì (xem Phạm Chí Vĩnh và Ogden, 2004) 0< X (0) <min{c(0)66 ,c(0)11 }. (2.16) Điều kiện này sẽ làm cho P(0) có giá trị thực dương. Chú ý rằng, cả hai trường hợp S(i) 2− 4P(i) dương và âm, thì các đại lượng mi,ni, pi,qi luôn là số thực, nên ma trận E(i) cũng thực. Và do đó dạng đặc biệt của ma trận E(i) (trong phương trình (1.48)), tích của chúng được cho bởi ma trận E trong phương trình (2.6) có dạng tương tự. Điều này có thể được chứng minh một cách dễ dàng bằng cách nhân ma trận trực tiếp. Cụ thể là, E(H) = ( n ∏ i=1 α(i) ) E1 1 kc(0)66 E2 kc(0)66 E3 E4  , (2.17) 25 CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC VÀ TỶ SỐ H/V trong đó E¯(H) :=  E1 E2 E3 E4 = n∏ i=1  E(i)1 E(i)2 E(i)3 E (i) 4  . (2.18) Đây là một ma trận không thứ nguyên và luôn nhận giá trị thực. Ma trận này sẽ được sử dụng để đi tìm phương trình tán sắc của sóng mặt Rayleigh thay vì sử dụng ma trận matrizant E(H), là ma trận có thứ nguyên và có thể nhận giá trị phức gây ra bởi các hệ số ( ∏ni=1α(i) ) và kc(0)66 . So sánh hai phương trình (2.12) và phương trình (2.17), ta có thể thấy rằng M= ( n ∏ i=1 α(i) )2 kc(0)66 [ kc(0)66 M¯1,M¯2,M¯3,M¯4,M¯5, M¯6 kc(0)66 ] , (2.19) trong đó vector không thứ nguyên M¯ = [M¯1,M¯2,M¯3,M¯4,M¯5,M¯6]T được định nghĩa tương tự như vectorM trong phương trình (2.12) với ma trận E được thay thế bởi ma trận không thứ nguyên E¯ và có dạng M¯1 = (mi+biqi) ( −nix(i)+qi ( di−aix(i) )) rµ +d2i p 2 i r 2 µ M¯2 =−dipi (mi+aipi)rµ − ( −nix(i)+qi ( di−aix(i) )) e(i)2 ( ne(i)3 +qi ( −di+bie(i)3 )) rµ M¯3 =−dipi (ni− (−ai+di)qi)rµ +(mi+biqi) ( −nix(i)+qi (di−aix) ) rµ M4 =−(mi+aipi)(mi+biqi)+dipie(i)2 ( nie (i) 3 +qi ( −di+bie(i)3 )) rµ M¯5 =−(mi+biqi)(ni− (−ai+di)qi)−dipi (mi+biqi)rµ M¯6 = (mi+aipi)(mi+biqi)+(ni− (−ai+di)qi)e(i)2 ( nie (i) 3 +qi ( −di+bie(i)3 )) . Thay vector M và V từ phương trình (2.19) và (2.13) vào phương trình tán sắc (2.10), ta thu được dạng sau( b(0)1 −b(0)2 ) k2(c(0)66 ) 4 ( n ∏ i=1 α(i) )2 M¯V¯= 0. (2.20) Bởi vì b(0)1 − b(0)2 6= 0 và α(i) 6= 0, phương tình tán sắc này có thể được biểu diễn dưới dạng M¯V¯= 0. (2.21) 26 CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC VÀ TỶ SỐ H/V và nó được coi là dạng tương đương của phương trình tán sắc (2.10). Chú ý rằng đây là một phương trình thực của tần số không thứ nguyên ε và vận tốc không thứ nguyên x(0), và phụ thuộc vào các tham số không thứ nguyên của lớp và của bán không gian. 2.2 Tỷ số H/V Công thức tính tỷ số H/V của sóng mặt Rayleigh trong các môi trường có ý nghĩa quan trọng để nghiên cứu nền tảng lý thuyết của phương pháp tỷ số H/V (xem Nakamura, 1989 [13], 2000 [14], 2008 [15]; Bard, 1998 [1]), là một phương pháp không phá hủy để xác định các tính chất vật liệu và được dùng rộng rãi trong lĩnh vực địa vật lý trong một vài thập kỷ gần đây. Mặc dù được sử dụng rộng rãi nhưng nền tảng lý thuyết của phương pháp này vẫn còn chưa đầy đủ và hiện nay vẫn có nhiều bài báo tập trung vào khai thác các tính chất của tỷ số này. Công thức dạng hiện đầu tiên của tỷ số H/V của sóng mặt Rayleigh trong mô hình một lớp đặt trên bán không gian có thể nói là được đưa ra trong Malischewsky và Scherbaum (2004) [11] và một số dạng khác sau đó đã được tìm ra (ví dụ xem Trần Thanh Tuấn, 2009 [21]). Tuy nhiên các công thức nhận được vẫn chỉ dừng lại cho môi trường đẳng hướng thuần nhất. Đối với môi trường bất đẳng hướng, hiện nay chưa có công thức dạng hiện nào được đưa ra. Trong thực hành tính toán số và mô phỏng, việc tính tỷ số H/V đã được thực hiện cho môi trường phân lớp và bất đẳng hướng từ khá lâu bằng một số phương pháp (ví dụ xem Crampin, 1970 [3]). Tuy nhiên, các công