Luận văn Phương pháp mô phỏng monte carlo và ứng dụng vào toán tài chính

1), ...,X(tk)) theo phân phối Định lí 1.3.14. (Donsker) Giả sử {ξn}n∈N là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối, với E(ξi) = 0, 0< Var(ξi) = σ2 < ∞. Đặt: S0 = 0, Sn = n ∑ i=1 ξn 28 Chương 1. Cơ sở lý thuyết Ta xây dựng một dãy Xn của quá trình ngẫu nhiên bởi: Xn(t,ω) = 1 σ √ n S[nt](ω)+(nt− [nt]) 1 σ √ n ξ[nt]+1(ω), ∀t ∈ [0,1],n ∈ N Khi đó dãy Xn hội tụ yếu tới chuyển động Brown một chiều {Wt}t in[0,1] , tức là ta có: Xn n→∞−−−→W, theo phân phối. Định lí 1.3.15. Giả sử {Wt}t≥0 là một chuyển động Brown một chiều. Khi đó ta có: limsup t→∞ Wt(ω)√ 2t log(log(t)) = 1, P−h.c.c liminf t→∞ Wt(ω)√ 2t log(log(t)) =−1, P−h.c.c Hệ quả 1.3.16. Giả sử Xt = µ.t+σWt , t ≥ 0 là một chuyển động Brown với độ lệch µ và độ biến động σ . Khi đó ta có: lim t→∞ Xt t = µ P−h.c.c 1.3.2.3 Cầu Brown Định nghĩa 1.3.17. Giả sử {Wt}t∈[0,1] là một chuyển động Brown một chiều , gọi a,b là hai số thực. Khi đó, quá trình: Ba,bt = a T − t T +b t T + ( Wt− tTWT ) , t ∈ [0,T ] được gọi là một cầu Brown từ a tới b. Mệnh đề 1.3.18. Một cầu Brown từ a tới b thỏa mãn tính chất: Ba,bt ∼N ( a+ t T (b−a), t− t 2 T ) Mệnh đề 1.3.19. (Công thức phân phối chuẩn có điều kiện) Giả sử Z = (Z(1), . . . ,Z(d)) là một vecto ngẫu nhiên d - chiều, với Z ∼N (µ,∑). Phân hoạch Z thành d1 thành phần đầu tiên là X và d−d1 thành phần tiếp theo là Y . Khi đó, với: X Y ∼N  µX µY  ,  ∑X ∑XY ∑YX ∑Y  và giả sử rằng ∑−1Y tồn tại, ta có phân phối chuẩn có điều kiện d1 - chiều của X |Y = y : X |Y = y∼N (µX +∑XY ∑−1Y (y−µY ),∑X−∑XY ∑−1Y ∑YX) 29 Chương 1. Cơ sở lý thuyết Chú ý rằng ta có:  Wt WT ∼N  0 0  ,  t t t T  khi đó một hệ quả trực tiếp của mệnh đề là: Wt |WT = b∼N ( b t T , t− t 2 T ) khi đó theo mệnh đề (1.3.19) ta thu được một cầu Brown từ 0 đến b, đó cũng chính là chuyển động Brown có điều kiện tới b tại thời điểm T . Tương tự một chuyển động Brown bắt đầu từ a :W a0 = a, ta có:W a t ∼N (a, t) và do đó: W at |W aT = b∼N ( a+(b−a) t T , t− t 2 T ) Từ đây suy ra một cầu Brown từ a tới b là một chuyển động Brown có điều kiện từ a đến b tại thời điểm T . Thuật toán 1.3.20. (Mô phỏng một cầu Brown) 1. Mô phỏng một quỹ đạo của một chuyển động BrownWt(ω) trên [0,T ]. 2. Đặt Ba,bt = a T−t T +b t T + ( Wt− tTWT ) , ∀t ∈ [0,T ] Mệnh đề 1.3.21. Giả sửW là một chuyển động Brown một - chiều, a,b ∈ R, 0< s< t < u. Khi đó phân phối có điều kiện củaWt bởi (Wu,Ws) được cho như sau: Wt |(Wu = b,Ws = a)∼N ( (u− t)a+(t− s)b u− s , (u− t)(t− s) u− s ) 1.3.3 Công thức Itô 1.3.3.1 Tích phân Itô Định nghĩa 1.3.22. Giả sử {(Wt ,Ft)|t ∈ [0,T ]} là một chuyển động Brown một chiều trên không gian xác suất (Ω,F,P). (a) Một quá trình ngẫu nhiên {Xt}t∈[0,T ] được gọi là một quá trình đơn giản nếu tồn tại các số thực 0= t0 < t1 < .. . < tp = T, p ∈ N và các biến ngẫu nhiên bị chặn Φi :Ω→ R, i= 0,1, . . . , p, với: Φ0 là F0−đo được, Φi là Fti−1−đo được, i= 1, . . . , p, sao cho với mỗi ω ∈Ω : Xt(ω) thỏa mãn: Xt(ω) = X(t,ω) =Φ0(ω).10(t)+ p ∑ i=1 Φi(ω).1(ti−1,ti](t) 30 Chương 1. Cơ sở lý thuyết Hình 1.8: Mô phỏng các quỹ đạo mẫu của một cầu Brown từ 0 tới 1 (n = 100) (b) Với một quá trình đơn giản {Xt}t∈[0,T ] và t ∈ (tk, tk+1], tích phân ngẫu nhiên hay tích phân Itô I.