Luận văn So sánh việc dạy học khái niệm hàm số bậc hai ở trường trung học phổ thông Việt Nam và Úc

m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của HSBH 9 Bảng1.3. Thống kê KNV về vai trò công cụ HSBH trong GT 1.2. Khái niệm Hàm số bậc hai ở Việt Nam 1.2.1. Phân tích chương trình Toán Việt Nam hiện hành Trong chương trình Toán Việt Nam hiện nay, đối tượng HSBH được đưa chia ra thành hai giai đoạn giảng dạy như sau: Ở cấp THCS (cụ thể là học kỳ 2 lớp 9), chương trình đưa vào giảng HS 2y ax= là dạng đơn giản nhất của HSBH, nội dung cụ thể xoay quanh vấn đề: Về tính chất hàm số, SGK trình bày trong bài 1. Hàm số 2y ax= nhằm mục tiêu cụ thể sau: “Học sinh thấy được trong thực tế có những hàm số dạng 2y ax= Học sinh biết tính giá trị của hàm số tương ứng với giá trị cho trước của biến số Học sinh nắm được các tính chất của hàm số 2y ax= .” [SGV Toán 9-2, tr.13]. Về đồ thị hàm số 2y ax= : “Biết được dạng của đồ thị hàm số 2y ax= và phân biệt được chúng trong 2 trường hợp a > 0, a < 0 Nắm vững tính chất đồ thị và liên hệ được tính chất của đồ thị với tính chất hàm số Vẽ được đồ thị.” 28 [SGV Toán 9-2, tr.13] Chúng tôi nhận thấy việc tiếp cận khái niệm HSBH ở Việt Nam với dạng 2y ax= trình bày khá chi tiết về các tính chất của hàm số và đồ thị. Trong chương trình Toán 9, hàm số 2y ax= trình bày tương đối chi tiết được giải thích như sau: “Ở lớp 10, tuy là nghiên cứu hàm số bậc hai tổng quát nhưng thực chất chỉ là đưa dạng tổng quát 2y ax bx c= + + về dạng 2( ) 4 2 by a x a a ∆ + = + , tức là dạng 2Y aX= , với 2 bX x a = + , 4 Y y a ∆ = + . Từ đó, căn cứ vào những điều đã trình bày ở lớp 9, rút ra các tính chất hàm số tổng quát này. Vì vậy việc giảng dạy tỉ mĩ để HS rút ra những nhận xét về tính chất và của đồ thị 2y ax= là điều rất quan trọng” [SGV Toán 9-2, tr.30] Đến chương trình Toán lớp 10, đối tượng HSBH được giảng dạy với nội dung: “Chương II Đại số 10 theo chương trình GDTHPT môn Toán học sinh còn được học đầy đủ về hàm số bậc hai” [SGV Toán 10 CB, tr.51]. Chúng tôi còn ghi nhận mục tiêu đề ra như sau: “Biết lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị HSBH”. Như vậy, việc dạy học HSBH trong chương trình Toán 10 đã bước đầu cho HS làm quen về sự khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị HS. Ở giai đoạn này, HS chưa được trang bị đầy đủ các kiến thức về Giải tích để khảo sát hàm số nên hình dạng đồ thị của hàm số bậc hai là một đường cong parabol được lý giải như sau: “Đồ thị của hàm bậc hai 2y ax bx c= + + được suy ra từ đường parabol 2y ax= bằng các phép tịnh tiến song song với trục hoành và trục tung.” [SGV Toán 10 CB, tr.52] Với giải thích đã nêu trên, chương trình giảng dạy HSBH dạng 2y ax bx c= + + là sự bổ sung kiến thức đầy đủ về HSBH đã học ở lớp 9. Tuy nhiên, vấn đề đặt ra là sự bổ sung này được cụ thể hóa trong SGK Toán 10 như thế 29 nào?. Việc dạy học HSBH ở Việt Nam có phải theo quan điểm xây dựng họ các HSBH từ hàm số 2y ax= không?. Chúng tôi sẽ tìm câu trả lời trong phần phân tích