Luận văn Sử dụng phương pháp biến phân trong việc tìm nghiệm của phương trình elliptic suy biến chứa toán tử ∆ 𝜸

𝑎(𝑥, 𝑦)𝑢𝑥𝑥 + 2𝑏(𝑥, 𝑦)𝑢𝑥,𝑦 + 𝑐(𝑥, 𝑦)𝑢𝑦𝑦 + 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑢𝑥 , 𝑢𝑦) = 0 (1.4) Trong đó 𝑢𝑥𝑥 = 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 , 𝑢𝑥𝑦 = 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 . Xét một điểm (𝑥0, 𝑦0) cố định. Phương trình (1.4) tại điểm (𝑥0, 𝑦0) được gọi là: 1. Phương trình thuộc loại elliptic (hay phương trình elliptic) nếu như tại điểm đó 𝑏2 − 𝑎𝑐 < 0. 2. Phương trình thuộc loại hypebolic (hay phương trình hypebolic) nếu như tại điểm đó 𝑏2 − 𝑎𝑐 > 0. 7 3. Phương trình thuộc loại parabolic (hay phương trình parabolic) nếu như tại điểm đó 𝑏2 − 𝑎𝑐 = 0. Nếu như phương trình (1.4) thuộc một loại nào đó tại mọi điểm trong miền G thì ta nói rằng phương trình thuộc loại đó trong miền G. Người ta chứng minh được rằng qua phép biến đổi bất kì 𝜉 = 𝜉(𝑥, 𝑦), 𝜂 = 𝜂(𝑥, 𝑦), với 𝜉(𝑥, 𝑦), 𝜂(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐶2(𝐺) và 𝐽 = | 𝜉𝑥 𝜉𝑦 𝜂𝑥 𝜂𝑦 | = 𝜉𝑥𝜂𝑦 − 𝜉𝑦𝜂𝑥 = 𝐷(𝜉, 𝜂) 𝐷(𝑥, 𝑦) ≠ 0, (1.5) loại của phương trình sẽ không thay đ,uổi. Từ đó thông qua phép đổi biến (𝑥, 𝑦) → (𝜉, 𝜂), ta sẽ đưa phương trình được xét về phương trình có dạng chính tắc. Thật vậy, với phép đổi biến ở trên, ta có: 𝑢𝑥 = 𝑢𝜉𝜂𝑥 + 𝑢𝜂𝜂𝑥; 𝑢𝑦 = 𝑢𝜉𝜂𝑦 + 𝑢𝜂𝜂𝑦; 𝑢𝑥𝑥 = 𝑢𝜉𝜉𝜉𝑥 2 + 2𝑢𝜉𝜂𝜉𝑥 + 𝑢𝜂𝜂𝜂𝑥 2 + 𝑢𝜉𝜉𝑥𝑥 + 𝑢𝜂𝜂; 𝑢𝑦𝑦 = 𝑢𝜉𝜉𝜉𝑦 2 + 2𝑢𝜉𝜂𝜉𝑦 + 𝑢𝜂𝜂𝜂𝑦 2 + 𝑢𝜉𝜉𝑦𝑦 + 𝑢𝜂𝜂; 𝑢𝑦𝑦 = 𝑢𝜉𝜉𝜉𝑥𝜉𝑦 + 𝑢𝜉𝜂(𝜉𝑥𝜂𝑦 + 𝜉𝑦𝜂𝑥) + 𝑢𝜂𝜂𝜂𝑥𝜂𝑦 + 𝑢𝜉𝜉𝑥𝑦 + 𝑢𝜂𝜂𝑥𝑦; Thay các đại lượng trên vào phương trình (1.4) ta được phương trình sau: 𝑎1(𝜉, 𝜂)𝑢𝜉𝜉 + 2𝑏1(𝜉, 𝜂)𝑢𝜉𝜂 + 𝑐1(𝜉, 𝜂)𝑢𝜂𝜂 + 𝐹1(𝜉, 𝜂, 𝑢, 𝑢𝜉 , 𝑢𝜂) = 0 với 𝑎1 = 𝑎𝜉 2 + 2𝑏𝜉𝑥𝜉𝑦 + 𝑐𝜉𝑦 2; 𝑏1 = 𝑏𝜉𝑥𝜂𝑥 + 𝑏(𝜉𝑥𝜂𝑦 + 𝜂𝑥𝜉𝑦) + 𝑐𝜉𝑦𝜂𝑦; 𝑐1 = 𝑎𝜂𝑥 2 + 2𝑏𝜂𝑥𝜂𝑦 + 𝑐𝜂𝑦 2; 1.2. Các không gian hàm 1.2.1. Đạo hàm suy rộng ℝ𝑛 = {𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, , 𝑥𝑛: 𝑥𝑘 ∈ ℝ, 𝑘 = 1,2, , 𝑛}, 𝛺 là một tập mở trong ℝ 𝑛. 8 Hàm số 𝑓 ∶ Ω ⟶ ℝ 𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥). Nếu 𝑓(𝑥) là hàm liên tục trong ℝ𝑛, 𝑓 ∈ ℂ(ℝ𝑛) thì ta kí hiệu 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ𝑛: 𝑓(𝑥) ≠ 0}. Khi đó bao đóng của A được gọi là giá của hàm f và kí hiệu supp f. Nếu supp f compact thì hàm 𝑓(𝑥) được gọi là có giá compact. Đặt 𝐶0 𝑘(Ω) là không gian gồm các hàm khả vi liên tục đến cấp k và có giá compact. Cho tập mở Ω ⊂ ℝ𝑛. Với phép cộng hàm số và phép nhân hàm số với một hằng số thì 𝐶0 𝑘(Ω) là một không gian tuyến tính, kí hiệu là 𝐷𝑘(Ω). 