Luận văn Phương pháp Stein và định hướng ứng dụng vào xử lý tín hiệu Radar

cả các biến ngẫu nhiên độc lập. với mọi và . Chúng ta gọi là độ đo phức hợp và là phân bố phức hợp. Chúng ta chỉ xét trường hợp khi . Tương tự như vậy, nội dung định lý 3.1-3.2 chỉ xét trong trường hợp được coi là số nguyên dương. Chúng ta có thể xem CP() như là , với là độc lập và với mỗi 3.2 Tại sao phải xấp xỉ Poisson Phức hợp CP là sự khái quát hóa của phân bố Poisson, nhưng nó có phải là sự khái quát hóa thú vị cho mục đích xấp xỉ hay không? Khi nào chúng ta sử dụng xấp xỉ Poisson phức hợp tốt hơn xấp xỉ Poisson đơn giản? Để trả lời câu hỏi này ta xét một ví dụ. Cho là một dãy các biến chỉ tiêu độc lập, cùng phân bố sao cho . Cho là biến chỉ tiêu với và r chạy liên tục từ chỉ số . Cho . Nếu r lớn thì sẽ nhỏ, xấp xỉ Poisson dường như là . Sử dụng định lý 2.5 có thể chỉ ra rằng: Đây là trường hợp đặc biệt trong định lý 8.H của (Barbour, Holst và Janson 1992 [6]). Kết quả này không làm chúng ta bằng lòng bởi vì sai số ước lượng là của cấp p, và do vậy lớn hơn sai số xấp xỉ lớn nhất , trong trường hợp các biến chỉ tiêu Xi độc lập; xem (2.9). Xấp xỉ Poisson dường như không thích hợp trong trường hợp này. Mặc dù xác suất là nhỏ nhưng điều kiện xác suất là lớn. Do đó, mặc dù biến cố là hiếm, khi chúng xuất hiện thì chúng xuất hiện tập trung thành một khối hơn là xuất hiện từng cái riêng biệt. Điều này làm cho xấp xỉ Poisson không chính xác, và do đó khối biến cố hiếm là một hiện tượng phổ biến, chúng ta sẽ chấp nhận điều này xảy ra khá thường xuyên. Xấp xỉ Poisson được thay thế một cách tự nhiên trong trường hợp sau. Chúng ta không xét số các biến cố hiếm, nhưng xét số biến cố hiếm khi xấp xỉ phân bố Poisson. Chúng ta xét cỡ của khối khi biến cố độc lập cùng phân bố. Phân bố của số biến cố hiếm xấp xỉ với là số trung bình của khối và là phân bố của cỡ khối. Thỉnh thoảng ý tưởng này được gọi là “Poisson clumping heuristic”. Chúng ta sẽ tiếp phát triển làm theo hướng đó. 3.3 Phương trình Stein cho và nghiệm của nó Sau đây, chúng ta sẽ nghiên cứu toán tử Stein cho phân bố phức hợp và nghiệm tương ứng của phương trình Stein. Hai định lý đầu là trong trường hợp tổng quát, còn các kết quả sau chỉ xét trong trường hợp rời rạc, với được coi là số nguyên dương. Cho , trong đó là tập các số thực không âm được trang bị -đại số Borel. Cho là tập các hàm đo được . Cho , với . Cho ta định nghĩa toán tử Stein như sau: (3.1) Định lý 3.1 Nếu bị chặn, phương trình Stein: có một nghiệm . Nghiệm là duy nhất trừ có thể chọn tùy ý. Với mỗi thì cho bởi: Chứng minh Cho là không gian thương của trên tập các hàm { trên R+} và kí hiệu lớp tương đương chứa h là Định nghĩa là không gian Banach được trang bị chuẩn supremum . Định nghĩa các không gian tuyến tính: tương ứng được trang bị các chuẩn và Ta thấy rằng Z là không gian Banach. Định nghĩa các ánh xạ tuyến tính và qua phương trình: và Định