Luận văn Quá trình tán xạ siêu hạt

ng tử hóa. Với nhóm chuẩn non-Abel, siêu trường vectơ V sẽ không được chọn là siêu trường chuẩn. Thay vào đó, ta sẽ chọn là expV . Nếu khai triển hàm mũ, ta chỉ có đến số hạng thứ ba là khác không: 21exp 1 2 V V V   (1.28) 1.3. Lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng 1.3.1. Lý thuyết trường chuẩn Abel 18 Giả sử ta có một siêu trường tay chiêu  mô tả chất. Xét phép biến đổi chuẩn  1U tác động lên  : , i ie e              (1.26a) trong đó  là một siêu trường vô hướng không thứ nguyên. Để bảo toàn tính tay chiêu của  , siêu trường  phải thỏa mãn điều kiện: 0D D     (1.26b) nghĩa là  cũng phải là siêu trường tay chiêu và  phải là một siêu trường tay đăm. Tuy nhiên, dạng Kähler lại không bất biến chuẩn:  i e        (1.27a) bởi vì  không phải là siêu trường thực (vectơ). Để khôi phục tính bất biến chuẩn cho dạng Kähler, ta đưa vào siêu trường vectơ V , với quy tắc biến đổi (1.23):  V V V i       (1.27b) và thay cho dạng Kähler ban đầu ta dùng: VK e   (1.28) Có thể thấy rằng, dạng Kähler (1.28) là bất biến chuẩn. Các siêu trường spinơ W , W cũng bất biến chuẩn. Thực vậy:     1 1 4 4 4 4 W DDD V DDD V i i i W DDD W DDD                             (1.29a) Mặt khác, có thể kiểm tra trực tiếp: 19  , 2D D i       (1.29b) Và do  là siêu trường tay chiêu, số hạng cuối của (1,29a) sẽ bằng không:  , 2 0 DDD D D D D D D D D D D D i                                                 (1.29c) Và như vậy, W W W W       là bất biến chuẩn. Với các kết quả trên, ta sẽ chọn Lagrangian cho lý thuyết trường chuẩn  1U siêu đối xứng như sau:  1| 4 Ve W W W W          L (1.30) Ta có thể xét nhiều siêu trường tay chiêu cho chất l với quy tắc biến đổi: . ' , ' 0, 0 l lig ig l l l le e D D                 (1.31) Khi đó, Lagrangian của lý thuyết chuẩn siêu đối xứng sẽ là (1.30) cộng thêm số hạng siêu thế:  1| 4 1 1 . 2 3 V l l ik i k ikl i k l e W W W W m g h c                             L (1.32) Trong đó, để siêu thế là bất biến  1U , ta phải yêu cầu 0ikm  hoặc 0iklg  bất cứ khi nào i kg g hoặc i k lg g g  khác không. Để làm sáng tỏ nội dung hạt của Lagrangian (1.32), ta có thể khai triển dạng Kähler của (1.28) trong chuẩn Wess- Zumino: 20     * * * * * 2 1 2 2 1 1 2 22 Ve A A i FF i gV A A A A i g A A gD g V V                                       (1.33) Số hạng thuộc dòng thứ nhất vế trái là động năng trường chất vô hướng A và trường spinơ siêu đồng hành  . Số hạng thuộc dòng thứ hai là tương tác chuẩn (dòng x thế) của hai trường nói trên. Số hạng thuộc dòng thứ ba là Lagrangian tương tác bậc cao giữa trường chất (kể cả siêu đồng hành) với trường chuẩn vectơ và siêu đồng hành spinơ của nó. 1.3.2. Lý thuyết trường chuẩn non-Abel Ta có thể tổng quát hóa kết quả trên cho nhóm chuẩn non-Abel. Khi đó, trường chất sẽ biến đổi theo quy luật: ' ' i i e e            (1.34) trong đó, pha là siêu trường xác định trong biểu diễn phó của nhóm chuẩn: ij ij a agT   (1.35a) với aT là vi tử sinh của biểu diễn phó, thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa và điều kiện giao hoán như sau:   , 0 , a b ab a b abc c Sp T T k k T T it T      (1.35b) Để Lagrangian (1.30) bất