Luận văn Sự ổn định của hệ phương trình vi phân đại số với ma trận hệ số phụ thuộc tham số thời gian

.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 19 Khi đó tồn tại pu  : 1u và 0 0G s u G s . Theo một hệ quả của định lý Hahn-Banach, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính *y xác định trên *: 1q y và * 0 0 0 .y G s u G s u G s Đặt 1 * 0 . p qG s uy  Rõ ràng, 1 1 * 0 0 0 0 0.G s u G s uy G s u G s u G s u Vì vậy, 1 0G s . Mặt khác, từ 1 * 0G s uy ta có 1 0G s u . Kết hợp hai bất đẳng thức ta có 1 0 .G s Hơn nữa, từ 0G s u u ta nhận được 0E G s u Eu 0. Đặt 1 0x s A B Eu , khi đó 0s A B x Eu . Vậy 0E Fx s A B x , hay là 0s A B E F x 0. Điều đó có nghĩa là, 0 ,s A B E F , hoặc cặp ,A B E F không chính quy. Do đó, hệ '( ) - ( )Ax t B E F x t 0 không ổn định tiệm cận hoặc không chính quy. Nghĩa là, .V Mặt khác, ta có, 11 0 sup s d G s G s  . Vì là bé tuý ý, nên 1 sup s d G s  . Do đó, 1 sup s d G s  . Để ý rằng, hàm G s là hàm giải tích trên nửa mặt phẳng  . Do đó theo nguyên lý cực đại, G s đạt cực đại tại s hoặc trên biên i . www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 20 Vậy, 1 sup s i d G s  . Sau đây, ta sẽ thấy rằng, nếu 0s  sao cho 0 sup s G s G s  thì 11 0 max ,s d G s G s  và ma trận 1 1 * 0 ,F s A B E uy sẽ là ma trận “xấu” với d . Trường hợp hàm G s không đạt được giá trị lớn nhất tại một điểm hữu hạn s thì lập luận trên không cho phép ta tìm được ma trận “xấu” sao cho d như trong bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân thường (ngay cả khi chúng ta lấy giới hạn khi s ). Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng, nếu G s không đạt được giá trị lớn nhất trên  thì không có một ma trận nào thoả mãn điều kiện d và hệ '( ) - ( )Ax t B E F x t 0 là không ổn định tiệm cận. Thật vậy, giả sử ngược lại, có một ma trận như thế. Lấy 0 ,s A B E F  và x là vectơ riêng của nó, nghĩa là, 0s Ax B E F x 0. Lập luận như trên ta thấy 1 1 0 0sup s G s G s d  . Điều này là mâu thuẫn. Hơn nữa, giả sử ns  sao cho ns và lim sup .n s i G s G s  Giả sử n tương ứng với ns được xây dựng như trên, khi đó hệ 0'-Ax B E F x = 0 là ổn định. (Để ý rằng, chúng ta luôn có thể giả sử tồn www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 21 tại 0lim n n , vì nếu không, ta sẽ lấy một dãy con kn của dãy bị chặn n sao cho 0lim .k k nn ) Vì tập hợp các ma trận sao cho cặp ,A B E F có chỉ số 1 là mở nên ta suy ra chỉ số của 0,A B E F phải lớn hơn 1. Bây giờ, ta xét một trường hợp đặc biệt, trong đó mE F I (nhiễu không cấu trúc). Như đã thấy, bán kính ổn định với nhiễu không cấu trúc là 1 sup s i d G s  , trong đó 1 .G s sA B Ta chứng minh rằng, nếu , 1ind A B k , thì ma trận hàm G(s) là không bị chặn trên i . Thật vậy, 1 1 1 -1 00 W 00 r m r BsI sA B T IsU G s 1 1 -1 1 0 W 0 r m r sI B T sU I 