nghĩa các ánh xạ và bởi: và Ta chứng minh được rằng là một đẳng cự và là một song ánh trên không gian Banach . Hơn nữa, trong bổ đề 3 của (Barbour, Chen và Loh 1992 [7]) đã chỉ ra rằng toán tử tuyến tính là một song ánh bị chặn với ánh xạ nghịch đảo cho bởi: sao cho Định nghĩa ánh xạ tuyến tính bởi: Rõ ràng, là ánh xạ 1-1, từ Z lên {} . Do đó, toán tử là ánh xạ 1-1 từ lên {}. Vì vậy, phương trình Stein có nghiệm duy nhất. Thay biểu diễn của nghiệm f vào phương trình Stein, ta có f thỏa mãn phương trình Stein, mà nghiệm là duy nhất. Suy ra, phương trình Stein có nghiệm f được biểu diễn như trên. Định lý sau không chứng minh trong (Barbour, Chen và Loh 1992 [7]) Định lý 3.2 Cho là nghiệm của phương trình Stein với h = IA trong đó thì: Từ bây giờ, chúng ta tập trung vào trường hợp rời rạc. Cho với là tập các số nguyên không âm được trang bị - đại số, và lấy với Cho là tập tất cả các hàm và cho (tập con của tập các hàm bị chặn). Định nghĩa toán tử Stein bởi: (3.2) Định lý 3.3 Nếu bị chặn, phương trình Stein: có nghiệm f bị chặn. Nghiệm f là duy nhất, trừ f(0) có thể chọn tùy ý. f được cho bởi: (3.3) trong đó và Chứng minh Chứng minh tương tự định lý 3.1, chúng ta thấy rằng, tồn tại duy nhất nghiệm Do đó, giả thiết , chúng ta có thể chứng minh không tồn tại nghiệm bị chặn khác. Giả thiết rằng tồn tại hai nghiệm bị chặn f1 và f2, thì là một nghiệm của phương trình Stein với và Do đó nên hay . Vậy nghiệm bị chặn của phương trình Stein là duy nhất. Định lý 3.4 Một độ đo xác suất trên là khi và chỉ khi : với mọi hàm bị chặn . Chứng minh Điều kiện cần: Với thì tích phân 2 vế của phương trình Stein ta có: Điều kiện đủ: Gọi là nghiệm duy nhất bị chặn của phương trình Stein với h = IA. Tích phân 2 vế của phương trình Stein theo ta có: = = =0 Do đó Trong phần 2.3, chúng ta đã biết nhân tử kì diệu “magic factor” là cận tốt của chuẩn supremum sai phân cấp một nghiệm của phương trình Stein và chuẩn supremum của bản thân nghiệm. Những cận đó là cần thiết cho sự thành công của phương pháp Stein đối với xấp xỉ Poisson. Điều này cũng đúng đối với xấp xỉ Poisson phức hợp. Tuy nhiên, trong trường hợp xấp xỉ Poisson phức hợp để tìm những cận như vậy phải cần nhiều điều kiện và cận tốt nhất nếu phân bố phức hợp thỏa mãn những điều kiện nhất định. Định lý 3.5 Cho là nghiệm bị chặn duy nhất của phương trình Stein với h bị chặn. Cho , (3.4) trong đó là nghiệm bị chặn duy nhất của phương trình Stein với h = IA thì (3.5) Hơn nữa, nếu (3.6) thì ; (3.7) Chứng minh Cận (3.5) được chứng minh bằng cách sử dụng biểu diễn (3.3) như trong (Barbour, Chen và Loh 1992 [7]). Tuy nhiên, (3.5) chỉ có ích khi khá nhỏ. Cận (3.7) với điều kiện (3.6) thì tốt hơn. Ta chứng minh bằng cách sử dụng biểu diễn nghiệm của phương trình Stein tương tự như định lý 2.4 trong trường hợp xấp xỉ Poisson. Cho và giả thiết rằng g không tăng quá nhanh. Ta có: = trong đó, toán tử A là toán tử sinh của