biến dưới phép biến đổi chuẩn non-Abel (1.34), ta sử yêu cầu siêu trường chuẩn biến đổi theo quy luật: 21 'V i V ie e e e    (1.36) trong đó, a aV T V . Khi đó, tensơ cường độ trường chuẩn sẽ được định nghĩa bằng: 1 W 4 V VDDe D e     (1.37a) Khác với trường hợp của nhóm chuẩn Abel, tensơ cường độ không bất biến chuẩn mà biến đổi theo quy luật: W W Wi ie e       (1.37b) Tuy nhiên, nếu lấy vết của tích tensơ cường độ trường, ta vẫn được biểu thức bất biến chuẩn để đóng vai trò Lagrangian của lý thuyết siêu chuẩn đơn giản nhất sẽ là: . . 2 1 W W W 16 VSp W e kg              L (1.38) Nếu thay 2V gV , và nếu vẫn dùng chuẩn Wess-Zumino, Lagrangian (1.38) sẽ có biểu thức khai triển:   1 4 1 2 2 a a a a a a a a a a a a F F i D D A D A i D D D F F i g A T T A aD A T A                               L (1.39) Trong đó, các đạo hàm hiệp biến cho từng trường và tensơ cường độ trường sẽ được định nghĩa như thường lệ: 22 a a a a a a abc b c a a a abc b c D A A igV T A D igV T D gt V F V V gt V V                                    (1.40) Lagrangian siêu đối xứng (1.39) chứa động năng của trường chuẩn V , trường spinơ siêu đồng hành  , trường chất vô hướng A , trường siêu đồng hành  , các thế của trường phụ trợ , aD F và Lagrangian tương tác. 1.3.3. Vi phạm siêu đối xứng Để lý thuyết trường chuẩn siêu đối xứng diễn tả thế giới tự nhiên một cách thực tế, cả đối xứng chuẩn lẫn siêu đối xứng đều phải bị vi phạm. Sự vi phạm có thể là tự phát, là vi phạm mềm hoặc cả hai. Trong SM, sự vi phạm tự phát được diễn tả thông qua một lưỡng tuyến trường Higgs. Trong MSSM, ta cần phải có hai lưỡng tuyến trường Higgs. Trong tám bậc tự do Higgs, ba đã bị trường chuẩn Yang-Mills “ăn thịt”, năm thành phần còn lại sẽ tạo thành năm hạt Higgs, hai hạt tích điện, một hạt vô hướng thực sự và hai hạt giả vô hướng. Sau đó, chúng lại pha trộn với hạt gauge tích điện và trung hòa, tạo thành các hạt chargino (tích tử) và neutralino (trung tử). Sự vi phạm tự phát trong SM khác với trong MSSM [7]. Từ hệ thức phản giao hoán của vi tử sinh lẻ (hệ thức thứ 4 của (1.1a) suy ra Hamiltonian:  1 1 1 1 2 2 2 2 1 4 Q Q Q Q Q Q Q Q   H (1.41) Ta thấy ngay rằng, Hamiltonian xác định dương, nghĩa là với mọi trạng thái vật lý  , ta đều có 0  H . Như vậy, trạng thái cơ bản với năng lượng bằng không sẽ 23 không bị vi phạm siêu đối xứng, 0 0 0Q Q  . Để có sự vi phạm tự phát, trạng thái cơ bản phải có năng lượng khác không. Với nhóm chuẩn      3 2 1G SU SU U   , ta sẽ có các trường nguyên thủy sau đây cho MSSM [8]: 1. Ba siêu đa tuyến trường chuẩn: WW , , 1,2,3 i i i   cho tương tác yếu , BB  cho tương tác điện từ G , , 1,2,...,8a aG a   cho tương tác mạnh 2. Siêu đa tuyến tay chiêu cho trường chất: Vì nội dung hạt ở ba thế hệ là giống nhau, cho nên, ta chỉ nêu cho một thế hệ: Le         , Le           ,   c Le  , Re  cho lepton và slepton (electron) L u d       , L u d         ,    , c c L Lu d , * *, R Ru d  cho quark và squark (quark up và down) Siêu tích yếu của các trường chất được suy ra từ hệ thức Gell-Mann và Nishijima. 