Luận văn Sử dụng hàng điểm điều hòa trong giải toán hình học phẳng

này, chúng ta nhận thấy xuất hiện các tam giác vuông. Do đó, ta có thể sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông. Các hệ thức này có quan hệ với hệ thức Niu-tơn về hàng điểm điều hòa. Đó cũng là một ý tưởng để chứng minh hàng điểm điều hòa. Ta có OB2 = OK.OA (hệ thức lượng tam giác vuông) (1) Mặt khác ta lại có: OB2 = OE2 = OF2 (2) Từ (1) và (2) ta suy ra: OE2 = OF2 = OK.OA. Từ đó suy ra điều phải chứng minh (Hình 2.4) . Hình 2.4 Ví dụ 2.5. [2] Cho hình vuông và một đường tròn tâm O nội tiếp hình vuông. Một tiếp tuyến bất kỳ của đường tròn cắt các cặp cạnh đối của hình vuông tại A, B và C, D. Chứng minh rằng (ABCD) = - 1. Giải. Bài toán xuất hiện các đường phân giác của một góc. Điều này gợi ý cho việc sử dụng các chùm phân giác trong chứng minh hàng điểm điều hòa. A B E K O F C 23 * Cách 1: Ta có OD là phân giác của GOF, OC là phân giác của FOI mà ta lại có GOF + FOI = 180o nên ODOC (1) Ta có OA là phân giác của EOF, OD là phân giác của FOG. Từ đó suy ra rằng AOD = AOF + FOD = 1 2 EOF + 1 2 FOG = 450. Từ điều trên và (1) suy ra OA là phân giác của COD. Tương tự, ta chứng minh được OA  OB (Hình 2.5). Như vậy: OA, OB, OC, OD là một chùm đường thẳng điều hòa. Từ đó suy ra (ABCD) = - 1. Hình 2.5 * Cách 2: Xét chùm đường thẳng FE, FI, FH, FG. Ta có: số đo cung EI = số đo cung IH  FI là phân giác EFH số đo cung IH = số đo cung HG  FH là phân giác IFG Suy ra FE, FI, FH, FG là chùm đường thẳng điều hòa. Mặt khác: FE  OA, FI  OC, FH  OB, FG  OD. Từ đó suy ra các đường thẳng OA, OB, OC, OD cũng là chùm phân giác nên nó là chùm đường thẳng điều hòa, suy ra (ABCD) = - 1. C N E A F D G O I B Q H P M 24 Ví dụ 2.6. [2] Cho đường tròn tâm O, điểm M nằm ngoài đường tròn. Gọi MA, MB là hai tiếp tuyến với đường tròn (A, B là các tiếp điểm) và cát truyến MCD với đường tròn (C, D thuộc đường tròn tâm O). Chứng minh rằng AM, AB, AC, AD là chùm đường thẳng điều hòa. Giải. Gọi  I AB MO  , OM cắt (O) tại C’, D’ (Hình 2.6). Ta có MO  AB và cung AC’ = cung BC’. Gọi  H AB CD  . Ta có (NIC’D’) = - 1  D(NIC’D’) = - 1. Từ đó suy ra DC’ là phân giác của MDI (vì C’D DD’). Vậy cung CC’ = cung C’K (với   ( )K DI O  ). Như vậy, các điểm C, A đối xứng với K, B qua đường thẳng MO. Vì thế CIA = KIB, mà KIB = AID (hai góc đối đỉnh) nên CIA = AID hay IA là phân giác của CID. Mặt khác IM  IA. Vậy IM, IA, IC, ID là chùm phân giác nên nó là chùm đường thẳng điều hòa. Từ đó suy ra (MHCD) = -1 hay AM, AB, AC, AD là chùm đường thẳng điều hòa. Hình 2.6 * Nhận xét: Từ bài toán trên, ta có kết quả sau đây: “Với mỗi cát tuyến MCD cắt đường nối hai tiếp điểm A, B của đường tròn tại điểm H thì ta có hàng điểm điều hòa: (MHCD) = - 1”. Ví dụ 2.7. [2] Cho ABCnội tiếp đường tròn (O), tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt nhau tại I. Một đường thẳng d đi qua I cắt AC, BC lần lượt tại M và N, cắt đường tròn (O) tại P, Q. Chứng minh rằng (MNPQ) = -1. . M A D D’ O I B K C’ C H 25 Giải. Bài toán xuất hiện các tiếp tuyến từ một điểm đến đường tròn, do đó sẽ xuất hiện các đường đối cực của một điểm nào đó đối với đường tròn. Chúng ta có thể khai thác yếu tố “cực” và “đường đối cực” trong bài toán này. Hình 2.7 Giải. Dựng các tiếp tuyến MD, ME. Giả sử 'N DE BC  . Áp dụng định lý Briăng-xông cho lục giác AEDDBC có: , ',DDAE DB T ED BC N CA M      . Khi đó M, N’, T thẳng hàng, từ đó suy ra PQ, BC, DE đồng quy. Mà 'PQ BC N N N    . Do đó N ED suy ra (MNPQ) = -1 (tính chất “cát tuyến cắt đường nối hai tiếp điểm” với MD, ME là hai tiếp tuyến). Từ đó ta có điều phải chứng minh. 2.2. Chứng minh vuông góc Cực và đường đối cực là một công cụ hiệu quả trong chứng minh quan hệ vuông góc trong mặt phẳng. Dưới đây chúng tôi minh họa một số ví dụ về khai thác các tính chất của cực và đường đối cực trong giải bài toán chứng minh vuông góc. Ví dụ 2.8. [4] Giả sử đường tròn (O) với tâm O và bán kính R. Qua điểm M nằm trong đường tròn (M khác điểm O) vẽ hai dây cung CD và EF không đi qua tâm O. Hai tiếp tuyến tại C, D của (O) cắt nhau tại điểm A, hai tiếp tuyến tại E, F của (O) cắt nhau tại điểm B. Chứng minh rằng OM và AB vuông góc với nhau. . O I A Q B T N P M E C D 26 Giải. Bài toán có hai tiếp tuyến với đường tròn với yêu cầu chứng minh vuông góc. Điều này giúp ta liên tưởng đến đường đối cực của một điểm đối với một đường tròn. Ta thấy đường đối cực của điểm A là đườngthẳng CD đi qua M nên đường đối cực của điểm M sẽ đi qua điểm A (Hình 2.8). Tương tự, đường đối cực của điểm M đi qua điểm B. Vậy, đường thẳng AB chính là đường đối cực của điểm M. Do đó, AB vuông góc với OM. Ví dụ 2.9. [4] Cho tam giác ABC cân tại A. Hai đường thẳng d1, d2 bất kì qua điểm A. Các đường thẳng đi qua B, C tương ứng vuông góc với d1, d2 cắt nhau tại D. Đường thẳng đi qua B vuông góc với AB cắt d1 tại E, đường thẳng đi qua C vuông góc với AC cắt d2 tại F. Chứng minh rằng AD vuông góc với EF. Giải. Bài toán này không xuất hiện đường tròn nhưng ta để ý thấy yếu tố “cân” trong tam giác ABC. Vậy, có đường tròn tâm A, bán kính AB đi qua B và C (Hình 2.9). Dễ nhận thấy BE, CF lần lượt là các tiếp tuyến của đường tròn (A; AB). Đường đối cực của điểm E sẽ đi qua điểm B và vuông góc với AE hay d3. Tương tự, đường đối cực của điểm F sẽ đi qua điểm C và vuông góc với CF hay d4. Vậy, cực của đường thẳng EF đối với đường tròn (A; AB) chính là điểm D. từ đó suy ra AD vuông góc với EF. Hình 2.8 Hình 2.9 27 Ví dụ 2.10. [4] Cho tam giác ABC với các đường cao BB’, CC’. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB. Đường thẳng EF cắt đường thẳng B’C’ tại điểm K. Chứng minh rằng AK vuông góc với đường thẳng Ơle của tam giác ABC. Giải. Ta xét cực và đường đối cực đối với đường tròn Ơle của tam giác ABC (đường tròn tâm O9). Gọi I là giao điểm của FB’ và EC’, G là giao điểm của CF và BE, H là giao điểm của BB’ và CC’. Áp dụng định lý Pa-puýt cho hai bộ ba điểm (F, C’, B) và (E, B’, C) ta suy ra ba điểm H, G, I thẳng hàng (Hình 2.10). Do đó, O9I là đường thẳng Ơle của tam giác ABC (1) Hình 2.10 Mặt khác, chú ý E, F, B’, C’ cùng nằm trên