thức tính toán tỷ số H/V ở trên đều ở dạng ẩn và không phù hợp cho việc nghiên cứu giải tích các tính chất của đường cong tỷ số H/V. Để nghiên cứu tính chất giải tích của tỷ số H/V trong môi trường phân lớp, mô hình này hay được đưa về mô hình một lớp đặt trên bán không gian. Bằng cách này một số tính chất giải tích của đường cong tỷ số H/V chỉ được tìm ra bằng cách sử dụng công thức dạng hiển của Malischewsky và Scherbaum (2004) [11] như trong Malischewsky và các cộng sự (2008) [12], Trần Thanh Tuấn và các cộng sự (2011) [22]. Vì vậy, công thức dạng hiển của tỷ số H/V cho mô hình một lớp đặt trên bán không gian dành cho môi trường bất đẳng hướng là cần thiết. Trong mục này dạng biểu diễn tường minh của ma trận matrizant ở trên sẽ được sử dụng để thiết lập các công thức dạng hiện của công thức tỷ số H/V của sóng mặt Rayleigh trong môi trường phân lớp. Các công thức này bước đầu sẽ được sử dụng để khảo sát số ảnh 27 CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC VÀ TỶ SỐ H/V hưởng của tính bất đẳng hướng lên tần số của điểm cực đại và của điểm cực tiểu của đường cong tỷ số H/V trong chương sau. Tỷ số H/V là tỷ số giữa biên độ của chuyển dịch theo phương ngang và biên độ của chuyển theo phương thẳng đứng tại bề mặt trên cùng. Do vậy tỷ số H/V của sóng Rayleigh có dạng χ = u1(H) iu2(H) . (2.22) Thay thành phần chuyển dịch theo biểu diễn (1.4), khi đó công thức (2.22) trở thành χ = u1(H) iu2(H) =− iy2 (H)e i(ωt−kx1) iy1 (H)ei(ωt−kx1) =−y2 (H) y1 (H) . (2.23) Từ phương trình (2.7) ta có được y1(H) =C1E1iv (0) 1 (i)+C2E1iv (0) 2 (i), (2.24) y2(H) =C1E2iv (0) 1 (i)+C2E2iv (0) 2 (i), (2.25) y3(H) =C1E3iv (0) 1 (i)+C2E3iv (0) 2 (i), (2.26) y4(H) =C1E4iv (0) 1 (i)+C2E4iv (0) 2 (i). (2.27) Theo điều kiện tự do ứng suất (1.29) ta có y3(H) = 0, rút ra được C1 theo C2 có dạng sau C1 =−C2E3iv (0) 2 (i) E3iv (0) 1 (i) . (2.28) Cũng theo (1.29) ta có y4(H) = 0, và rút ra đượcC1 theoC2 dưới dạng C1 =−C2E4iv (0) 2 (i) E4iv (0) 1 (i) . (2.29) Thay (2.28) và (2.29) vào (2.24) và (2.25), sau đó lấy tỷ số theo (2.22). Từ đó thu được hai công thức tỉ số H/V có dạng χ1 =− [E3iv (0) 1 (i)][E2iv (0) 2 (i)]− [E2iv(0)1 (i)][E3iv(0)2 (i)] [E3iv (0) 1 (i)][E1iv (0) 2 (i)]− [E1iv(0)1 (i)][E3iv(0)2 (i)] =−N1.V N2.V , (2.30) χ2 =− [E4iv (0) 1 (i)][E2iv (0) 2 (i)]− [E2iv(0)1 (i)][E4iv(0)2 (i)] [E4iv (0) 1 (i)][E1iv (0) 2 (i)]− [E1iv(0)1 (i)][E4iv(0)2 (i)] =−N3.V N4.V , (2.31) trong đó, V được biểu diễn qua V¯ như trong công thức (2.14) và N1,N2,N3,N4 có dạng cụ thể sau 28 CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC VÀ TỶ SỐ H/V N1 =  E31 (H)E22 (H)−E21 (H)E32 (H) E31 (H)E23 (H)−E21 (H)E33 (H) E31 (H)E24 (H)−E21 (H)E34 (H) E32 (H)E23 (H)−E22 (H)E33 (H) E32 (H)E24 (H)−E22 (H)E34 (H) E33 (H)E24 (H)−E23 (H)E34 (H)  , N2 =  E31 (H)E12 (H)−E11 (H)E32 (H) E31 (H)E13 (H)−E11 (H)E33 (H) E31 (H)E14 (H)−E11 (H)E34 (H) E32 (H)E13 (H)−E12 (H)E33 (H) E32 (H)E14 (H)−E12 (H)E34 (H) E33 (H)E14 (H)−E13 (H)E34 (H)  , N3 =  E41 (H)E22 (H)−E21 (H)E42 (H) E41 (H)E23 (H)−E21 (H)E43 (H) E41 (H)E24 (H)−E21 (H)E44 (H) E42 (H)E23 (H)−E22 (H)E43 (H) E42 (H)E24 (H)−E22 (H)E44 (H) E43 (H)E24 (H)−E23 (H)E44 (H)  , 29 CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH TÁN SẮC VÀ TỶ SỐ H/V N4 =  E41 (H)E12 (H)−E11 (H)E42 (H) E41 (H)E13 (H)−E11 (H)E43 (H) E41 (H)E14 (H)−E11 (H)E44 (H) E42 (H)E13 (H)−E12 (H)E43 (H) E42 (H)E14 (H)−E12 (H)E44 (H) E43 (H)E14 (H)−E13 (H)E44 (H)  . Các công thức tỷ số H/V được sử dụng để tính toán số trong chương sau. 30 Chương 3 KẾT QUẢ MINH HỌA SỐ Chương này sẽ trình bày một vài kết quả minh họa số cho phương trình tán sắc và công thức tỷ