SGK tiếp theo. Kết luận Qua việc phân tích chương trình chúng tôi có nhận xét về đối tượng HSBH như sau: Về tiếp cận khái niệm HSBH chia ra làm hai giai đoạn nghiên cứu: Ở THCS, khái niệm hàm số 2y ax= trình bày giải quyết các kiểu nhiệm vụ sau: T: Tính giá trị của hàm số 2y ax= tại xR0R. T: Tìm giá trị x của hàm số 2y ax= khi biết yR0R. (đặc trưng tương ứng của hàm số) Ở THPT, ngoài hai kiểu nhiệm vụ nêu trên thì HSBH 2y ax bx c= + + trình bày xoay quanh các kiểu nhiệm vụ: T: Xét tính chẵn lẻ của hàm số T: Xét sự biến biên của hàm số Tuy nhiên, 2 kiểu nhiệm vụ trên được tìm thấy trong §1. Hàm số và nội dung chính trình bày trong §3. Hàm số bậc hai nhằm giải quyết 2 kiểu nhiệm vụ sau: T: Xét sự biến thiên của HSBH T: Vẽ đồ thị HSBH Chúng tôi nhận thấy rằng việc dạy học khái niệm HSBH trong chương trình Toán ở Việt Nam chủ yếu nghiên cứu về phương diện đối tượng của một hàm số, mục tiêu không đề cao vai trò công cụ của khái niệm HSBH trong nội bộ toán học và ngoài toán học. Ngoài ra, về hình thức trình bày khái niệm HSBH cũng có sự khác biệt nhất định so với Úc về nội dung sau: Úc Việt Nam − HSBH được trình bày trong 1 chương của GT Úc. − HSBH dạng 2y x= chỉ giới thiệu rất − HSBH được chia ra thành 2 giai đoạn giảng dạy ở bậc THCS và THPT. 30 đơn giản trong GT gồm: hình dạng đồ thị parabol. − HSBH tổng quát trình bày chi tiết về các nội dung: + Đặc trưng tương ứng của hàm số (KNV TRTinhUcR tính giá trị HS, xét điểm thuộc đồ thị), và đặc trưng biến thiên của hàm số hoàn toán vắng bóng + Vẽ đồ thị HSBH 2 dạng: 2( )( ); ( )y a x x y a x h ka β= − − = − + + Vai trò công cụ của khái niệm HSBH. − HS dạng 2y ax= giảng dạy trong chương trình Toán THCS, nó được trình bày rất đầy đủ về tính chất (đặc trưng biến thiên hàm số) và đồ thị. − HSBH tổng quát 2y ax bx c= + + được nghiên cứu nối tiếp ở THCS với nội dung chính vẽ đồ thị HSBH. Nhằm làm rõ nội dung khái niệm HSBH trong SGK Toán Việt Nam, cùng với việc so sánh nội dung khái niệm HSBH trong GT Úc, chúng tôi tiến hành phân tích SGK hiện hành, cụ thể SGK Toán 9 tập 2, SGK Toán 10 CB và NC. 1.2.2. SGK Toán 9 tập 2 Trong SGK Toán 9-2, đối tượng HSBH trình bày trong chương IV. Hàm số 2 ( 0)y ax a= ≠ - Phương trình bậc 2 một ẩn. Hàm số 2y ax= được xem như là dạng đơn giản nhất của HSBH và được SGK trình bày với hai nội dung: Bài §1. Hàm số 2y ax= (1 tiết) Bài §2. Đồ thị hàm số 2y ax= (1 tiết) Trong bài §1, SGK đưa ra ví dụ mở đầu giới thiệu về hàm số 2y ax= là thí nghiệm vật rơi tự do của Galile. Qua đó, thể chế Việt Nam mong muốn cho HS thấy được mối liên hệ giữa hai đại lượng trong tình huống thực tế có dạng hàm 2y ax= . Thí nghiệm này cũng được thể chế Úc trình bày trong phần mở đầu, điều này cho thấy cả 2 thể chế đều mong muốn HS thấy được tình huống thực tế với HSBH. Tiếp đến, SGK trình bày tính chất hàm số 2y ax= như sau: “Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x 0 Nếu a 0” [SGK Toán 9-2, tr.29] Chúng tôi nhận thấy để có được tính chất trên, HS phải so sánh các giá trị