(X) được định nghĩa như sau: It(X) := t∫ 0 Xs dWs := ∑ 1≤i≤k Φi(Wti−Wti−1)+Φk+1(Wt−Wtk) hoặc tổng quát ∀t ∈ [0,1]: It(X) := t∫ 0 Xs dWs := ∑ 1≤i≤p Φi(Wti∧t−Wti−1∧t) Định lí 1.3.23. (Những tính chất cơ bản của tích phân ngẫu nhiên) Giả sử X là một quá trình đơn giản. Khi đó ta có: (a) {(It(X),Ft)}t∈[0,T ] là một mac-tin-gan liên tục, cụ thể ta có: E(It(X)) = 0, ∀t ∈ [0,T ] (b) Phương sai của tích phân Itô được xác định như sau: E  t∫ 0 Xs dWs 2 = E  t∫ 0 X2s dWs  ∀t ∈ [0,T ] Định nghĩa 1.3.24. Giả sử {(Xt ,Gt)}t∈[0,∞) là một quá trình ngẫu nhiên. Nó được gọi là đo được lũy tiến nếu ∀t ≥ 0 ánh xạ: [0, t]×Ω→ Rn, (s,ω) 7→ Xs(ω) 31 Chương 1. Cơ sở lý thuyết Hình 1.9: Hàm bậc thang, chuyển động Brown và tích phân Itô tương ứng làB([0, t])⊗Gt−B(Rn) - đo được. Định nghĩa 1.3.25. Một quá trình ngẫu nhiên {(Xt ,Ft)}t≥0 được gọi là mac-tin-gan địa phương nếu tồn tại một dãy các thời điểm dừng τn,n ∈ N thỏa mãn: τn(ω) n→∞−−−→ ∞, ∀ω ∈Ω, P−h.k.n sao cho quá trình dừng {( Xˆ (n)t ,Ft )} t≥0 xác định bởi: Xˆ (n)(ω) = Xt∧τn(ω)(ω) là các mac-tin-gan. Mỗi một dãy thời điểm dừng được gọi là một dãy địa phương. Định nghĩa 1.3.26. Giả sử {(Wt ,Ft)}t∈[0,∞) là một chuyển động Brown m - chiều, m ∈ N . (a) Một quá trình ngẫu nhiên {(Xt ,Ft)}t∈[0,∞) : X(t) = X(0)+ t∫ 0 K(s)ds+ m ∑ j=1 t∫ 0 H j(s)dWj(s) với X(0) F0− đo được, {K(t)}t∈[0,∞) và {H(t)}t∈[0,∞) là các quá trình đo được lũy tiến, với: t∫ 0 |K(s)|ds< ∞, t∫ 0 H2i (s)ds< ∞ P−h.c.c với mọi t ≥ 0, i= 1, . . . ,m được gọi là một quá trình Itô giá trị thực. (b) Một quá trình Itô n - chiều X = ( X (1), . . . ,X (n) ) là một vecto với các thành phần là các quá trình Itô giá trị thực. 32 Chương 1. Cơ sở lý thuyết Định nghĩa 1.3.27. Giả sử X và Y là hai quá trình Itô giá trị thực có dạng: X(t) = X(0)+ t∫ 0 K(s)ds+ t∫ 0 H(s)dW (s), Y (t) = Y (0)+ t∫ 0 L(s)ds+ t∫ 0 M(s)dW (s). Khi đó, một hiệp phương sai bậc hai của X và Y được định nghĩa như sau: t := m ∑ i=1 t∫ 0 Hi(s).Mi(s)ds Trường hợp đặc biệt, t :=t được gọi là biến phân bậc hai của X 1.3.3.2 Công thức Itô Định lí 1.3.28. (Công thức Itô một chiều) Giả sửW là một chuyển động Brown một - chiều, X là một quá trình Itô giá trị thực có dạng: Xt = X0+ t∫ 0 Ks ds+ t∫ 0 Hs dWs Giả sử f : R→ R là một hàm khả vi liên tục đến cấp 2. Khi đó, với mọi t ≥ 0 ta có: f (Xt) = f (X0)+ t∫ 0 f ′(Xs)dXs+ 1 2 . t∫ 0 f ′′(Xs)d s = f (X0)+ t∫ 0 ( f ′(Xs).Ks+ 1 2 . f ′′(Xs).H2s )ds + t∫ 0 f ′(Xs).Hs dWs P−h.c.c (Nói riêng, f (Xt) cũng là một quá trình Itô và tất cả các tích phân trên được xác định) Định lí 1.3.29. (Công thức Itô nhiều chiều) Giả sử X(t) = (X1(t), . . . ,Xn(t)) là một quá trình Itô n - chiều với : Xi(t) = Xi(0)+ t∫ 0 Ki(s)ds+ m ∑ j=1 t∫ 0 Hi j(s)dWj(s) i= 1, . . . ,n, 33 Chương 1. Cơ sở lý thuyết vàW (t) là một chuyện động Brown m - chiều. Hơn nữa giả sử, f : [0,∞)×Rn→R là