3. Trường Higgs sẽ bao gồm hai lưỡng tuyến: 1 2 1 11 2 1 2 2 2 , H H H H H H                 , 1 2 1 11 2 1 2 2 2 , H H H H H H                       cho Higgs và Higgsino Siêu tích của lưỡng tuyến thứ nhất bằng 1 , của lưỡng tuyến thứ hai bằng 1 . Như vậy, 12H có điện tích 1 , 2 1H có điện tích 1 hai thành phần còn lại trung hòa điện. Tương tự như vậy cho Higgsino. Siêu thế bất biến chuẩn tổng quát nhất giữ nguyên được các kết quả của SM là:  1 2 1 1 2W IJ I J IJ I J IJ I Jij i j ij i j ij i j ij i jh H H l H L R d H Q D u H Q U       (1.42) 24 trong đó, , , , L Q U D được hiểu là lưỡng tuyến lepton, quark va đơn tuyên quark kiểu up ( , , u c t ) và quark kiểu down ( , , d s b ) và I , J là chỉ só thế hệ. Còn một số biểu thức bất biến gauge nhưng vi phạm các định luật bảo toàn số lepton, số baryon cho nên không thể chấp nhận được (chúng sẽ bị loại trừ nhở quy tắc bất biến R  chẵn lẻ). Những số hạng vi phạm mềm được tách thành nhiều loại: a) Số hạng khối lượng cho trường vô hướng           1 2 2 1* 1 2 2* 2 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * IJ I J H i i H i i L i i IJIJ I J I J R i i Q i i IJ IJI J I J D U m H H m H H m L L m R R m Q Q m D D m U U              (1.43) trong đó, tổng được lấy cho chỉ số thể hệ ,I J . b) Số hạng khối lượng của gaugino:      1 2 1. . .a a i iG G G G B Bm h c m h c m h c          (1.44) c) Số hạng kiểu Yukawa:  1 2 1 1 2 .IJ I J IJ I J IJ I JS ij i j ij S i j ij S i j ij S i jh H H l H L R d H Q D u H Q U h c       (1.45) 1.3.4. Trường vật lý của MSSM Từ biểu thức siêu thế (1.42) và các số hạng vi phạm mềm (1.43)-(1.45), bằng cách chéo hóa các ma trận khối lượng , , IJ IJ IJl u d , chọn giá trị trung bình chân không của trường Higgs dưới dạng: 11 2 2 01 1 , 02 2 H H                (1.46) và chọn chuẩn ’t Hooft-Feynman, ta sẽ thu được các trường vật lý. Chúng gồm: 25 Trường gauge: Trường gluon aG và trường photon A vẫn không có khối lượng, trong khi trường Yang - Mills trở thành W  và 0Z với khối lượng là: 2 2 2 2 1 2 W 1 2, 2sin cos 2sin Z e e m m           (1.47) trong đó,  được gọi là góc Weinberg, còn tham số e liên quan đến hệ số liên kết yếu 2g và điện từ 1g : 2 1sin cose g g   . Trường Higgs tích điện: Sẽ có bốn hạt Higgs tích điện tương ứng với bốn bậc tự do tích điện trong hai đa tuyến Higgs. Hai trong số đó có khối lượng 1 21 22 2 2 2 W 2H HHM m m m h     (1.48) và hai còn lại vẫn không có khối lượng. Trong gauge unitary, hai hạt vô hướng không khối lượng (hạt Goldstone) sẽ bị trường Yang - Mills “ăn thịt” và không xuất hiện trong Lagrangean. Trong gauge ’t Hooft-Feynman, Lagrangean vẫn còn chứa trường Goldstone. Các trường nói trên liên quan đến trường Higgs nguyên thủy bằng hệ thức: 1* 2 1 2 12 2 1 22 1 21 2 ,H H H H Z Z H H                               (1.48) Trường Higgs trung hòa: Nếu các tham số của lý thuyết là thực, ta sẽ có hai hạt Higgs trung hòa vô hướng 01,2H và hai giả vô hướng 0 3,4H . Nếu, chẳng hạn, h là phức, tính có CP chẵn lẻ xác định sẽ không còn nữa. Nói chung, tham số phức sẽ dẫn đến nguồn gây nên vi phạm đối xứng CP. Các hạt Higgs trung hòa được diễn tả thông qua trường nguyên thủy iiH nhờ ma trận chéo khối lượng, chứa tham số Sh ,  và 1,2 . Khối lượng của chúng cũng được xác định nhờ những tham số này. Trường tích tử (chargino): Hai