Luận văn Sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình quanh các tập có độ đo hausdorff (2n - 1) - chiều bằng 0

g ( , )Hol X Y thì f là ánh xạ chỉnh 6 hình. (trong đó ( , )Hol X Y là tập các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y được trang bị tô pô compact mở). 1.2.2. Một số định lý về thác triển Định lý 1.2.2 (Hartogs) ([2]). Giả sử cho các miền 1( )nD Z-Ì C và ( ) n n D ZÌ C ; hàm f tùy ý chỉnh hình trong lân cận ( theo nghĩa nC ) của tập ( ) (| | ) n n M D D Z D= ´ ¶ È ´ , (1.1) trong đó Z DÎ , thác triển chỉnh hình được vào toàn miền n D D D= ´ . Định lý 1.2.3 ([2]). Giả sử M là tập mỏng trong miền nD Ì C và hàm f chỉnh hình trong \D M . Nếu f giới nội địa phương, thì nó thác triển được một cách duy nhất thành hàm f chỉnh hình trong D . 1.3. Không gian phức hyperbolic Caratheodory 1.3.1. Giả khoảng cách Caratheodory Định nghĩa 1.3.1 ([8]). Cho X là một không gian phức, ( , )Hol X D là tập các ánh xạ chỉnh hình :f X D® . Đặt ( , ) sup ( ( ), ( )) X f C p q f p f qr= , với mọi ,p q XÎ . Trong đó supremum lấy trên tất cả các ( , )f Hol X DÎ . Khi đó X C được gọi là giả khoảng cách Caratheodory trên X . Chú ý: Vì D là thuần nhất, ta chỉ cần lấy supremum trên họ con { }( , ); ( ) 0f Hol X D f p= Î =F . Mệnh đề 1.3.1 ([8]). 1) Nếu X và Y là hai không gian phức, thì ( ( ), ( )) ( , ) Y X C f p f q C p q£ với ( , )f Hol X YÎ và ,p q XÎ , tức là :f X Y® là giảm khoảng cách đối với các giả khoảng cách Caratheodory. 7 2) Với X D= , giả khoảng cách Caratheodory D C trùng với khoảng cách Poincaré r , tức là D C r= . 1.3.2. Định nghĩa không gian phức hyperbolic Caratheodory - Một không gian phức X được gọi là hyperbolic Caratheodory hoặc C - hyperbolic, nếu X C là khoảng cách và cảm sinh tô pô của X . - Một không gian C -hyperbolic X được gọi là đầy nếu X là đầy Cauchy đối với X C . - Một không gian C -hyperbolic X được gọi là đầy mạnh nếu mọi hình cầu đóng đối với X C trong X đều compact. 1.4. Không gian phức hyperbolic (Kobayashi) 1.4.1. Giả khoảng cách Kobayashi Định nghĩa 1.4.1 ([1]). Giả sử X là một không gian phức liên thông, x và y là hai điểm tùy ý của X . ( , )Hol D X là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D vào X , được trang bị tô pô compact mở. Xét dãy các điểm 0 P x= , 1 , ..., k P P y= của X , dãy các điểm 1 2 , , ..., k a a a của D và dãy các ánh xạ 1 , ..., k f f trong ( , )Hol D X thỏa mãn: 1 (0) i i f p - = , ( ) i i i f a p= , 1,...,i k" = . Tập hợp { }0 1 1,..., , ,..., , ,...,k k kp p a a f fa = thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X . Với mỗi dây chuyền a như vậy ta lập tổng ( ) 1 0; k D i i ar = å . Tổng ( ) 1 0; k D i i ar = å được gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình a . Ta định nghĩa , 1 ( , ) inf (0; ), k X D i x y i d x y a a r a = ì üï ïï ï= Î Wí ý ï ïï ïî þ å , 8 trong đó ,x y W là tập hợp tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X . Dễ thấy : X d X X´ ® R thỏa mãn các tính chất sau: ( , ) 0 X d x y ³ , với mọi ,x y XÎ ( , ) ( , ) X X d x y d y x= , với mọi ,x y XÎ ( , ) ( , ) ( , ) X X X d x z d x y d y z£ + , với mọi , ,x y z XÎ Do đó : X d X X´ ® R là một giả khoảng cách trên X và được gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X . Nếu X không liên thông, ta định nghĩa ( , ) X d x y = ¥ với x , y thuộc hai thành phần liên thông khác nhau. 1.4.2. Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi i) Nếu :f X Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì f là giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa là ( , ) ( ( ), ( )), , X Y d x y d f x f y x y X   . Hơn nữa, X d là giả khoảng cách lớn nhất trên X thỏa mãn mọi ánh xạ chỉnh hình :f D X là giảm khoảng cách. ii) Đối với bất kỳ các không gian phức ,X Y ta có (( , ),( , )) max{ ( , ), ( , )} X Y X Y d x y x y d x x d y y      , với mọi ,x x X  , với mọi ,y y Y  . iii) Giả sử X là không gian phức. Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi : X d X X´ ® R là hàm liên tục. 1.4.3. Không gian phức hyperbolic (Kobayashi) Định nghĩa 1.4.2 ([1]). Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic (theo nghĩa Kobayashi) nếu giả khoảng cách Kobayashi X d trên X là khoảng cách, tức là 9 0( , ) , , X d p q p q p q X     . Ví dụ. + Đĩa r D và đa đĩa m r D là hyperbolic. + Một miền bị chặn trong mC là hyperbolic, vì nó là tập con mở của tích các đa đĩa. + mC không là hyperbolic, vì 0 m d Cm  . 1.4.4. Một số tính chất của không gian phức hyperbolic (Kobayashi) i) Nếu X , Y là các không gian phức, thì X Y là không gian hyperbolic nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic. ii) Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y . Nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic. Hay nói cách khác, không gian con của một không gian hyperbolic là hyperbolic. 1.5. Tập cực và tập đa cực 1.5.1. Tập cực ([5]). Tập nE Ì R được gọi là tập cực nếu tồn tại một hàm điều hòa dưới trong một lân cận nào đó của E mà đồng nhất bằng - ¥ trên E . 1.5.2. Tập đa cực ([5]). +) Tập nE Ì C được gọi là tập đa cực (hoặc nC -cực) nếu tồn tại một hàm đa điều hòa dưới trong một lân cận của E mà đồng nhất bằng - ¥ trên E . Hiển nhiên, một tập đa cực trong nC là tập cực (khi xem nó là một tập trong 2nR ). +) Một tập đa cực E DÌ được gọi là đầy trong miền D nếu tồn tại một hàm đa điều hòa dưới f trên D sao cho { }: ( )E z D zf= Î = - ¥ ; một tập đa cực E DÌ được gọi là đầy địa phương trên D nếu nó là đầy trong lân cận của mỗi điểm giới hạn của nó trong D . 10 1.6. Độ đo 1.6.1. Độ đo hyperbolic Định nghĩa 1.6.1 ([9]). Giả sử Z , X là không gian phức. Nếu :f Z X là giải tích, và U mở trong Z thì ( )f U đo được Borel trong X , thực ra ( )f U bằng hợp đếm được của các không gian con giải tích của X . Giả sử dimX n và tồn tại một dãy đếm được các ánh xạ giải tích ( ): n i f D X 1 2( , , ...)i  mà ảnh của chúng phủ X . Gọi A là một tập con đo được Borel của X , xét các dãy ( ): n i f D X các ánh xạ chỉnh hình và các tập mở i U trong ( )nD sao cho  i iA f U . Ta định nghĩa độ đo Kobayashi trên X (tức là trên các tập Borel của X ) bởi 1 ( ) ( ) inf ( ) nX i i A U       , trong đó infimum được lấy trên tất cả các dãy  if và  iU . Chú ý: Nếu A là tập đo được trong X và :f X Y là chỉnh hình, thì ( )f A là đo được Borel trên