𝐷(Ω) =⋂𝐷𝑘(Ω). ∞ 𝑘=1 𝐷(Ω) là không gian tuyến tính các hàm khả vi vô hạn, có giá compact trong Ω. Định nghĩa 1.2.1. Ta nói rằng f là một hàm suy rộng trong Ω nếu f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên 𝐷(Ω). Hàm suy rộng f tác động lên mỗi 𝜑 ∈ 𝐷(Ω) được kí hiệu là 〈𝑓, 𝜑〉. Hai hàm suy rộng f,g được gọi là bằng nhau nếu: 〈𝑓, 𝜑〉 = 〈𝑔, 𝜑〉, ∀𝜑 ∈ Ω. Tập hợp tất cả các hàm suy rộng trong Ω lập thành không gian 𝐷′(Ω). Nếu Ω = ℝ𝑛 ta kí hiệu 𝐷′ = 𝐷′(ℝ𝑛). Định nghĩa 1.2.2. Cho 𝑓 ∈ 𝐷′(Ω), 𝛼 = (𝛼1, , 𝛼𝑛) ∈ ℤ+ 𝑛 . Đạo hàm suy rộng cấp 𝛼 của hàm f trong Ω, kí hiệu 𝐷𝛼(𝑓), là một ánh xạ từ 𝐷(Ω) vào ℂ được xác định bởi: 𝐷𝛼(𝑓): 𝜑 ⟼ (−1)|𝛼|〈𝑓, 𝜑〉, với 𝜑 ∈ 𝐷(Ω). Nhận xét 9 1. Với mỗi 𝛼 ∈ ℤ+ 𝑛 , 𝑓 ∈ 𝐷(Ω), đạo hàm suy rộng cấp 𝛼 của hàm f trong Ω là một hàm suy rộng, nói cách khác, đạo hàm suy rộng 𝐷𝛼𝑓 là phiếm hàm tuyến tính liên tục từ 𝐷(Ω) vào ℂ vì:  Với mỗi 𝜆, 𝜇 ∈ ℂ; 𝜑, 𝜓 ∈ 𝐷(Ω) ta có: 〈𝐷𝛼𝑓, 𝜆𝜑 + 𝜇𝜓〉 = (−1)|𝛼|〈𝑓, 𝐷𝛼(𝜆𝜑 + 𝜇𝜓)〉 = (−1)|𝛼|(𝜆〈𝑓, 𝐷𝛼𝜑〉 + 𝜇〈𝑓, 𝐷𝛼𝜓〉) = (−1)|𝛼|(𝜆〈𝐷𝛼𝑓, 𝜑〉 + 𝜇〈𝐷𝛼𝑓, 𝜓〉).  Với 𝜑𝑘 ∈ 𝐷(Ω), 𝑘 = 1,2, , 𝐷 lim 𝑘→∞ 𝜑𝑘 = 0 thì: 𝐷 lim 𝑘→∞ 𝐷𝛼𝜑𝑘 = 0, 𝛼 ∈ ℤ+ 𝑛 , nên lim 𝑘→∞ 〈𝐷𝛼𝑓, 𝜑𝑘〉 = lim 𝑘→∞ 〈𝑓, 𝐷𝛼𝜑𝑘〉 = 0. 2. Mọi hàm suy rộng 𝐷′(Ω) đều có đạo hàm. 3. Phép toán đạo hàm không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm 𝐷𝛼+𝛽(𝑓) = 𝐷𝛼(𝐷𝛽𝑓) = 𝐷𝛽(𝐷𝛼𝑓). 1.2.2. Không gian 𝑳𝒑 Đinh nghĩa 1.2.3. 𝐿𝑝(Ω), 1 ≤ 𝑝 < ∞ , là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm khả tích Lebesgue bậc 𝑝 trên Ω với chuẩn được định nghĩa như sau: ‖𝑢‖𝐿𝑝(Ω) ≔ (∫|𝑢| 𝑝 Ω 𝑑𝑥) 1 𝑝 . Chú ý rằng 𝐿𝑝(Ω) là không gian Banach phản xạ khi 1 < 𝑝 < +∞. Định nghĩa 1.2.4. 𝐿∞(Ω) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo được và bị chặn hầu khắp trên Ω với chuẩn: ‖𝑢‖𝐿𝑝(Ω) ≔ 𝑒𝑠𝑠 𝑠𝑢𝑝 𝑥∈𝛺 |𝑢(𝑥)|. 1.2.3. Không gian Sobolev Định nghĩa 1.2.5. 𝑊𝑝 𝑚(Ω), 1 ≤ 𝑝 < ∞ là không gian bao gồm tất cả các hàm 𝑢(𝑥) ∈\𝐿𝑝(Ω), sao cho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp 𝛼, |𝛼| ≤ 𝑚 thuộc 𝐿𝑝(Ω) và được trang bị chuẩn 10 ‖𝑢‖𝑊𝑝𝑚(Ω) ≔ ( ∑ ∫|𝐷 𝛼𝑢(𝑥)|𝑝𝑑𝑥 Ω|𝛼|≤𝑚 ) 1 𝑝 . Ta kiểm tra được 𝑊𝑝 𝑚(Ω) là một không gian Banach với 1 ≤ 𝑝 < ∞ và là không gian Hilbert với 𝑝 = 2. Không gian 𝑊𝑝 𝑚(Ω) với chuẩn trên được gọi là không gian Sobolev. 1.3. Toán tử 1.3.1. Toán tử ∆𝜸 Giả sử Ω là một miền bị chặn có biên trơn trong không gian ℝ𝑁, 𝑁 ≥ 2. Khi đó, ta định nghĩa toán tử: ∆𝛾≔∑𝜕𝑥𝑗(𝛾𝑗 2𝜕𝑥𝑗), 𝑁 𝑗=1 𝜕𝑥𝑗 = 𝜕 𝜕𝑥𝑗 trong đó hàm 𝛾𝑗: ℝ 𝑁 → ℝ là các hàm liên tục và thỏa mãn 𝛾𝑗 > 0, j=1,2,,N trong ℝ𝑁\∏, với ∏=:{𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, , 𝑥𝑁) ∈ 𝑅 𝑁:∏𝑥𝑗 = 0 𝑁 𝑗=1 }. Hơn nữa, chúng ta giả sử 𝛾𝑗(𝑋) thỏa mãn các tính chất: 1) 𝛾1(𝑋) ≡ 1, 𝛾𝑗(𝑋) = 𝛾𝑗(𝑥1, 𝑥2, , 𝑥𝑁), 𝑗 = 1,2, ,𝑁; 2) Với mỗi 𝑋 ∈ ℝ𝑁 ta có 𝛾𝑗(𝑋) = 𝛾𝑗(𝑋 ∗), 𝑗 = 1,2, , 𝑁, trong đó 𝑋∗ = (|𝑥1|, , |𝑥𝑛|) nếu 𝑋 = (𝑥1, 𝑥2, , 𝑥𝑁); 3) Tồn tại hằng số 𝜌 ≥ 0 sao cho: 0 ≤ 𝑥𝑘𝜕𝑥𝑘𝛾𝑗(𝑋) ≤ 𝜌𝛾𝑗(𝑋), ∀𝑘 ∈ {1,2, , 𝑗 − 1}, ∀𝑗 = 2, ,𝑁, với mỗi 𝑋 ∈ ℝ+ 𝑁 ≔ {(𝑥1, , 𝑥𝑁) ∈ ℝ 𝑁: 𝑥𝑗 ≥ 0, ∀𝑗 = 1,2, ,𝑁}; 4) Tồn tại nửa nhóm {𝛿𝑡}𝑡>0 thỏa mãn: 𝛿𝑡 ∶ ℝ 𝑁 ⟶ℝ (𝑥1, , 𝑥𝑁) ⟼ 𝛿𝑡(𝑥1, , 𝑥𝑁) = (𝑡 