1 1 -1 1 0 0 W 0 r k i i sI B T sU khi s Tính không bị chặn của G s kéo theo d = 0. Nghĩa là với những nhiễu dù rất nhỏ, thì phương trình vi phân đại số với chỉ số lớn hơn hay bằng 2 có thể không còn ổn định tiệm cận được nữa. Nếu , 1ind A B , dễ dàng chứng minh được rằng , G s là bị chặn trên  , nghĩa là d > 0 nhưng có thể không tồn tại một ma trận “xấu” nào, sao cho d . Ta có định lý sau đây www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 22 Định lý 2.1.2. i) Bán kính ổn định phức của (2.1.1) được cho bởi công thức 1 sup s i d G s  , trong đó 1 .G s F sA B E ii) Tồn tại ma trận “xấu” : d khi và chỉ khi G s đạt được giá trị lớn nhất trên i . iii) Trong trường hợp , mE F I d 0 khi và chỉ khi ,ind A B 1. Một câu hỏi đặt ra ở đây, khi nào thì hàm G s đạt được giá trị lớn nhất tại một giá trị hữu hạn 0s ? Chú ý đầu tiên là, câu trả lời phụ thuộc vào việc chọn chuẩn của m vì G s có thể đạt được giá trị lớn nhất trong chuẩn này nhưng không đạt giá trị lớn nhất trong một chuẩn khác. Chúng ta có thể trả lời câu hỏi bằng cách khảo sát hàm số, nhưng ta không thực hiện ở đây. Các ví dụ Trong các ví dụ sau đây, để đơn giản trong tính toán, chúng ta sử dụng chuẩn maximum của vectơ và chuẩn ma trận tương thích. Ví dụ 2.1.3. Tính bán kính ổn định của hệ phương trình với nhiễu cấu trúc '( ) - ( )Ax t B E F x t 0 trong đó là nhiễu và 1 0 1 0 1 1 , 0 0 0 A 2 1 0 1 1 0 , 1 0 1 B 1 1 1 1 1 1 , 0 0 0 E 1 0 0 0 1 0 . 0 0 1 F www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 23 Ta thấy ,ind A B 2, 1 , 3 A B . Do đó {A,B} là ổn định tiệm cận. Tính toán trực tiếp, ta nhận được 1 3 1 3 1 3 1 1 1 1 . 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 s s s s s s s s s G s F sA B E s s s s s s s s s Vậy, 3 1 1 3max , 3 1 s s s G s s đạt được max tại 0s = 0 và 0G 3. Vì vậy, 1 . 3 d Chọn 1 1 1 u thì 0 0G u G3. Giả sử * 0 1 0y và ta có: 1 * 1 0 0 3 1 0 0 0 . 3 1 0 0 3 G uy Hơn nữa, det 2sA B E F s 0 khi s 0. Ví dụ 2.1.4. Xét phương trình '( ) - ( )Ax t Bx t 0, trong đó 1 2 2 4 A và 1 2 . 2 0 B Rõ ràng ,ind A B 1 ,A B -1 và 1 1 1 2 1 1 2 4 s sG s sA B www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 24 vì vậy, 3 1 ax , 4 2 1 s G s m s không đạt được giá trị lớn nhất trên  . Hơn nữa, 3 lim 2s G s nên ta suy ra 2 3 d . Chọn 2 1 1 s i u s rõ ràng u 1 và G s u G s khi phần thực của s đủ lớn. Với * 1 0 ,y ta có 1 *G s uy hội tụ về 2 0 3 2 0 3 khi s . Dễ thấy, 8 det , 3 sA B s nghĩa là ,A B và phương trình '( ) - ( )Ax t B x t 0. Tức là hệ ' ' 1 2 1 2 ' ' 1 2 1 5 2 2 0, 3 4 2 4 0, 3 x x x x x x x có duy nhất nghiệm 1 2 0 0 x x vẫn ổn định tiệm cận, nghĩa là nhiễu ta vừa chọn không “xấu”. 