Luận văn Phương trình sóng mô tả thanh đàn hồi nhớt

m m m m s m g s K s u s K s u s s k u s k s u d s k s u d g s K s k s u s K s u s s k s u d s (2.62) Suy ra ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) /// // 4 0 0 / // 0 0 / // 0 0 // 0 0 2 0, 2 0, 2 0 0, 0, 2 0, 0, 2 0, 0, t t m m m t m m t m m t s m m dJ s P s u s ds g s u s ds ds K s k s u s u s ds K s u s u s ds u s ds s k s u d s μ μ μ μ μ μ τ τ τ = − = − ⎡ ⎤− −⎣ ⎦ − ∂+ ⎡ − ⎤⎣ ⎦∂ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ (2.63) ( )4 4 1 . = ≡ ∑ i i J Ta lại lần lượt đánh giá ( )4 , 1.4iJ i = bằng cách dùng (2.47), tích phân từng phần và bất đẳng thức (2.20). (i) Đánh giá (1)4 .J ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 2 , /1 // 4 0 / / /// / 1 0 / / / 1 0, // / 0 2 2/ / / 1 2 2// / 0 2 0, 2 0 0 2 0, 2 0, 2 0 0 2 0, 2 0, 12 0 0 0, 0, . μ μ μ μ μ μ μ μ μ εε μ ∞ ∞ = − = − + ≤ + + ≤ + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ L T L o T t m t m m m m m L T t m m m t m J g s u s ds g u g t u t g s u s ds g u g u t g s u s ds g u g u t g u s ds (2.64) 27 Mà với mọi [ ]0,1 ,∈x ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2/ / / 2 / 1 0 0 1 2 22 / 2 / 1 1 0 2 1 0 , 0,0 , 2 0 2 , 2 0 2 , 2 0 2 22 0 .μ = + ≤ + ≤ + = + ≤ + ∫ ∫ ∫ x x m m mx m mx m mx m mx m m u x t u u x t dx u u x t dx u u x t dx u u t u X t (2.65) Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0,1 2 2/ / 2 1 0 20, 2 0 .μ⎛ ⎞⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ ≤ ≤ + C m m m mu t u t u X t (2.66) Từ (2.64) và (2.66), ta suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 20, 0, 2 2/ / //1 4 1 2 2 1 1 0 2 2 12 0 0 2 0 2 0μ μ μ μ με ε ∞ ≤ + + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ L T L T m t m m m m J g u g g u X t u X s ds ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )20, 0, 2 2/ / // 1 12 0 0μ μ με ∞≤ + +L T L Tm g u g g ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 1 0 2 22 2 0 . t m m mT u X t X s ds ε μ με+ + + + ∫ (2.67) (ii) Đánh giá ( )24 .J Đặt ( ) ( ) ( ) ( )/1 0 0h s K s k sμ μ= − thì ( )11 .+∈ \h C (2.68) Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 / // 4 0 0 // 1 0 / 1 0 1 1 / / 1 0 2 0 0, 0, 2 0, 0, 2 0 0 0 2 0, 0, 2 0, 0, μ μ⎡ ⎤=− −⎣ ⎦ = − = − + ⎡ ⎤⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ t m m t m m m m m m t m m J K s k s u s u s ds h s u s u s ds h u u h t u t u t h s u s u s ds 28 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0, 0, / 1 0 1 1 0, 2/ / / 1 1 0 0 222 / 1 0 1 1 2/ / / 1 1 0,0, 0 0 222 / 1 0 1 1 1 2 0 0 0 2 0, 0, 2 0, 0, 2 0, 12 0 0 0 0, 0, 2 0, 0, 2 0, 12 0 0 0 0, 0, εε εε ∞ ∞∞ ∞ ∞ ≤ + + + ≤ + + + + ≤ + + + ∫ ∫ ∫ ∫ L T L T m m m mL T t t m m m m m m m t t m m mL TL T m m m m h u u h u t u t h s u s u s ds h s u s ds h u u h u t u t h u s u s ds h u s ds h u u h u t u t h ( ) ( ) ( )( ) ( ) 22/ /1 0,0, 0 0 0, 1 2 0, .∞∞ + +∫ ∫t tm mL TL T u s ds h u s ds (2.69) Mặt khác, một cách tương tự bất đẳng thức (2.65), (2.66), ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0,1 2 2 2 2 0 0 0 0 2 20, 2 0 2 0 .