𝜀1𝑥1, , 𝑡 𝜀𝑁𝑥𝑁) với 1 = 𝜀1 ≤ 𝜀2 ≤ ⋯ ≤ 𝜀𝑁, sao cho 𝛾𝑗 là 𝛿𝑡 - thuần nhất bậc 𝜀𝑗 − 1, tức là 11 𝛾𝑗(𝛿𝑡(𝑋)) = 𝑡 𝜀𝑗−1𝛾𝑗(𝑋), ∀𝑋 ∈ ℝ 𝑁 , ∀𝑡 > 0, 𝑗 = 1, ,𝑁. Ta định nghĩa �̃� là số chiều thuần nhất của ℝ𝑁 cùng với nửa nhóm {𝛿𝑡}𝑡>0, tức là �̃� ≔ 𝜀1 + 𝜀2 +⋯+ 𝜀𝑁 . Ví dụ 1.3.1: Giả sử k là một số thực không âm. Khi đó toán tử ∆𝛾≔ ∆𝑥 + |𝑥| 2𝑘∆𝑦, trong đó 𝛾 = (1,1, ,1⏟ 𝑁1−𝑠ố , |𝑥|𝑘, , |𝑥|𝑘⏟ 𝑁2−𝑠ố ) , 𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, , 𝑥𝑁1) ∈ ℝ 𝑁1 , 𝑦 = (𝑦1, 𝑦2, , 𝑦𝑁2) ∈ ℝ 𝑁2 , 𝑁1, 𝑁2 ∈ ℕ, được gọi là toán tử Grushin. Định nghĩa 1.3.1. Không gian 𝑆𝛾 𝑝(Ω) (1 ≤ 𝑝 ≤ +∞) gồm tất cả các hàm 𝑢 ∈ 𝐿𝑝(𝛺) mà 𝛾𝑗𝜕𝑥𝑗𝑢 ∈ 𝐿 𝑝(Ω) với mọi 𝑗 = 1,2, ,𝑁.Ta định nghĩa chuẩn trong không gian này như sau ‖𝑢‖𝑆𝛾 𝑝(Ω) = {∫(|𝑢| 𝑝 +∑|𝛾𝑗𝜕𝑥𝑗𝑢| 𝑝 )𝑑𝑥 𝑁 𝑗=1Ω } 1/𝑝 . Nếu p = 2, ta có thể định nghĩa tích vô hướng trong không gian 𝑆𝛾 2(Ω) với (𝑢, 𝑣)𝑆𝛾2(Ω) = (𝑢, 𝑣)𝐿2(Ω) +∑(𝛾𝑗𝜕𝑥𝑗𝑢, 𝛾𝑗𝜕𝑥𝑗𝑣)𝐿2(Ω) 𝑁 𝑗=1 . Không gian 𝑆𝛾,0 𝑝 (Ω) là không gian đóng của 𝐶0 1(Ω) trong không gian 𝑆𝛾 𝑝(Ω). Đặt ∇𝛾𝑢 ≔ (𝛾1𝜕𝑥1𝑢, 𝛾2𝜕𝑥2𝑢, , 𝛾𝑁𝜕𝑥𝑁𝑢), |∇𝛾𝑢| ≔ (∑|𝛾𝑗𝜕𝑥𝑗𝑢| 2 𝑁 𝑗=1 ) 1 2 . 1.3.2. Một số tính chất 12 Mệnh đề 1.3.2. Giả sử �̃� > 2. Khi đó phép nhúng 𝑆𝛾,0 2 (Ω) ↪ 𝐿2𝛾 ∗ (Ω), trong đó 2𝛾 ∗ = 2�̃� �̃�−2 ’ là liên tục. Hơn nữa, phép nhúng 𝑆𝛾,0 2 (Ω) ↪ 𝐿2𝛾 ∗ (Ω) là compact với mỗi q ∈ [1,2𝛾 ∗ ). Mệnh đề 1.3.3. Giả sử 𝑁𝑘 > 2, k là một số thực không âm. Khi đó ta có 𝑆𝑘 2 (ℝ𝑁) ↪ 𝐿𝑝(ℝ𝑁), trong đó 2 ≤ 𝑝 ≤ 2𝛾 ∗ = 2𝑁𝑘 𝑁𝑘−2 . Chú ý: Nếu �̃� > 2 và Ω chứa gốc tọa độ, khi đó định lí nhúng 𝑆𝛾,0 2 (Ω) ↪ 𝐿 2�̃� �̃�−2 +𝜏(Ω) là không đúng với mỗi 𝜏 là số dương. Thật vậy, ta đặt 2�̃� �̃�−2 + 𝜏 = 𝑝(𝜏). Lấy 𝜙(𝑋) ∈ 𝐶o ∞(Ω) và 𝜙(𝑋) ≠ 0. Giả sử Θ là một số đủ lớn thỏa mãn 𝜙𝜃(𝑋) = 𝜙(𝜃 𝜀1𝑥1, 𝜃 𝜀2𝑥2, , 𝜃 𝜀𝑁𝑥𝑁) ≔ 𝜙(𝑋𝜃) ∈ 𝐶o ∞(Ω) với mọi 𝜃 ≥ Θ. Xét hai số 𝐴𝜃 = ‖𝜙𝜃‖𝐿𝑝(𝜏)(Ω) |‖𝜙𝜃‖|𝑆𝛾,0 2 (Ω) và 𝐴 ≔ 𝐴1 = ‖𝜙‖ 𝐿𝑝(𝜏)(Ω) |‖𝜙‖| 𝑆𝛾,0 2 (Ω) . Ta có ∫( Ω 𝜙𝜃(𝑋)) 𝑝(𝜏)𝑑𝑋 = ∫(𝜙𝜃(𝜃 𝜀1𝑥1, 𝜃 𝜀2𝑥2, , 𝜃 𝜀𝑁𝑥𝑁)) 𝑝(𝜏) Ω 𝑑𝑥1𝑑𝑥2𝑑𝑥𝑁 = 1 𝜃�̃� ∫(𝜙𝜃(𝜃 𝜀1𝑥1, 𝜃 𝜀2𝑥2, , 𝜃 𝜀𝑁𝑥𝑁)) 𝑝(𝜏) Ω 𝑑𝜃𝜀1𝑥1𝑑𝜃 𝜀2𝑥2𝑑𝜃 𝜀𝑁𝑥𝑁 = 𝜃−�̃� ∫(𝜙(𝑋𝜃)) 𝑝(𝜏)𝑑𝑋𝜃 , Ω do đó ‖𝜙𝜃‖𝐿𝑝(𝜏)(Ω) = 𝜃 − �̃� 𝑝(𝜏)‖𝜙‖𝐿𝑝(𝜏)(Ω). (1.6) Mặt khác ta có 13 |‖𝜙𝜃‖|𝑆𝛾,02 (Ω) = (∫∑|𝛾𝑗𝜕𝑥𝑗𝜙𝜃| 2 d𝑋 𝑁 𝑗=1Ω ) 1 2 = (∫ 1 𝜃�̃� ∑|𝛾𝑗𝜕𝑥𝑗𝜙𝜃| 2 𝑁 𝑗=1 𝑑𝜃𝜀1𝑥1𝑑𝜃 𝜀2𝑥2𝑑𝜃 𝜀𝑁𝑥𝑁 Ω ) 1 2 . Từ giả thiết 4) ta có 𝛾𝑗(𝑥1, 𝑥2, , 𝑥𝑁)𝜕𝑥𝑗𝜙𝜃(𝑋) = 𝜃 −𝜀𝑗+1𝛾𝑗(𝜃 𝜀1𝑥1, 𝜃 𝜀2𝑥2, , 𝜃 𝜀𝑁𝑥𝑁)𝜕𝑥𝑗𝜙𝜃(𝑋), và 𝜕𝑥𝑗𝜙𝜃(𝑋) = 𝜃 𝜀𝑗𝜕𝑥𝑗𝜙(𝜃 𝜀1𝑥1, 𝜃 𝜀2𝑥2, , 𝜃 𝜀𝑁𝑥𝑁). Do vậy |‖𝜙𝜃‖|𝑆𝛾,02 (Ω) = 𝜃 1− �̃� 2 (∫∑|𝛾𝑗(𝑥𝜃)𝜕𝑥𝑗(𝑥𝜃)| 2 d𝑋𝜃 𝑁 𝑗=1Ω ) 1 2 = 𝜃1− �̃� 2 |‖𝜙𝜃‖|𝑆𝛾,02 (Ω). (1.7) Từ (1.2) và (1.3) ta có 𝐴𝜃 = 𝜃 − �̃� 𝑝(𝜏)‖𝜙𝜃‖𝐿𝑝(𝜏)(Ω) 𝜃1− �̃� 2 |‖𝜙𝜃‖|𝑆𝛾,02 (Ω) = 𝜃 �̃� 2−1− �̃� 𝑝(𝜏)𝐴. Do �̃� 2 − 1 − �̃� 𝑝(𝜏) > 0, nên 𝐴𝜃 ⟶∞ khi 𝜃 ⟶ ∞. Định nghĩa 1.3.4. Cho H là không gian Banach. Ánh xạ E : H → ℝ được gọi là khả vi Fréchet tại điểm u ∈ 𝐻 nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính bị chặn DE(u) ∈ 𝐻 thỏa mãn |𝐸(𝑢 + 𝑣) − 𝐸(𝑢) − 𝐷𝐸(𝑢)(𝑣)| ‖𝑣‖𝐻 → 0 khi ‖𝑣‖𝐻 → 0. Khi đó DE(u) được gọi là đạo hàm Fréchet của E tại u. Hơn nữa, đạo hàm của E tại u theo hướng v khí hiệu bởi 〈𝑣, 𝐷𝐸(𝑢)〉 ≔ 𝐷𝐸(𝑢)(𝑣). 