đường tròn (O9) nên suy ra AK chính là đường đối cực của điểm I. Vậy, O9I vuông góc với AK (2) Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 2.11. [4] Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường phân giác trong BE, CF của các góc B, góc C cắt lại (O) lần lượt tại M, N. Đường thẳng qua điểm M vuông góc với BM cắt đường thẳng đi qua N vuông góc với CN tại điểm S. Chứng minh rằng SO vuông góc với EF. Giải. Trước hết ta tìm đường đối cực của điểm S đối với đường tròn (O) và chứng minh rằng nó song song với EF. Các đường thẳng SN, SM cắt lại (O) lần lượt tại L, G. Khi đó, ta dễ thấy C, O, G thẳng hàng và B, O, L thẳng hàng. Tiếp tuyến tại 28 G và N của (O) cắt nhau tại điểm Q, tiếp tuyến của tại L và M của (O) cắt nhau tại điểm P. Đường thẳng OP cắt LM tại điểm H, đường thẳng OQ cắt NG tại điểm K. Ta thấy, đường đối cực của điểm Q là đường thẳng GN đi qua S nên đường đối cực của điểm S đi qua điểm Q. Tương tự, đường đối cực của điểm S cũng đi qua điểm P. Do đó, đường đối cực của điểm S là PQ (Hình 2.11). Ta chứng minh PQ // EF. Thật vậy, ta thấy IE // OP, IF // OQ nên để chứng minh PQ // EF ta chỉ ra góc lượng giác  , ( , ) 2FI FE QO QP k   . Hình 2.11 Mặt khác, ta nhận thấy 2 2. .OK OQ OG OL OH OP   .Từ đó suy ra 5 điểm Q, K, H, P cùng nằm trên đường tròn và  , ( , ) k 2QO QP HK HO   .Từ đó suy ra ta cần chỉ ra  , ( , ) k 2FI FE HK HO   (1) Kẻ ID, IV lần lượt vuông góc với AC, AB và chú ý rằng: sinsin sin sin ID IE IFVIED IVIF IED IFV    (vì ID = IV) 29 sin sin2 sin sin 2 C A NAC CM OK B MAB BM OH A                (định lý hàm số sin) (2) Ta lại có IE // OH, IF // OK nên  , ( , ) 2FI FE HK HO k   (3) Từ (2) và (3) suy ra tam giác IEF đồng dạng với tam giác OKH. Do đó, (1) đúng nên suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 2.12. [4] Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (I) và nội tiếp đường tròn (O). Tiếp điểm của đường tròn (I) trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là M, N, P, Q. Chứng minh rằng MP vuông góc với NQ. Giải. Trường hợp tứ giác ABCD có ít nhất một cặp cạnh song song thì đơn giản. Ta sẽ giải bài toán trong trường hợp còn lại. Hình 2.12 Xét cực và đường đối cực đối với đường tròn (I) (Hình 2.12). Đường thẳng AB cắt đường thẳng CD tại điểm E, đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại điểm F. Ta thấy cực của đường thẳng MP là điểm E, cực của đường thẳng NQ là điểm F. Để giải bài toán ta chỉ cần chứng minh IE và IF vuông góc với nhau. Thật vậy, IE, IF lần lượt là phân giác của các góc AED, AFB. Gọi giao điểm của IF với AB và CD lần lượt là S, V thì ta cần chứng minh tam giác ESV cân tại điểm E. 30 Ví dụ 2.13. [4] Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O). Gọi M, N, P, Q lần lượt là các tiếp điểm trên các cạnh AB, BC, CD, DA với đường tròn. Gọi K là giao điểm của MQ với NP. Chứng minh rằng OK vuông góc với AC. Giải. Bài toán xuất hiện các tiếp tuyến từ một điểm đến đường tròn, từ đó ta dễ dàng nhận thấy đường thẳng AC là đường đối cực của điểm K và đường thẳng QK là đường