Luận văn Số phức và ý nghĩa hình học trong chương trình phổ thông

Nếu ( ) ( )cos sin , ' ' cos ' sin 'z r i z r iϕ ϕ ϕ ϕ= + = + , ( )0, ' 0r r≥ ≥ thì ( ) ( )' ' cos ' sin 'zz rr iϕ ϕ ϕ ϕ= + + +   và ( ) ( )cos ' sin '' ' z r i z r ϕ ϕ ϕ ϕ= − + −   » φ1 M 1 M 2 M x y O φ2 φ1+φ2 1 2z z 50 Dưới dạng lượng giác: - Để nhân các số phức, ta lấy tích các môñun và tổng các acgumen. - Để chia các số phức, ta lấy thương các môñun và hiệu các acgumen. Nét nổi bật của bài này là ý nghĩa hình học của phép nhân và chia các số phức ñược thể hiện rõ ràng nhờ dạng lượng giác của chúng. Đồng thời về hình học, số phức giúp khảo sát nhiều ñiều trong mặt phẳng như phép tịnh tiến, phép vị tự, phép dời hình .SGV trang 225: “Dễ thấy biến ñổi của mặt phẳng phức biến ñiểm M tùy ý biểu diễn số phức z thành ñiểm M’ biểu diễn số phức z’ sao cho: - z z' = +β (β là số phức cho trước) là phép tịnh tiến theo vectơ u  biểu diển số phức β . - ( )− = α −z z z z0 0' (α là số cho trước, 1α = , 0z là số phức cho trước) là phép quay tâm A (biểu diễn số phức 0z ) với góc quay là một argument của α . Điều ñó suy ra từ AM z z z z z z AM0 0 0' '= − = α − = − =   và khi M A≠ , một góc lượng giác tia ñầu là AM, tia cuối là AM’ có số ño là một argument của 0 0 'z z z z α − = − - Cho số phức z biểu diễn bởi ñiểm M tùy ý trong mặt phẳng phức. Phép biến ñổi ñiểm M thành M’ biểu diễn số phức z’ sao cho : ( )z z k z z0 0'− = − (với k là số thực khác 0) là phép vị tự tâm A (biểu diễn số phức z0 ) với hệ số vị tự k. Từ ñó suy ra phép biến ñổi xác ñịnh bởi z z' = α +β ( ,α β là số phức cho trước, α =1) là một phép tịnh tiến khi 1α = và một phép quay khi 1α ≠ (vì khi 1α ≠ thì 'z zα β= + có thể ñược viết thành ( )0 0'z z z zα− = − với 0 1 z β α = − )” Tuy nhiên 2M không trình bày những ñiều này. Việc không trình bày các phép biến hình về số phức. Nhưng lại giới thiệu ý nghĩa hình học của dạng lượng giác. Vậy mục ñích của 2M là gì? Tìm câu trả lời cho vấn ñề này trước hết chúng 51 ta cần xem xét yêu cầu của thể chế ñược thể hiện thông qua Sgv trang 248 về kỹ năng và kiến thức mà học sinh cần ñạt ñược: Kiến thức: - Hiểu rõ khái niệm acgument của số phức - Hiểu rõ dạng lượng giác của số phức - Biết công thức nhân chia số phức dưới dạng lượng giác - Biết ứng dụng công thức Moivre vào lượng giác Kỹ năng: - Biết tìm argumen của số phức - Biết ñổi từ dạng ñại số sang dạng lượng giác của số phức - Tính toán thành thạo phép nhân chia số phức dưới dạng lượng giác - Sử dụng ñược công thức Moivre Như vậy qua các yêu cầu ta thấy việc giới thiệu ý nghĩa hình học dạng lượng giác của số phức cũng chỉ dừng ở việc giúp học sinh trực quan và nắm ñược khái niêm mới chứ không ñi sâu vào khảo sát và giải quyết các vấn ñề ñã nêu ở trên. M2 không ñưa ra ñịnh nghĩa hai số phức bằng nhau trong dạng lượng giác. Có phải chăng ñiều này có thể gây khó khăn cho học sinh khi giải phương trình trong tập hợp phức bằng phương pháp dùng dạng lượng giác của số phức ? Ứng dụng dạng