của hàm số cụ thể 22y x= và 22y x= − trong hoạt động sau: 31 “?1 Điền vào ô trống các giá trị tương ứng của y trong hai bảng sau: x -3 -2 -1 0 1 2 3 22y x= 18 8 x -3 -2 -1 0 1 2 3 22y x= − -18 -8 ?2 Đối với hàm số 22y x= , nhờ bảng giá trị vừa tính được, hãy cho biết: − Khi x tăng nhưng luôn luôn âm thì giá trị tương ứng của y tăng hay giảm − Khi x tăng nhưng luôn luôn dương thì giá trị tương ứng của y tăng hay giảm.” Trong luận văn của tác giả Nguyễn Thị Ngọc Sương: “Dạy học khái niệm hàm số với phần mềm Cabri II Plus: Nghiên cứu sự đồng biến thiên như giai đoạn đầu tiên của việc xây dựng khái niệm hàm số” năm 2013, tác giả đã nhận định ở giai đoạn lớp 9, sự biến thiên hàm số chỉ trình bày mang nặng tính lí thuyết : “SGK Toán 9 chỉ xem xét sự đồng biến thiên, nghịch biến của các hàm số trên tập số thực R. Có thể nói thời điểm này, sự đồng biến thiên của hai đại lượng trong khái niệm hàm số được đề cập một cách tường minh. Tuy nhiên khi được phát biểu dưới dạng công thức thì sự đồng biến thiên hoàn toàn bị che mờ đi. []. Khi đưa sự đồng biến, nghịch biến vào công thức thì HS sẽ rất dễ dàng hiểu một cách máy móc”. Các tổ chức toán học HSBH 2y ax= : TRTinh.9R: Tính giá trị của hàm số = 2y ax tại một điểm cho trước thuộc tập xác định Kỹ thuật: Với giá trị của xR0R, thay vào biểu thức 2y ax= , tính giá trị y tương ứng. Ngược lại, với mỗi giá trị yR0R, thay vào biểu thức 2y ax= , tính giá trị x tương ứng. Công nghệ: Lý thuyết về khái niệm hàm số. Đối với bài 2. Đồ thị Hàm số 2 ,y ax= chúng tôi thấy có các tổ chức toán học sau: 32 TRVe.9R: Vẽ đồ thị hàm số = 2y ax Kỹ thuật: Bước 1: Lập bảng giá trị của hàm số 2y ax= Bước 2: Trên mặt phẳng tọa độ, xác định các cặp điểm trong bảng giá trị Bước 3: Nối các cặp điểm đó với nhau, ta được đồ thị hàm số 2y ax= Công nghệ: Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các điểm M (x, f(x)). Minh họa cho kiểu nhiệm vụ trên: Đồ thị hàm số 22y x= . Ở bài 1, ta có bảng ghi một số cặp giá trị tương ứng của x và y: x -3 -2 -1 0 1 2 3 22y x= 18 8 2 0 2 8 18 Trên mặt phẳng tọa độ, lấy các điểm A( -3, 18), B(-2, 8), C(-1, 2), O(0, 0), C’(1,2), B’(2,8), A’(3,18). Đồ thị của hàm số y = 2xP2P đi qua các điểm đó và có dạng hình.6. Hình.6 [SGK Toán 9-2, tr.34] Sau khi HS học về kiểu nhiệm vụ TRveR thì HS có thể dựa vào hình dạng của đồ thị hàm số 2=y ax để rút ra các đặc trưng của đồ thị cũng như tính chất biến thiên hàm số, SGK cụ thể hóa trong hoạt động ?1 và hoạt động ?2 [SGK Toán 9-2, tr.34]. Sau hai hoạt động trên, SGK rút ra nhận xét sau: 33 “Đồ thị của hàm số 2y ax= là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh O. Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị. Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị” Như vậy, chúng tôi nhận thấy việc trình bày cách vẽ đồ thị hàm số 2y ax= giữa Việt Nam và Úc có những sự tương đồng về cách vẽ đồ thị nối các điểm từ bảng giá trị của hàm số. Ở giai đoạn này, SGK Việt Nam đưa ra một số kiểu nhiệm vụ đối với hàm số 2y ax= mà GT Úc không đề cập trong phần giới thiệu hàm số 2y x= : Đối với kiểu nhiệm vụ TRbienthien.9R: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số = 2y ax Kỹ thuật 1: Dựa vào bảng giá trị x -xR3 -xR2 -xR1 0 xR1 xR2 xR3 2y ax= yR3 yR2 yR1 0 yR1 yR2 yR3 So sánh các giá trị: Trường hợp x > 0, tức là khi thay lần lượt các giá trị: 1 2 3 ...x x x< < < vào hàm số 2y ax= mà các giá trị tương ứng của hàm số 1 2 3 ...y y y< < < thì hàm số 2y ax= đồng biến khi x > 0. 1 2 3 ...x x x< < < vào hàm số 2y ax= mà các giá trị tương ứng của hàm số 1 2 3 ...y y y> > > thì hàm số 2y ax= nghịch biến khi x > 0. Tương tự đối với trường hợp x < 0. Công nghệ: Tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số. Kỹ thuật 2: Dựa vào đồ thị hàm số. 34 − Trường hợp x > 0, đồ thị có chiều đi lên thì chứng tỏ hàm số đồng biến; đồ thị có chiều đi xuống thì chứng tỏ hàm số nghịch biến. − Tương tự đối với trường hợp x < 0. TRgtln,gtnn.9R: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 2=y ax trên đoạn [a, b] Kỹ thuật: Vẽ đồ thị hàm số 2y ax= Hình 1.5 Dựa vào hình 1.5 của đồ thị hàm số, xác định GTLN và GTNN của hàm số 2y ax= trên đoạn [a, b]. Công nghệ: Tính chất biến thiên hàm số trên đoạn [a, b]. Đối với TRgtln,gtnnR, chúng tôi tìm thấy trong bài tập 10. “10. Cho hàm số 20,75y x= − . Qua đồ thị của hàm số đó, hãy cho biết khi x từ -2 đến 4 thì gtln, gtnn của y là bao nhiêu?” [SGK Toán 9-2, tr.39] Lời giải được trình bày trong SGV như sau: 35 [SGV Toán 9-2, tr.38] Kiểu nhiệm vụ Ví dụ – Bài tập TRVe.9 5 TRbienthien.9 2 TRgtln,gtnn.9 1 Bảng 1.4. Thống kê kiểu nhiệm vụ trong SGK Toán 9-2 Tóm lại Qua việc phân tích SGK, chúng tôi rút ra một số nhận xét: SGK tiếp cận đối tượng HSBH với dạng đơn giản nhất 2y ax= trình bày rất cụ thể về tính giá trị hàm số, sự biến thiên hàm số, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và vẽ đồ thị hàm số. Ở giai đoạn này, vai trò công cụ của đồ thị hàm số 2y ax= xuất hiện tương đối ít. Phần lớn các bài tập chủ yếu tập trung vào việc rèn luyện cho HS kỹ năng tính giá trị hàm số và vẽ đồ thị hàm số 2.y ax= Ngoài ra, SGK cũng có nhắc đến bài toán GTLN, GTNN và sử dụng phương pháp biến thiên hàm số để giải quyết KNV tìm GTLN, GTNN. 1.2.3. Phân tích SGK Toán 10 CB Ở lớp 10, SGK trình bày đối tượng HSBH với hai nội dung sau: • Tính chất của hàm số • Đồ thị hàm số Đối với tính chất hàm số, HSBH là một hàm đa thức trên trường số thực, nó là trường hợp riêng của hàm số đa thức nên các tính chất của HSBH cũng được SGK trình bày trong bài 1. Hàm số với các kiểu nhiệm vụ: 36 • Xét tính chẳn, lẽ của hàm số • Tính giá trị hàm số Đối với bài 3. Hàm số bậc hai, SGK Toán 10 giảng dạy nội dung chủ yếu trình bày cho HS biết cách vẽ đồ thị và sự biến thiên của HSBH. Vấn đề đặt ra, SGK đã sử dụng công cụ gì để giải thích đồ thị HSBH là đường parabol?. Để tìm câu trả lời chúng tôi tiến hành phân tích SGK xoay quanh các nội dung: − Sự hiện diện của phép tịnh tiến trong SGK − Tiếp cận và hình thành cách vẽ đồ thị − Vai trò công cụ của khái