đối cực của điểm A. Do đó, gọi E và F là hai giao điểm của AC với đường tròn (O). Hai tiếp tuyến qua E và F với đường tròn (O) cắt nhau tại K’. Dễ dàng chứng minh được rằng các điểm K’, N, P thẳng hàng và K’, M, Q thẳng hàng (Hình 2.13). Từ đó suy ra K’ là giao điểm của MQ với NP hay K’  K. Vậy KE, KF là hai tiếp tuyến kẻ từ K với đường tròn (O). Từ đó suy ra KO  EF hay KO  AC. Hình 2.13 Ví dụ 2.14. [2] Cho tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn (O). Đặt K = QM  PN, L = MN  QP, I = MP  QN. Chứng minh rằng I là trực tâm của tam giác KOL. Giải. Phân tích tương tự ví dụ 2.13 ta thấy xuất hiện các cực và đường đối cực trong bài toán này, do đó sẽ có các điểm cùng nằm trên một đường thẳng. . B A E M O N F C P D Q K 31 Kẻ bốn tiếp tuyến đi qua M, N, P, Q với đường tròn (O). Các tiếp tuyến này cắt nhau tại bốn điểm là A, B, C, D. Dễ thấy I là giao điểm của AC với BD. Mặt khác, ta thấy BD  OL nên suy ra D, B, K thẳng hàng. Suy ra KI  OL và LI  KO hay I là trực tâm của KOL (Hình 2.14). 2.3. Chứng minh song song Ví dụ 2.15. [4] Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp là (I). Tiếp điểm của (I) trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Đường thẳng AD cắt lại đường tròn (I) tại điểm M. Đường thẳng đi qua M vuông góc với đường thẳng AD cắt EF tại điểm N. Chứng minh rằng AN song song với BC. Giải. Xét cực và đường đối cực đối với đường tròn (I). Gọi P là giao điểm thứ hai của MN với (I). Dễ thấy D, P, I thẳng hàng. Đường thẳng EF cắt IP, IA lần lượt tại điểm J, G. Ta thấy 2. .AM AD AE AG AI  (Hình 2.15). Ta suy ra các điểm M, G, I, D cùng nằm trên đường tròn. Do đó: góc lượng giác . K L A B C D M N P Q O I Hình 2.14 32 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 GM GF GA GF GA GM k DI DM       ( , ) ( , ) ( , )MD MP DI DM k PM PD k      Từ đó, suy ra tứ giác MGJP nội tiếp. Ta có: . . .NJ NG NP NM NE NF  . Hình 2.15 Chú ý rằng G là trung điểm của FE nên ta suy ra (NJEF) = -1 hay N thuộc đường đối cực của điểm J (1) Mặt khác, đường đối cực của điểm A là EF đi qua J nên đường đối cực của điểm J đi qua A (2) Từ (1) và (2) suy ra đường đối cực của điểm J là đường thẳng AN. Vậy IJ vuông góc với AN, mà IJ vuông góc với BC từ đó suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 2.16. [4] Cho hai đường thẳng a và a’ cắt nhau tại A và giả sử trên a ta có bốn điểm A, B, C, D sao cho (ABCD) = -1 và trên a’ có bốn điểm A, B’, C’, D’ sao cho (AB’C’D’) = -1. Chứng minh rằng các đường thẳng BB’, CC’, DD’ hoặc song song với nhau hoặc đồng quy. Giải. Bài toán sử dụng đến các chùm đường thẳng song song hoặc chùm các đường thẳng đồng quy. Tỉ số kép không đổi của một chùm đường thẳng được khai thác trong ví dụ này. 33 * Nếu BB’ và CC’ cắt nhau tại O, giả sử tia OD cắt đường thẳng a’ tại D’’. Vì (ABCD) = -1  O(ABCD) = -1  O(AB’C’D’) = -1  (AB’C’D’’) = -1. Hình 2.16 Mặt khác, theo giả thiết (AB’C’D’) = -1 nên D’ trùng với D’’. Vậy các đường thẳng BB’, CC’, DD’ đồng quy tại O. * Nếu BB’ và CC’ song song, từ A và D ta vẽ các đường thẳng song song