mộtC1,2− hàm số (tức là: f là hàm liên tục; biến thứ nhất khả vi liên tục; n biến thành phần phía sau là khả vi liên tục tới cấp 2). Khi đó ta có: f (t,X1(t), . . . ,Xn(t)) = f (0,X1(0), . . . ,Xn(0))+ + t∫ 0 ft(s,X1(s), . . . ,Xn(s))ds+ n ∑ i=1 t∫ 0 fxi(s,X1(s), . . . ,Xn(s))dXi(s) + 1 2 n ∑ i, j=1 t∫ 0 fxix j(s,X1(s), . . . ,Xn(s))d s 1.3.4 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.3.4.1 Các kết quả cơ bản của phương trình vi phân ngẫu nhiên Định nghĩa 1.3.30. Một nghiệm (mạnh) X(t) của phương trình vi phân ngẫu nhiên : dX(t) = b(t,X(t))dt+σ(t,X(t))dW (t), X(0) = x (1.9) (với b : [0,∞)×Rd→Rd, σ : [0,∞)×Rd→Rd,m là các hàm số cho trước) là một quá trình liên tục d− chiều {(X(t),Ft)}t≥0 trên không gian xác suất (Ω,F,P) thỏa mãn : X(0) = x Xi(t) = xi+ t∫ 0 bi(s,X(s))ds+ m ∑ j=1 t∫ 0 σi j(s,X(s))dWj(s), t∫ 0 ( |bi(s,X(s))|+ m ∑ j=1 σ2i j(s,X(s)) ) ds< ∞ P−h.c.c, ∀t ≥ 0, i ∈ {1, . . . ,d} . Nhận xét. Hai ví dụ đơn giản của phương trình vi phân ngẫu nhiên ứng dụng trong tài chính là: • Phương trình tuyến tính thuần nhất một chiều: dX(t) = bX(t)dt+σX(t)dW (t), X(0) = x với b,σ ∈ R vàW (.) là một chuyển động Brown một chiều. • Phương trình tuyến tính một chiều với tiếng ồn: dX(t) = (a+bX(t))dt+σdW (t), X(0) = x với a,b,σ ∈ R vàW (.) là một chuyển động Brown một chiều. 34 Chương 1. Cơ sở lý thuyết Định lí 1.3.31. (Tính tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên ) Giả sử b(t,x), σ(t,x) là các hệ số của phương trình vi phân ngẫu nhiên (1.9) là các hàm liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz: ||b(t,x)−b(t,y)||+ ||σ(t,x)−σ(t,y)|| ≤ K||x− y|| (1.10) và ||b(t,x)||2+ ||σ(t,x)||2 ≤ K2 (1+ ||x||2) (1.11) ∀t ≥ 0,x,y ∈ Rd và hằng số K > 0, trong đó ||.|| là chuẩn Euclide. Khi đó tồn tại nghiệm mạnh , liên tục {(X(t),Ft)t≥0} của phương trình (1.9) với: E (||X(t)||2)≤C.(1+ ||x||2) .eC.T , ∀t ∈ [0,T ] với C =C(K,T ) và T > 0. Hơn nữa, X(.) là duy nhất, tức là: nếu Y (.) là một nghiệm khác của (1.9) thì ta có: P(X(t) = Y (t), ∀t ≥ 0) = 1 1.3.4.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính Định lí 1.3.32. (Biến phân của hàm số) Giả sử {(W (t),Ft)}t∈[0,∞) là một chuyển động Brown m - chiều. Giả sử x ∈ R và A,a,S j,σ j là các quá trình nhận giá trị thực, đo được lũy tiến với: t∫ 0 (|A(s)|+ |a(s)|)ds< ∞, t∫ 0 (S2j(s)+σ 2 j (s))ds< ∞, ∀t ≥ 0 P−h.c.c, j = 1, . . . ,m. Khi đó phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính một chiều tổng quát là: dX(t) = (A(t)X(t)+a(t))dt+ m ∑ j=1 (S j(t)X(t)+σ j(t))dWj(t), X(0) = x có nghiệm duy nhất là quá trình {(X(t),Ft)}t∈[0,∞): X(t) = Z(t). x+ t∫ 0 1 Z(u) ( a(u)− m ∑ j=1 S j(u)σ j(u) ) du+ m ∑ j=1 t∫ 0 σ j(u) Z(u) dWj(u)  trong đó : Z(t) = exp  t∫ 0 ( A(u)− 1 2 ||S(u)||2 ) du+ t∫ 0 S(u)dW (u)  là nghiệm duy nhất của phương trình thuần nhất : dZ(t) = Z(t)(A(t)dt+S(t)′dW (t)), Z(0) = 1 35 Chương 1. Cơ sở lý thuyết Định lí 1.3.33. (Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tình thuần nhất đa chiều) Giả sử {(W (t),Ft)}t∈[0,∞) là một chuyển động Brown m - chiều. Giả sử x ∈ Rn,A,S j là các ma trận cỡ n×n thỏa mãn: AS j = S jA và S jSk = SkS j, j,k = 1, . . . ,m Khi đó phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính thuần nhất: dZ(t) = AZ(t)dt+ m ∑ j=1 S jZ(t)dWj(t), Z(0) = Z0 với các quá trình hệ số không đổi ( hệ số hằng) có nghiệm duy nhất sau: Z(t) = Z0 exp (( A− 1 2 m ∑ j=1 (S j)2 ) t+ m ∑ j=1 S jWj(t) ) = Z0 ∞ ∑ k=0 (( A− 12∑mj=1 (S j)2 ) t+∑mj=1 S jWj(t) )k k! (1.12) Định lí 1.3.34. (Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính đa chiều) Giả sử {(W (t),Ft)}t∈[0,∞) là một chuyển động Brown m - chiều. Giả sử x ∈Rn,A,S j là các ma trận giá trị đo được lũy tiến cỡ n×n , và a,σ j là các quá trình nhận giá trị trên Rn với: t∫ 0 (|Aik(s)|+ |ai(s)|)ds< ∞, t∫ 0 (S j 2 ik (s)+σ j2 i (s))ds< ∞ ∀t ≥ 0 P−h.c.c; i,k = 1, . . . ,n; j = 1, . . . ,m. Khi đó phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính tổng quát n - chiều : dX(t) = (A(t)X(t)+a(t))dt+ m ∑ j=1 ( S j(t)X(t)+σ j(t) ) dWj(t) (1.13) X(0) = x (1.14) có nghiệm duy nhất {(X(t),Ft)}t∈[0,∞) : X(t) = Z(t). x+ t∫ 0 Z(u)−1 ( a(u)− m ∑ j=1 S j(u)σ j(u) ) du  +Z(t).  m∑ j=1 t∫ 0 Z(u)−1σ j(u)dWj(u)  (1.15) với Z(t) là nghiệm duy nhất của phương trình thuần nhất: dZ(t) = A(t)Z(t)dt+ m ∑ j=1 S j(t)Z(t)dW (t), Z(0) = I 36 Chương 1. Cơ sở lý thuyết 1.3.4.3 Định lí biểu diễn Feynman - Kac Định nghĩa 1.3.35. Giả sử X(t) là nghiệm duy nhất của phương trình (1.9) với điều kiện (1.10) và (1.11). Với f : Rd → R, f ∈C2(Rd), toán tử At , được xác định bởi : (At f )(x) := 1 2 d ∑ i=1 d ∑ k=1 aik(t,x) ∂ 2 f ∂xi∂xk (x)+ d ∑ i=1 bi(t,x) ∂ f ∂xi (x) với aik(t,x) = m ∑ j=1 σi j(t,x)σk j(t,x) được gọi là toán tử đặc trưng tương ứng với X(t). Nhận xét. 1. Với X(t) =W (t), giải phương trình dX(t) = dW (t), X(0) = 0. Khi đó: 1 2 ∆= 1 2 d ∑ i=1 ∂ 2 ∂x2i là toán tử đặc trưng của chuyển động Brown d− chiều. 2. X(t) = x.e(b− 1 2σ 2)t+σW (t) là nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính dX(t) = X(t)(bdt+σdW (t)), X(0) = x và do đó ta có toán tử đặc trưng At được cho bởi: (At f )(x) = 1 2 σ2x2 f ′′(x)+bx f ′(x). Định nghĩa 1.3.36. Giả sử T > 0 cố định. Khi đó bài toán Cauchy tương ứng với toán tử At là một hàm số v(t,x) : [0,T ]×Rd → R thỏa mãn: −vt+ kv= Atv+g trên [0,T )×Rd (1.16) v(T,x) = f (x) với x ∈ Rd (1.17) với các hàm số cho trước: f : Rd → R, g : [0,T ]×Rd → R, k : [0,T ]×Rd → [0,∞) Định lí 1.3.37. (Định lí biểu diễn Feynman - Kac) Giả sử các hàm số f ,g,k liên tục và với các hằng số L,λ ta có: | f (x)| ≤ L ( 1+ ||x||2λ ) , L> 0, λ ≥ 1 hoặc f (x)≥ 0, (1.18) 37 Chương 1. Cơ sở lý thuyết |g(t,x)| ≤ L ( 1+ ||x||2λ ) , L> 0, λ ≥ 1 hoặc g(t,x)≥ 0, (1.19) Giả sử v(t,x) : [0,T ]×Rd → R là một nghiệm liên tục của bài toán Cauchy (1.16) với v ∈ C1,2([0,T ]×R). Kí hiệu At trong phương trình (1.16) là toán tử đặc trưng của nghiệm duy nhất X(t) của phương trình vi phân ngẫu nhiên (1.9), với các hệ số liên tục b,σ thỏa mãn điều kiện (1.10), bi(t,x), σi j(t,x) : [0,∞)×Rd → R i= 1, . . . ,d; j = 1, . . . ,m. Nếu v(t,x) thỏa mãn điều kiện: max 0≤t≤T |v(t,x)| ≤M (1+ ||x||2µ) , vớiM > 0,µ ≥ 1 (1.20) thì ta có biểu diễn sau: v(t,x) = Et,x  f (X(T )).exp − T∫ t k(θ ,X(θ))dθ + + T∫ t g(s,X(s)).exp − s∫ t k(θ ,X(θ))dθ  ds (1.21) Chú ý rằng, v(t,x) là nghiệm duy nhất của phương trình (1.16) thỏa mãn điều kiện (1.20) 1.4 Mô phỏng nghiệm của các phương trình vi phân ngẫu nhiên Mệnh đề 1.4.1. Giả sử rằng phương trình vi phân ngẫu nhiên giá trị thực : dX(t) = a(t,X(t))dt+σ(t,X(t))dW (t) có nghiệm X(t) = f (t,W (t)) với f là một hàm liên tục, giá trị thực. Giả sử Yn với: Yn(t) = f (t,W (t)) nếu t = iT n ∀i= 0,1, . . . ,n là xấp xỉ của X và được mở rộng với mọi t ∈ [0,T ] bằng phép nội suy tuyến tính. Khi đó, với mỗi hàm đo được, bị chặn g :C[0,T ]→ R ta có: E(g(Yn)) n→∞−−−→ E(g(X)) 38 Chương 1. Cơ sở lý thuyết 1.4.1 Phương pháp số cho phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.4.1.1 Phép rời rạc hóa thời gian Ta rời rạc hóa khoảng thời gian [0,T ] bằng cách tạo một phân hoạch: 0= t0 < t1 < · · ·< tn < · · ·< tN = T Khi đó, ta sẽ gọi: • ∆n = tn+1− tn là số gia thời gian thứ n (n = 0, . . . , N-1), • δ =max x ∆n là bước thời gian lớn nhất. Đặc biệt, nếu chọn tn = n∆ (n = 0, . . . ,N) thì ta được một phép rời rạc hóa cách đều cho khoảng thời gian [0,T ] với bước thời gian là ∆= TN , chú ý rằng trong phép rời rạc hóa cách đều như thế này N thường được chọn đủ lớn để ∆ ∈ (0,1). Giả sử quá trình ngẫu nhiên {Xn, t ∈ [0,T ]} có xấp xỉ Y δ (t) tương ứng với phép rời rạc hóa khoảng thời gian [0,T ] mà bước thời gian lớn nhất là δ . Khi đó ta có các khái niệm hội tụ mạnh, hội tụ yếu như sau: 1.4.1.2 Hội tụ mạnh i) Ta nói Y δ (t) hội tụ mạnh về X(t) tại thời điểm T nếu lim δ→0 E ( |X(T )−Y δ (T )| ) = 0 lúc này ta cũng gọi Y δ (t) là xấp xỉ mạnh của X(t). ii) Y δ (t) được gọi là xấp xỉ mạnh bậc γ > 0 của X(t) tại thời điểm T nếu tồn tại hằng số dương c< ∞ không phụ thuộc vào δ đồng thời tồn tại δ0 ∈ R+ sao cho: E ( |X(T )−Y δ (T )| ) ≤ c.δ γ , với mỗi δ ∈ [0,δ0] 1.4.1.3 Hội tụ yếu i) Ta nói Y δ (t) hội tụ yếu về X(t) tại thời điểm T khi δ ↓ 0 đối với lớp C các hàm tiêu chuẩn g nếu lim δ↓0 ∣∣∣E(g(X(T )))−E(g(Y δ (T )))∣∣∣= 0, ∀g ∈C khi đó ta cũng gọi Y δ (t) là xấp xỉ yếu của X(t). ii) Y δ (t) được gọi là xấp xỉ yếu bậc β > 0 của X(t) tại thời điểm T khi δ ↓ 0 nếu với mỗi hàm g khả vi liên tục l lần và thỏa mãn điều kiện: ∃Kg,∃rg ∈ {1,2,3, . . .} : ∣∣∂ jx g(x)∣∣≤ Kg (1+ |x|2rg) ,∀x ∈ Dg,∀ j ∈ {0,1, . . . , l} 39 Chương 1. Cơ sở lý thuyết thì đều tồn tại hằng số dương c < ∞ không phụ thuộc vào δ đồng thời tồn tại δ0 ∈ R+ sao cho: E(g(X(T )))−E(g(Y δ (T )))| ≤ c.δβ , ∀δ ∈ [0,δ0] ∀g ∈C 1.4.1.4 Tổng quan về các sơ đồ số Giả sử có quá trình Wiener m− chiều Wt = { W 1t , . . . ,W m t , t ≥ 0 } , các sơ đồ số được trình bày sau đây cho phép tìm xấp xỉ Taylor cho quá trình Itô d− chiều {Xt , t ∈ [0,T ]} thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô tổng quát có dạng: dXt = a(t,Xt)dt+ m ∑ j=1 b j(t,Xt)dW j t (1.22) hay tương đương: Xt = X0+ t∫ 0 a(s,Xs)ds+ m ∑ j=1 t∫ 0 b j(s,Xs)dW js (1.23) trong đó Xt =  X1t ... Xdt  ;X0 =  