niệm HSBH Việc dạy học HSBH ở lớp 10 là sự nối tiếp từ chương trình Toán lớp 9. Do đó trong phần mở đầu, SGK nhắc lại các kiến thức của hàm số 2=y ax đã học ở lớp 9 thông qua hoạt động 1, đồng thời hàm số 2y ax= được SGK trình bày trong mục nhận xét với nội dung như sau: Điểm O(0, 0) là đỉnh của đồ thị hàm số dạng 2y ax= (parabol) với điều kiện: − Trường hợp a > 0, 0,y x≥ ∀ thì O là điểm thấp nhất của parabol − Trường hợp a < 0, 0,y x≤ ∀ thì O là điểm cao nhất của parabol [SGK Toán 10 CB, tr.43] Qua nhận xét trên, SGK đã cũng cố lại cho HS thấy được vị trí điểm O(0, 0) là đỉnh của parabol y = axP2P. Dựa vào đặc điểm của đỉnh parabol, SGK đã lý giải và đưa ra công thức tọa độ đỉnh của HSBH dạng 2y ax bx c= + + như sau: “Thực hiện phép biến đổi đã được học ở lớp 9, ta có thể viết 2 2 2 4 by ax bx c a x a a −∆ = + + = + +    , với 2 4b ac∆ = − ” [SGK Toán 10 CB, tr.43] 37 Chúng tôi giả định rằng việc biến đổi biểu thức giải tích dạng tổng quát 2= + +y ax bx c về dạng 2 4 2 by a x a a ∆  + = +    tức là dạng đơn giản nhất 2Y aX= , trong đó , 2 4 bX x Y y a a ∆ = + = + (1). Từ các kiến thức đã học ở lớp 9, SGK có thể trình bày HSBH tổng quát theo quan điểm “đổi hệ trục tọa độ”P4F5P. Tuy nhiên, SGK chỉ đưa ra nhận xét về công thức tọa độ đỉnh: “Nếu 2 bx a − = thì 4 y a −∆ = . Vậy điểm ( , ) 2 4 bI a a − −∆ thuộc đồ thị hàm số y = axP2P + bx + c.” “Nếu a > 0 thì 4 y a −∆ ≥ với mọi x, do đó I là điểm thấp nhất của đồ thị. Nếu a < 0 thì 4 y a −∆ ≤ với mọi x, do đó I là điểm cao nhất của đồ thị” [SGK Toán 10 CB, tr.43] Để có nhận xét trên, chúng tôi lý giải như sau: Ta biết rằng, HS đã biết mệnh đề đúng: “ 2 0,x x R≥ ∀ ∈ ” [SGK Toán 10 CB, tr.7]. Từ biểu thức giải tích: 2 2 4 by a x a a −∆ = + +    , ta có 2 trường hợp sau: Trường hợp a > 0 thì 2 2 0, , 2 2 4 4 b ba x x a x x a a a a −∆ −∆   + ≥ ∀ ⇒ + + ≥ ∀        , tức là 4 y a −∆ ≥ với mọi x. Trường hợp a < 0 thì 2 2 0, , 2 2 4 4 b ba x x a x x a a a a −∆ −∆   + ≤ ∀ ⇒ + + ≤ ∀        , tức là 4 y a −∆ ≤ với mọi x. 5 Đổi trục tọa độ đến gốc ( , ) 2 4 bI a a − −∆ ,công thức là , 2 4 bx X y Y a a ∆ = − = − [] 2Y aX= là phương trình của đồ thị (C) trong hệ trục tọa độ IXY. Như vậy, (C) là một parabol có đỉnh là gốc tọa độ I và nhận trục tung IY làm trục đối xứng”[SGK Đại số 10-2000, tr.34] 38 Qua đó, ta thấy SGK Việt Nam tiếp cận và giải thích công thức tọa độ đỉnh của HSBH 2y ax bx c= + + dựa vào biến đổi biểu thức giải tích của HSBH, xem xét đỉnh I của parabol 2y ax bx c= + + dưới cái nhìn là điểm cao nhất hoặc là thấp nhất mà HS đã học ở lớp 9 với hàm số 2y ax= nhằm giúp cho HS hình thành hai kỹ năng sau: Một là, tiếp thu một cách máy móc về công thức tọa độ đỉnh ( , ) 2 4 bI a a − −∆ của parabol mà không quan tâm đến mối liên hệ giữa đỉnh O(0, 0) parabol hàm số 2y ax= và ( , )2 4 bI a a − −∆ đỉnh của đồ thị HSBH 2y ax bx c= + + trong mặt phẳng tọa độ, tức là phép biến đổi đồ thị không được thể chế mong đợi trong phần lý thuyết này; Hai là, việc biến đổi biểu thức giải tích 2= + +y ax