lượng giác của số phức ñược tìm thấy rõ nhất trong công thức Moivre và ứng dụng của công thức này. Công thức Moa-vrơ: ( ) ( ) ( ) cos sin cos sin cos sin cos sin n n n r i r n i n i n i n ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + = +   + = + 52 Ứng dụng của công thức Moivre ñược tìm thấy trong 2M : - Tính cos ,sinn nϕ ϕ : bằng cách ñối chiếu công thức khai triển lũy thừa bậc n của nhị thức cos siniϕ ϕ+ với công thức Moivre, ta có thể biểu diễn cos nϕ và sin nϕ theo các lũy thừa của cos ,sinϕ ϕ . - Chứng minh một hệ thức chứa tổ hợp. Từ công thức Moa-vrơ, dễ thấy số phức ( )cos sinz r iϕ ϕ= + , 0r > có hai căn bậc hai căn bậc hai là cos sin 2 2 r i ϕ ϕ +    và cos sin cos sin 2 2 2 2 r i r i ϕ ϕ ϕ ϕ π π       − + = + + +              Nhận xét - SGK trình bày về cách xây dựng tập hợp số phức không thật chặt chẽ về mặt toán học, M2 coi số phức là một biểu thức dạng a+ bi ( ,a b R∈ , i là ñơn vị ảo, 2 1i = − ) trong khi chưa giới thiệu về phép cộng và phép nhân số phức. Rồi dựa vào phép tính cộng nhân các biểu thức quen thuộc ñể ñịnh nghĩa cộng nhân các số phức. Tập hợp Số phức ñược 2M trình bày là sự mở rộng tập hợp các số thực, trong ñó các phép cộng và nhân với tính chất tương tự phép toán cộng và nhân các số thực sao cho các phương trình bậc hai hệ số thực có biệt số 0∆ < ñều có nghiệm. - Trong lịch sử, số phức xuất hiện trước hết với cơ chế là công cụ cho việc tìm nghiệm của phương trình bậc ba và chỉ là những ký hiệu hình thức chứ chưa có một nghĩa cụ thể nào. Trong thể chế VN, tiến trình dạy học số phức lại ñi theo trình tự ngược lại. Với tư cách là ñối tượng nghiên cứu, dạng ñại số của số phức trong thể chế lại ñưa ra ñầu tiên, còn trong lịch sử dạng ñại số của số phức ñược ñưa ra sau cùng với vai trò là ñối tượng nghiên cứu. Khi các khái niệm liên quan ñến số phức ñược ñưa ra thì mới kết thức cơ chế ñối tượng ñể chuyển sang cơ chế 53 công cụ. Đó là áp dụng số phức ñể giải phương trình bậc hai với hệ số thực, hay là các ứng dụng lượng giác. 3. Các tổ chức toán học liên quan ñến số phức. 3.1. Kiểu nhiệm vụ 1T : Biểu diễn số phức ( )Rbabiaz ∈+= , trong mặt phẳng phức. a. Kỹ thuật 1τ . - Đưa số phức về dạng ( )Rbabiaz ∈+= , - Dựng ñiểm M có hoành ñộ là a và tung ñộ là b trong mặt phẳng phức. b. Công nghệ 1θ . - Biểu diễn hình học của số phức. c. Ví dụ. Bài tập 1 trang 189: Cho các số phức 2+3i; 1+2i; 2-i a. Biểu diễn các số ñó trong mặt phẳng phức. b. Viết số phức liên hợp của mỗi số ñó và biểu diễn chúng trong mặt phẳng phức. c. Viết số ñối của mỗi số phức ñó và biểu diễn chung trong mặt phẳng phức. Bài giải: 54 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 -5 5 10 x y A B C A' B' C' A'' B'' C'' a. Điểm A(2+3i), B(1+2i), C(2-i). b. Các số phức liên hợp của 2+3i, 1+2i, 2-i ñược biểu diễn bởi ( ) ( ) ( )' 2 3 , ' 1 2 , ' 2A i B i C i− − + c. Các số ñối của 2+3i, 1+2i, 2-i ñược biểu diễn bởi ( ) ( ) ( )'' 2 3 , '' 1 2 , '' 2A i B i C i− − − − − + d. Nhận xét. - KNV rõ ràng, KTG ñơn giản, yếu tố công nghệ tường minh trong SGK. e. Số lượng bài tập và ñặc trưng của kiểu nhiệm vụ ñược trình bày trong SGK. - Có 9 bài tập thuộc KNV T1 ñược trình bày. - Các số phức ñều có a, b là những số nguyên khác 0. - Biểu diễn số liên hợp, số ñối của số phức z trên cùng mặt phẳng tọa ñộ, cho ta thấy ñược mối liên hệ giữa chúng trên mặt phẳng phức. 55 3.2. Kiểu nhiệm vụ 2T : Xác ñịnh số phức (xác ñịnh phần thực và phần ảo của số phức) Kỹ thuật 2τ : • Đưa số phức về dạng a+bi. • Phần thực là a. • Phần ảo là b. Các kiểu nhiệm vụ con của 2T 3.2.1. Kiểu nhiệm vụ 2.1T : Tính tổng hiệu của hai hay nhiều số phức. • Kỹ thuật 2.1τ : “cộng trừ từng phần” - Đưa các số phức về dạng ...;; 222111 ibazibaz +=+= - Cộng (trừ) các phần thực với nhau và phần ảo với nhau. - Tổng hay hiệu là số phức có phần ảo là tổng (hiệu) các phần ảo và phần thực là tổng (hiệu) các phần thực.  Công nghệ 2.1θ : - Quy tắc cộng (trừ) số phức. - Dạng ñại số của số phức. - Cộng trừ các ña thức một biến.  Ví dụ: Tính tổng ( ) ( )3 2 3i i+ + − Bài giải ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 3 2 1 3 5 2i i i i+ + − = + + − = − Nhận xét - Đây là một KNV khá ñơn giản nên ít ñược quan tâm ở ñây, chỉ có 1 bài về KNV này. Tuy nhiên, KNV này xuất hiện lồng trong nhiều KNV khác. - KTG 2.1τ ñược ưu tiên vì khá ñơn giản thông qua việc cộng trừ các ña thức biến i ñã biết từ trước. 56 3.2.2. Kiểu nhiệm vụ 2.2T : Nhân các số phức. • Kỹ thuật 2.2.1τ : “khai triển” - Đưa hai số phức về dạng biaz += và ibaz ''' += ( )Rbaba ∈',',, - Thực hiện phép nhân khai triển thành phần của hai số phức .- Thu gọn “i”. - Viết kết quả dưới dạng ñại số a+bi.  Công nghệ 2.1.2θ : - Qui tắc nhân hai số phức. - Nhân các ña thức một biến. - 2 1i = − • Kỹ thuật 2.2.2τ : “Dạng lượng giác”. - Đưa hai số phức về dạng lượng giác ( ) ( ) ( )0','sin'cos'',sincos ≥+=+= rrirzirz ϕϕϕϕ - Tích ( ) ( )[ ]'sin'cos'.'. ϕϕϕϕ +++= irrzz  Công nghệ 2.1.2θ : - Dạng lượng giác của số phức. - Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác. Ví dụ: Bài tập 2 trang 189: Xác ñịnh phần thực, phần ảo của các số sau: b. ( )232 i+ c. ( )( )ii 3232 −+ d. ( )( )iii +− 32 Nhận xét - Đây là KNV khá cơ bản, xuất hiện lồng trong rất nhiều KNV khác. - KTG 2.2.1τ ñược ưu tiên vì xuất hiện tường minh và khá ñơn giản. Nó chỉ ñơn giản là việc áp dụng qui tắc nhân các ña thức một biến. 3.2.3. Kiểu nhiệm vụ 2.3T : Tìm thương của hai số phức ( ) ' 0 z z z ≠ • Kỹ thuật 2.3.1τ “Nhân liên hợp” - Đưa hai số phức về dạng biaz += và ibaz ''' += ( )Rbaba ∈',',, 57 - Thực hiện phép thương z z' như sau: + Tìm số phức liên hợp z + Nhân cả tử và mẫu số cho z : 2 ' ' ' . z z z z z z z z z = =  Công nghệ 2.1.2θ : - Dạng ñại số của số phức. - Định nghĩa số phức liên hợp của một số phức. - Quy tắc nhân hai số phức. • Kỹ thuật 2.3.2τ : “Nhân nghịch ñảo” - Tìm số phức nghịch ñảo 1−z của số phức z (khác 0) là z z z 2 1 1=− - Tính thương 1'. ' −= zz z z  Công nghệ 2.1.2θ : - Định nghĩa số phức