μ μ⎛ ⎞⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠ ≤ ≤ + ≤ + C m m m m m Tu t u t u S t u M (2.70) Từ (2.66), (2.69), (2.70), ta suy ra rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0, 2222 / 4 1 0 1 1 22/ / 1 1 0,0, 0 0 12 0 0 0 0, 0, 0, 1 2 0, L T m m m m t t m mL TL T J h u u h u t u t h u s ds h u s ds εε ∞∞ ∞≤ + + + + +∫ ∫ ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0,1 2 2 1 0 1 1 0 0 2 2 1 1 10, 0 00 1 22 0 0 0 2 0 2 22 0 1 2 2 0 C T m m m T t m m m mL T h u u T h u M u X t h u X s ds ε μ ε μ μ∞ ⎛ ⎞⎛ ⎞≤ + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0, 2 / 2 1 1 00, 0 2 2 1 0 1 1 1 10, 1 0, 0 0 0 1 12 0 2 0 0 0 2 0 2 1 2 0 2 2 1 2 . ε μ ε ε μ μ ∞ ∞ ∞ ∞ ⎛ ⎞⎛ ⎞≤ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ + + + + + + + ∫ L T m TL T m m m mL T t m mL T h T h u M h u u u T h u X t h X s ds (2.71) (iii) Đánh giá ( )34 .J Dùng tích phân từng phần sau đó sử dụng (2.66) ta thu được 29 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 23 / // / 4 0 0 0 0 2 22 / / / 0 1 0 0 0 22 / / 0 1 0 0, 0 2 / 2 0 1 0 10, 00 2 / 2 0 1 0 10, 2 0, 0, 0, 0 0 0, 0, 0 0 0, 20 0 2 0 0 0 2 0 μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ μ ∞ ∞ ∞ ⎡ ⎤= − = − ⎣ ⎦ ⎡ ⎤= − + ⎣ ⎦ ≤ + ⎛ ⎞≤ + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ≤ + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ t t m m m t m m m t m mL T t m m mL T m mL T dJ K s u s u s ds K s u s ds ds K u K t u t K s u s ds K u K u s ds K u K u X s ds K u TK u ( ) ( )/0 0, 0 0 2 .μμ ∞+ ∫ t mL T K X s ds (2.72) (iv) Đánh giá ( )44 .J Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 4 // 4 0 0 / 0 / / / 0 0 / / / 0 / / / 2 0, 0, 2 0, 0, 2 0, 0 0 0, 0, 2 0, 0, 2 0 0 0, 0, μ τ τ τ μ μ μ μ τ τ τ μ μ μ μ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = −⎡ ⎤⎣ ⎦ = −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎛ ⎞⎡ ⎤− + + −⎡ ⎤⎜ ⎟⎣ ⎦⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦ ⎡ ⎤− +⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ t s m m t m m t s m m m t m m m m s t s J u s ds s k s u d u t t k t s u s ds u s ds s k s k u s s k s u d u t t k t s t k t s u s ds s k s k u s u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 / 0 0 4 4 4 4 4 4 2 0, 0, . μ τ τ τ∂∂− −⎡ ⎤⎣ ⎦ ≡ + + ∫ ∫ ∫ t t s m m a b c s s ds u s ds s k s u d J J J (2.73) Ta cũng sẽ đánh giá lần lượt ( ) ( ) ( )4 4 44 4 4, , . a b cJ J J ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 / / / 4 0 2 2/ / / 2 0 0 22/ / / 2 0,0, 0 0 2 0, 0, 10, 0, 10, 0, μ μ ε μ με ε μ με ∞∞ ⎡ ⎤= − + −⎣ ⎦ ⎡ ⎤≤ + − + −⎣ ⎦ ⎡ ⎤≤ + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ t a m m t t m m t t m mL TL T J u t t k t s t k t s u s ds u t t k t s t k t s ds u s ds u t k t s k t s ds u s ds 30 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) 2 2 1 0, 0,0, 1 2 1 0 2 22 2/ / 2 00, 0, 0 2 22 2 1 00, 0 0 12 0 2 12 0 1 4 12 0 0 . ε μ μ με μ ε μμ ε μ ∞∞ ⎛ ⎞≤ +⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞+ + +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠C T L TL T m m m TL T L T m m m TH T u X t k k T u M Tu X t k u M (2.74) Từ giả thiết ( ) ( )3 4, ,A A đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ /2 0 0h s s k s kμ μ= + thì ( ) ( )12 .h s C +∈ \ (2.75) Ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 4 / 2 4 2 2 0 0 2 2 / 2 2 0 2 2 0 2 2 / 2 2 0 2 20, 0, 0 2 2 2 0 0 2 0, 0 2 0, 0, 0, 0 0 0, 0, 0 0 0, 0, 20 0 1 2 0 .μ ∞ ∞ ⎡ ⎤= − = − ⎣ ⎦ = − + ≤ + + ⎛ ⎞≤ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ∫ t t b m m m t m m m t m m mL T L T m m T C T dJ h s u s u s ds h s u s ds ds h u h t u t h s u s ds h u h u t h u s ds h u T u M h (2.76) Tương tự như đánh giá ( )44 aJ cùng với (2.70), (2.66), ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( )20, 2 2 2 2 2 2 0 2 4 / 4 0 0 2 2/ 0 0 0 2 2/ 2 0 0 0 0 2 22 2 1 0, 0 1 2 0, 0, 0, 0, 0, 0, 2 0 8 0μ μ τ τ τ μ τ τ τ μ τ τ τ τ μ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =− ⎡ − ⎤⎣ ⎦ ⎡ ⎤≤ + ⎡ − ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎡ ⎤≤ + ⎡ − ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎛ ⎞≤ + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ C T t s c m m t t s m m t t s s m m t m m mH T s s s J u s ds s k s u d u s ds ds s k s u d u s ds ds s k s d u d u X s ds k ds u ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) 2 0, 2 0, 0 0 0 2 2 0 0 2 22 2 1 0, 0 0 2 22 2 2 1 00, 0 2 1 2 , 2 0 8 0, 2 0 16 0 . μ μ μ τ τ μ μ ≤ + + ⎛ ⎞≤ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ C T C T t s t t m m mH T t m m T mH T d Tu X s ds T k u s ds Tu T k u M X s ds (2.77) Từ (2.73), (2.74), (2.76), (2.77), ta thu được 31 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0, 1 2 0, 1 0 0 0 0 1 2 4 4 4 4 4 4 4 4 2 22 2 1 00, 0 2 2 2 2 0 0 2 10, 2 22 2 00, 0 2 2 1 2 0 2 0, 1 1 1 2 4 12 0 0 0 0 2 1 0 2 0 16 0 2 0 0 0 2 1 μ μ μ μ ε με μ μ ε = + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ≤ + + + + + ∫ C T C T a b c m m m TH T m m T mC T t m T mH T m m C T J J J J Tu X t k u M h u T u M h Tu T k u M X s ds T u h u T h [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0, 0 0 2 2 22 2 00, 0 0 2 2 2 18 0 .εμ μ με μ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ + + ∫ C T m TH T t m m T T k u M X t X s ds (2.78) Từ (2.63), (2.67), (2.71), (2.72), (2.78), ta lại thu được ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0 0 4 1( ) 4 4 1 / 1 00, 0, 0 6 2 , 3 2 , i T m i t mL T L T J J N m X t h K X s ds ε μ μ ε μ∞ ∞ = = ≤ + + + + ∑ ∫ (2.79) trong đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ]( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 20, 0, 1 2 2/ / //1 1 2 1 0 1 2 0 / 2 0 0 1 10,0, 2 2 22 1 0, 0, 0, 2 0 0 2 0, 1, 2 0 0 2 0 0 0 0 0 6 4 0 2 2 1 2 0 1 22 8 10 .1 ε μ μ με ε μ μ με ε μ ∞∞ ∞ ⎡ ⎤⎣ ⎦ = + + + + ⎡ ⎤+ + + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎤ ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎥ ⎝ ⎠⎦ + + L T L T T m m m m mL TL T C T C T H T m TC T N m g u g