bx c đưa về dạng bình phương 2 2 4 by a x a a −∆ = + +    sẽ giúp hình thành cho HS kỹ năng tìm GTLN, GTNN của HSBH trên tập số thực R. Như vậy, quan điểm trình bày về tọa độ đỉnh của HSBH giữa Việt Nam và Úc dẫn đến khác biệt trong kỹ thuật tìm tọa độ đỉnh I của parabol như sau: Kiểu nhiệm vụ Kỹ thuật T: Xác định tọa độ đỉnh HSBH 2y ax bx c= + + Việt Nam Úc Dựa vào công thức tọa độ đỉnh ( , ) 2 4 bI a a − −∆ Ví dụ minh họa: Bài 1. Tr 49 Xác định tọa độ đỉnh a) 2 3 2y x x= − + Giải: Tọa độ đỉnh 3 1( ; ) 2 4 I − Hạn chế: có thể HS hiểu máy móc công thức, quan hệ giữa 2 đồ thị bởi phép tịnh tiến không Đưa về dạng bình phương, tức là HSBH dạng 2y ax bx c= + + đưa về dạng: 2( )y a x h k= − + . Tọa độ đỉnh I (h, k). Hạn chế: Biến đổi biểu thức phức tạp về dạng bình phương mất thời gian nếu hệ số là phân số, số thập phân,.. Ưu điểm: HS hiểu được mối 39 được quan tâm. Ưu điểm: Xác định tọa độ đỉnh nhanh, chính xác đối với các hệ số là phân số, số thập phân, liên hệ giữa đồ thị hàm số 2y ax= và đồ thị hàm số 2y ax bx c= + + bằngohai phép tịnh tiến liên tiếp dọc theo trục hoành, trục tung. Tiếp đến, SGK trình bày đồ thị của HSBH tổng quát 2y ax bx c= + + là một đường parabol. Tuy nhiên, ở giai đoạn này, các công cụ giải tích như giới hạn, điểm cực trị, điểm uốn, chưa được giảng dạy trong chương trình lớp 10, nên SGK không chứng minh về đồ thị HSBH là đường cong mà chỉ giải thích như sau: “Đồ thị của hàm bậc hai 2y ax bx c= + + được suy ra từ đường parabol 2y ax= bằng các phép tịnh tiến song song trục hoành và trục tung.” [SGV Toán 10 CB, tr.52]. Và được cụ thể hóa trong SGK với nội dung trong bài đọc thêm như sau: Đầu tiên, SGK trình bày mối liên hệ giữa đồ thị của hàm số 2 0y ax y= + và đồ thị của hàm số 2=y ax minh họa hình 1.6 sau: Hình 1.6 Khi đó, SGK lý giải về đồ thị của hàm 2 0y ax y= + như sau: Nếu điểm M (X, Y) thuộc đồ thị hàm số 2y ax= thì điểm N(X, Y + yR0R) thuộc đồ thị hàm số 2 0.y ax y= + 40 Nếu dịch chuyển (tịnh tiến) M (X, Y) song song với trục tung một đoạn bằng 0y đơn vị (lên trên nếu yR0R > 0, xuống dưới nếu yR0 R< 0) thì được điểm N(X, Y + yR0R). [SGK Toán 10 CB, tr.46] Chúng tôi thấy rằng SGK Toán 10 đã khẳng định ảnh của điểm M thuộc parabol hàm số 2y ax= qua phép tịnh tiến song song với các hệ trục tọa độ sẽ thuộc đồ thị hàm số 2 0y ax y= + . Tuy nhiên HS lớp 10 chưa học về phép tịnh tiến nên SGK đã đưa ra một số quy ước như: yR0R > 0 dịch chuyển lên trên, yR0R < 0 dịch chuyển xuống dưới. Và cuối cùng SGK đưa ra kết luận: Đồ thị của hàm số 2 0y ax y= + nhận được từ đồ thị của hàm số 2y ax= nhờ phép tịnh tiến song song với trục tung 0y đơn vị, lên trên nếu yR0R> 0, xuống dưới nếu yR0R < 0. [SGK Toán 10 CB, tr.47] Tương tự lập luận như trên, mối liên hệ giữa hai đồ thị hàm số 20( )y a x x= + và 2y ax= trên mặt phẳng tọa độ Oxy thể hiện ở hình 1.7: Hình 1.7 41 SGK đưa ra kết luận: Đồ thị của hàm số 20( )y a x x= + nhận được từ đồ thị của hàm số 2y ax= nhờ phép tịnh tiến song song với trục hoành 0x đơn vị, về bên trái