spinơ hai thành phần siêu đồng hành của trường gauge tương tác yếu 1,2W và hai spinơ hai thành phần siêu đồng hành của trường 26 Higgs tích điện 1 22 1, H H  sẽ pha trộn để tạo thành hai spinơ Dirac bốn thành phần 1 2,   gọi là hai hạt tích tử, hay chargino. Trường trung tử (neutralino): Bốn spinơ hai thành phần 3 1 2W 1 2, , , B H H    sẽ pha trộn để tạo nên bốn spinơ Majorana 0 , 1,2,3,4i i  gọi là trung tử , hay neutralino. Trong chương 3, ta dùng đến hàm sóng của tích tử và trung tử cho nên ở đó ta sẽ trình bày biểu thức cụ thể của chúng. Các trường vật lý khác, như quark, lepton, trường slepton cũng sẽ được trình bày trong chương 3. 27 CHƯƠNG 2 MA TRẬN VÀ TIẾT DIỆN TÁN XẠ 2.1. Ma trận tán xạ và tiết diện tán xạ trong cơ học lượng tử. 2.1.1. Khái niệm ma trận tán xạ S. Ma trận tán xạ đã được trình bày trong [9]-[10]. Giả sử  H t là Hamiltonian tương tác và ( )t là vectơ trạng thái tại thời điểm t. Khi đó, phương trình chuyển động trong biểu diễn tương tác sẽ là: ( ) ( ) ( ) t i H t t t     (2.1) Cho 0( )t là vectơ trạng thái tại thời điểm ban đầu 0t ta cần xác định vectơ trạng thái ( )t tại các thời điểm t  0 t . Do phương trình (2.1) là phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất, nên nghiệm của nó có thể viết dưới dạng: 0 0( ) ( , ) ( )t S t t t   (2.2) trong đó, 0( , )S t t là toán tử tuyến tính. Thay (2.2) vào (2.1), lấy tích phân hai vế ta được: 0 0 1 1 1 0( , ) 1 ( ) ( , ) t t S t t i dt H t S t t   (2.3) Sử dụng phương pháp xấp xỉ liên tiếp để giải (2.3) ta tìm được dạng của toán tử tuyến tính 0( , )S t t ở dạng gần đúng như sau: 28 0 0( , ) ( , ) n n o S t t S t t     (2.4) trong đó: 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 2 2 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 ( , ) 1 ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ....... ( , ) ( ) ..... ( ) ( )... ( ) n t t t t t t t t t n n n n t t t S t t S t t i dt H t S t t i dt dt H t H t S t t i dt dt dt H t H t H t               (2.5) Nhận xét rằng, 0( , )S t t là toán tử Unita: 0 0( , ) ( , ) 1S t t S t t   (2.6) Công thức của 0( , )S t t ở dạng tổng quát (2.4) chứa các số hạng tích phân có cận dưới là 0t nhưng các cận trên lại khác nhau, để thuận tiện trong tính toán, ta đưa biểu thức tổng quát của 0( , )S t t về dạng sau: 0 0 0 1 1 0 1 2 1 2 ( ) ( , ) ..... [ ( ) ( )... ( )] ! n n t t t n n n t t t i S t t dt dt dt P H t H t H t n       (2.7) Trong đó: 1 2 1 2[ ( ) ( )... ( )]= ( ) ( )... ( )i i in i i inP H t H t H t H t H t H t (2.8) 29 Với 1 2 2...i i it t t   . Khi xét bài toán tán xạ, ta coi hệ ban đầu là hoàn toàn tự do (các hạt không tương tác với nhau). Sau tương tác, các hạt tồn tại ở trạng thái hoàn toàn tự do, nhưng chuyển động tự do của hạt sau tương tác khác với chuyển động tự do của hạt trước tương tác do có sự va chạm giữa hạt và bia. Khi đó, ta coi 0 ,t t  và biểu thức của 0( , ) nS t t được viết như sau: 1 2 1 2 ( ) ( , ) ..... [ ( ) ( )... ( )] ! n n n n o i S dt dt dt P H t H t H t n                (2.9) Viết dưới dạng hàm mũ:  ( , ) exp ( )S S P i dtH t        (2.10) Ma trận S được gọi là ma trận tán xạ. 2.1.2. Ý nghĩa vật lí của ma trận tán xạ S Theo (2.2) ta có 0 0( ) ( , ) ( )t S t t t  , nghĩa là vectơ trạng thái của hệ ở thời điểm t là ( )t có thể thu được nhờ tác dụng của toán tử 0( , )S t t lên vectơ trạng thái của hệ ở thời điểm ban đầu 0t là 0( )t . Ta coi ban đầu hệ ở thời điểm 0t  , khi đó các hạt hoàn toàn tự do và vectơ trạng thái của hệ 0( ) ( ) it     . Sau quá trình tán xạ, tại thời điểm cuối t   , hệ ở trạng thái mới ( ) ( )t   liên hệ với trạng thái đầu bằng hệ thức: ( ) ( ) iS S       (2.11) 30 Sau khi tương tác, các hạt ở xa nhau vô cùng (không tương tác với nhau), và ta cũng có thể coi ( )  như là vectơ trạng thái của hệ mới các hạt tự do. Vectơ trạng thái ( )  của hệ được khai triển theo bộ đầy đủ các vectơ trạng thái của hệ n như sau: ( ) n n n C    (2.12) với ( )n n n iC S       (2.13) Tại thời điểm t   , xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái n được tính theo công thức: 22 Wn n n i n iC S S       (2.14) Nếu tại thời điểm ban đầu hệ ở trạng thái i thì xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái cuối f là: 22 W |i f f f iC S     (2.15) Để tìm Wi f ta cần tính yếu tố ma trận : | |i f f iS S    (2.16) Như vậy ma trận tán xạ 0 0 0 ( , ) ( , )n n S t t S t t    có yếu tố ma trận là: 0 0 0 1 1 4 4 0 1 2 1 2 2 ( ) 1 ( ) ( , ) .... | [H(t )H(t )...H(t )]| ! n fi f i fi t tn t n n i f n f n i t t t S P P M p A i S S t t dt dt dt P n                (2.17) Khi không có tương tác: 31 0 f i f iS  (2.18) Khi có tương tác, yếu tố ma trận n S được viết dưới dạng sau: iRn fi fiS   (2.19) Trong đó ma trận: 4 42 ( )fi f i fiS P P M   (2.20) 2.1..3. Khái niệm tiết diện tán xạ. Giả sử có một hạt bia ở trong một miền không gian A và một hạt đạn đi qua miền không gian này. Xác suất tán xạ P được định nghĩa như sau: 1 P A  (2.21) Trong đó  là xác suất tìm tán xạ trong một đơn vị thể tích và được gọi là tiết diện tán xạ toàn phần của quá trình tán xạ. Xác suất tán xạ P và miền không gian A đều không phụ thuộc vào hệ quy chiếu là khối tâm hay phòng thí nghiệm. Do vậy, tiết diện tán xạ  không phụ thuộc vào hệ quy chiếu ta chọn. Trong nhiều trường hợp, ta chỉ quan tâm tới sự tán xạ trong một góc khối. Ta có khái niệm: Tiết diện tán xạ riêng phần, hay tiết diện tán xạ vi phân d d   . Do góc khối d phụ thuộc vào hệ quy chiếu cho nên tiết diện tán xạ vi phân d d   phụ thuộc vào hệ quy chiếu. 2.1.4.Các biến Mandelstam. Các biến Mandelstam được định nghĩa như sau: 32 2 2 1 2 3 4 2 2 1 3 4 2 2 2 1 4 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s p p p p t p p p p u p p p p                (2.22) Ở đây 1 2 ,p p là xung lượng 4 chiều của các hạt đi vào và 3 4 ,p p là xung lượng 4 chiều của các hạt đi ra. Hình 1.1 1 2 3 4 p p p p   kênh s 1 3 2 4 p p p p   kênh t 1 4 2 3 p p p p   kênh u Các kênh này miêu tả giản đồ Feynman khác nhau hoặc quá trình tán xạ khác nhau. Ta có:   2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 2 . 2 . 2 .s p p p p p p p p p p       (2.23) Tương tự: 1 3 2 4 2 . 2 .t p p p p    (2.24) 33 1 4 2 3 2 . 2 .u p p p p    (2.25) Và có: 2 2; i i p m (2.26) 1 2 3 4 1 2 3 4 p p p p p p p p        (2.27) Ta sẽ chứng minh biểu thức sau đây đối với các biến s,t,u: 2 2 2 2 1 2 3 4s t u m m m m      (2.28) Thật vậy, ta có:   2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 . 