X10 ... Xd0  ;a=  a1 ... ad  ;b= [b1 · · · bm]=  b11 · · · b1m ... . . . ... bd1 · · · bdm  tức là thành phần thứ k của quá trình Itô Xt trên thỏa mãn: Xkt = X k 0 + t∫ 0 ak(s,Xs)ds+ m ∑ j=1 t∫ 0 bk j(s,Xs)dW js Tất cả các sơ đồ số sẽ được trình bày có những khái niệm và ký hiệu chung như sau: • Đặt các toán tử: L0 = ∂ ∂ t + d ∑ k=1 ak ∂ ∂xk + 1 2 d ∑ k=1 d ∑ l=1 d ∑ j=1 bk jbl j ∂ 2 ∂xk∂xl L j = d ∑ k=1 bk ∂ ∂xk ( j = 1, . . . ,m) • Xét phân hoạch cách đều: 0= t0 < t1 < · · ·< tn < · · ·< tN = T có bước thời gian là: ∆= tn+1− tn = TN , ∀n ∈ {0, . . . ,N−1} • Gọi xấp xỉ Taylor của quá trình Itô {Xt , t ∈ [0,T ]} là quá trình ngẫu nhiên liên tục {Y (t), t ∈ [0,T ]} có: Y (tn) = Yn;Y0 = X0 40 Chương 1. Cơ sở lý thuyết • Dùng ký hiệu cho tích phân Itô lặp trên khoảng thời gian [tn, tn+1] như sau: I( j1,..., jl) = tn+1∫ tn . . . s2∫ tn dW j1s1 . . .dW jl sl trong đó j1, . . . , jl ∈ {0,1, . . . ,m}; l = 1,2, . . . ;n= 0,1, . . . với qui ước rằng: W 0t = t,∀t ≥ 0 1.4.2 Các sơ đồ số cho xấp xỉ Taylor mạnh 1.4.2.1 Sơ đồ Euler - Maruyama Trường hợp 1: Số chiều của quá trình Wiener và quá trình Itô là m= d = 1 thì sơ đồ Euler - Maruyama (cũng được gọi là sơ đồ Euler) cho (1.22) có dạng: Yn+1 = Yn+a(tn,Yn)∆+b(tn,Yn)∆W (1.24) với Y0 = X0; ∆= tn+1− tn = TN ; ∆W =Wtn+1−Wtn ∼ N(0,∆) là số gia của quá trình dừng WienerWt trên [tn, tn+1]. Trường hợp 2: Với m = 1 và d ∈ {1,2, . . .}, thành phần thứ k của sơ đồ Euler - Maruyama cho (1.22) có dạng: Y kn+1 = Y k n +a k(tn,Yn)∆+bk(tn,Yn)∆W (k = 1, . . . ,d) Trường hợp 3 (tổng quát): Với m ∈ {1,2, . . .} và d ∈ {1,2, . . .}, thành phần thứ k của sơ đồ Euler - Maruyama cho (1.22) có dạng: Y kn+1 = Y k n +a k(tn,Yn)∆+ m ∑ j=1 bk j(tn,Yn)∆W j (k = 1, . . . ,d) với ∆W j =W jtn+1 −W jtn ∼ N(0;∆) ( j ∈ {1, . . . ,m}) là số gia của thành phần thứ j của quá trình Wienerm−chiềuWt trên [tn, tn+1], các số gia ∆W j1 và ∆W j2 ( j1 6= j2) độc lập với nhau. Ví dụ 9. Cho {Wt ; t ≥ 0} là quá trình Wiener 1 - chiều và {Xt , t ∈ [0,T ]} là quá trình Itô 1 - chiều thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính: dXt = 2Xtdt+XtdWt Phương trình này có nghiệm đúng là: Xt = X0e 3 2 t+Wt 41 Chương 1. Cơ sở lý thuyết Tương ứng với phân hoạch cách đều có bước thời gian ∆ của [0,T ], sơ đồ Euler - Maruyama cho Xt xấp xỉ như sau: Yn+1 = Yn+2Yn∆+Yn∆WY0 = X0 (1.25) Cho T = 1,X0 = 1 ta có một quỹ đạo mô phỏng của nghiệm đúng (với bước thời gian dt = 2−8) và một quỹ đạo mô phỏng của xấp xỉ Euler - Maruyama (với bước thời gian ∆ = Dt = 16dt = 2−4). Hình 1.10: Nghiệm số của SDE tính bởi Euler - Maruyama 1.4.2.2 Sơ đồ Milstein Trường hợp 1: Số chiều của quá trình Wiener và quá trình Itô là m= d = 1, ta thêm vào sơ đồ Euler - Maruyama (1.24) số hạng bb′I(1,1) = 1 2 bb′ [ (∆W )2−∆] thì thu được sơ đồ Milstein cho (1.22) : Yn+1 = Yn+a(tn,Yn)∆+b(tn,Yn)∆W + 1 2 b(tn,Yn)b′(tn,Yn) [ (∆W )2−∆] Thực hiện tương tự trong các trường hợp nhiều chiều ta nhận được: Trường hợp 2: Với m= 1 và d ∈ {1,2, . . .