nghịch ñảo. - Quy tắc nhân hai số phức. • Kỹ thuật 2.3.3τ : “Dạng lượng giác” - Đưa hai số phức về dạng lượng giác ( ) ( ) ( )0','sin'cos'',sincos ≥+=+= rrirzirz ϕϕϕϕ - Thương ( ) ( )[ ] ( )0'sin'cos'' >−+−= ri r r z z ϕϕϕϕ  Công nghệ 2.1.2θ : - Dạng lượng giác của số phức. - Thương hai số phức dưới dạng lượng giác. Ví dụ: Bài tập 4 trang 189: Thực hiện phép tính: i i i i i i − −− − − 4 43 ; 23 ; 2 3 2 1 1 ; 32 1 58 Nhận xét - Những số phức “chia” ñều có phần ảo khác 0. - KTG 2.3.1τ ñược ưu tiên nhiều hơn vì nó ñược áp dụng từ các qui tắc ñã biết trên R[x] - Nhân và chia số phức ở dạng lượng giác ñược ưu tiên sử dụng trong các trường hợp có biểu thức phức bậc cao. Nhận xét Qua những ñiều ñã phân tích, chúng tôi dự ñoán sự tồn tại của các qui tắc của hợp ñồng didactic sau: R1: “ Học sinh có nghĩa vụ tìm tích thương của hai số phức bằng PP ñại số nếu các số phức ban ñầu cho ở dạng ñại số, bằng phương pháp lượng giác nếu các số phức ban ñầu cho ở dạng lượng giác”. R2: “Học sinh có nghĩa vụ tìm lũy thừa bậc cao một biểu thức phức bằng phương pháp ñưa về dạng lượng giác và dùng công thức Moivre”. R3: “ Học sinh khi thực hiện phép toán trên số phức bằng dạng ñại số, có nghĩa vụ phải ñưa về dạng chuẩn tắc z a bi= + ” Chúng tôi cũng dự ñoán sai lầm học sinh có thể mắc phải trong dạng toán này là: M1: “Khi tất cả các số cho ở dạng chứa các hàm số lượng giác, học sinh không ñưa về dạng lượng giác trước khi tính toán” 3.3. Kiểu nhiệm vụ 3T : “Chứng minh một hệ thức liên quan ñến số phức”. • Kỹ thuật 3.1τ : “Dạng ñại số” - Số phức có dạng ( )Rbabia ∈+ , . 59 - Dùng các tính chất của số phức liên hợp, số ñối, môñun của số phức và các phép biến ñổi sơ cấpñể suy ra các hệ thức trên.  Công nghệ 3.1θ : - Định nghĩa dạng ñại số của số phức, số phức liên hợp, mô ñun của số phức - Các phép toán và các tính chất của nó trên trường số phức. - Các phép biến ñổi tương ñương. • Kỹ thuật 3.2τ : “Dùng biểu diễn hình học của số phức” - Gọi M là ñiểm biểu diễn số phức z. - Dựa vào tính chất hình học của số phức, môñun, số phức liên hợp và các phép biến ñổi sơ cấp ñể chứng minh các hệ thức.  Công nghệ 3.2θ : - Biểu diễn hình học của số phức. Ví dụ 1: Bài tập 6 trang 190: Chứng minh rằng a. Phần thực của số phức z bằng ( )zz + 2 1 , phần ảo của số phức z bằng ( )zz i − 2 1 . b. Số phức z là số ảo khi và chỉ khi zz −= c. Với mọi số phức z, z’, ta có '' zzzz +=+ , '.' zzzz = , và nếu 0≠z thì      = z z z z '' Bài giải a. ( ),z a bi a b R= + ∈ thì z a bi= − nên phần thực của z là ( )1 2 a z z= + , phần ảo của z là ( )1 2 b z z i = − b. z là số ảo khi và chỉ khi phần thực của z bằng 0 0z z z z⇔ + = ⇔ = − 60 c. ( ), ' ' ' , , ', 'z a bi z a b i a b a b R= + = + ∈ thì ( ) ( ) ( )' ' ' ' ' ' ' ' z z a a b b i a a b b i a bi a b i z z + = + + + = + − + = − + − = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ' ' ' ' ' ' ' ' ' . ' ' . ' z z aa bb ab ba i aa bb ab ba i a bi a b i z z = − + + = + − + = − − = ' '. 