Y . Hơn nữa, một độ đo chính quy thỏa mãn tính chất: độ đo của một tập là infimum của các độ đo của các tập mở chứa nó. Vì vậy trong định nghĩa của độ đo Kobayashi, thay cho các tập mở i U ta có thể lấy các tập con đo được trên ( )nD . Định nghĩa 1.6.2 ([9]). Cho :f X Y là ánh xạ chỉnh hình. Cho m, n là độ đo chính quy trên X và Y tương ứng. Ta nói rằng f là giảm độ đo nếu ( ( )) ( )f A An m£ , với mọi tập đo được A . Trong định nghĩa trên ta có thể thay thế tập đo được A , bởi các tập mở U . 11 Ví dụ. Cho X , Y là đa tạp phức và cho X Y , Y Y là các dạng giả thế tích trên X , Y tương ứng. Nếu Y X f *Y £ Y thì f là giảm độ đo đối với các độ đo trên X , Y tươn ứng. Thực vậy, tập các điểm x XÎ sao cho ( )df x là điểm kì dị là một tập con giải tích S , và độ đo của ( )f S bằng 0. Trên phần bù mở của S , f là giảm độ đo, vì vậy f là giảm độ đo trên X . 1.6.2. Tính chất của độ đo Kobayashi Cho X , Y là các không gian phức n chiều. Khi đó các tính chất sau được suy ra trực tiếp từ định nghĩa. i) Nếu nX D= thì X m m Y = , trong đó ( ) 1 nY = Y . ii) Cho :f X Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức n chiều. Khi đó f là giảm độ đo Kobayashi. iii) Nếu m là một độ đo trên X sao cho với mỗi ánh xạ chỉnh hình : nf D X® là giảm độ đo từ nD m tới m, thì X m m£ . 1.6.3. Không gian hyperbolic đo được Định nghĩa 1.6.3 ([9]). Một không gian phức X được gọi là hyperbolic đo được nếu ( ) 0 X Vm > với mọi tập con mở không rỗng V trên X . Định lý 1.6.1 ([9]). Cho X là đa tạp phức và cho Y là một dạng giả thế tích trên X . Giả sử rằng ( )Ric Y là dương, và tồn tại bằng hằng số 0B > sao cho 12 ! 1 ( )nB Ric n Y £ Y (Nếu X là compact thì số B như thế luôn tồn tại). Khi đó X là hyperbolic đo được. Định lý 1.6.2 ([9]). Cho X là không gian phức n chiều. Nếu X là hyperbolic, thì X là hyperbolic đo được. 1.6.4. Độ đo Caratheodory Định nghĩa 1.6.4 ([4]). Một hàm hàm tập hợp (set function) m xác định trên lớp tất cả các tập con của tập hợp X và lấy giá trị trong [0, ]+ ¥ được gọi là độ đo ngoài trên X (hoặc độ đo ngoài Caratheodory) nếu: i) ( ) 0m f = . ii) ( ) ( )m A m B£ khi A BÌ , tức là m là đơn điệu. iii) 1 1 ( ) ( ) n nn m m A ¥¥ = = £ åU , với mọi nA XÌ . Định nghĩa 1.6.5 ([4]). Cho m là một hàm tập hợp lấy giá trị trong [0, ]+ ¥ và xác định trên lớp tất cả các tập con của một không gian X sao cho ( ) 0m f = . Tập A XÌ được gọi là đo được Caratheodory đối với m (hoặc m - đo được Caratheodory ) nếu, với mỗi tập E XÌ , ta có một đẳng thức ( ) ( \ ) ( )m E A m E A m EÇ + = (1.2) Lớp tất cả các tập m - đo được Caratheodory được ký hiẹu là m M . Như vậy, tập đo được tách mỗi tập theo yêu cầu cộng tính của m . Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát, tính đo được không thỏa mãn đẳng thức ( ) ( \ ) ( )m A m X A m X+ = (1.3) Thậm chí cả trong trường hợp độ đo ngoài với ( )m X < ¥ . 