nếu xR0R > 0, về bên phải nếu xR0R < 0. [SGK Toán 10 CB, tr.47]. SGK trình bày mối liên hệ giữa đồ thị hàm số 2= + +y ax bx c và đồ thị hàm số 2y ax= như sau: Hình 1.8 Đồ thị của hàm số y = axP2P + bx + c được suy ra từ đồ thị y = axP2P nhờ vào hai phép tịnh tiến liên tiếp được giải thích như sau: [SGK Toán 10 CB, tr.48] Trong chương trình Toán 10 CB chỉ trình bày phép tịnh tiến đồ thị và chứng minh đồ thị HSBH là đường cong parabol trong bài đọc thêm. Điều này chứng tỏ SGK chưa quan tâm đến kỹ thuật vẽ đồ thị HSBH bằng phép tịnh tiến. Các tổ chức toán học trong SGK Toán 10 CB liên quan đến HSBH: Kiểu nhiệm vụ TRve.10R: Vẽ đồ thị hàm số = + +2y ax bx c Kỹ thuật: Xác định tọa độ đỉnh ( , ) 2 4 bI a a − −∆ 42 − Vẽ trục đối xứng 2 bx a − = − Xác định giao điểm trục hoành, trục tung − Vẽ: nối các điểm với nhau. Ví dụ minh họa Vẽ parabol 23 2 1y x x= − − Ta có Đỉnh 1 4; 3 3 I −     Trục đối xứng là đường thẳng 1 3 x = Giao điểm với Oy là A(0, -1). Điểm đối xứng với A(0, -1) qua đường thẳng 1 3 x = là 2' ; 1 3 A  −    . Giao điểm với Ox là B(1, 0) và 1 ;0 3 C  −    . Đồ thị như hình 22. [SGK Toán 10 CB, tr.45] Kiểu nhiệm vụ: TRbienthien.10R: Xét sự biến thiên hàm số = + +2y ax bx c Kỹ thuật 1: Trong SGV Toán 10 CB, tr.59 như sau: 43 Kỹ thuật 2: Dựa vào đồ thị. − Vẽ đồ thị HSBH − Nếu đồ thị đi lên (đi xuống) trong khoảng K thì hàm số tăng (giảm) trên K. Kiểu nhiệm vụ Ví dụ - bài tập SBT TRToado.10 2 1 TRVe.10R: Vẽ đồ thị hàm số 2y ax bx c= + + 4 2 TRbienthien.10R: Xét sự biến thiên hàm số 2y ax bx c= + + 2 2 Bảng1.5 Thống kê kiểu nhiệm vụ về vẽ đồ thị trong SGK Toán 10 CB Chúng tôi nhận thấy các kiểu nhiệm vụ ở TRVe.9R và TRbienthien.9R đã học ở lớp 9 thì đến lớp 10 đã được cũng cố lại tương ứng với KNV TRVe.10R, TRbienthien.10R với HSBH 2y ax bx c= + + . Tuy nhiên knv TRgtnn.9R lại không được tìm thấy trong nội dung của SGK Toán 10 CB này. Điều này có thể dẫn đến khó khăn cho HS khi tìm GTLN, GTNN của HSBH 2y ax bx c= + + trên R, cũng như trên đoạn [a, b]. Ngoài ra, chúng tôi ghi nhận trong luận văn của Nguyễn Hồng Tú “Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dạy học Toán ở Phổ thông” năm 2012 đề cập về việc tìm GTLN, GTNN của HSBH: “Vai trò của bảng biến thiên mờ nhạt trong việc tìm gtln và gtnn của hàm số ở giai đoạn này”. Tuy nhiên, trong luận văn của Nguyễn Hồng Tú chưa kiểm chứng nhận định trên để đưa ra tính thỏa đáng đối với HS lớp 10. Kết luận 44 Qua việc phân tích SGK Toán 10 CB, chúng tôi có một số nhận xét về đối tượng HSBH như sau: Như mục tiêu đã đề ra, trọng tâm chủ yếu của bài học rèn luyện cho HS kỹ năng cách lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với tỉ lệ TRve.1 R6/10 và TRbienthien.10R 4/10. Tuy nhiên, đặc trưng biến thiên của hàm số trình bày chỉ mang tính hợp thức hóa cho các bước khảo sát hàm số mà HS sẽ được học về sau. Sự kế thừa các kết quả đã nghiên cứu hàm số 2y ax= học ở lớp 9 chỉ thể hiện trong việc giải thích công thức tọa độ của đỉnh. Ở giai đoạn lớp 10, khi mà đối tượng giải