14 Ánh xạ E là thuộc lớp 𝐶1 nếu ánh xạ u ⟼ 𝐷𝐸(𝑢) là liên tục. Định lí 1.3.5. Cho H là không gian Banach phản xạ và M ⊂ 𝐻 là tập đóng yếu trong H. Giả sử E : M ⟶ ℝ ∪+∞ là bức trên M, tức là 1) E(u) ⟶ ∞ khi ‖𝑢‖𝐻 ⟶∞, u ∈ 𝑀; Và E là nửa liên tục dưới yếu trên M, tức là 2) Với mỗi u ∈ 𝑀 dãy {𝑢𝑛} ⊂ 𝑀, 𝑢𝑛 ⇀ 𝑢 trong H thì 𝐸(𝑢) ≤ 𝑙𝑖𝑚 𝑛⟶∞ 𝑖𝑛𝑓 𝐸(𝑢𝑛). Khi đó E bị chặn dưới trên M và đạt infimum trên M. Chương 2 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN TRONG VIỆC TÌM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC SUY BIẾN CHỨA TOÁN TỬ ∆𝜸 Trong Chương 2, sử dụng phương pháp biến phân để tìm nghiệm của Bài toán chứa phương trình elliptic suy biến chứa toán tử ∆𝛾. Nội dung trong chương được trích dẫn từ các tài liệu tham khảo [1],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11], [12]. 2.1. Bài toán 15 Trong Chương 2, ta đi tìm nghiệm của hai bài toán sau: 2.1.1. Bài toán 1 Giả sử Ω là miền bị chặn, có biên trơn trong ℝ𝑁, N ≥ 2. Ta xét bài toán: −∆𝛾𝑢 + 𝑎(𝑥)𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑢) 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 Ω 𝑢|𝜕Ω = 0 với 𝑎 ∈ 𝐿 �̃� 2(𝛺), ∆𝛾 là toán tử có dạng ∆𝛾≔∑𝜕𝑥𝑗 (𝜕𝑗 2𝜕𝑥𝑗), 𝜕𝑥𝑗 ≔ 𝜕 𝜕𝑥𝑗 , 𝑗 = 1,2, ,𝑁. 𝑁 𝑗=1 Và 𝑓 ∈ 𝐶(�̅� × ℝ,ℝ) thỏa mãn một số giả thiết sau: (H1) Tồn tại các hằng số 𝛼 ≥ 1 và 𝐶0 ≥ 0 sao cho 𝛼𝐺(𝑥, 𝑡) + 𝐶0 ≥ 𝐺(𝑥, 𝑠𝑡), ∀𝑡 ∈ ℝ, 𝑥 ∈ �̅�, 𝑠 ∈ [0,1], trong đó 𝐺(𝑥, 𝑡) ≔ 𝑡𝑓(𝑥, 𝑡) − 2𝐹(𝑥, 𝑡), 𝐹(𝑥, 𝑡) = ∫𝑓(𝑥, 𝜏)𝑑𝜏; 𝑡 0 (H1’) Tồn tại 𝑡∗ > 0 mà, cho x ∈ Ω cố định, f(x,t)/t tăng khi t ≥ 𝑡∗ và giảm khi 𝑡 ≤ −𝑡∗; (H2) 𝑙𝑖𝑚 |𝑡|→∞ 𝑓(𝑥, 𝑡)/(𝑡|𝑡|2𝛾 ∗−2) = 0 đồng nhất với mọi x ∈ Ω, trong đó 2𝛾 ∗ = 2�̃� �̃�−2 . (H3) 𝑙𝑖𝑚 |𝑡|→∞ 𝐹(𝑥, 𝑡)/𝑡2 = +∞ đồng nhất với mọi x ∈ Ω. (H4) 𝑙𝑖𝑚 𝑡→0 𝑓(𝑥, 𝑡)/𝑡 = 0 đồng nhất với mọi x ∈ Ω. (H5) Cho một số 𝛿 > 0, hoặc 𝐹(𝑥, 𝑡) ≥ 0 𝑣ớ𝑖 |𝑡| ≤ 𝛿, 𝑥 ∈ Ω, Hoặc 𝐹(𝑥, 𝑡) ≤ 0 𝑣ớ𝑖 |𝑡| ≤ 𝛿, 𝑥 ∈ Ω. 2.1.2. Bài toán 2 16 Ta xét bài toán sau { −∆𝛾𝑢 + 𝑏(𝑥)𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑢) 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 ℝ 𝑁 , 𝑢 ∈ 𝑆𝛾 2(ℝ𝑁), với ∆𝛾 là toán tử subelliptic có dạng ∆𝛾 ≔∑𝜕𝑥𝑗 (𝛾𝑗 2𝜕𝑥𝑗) , 𝛾 = (𝛾1, 𝛾2, , 𝛾𝑁):ℝ 𝑁 → 𝑁 𝑗=1 ℝ𝑁 . Toán tử ∆𝛾 chứa nhiều toán tử elliptic suy biến như là loại toán tử Grushin 𝐺𝛼 ≔ ∆𝑥 + |𝑥| 2𝛼∆𝑦, 𝛼 ≥ 0, trong đó x biểu thị một điểm của ℝ𝑁1 ×ℝ𝑁2 , và toán tử có dạng 𝑃𝛼,𝛽 ≔ ∆𝑥 + ∆𝑦 + |𝑥| 2𝛼|𝑦|2𝛽∆𝑧, (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ 𝑁1 ×ℝ𝑁2 ×ℝ𝑁3 , với 𝛼, 𝛽 là các số thực không âm. Ta đưa ra các giả thiết sau: (𝐴1) 𝑓:ℝ 𝑁 ×ℝ → ℝ là hàm Carathéodory thỏa mãn |𝑓(𝑥, 𝜉)| ≤ 𝑓1(𝑥)|𝜉| + 𝑓2(𝑥)|𝜉| 𝑝−1 với mọi(𝑥, 𝜉) ∈ ℝ𝑁 ×ℝ, trong đó 𝑓1, 𝑓2: ℝ 𝑁 → ℝ là không âm và 𝑓1(𝑥) ∈ 𝐿 𝑝1(ℝ𝑁) ∩ 𝐿𝑝3(ℝ𝑁) ∩ 𝐿 2𝛾 ∗ 𝑝3 𝑝3(𝑝−1)(ℝ𝑁), 𝑓2(𝑥) ∈ 𝐿 𝑝2(ℝ𝑁) ∩ 𝐿𝑝3(ℝ𝑁), 2𝑝1 𝑝1 − 1 ≤ 2𝛾 ∗ , 𝑝𝑝2 𝑝2 − 1 ≤ 2𝛾 ∗ , 𝑝1, 𝑝2 > 1, 𝑝3 ≥ 2𝛾 ∗ 2𝛾∗ − 𝑝 , 𝑝3(2𝛾 ∗ − 2𝑝 + 2) ≤ 2. 