một nhóm quá trình nhập cư-chết trên với mỗi , tỉ lệ nhập cư của nhóm cỡ i là trong khi tỉ lệ chết của cá thể riêng lẻ là 1. Không khó khăn chứng minh rằng phân bố dừng của là CP(). Phương trình Poisson tương ứng với toán tử A là : Nếu h bị chặn, thì chứng minh tương tự định lý 2.4, phương trình có nghiệm: và f là nghiệm bị chặn duy nhất của phương trình Stein; chú ý chúng ta giả thiết Để chứng minh (3.7) chúng ta định nghĩa bốn cặp quá trình nhập cư-chết với mỗi bắt đầu từ k và: , , ở đây và độc lập với nhau và với nên: Chúng ta có thể viết , với là số người nhập cư riêng lẻ trong một nhóm cỡ 1 sau thời gian 0 và vẫn còn sống đến thời điểm t, Yt và Wt là độc lập. Sử dụng bất đẳng thức trong (Barbour (1988) [3]) ta có: Lấy tích phân 2 vế ta được cận đầu tiên trong (3.7). Cận thứ 2 được chứng minh trong (Barbour, Chen và Loh 1992 [7]). 3.4 Ước lượng sai số trong xấp xỉ Poisson phức hợp Để xây dựng ước lượng sai số cho xấp xỉ Poisson phức hợp, chúng ta tập trung vào trường hợp: khi phân bố được xấp xỉ là phân bố của một tổng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên không âm với giá trị trung bình hữu hạn. Chúng ta sử dụng các kí hiệu sau (tương tự phần 2.3): * là tập chỉ số hữu hạn. Trong hầu hết các trường hợp * là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên không âm, với giá trị trung bình hữu hạn. * và =CP() trong đó là độ đo phức hợp chính tắc, định nghĩa bởi (3.8) Mục đích của chúng ta là giới hạn sai phân toàn phần khoảng cách giữa và. Như trong phần 2.3, sử dụng phương trình Stein chúng ta đạt được biểu diễn: (,) = = = trong đó là nghiệm bị chặn duy nhất của phương trình Stein h=IA. Như trong phân bố Poisson, phương pháp xấp xỉ địa phương và phương pháp ghép cặp được dùng để giới hạn phần trên. Định lý 3.6 (phương pháp xấp xỉ địa phương). Cho , trong đó các biến ngẫu nhiên là không âm, nhận giá trị nguyên và có giá trị trung bình hữu hạn. Với mỗi i, chia thành ba tập con và sao cho: =; Xj phụ thuộc rất mạnh vào =; Xj phụ thuộc yếu vào . Cho và . Định nghĩa bởi: (3.8) thì trong đó và được định nghĩa như trong (3.4). Chứng minh Ta có: Do đó, với mỗi và Ví dụ 4 (Các biến ngẫu nhiên độc lập) Cho độc lập. Chọn với mỗi , theo định lý 3.6 ta có: (3.9) trong đó độ đo phức hợp chính tắc là Chúng ta có thể so sánh cận đạt được theo phương pháp khác với phương pháp Stein. (LeCam 1965 [16]) chứng minh rằng: Cận trên lúc thì tốt hơn (3.9), lúc thì kém hơn, phụ thuộc vào . Trong trường hợp đặc biệt khi thì hai cận trên là như nhau với mọi . (Michel (1988) [19]) đã chứng minh rằng: (3.10) Cận trên tốt hơn hai cận trước. Tuy nhiên, phản ví dụ sau đây chỉ ra rằng cận (3.10) không có giá trị trong trường hợp tổng quát: Nếu được cho phép có các phân bố khác nhau. Với mỗi , cho thì cận (3.10) là p. Tuy nhiên, từ phần 3.1 chúng ta biết rằng biến ngẫu nhiên có phân bố , với độc lập cùng phân bố . Hơn nữa, được xác định trên tập các