g h u u h u T K TK T h u TT h T k u MT h (2.80) Từ giả thiết ( ) ( )3 5A A− và (2.12), (2.13), (2.80) ta có ( ) ( ) ( ) ( )1 21, 2T T N m Nε ε≤ với mọi m. (2.81) 32 ƒ Đánh giá số hạng 5.J ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2/ // / // 5 0 0 0 2/ 0 2 , . T t t t m m t mL Q J F s u s ds F s ds u s ds F X s ds = ≤ + ≤ + ∫ ∫ ∫ ∫ (2.82) Ta thu được từ (2.46), (2.50), (2.51), (2.58), (2.61), (2.79), (2.81) và (2.82) như sau ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0, 2 5 1 2/ 2 3 20, 0 00 2 1/ / 20, 0 00 / 1 00, 0, 0 2/ 0 3 2 2 0, 6 2 0 1 1 1 1 2 2 11 , 4 3 2 1 1 2 2 2 ε μ μ μ μ εμ εμ μ μ ε εμ εμ μ ε ε ∞ ∞ ∞ ∞ = ∞ = + ⎛ ⎞≤ + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞+ + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ + + + + + + ≤ + + ∑ ∫ ∫ ∫ ∫ T T m m i i t m T mL T t m T m TL T t m mL T L T t mL Q T T C L T X t X J C X s ds C M T X t X s ds M X t N m X t h K X s ds F X s ds N N ( ) ( ) ( )4 0 0 3 11 , 2 ε μ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ t m T mX t N X s ds (2.83) trong đó ( ) ( )3TN ε là hằng số chỉ phụ thuộc vào T, 0 1, , , , , ,F u u Kμ λ ε và ( )4TN là hằng số chỉ phụ thuộc vào T, 0 1, , , , ,F u u Kμ λ cụ thể như sau ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0, 2 23 2 3 2 0 2 2/ / 2 0 4 / / 0, 0, 0 0 / 1 00, 0, 0 2 0, 2 12 1 2 , 2 2 44 4 3 2 . ε μεμ μεμ μ μμ μ μμ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ + + = + + + + + T T T T T L Q T L T L T L T L T C L T N C C M T M F N h K (2.84) Chọn 0ε > sao cho 0 3 12 1 2 ε μ ⎛ ⎞+ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ . Từ (2.81), (2.83) ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 4 0 . t m T T T mX t N N N X s dsε ε≤ + + ∫ (2.85) Áp dụng bổ đề Gronwall, từ (2.85) ta thu được 33 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 4exp , 0 .m T T T TX t N N tN N t Tε ε⎡ ⎤≤ + ≤ ≤ ≤⎣ ⎦ (2.86) với ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4, , ,ε εT T T TN N N N là các hằng số không phụ thuộc vào m mà chỉ phụ thuộc vào T và 0 , , , , , , .λ μK K F g k Mặt khác, từ (2.11), (2.66), (2.70) ta suy ra rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0 00, 0, 0 2 2 0 0 00, 0, 12 0 00, 0, 2 2 2 0, 0, 2 0 2 0 2 0 . μ μ μ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ≤ + + ≤ + + + + ≤ + + + ≤ ∫tm m mL T L T m T m TL T L T m T TL T L T P t g K u t k u s ds g K u M T k u M g K T k u M D (2.87) Từ đó ( ) ( )1 0, .∞ ≤m TL TP D (2.88) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 / / / / 0 0 / / / 00, 0, 0 / 2 0 10, 2/ 2 00, 2 2 0, 0 0, 0, 0, 0 0, 0, 2 0 0 2 0 . μ μ ∞ ∞ ∞ ∞ = + − − − ≤ + + + ≤ + + + + + ≤ ∫ ∫ t m m m m t m m mL T L T m TL T m T TL T P t g t K u t k u t k t s u s ds g K u t k u t k u s ds g K u N k T k u M D (2.89) Từ đó ( ) ( )2/ 0, .