2𝛾 ∗ . (𝐴2) 𝑙𝑖𝑚 |𝜉|→∞ |𝐹(𝑥,𝜉)| 𝜉2 = ∞, với mọi x ∈ ℝ𝑁, tồn tại 𝑟0 ≥ 0 sao cho 𝐹(𝑥, 𝜉) ≡ ∫ 𝑓(𝑥, 𝜏)𝑑𝜏 ≥ 0 𝜉 0 với mọi (𝑥, 𝜉) ∈ ℝ𝑁 ×ℝ, |𝜉| ≥ 𝑟0; (𝐴3) Tồn tại các hằng số 𝜇 > 2 và 𝑟1 > 0 sao cho 𝜇𝐹(𝑥, 𝜉) ≤ 𝜉𝑓(𝑥, 𝜉) 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 (𝑥, 𝜉) ∈ ℝ𝑁 ×ℝ, |𝜉| ≥ 𝑟1; (𝐴4) 𝑓(𝑥,−𝜉) = −𝑓(𝑥, 𝜉) với mọi (𝑥, 𝜉) ∈ ℝ 𝑁 ×ℝ; (𝐵1) b : ℝ 𝑁 → ℝ sao cho 𝑏 ∈ 𝐿𝑙𝑜𝑐 1 (ℝ𝑁) và 𝜇0 = 𝑒𝑠𝑠 𝑖𝑛𝑓 𝑥∈ℝ𝑁 𝑏(𝑥) ≔ 𝑠𝑢𝑝{𝜇 ∈ ℝ: 𝑉𝑜𝑙({𝑥 ∈ ℝ𝑁 , 𝑏(𝑥) 0; 17 (𝐵2) Với M > 0 bất kì 𝑉𝑜𝑙({𝑥 ∈ ℝ𝑁 , 𝑏(𝑥) ≤ 𝑀}) < ∞. 2.2. Sự tồn tại nghiệm 2.2.1. Sự tồn tại nghiệm của bài toán 1 Giả sử Ω là một miền bị chặn có biên trơn trong ℝ𝑁, N ≥ 2. Ta xét các toán tử có dạng ∆𝛾≔∑𝜕𝑥𝑗 (𝜕𝑗 2𝜕𝑥𝑗), 𝜕𝑥𝑗 ≔ 𝜕 𝜕𝑥𝑗 , 𝑗 = 1,2, ,𝑁. 𝑁 𝑗=1 Giả sử hàm 𝛾𝑗 ∶ ℝ 𝑁 → ℝ là liên tục, khác 0, và 𝐶1 ∈ ℝ𝑁 ∖ ∏, khi đó ∏ ≔ {𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, , 𝑥𝑁) ∈ ℝ 𝑁:∏𝑥𝑗 𝑁 𝑗=1 = 0}. Ta giả sử nó có các thuộc tính sau: 1) Tồn tại mở rộng của nửa nhóm {𝛿𝑡}𝑡>0, trong đó 𝛿𝑡: ℝ 𝑁 → ℝ, 𝛿𝑡(𝑥1, 𝑥2, , 𝑥𝑁) = (𝑡 𝜀1𝑥1, , 𝑡 𝜀𝑁𝑥𝑁), 1 = 𝜀1 ≤ 𝜀2 ≤ ⋯ ≤ 𝜀𝑁 , như vậy 𝛾𝑗 𝑙à 𝛿𝑡 − độ đồng nhất với cấp 𝜀𝑗 - 1,2, 𝛾𝑗(𝛿𝑡(𝑥)) = 𝑡 𝜀𝑗−1𝛾𝑗(𝑥), ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑁 , ∀𝑡 > 0, 𝑗 = 1, ,𝑁; Số �̃� =∑𝜀𝑗 𝑛 𝑗=1 (2.1) gọi là kích thước đồng nhất của ℝ𝑁 đố𝑖 𝑣ớ𝑖 {𝛿𝑡}𝑡>0; 2) 𝛾1 = 1, 𝛾𝑗(𝑥) = 𝛾𝑗(𝑥1, 𝑥2, , 𝑥𝑗−1), 𝑗 = 2, , 𝑁; 3) Tồn tại hằng số 𝜌 > 0 sao cho 0 ≤ 𝑥𝑘𝜕𝑥𝑘𝛾𝑗(𝑥) ≤ 𝜌𝛾𝑗(𝑥), 𝑘 ∈ {1,2, , 𝑗 − 1}, 𝑗 = 2, ,𝑁, với mọi 𝑥 ∈ ℝ̅+ 𝑁 ≔ {(𝑥1, , 𝑥𝑁) ∈ ℝ 𝑁: 𝑥𝑗 ≥ 0, ∀𝑗 = 1,2, ,𝑁}; 4) Đẳng thức 𝛾𝑗(𝑥) = 𝛾𝑗(𝑥 ∗), 𝑗 = 1,2, , 𝑁, không đổi với 𝑥 ∈ ℝ𝑁 , khi đó 18 𝑥∗ = (|𝑥1|, , |𝑥𝑁|) 𝑛ế𝑢 𝑥 = ( 𝑥1, 𝑥2, , 𝑥𝑁). Mệnh đề 2.2.1. Giả sử �̃� > 2 thì 𝑆𝛾,0 2 (Ω) ↪ 𝐿𝑝(Ω), khi 1≤ 𝑝 ≤ 2�̃�/(�̃� − 2). Hơn nữa, số 2𝛾 ∗ = 2�̃�/(�̃� − 2) là điểm tới hạn Sobolev của nhúng 𝑆𝛾,0 2 (Ω) ↪ 𝐿𝑝(Ω), và khi 1≤ 𝑝 ≤ 2𝛾 ∗ , nhúng là compact. Nhận xét: Theo Mệnh đề 2.2.1, hai chuẩn ‖𝑢‖𝑆𝛾,02 (Ω) và |‖𝑢‖|𝑆𝛾,02 (Ω) = (∫|∇𝛾𝑢| 2 𝑑𝑥 Ω ) 1/2 là tương đương. Hàm 𝑢 ∈ 𝑆𝛾,0 2 (Ω) gọi là nghiệm yếu của Bài toán 1 nếu ∫ ∇𝛾𝑢. ∇𝛾𝑣𝑑𝑥 Ω + ∫ 𝑎(𝑥)𝑢𝑣𝑑𝑥 Ω = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑢)𝑣𝑑𝑥 Ω , ∀𝑣 ∈ 𝑆𝛾,0 2 (Ω), hoặc tương đương nếu u là điểm tới hạn của hàm số 𝐶1. 