với CC’ và BB’. Đường thẳng song song đi qua D cắt AB’ tại D’’, ta chứng minh D’’ trùng với D’. Từ đó, ta suy ra các đường thẳng BB’, CC’, DD’ song song. 2.4. Chứng minh thẳng hàng Cực và đường đối cực là công cụ hữu hiệu trong chứng minh thẳng hàng. Thật vậy, chúng ta có thể sử dụng tính chất “cực của các đường thẳng đồng quy thì thẳng hàng” hoặc quỹ tích các điểm liên hợp với một điểm cho trước để chỉ ra chúng cùng nằm trên đường đối cực của điểm đó. Ví dụ 2.17. [4] Cho một điểm A cố định và một đường thẳng d cố định không đi qua A. Gọi O là hình chiếu vuông góc của A trên d và I là trung điểm của đoạn thẳng AO. Trên đường thẳng d ta lấy hai điểm thay đổi P và Q không trùng với O. Dựng các đường thẳng Px và Qy vuông góc với d. Đường thẳng QI cắt AP và Px lần lượt tại M và N. Đường thẳng PI cắt AQ và Qy lần lượt tại M’ và N’. a) Chứng minh (QMIN) = -1, (PM’IN’) = -1. b) Chứng minh ba điểm N, A, N’ thẳng hàng. O A B’ C’ D’ a B C D a’ 34 Giải. Trong bài toán này, chúng ta cần chỉ ra các điểm N, A, N’ cùng nằm trên đường đối cực của điểm I đối với hai đường thẳng đồng quy AP, AQ. a) Ta có chùm (PQ, PM, PI, PN) là một chùm điều hoà vì có cát tuyến AIO song song với PN và AI = IO. Do đó (QMIN) = -1. Tương tự ta có chùm (QP, QM’, QI, QN’) là chùm điều hoà. Suy ra, ta có (PM’IN’) = -1 (Hình 2.17). b) Vì (QMIN) = -1 nên AN là đường đối cực của điểm I đối với hai đường thẳng cắt nhau AP và AQ.Tương tự (PM’IN’) = -1 nên AN’ là đường đối cực của điểm I đối với hai đường thẳng cắt nhau AP và AQ, từ đó suy ra các điểm N, A, N’ cùng thuộc đường đối cực của điểm I đối với hai đường thẳng AP và AQ hay ba điểm N, A, N’ thẳng hàng. Ví dụ 2.18. [4] Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Tiếp điểm của đường tròn (I) trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Gọi M, N, P lần lượt là điểm chung của các cặp đường thẳng (EF; BC), (DF; CA), (DE; AB). Chứng minh rằng các điểm M, N, P thẳng hàng. Giải. Bài toán xuất hiện các đường tròn và các tiếp tuyến đến đường tròn này. Do vậy, tính chất của cực và các đường đối cực của một điểm đối với một đường tròn sẽ được sử dụng trong chứng minh thẳng hàng. Thật vậy, đường đối cực Q N’ N A P M M’ I d y x O Hình 2.17 35 của điểm A đối với đường tròn (I) là EF đi qua điểm M nên đường đối cực của điểm M đi qua điểm A (Hình 2.18). Dễ thấy, đường đối cực của điểm M đi qua điểm D nên suy ra đường đối cực của điểm M đối với đường tròn (I) là đường thẳng AD. Tương tự, ta có đường đối cực của điểm N là đường thẳng BE, đường đối cực của điểm P là đường thẳng CF. Áp dụng định lý Xêva ta chứng minh được các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy nên ba điểm M, N, P thẳng hàng. Hình 2.18 Ví dụ 2.19. [4] Cho tam giác ABC và một điểm O. Các đường thẳng đi qua O và vuông góc với OA, OB, OC theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại M, N, P. Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng. Giải. Phân tích tương tự ví dụ 3.18, gọi A’, B’, C’ lần lượt là cực của các đường thẳng BC, CA, AB đối với đường tròn (O; R) với R > 0. Do BC, CA, AB không đồng quy nên A’, B’, C’ không thẳng hàng. 36 Hình 2.19 Vì đường đối cực của B’ đi qua điểm A nên B’ thuộc đường đối cực của điểm A đối với (O). Tương tự đường đối cực của C’ đi qua A nên đường đối cực của A đi qua C’. Từ đó, suy ra đường đối cực của điểm A đối với đường tròn (O) chính là B’C’. Tương tự ta có C’A’, A’B’ tương ứng là đường đối cực của hai điểm B, C đối với đường tròn (O) (Hình 2.19). Vì đường đối cực của M vuông góc với OM, OA  OM nên đường đối cực của M song song với AO. Mà AO vuông góc với đường đối cực của điểm A nên đường đối cực của điểm M vuông góc với B’C’ (1). Vì M  BC là đường đối cực của điểm A’ nên điểm A’ thuộc đường đối cực của điểm M (2). Từ (1) và (2) suy ra đường đối cực của điểm M là đường cao trong tam giác A’B’C’. Tương tự, các đường đối cực của điểm N, P đối với (O) cũng là đường cao trong tam giác A’B’C’ suy ra chúng đồng quy (Hình 2.19). Vậy các điểm M, N, P thẳng hàng. Ví dụ 2.20. [4] Cho tam giác ABC có (I) là đường tròn nội tiếp. Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của (I) trên các cạnh BC, CA, AB. Gọi D’, E’, F’ lần lượt là các giao điểm của các đường thẳng EF với BC, FD với CA, DE với AB. Chứng minh rằng D’, E’, F’ thẳng hàng. Giải. Ta thấy EF là đường đối cực của A đối với (I) mà D’ EF nên điểm A thuộc đường đối cực của điểm D’ đối với (I). Do D’D là tiếp tuyến với (I) nên AD là 37 đường đối cực của điểm D’ đối với (I). Tương tự, ta có BE, CF cũng là đường đối cực của các điểm E’, F’ đối với (I). Hình 2.20 Ta biết AD, BE, CF đồng quy tại điểm Giéc-gôn, gọi là K. Khi đó, D’, E’, F’ phải nằm trên đường đối cực của điểm K đối với (I) (Hình 2.20). Từ đó suy ra D’, E’, F’ thẳng hàng và đường thẳng D’E’F’ vuông góc với IK. Ví dụ 2.21. [4] Cho tam giác ABC không cân. Các đường phân giác ngoài của các góc A, B, C cắt các cạnh đối diện lần lượt tại A', B', C'. Gọi O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ABC. Chứng minh rằng các điểm A', B', C' thẳng hàng và đường thẳng A'B'C' vuông góc với OI. Giải. Bài toán không cho các đường vuông góc, nhưng với các giả thiết về đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp tam giác gợi ý cho chúng ta có thể sử dụng khái niệm cực và đường đối cực trong chứng minh bằng toán vuông góc. Gọi tiếp điểm của đường tròn (I) nội tiếp tam giác trên BC, CA, AB lần lượt là D, E, F. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh FE, FD, DE. Xét cực và đường đối cực đối với đường tròn (I). Ta thấy AA' là đường đối cực của M nên A' thuộc đường đối cực của M. Mà A' thuộc BC là đường đối cực của D nên ta có đường đối cực của A' chính là đường thẳng DM (1) Tương tự, đường đối cực của B', C' lần lượt là các đường thẳng EN, FP (2) (Hình 2.21). 