∞ ≤m TL TP D (2.90) Do đó ta thu được từ (2.88), (2.90) rằng ( ) ( ) ( ){ } ( )1, 3/0, 0, 0,max , .m m m TW T L T L TP P P D∞ ∞ ∞= ≤ (2.91) Bước 3: Qua giới hạn Từ (2.17), (2.42), (2.47), (2.86) và (2.91), ta có thể chọn ra một dãy con của dãy ( ){ },m mu P , vẫn kí hiệu là ( ){ },m mu P , sao cho: mu u→ trong ( )10, ;L T H∞ yếu*, (2.92) 34 / / mu u→ trong ( )10, ;L T H∞ yếu*, (2.93) // // mu u→ trong ( )20, ;L T L∞ yếu*, (2.94) ( ) ( )0, 0,mu u→i i trong ( )1, 0,W T∞ yếu*, (2.95) ( ) ( )1, 1,mu u→i i trong ( )2 0,H T yếu, (2.96) → mP P trong ( )1, 0,W T∞ yếu*. (2.97) Theo bổ đề compact của Lions (bổ đề 1.9 ở chương 1), từ (2.92) – (2.97) ta suy ra tồn tại một dãy con ( ){ }, ,m mu P vẫn kí hiệu là ( ){ }, ,m mu P sao cho: mu u→ mạnh trong ( )2 TL Q và a.e. (x,t) trong ,TQ (2.98) / / mu u→ mạnh trong ( )2 TL Q và a.e. (x,t) trong ,TQ (2.99) ( ) ( )0, 0,mu u→i i mạnh trong [ ]( )0 0, ,C T (2.100) ( ) ( )1, 1,mu u→i i mạnh trong [ ]( )1 0, ,C T (2.101) mP P→  mạnh trong [ ]( )0 0, .C T (2.102) Từ (2.11), (2.100), suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0, 0, t mP t g t K u t k t s u s ds P t→ + − − =∫ (2.103) mạnh trong [ ]( )0 0, .C T Ta suy được từ (2.102) và (2.103) rằng P P≡  a.e. trong TQ . (2.104) Qua giới hạn (2.9) nhờ vào (2.92) – (2.94) và (2.103), ta có ( ),u P thỏa bài toán biến phân sau đây ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) // / 1 / 1 , , 1, 1 0 , , , , μ λ μ μ λ + + + + + = ∀ ∈ x xu v t u t v t u t v t P t v Ku t u t v F t v v H (2.105) và điều kiện đầu ( ) ( )/0 10 , 0 .= =u u u u (2.106) Mặt khác, từ giả thiết ( )2A , ( )3A và (2.105), ta thu được ( ) ( ) ( ) ( ) ( )// / 21 0, ; .λμ ∞⎡ ⎤= + + − ∈⎣ ⎦xxu u t Ku t u t F L T Lt (2.107) 35 Do đó ( )20, ; .∞∈u L T H Vậy sự tồn tại nghiệm u của bài toán (2.1) - (2.6) trong định lí 2.1 đã được chứng minh. Bây giờ ta tiếp tục chứng minh tính duy nhất của nghiệm. Bước 4: Tính duy nhất của nghiệm Giả sử bài toán (2.1), (2.6) có hai nghiệm ( ), , 1, 2i iu P i = thỏa (2.7). Ta đặt 1 2u u u= − và 1 2P P P= − . Lúc này ( ),u P thỏa bài toán ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) // / 1 / 1 / 0 0 , , 1, 1 0 , 0, , 0 0 0, 0, 0, , μ λ μ μ λ ⎧ + + +⎪⎪ + + = ∀ ∈⎪⎨ = =⎪⎪ = − −⎪⎩ ∫ x x t u t v t u t v t u t v t P t v Ku t u t v v H u u P t K u t k t s u s ds (2.108) và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 / 1 // 2 1, 2 1, 0, ; , 0, ; , 0, ; , 0, 0, , 1, 0, , 0, . ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ⎧ ∈ ∈ ∈⎪⎨ ∈ ∈ ∈⎪⎩ i i u L T H u L T H u L T L u W T u H T P W T (2.109) Lấy /v u= và thay ( )P t vào (2.108), ta có ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2/ / 1 2/ 2 0 2/ / 2 0 / 0 2 1, 2 0, 0, 2 0, 0, . m mx m m m m mx m t m m d d du t t u t t u t K u t dt dt dt du t K t u t dt t u t K t u t t u t k t s u s ds μ λ μ λ μ μ μ μ + + + + + = + + −∫ (2.110) Lấy tích phân theo biến thời gian từ 0 đến t đẳng thức (2.110), sau đó dùng tích phân từng phần, ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2/ / 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0, 2 0, 0, 2 0 0, 2 0, 0, , σ μ μ μ μ μ τ τ τ∂∂ = + + − − − ⎡ − ⎤⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ t t x t t t s s t s u s ds K s u s ds t u t k t s u s ds k s u s ds u s ds s k s u d (2.111) 36 trong đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22/ / 1 0 222 / 0 0 2 1, 0, 2 . t x t t u t t u t s u s ds K t u t K u t u s ds σ μ λ μ μ λ = + + + + + ∫ ∫ (2.112) Từ (2.112), ta chú ý rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 2 22 / / 0 0 0 2 22 0,1 2 2 2 0 1 , , 2 , .