𝐼(𝑢) ≔ 1 2 ∫ (|∇𝛾𝑢| 2 + 𝑎(𝑥)𝑢2)𝑑𝑥 − ∫ 𝐹(𝑥, 𝑢)𝑑𝑥, 𝑢 ∈ ΩΩ 𝑆𝛾,0 2 (Ω). Định nghĩa 2.2.2. Ta nói I ∈ 𝐶1(𝑆𝛾,0 2 (Ω),ℝ) thỏa mãn điều kiện Cerami tại c ∈ ℝ ((𝐶𝑒)𝑐 ngắn) nếu dãy bất kì {𝑢𝑛}𝑛=1 ∞ ⊆ 𝑆𝛾,0 2 (Ω) với 𝐼(𝑢𝑛) → 𝑐, (1 + ‖𝑢𝑛‖𝑆𝛾,02 (𝛺))‖𝐼′(𝑢𝑛)‖(𝑆𝛾,02 (𝛺))∗ → 0 có một dãy con hội tụ trong 𝑆𝛾,0 2 (Ω), ta nói rằng I thỏa mãn điều kiện (Ce) nếu I thỏa mãn điều kiện (𝐶𝑒)𝑐 với mọi c ∈ ℝ. Định nghĩa 2.2.3. Hàm I ∈ 𝐶1(𝑆𝛾,0 2 (Ω),ℝ) thỏa mãn điều kiện (𝐶𝑒)∗ nếu mỗi dãy {𝑢𝛼𝑛}𝑛=1 ∞ như vậy {𝛼𝑛}𝑛=1 ∞ được chấp nhận và 𝑢𝛼𝑛 ∈ 𝑋𝛼𝑛 , 𝑠𝑢𝑝 𝐼(𝑢𝛼𝑛) < +∞, (1 + ‖𝑢𝛼𝑛‖𝑆𝛾,02 (Ω) )‖𝐼′(𝑢𝛼𝑛)‖(𝑆𝛾,02 (Ω))∗ → 0 chứa một dãy con hội tụ đến một điểm tới hạn của I. 19 Mệnh đề 2.2.4. Giả sử không gian Banach thực B được phân tích thành tổng trực tiếp 𝐵 = 𝐵1⊕𝐵2, ta có hai dãy không gian con sau: 𝐵0 1 ⊂ 𝐵1 1 ⊂ ⋯ ⊂ 𝐵1, 𝐵0 2 ⊂ 𝐵1 2 ⊂ ⋯ ⊂ 𝐵2, 𝐵𝑗 =⋃𝐵𝑛 𝑗 𝑛∈ℕ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , 𝑗 = 1,2, trong đó dim 𝐵𝑛 𝑗 < ∞, 𝑗 = 1,2, 𝑛 ∈ ℕ. Giả sử cũng có I ∈ C(B, ℝ) thỏa mãn các điều kiện sau: 1) I có liên kết cục bộ tại 0 và 𝐵1 ≠ 0. 2) I thỏa mãn điều kiện (𝐶𝑒)∗. 3) Các ánh xạ bị chặn I hợp thành các tập bị chặn. 4) Với mọi 𝑚 ∈ ℕ, 𝐼(𝑢) → −∞, như vậy ‖𝑢‖𝐵 → ∞,𝑢 ∈ 𝐵𝑚 1 ⊕𝐵2. Do đó I có ít nhất hai điểm tới hạn. Mệnh đề 2.2.5. Cho E là không gian Banach vô hạn chiều, và I ∈ 𝐶1(E, ℝ) là một hàm số chẵn thỏa mãn (PS) và như vậy I(0)=0. Giả sử rằng E = 𝑉 ⊕ 𝑋, do đó I là hữu hạn chiều, và I thỏa mãn các điều kiện sau: 1’) Có các hằng số 𝜌, 𝛼 > 0 như vậy 𝐼\𝜕𝐵𝜌∩𝑋≥ 𝛼; 2’) Cho không gian con hữu hạn chiều �̃� ⊂ 𝐸, trong đó R=R(�̃�) như vậy I ≤ 0 trên �̃�\𝐵𝑅(�̃�). Khi đó I có một dãy các giá trị tới hạn. Theo lí thuyết phổ của các toán tử compact, ta có thể viết dãy các giá trị riêng −∞ < 𝜆1 < 𝜆2 ≤ 𝜆3 ≤ ⋯ ≤ 𝜆𝑛 < 0 ≤ 𝜆𝑛+1 ≤ 𝜆𝑛+2 ≤ ⋯ Cho bài toán về giá trị riêng −∆𝛾𝑢 + 𝑎(𝑥)𝑢 = 𝜆𝑢 trong Ω, 𝑢 ∈ 𝑆𝛾,0 2 (Ω), (2.2) với các giá trị riêng được viết nhiều lần như bội số của nó, lim 𝑗→∞ 𝜆𝑗 → +∞, và 𝜆1 = inf 𝑢∈𝑆𝛾,0 2 (Ω),‖𝑢‖𝐿2(Ω)=1 ∫(|∆𝛾𝑢| 2 + 𝑎(𝑥)𝑢2)𝑑𝑥. Ω Cho 𝑒1, 𝑒2, , 𝑒𝑛, 𝑒𝑛+1, là các hàm riêng biệt trực giao trong 𝐿 2(Ω). Do đó 𝑆𝛾,0 2 (Ω) được phân tích thành 𝑆𝛾,0 2 (Ω) = 𝑉 ⊕ 𝑋, trong đó 20 𝑉 ≔ {𝑒1, 𝑒2, , 𝑒𝑛}, 𝑋 ≔ {𝑢 ∈ 𝑆𝛾,0 2 (Ω): ∫ 𝑢𝑣𝑑𝑥 = 0, 𝑣 ∈ 𝑉 𝛺 }, dim V < +∞, và dim X = +∞. Định lí 2.2.6. Giả sử f thỏa mãn (H1) - (H5) và 0 là một giá trị riêng của −∆𝛾 + 𝑎, 𝑎 ∈ 𝐿 �̃� 2(Ω). Khi đó Bài toán 1 có ít nhất một nghiệm không tầm thường. Chứng minh Ta áp dụng Mệnh đề 2.2.4 cho hàm 𝐼(𝑢) = 1 2 ∫|∆𝛾𝑢| 2 Ω 𝑑𝑥 + 1 2 ∫ 𝑎(𝑥)𝑢2𝑑𝑥 − ∫ 𝐹(𝑥, 𝑢)𝑑𝑥 ΩΩ xác định trong 𝑆𝛾,0 2 (Ω). Ta chỉ xét trường hợp khi 0 là một giá trị riêng của −∆𝛾 + 𝑎 và 𝐹(𝑥, 𝑢) ≤ 0 với |𝑢| ≤ 𝛿. (2.3) Các trường hợp khác cũng tương tự và đơn giản hơn. Giả sử rằng 𝑆𝛾,0 2 (Ω) = 𝑉 ⊕ 𝑋, trong đó V (hữu hạn chiều) là không gian mở của các hàm riêng biệt ứng với giá trị riêng của giá trị âm -∆𝛾 + 𝑎 và X là bổ sung trực giao của nó trong 𝑆𝛾,0 2 (Ω). Ta chọn một cơ sở Hilbert {𝑒𝑛}𝑛≥0 trong X và định nghĩa 𝑋𝑚 = span{𝑒0, 𝑒1, , 𝑒𝑚}, 𝑚 ∈ ℕ. 1) Ta khẳng định rằng I có liên kết cục bộ tại 0 với mối quan hệ đến (V,X). Ta sẽ phân tích X thành 𝑋1 + 𝑋2 , trong đó 𝑋1 = ker(−∆𝛾 + 𝑎), 𝑋 2 = (𝑉 + 𝑋1)⊥ . Với u ∈ X, ta có 𝑢 = 𝑢1 + 𝑢2, 𝑢1 ∈ 𝑋 1, 𝑢2 ∈ 𝑋 2. Từ đó dim𝑋1 0 sao cho ‖𝑢1‖𝐿∞(Ω) ≤ 𝐶2‖𝑢1‖𝑆𝛾,02 (Ω), với mọi 𝑢1 ∈ 𝑋 1. (2.4) Từ (H2) – (H4), với 𝜀 > 0 bất kì, tồn tại 𝐶𝜀 > 0 sao cho |𝐹(𝑥, 𝑡)| ≤ 𝜀𝑡2 + 𝐶𝜀|𝑡| 2𝛾 ∗ (2.5) Do đó, trên V ta có 21 𝐼(𝑢) ≤ 1 2 ∫|∆𝛾𝑢| 2 Ω 𝑑𝑥 + 1 2 ∫ 𝑎(𝑥)𝑢2𝑑𝑥 − 𝜀 ∫ 𝑢2𝑑𝑥 + 𝐶‖𝑢‖ 𝑆𝛾,0 2 (Ω) 2𝛾 ∗ ΩΩ Cho một số C > 0, vậy 𝐼(𝑢) ≤ 0, u ∈ 𝑉, ‖𝑢‖𝑆𝛾,02 (Ω) ≤ 𝑟, với r > 0 đủ nhỏ. Lấy 𝑢1 + 𝑢2 ∈ 𝑋 sao cho ‖𝑢‖𝑆𝛾,02 (Ω) ≤ 𝛿/2𝐶2. Ta đặt Ω1 = {𝑥 ∈ Ω ∶ |𝑢2(𝑥)| ∈ 𝛿/2}, Ω2 = Ω\Ω1. Theo (2.4), trên Ω1, ta có |𝑢(𝑥)| ≤ |𝑢1(𝑥)| + |𝑢2(𝑥)| ≤ ‖𝑢1‖𝐿∞(Ω) + 𝛿 2 ≤ 𝛿; vì vậy, do (2.3) ∫ 𝐹(𝑥, 𝑢)𝑑𝑥 ≤ 0. Ω1 Trong Ω2, bởi (2.4), ta có |𝑢(𝑥)| ≤ |𝑢1(𝑥)| + |𝑢2(𝑥)| ≤ 2|𝑢2(𝑥)|. Vì vậy, do (2.5) |𝐹(𝑥, 𝑢)| ≤ 𝜀|𝑢|2 + 𝐶𝜀|𝑢| 2𝛾 ∗ ≤ 4𝜀|𝑢2| 2 + 22𝛾 ∗ 𝐶𝜀|𝑢2| 2𝛾 ∗ và ∫ 𝐹(𝑥, 𝑢)𝑑𝑥 ≤ 4𝜀 ∫ 𝑢2 2𝑑𝑥 Ω + 𝑐‖𝑢2‖𝑆𝛾,02 (Ω) 2𝛾 ∗ Ω2 cho số c > 0. Vì vậy 𝐼(𝑢) ≥ 1 2 ∫|∇𝛾𝑢2| 2 𝑑𝑥 Ω + 1 2 ∫ 𝑎(𝑥)𝑢2 2𝑑𝑥 Ω − 4𝜀 ∫ 𝑢2 2𝑑𝑥 Ω − 𝑐‖𝑢2‖𝑆𝛾,02 (Ω) 2𝛾 ∗ − ∫ 𝐹(𝑥, 𝑢)𝑑𝑥 Ω1 và với 0 < r < 𝛿\(2𝐶) đủ nhỏ, ta có 𝐼(𝑢) ≥ 0, 𝑢 ∈ 𝑋, ‖𝑢‖𝑆𝛾,02 (Ω) ≤ 𝑟. 22 2) Giả sử I thỏa mãn điều kiện (𝐶𝑒)∗ . Ta xét dãy {𝑢𝛼𝑛}𝑛=1 ∞ mà {𝛼𝑛}𝑛=1 ∞ được thừa nhận và 𝑢𝛼𝑛 ∈ 𝐸𝛼𝑛 , 𝑐 = sup 𝐼(𝑢𝛼𝑛) < +∞, (1 + ‖𝑢𝛼𝑛‖𝑆𝛾,02 (Ω) )‖𝐼′(𝑢𝛼𝑛)‖𝑆𝛾,02 (Ω) → 0. (2.6) Từ đó, 𝑐 ∈ ℝ, 𝐸𝛼𝑛 = 𝑉𝛼𝑛 ⊕𝑋𝛼𝑛 , 𝛼𝑛 ∈ ℕ, 𝑉𝛼𝑖 và 𝑋𝛼𝑖 là các không gian con với i = 𝛼1, , 𝛼𝑛. Ta viết tắt 𝑢𝛼𝑛 bởi 𝑢𝑛. Đầu tiên ta chứng minh rằng {𝑢𝑛}𝑛=1 ∞ bị chặn trong 𝑆𝛾,0 2 (Ω) . Khi đó ‖𝑢‖𝑆𝛾,02 (Ω) → 0 khi n → ∞. Để 𝜔𝑛 = 𝑢𝑛 ‖𝑢𝑛‖𝑆𝛾,02 (Ω) ; khi 𝜔𝑛 ∈ 𝑆𝛾,0 2 (Ω) và ‖𝜔𝑛‖𝑆𝛾,02 (Ω) = 1. Do đó có 𝜔 ∈ 𝑆𝛾,0 2 (Ω) sao cho 𝜔𝑛 ⇀ 𝜔 trong 𝑆𝛾,0 2 (Ω) khi 𝑛 → ∞, 𝜔𝑛 → 𝜔 trong 𝐿 𝑝(Ω) khi 𝑛 → ∞, với 2 ≤ 𝑝 < 2𝛾 ∗ , 𝜔𝑛 → 𝜔 trong Ω khi 𝑛 → ∞. Từ định lí nhúng Sobolev, ta được ‖𝜔𝑛‖𝐿2𝛾 ∗ (Ω) ≤ 𝐶3‖𝜔𝑛‖𝑆𝛾,02 (Ω) = 𝐶3, với 𝐶3 là hằng số dương. Để Ω≠ = {𝑥 ∈ Ω ∶ 𝜔(𝑥) ≠ 0}. Sau đó |Ω≠| = 0. Thật vậy, lim 𝑛→∞ 𝑢𝑛(𝑥) ‖𝑢𝑛‖𝑆𝛾,02 (Ω) = lim 𝑛→∞ 𝜔𝑛 (𝑥) = 𝜔(𝑥) ≠ 0 trong Ω≠, nghĩa là |𝑢𝑛(𝑥)| → +∞ trong Ω≠. Vì vậy, lim 𝑛→+∞ 𝐹(𝑥, 𝑢(𝑥)) |𝑢𝑛(𝑥)|2 = +∞ a. e. trong Ω≠. (2.7) Do (H3), tồn tại hằng số 𝐶4 > 0 sao cho 𝐹(𝑥, 𝑡) |𝑡|2 > 1 23 với mọi x ∈ Ω và t ≥ 𝐶4. Từ đó F(x,t) là liên tục trong Ω̅ × [−𝐶4, 𝐶4], tồn tại C > 0 sao cho |𝐹(𝑥, 𝑡)| ≤ 𝐶 với mọi (𝑥, 𝑡) ∈ Ω̅ × [−𝐶4, 𝐶4]. Ta thấy rằng tồn tại hằng số �̃� sao cho 𝐹(𝑥, 𝑡) ≥ �̃� với mọi (𝑥, 𝑡) ∈ Ω̅ × ℝ. (2.8) Nghĩa là 𝐹(𝑥, 𝑢𝑛(𝑥)) |𝑢𝑛(𝑥)|2 |𝜔𝑛(𝑥)| 2 − �̃� ‖𝑢𝑛‖𝑆𝛾,02 (Ω) ≥ 0. (2.9) Từ định nghĩa của điều kiện (𝐶𝑒)∗, ta có 𝑐 ≥ 𝐼(𝑢𝑛) = 1 2 ‖𝑢𝑛‖𝑆𝛾,02 (Ω) 2 + 1 2 ∫ 𝑎(𝑥)𝑢𝑛 2𝑑𝑥 Ω − ∫ 𝐹(𝑥, 𝑢𝑛)𝑑𝑥 Ω . (2.10) Ta sẽ có 1 2 + 1 2 ∫ 𝑎(𝑥)𝜔𝑛 2 Ω 𝑑𝑥 = ∫ 𝐹(𝑥, 𝑢𝑛) |𝑢𝑛|2 𝜔𝑛 2𝑑𝑥 + 𝑜(1). (2.11) Ω Nếu |Ω≠| > 0, từ (H3), (2.7) và (2.9), kết hợp với bổ đề Fatou, ta có +∞ = ∫ lim inf 𝑛→∞ 𝐹(𝑥, 𝑢𝑛(𝑥)) |𝑢𝑛(𝑥)|2 |𝜔𝑛(𝑥)| 2𝑑𝑥 − ∫ lim inf 𝑛→∞ �̃� ‖𝑢𝑛‖𝑆𝛾,02 (Ω) 𝑑𝑥 Ω≠Ω≠ ≤ ∫ lim inf 