1 1 ' '. '. . . . z z z z z z z z z z z z z z z z    = = = =       Ví dụ 2: “Chứng minh rằng số phức z là số thực khi và chỉ khi z z= ” Bài giải: Ta có: z biểu diễn ñiểm M thì z là số thực khi và chỉ khi M nằm trên trục thực, tức là khi và chỉ khi ñiểm M’ ñối xứng của M qua trục thực phải trùng với M. Nhưng M’ biểu diễn số phức z nên suy ra z là số thực khi và chỉ khi z z= Nhận xét - Yêu cầu bài toán chứa số ñối, số phức liên hợp và mô ñun của số phức. - KTG 3.1τ ñược ưu tiên vì xuất hiện tường minh trong SGK. Mặt khác, các bài toán chứng minh bằng các phép biển ñổi sơ cấp khá ñược chú trong trong thể chế Việt Nam. - KTG 3.2τ không ñược ưu tiên vì KTG này không xuất hiện tường minh trong SGK và trong thể chế VN ít xuất hiện các phương pháp dùng hình học ñể chứng minh các hệ thức ñại số. 3.4. Kiểu nhiệm vụ 4T : Xác ñịnh tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả ñiều kiện cho trước. • Kỹ thuật 4.1τ : “Phương trình ñường” - Giả sử z có dạng ( )Rbabia ∈+ , . 61 - Thay z trong biểu thức ñiều kiện rồi biến ñổi ñiều kiện ñã cho về dạng ( ) 0, =baf . - Khi ñó tập hợp ñiểm M trong mặt phẳng phức là ñường cong ( ) 0, =yxf  Công nghệ 2.1.2θ : - Biểu diễn hình học của số phức. - Số phức liên hợp, mô ñun của số phức - Các phép biến ñổi tương ñương. - Các phép toán trên trường số phức như cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa. - Định nghĩa phương trình ñường.  Ví dụ: Bài tập 9b trang 190: “Xác ñịnh tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn ñiều kiện 1 z i z i − = + ” Bài giải: (lời giải trong SGV trang 232) Nếu ( ),z x yi x y R= + ∈ ta có 1 z i z i z i z i − = ⇔ − = + + ( ) ( )1 1x y i x y i⇔ + − = + + ( ) ( )2 22 21 1 0x y x y y z⇔ + − = + + ⇔ = ⇔ là số thực. • Kỹ thuật 4.2τ : “dùng biểu diễn hình học của số phức” - Gọi M là ñiểm biểu diễn số phức z. - Dùng tính chất của môñun, số phức liên hợpñể suy ra M thỏa tính chất nào ñó. - Suy ra quĩ tích của M.  Công nghệ 2.1.2θ : - Biểu diễn hình học của số phức, ñịnh nghĩa mô ñun của số phức, argument của số phức. - Các phép biến ñổi tương ñương. - Các phép toán trên trường số phức như cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa. - Định nghĩa phương trình ñường. 62  Ví dụ: Bài tập 9b trang 190: “Xác ñịnh tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn ñiều kiện 1 z i z i − = + ” Bài giải: (lời giải trong SGV trang 232) Gọi M là ñiểm biểu diễn số phức z, I là ñiểm biểu diễn số i, J là ñiểm biểu diễn số -i thì IMz i z i JM − = +   , vậy 1 z i IM JM z i − = ⇔ = ⇔ + M nằm trên ñường trung trực của IJ⇔ M thuộc trục Ox. Nhận xét - KNV này khá ñược chú trọng trong thể chế Việt Nam, KTG rõ ràng, dễ sử dụng. - KTG 4.1τ ñược ưu tiên vì KTG ñơn giản và dễ sử dụng hơn. Tuy nhiên, có một số dạng toán nếu sử dụng KTG 4.1τ thì rất khó ñưa ra tập hợp ñiểm M. - Có thể ñưa ra sai lầm của HS khi giải quyết dạng này M2: “Học sinh xem dấu mô ñun là dấu trị tuyệt ñối như trong số thực” Từ những phân tích trên với việc hạn chế