2.2. Liên hệ giữa bán kính ổn định thực và bán kính ổn định phức của hệ phƣơng trình vi phân đại số Trong mục này, chúng ta xét một trường hợp đặc biệt, khi d d  . Đối với phương trình vi phân đại số, đây là một bài toán không đơn giản, vì dưới ảnh hưởng của cặp ma trận {A,B}, nón dương n có thể không còn bất biến www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 25 đối với quỹ đạo của hệ, ngay cả khi A, B đều dương. Trong luận văn này, chúng tôi chỉ có thể giải bài toán với những giả thiết rất chặt. Giả sử rằng , , .m m mA B E F I Định nghĩa 2.2.1. i) Ma trận ij m mH  được gọi là dương, ký hiệu H > 0, nếu ij 0, , .i j ii) Ma trận ij m mH  được gọi là không âm, ký hiệu H 0, nếu ij 0, , .i j iii) Giá trị tuyệt đối của ma trận ij ,M m ký hiệu M , là ma trận ij ,m tức là M = ij ,m với 1 2, ,..., .mx x x x Trong m m ta định nghĩa quan hệ thứ tự như sau. Định nghĩa 2.2.2. i) Ma trận M được gọi là lớn hơn hoặc bằng ma trận N, ký hiệu là ,M N nếu M N 0. ii) Số , ax Re : ,A B m A B được gọi là hoành độ phổ của cặp ma trận {A,B} Chúng ta xét phương trình '( ) - ( )Ax t Bx t 0, (2.2.1) trong đó A, B là các ma trận hằng cấp m m , cặp {A,B} là chính quy. Nếu ,ind A B 1, thì d d  0, vì ta có thể lấy nhiễu thực nhỏ tuỳ ý và “xấu” V , sao cho bé tuỳ ý .Vì vậy ta chỉ xét trường hợp ,ind A B 1. Ta đưa ra các giả thiết sau i) A 0. ii) 1 , 0, : 0, .n n n nt t t t A B n (2.2.2) www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 26 iii) Hệ (2.2.1) ổn định tiệm cận. Chú ý rằng, nếu det A 0 thì các điều kiện trên đảm bảo cho (2.2.1) là hệ dương. Để bài toán đơn giản, ta sẽ chọn một chuẩn đơn điệu trong m , tức là nếu các vectơ x và y thoả mãn ,x y thì .x y (Ví dụ 1 1 , 1 m pp ip i x x p là chuẩn đơn điệu.) Bổ đề 2.2.3. Giả sử hệ (2.2.1) thoả mãn các điều kiện (2.2.2), khi đó với mọi sao cho Re ,A B ta có 1 1 .Re ,A B x A B x với mỗi mx  . Chứng minh Lấy ,nt t i sao cho , .nt t A B Theo giả thiết ,t A B , chúng ta phải chứng minh rằng 1 1 t i A B x tA B x mx  . Bằng tính toán đơn giản, ta có 11 11 . .n m n nt i A B t A B I t t i A t A B Đặt 1 n nG t t A B , ta nhận được 11 .n m n nt i A B G t I t t i AG t = 0 . n n n n n n G t t t i AG t (2.2.3) Chuỗi trên hội tụ tuyệt đối, nếu chúng ta chứng minh được rằng 1n nt t i r AG t , ở đây r M là bán kính phổ của M. www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 27 Trước tiên, ta thấy lim .n n nt t t t i t Do đó, với , 0t A B chúng ta có ,n nt t t i t A B , với nt đủ lớn, nghĩa là , .n nt A B t t i Mặt khác, nhờ giả thiết i) và ii) ta có nAG t là ma trận không âm, theo định lý Perron–Frobenius ta có n n nr AG t AG t AG t (với nAG t dương). Tức là, det 0n nr AG t I AG t . Nhân cả hai vế với 1 1 .n n G t r AG t ta được 1 det 0n n t A B r AG t Điều đó, chỉ xảy ra khi 1 ,n n t A B r AG t . Do đó, 1 , .n n t A B r AG t Thay ,n nt A B t t i và nhân lên ta được 1n nt t i r AG t . Để ý rằng nếu nr AG t = 0 bất đẳng thức trên vẫn đúng. Nghĩa là 1n nt t i r AG t luôn đúng với nAG t là ma trận không âm. Như vậy ta đã chứng minh được chuỗi (2.2.3) hội tụ tuyệt đối. Từ (2.2.3) ta có 1 0 nn n n n n t i A B x G t t t i AG t x www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 28 = 1 n m n nG t I t t i AG t x = 1 n nt t t i A B x Cho nt , ta nhận được 1 1 t i A B x tA B x  Bổ đề 2.2.4. 