số nguyên không âm, biểu diễn bậc 3 của nó không chứa 2s. Từ định nghĩa biến phân toàn phần khoảng cách: Áp dụng qui tắc L’Hospital hai lần ta có với mỗi p > 0 cố định, . Ta thấy rằng cận cho trong (3.10) sẽ quá bé, điều này là đúng khi chọn p rất nhỏ và n rất lớn. Ta xét ví dụ sau, trong đó các biến ngẫu nhiên độc lập. Ví dụ 5 (head run). Cho là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố với . Cho , trong đó để tính toán đơn giản, ta đồng nhất i + kn với i . Cho . Chọn độ đo phức hợp chính tắc là: Hơn nữa, hạng tử cuối cùng trong cận của định lý 3.6 bị triệt tiêu. Do đó: Tiệm cận của cận này khi n → ∞ nếu p = pn và r = rn là gì? Chú ý rằng . Chúng ta có thể chỉ ra: (i) Nếu , thì cận là (ii) Nếu và thì cận là (iii) Nếu và thì cận là Để làm điều này, chúng ta sử dụng định lý 3.5 cho (i) và (ii) Định lý 3.9 (phương pháp ghép cặp) Cho , trong đó là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên không âm với giá trị trung bình hữu hạn. Với mỗi , chia thành ba tập con , và . Cho và . Định nghĩa bởi (3.8). Với mỗi , cho hai biến ngẫu nhiên và sao cho: được xác định trên cùng một không gian xác suất. Thì: trong đó (.) được định nghĩa như trong (3.4). Chứng minh Tương tự như định lý 3.6 thay cho bất đẳng thức cuối cùng trong chứng minh, sử dụng cặp ghép chúng ta đạt được: với mỗi và Suy ra: Trong trường hợp, khi các biến ngẫu nhiên độc lập, bằng việc chọn và với mỗi . Theo định lý 3.9, ta lại có (3.9) Sau đây là một mở rộng nhỏ của phương pháp ghép cặp, đôi khi rất hữu dụng (không chứng minh) Định lý 3.10 (Phương pháp ghép cặp chi tiết) Cho , trong đó là các biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên không âm với giá trị trung bình hữu hạn. Với mỗi , chia thành ba tập con và . Cho và . Định nghĩa bởi (3.8). Cho một biến ngẫu nghiên được xác định trên cùng một không gian xác suất như và . Với mỗi , cho hai biến ngẫu nhiên và sao cho: được xác định trên cùng một không gian xác suất. Thì: trong đó được định nghĩa như trong (3.4). Chương IV PHƯƠNG PHÁP STEIN CHO XẤP XỈ CHUẨN 4.1Giới thiệu Phương pháp Stein là một phương pháp dùng để suy ra ước lượng một cách chính xác xấp xỉ của một phân bố xác suất này bởi một phân bố xác suất khác. Vậy làm thế nào để xác định khoảng cách giữa hai phân bố bất kỳ? Một cận trên được xác định bằng sự sai khác kì vọng của một họ (mở) bất kỳ những hàm kiểm tra qua hai phân bố, với mỗi họ hàm kiểm tra xác định một metric liên kết. Những cận trên như vậy tương ứng xác định cận trên cho sự sai khác (hay khoảng cách) giữa hai phân bố, đo được với việc chú ý tới metric liên kết. Vì vậy: + Nếu họ hàm kiểm tra gồm những hàm chỉ tiêu của tất cả những tập con (đo được), thì sự sai khác kì vọng của họ hàm kiểm tra qua hai phân bố được biểu diễn một cách chính xác bằng sự biến thiên khoảng cách dTV giữa hai phân bố đó: H = {1A, A đo được} – Họ hàm kiểm tra với P,Q tương ứng là hai hàm phân bố + Nếu