dùng hình học làm công cụ trong các dạng toán liên quan ñến ñại số trong thể chế Việt Nam, chúng tôi ghi nhận một giả ñịnh (ñây cũng chính là giả thuyết nghiên cứu sau này): “Học sinh ít khi sử dụng biểu diễn hình học của số phức trong việc chứng minh hay giải quyết các dạng toán liên quan ñến số phức” 3.5. Kiểu nhiệm vụ 5T : Tìm căn bậc hai của số phức ( ),w a bi a b R= + ∈ với 0b ≠ • Kỹ thuật 5.1τ : “ñồng nhất ñại số” - Gọi ( )Ryxyixz ∈+= , là căn bậc hai của w. - ( ) biaxyiyxbiayixwz +=+−⇔+=+⇔= 22222 63 - Suy ra hệ (*)    = =− bxy ayx 2 22 - Giải (*), tìm ñược x, y. - Kết luận.  Công nghệ 5.1θ : - Định nghĩa căn bậc hai của số phức. - Các phép biến ñổi tương ñương. - Định nghĩa sự bằng nhau của hai số phức. - Giải hệ phương trình ñại số. - Các phép toán trên C. - 2 1i = − .  Ví dụ: Ví dụ 2b trang 193 Tìm các căn bậc hai của i Bài giải: Gọi căn bậc hai của i là ( );z x yi x y R= + ∈ . Khi ñó ( )2 2 2 2x yi i x y xyi i+ = ⇔ − + = , suy ra hệ phương trình 2 2 0 2 1 x y xy  − =  = 2 2 2 2 2 2 2 2 x x y y   = = −   ⇔ ∨   = = −   Vậy i có hai căn bậc hai là ( )2 1 2 i± + • Kỹ thuật 5.2τ : Dùng lượng giác - Đưa số phức w về dạng lượng giác ( ) 0,sincos >+= rirw ϕϕ . - Hai căn bậc hai z của w là             ++      +=      += π ϕ π ϕϕϕ 2 sin 2 cos, 2 sin 2 cos 21 irzirz  Công nghệ 5.2θ : - Dạng lượng giác của số phức. - Căn bậc hai của số phức bằng dạng lượng giác. 64  Ví dụ: ví dụ 2b trang 193 Tìm các căn bậc hai của i Bài giải: Ta có 1 cos .sin 2 2 i i π π = +    Do ñó i có các căn bậc hai là ( )21 cos .sin 1 4 4 2 i i π π + = +    và ( )21 cos sin 1 4 4 2 i i π π − + = − +    Nhận xét: - KNV rõ ràng, KTG tường minh. Nếu yêu cầu tìm căn bậc hai của số phức ở dạng lượng giác thì câu trả lời thiên về KTG 5.2τ , còn nếu của số phức ở dạng ñại số thì câu trả lời thiên về KTG 5.1τ Từ những nhận xét trên, chúng tôi có thể dự ñoán những sai lầm thường gặp của học sinh khi giải quyết dạng toán này: M4: “ Học sinh quen với kí hiệu ở số thực, và vận dụng trong số phức như 21, 4 ...i− ” 3.6. Kiểu nhiệm vụ 6T : Giải phương trình (với hệ số là số thực hay số phức). 3.6.1. Giải phương trình bậc nhất (chứa z hay z ) • Kỹ thuật 6.1.1τ : “ñồng nhất ñại số” - Giả sử nghiệm của phương trình là ( )Rbabiaz ∈+= , . - Biến ñổi phương trình về dạng ( ) ( ) 0 0; ;f a b g a b i x y+ = + với 0 0;x y R∈ - Giải hệ ( ) ( ) 0 0 ; ; f a b x g a b y =  = với a, b là hai ẩn. - Kết luận nghiệm của phương trình ban ñầu.  Công nghệ 6.1.1θ : - Dạng ñại số của số phức. - Định nghĩa sự bằng nhau của hai số phức. 65 - Các phép biến ñổi tương ñương. - Giải hệ phương trình ñại số. - Các phép toán trên trường số phức như cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa.  Ví dụ: Bài tập 13 trang 191: Tìm nghiệm phức của phương trình 02 =−+ iiz Bài giải: Gọi z a bi= + . Phương trình tương ñương với ( ) 2 0 2 1 1 2 2 i a bi i ai b i a z i b + + − = ⇔ − = − = ⇔ ⇔ = + = • Kỹ thuật 6.1.2τ : “Biến ñổi tương ñương”. - Đưa phương trình ñã cho về dạng Az B= . - Suy ra B z A = .  