μ σ σ σ ⎛ ⎞= ≤ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ ≤ ≤ = + ≤ + ∫ ∫ ∫ ∫ t t t m m C H t xH u t u s ds t u s ds t s ds u x t u t u t u t u t u t t t s ds (2.113) Do đó, ta có các đánh giá sau ( ) ( ) ( ) ( ) 12 2/ / 0, 0 0 ,μ μ ∞≤∫ ∫t tx HL Ts u s ds u s ds (2.114) ( ) ( ) ( ) ( ) 12/ 2 /0 0 0, 0 0 0, 2 ,μ μ ∞≤∫ ∫t t HL TK s u s ds K u s ds (2.115) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 10, 2 1 10, 0, 0 0 2 22 2 0 0 2 22 2 0, 0 2 0, 0, 4 4 4 , μ μ ε με ε με ∞ ∞ ∞ − ≤ − ≤ + ≤ + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ L TH H L TH H t t L T H H t t t L T t u t k t s u s ds u t k t s u s ds u t k s ds u s ds u t k u s ds (2.116) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 122 0, 0 0 2 0 0, 4 0 . ,μ μ ∞− ≤∫ ∫t tL T Hk s u s ds k u s ds (2.117) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 2 0, 0, 0, 0, 0, 0, μ τ τ τ μ τ τ τ μ τ τ τ τ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎡ ⎤− −⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎡ ⎤≤ + −⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤≤ + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ t s t t s t t s s s s s u s ds s k s u d u s ds ds s k s u d u s ds ds s k s d u d 37 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 20, 0 ,0 , 0 , 1 1 10, 0 , 2 2 2 0 0 0 0 2 22 22 2/ / 0 0 22 2 0 2 2 2 4 2 4 . μ τ τ τ τ μ μ μ ∞∞ ∂ ∂ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎡ ⎤≤ + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎛ ⎞≤ + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞≤ +⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ L T L TL T L T C T H T t t s s H H t t H H t H s u s ds ds s k s d u d u s ds T k k u s ds T k u s ds (2.118) Từ (2.111), (2.113) - (2.118), ta thu được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 10, 1 2 20, 0,0, 0, 21 0, 2 2 2/ / 00, 0, 0 0 2 22 2 0, 0, 0 0 2 2 22 2/ / 0 2 2 2/ 0 0,0, 2 4 4 0 . 2 4 4 42 1 2 4 0 . L T H L T L TL T L T L T t t H H HL T L T t t L T L T H t H L TH L T L t u s ds K u s ds u t k u s ds k u s ds T k T k u s ds u t K k k σ μ μ ε μ με μ μ ε μ με μ ∞ ∞ ∞∞ ∞∞ ∞ ∞ ∞ ≤ + + + + ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎡≤ + + + +⎢⎣ + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) [ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 10, 0, 1 1 0 0 0 0 22 2 0, 0 2 2 0 0 0 0 2 0 1 1 1 1 4 . C T H T t T H t TH H t t s T t T T T k u s ds u t D u s ds t t s ds D s s d ds t T D T D s ds μ μ μ μ μ ε ε ε σ σ ε σ σ τ τ ε σ ε ε ε σ ⎤+ ⎥⎦ ≤ + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≤ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞≤ + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫     (2.119) Chọn 0ε > sao cho 0 1 . 