những hàm phân bố xác định trên thì họ hàm kiểm tra là tất cả những hàm chỉ tiêu xác định trên tất cả những nửa đường thẳng. Ta xây dựng được khoảng cách Kolomogorov - Họ hàm kiểm tra = + Nếu những hàm kiểm tra thỏa mãn điều kiện Lipschitz đều, bị chặn bởi hằng số 1. Tức là: trong đó được định nghĩa: với hàm thì khi đó ta có khoảng cách Wasserstein: + Nếu những hàm kiểm tra thỏa mãn điều kiện Lipschitz đều và bị chặn đều thì ta có khoảng cách Wasserstein, bị chặn: - Họ hàm kiểm tra Phương pháp Stein ứng dụng tất cả những khoảng cách như vậy. Cho xấp xỉ chuẩn trên , Stein bắt đầu với việc quan sát thấy rằng: (4.1.1) với f là hàm bị chặn bất kỳ, có đạo hàm bị chặn và Z có phân bố chuẩn tắc: Thật vậy, ta có thể kiểm tra lại bằng phép lấy tích phân từng phần. Ta có: (do f(x) bị chặn và , khi ) (4.1.1) Tuy nhiên, tích phân từng phần như vậy cũng có thể sử dụng để giải phương trình vi phân. Với g là hàm bị chặn bất kỳ (4.1.2) Xét tích phân: Mặt khác: Thật vậy: do Tương tự: Vậy khi f là hàm bị chặn Vì vậy, lấy hàm h bị chặn bất kỳ và cho , xác định hàm (4.1.3) (4.1.3) thỏa mãn điều kiện (4.1.2). Thay x trong (4.1.2) bởi biến ngẫu nhiên W bất kỳ: và lấy kỳ vọng ta được: (4.1.4) Vì vậy, phương trình đặc trưng (4.1.1) của phân bố chuẩn tắc cũng xác định một chặn trên cho xấp xỉ chuẩn với việc áp dụng bất kỳ khoảng cách nào đã được giới thiệu ở trên. Cho là lớp hàm kiểm tra (bị chặn) h, có: (4.1.5) Trên thực tế, lấy sup ở vế phải của (4.1.5) chỉ gồm biến ngẫu nhiên W thì việc xác định cận dễ dàng hơn ở vế trái. Phương trình (4.1.1) của phân bố chuẩn dễ dàng chỉ ra được đại lượng là tương đối nhỏ, khi cấu trúc của W làm cho xấp xỉ chuẩn hợp lý. Giả thiết là những biến ngẫu nhiên độc lập, có phân bố giống nhau, có và , sao cho Cho Mục đích: đánh giá với hàm f là hàm trơn và biến thiên tốt. Do W là tổng của những biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân bố nên: và , ở đây độc lập với Áp dụng khai triển Taylor ta có: (4.1.6) với Tiếp tục khai triển Taylor với: (4.1.7) với Mặt khác: và độc lập với nhau với f là hàm có đạo hàm riêng bị chặn. Vì vậy, nếu là lớp hàm kiểm tra bất kỳ, xác định: (4.1.8) Bất đẳng thức (4.1.8) cho ta xấp xỉ chuẩn của W với sai số với khoảng cách trên được định nghĩa: , với điều kiện là: Do vậy để ước lượng tốt (4.1.8) thì ta phải ước lượng tốt 4.2 Những kiến thức cơ bản của phương pháp Stein 4.2.1 Đặc trưng của phân bố chuẩn Cho Z: biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn tắc : tập những hàm liên tục và khả vi liên tục từng khúc với Phương pháp Stein dựa trên những đặc trưng sau: Bổ đề 4.2.1 Cho W là biến ngẫu nhiên thực. Khi đó, W có phân bố chuẩn tắc khi và chỉ khi (4.2.1) Chứng minh Cần: Giả sử thì có . Với có: Theo Fubini ta có: Vậy . Đủ: Giả sử có cần chứng minh Lấy, cố định Cho là nghiệm của phương trình: (4.2.2) Nhân cả hai vế của (4.2.2) với ta được: Tích phân hai vế: +) Nếu : +) Nếu : Vậy (4.2.3) Theo bổ đề (4.2.2) ta có là hàm liên tục, bị chặn, khả vi liên tục từng khúc . Do (4.2.1) đúng nên đúng với Z có phân bố chuẩn tắc. Do vậy W có phân bố chuẩn tắc. Kết luận: Phương trình Stein tổng quát dạng: (4.2.4) với h là hàm đo được nhận giá trị thực và có nghiệm tổng quát: Trường hợp đặc biệt phương trình Stein có dạng: có nghiệm: (4.2.5) 4.2.2 Tính chất nghiệm của phương trình Stein Sau đây ta đưa ra một số tính chất cơ bản của nghiệm (4.2.3) và (4.2.5) của phương trình Stein (4.2.2) và (4.2.4). Lý do vì sao ta cần xét tính chất nghiệm đã được chỉ ra ở công thức (4.1.8), ở đây ước lượng của , được yêu cầu để tìm ra độ sai số giữa những xấp xỉ khác nhau. Bổ đề 4.2.2 Hàm được xác định bởi (4.2.3): Thì là hàm tăng theo (4.2.6) Hơn nữa, thực, thì: (4.2.7) (4.2.8) (4.2.9) (4.2.10) Bổ đề 4.2.3 Cho hàm h bất kỳ, liên tục tuyệt đối, Nghiệm tổng quát của phương trình Stein được cho ở (4.2.5) thỏa mãn: (4.2.11) (4.2.12) (4.2.13) Có thể xem chứng minh 2 bổ đề này trong [21] 4.2.3 Cấu trúc của đồng nhất Stein Phần này ta sẽ thấy được ý tưởng chính trong cách tiếp cận của Stein. Đó là cách tiếp cận trực tiếp từ phép tính vi phân. Cho là những biến ngẫu nhiên độc lập thỏa mãn , với , sao cho , ở đây không yêu cầu phải có phân bố giống nhau. và (4.2.14) , (4.2.15) Ta có . Thật vậy: và Vậy: (4.2.16) Cho h là hàm đo được, , và là nghiệm của phương trình Stein (4.2.4): Mục đích: ước lượng Vì độc lập với với mỗi , nên: (4.2.17) Mặt khác ta có: (4.2.18) Từ (4.2.17) và (4.2.18) (4.2.19) Phương trình (4.2.17) và (4.2.19) có vai trò chính trong chứng minh xấp xỉ chuẩn tốt. (4.2.17) và (4.2.19) đúng cả với tất cả những hàm f liên tục tuyệt đối, bị chặn. Xấp xỉ chuẩn của những hàm trơn Mục đích: ước lượng Với: + các lớp biến ngẫu nhiên W khác nhau + + h: là hàm trơn, thỏa mãn: (4.3.1) Định lý tiếp theo là một định lý nổi bật, nó cho thấy cận của xấp xỉ thu được bằng khoảng cách yếu hơn là với khoảng cách . Định lý 4.3.1 Giả sử tồn tại sao cho, với hàm h bất kỳ thỏa mãn điều kiện Lipschitz đều (4.3.2) thì: (4.3.3) (4.3.4) Chứng minh: + (4.3.3): Theo định nghĩa của ta có: + (4.3.4): Giả thiết , vì nếu không (4.3.4) là tầm thường. , (*) Với z cố định ta xác định: với A: tuyến tính Khi đó có Mặt khác có với là hàm trơn nên (**) Ngược lại, với z cố định ta xác định: với B: tuyến tính Khi đó ta vẫn có nên mà Do vậy: Vậy từ chứng minh (*) và (**) ta có (4.3.4) Trong phần tiếp theo ta chỉ ra rằng có thể thỏa mãn với đủ nhỏ khi: W là tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập Hoặc W là tổng của các biến ngẫu nhiên phụ thuộc địa phương (iii) Hoặc W là biến ngẫu nhiên sao cho cặp hoán đổi được có tính chất hồi quy tuyến tính với (4.3.5) 4.3.1 Những biến ngẫu nhiên độc lập Mục đích: sử dụng công thức (4.2.19) để chứng minh (4.3.2) với W là tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trung bình bằng 0, moment cấp 3 hữu hạn. Đây là trường