Công nghệ 6.1.2θ : - Các phép biến ñổi tương ñương, các qui tắc biến ñổi ña thức biến i. - Các phép toán trên trường số phức. - Dạng ñại số của số phức.  Ví dụ: Bài tập 13 trang 191: Tìm nghiệm phức của phương trình 02 =−+ iiz Bài giải: 2 2 0 2 1 2 i iz i iz i z i i − + − = ⇔ = − ⇔ = = + Nhận xét: - KNV xuất hiện tường minh. KTG 6.1.2τ ñược ưu tiên vì ñơn giản và khá quen thuộc (giống như giải phương trình bậc nhất một ẩn trong tập hợp số thực). 3.6.2. Giải phương trình bậc hai ( )102 =++ CBzAz • Kỹ thuật 6.2.1τ : “biệt số delta” - Xét biệt thức ACB 42 −=∆ 66 - Nếu 0≠∆ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt A B z A B z 2 , 2 21 δδ −− = +− = trong ñó δ là một căn bậc hai của ∆ . - Nếu 0=∆ thì phương trình (1) có nghiệm kép A B zz 221 −== .  Công nghệ 2.1.2θ : - Căn bậc hai của số phức. - Công thức nghiệm của phương trình bậc hai.  Ví dụ: Tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai sau: 0522 =++ zz Bài giải: Ta có: 2 2' 1 5 4 4i∆ = − = − = . Suy ra căn bậc hai của ∆ là 2i± Suy ra hai nghiệm của phương trình là 1 2 1 2 1 2 z i z i = − +  = − − • Kỹ thuật 6.2.2τ : “ñồng nhất ñại số” - Đặt ( ),z a bi a b R= + ∈ . - Biến ñổi phương trình về dạng ( ) ( ) 0 0; ;f a b g a b i x y+ = + với 0 0;x y R∈ - Giải hệ ( ) ( ) 0 0 ; ; f a b x g a b y =  = với a, b là hai ẩn.  Công nghệ 6.2.2θ : - Định nghĩa sự bằng nhau của hai số phức. - Giải hệ phương trình ñại số. - Các phép toán trên trường số phức. - Các phép biến ñổi tương ñương.  Ví dụ: bài tập 19 trang 196: Tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai sau: 0522 =++ zz Bài giải: Đặt ( ),z a bi a b R= + ∈ . Phương trình trở thành 67 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 0 2 5 2 2 0 1 1 2 2 a bi a bi a b a ab b i a a b b + + + + = ⇔ − + + + + = = − = −  ⇔ ∨  = − =  Suy ra hai nghiệm của phương trình là 1 2 1 2 1 2 z i z i = − +  = − − • Kỹ thuật 6.2.3τ : “phương trình tích” - Đưa phương trình về dạng tích ( ) ( )1 2 0A z zω ω− − = - Giải 1 0z ω− = và 2 0z ω− = .  Công nghệ 6.2.3θ : - 1 2 1 2. 0 0 0z z z hay z= ⇔ = =  Ví dụ: bài tập 19 trang 196: Tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai sau: 0522 =++ zz Bài giải: Ta có: ( ) ( ) ( )( ) 2 22 22 5 0 1 4 0 1 4 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 z z z z i z i z i z i z i + + = ⇔ + + = ⇔ + − = = − − ⇔ + + + − = ⇔  = − + • Kỹ thuật 6.2.4τ : “hằng ñẳng thức” - Đưa về dạng ( )2 020 0 z z z z z z ω ω ω − = − = ⇔  − = −  Công nghệ 6.2.4θ : - Hằng ñẳng thức ( )22 22A AB B A B± + = ± - Định nghĩa căn bậc hai của một số phức.  Ví dụ: Bài tập 19 trang 196: Tìm nghiệm phức của phương trình bậc hai sau: 0522 =++ zz Bài giải: Ta có: 68 ( ) ( )2 22 22 5 0 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 z z z z i z i z i z i z i + + = ⇔ + = − ⇔ + = + = = − −  ⇔ ⇔ + = − = − +  Nhận xét: - KTG 6.2.1τ ñược ưu tiên vì khá quen thuộc và dễ sử dụng (giống như giải phương trình bậc hai trong tập hợp số thực). 