1 0, , .G t tA B t A B Hơn nữa G t đơn điệu giảm trên , ,A B . Chứng minh Giả sử 0 ,t A B . Sử dụng bổ đề 2.2.3, ta thấy rằng 0 0 0ReG t G t G t , do đó 0 0G t . Sự đơn điệu giảm của G t trên , ,A B , được suy ra từ chứng minh trên và từ ,s t A B ta có 0G s G t t s G s AG t .  Vì hàm G s là giải tích trên  , nên G s chỉ có thể đạt được giá trị lớn nhất tại s hoặc s i . Hơn nữa, với chuẩn đơn điệu được chọn như trong Bổ đề 2.2.3, G s đạt được giá trị lớn nhất trên 0, ) . Mặt khác, nhờ Bổ đề 2.2.4, G s đạt được giá trị lớn nhất tại 0s , tức là 10 ax G :Re 0 .G m B Từ định lý Perron - Frobenius, 0, 1: 0 0 ,u u G u G nhờ sử dụng định lý Hahn - Banach ta suy ra tồn tại một phiếm hàm tuyến tính *y sao cho * 0 0 0y G u G u G , và * 1y . www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 29 Giả sử 1 *0G uy , bằng con đường như trong mục 2.1, chúng ta có thể chỉ ra rằng V (tức là là ma trận thực, "xấu") và d . Ta đã chứng minh được định lý dưới đây. Định lý 2.2.5. Giả sử hệ (2.2.1) thỏa mãn các giả thiết i), ii), iii) và chuẩn đơn điệu trong m đã được chọn, khi đó bán kính ổn định phức và bán kính ổn định thực là bằng nhau, nghĩa là d d  . Như đã nói ở trên, giả thiết dương của nG t đối với một dãy nt là mạnh và rất khó kiểm chứng. Ta cần đưa ra một điều kiện đủ, để đảm bảo các giả thiết trên. Định nghĩa 2.2.6. Giả sử hệ (2.2.1) tồn tại nghiệm x t thỏa mãn điều kiện 0 0x t x . Hệ (2.2.1) được gọi là hệ dương nếu với mỗi 0 mx  , ,..., : 0, 1,2,..., 1 2 y y y y y i m m i , nghiệm 0, 0.x t t Giả sử Q là một phép chiếu bất kỳ lên Ker A. Đặt   1 ; mQ Q A BQ B P I Q và   1B P A BQ B . Khi đó, hệ (2.2.1) tương đương với hệ    ' 0, 0, Px BPx Qx Ta biết rằng, ở đây, khi  0Qx thì     + , ' + ' '.Px Qx x Px Qx x Do đó hệ (2.2.1) tương đương với hệ   ' - 0, 0, x Bx Qx (2.2.4) Để ý rằng, 1G BQ Q do đó   BP PB B, ngoài ra  Q không phụ thuộc và việc chọn phép chiếu Q và    1 1 P A BQ P A BQ , do đó B không phụ thuộc vào việc chọn phép chiếu Q (xem [9], [17]). www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 30 Định nghĩa 2.2.7. Ma trận B được gọi là ma trận P - metzler nếu các phần tử  ijb của B là không âm, có thể trừ các phần tử  ijb ứng với i,j sao cho  ij 0p . Định lý 2.2.8. Hệ (2.2.1) là dương khi và chỉ khi   ij 0P p và B là ma trận P - metzler. Chứng minh Ta thấy hệ (2.2.1) dương khi và chỉ khi hệ (2.2.4) dương. Từ hệ (2.2.4) suy ra nghiệm tổng quát của hệ (2.2.1) là   0 t Bx t e Px . Vậy điều kiện hệ (2.2.1) dương, kéo theo  0P (với t = 0). Mặt khác, với t đủ nhỏ ta có:     0 0 ! n t B n tB e P P n     0 ! n n tB P P tB o t n khi 0t Suy ra, nếu  ij 0p thì  ij 0b . Ngược lại, nếu B là ma trận P - metzler và chú ý rằng   BP PB B, nên với mỗi sao cho   0P B , chúng ta có:       tP t B P tBe P e P =    . t B P tPe e P =      0 ! n t B P n tP Pe P n =     0 ! n t B P n t Pe P n =   . 