2 ε μ ≤ Từ (2.119) ta được ( ) ( ) ( ) ( )2 0 0 12 .σ ε ε ε σμ ⎛ ⎞≤ + +⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫  t T Tt T D T D s ds (2.120) Áp dụng bổ đề Gronwall, ta thu được từ (2.120) rằng ( ) 0,σ ≡t nghĩa là 1 2 .=u u Vậy định lí 2.1 đã được chứng minh xong. 38 Chương 3: SỰ ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM Trong chương này, chúng tôi giả sử các hàm ( ), , ,F g kμ thỏa các giả thiết ( ) ( )2 4A A− và các hằng số ( )0 1, , ,K K λ λ thỏa giả thiết ( )5 .A Theo định lí 2.1, bài toán ( ) ( )2.1 2.6− có duy nhất nghiệm yếu ( ),u P phụ thuộc vào ( )0 1, , , , , , ,F g k K Kμ λ λ : ( ) ( )0 1 0 1, , , , , , , , , , , , , , , ,u u F g k K K P P F g k K Kμ λ λ μ λ λ= = (3.1) trong đó 0 1,u u là các hàm cố định thỏa 2 1 0 1, .∈ ∈u H u H Đặt [ ] ( ) ( ){0 0 1 0 1, , , , , , , : , , , , , , ,F g k K K F g k K Kμ μ λ λ μ λ λℑ = thỏa các giả thiết ( ) ( )}2 4 ,−A A trong đó 0 0μ > là một hằng số dương cố định. Khi đó ta thu được định lí sau. Định lí 3.1. Giả sử ( )1A thỏa, khi đó với mỗi 0T > , nghiệm của bài toán (2.1) – (2.6) là ổn định đối với ( ) [ ]0 1 0, , , , , , ,F g k K Kμ λ λ μ∈ℑ theo nghĩa: Nếu ( )0 1, , , , , , ,F g k K Kμ λ λ , ( ) [ ]0 1 0, , , , , , ,j j j j j j j jF g k K Kμ λ λ μ∈ℑ sao cho ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 / / 0. 0, 0, 0 0 1 1 0, 0, 0, T T j jL Q L Q j j jC T H T H T j j j j F F F F g g k k K K K K μ μ λ λ λ λ ⎧ − + − →⎪⎪ − + − + − →⎨⎪⎪ − + − + − + − →⎩ (3.2) khi j → +∞ , thì ( ) ( )( ) ( ) ( )( )/ /, , 0, , 1, , , , 0, , 1, ,j j j j ju u u t u t P u u u t u t P→ (3.3) trong ( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( )1 2 0 1 00, ; 0, ; 0, 0, 0,L T H L T L C T H T C T∞ ∞× × × × mạnh khi j → +∞ , trong đó ( )0 1, , , , , , , ,j j j j j j j j ju u F g k K Kμ λ λ= ( )0 1, , , , , , ,j j j j j j j j jP P F g k K Kμ λ λ= . 39 Chứng minh: Trước hết, ta chú ý rằng, nếu ( ) [ ]0 1 0, , , , , , ,F g k K Kμ λ λ μ∈ℑ thỏa ( ) ( ) [ ]( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 / * * * * 0. 0, 0, * * * * 0 0 1 1 , , , , 0 , 0 , 0 , 0 , μ μ λ λ λ λ ⎧ + ≤⎪⎪ ≤ ≤ ≤⎨⎪ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ < ≤⎪⎩ T TL Q L Q C T H T H T F F F g g k k K K K K (3.4) trong đó * * * * * * * *0 1, , , , , , ,F g k K Kμ λ λ là các hằng số dương cố định, thì các đánh giá tiên nghiệm của các dãy xấp xỉ Galerkin { }mu và { }mP như trong định lí 2.1 thỏa ( ) ( ) ( ) [ ]2 22/ / 0 1, , 0, ,+ + ≤ ∀ ∈∫tm mx m Tu t u t u s ds C t T (3.5) ( ) ( ) ( ) [ ]22 2// / // 0 1, , 0, ,+ + ≤ ∀ ∈∫mx t m m Tu t u t u s ds C t T (3.6) ( ) [ ]1, 0, , 0, ,∞ ≤ ∀ ∈m TW TP C t T (3.7) trong đó TC là một hằng số chỉ phụ thuộc vào các hằng số * * 0 1 0, , , , , ,μ μT u u F * * * * * * 0 1, , , , ,λ λg k K K (độc lập với 0 1, , , , , , ,F g k K Kμ λ λ ). Do đó giới hạn ( ),u P trong các không gian hàm thích hợp của dãy ( ){ },m mu P xác định bởi (2.8) – (2.13) là một nghiệm yếu của bài toán (2.1) – (2.6) thỏa các đánh giá tiên nghiệm (3.5) – (3.7). Bây giờ ta sẽ chứng minh định lí 3.1 dựa vào nhận xét trên. Do (3.2) nên ta có thể giả sử tồn tại các hằng số dương * * * * * * * *0 1, , , , , , ,F g k K Kμ λ λ sao cho các dữ kiện ( ) [ ]0 1 0, , , , , , ,j j j j j j j jF g k K Kμ λ λ μ∈ℑ thỏa (3.4) với ( ) ( )0 1 0 1, , , , , , , , , , , , , , .