13 Định lý 1.6.3 ([4]). Cho m là một hàm tập hợp với giá trị trong [0, ]+ ¥ xác định trên lớp của tất cả các tập trong không gian X sao cho ( ) 0m f = . Khi đó: i) m M là đại số và hàm m là cộng tính trên. ii) Với mỗi dãy các tập i m A Î M rời nhau từng đôi một ta có 1 1 ( ) ( ), nn i i i i m E A m E A E X = = Ç = Ç " ÌåU , 1 11 ( ) ( ) lim ( ), i i in i ii m E A m E A m E A E X ¥¥ ¥ ® ¥ = == Ç = Ç + Ç " ÌåU U .iii) Nếu m là hàm độ đo ngoài trên tập X , thì lớp m M là một s -đại số và hàm m với giá trị trong [0, ]+ ¥ là cộng tính đếm được trên m M . Hơn nữa, độ đo m là đầy trên m M . 1.6.5. Độ đo Hausdorff Định nghĩa 1.6.6 ([5]). Cho E là tập con tùy ý của không gian metric. Xét một phủ của E bởi đếm được các hình cầu j B bán kính j r tương ứng và tổng j r aå là một số cố định, trong đó 0a ³ . Gọi ( )m E a là infimum của các tổng như thế. Khi đó E được gọi là một tập “chiều a ”. Từ định nghĩa trên, ta có hình cầu đơn vị trong mR có chiều 1 với mọi ma £ . Vì vậy trước hết ta cố định 0>ò và định nghĩa ( ) : inf : ,j j j j E c r E B ra a a ì üï ïï ï= Ì È <í ý ï ïï ïî þ åòH ò . +) Với số nguyên ma = lấy một hằng số 0c a > bằng thể tích của hình cầu đơn vị trong mR (đặc biệt 0 1 2 1, 2, ,...c c c p= = = ). 14 +) Với a không là số nguyên ta lấy hằng số c a là biểu thức tương ứng với hàm gamma (các hằng số này không đóng vài trò tổng quát, nhưng chuẩn tắc hóa này được thông qua); chỉ số a luôn luôn không âm. Khi ò giảm thì ( )E a òH đơn điệu tăng, do đó ta có giới hạn (hữu hạn hoặc vô hạn) 0 ( ) : lim ( )E E a aa® = òH H . Số ( )E a H được gọi là độ đo Hausdorff bậc (chiều) a của E (hoặc a H - độ đo, hoặc đơn giản là a - độ đo) của E . Chú ý: +) Rõ ràng ( )c m E a a a ³H . Vì sự xác định các m a đơn giản hơn, nên ta có ( ) 0E a =H khi và chỉ khi ( ) 0m E a = . +) Với 00, 1 j ra = " = và tổng 0 j rå là số phần tử của phủ { }jB . Do đó 0 ( ) # EE =H . 1.6.6. Một số tính chất đơn giản của độ đo Hausdorff Từ định nghĩa độ đo Hausdorff ta có các tính chất sau: i) Dưới cộng tính: 1 1 ( ) ( ) k k E E a a ¥ ¥£ åH H , và nếu 1 kE E ¥= là một hợp hữu hạn địa phương của các tập compact đôi một rời nhau, thì 1 ( ) ( ) k E E a a ¥ = åH H . ii) Tính thuần nhất: Nếu mE Ì R và { }: :tE tx x E= Î , với mọi 0t > , thì ( ) ( )tE t Ea a a =H H . iii) Nếu ( )E a < ¥H , thì ( ) 0E b =H với mọi b a> . Nếu ( ) 0E a >H , thì ( )E g = ¥H với mọi g a< . Số { }inf : : ( ) 0Eaa =H được gọi là chiều metric hoặc Hausdorff của E . iv) Nếu :f X Y® là một ánh xạ liên tục giữa các không gian metric X, Y đều thỏa mãn điều kiện Lipschitz (tức là ( ( ), ( )) ( , ) Y X f x f x C x xr r¢ ¢£ với 15 một số hằng số C và với mọi ,x x X¢Î , thì ( ( )) ( )f E C Ea a a £H H với mọi E XÌ . Đặc biệt các độ đo Hausdorff không tăng qua phép chiếu N m N® ÌR R R . v) Tính chất ( ) 0E a =H hoặc ( )E a = ¥H với các tập con E của đa tạp trơn M không phụ thuộc vào cách chọn metric trên M tương thích với cấu trúc trơn trên M . Mệnh đề 1.6.4 ([5]). Cho M là một đa tạp trơn ( 1C ) liên thông m -chiều, và cho E là một tập con đóng của M sao cho 1 ( ) 0 m E - =H . Khi đó \M E là tập liên thông. Mệnh đề 1.6.5 ([5]). Cho E là một tập trong kR sao cho ( ) 0E a =H . Khi đó ( ) 0m m E a + ´ =H ¡ . Bổ đề 1.6.6 ([5]). Với mọi tập đo được Lebesgue mE Ì ¡ ta có đẳng thức ( ) ( ). m m E vol E=H 1.7. Đa tạp Riemann Định nghĩa 1.7.1 ([5]). Một đa tạp trơn M nhúng trong NR , hoặc trong n P với metric cảm sinh được gọi là một đa tạp Riemann m -chiều. Mệnh đề 1.7.1 ([5]). Trên một đa tạp Riemann m -chiều, độ đo Hausdorff m H trùng với độ đo Lebesgue ngoài. 