0Bt Pte e P www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 31 Định lý 2.2.9. Giả sử rằng hệ (2.2.1) là dương, thêm vào đó   1 0P A BQ và   1 0Q A BQ . Khi đó, 1 0, 0G t tA B t . Chứng minh Chú ý rằng:    1 1 A BQ tA B tP A BQ B =   tP Q B =         mm Q P tI B t Q P tI P tQ B t . Vậy   1 1 1 G t A BQ tA B A BQ =     1 1 m Q P tI B A BQ t =       1 11 1 m mtI B P A BQ t tI B Q A BQ =      1 11 mtI B P A BQ Q A BQ . (2.2.5) Vì B là P - metzler nên có một giá trị 0t sao cho 0t t ta có     1 1 1 m m B tI B P I P t t =   0 11 ! n n B P t t n www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 32 =   1 11 1 ! n n B P t t t n =  1 1 0 B P o t t t , khi t đủ lớn. Vậy với giả thiết   1 0P A BQ và   1 0Q A BQ , hệ thức (2.2.5) nói lên rằng 00,G t t t . Lặp lại chứng minh của Bổ đề 2.2.4. ta suy ra 00,G t t  Ngoài ra, dễ dàng đưa ra một ví dụ, trong đó một hệ dương, nhưng giải thức 1 tA B lại không dương. Tới lúc này, ta vẫn không biết nếu các điều kiện hệ dương được đảm bảo thì d d  hay là không? Câu trả lời vẫn còn là bài toán mở. Bây giờ, ta xét một trường hợp đặc biệt, đặc trưng cho sự khác nhau giữa hệ phương trình vi phân thường và hệ phương trình vi phân đại số. Định lý 2.2.10. Nếu max s i G s  không đạt được tại một giá trị hữu hạn s thì d d  . Chứng minh Từ (2.2.5) chúng ta thấy:   1 ,, lim lim t ts s G s G t Q A BQ  ax , s m G s  trong đó Q , B được cho như trong (2.2.4). Giả sử nt là một dãy trong 0, sao cho lim nn t . Với mỗi n ta chọn m nu  và * n y với * T m ny  sao cho www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 33 *1; 1,n n n n nu y G t u G t và * n n n ny G t G t u như trong mục 2.1.2. Giả sử * 1 n nn nG t u y . Rõ ràng nt là một giá trị riêng của cặp , nA B với vectơ riêng tương ứng 1 n n nx t A B u . Nghĩa là n V . Dễ thấy rằng 1 lim limn nn n G t d , tức là d d  . Ví dụ 2.2.11. Tính bán kính ổn định của hệ '- 0Ax Bx với 1 0 0 0 1 0 0 0 0 A , 2 1 0 1 1 1 0 0 1 B Dễ thấy, , 1,ind A B 3 5 3 5 , ; 2 2 2 2 A B và  1 0 0 0 1 0 0 0 0 P ,  2 1 0 1 1 0 0 0 1 B Do vậy B là P - metzler. Hơn nữa,   1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Q A BQ ,   1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 P A BQ . Khi đó, 0G s với mỗi 0t và nó đạt được giá trị lớn nhất tại 0 0s với 1 1 1 0 1 2 2 0 0 1 G và 0G 5. Từ đó 1 5 d d  , trong đó 1 0 0 5 1 0 0 5 1 0 0 5 . www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 CHƢƠNG III BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VỚI NHIỄU ĐỘNG Chương này xét bài toán tìm bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính biến đổi theo thời gian có dạng ' , 0A t x t B t x t t (3.1) trong đó . 