}, thành phần thứ k của sơ đồ Milstein cho (1.22) có dạng: Y kn+1 = Y k n +a k(tn,Yn)∆+bk(tn,Yn)∆W + 1 2 ( d ∑ l=1 bl ∂bk ∂xl )[ (∆W )2−∆] (k = 1, . . . ,d) 42 Chương 1. Cơ sở lý thuyết Trường hợp 3 (tổng quát): Với m ∈ {1,2, . . .} và d ∈ {1,2, . . .}, thành phần thứ k của sơ đồ Milstein cho (1.22) có dạng: Y kn+1 = Y k n +a k(tn,Yn)∆ m ∑ j=1 bk j(tn,Yn)∆W j + m ∑ j1=1 m ∑ j2=1 L j1bk j2(tn,Yn)I( j1, j2) (k = 1, . . . ,d) Ví dụ 10. (Làm lại ví dụ 9 bằng sơ đồ Milstein) Vẫn xét phương trình: dXt = 2Xtdt+XtdWt Phương trình này có nghiệm đúng là: Xt = X0e 3 2 t+Wt Tương ứng với phân hoạch cách đều có bước thời gian ∆ của [0,T ], sơ đồ Milstein cho Xt xấp xỉ như sau: Yn+1 = Yn+2Yn∆+Yn∆W + 1 2Yn [ (∆W )2−∆] Y0 = X0 (1.26) Cho T = 1,X0 = 1 ta có một quỹ đạo mô phỏng của nghiệm đúng (với bước thời gian dt = 2−8) và một quỹ đạo mô phỏng của xấp xỉ Milstein (với bước thời gian ∆=Dt = 16dt = 2−4). Hình 1.11: Nghiệm số của SDE tính bởi Milstein 43 Chương 2 Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo vào các mô hình tài chính Toán tài chính chủ yếu liên quan tới các vấn đề: Mô hình của sự tiến hóa của các quá trình tài chính như giá cổ phiếu, lãi suất, lạm phát, tỷ giá hối đoái, hoặc là giá cả hàng hóa. Giá cả dẫn đến những khái niệm cơ bản như giá cổ phiếu, lãi suất, hoặc là hàng hóa. Tối ưu hóa danh mục đầu tư, tức là tìm kiếm các chiến lược đầu tư tối ưu. Đo lường và quản lý rủi ro. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu những vấn đề cơ bản chính của mô hình giá cổ phiếu, lựa chọn giá, và mô hình lãi suất, cùng với các ứng dụng của phương pháp Monte Carlo. 44 Chương 2. Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo vào các mô hình tài chính 2.1 Một số mô hình tài chính. Mô hình Black - Scholes Một mô hình được định dạng là một cấu trúc tạo ra để mô tả các quan hệ giữa các biến số hoặc các yếu tố. Việc vận dụng các mô hình trong hoạt động tài chính là hết sức quan trọng, vì trong thực tế kinh doanh của thị trường tài chính, có nhiều điều kiện lẩn khuất bên dưới các quyết định cực kỳ phức tạp. Những người ra quyết định tài chính thường áp dụng các mô hình tài chính đã có hoặc tự xây dựng một mô hình mới có liên quan loại hình quyết định mà họ phải xác lập. Những mô hình mà dựa vào đó để đưa ra những quyết định gọi là mô hình chuẩn tắc. Mục tiêu của một mô hình là nhằm tái tạo hay mô phỏng lại một diễn biến tài chính ở cuộc đời thực. Khi xây dựng mô hình như vậy, các nhà nghiên cứu gạt bỏ các điều kiện thực tế không tác động, hoặc tác động không đáng kể. Họ chủ yếu tập trung vào các yếu tố liên quan trực tiếp đến bản chất tình huống định mô phỏng. Và, mục tiêu cuối cùng là khả năng dự báo thị trường. Có hai loại mô hình chính : lý thuyết và thực nghiệm, kèm theo đó là các phép toán sử dụng khi xây dựng mô hình. Các mô hình mang tính lý thuyết được xây dựng nhằmmô phỏng và giải thích các hiện tượng. Mô hình thực nghiệm được xác định để đánh giá mối quan hệ giữa các yếu tố trong điều kiện thực tế. Các nhà nghiên cứu tài chính có thể đưa ra và vận dụng một mô hình thực nghiệm nhằm kiểm định lý