𝑛→∞ ( 𝐹(𝑥, 𝑢𝑛(𝑥)) |𝑢𝑛(𝑥)|2 |𝜔𝑛(𝑥)| 2 − �̃� ‖𝑢𝑛‖𝑆𝛾,02 (Ω) ) Ω≠ 𝑑𝑥 ≤ lim inf 𝑛→∞ ∫ ( 𝐹(𝑥, 𝑢𝑛(𝑥)) |𝑢𝑛(𝑥)|2 |𝜔𝑛(𝑥)| 2 − �̃� ‖𝑢𝑛‖𝑆𝛾,02 (Ω) ) Ω≠ 𝑑𝑥 ≤ lim inf 𝑛→∞ ∫ ( 𝐹(𝑥, 𝑢𝑛(𝑥)) |𝑢𝑛(𝑥)|2 |𝜔𝑛(𝑥)| 2 − �̃� ‖𝑢𝑛‖𝑆𝛾,02 (Ω) ) Ω 𝑑𝑥 24 = lim inf 𝑛→∞ ∫ 𝐹(𝑥, 𝑢𝑛(𝑥)) ‖𝑢𝑛‖𝑆𝛾,02 (Ω)Ω 𝑑𝑥 ≤ 1 2 + 1 2 ∫ 𝑎(𝑥)𝜔𝑛 2𝑑𝑥 + 𝑜(1) Ω ≤ 1 2 + 𝐶3 2‖𝑎(𝑥)‖ 𝐿 �̃� 2 (Ω) + 𝑜(1). Điều này là mâu thuẫn. Do đó, ta có |Ω≠| = 0, và vì vậy 𝜔(𝑥) = 0 trong Ω. Do đó I(t𝑢𝑛) là liên tục với 𝑡 ∈ [0,1], tồn tại 𝑡𝑛 ∈ [0,1] sao cho 𝐼(𝑡𝑛𝑢𝑛) = max 𝑡∈[0,1] 𝐼(𝑡𝑢𝑛), và 〈𝐼′(𝑢𝑛), 𝑢𝑛〉 = 𝑜(1), suy ra 〈𝐼′(𝑡𝑛𝑢𝑛), 𝑡𝑛𝑢𝑛〉 = 𝑜(1). Cho 𝑡 ∈ [0,1], giả sử (H1) kéo theo 2𝐼(𝑡𝑢𝑛) ≤ 2𝐼(𝑡𝑛𝑢𝑛) = 2𝐼(𝑡𝑛𝑢𝑛) − 〈𝐼 ′(𝑡𝑛𝑢𝑛), 𝑡𝑛𝑢𝑛〉 + 𝑜(1) = ∫[𝑡𝑛𝑢𝑛𝑓(𝑥, 𝑡𝑛𝑢𝑛) − 2𝐹(𝑥, 𝑡𝑛𝑢𝑛)]𝑑𝑥 Ω + 𝑜(1) ≤ ∫[𝛼(𝑢𝑛𝑓(𝑥, 𝑡𝑛𝑢𝑛) − 2𝐹(𝑥, 𝑢𝑛) + 𝐶0]𝑑𝑥 Ω + 𝑜(1) = 𝛼[2𝐼(𝑢𝑛) − 〈𝐼′(𝑢𝑛), 𝑢𝑛〉] + 𝐶0|Ω| + 𝑜(1) ≤ 2𝛼𝑐 + 𝐶0|𝛺| + 𝑜(1). (2.12) Hơn nữa, vì (H2), với mỗi 𝜀 ≥ 0, tồn tại 𝐶𝜀 > 0 sao cho |𝐹(𝑥, 𝑡)| ≤ 1 2𝐶3 2𝛾 ∗ 𝜀|𝑡| 2𝛾 ∗ + 𝐶𝜀 , 𝑣ớ𝑖 𝑡 ∈ ℝ, ∀𝑥 ∈ Ω. Để 𝛿 = 𝜀/(2𝐶𝜀) > 0. Cho 𝐴 ⊆ Ω với A < 𝛿, ta có |∫ 𝐹(𝑥,𝜔𝑛)𝑑𝑥 𝐴 | ≤ ∫|𝐹(𝑥, 𝜔𝑛)|𝑑𝑥 𝐴 ≤ ∫ 𝐶𝜀𝑑𝑥 + 1 2𝐶3 2𝛾 ∗ 𝜀 ∫|𝜔𝑛| 2𝛾 ∗ 𝐴 𝑑𝑥 𝐴 ≤ ∫ 𝑎(𝜀)𝑑𝑥 + 1 2𝐶3 2𝛾 ∗ 𝜀 ∫|𝜔𝑛| 2𝛾 ∗ 𝑑𝑥 ≤ 1 2 𝜀 + 1 2 𝜀 = 𝜀 Ω𝐴 . 25 {∫ 𝐹(𝑥, 𝜔𝑛)𝑑𝑥Ω }𝑛=1 ∞ là liên tục tuyệt đối. Vì thế ∫ 𝐹(𝑥,𝜔𝑛)𝑑𝑥 Ω → ∫ 𝐹(𝑥, 0)𝑑𝑥 Ω = 0 theo định lí hội tụ Vitali. Mặt khác, hàm 𝜒 ∶ 𝑢 ↦ ∫ 𝑎(𝑥)𝑢2𝑑𝑥 Ω là liên tục yếu tại a ∈ 𝐿�̃�∖2(Ω). Vì thế, ∫ 𝑎(𝑥)𝜔𝑛 2𝑑𝑥 Ω → 0 𝑘ℎ𝑖 𝑛 → ∞. Điều này có nghĩa là, với s > 0 bất kì, 2𝐼(𝑠𝜔𝑛) = ‖𝑠𝜔𝑛‖𝑆𝛾,02 (Ω) 2 + 𝑠2 ∫ 𝑎(𝑥)𝜔𝑛 2𝑑𝑥 Ω − 2∫ 𝐹(𝑥, 𝑠𝜔𝑛)𝑑𝑥 Ω = 𝑠2 + 𝑜(1). Kết hợp với (2.12), ta được 𝑠2 + 𝑜(1) = 2𝐼(𝑠𝜔𝑛) ≤ 2𝛼𝑐 + 𝐶0|𝛺| + 𝑜(1). Từ đó với s bất kì, ta có sự mâu thuẫn. Vậy {𝑢𝑛}𝑛=1 ∞ là bị chặn trong 𝑆𝛾,0 2 (Ω). Ta có thể giả sử rằng 𝑢𝑛 ⇀ 𝑢 trong 𝑆𝛾,0 2 (Ω). Khi đó ta có ‖𝑢𝑛 − 𝑢‖𝑆𝛾,02 (Ω) 2 = 〈𝐼′(𝑢𝑛) − 𝐼 ′(𝑢), 𝑢𝑛 − 𝑢〉 − ∫[𝑎(𝑢𝑛 − 𝑢) 2 − (𝑓(𝑥, 𝑢𝑛) − 𝑓(𝑥, 𝑢))(𝑢𝑛 − 𝑢)]𝑑𝑥. Ω Có nghĩa là 𝑢𝑛 → 𝑢 trong 𝑆𝛾,0 2 (Ω) và I’(u) = 0. 3) Chắc chắn, các ánh xạ bị chặn I hợp thành các tập bị chặn. 4) Cuối cùng, ta khẳng định rằng, với mọi m ∈ ℕ, 𝐼(𝑢) → −∞ khi ‖𝑢‖𝑆𝛾,02 (Ω) → ∞, 𝑢 ∈ 𝑉 ⊕ 𝑋𝑚 . Thật vậy, theo (H3), với mỗi M > 0, tồn tại 𝐶𝑀 sao cho 26 𝐹(𝑥, 𝑢) ≥ 𝑀𝑢2 − 𝐶𝑀. (2.13) Vì vậy 𝐼(𝑢) = 1 2 ‖𝑢‖𝑆𝛾,02 (Ω) 2 + 1 2 ∫ 𝑎𝑢2𝑑𝑥 − ∫ 𝐹(𝑥, 𝑢)𝑑𝑥 ΩΩ ≤ 1 2 ‖𝑢‖𝑆𝛾,02 (Ω) 2 + ‖𝑎‖ 𝐿�̃�∖2(Ω) ‖𝑢‖ 𝐿2𝛾 ∗ (Ω) 2 − ∫ 𝐹(𝑥, 𝑢)𝑑𝑥 Ω ≤ 1 2 ‖𝑢‖𝑆𝛾,02 (Ω) 2 + 𝐶‖𝑢‖𝑆𝛾,02 (Ω) 2 −𝑀𝐶̅‖𝑢‖𝑆𝛾,02 (Ω) 2 − 𝐶𝑀|Ω| = ( 1 2 + 𝐶 −𝑀𝐶̅) ‖𝑢‖𝑆𝛾,02 (Ω) 2 − 𝐶𝑀|Ω|. (2.14) Trong bất đẳng thức trên, ta thường lấy M > 0 đủ lớn, do vậy 1 2 + 𝐶 −𝑀𝐶̅ < 0. Điều đó có nghĩa là 𝐼(𝑢) → −∞ khi ‖𝑢‖𝑆𝛾,02 (Ω) 2 → ∞,𝑢 ∈ 𝑉⨁𝑋𝑚. Định lí được chứng minh. ∎ 2.2.2. Sự tồn tại nghiệm của bài toán 2 Định nghĩa 2.2.7. Không gian 𝑆𝛾 𝑝(ℝ𝑁) (1≤ 𝑝 < +∞) gồm tất cả các hàm 𝑢 ∈ 𝐿𝑝(ℝ𝑁) mà 𝛾𝑗𝜕𝑥𝑗𝑢 ∈ 𝐿 𝑝(ℝ𝑁) với mọi j=1,,N. Ta định nghĩa chuẩn trong không gian này n