0, ;loc n nA L K , . 0, ;loc n nB L K , ,K R . Bài toán này đã được các tác giả Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh đề xuất và giải quyết trên tạp chí phương trình vi phân số 230 (năm2006) trang 579 – 599. Đây là sự phát triển của công trình [12] của Jacob. Ta giả sử A t là suy biến với mọi 0t và .KerA là liên tục tuyệt đối. Bên cạnh đó ta cũng giả sử rằng (3.1) sinh ra một toán tử ổn định mũ , 0 , t s t s , nghĩa là tồn tại hai hằng số dương M và sao cho , n n t s t s Me K , 0t s (3.2) Ta xét hệ (3.1) phụ thuộc vào sự nhiễu về cấu trúc có dạng ' . .A t x t B t x t E t F x t , 0t (3.3) trong đó . 0, ; n mE L K và . 0, ; q n F L K là những ma trận cho trước, xác định cấu trúc nhiễu và 0, ; 0, ;p p qmL LK K là toán tử nhiễu chưa biết, được giả sử là tuyến tính, có tính động và là nhân quả. Thành công lớn nhất của Jacob là việc tìm ra công thức bán kính ổn định đăng trong [12]. Trong công trình đó tác giả đã nghiên cứu về hệ hiện, đó là trường hợp đặc biệt của (3.1) với A = I và cũng đã thành công trong việc chứng minh bán kính ổn định bằng www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 35 0 0 0 0 1 0, ; , 0, ;0 sup : : , m q p p t t t L Lt t L L u t F t t s E s u s ds K KL (3.4) 3.1 Hệ phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số biến thiên Ta xét hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính: ' , 0A t x t B t x t q t t (3.1.1) trong đó A, B đã cho như trên, 0, ;loc nq L K . Cho N t = KerA t , t. Khi đó với những giả thiết về .KerA nói trên, tồn tại Q t liên tục tuyệt đối trên N t , nghĩa là 0, ; n nQ C K , Q là khả vi hầu khắp nơi, 2Q Q , và Im , 0Q t N t t . Ta giả sử ' 0, ;loc n nQ L K . P = I - Q, trong đó P t được chiếu dọc theo N t . Hệ (3.1.1) được viết lại như sau 'A t Px t B t x t q t (3.1.2) trong đó : ' 0, ;loc n nB B AP L K . Ta định nghĩa G A BQ . Định nghĩa 3.1.1 (Xem [9, phần 1.2]) Phương trình vi phân đại số (3.1.1) được gọi là có chỉ số 1 nếu G t khả nghịch với hầu hết 0,t và 1 0, ;loc n nG L K . Giả sử hệ (3.1.1) có chỉ số 1. Chú ý rằng tính chất chỉ số 1 không phụ thuộc vào phép chiếu P Q (xem [9], [16]). Ta xét tính thuần nhất trong trường hợp 0q t và xây dựng toán tử Cauchy sinh bởi (3.1.1). Lấy: 1G A P , 1 1G B Q G BP và nhân cả hai vế của (3.1.2) với 1PG , 1QG , ta có 1 1 ' ' ,Px P PG B Px Qx QG BPx www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 36 Như vậy hệ được chia làm hai phần: phần vi phân và phần đại số. Do đó ta cần phải chỉ ra được giá trị đầu của phần vi phân. Đặt u P x thì phần vi