μ λ λ μ λ λ= j j j j j j j jF g k K K F g k K K Nhờ nhận xét trên, ta suy ra các nghiệm ( ),j ju P của bài toán (2.1)–(2.6) tương ứng với ( ) ( )0 1 0 1, , , , , , , , , , , , , ,j j j j j j j jF g k K K F g k K Kμ λ λ μ λ λ= thỏa ( ) ( ) ( ) [ ]2 22/ / 0 1, , 0, ,+ + ≤ ∀ ∈∫tj jx j Tu t u t u s ds C t T (3.8) 40 ( ) ( ) ( ) [ ]22 2// / // 0 1, , 0, , jx t j j Tu t u t u s ds C t T+ + ≤ ∀ ∈∫ (3.9) ( ) [ ]1, 0, , 0, ,∞ ≤ ∀ ∈j TW TP C t T (3.10) trong đó TC là một hằng số chỉ phụ thuộc vào các hằng số * * 0 1 0, , , , ,T u u Fμ μ , * * * * * * 0 1, , , , ,g k K K λ λ (độc lập với j). Ta đặt 0 0 0 1 1 1 , , , , , , , . j j j j j j j j j j j j j j j F F F g g g k k K K K K K K μ μ μ λ λ λ λ λ λ ⎧ = − = − = − =⎪⎨ = − = − = − = −⎪⎩       (3.11) Khi đó ( ),j j j jv u u Q P P= − = − thỏa bài toán sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) // / / 1 / 0 0 ˆ( ) , , 0 1, 0 , 0, , ˆ1, 1, , ,0 ,0 0, ˆ 0, 0, , μ λ λ ⎧⎪ − + + = < < < <⎪⎪ =⎪⎪ + =⎨⎪ = =⎪⎪⎪ = − = + − −⎪⎩ ∫ j jxx j j j jx j jx j j j j t j j j j j v t v Kv v F x t x t T v t Q t v t v t H t v x v x Q t P t P t g t K v t k t s v s ds (3.12) trong đó ( ) ( ) ( ) /ˆ , , ,j j j jxx j j j jF x t F x t t u K u uμ λ= + − −   (3.13) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 ˆ 0, 0, ,= + − −∫  tj j j j j jg t g t K u t k t s u s ds (3.14) ( ) ( )/1ˆ 1, .j j jH t u tλ= −  (3.15) Nhân tích vô hướng phương trình đầu trong (3.12) với ( )/2 jv t ta thu được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) // / / / / / 1 / / / 2 , 2 , ˆ2 1, 1, 2 0, ˆ2 , 2 , . μ μ λ μ λ + + − + + + = j j jx jx j j j j j j j j j j v t v t t v t v t t v t H t v t t Q t v t Kv t v t v t F t v t (3.16) Thay ( )jQ t vào (3.16), ta viết lại (3.16) như sau 41 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22/ / / 1 22 / 2 / 0 / / 0 ˆ2 1, 2 1, ˆ2 0, 2 0, ˆ2 0, 0, 2 , . j jx j j j j j j j j t j j j j d dv t t v t t v t t H t v t dt dt d dK v t v t K t v t t g t v t dt dt t v t k t s v s ds F t v t μ λ μ μ λ μ μ μ + + − + + + + − − =∫ (3.17) Lấy tích phân theo biến thời gian từ 0 đến t, dùng tích phân từng phần, ta được ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2/ / 2 0 0 0 / / 0 0 / / 0 0 0 7 1 ˆ0, 2 0, ˆˆ2 0, 2 1, ˆ2 0, 0, 2 , , μ μ μ μ μ μ τ τ τ = = + − ⎡ ⎤+ +⎣ ⎦ + − + ≡ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∑ t t j jx j j j t t j j j j t s t j j j j i i Z t s v s ds K s v s ds t g t v t s g s v s ds s H s v s ds s v s ds k s v d F s v s ds E (3.18) trong đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22/ / 1 0 222 / 0 0 2 1, 0, 2 . t j j jx j t j j j Z t v t t v t s v s ds K t v t K v t v s ds μ λ μ μ λ = + + + + + ∫ ∫ (3