hợp mở rộng của công thức (4.1.18) khi những biến ngẫu nhiên độc lập phân bố không giống nhau. Định lý 4.3.2 Cho là những biến ngẫu nhiên độc lập thỏa mãn: và với mỗi , và sao cho . Khi đó định lý (4.3.1) có thể áp dụng với: (4.3.6) Trường hợp đặc biệt, ta có Chứng minh Theo bổ đề (4.2.3) ta có Từ công thức (4.2.19): Do vậy Trường hợp đặc biệt, khi Khi đó ta có và Do vậy : (đpcm) Chứng minh (a): Để chứng minh (a) ta đi chứng minh bài toán tổng quát sau đây: Bài toán: cho là những biến ngẫu nhiên độc lập, cho hàm f, g là hàm tăng. Khi đó với CM: ta chứng minh bằng quy nạp + cho f và g là hai hàm tăng, với x,y bất kỳ có (do hai thừa số hoặc cùng dấu không âm khi hoặc cùng không dương khi ) Vì vậy cho X,Y là hai biến ngẫu nhiên bất kỳ. Ta có (#) Tuy nhiên, nếu chúng ta giả định là X,Y độc lập cùng phân bố, thì (do X, Y độc lập) Do vậy: Suy ra được chứng minh. + Giả sử bài toán đúng với n-1 biến ngẫu nhiên độc lập Ta cần chứng minh đúng với n biến ngẫu nhiên độc lập. Với giả thiết f, g là những hàm tăng. Khi đó (do độc lập) (do giả thiết quy nạp) Vậy Lấy kỳ vọng hai vế được (bất đẳng thức cuối suy từ , vì và tăng theo . Tiếp theo ta chỉ ra rằng giả thiết moment cấp 3 hữu hạn là không cần thiết. Định lý 4.3.3 Cho là những biến ngẫu nhiên độc lập thỏa mãn: với mỗi và sao cho . Khi đó định lý (4.3.1) có thể áp dụng với (4.3.7) với và (4.3.8) Chứng minh: Chúng ta sử dụng công thức (4.2.12) và (4.2.13) Hơn nữa, ở đây Mặt khác từ công thức (4.2.19) ta có (4.3.9) (*) Tính ? +Nếu +Nếu Đặt Vậy, thay vào biểu thức trên ta có (4.3.10) Vì cả hai hàm và là hàm tăng theo , với biến ngẫu nhiên ta có (4.3.11) KL: hay định lý (4.3.1) đúng với . Tuy định lý (4.3.1) và (4.3.3) chưa cho ta thấy hình ảnh rõ ràng của bất đẳng thức Berry-Esseen nhưng nó đủ cho chứng minh định lý giới hạn trung tâm Lindeberg. Cho là những biến ngẫu nhiên độc lập, có và , với mỗi và và Khi đó là những biến ngẫu nhiên độc lập thỏa mãn và biến ngẫu nhiên Xác định và như trong định lý 4.3.3. Thấy rằng, với bất kỳ thì (**) Nếu điều kiện Lindeberg đúng, nghĩa là , khi thì từ (**) khi (vì bất kỳ nên chọn nó nhỏ gần 0). Theo định lý (4.3.1) và (4.3.3) ta có khi Điều này chứng minh định lý giới hạn trung tâm Lindeberg. 4.3.2 Những biến ngẫu nhiên phụ thuộc địa phương + Một dãy ngẫu nhiên m-phụ thuộc là một dãy có tính chất: với mỗi i, tập những biến ngẫu nhiên và là độc lập. + Một dãy những biến ngẫu nhiên độc lập là 0-phụ thuộc. + Phụ thuộc địa phương là tổng quát hoá của khái niệm m-phụ thuộc những biến ngẫu nhiên trong trường hợp tập chỉ số là bất kỳ. Chẳng hạn cho những biến ngẫu nhiên được đánh số bởi các đỉnh của một hình, sao cho tập và độc lập với nhau bất cứ khi nào và trong hình đó không chứa cạnh nào nối đỉnh với. Cho : tập chỉ số hữu hạn của những số đếm n Tập : một trường ngẫu nhiên thỏa mãn và và giả sử Cho : Bây giờ, ta đưa ra thêm hai giả thiết để thấy được đặc tính vượt trội