phân trở thành 1' 'u P PG B u (3.1.3) Phương trình này được gọi là phương trình vi phân thường (INHODE) của (3.1.1). Nhân cả hai vế của (3.1.2) với Q ta có ' 'Qu Q Qu Do đó INHODE (3.1.3) có các nghiệm không đổi thuộc 0Im P t và các nghiệm còn lại thuộc Im ,P t t . Giả sử 0 ,t s là toán tử Cauchy sinh bởi INHODE (3.1.3), nghĩa là 1 0 0 0 , ' , , , d dt t s P PG B t s s s I Khi đó, toán tử Cauchy sinh bởi hệ (3.1.1) được xác định bởi , , , , 0 d dt A t s B t s P s s s I và có thể cho bởi dạng 1 0, ,t s I QG B t t s P s Bằng các lý luận ở [9, phần 1.2], [16], nghiệm duy nhất của bài toán giá trị ban đầu (IVP) của (3.1.1) với điều kiện đầu 0 0 0 00, 0P t x t x t (3.1.4) được cho bởi công thức biến thiên hằng số 0 1 1 0 0 0, , t t x t t t P t x t PG q d QG q t www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 37 Chú ý 3.1.2 Tổng quát ta có, đẳng thức 0 0x t x với mỗi 0 nx K cho trước không thể xác định như bài toán giá trị ban đầu của ODEs. Tuy nhiên, với mỗi giá trị ban đầu liên hệ tới (3.1.1), (3.1.4) ta có 1 1 0 0 0 0 0x t I QG B t P t x QG q t 3.2 Nghiệm yếu và các khái niệm ổn định Từ giờ ta coi các giả thiết sau là đúng Giả thiết A1. Hệ (3.1) có chỉ số 1 và tồn tại 0, 0M sao cho 0 , , 0 t s t s P s Me t s Giả thiết A2. 1PG , 1QG và 1:sQ QG B căn bản bị chặn trong 0, Chú ý 3.2.1 Với những giả thiết trên ta có ngay một đánh giá sau 0 0 , , 1 esssup t s s s t t s I Q t t s P s Q t Me có nghĩa là (3.2) cố định với hầu hết các giá trị 0t s trong đó 0 : 1 esssup s t M Q t M Ngoài ra, nhờ tính bất biến của nghiệm của INHODE (3.1.3), ta có 0 0, , ,P t t s P t t s P s t s P s Ta cũng cần chú ý rằng các số hạng 1QG , sQ không phụ thuộc vào phép chiếu Q (xem [6], [16]) sau này chúng ta sẽ thấy rằng sự hạn chế tính bị chặn của 1PG , 1QG sẽ bị yếu đi một mức độ nào đó. Đầu tiên, khái niệm chỉ số được mở rộng cho hệ nhiễu (3.3) với toán tử nhiễu 0, ; , 0, ;p p q mL LK KL được cho là nhân quả. Giả sử toán tử tuyến tính  0, ; , 0, ;loc locp p n nG L LK KL www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 38 được xác định như sau  . . , 0Gu t A BQ u t E FQ u t t viết một cách hình thức ta có  11G E FQG G (3.2.1) Định nghĩa 3.2.2 Hệ phương trình vi phân đại số (3.3) có chỉ số 1 (nghĩa tổng quát) nếu với mỗi T > 0, toán tử G giới hạn trong 0, ;p nL T K là khả nghịch và toán tử nghịch đảo  1G bị chặn. Định nghĩa 3.2.3 Ta nói rằng IVP của hệ nhiễu (3.3) với (3.1) có nghiệm yếu nếu tồn tại 0 , ; loc p nx L t K thỏa mãn 00 0 1 1 0 0 0 ., , . t tt t x t P PG E Fx d QG E Fxt t t x t t (3.2.2) với 0t t , khi đó 0 0 0 0, 0, . , ,t t t Fx F t x t t t Định nghĩa 3.2.4 Cho X, Y là hai không gian Banach và : X YM là toán tử tuyến tính bị chặn. Ta nói rằng M là ổn định nếu nó khả nghịch và bị chặn, nghĩa là M khả nghịch và nghịch đảo của nó