tích chưa được giảng dạy trong chương trình, chúng tôi cho rằng phép biến đổi đồ thị sẽ mang lại hiệu quả trong việc chứng minh đồ thị của HSBH là đường cong parabol, tạo tính liên kết chặc chẽ giữa các kiến thức đồ thị hàm số 2y ax= đã học ở lớp 9 với đồ thị HSBH tổng quát học ở lớp 10. Tuy nhiên, SGK Toán CB trình bày chứng minh đồ thị của HSBH 2y ax bx c= + + là một đường parabol trong “bài đọc thêm”. Do đó, HS gặp một số trở ngại khi tự nghiên cứu mối liên hệ giữa đồ thị HSBH 2y ax bx c= + + với hàm bậc hai 2y ax= bởi phép biến đổi đồ thị nói chung và phép tịnh tiến đồ thị nói riêng. Về vai trò công cụ của khái niệm HSBH trong nội bộ Toán học, chúng tôi nhận thấy SGK Toán 10 CB chỉ sử dụng đồ thị HSBH để rút ra các kết quả về sự biến thiên HSBH và thể hiện trong knv TRbienthien.10R. Ngoài ra, các bài toán GTLN, GTNN của HSBH hầu như vắng bóng trong SGK Toán 10 CB này. 45 1.2.4. Phân tích SGK Toán 10 NC Trong phần phân tích này, chúng tôi nghiên cứu hai đối tượng mà SGK Toán 10 CB không trình bày trong bày học chính là: − Phép tịnh tiến đồ thị − Các bài toán gtln, gtnn của HSBH trong SGK Ngoài mục tiêu đã nêu trên trong SGK CB, SGK NC còn yêu cầu HS đạt được những mục tiêu sau: Về kiến thức: “Hiểu quan hệ giữa đồ thị của hàm số 2y ax bx c= + + và đồ thị của hàm số 2y ax= ”; Về kỹ năng: Biết cách giải một số bài toán đơn giản về đồ thị của hàm số bậc hai”. Như vậy, ta thấy rằng chương trình Toán 10 NC đã đề cập đến vai trò của phép biến đổi đồ thị và vai trò công cụ của đồ thị HSBH. Trong phần phân tích SGK, trước hết chúng tôi sẽ phân tích: Vai trò phép tịnh tiến đồ thị trong việc tiếp cận và đưa ra cách vẽ đồ thị HSBH. Trong bài 1. Đại cương về hàm số, SGK Toán 10 NC đưa vào trình bày thêm mục 4. Sơ lược về tịnh tiến đồ thị song song trục tọa độ mà SGK Toán 10 CB không đề cập đến với nội dung: − Tịnh tiến các điểm trên hệ tọa độ Oxy − Tịnh tiến đồ thị của hàm số Sở dĩ, SGK Toán 10 NC chỉ trình bày tịnh tiến song song trục tọa độ được giải thích như sau: “thông thường nói đến phép tịnh tiến là phải nói đến vectơ. Nhưng tại thời điểm này, học sinh chưa được học đến tọa độ vectơ. Do đó, SGK phải dung giải pháp mô tả phép tịnh tiến,[], thay vì nói phép tịnh tiến theo vectơ ( 2,0)v = − , ta nói: tịnh tiến song song với trục hoành sang trái 2 đơn vị.[], học sinh cũng dễ tiếp nhận bằng trực giác.” [SGV Toán 10 NC, tr.72]. Phép tịnh tiến trong chương trình Toán 10 NC nhằm mục đích sau: “Việc sử dụng phép tịnh tiến là làm cho học sinh thấy được một cách thuyết phục mối liên quan giữa các hàm số bậc hai với hàm số 2y ax= đã được học ở lớp dưới”. [SGV Toán 10 NC, tr.83] 46 Đối với phép tịnh tiến một điểm trên hệ trục Oxy, SGK NC được ra nhận xét sau: Trong mặt phẳng tọa độ, xét điểm MR0R(xR0R, yR0R). Với số k > 0 đã cho, ta có thể dịch chuyển điểm MR0R: Lên trên hoặc xuống dưới (theo phương của trục tung) k đơn vị; Sang trái hoặc sang phải (theo phương của trục hoành) k đơn vị. Khi dịch chuyển điểm MR0R như thế, ta còn rằng tịnh tiến