2 .s p p p p p p m m p p        (2.29)   2 2 2 2 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 . 2 .t p p p p p p m m p p        (2.30)   2 2 2 2 2 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 2 . 2 .u p p p p p p m m p p        (2.31) Cộng vế với vế các biểu thức (2.29),(2.30),(2.31) ta được:  2 2 2 21 2 3 4 1 2 1 3 1 43 2 . . .s t u m m m m p p p p p p          2 2 2 2 21 2 3 4 1 1 2 1 3 1 42 . . .m m m m m p p p p p p         2 2 2 2 21 2 3 4 1 1 2 3 42 ( )m m m m m p p p p         2 2 2 2 2 21 2 3 4 1 12m m m m m p       2 2 2 2 21 2 3 4 1 1 12 ( )m m m m m p p       2 2 2 2 1 2 3 4m m m m    (điều phải chứng minh) 34 Trong trường hợp tán xạ hai vật, A+B -> C+D, các biến Mandelstam được đưa vào có dạng như sau: 2 2 2 ( ) ( ) ( ) A B A C A D s p p t p p u p p          (2.32) Ở đây p là các vectơ momen năng xung lương 4 chiều và bình phương là một bất biến Lorentz.Ví dụ: 2p g p p   (2.33) 2.1.5.Biểu thức tiết diện tán xạ vi phân. Xét quá trình tán xạ 2 hạt 1+2 -> 3+4 xảy ra do tương tác, yếu tố ma trận được xác định bằng công thức:  4exp ( ) ,intS T L x d x  (2.34) Trong đó T là T- tích; int ( )L x là Lagrangian tương tác. Như vậy, để nghiên cứu bài toán tán xạ phải tính yếu tố ma trận i f S f S i   .Hằng số tương tác ở đây giả thiết là nhỏ và việc tính toán quá trình vật lý này ta tiến hành theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến.  42fi f i fif S j P P M     (2.35) Trong đó , i f P P là tổng năng xung lượng ở trạng thái đầu và trạng thái cuối. fi M là biên độ tán xạ hai hạt 2->2. Tiết diện tán xạ vi phân của quá trình này được xác định bằng công thức: 35   ' ' 2 2 2 2 2 0 0 1 1 ( ) 2 a b fi fi f i a b a b a b dp dp d M p p p pp p m m        (2.36) * Tiết diện tán xạ vi phân trong hệ khối tâm: Tại góc cố định  ,  , kết quả tích phân theo không gian pha của hai hạt sau phép lấy tích phân đối với toàn 4p và toàn 3E là:   3 3 4 4 3 4 3 4 3 4 1 2 6 3 4 2 33 3 4 3 4 1 ( , ) (2 ) ( ) (2 ) 2 2 16 f d d d p d p d p p p p p p E E d pd p E E d E E                    (2.37) Do đó: 2 3 3 2 3 4 3 464 ( ) p d pMd d F E E d E E        (2.38) Với 22 2 3 33E p m   (2.39) 2 2 2 22 2 2 4 4 43 1 2 3( )E p E p p p m          (2.40) Đối với các hạt không có spin, sự phụ thuộc của ma trận M vào xung lượng chỉ thông qua bất biến Lorentz bởi các biến s,t và u : 2 2 2 2 1 2 3 4s t u m m m m      (2.41) 36 Ta có: 2 22 2 3 4 3 4 3 4 3 4 3 3 ( ) d m p d m p d E E E E E E d p d p d p                    3 4 1 2( ) ( )p E E p E E       (2.42) Mặt khác 1 2( )F p E E   (2.43) 2 1 2( )s E E  (2.44) Khi đó biểu thức tiết diện tán xạ vi phân trong hệ khối tâm được viết lại như sau: 2 2 1 64cm pd M d s p           (2.45) Chú ý rằng : 2 2 2 1 2 1 ( , , ) 4 p s m m  (2.46) 2 2 2 3 4 1 ( , , ) 4 p s m m s    (2.47) Với 37 2( , , ) ( ) 4a b c a b c abc     2 2( ) ( )a b c a b c           (2.48) * Tiết diện tán xạ vi phân thông qua các biến Mandelstam s và t: 2 2 2 1 3 1 3 1 3( ) 2t p p m m p p     2 2 1 3 1 3 1 3 2 2 1 3 1 3 1 2 2 os 2 2 os m m E E p p C m m E E p p C               (2.49) Ta suy ra 