3.6.3. Giải phương trình bậc cao • Kỹ thuật 6.3.1τ : “ñồng nhất ñại số” - Đặt ( ),z a bi a b R= + ∈ . - Biến ñổi phương trình về dạng ( ) ( ) 0 0; ;f a b g a b i x y+ = + với 0 0;x y R∈ - Giải hệ ( ) ( ) 0 0 ; ; f a b x g a b y =  = với a, b là hai ẩn.  Công nghệ 6.3.1θ : - Các phép toán trên trường số phức. - Định nghĩa hai số phức bằng nhau. - 2 1i = −  Ví dụ: Bài tập 24 trang 199: Giải phương trình sau trên C (tức là tìm nghiệm phức của các phương trình ñó)): 3 1z = Bài giải: Đặt ( ),z a bi a b R= + ∈ Phương trình trở thành ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 33 2 3 2 2 3 3 2 2 3 1 3 3 1 3 3 1 1 1 3 1 1 2 2 0 3 33 0 2 2 a bi a a bi a bi bi a ab a b b i a a a ab a ba b b b b + = ⇔ + + + = ⇔ − + − = − − = =  − = =   ⇔ ⇔ ∨ ∨    = −− =   = =    69 Vậy nghiệm của phương trình trên là 1 3 1 3 1; ; 2 2 2 2 S i i    = − + − −     • Kỹ thuật 6.3.2τ : “phương trình tích” - Đưa phương trình về dạng tích A.B=0. - Giải A=0 hay B=0.  Công nghệ 6.3.2θ : - Hằng ñẳng thức, các phép toán trên trường số phức - 0 . 0 0 A A B B = = ⇔  =  Ví dụ: Bài tập 24 trang 199: Giải phương trình sau trên C (tức là tìm nghiệm phức của các phương trình ñó)): 3 1z = Bài giải: Ta có: ( )( )3 2 2 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 3 1 3 2 2 2 1 3 1 3 2 2 2 z z z z z z z z i z i i z i = − = ⇔ − + + = ⇔  + + =   =  − +⇔ = = − +  − − = = − − Vậy nghiệm của phương trình trên là 1 3 1 3 1; ; 2 2 2 2 S i i    = − + − −     • Kỹ thuật 6.3.3τ : “lượng giác” - Gọi ( )cos sinz r iϕ ϕ= + trong ñó 2 nR r n kα ϕ π  =  = + - Biến ñổi phương trình về dạng ( ) ( )0 0 0os sin cos sinR c i R iα α α α+ = + - Dùng ñịnh nghĩa hai số phức bằng nhau ñể suy ra ,r ϕ . 70  Công nghệ 6.3.3θ : - Dạng lượng giác của số phức. - Định nghĩa hai số phức bằng nhau. - Công thức Moivre.  Ví dụ: Bài tập 24 trang 199: Giải phương trình sau trên C (tức là tìm nghiệm phức của các phương trình ñó)): 3 1z = Bài giải 1: Đặt ( ) ( )cos sin 0z r i rϕ ϕ= + > . Khi ñó ta có ( ) ( ) 3 11 2 3 2 3 r r k k Zk k Z π αα π = =  ⇔  = ∈= ∈   Do ñó, nghiệm của phương trình trên là 1 3 1 3 1; ; 2 2 2 2 S i i    = − + − −     Bài giải 2: Đặt ( ) ( )cos sin 0z r i rϕ ϕ= + > . Khi ñó ta có ( )3 3 3 33 3 1 cos3 sin 3 cos0 sin 0 sin 3 0cos3 cos 0 cos3 1sin 3 sin 0 3 cos3 1 z r i i r rr k r ϕ ϕ ϕϕ ϕϕ ϕ π ϕ = ⇔ + = + = =  ⇔ ⇔  ==  = ⇔  = Với 0 0 1 1 k z r ϕ = = ⇒ ⇒ = = Với 1 3 1 k r π ϕ = = ⇒   = − loại 71 Với 2 2 2 1 3 2 cos sin3 3 3 2 2 1 k z i i r π ϕ π π  = = ⇒ ⇒ = + = − +  = Với 3 1 k r ϕ π= = ⇒  = − loại Với 4 4 4 1 3 4 cos sin3 3 3 2 2 1 k z i i r π ϕ π π  = = ⇒ ⇒ = + = − −  = Với 5 5 3 1 k r π ϕ = = ⇒   = − loại Do ñó, nghiệm của phương trình trên là 1 3 1 3 1; ; 2 2 2 2 S i i    = − + − −     Nhận xét - Chỉ ưu tiên KTG ñưa về dạng tích. - KTG dùng lượng giác hoàn toàn vắng bóng trong thể chế Việt Nam do ñịnh nghĩa hai số phức bằng nhau bằng dạng lượng giác không ñược ñưa ra.Tuy nhiên dùng lượng giác nhưng giải bằng cách dùng ñịnh