38 Chú ý rằng các đường thẳng DM, EN, FP đồng quy tại trọng tâm G của tam giác DEF (3) Từ (1), (2), (3) ta có A', B', C' thẳng hàng và đường thẳng A'B'C' vuông góc với IG (đường thẳng Ơle của tam giác DEF). Hình 2.21 Ví dụ 2.22. [4] Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) và M, N, P, Q lần lượt là các tiếp điểm trên các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác. Đặt K = AD  BC, L = AB  DC, E = QM  PN, F = QP  MN. Chứng minh bốn điểm K, L, E, F thẳng hàng. Giải. Bài toán xuất hiện các cực và đường đối cực của điểm đối với đường tròn. Do đó, gọi I là giao điểm của BD với AC, E’ là giao điểm của DB với KL, T là giao điểm của CE’ với DK (Hình 2.22). Dễ thấy (TAKD) = -1 suy ra (CT, CA, CK, CD) = -1. Do đó (E’IBD) = -1. Mặt khác, (EIBD) = -1 nên suy ra E’  E. Từ đó suy ra E, K, L thẳng hàng (1) Lập luận tương tự cũng có F, K, L thẳng hàng (2) Từ (1) và (2) ta suy ra điều phải chứng minh. 39 Hình 2.22 Ví dụ 2.23.[2] Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi   ,S AB CD    ,F AD BC   E AC BD  . Kẻ tiếp tuyến SM, SN với (O). Chứng minh rằng bốn điểm E, F, M, N thẳng hàng. Giải. Bài toán có các tiếp tuyến đối với đường tròn, do vậy nó có liên quan đến bài toán dựng đường đối cực của một điểm đối với đường tròn và từ đó làm xuất hiện các tứ giác toàn phần. Giả sử  K CD EF  , ' .K CD MN  Khi đó, theo tính chất của tứ giác toàn phần FEAB ta có (SKDC) = -1 (1) Mặt khác theo tính chất “cát tuyến”, ta có (SK’DC) = -1 (2) . A T B C E M N P Q I K L O D F 40 Hình 2.23 Từ (1) và (2) ta có K  K’. Tương tự, ta cũng có L  L’ với  L EF AB  , 'L MN AB  . Từ đó EF và MN có hai điểm chung nên hai đường thẳng này phải trùng nhau. Vậy ta có M, N, E, F thẳng hàng. 2.5. Chứng minh đồng quy Bài toán chứng minh đồng quy có thể coi là bài toán “đối ngẫu” của bài toán chứng minh thẳng hàng. Phép đối cực chính là phương tiện để chuyển đổi hai dạng bài toán. Do vậy, cực và đường đối cực sẽ được khai thác triệt để trong giải bài toán dạng này. Ví dụ 2.24. [4] Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường tròn nội tiếp tam giác DEF tiếp xúc với EF, FD, DE lần lượt tại M, P, N. Chứng minh rằng các đường thẳng AM, BP, CN đồng quy. Giải. Gọi I, O lần lượt là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác DEF và tam giác ABC. Gọi H, K, L lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (MP; EF), (MN; FD), (MP; DE). Ta dễ thấy H, K, L thẳng hàng (1) . . M B C E . K O D A S F N 41 Hình 2.24 Chú ý rằng DM, FN, EP đồng quy nên (HMFE) = -1. Do đó, M thuộc đường đối cực của điểm H đối với đường tròn (O). Mặt khác, điểm A thuộc đường đối cực của điểm H đối với (O) nên ta có AM là đường đối cực của điểm H đối với (O) (2) Tương tự, ta có BP là đường đối cực của điểm K đối với (O) và Cn là đường đối cực của điểm L đối với (O) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 2.25. [4] Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Đường tròn (ABN) cắt lại cạnh CD tại điểm P, đường tròn (CDM) cắt lại cạnh AB tại điểm Q. Chứng minh rằng các đường thẳng AC, PQ, BD đồng quy. Giải. Trong bài toán này, chúng ta sẽ tìm các đường đối cực của các điểm đối với đường tròn (O). Từ đó khai thác tính chất của các đường đối cực trong chứng minh đồng quy. Thật vậy, khi AB // CD thì bài toán đơn giản. Ta đi xét trường hợp còn lại. 42 Gọi S là giao điểm của đường thẳng AB và CD (Hình 2.25). Gọi d là đường đối cực của điểm S đối với (O). Gọi I là giao điểm của AC và BD thì dễ thấy điểm I thuộc đường thẳng d. Ta thấy . . .SM SQ SC SD SA SB  . Chú ý rằng M là trung điểm của AB nên ta có (SQAB) = -1. Do đó, điểm Q thuộc đường thẳng d. Tương tự ta có điểm P cũng thuộc đường thẳng d. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Hình 2.25 Ví dụ 2.26. [4] Trong tam giác ABC kẻ các đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi J là một giao điểm của AA’ với đường tròn (I) đường kính BC. Chứng minh rằng BC, B’C’ và tiếp tuyến tại điểm J của đường tròn (I) đồng quy. Giải. Tương tự ví dụ 2.25, trong bài toán này, chúng ta cũng sẽ đi tìm các đường đối cực của một điểm nào đó đối với đường tròn (I). Gọi giao điểm của AH với đường tròn (I) là J1, J2. Vậy điểm J sẽ là J2 hoặc J1. Ta chứng minh BC, B’C’ và tiếp tuyến tại J1 của đường tròn (I) đồng quy. Xét cực và đường đối cực đối với đường tròn (I). Gọi giao điểm của BC và B’C’ là điểm S (Hình 2.26). Ta thấy AH là đường đối cực của điểm S, AH đi qua điểm J1 nên đường đối cực của J1 sẽ đi qua điểm S hay tiếp tuyến tại J1 đi qua điểm S. Vậy ta có điều phải chứng minh. 43 Hình 2.26 Ví dụ 2.27. [4] Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tứ giác ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ các đường thẳng dA, dB, dC và dD tương ứng vuông góc với OA, OB, OC và OD. Các cặp đường thẳng dA và dB, dB và dC, dC và dD, dD và dA tương ứng cắt nhau tại K, L, M, N. Chứng minh rằng KM và LN cắt nhau tại O. Giải. Gọi I, J, P, Q lần lượt là tiếp điểm của đường tròn (O) trên AB, BC, CD, DA (Hình 2.27). Hình 2.27 44 Gọi E, F, G, H lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (OA; IQ), (OB; IJ), (OC; JP), (OD; PQ). Ta sẽ chứng minh K, O, M thẳng hàng (Hình 2.27). Theo giả thiết ta sẽ có dA là đường đối cực của điểm E đối với đường tròn (O). Tương tự, dB là đường đối cực của điểm F. Từ đó suy ra EF là đường đối cực của điểm K, GH là đường đối cực của điểm M đối với đường tròn (O). Mặt khác, dễ thấy EF // GH. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 2.28. [4] Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O). Tiếp điểm thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là M, N, P, Q. Các đường thẳng AN, AP cắt đường tròn (O) tại E, F. Chứng minh rằng: a) Các đường thẳng MP, NQ, AC, BD đồng quy. b) Các đường thẳng ME, QF, AC đồng quy. Giải. Hình 2.28 a) Hạ CJ  MP. Ta có: OMP OPM BMP CPM CJ CP      . Gọi   IA AM AM I AC MP IC JC PC      (1) Tương tự gọi   ' ' ' I A AQ I AC NQ I C NC     (2) . . J I 45 Vì AM = AQ và PC = PN nên từ (1) và (2) suy ra 'I I . Ta suy ra các đường thẳng MP, NQ, AC đồng quy tại I (3) Tương tự, ta cũng có MP, NQ, BD đồng quy tại I (4) Kết hợp (3) và (4) ta có điều phải chứng minh. b) Gọi K là cực của đường thẳng AC đối với đường tròn (O). Xét tứ giác nội tiếp MNPQ. Theo tính chất cực và đường đối cực của tứ giác nội tiếp ta có MQ và NP cắt nhau tại điểm K. Tương tự, tứ giác EFPN nội tiếp cũng có EF và NP cắt nhau