bị chặn. Bổ đề 3.2.5 Giả sử cho bộ ba toán tử tuyến tính bị chặn : X YM , :Y ZP , : Z XN , trong đó X, Y, Z là các không gian Banach. Khi đó toán tử I MPN là khả nghịch nếu và chỉ nếu I PNM khả nghịch. Ngoài ra nếu 1 P NM thì hai toán tử I MPN và I PNM là ổn định. Chứng minh: Trước hết ta giả sử I MPN khả nghịch, bằng tính toán trực tiếp ta dễ dàng có www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 39 1 1 I I IPNM PN MPN M nghĩa là I PNM cũng khả nghịch. Ngoài ra nếu 1 I MPN bị chặn thì 1 I PNM cũng bị chặn. Để chứng minh ngược lại ta làm tương tự. Mệnh đề thứ hai này là một hệ quả đơn giản của định lý nổi tiếng về giải tích hàm (xem [13, pp, 231 - 232]).  Áp dụng bổ đề trên với EM , P , 1FQGN . Ta có G là khả nghịch nếu và chỉ nếu 1I FQG E và 1I FQG E là khả nghịch. Định lý 3.2.6 Xét IVP (3.3), (3.1.4). Nếu (3.3) có chỉ số 1 thì nó có nghiệm yếu duy nhất 0 , ; loc nx L t K trong đó Px liên tục tuyệt đối với mọi 0 00, nt x K . Bên cạnh đó, với mỗi T > 0 bất kỳ, tồn tại một hằng số M1 sao cho 1 0 0 0, ,P t x t M P t x t t T Chứng minh: Chọn 0T t bất kỳ và xét hệ nhiễu (3.3) trên 0,t T . Khi đó hệ được viết lại như sau 1 1 1 1 ' ' ,Px P PG B Px PG E Fx Qx QG BPx QG E Fx Ta đặt : , :u Px v Qx . Nhân phương trình đại số với F, ta có 1 1I FQG E Fv FQG Bu E Fu Theo giả thiết phương trình có chỉ số 1 và theo bể đề 3.2.5, rõ ràng toán tử 1I FQG E là khả nghịch và bị chặn. Ta xác định 1 1 1:u I FQG E FQG Bu E FuV www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 40 Ta thấy V là tuyến tính, bị chặn và nhân quả. Thế Fv uV vào phần vi phân, khi đó INHODE trở thành 1 1' 'u P PG B u PG E F uV Bằng các dẫn chứng [12, định đề 3.2] thì INHODE có một nghiệm yếu duy nhất và nghiệm này được cho bởi công thức biến thiên hằng số. Bằng cách đặt x Px Qx u v , ta có nghiệm yếu duy nhất từ (3.3). Dễ thấy nghiệm duy nhất được tìm bởi công thức biến thiên hắng số (3.2.2) và phần vi phân Px là liên tục tuyệt đối. Để xác định phần còn lại, ta xác định toán tử 0 0: , ; , ;p p n nL t T L t TW K K 1 1: 'u P PG B u PG E F uW V Dễ thấy W là tuyến tính, bị chặn và là nhân quả. INHODE tương đương với phương trình tích phân 0 0 t u t u t u t dW Lấy chuẩn trong 0 , ;p nL t T K , ta có 0 0 0 0, ; , ; . n p n p t uL t t t L t t u u d K K W 0 0 1 0 p pt s u t t u d dsW (bất đẳng thức Minkowski) 0 0 1 0 t s p p u t t u d dsW www.VNMATH.com Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 0 0 0 , ; . n p t L t s t u u ds K W Theo bất đẳng thức Gronwall – Bellman ta có 0 0 0 0, ; . n p T t T L t t u u e u e W W K với mọi 00 t T . Lấy chuẩn vectơ cho cả hai vế của phương trình tích phân cho u và áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có: 0 1 1 0 0 t p p q t u t u t t u dW 0 1 0 , ; . n p q L t t u t u K W 1 0 0 Tqu T u e W W ở đây q là một