2 osdt p p C    (2.50) Ta có góc khối: 2 ,0d dcos dt p p             (2.51) 2 2 64cm Md dt s p          (2.52) Khi lấy tổng theo spin của các hạt ở trạng thái cuối, và lấy trung bình theo spin của các hạt ở trạng thái đầu, ta thay: 3 4 1 2 3 4 22 2 , ,1 2 1 (2 1)(2 1)s s s s s s M M M s s       (2.53) Có thể biết lại (2.52) dưới dạng sau: 38 2 2 2 1 216 ( , , )cm Md d s m m         (2.54) * Tiết diện tán xạ vi phân trong hệ phòng thí nghiệm: Trong hệ phòng thí nghiệm, một hạt đứng yên, các biến động lực được xác định bởi: 1 1 2 2 3 3 4 4 4 ( , ); ( ,0); ( , ); ( , ) p E p p m p E p p E p     (2.55) Ta dễ dàng thu được các hệ thức sau: 4 1 2 3E E m E   2 2 2 2 4 ( ) 2 os( )labp p p p p p p c        3 4 3 4 1 2 3 ( ) ( ) os( )lab d E E E E p E E p E c d p       (2.56) Thay (2.56) vào (2.38) ta thu được: 2 2 2 1 2 3 1 64 ( ) os( )lab lab M pd pd m p E m E c p            (2.57) Trong trường hợp: 1 3 2 4 ;m m m m  39 1 2 2 2 2 3 12 2 2 2 2 2 1 ( ) 64 2lab M pd q m E m d m p m p                  (2.58) Trong điều kiện tĩnh  4 0p  , ta có 1 3';p p E E  và  1 2 3 2 1os 1 os ' lab lab p E m E c m E c p       (2.59) Biểu thức tán xạ vi phân có thể lấy xấp xỉ:    2 2 2 2 1 2 1 64 1 / 1 oslab lab Md d m E m c            (2.60) Trong tương đối tính, 1 ; 'E p E p  thì vi phân tiết diện tán xạ có giá trị gần đúng như sau: 22 3 2 2 2 164lab M Ed d m E              (2.61) 2.2.Ma trận tán xạ và tiết diện tán xạ trong lý thuyết trường lượng tử. 2.2.1. S- ma trận và khai triển Dyson. Xét một dao động tử phi điều hòa, với Hamiltonians là:       2 2 3 211 / 2 2 H m p m q q    (2.62) Biểu thức của Hamiltonians khi viết dưới dạng toán tử sinh hủy hạt có dạng: 40              3 3/2 0 1 2 2 ' H a a aa a a m H H              (2.63) Với  ( )a k  là toán tử sinh hạt, ( )a k là toán tử hủy hạt,   ( ) ( ) ( )n k a k a k   gọi là toán tử số hạt. 0 H là Hamiltonians ban đầu của dao động tử tự do và nó giao hoán với toán tử sinh hủy hạt còn 'H là Hamiltonians tương tác và nó không giao hoán với toán tử sinh hủy hạt.  3' ( ) 'H d x h  (2.64) Trong “bức tranh tương tác”( Interaction picture- IP), vector trạng thái có dạng:  0( ) ( )i H t I t e t  (2.65) Khi đó:             0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ') ( ) ' ( ) ' ( ) i H t I i H t i H t i H t i H I d d i t e H t i t dt dt e H t H H t e H t e H e t                      (2.66) Đặt   0 0' 'i H t i H tIH H e  ta có: 41 ( ) '( ) ( ) I I d i t H t t dt   (2.67) Ta coi ban đầu hệ ở thời điểm 0t  , khi đó các hạt hoàn toàn tự do và vectơ trạng thái của hệ 0( ) ( ) it     . Sau quá trình tán xạ, tại thời điểm cuối t   , hệ ở trạng thái mới ( ) ( )t   liên hệ với trạng thái đầu bằng hệ thức: ( ) ( ) I I S S i     ( ) | | fiI I f f S i S    (2.68) Sau khi tương tác, các hạt ở xa nhau vô cùng (không tương tác với nhau), và ta cũng có thể coi ( )  như là vectơ trạng thái của hệ mới các hạt tự do. Vectơ trạng thái ( )  của hệ được khai triển theo bộ đầy đủ các vectơ trạng thái của hệ f như sau: ( ) ( ) fiI f f f f S fi      (2.69) Chú ý rằng S là toán tử Unita   1S S   và có tính chất quan trọng là:  1 ( ) | ( ) | | | I I i S S i i i        * kf ki fi k S S 