thuyết. Trong lĩnh vực tài chính, các mô hình toán thường có điều kiện thuận lợi để phát triển, thao tác và điều chỉnh. Hơn nữa các mô hình toán thường dễ chuyển đổi sang các phương trình hoặc sang các bảng tính của máy tính. Có một số mô hình toán tài chính như: mô hình Black - Scholes , mô hình Cox - Ross - Rubinstein, mô hình Vasicek, mô hình Ho - Lee ,mô hình Health - Jarrow - Merton, . . . Và trong phần này, tác giả đề cập đến mô hình nổi tiếng và phổ biến nhất là mô hình định giá quyền chọn Black Scholes. Mô hình định giá quyền chọn Black Scholes phát triển năm 1973 đã giúp đẩy mạnh các giao dịch quyền chọn vốn lộn xộn trước đó. Mô hình có thể lập trình trên các bảng tính hoặc trên các máy tính tài chính. Mô hình xuất phát từ quan niệm "phòng ngừa hoàn toàn rủi ro" là kiểu phòng ngừa bằng cách mua một cổ phiếu và tiến hành bán ngay quyền chọn mua cổ phiếu đó và kết quả là không có rủi ro. Chúng tôi tập trung vào các mô hình giá cổ phiếu thời gian liên tục với những quỹ đạo liên tục, tức là giá cổ phiếu được xem như là một hàm theo thời gian không có bước nhảy. Khi quan sát sự phát triển của giá cổ phiếu hay chỉ số của giá cổ phiếu qua thời gian, chúng ta phát hiện ra được những đặc tính đáng chú ý nhất là: Giá cổ phiếu không thay đổi một cách bằng phẳng qua thời gian, những sự biến động ngẫu nhiên rõ ràng thống trị một xu hướng, sự phát triển của giá cổ phiếu ... 45 Chương 2. Ứng dụng của phương pháp Monte Carlo vào các mô hình tài chính 2.1.1 Một khung giá cổ phiếu kiểu mô hình Black - Scholes Giả sử rằng biến động giá của n cổ phiếu khác nhau là một phương trình vi phân ngẫu nhiên n - chiều cho trước: dSi(t) = µi(t)Si(t)dt+ n ∑ j=1 σi, j(t)Si(t)dWj(t), Si(0) = si (2.1) ∀i= 1, . . . ,n với {(W (t),Ft , t ∈ [0,T ])} là một chuyển động Brown n - chiều. Trong đó, các hệ số thị trường µ (trung bình độ dịch chuyển) và σ (độ biến động) là các quá trình Ft− bị chặn, đo được lũy tiến. Ta cũng giả sử rằng σ là ma trận đơn vị xác định dương: x′σ(t,ω)σ(t,ω)′x≥ c.x′x, ∀(t,ω) ∈ [0,T ]×Ω với c là hằng số dương nào đó. Theo phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính, phương trình giá cổ phiếu có nghiệm duy nhất Si(t) cho như sau: Si(t) = si exp  t∫ 0 ( µi(s)− 12 n ∑ j=1 σ2i, j(s) ) ds+ n ∑ j=1 t∫ 0 σi, j(s)dWj(s)  (2.2) Thêm vào đó là những rủi ro trong đầu tư cổ phiếu, có thể là không rủi ro trong đầu tư trái phiếu ( hoặc tốt hơn là một tài khoản ngân hàng ), sự phát triển đó qua thời gian được điều chỉnh bởi phương trình: dB(t) = r(t)B(t)dt, B(0) = 1 (2.3) Phương trình này có một nghiệm duy nhất là: B(t) = exp  t∫ 0 r(s)ds  (2.4) Ở đây quá trình lãi suất r(t) được giả sử rằng bị chặn và đo được lũy tiến tương ứng với lọc Ft . Với mô hình giá cổ phiếu đầu tiên này, chúng ta sẽ giới thiệu những nhà đầu tư vào thị trường của mình bằng cách chỉ rõ những hoạt động và diễn biến của họ. Những hoạt động có thể xảy ra của nhà đầu tư là: 1. Tái cân bằng các cổ phần, tức là có thể bán cổ phiếu và đầu tư tiền vào mua các cổ phiếu khác. Hành động này được