của phụ thuộc địa phương. (LD1) Cho mỗi sao cho và là độc lập. (LD2) Cho mỗi sao cho độc lập với và độc lập với . Xác định và Định lý 4.3.4 Định lý (4.3.1) có thể áp dụng với: 1, Nếu (LD1) thỏa mãn (4.3.12) 2, Nếu (LD2) thỏa mãn (4.3.13) Chứng minh Cho là nghiệm của phương trình Stein (4.2.4): 1, Nếu (LD1) thỏa mãn có do và độc lập, . Vì vậy (4.3.14) Mặt khác, do , (LD1) thỏa mãn Do vậy: (4.3.15) Mặt khác, theo (4.2.12) và (4.2.13) có và Khai triển Taylor Do vậy (4.3.12) 2, Nếu (LD2) thỏa mãn: và độc lập với nhau độc lập với nên: Sử dụng công thức (4.3.15) và khai triển Taylor hàm ta có (4.3.13) Sau đây ta đưa ra ví dụ về trường biến ngẫu nhiên phụ thuộc địa phương. Ví dụ (Đồ thị phụ thuộc) Cho : 1 tập những biến ngẫu nhiên được chỉ số bằng các đỉnh của đồ thị , với : tập các đỉnh, : tập các cạnh. được gọi là đồ thị phụ thuộc nếu +thỏa mãn + + không tồn tại sao cho và hoặc ngược lại. thì tập những biến ngẫu nhiên và độc lập. Cho D là bậc lớn nhất của đồ thị hay là số lớn nhất những cạnh ngẫu nhiên tới 1 đỉnh đơn. Cho : có 1 cạnh nối j với i} Ta có + + không tồn tại độc lập với Tương tự, độc lập với Vậy thỏa mãn (LD2) nên (4.3.13) đúng. 4.3.3 Những cặp hoán đổi được + Cho W là biến ngẫu nhiên (không nhất thiết là tổng của những biến ngẫu nhiên độc lập) Giả sử W có xấp xỉ chuẩn. + Mục đích: muốn xét độ chính xác của xấp xỉ đó. + Phương pháp Stein: đưa ra một biến ngẫu nhiên thứ hai là trong cùng một không gian xác suất, sao cho cặp có thể hoán đổi được, nghĩa là cặp và có cùng phân bố. + Nếu là cặp hoán đổi được thì với là hàm phản xứng, tồn tại kỳ vọng. Thật vậy, {với } {đổi biến x thành y} {do phản xứng} (4.3.16) Bổ đề 4.3.1 Cho là một cặp hoán đổi được của những biến ngẫu nhiên thực có phương sai hữu hạn, thỏa mãn tính chất hồi quy tuyến tính (4.3.17) với . Khi đó và (4.3.18) và, với mọi hàm liên tục từng khúc thỏa mãn điều kiện tăng, tức là , ta có (4.3.19) Chứng minh: a) ? Xét . Khi đó, hàm là hàm phản xứng, đo được, tồn tại kỳ vọng. Theo (4.3.16) có b) ? Xét . Khi đó hàm là hàm đo được, phản xứng, tồn tại kỳ vọng. Ta có Theo (4.3.16) có c) ? Xét , với tồn tại, và hàm f như trong giả thiết. Theo (4.3.16) (4.3.20) Ta sử dụng định lý này để chứng minh định lý sau Định lý 4.3.5 Nếu là cặp hoán đổi được,thỏa mãn tính chất hồi quy tuyến tính (4.3.17) thì định lý (4.3.1) có thể áp dụng với (4.3.21) Chú ý: (để sử dụng cận trên thì phải gần 1) Chứng minh: Cho là nghiệm (4.2.5): của phương trình Stein Mặt khác, dễ thấy (4.3.22) và (*) Theo (4.3.19) có và Từ đó: Mặt khác, theo bổ đề (4.2.3) có và (đpcm) Ví dụ: (ứng dụng cận trong định lý trên) Cho : những biến ngẫu nhiên độc lập, với và Cho + + là một copy một cách độc lập của + I: biến ngẫu nhiên phân bố đều trên tập , độc lập với + Do đó là cặp hoán đổi được và có thỏa mãn (4.3.17) với Mặt khác, tính toán trực tiếp có Hơn nữa: (4.3.23) Do vậy ta có: Theo Liapunov có Do các độc lập nên nên Mặt