1.8. Giải kỳ dị của các hàm bị chặn Định lý 1.8.1 ([5, A1.4]). Cho D là một miền trong nC , và E là một tập đóng của D có độ đo Hausdorff 2 1 0( ) n E - =H . Khi đó mỗi hàm f chỉnh hình và bị chặn đều trên 16 \D E có một liên tục chỉnh hình trên D . Bổ đề 1.8.2 ([5, A1.4]). Cho D là một miền trên NR và E là một tập cực đóng trên D . Khi đó mọi hàm u điều hòa và bị chặn trên \D E liên tục tới một hàm điều hòa trên D . Hệ quả 1.8.3 ([5, A1.4]). Cho D là một miền nC , và E là một tập cực (như là một tập trong 2nR ) là đóng trong D . Khi đó mỗi hàm f chỉnh hình và bị chặn trên \D E có một liên tục chỉnh hình trên D . 17 Chương 2 SỰ THÁC TRIỂN CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH QUANH CÁC TẬP CÓ ĐỘ ĐO HAUSDORFF 2 1( )n - -CHIỀU BẰNG 0 2.1. Sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình quanh các tập mỏng Cho g là một đường đơn đóng trong C và ( ) : Intg gW = . Nếu ( ) ( )g sW Ì W , thì ta ký hiệu ( , ) : ( ) \ ( )R s g s g= W W . Cho E Ì C là một tập đóng sao cho 1 0( )E =H , thì E là tập không đâu trù mật và do đó với mọi a EÎ ta có thể tìm được một dãy các đường đơn đóng { } k g trong \D E hội tụ đến a . Bổ đề 2.1.1 ([3]). Cho X là một không gian phức và f là một ánh xạ chỉnh hình từ \D E vào X , với D là đĩa đơn vị trong C và E DÌ là một tập con đóng sao cho 1 0( )E =H . Giả sử điều kiện sau được thỏa mãn: với mọi a thuộc E và với mọi dãy các đường đơn đóng { } k g trong \D E đều hội tụ đến a , một dãy con { ( )} k f g hội tụ đến một điểm của X . Khi đó f thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình từ D đến X . Chứng minh. Trong trường hợp 0{ }E = thì bổ đề được chứng minh tương tự như cách chứng minh của Kwack trong [7]. Cho a EÎ và { } k g là một dãy các đường đơn đóng trong \D E hội tụ đến a . Sau khi lấy một dãy con nếu cần, ta có thể giả sử rằng dãy ( ) k f g hội tụ đến một điểm p trong X . Cho V là một lân cận mở của p trong X , thì tồn tại tập mở U trong nC (có thể lấy U là bị chặn) và một phép đồng phôi y từ V đến ( )V Uy Ì . Vì vậy để chứng minh bổ đề, ta chỉ cần chứng minh rằng tồn 18 tại 0 k sao cho 0 ( ( ) \ ) k f E UgW Ì , thì f có thể được thác triển chỉnh hình đến một lân cận của a (xem [5, A1.4]). Ta có thể giả sử rằng 0 0( ,..., )p U= Î . Lấy 0e > sao cho U e D Ì trong đó { || | }n i z Z e eD = Î <C , thì tồn tại một số nguyên K sao cho k K" ³ , ta có 2 ( ) k f eg Ì D . Giả sử rằng với mọi k , ( ( ) \ ) k f EgW không chứa trong 2 eD . Lấy k K³ , thì tồn tại một đường đơn đóng g trong ( ) \ k EgW sao cho ( )a gÎ W và 2 ( )f eg Ë D . Đặt 2 : { ( ) \ ; ( ) } k k z E f z eg= Î W Î DO . Khi đó k O là tập mở và vì { } k g hội tụ đến a , nên tồn tại một số nguyên 0 k k³ sao cho 0 ( ) k g gÌ W , và ta có 0 k k g Ì O . Gọi G là một thành phần liên thông của k O chứa 0 k g . Đặt 0 : ( ) k g+¶ G = ¶GÇW và 0 : ( , ) k k R g g-¶ G = ¶GÇ . Ta có ( \ )f E S e +¶ G Ì và ( \ )f E S e -¶ G Ì trong đó S e là biên của 2 eD . Gọi 0 W là một lân cận liên thông đôi của 0 k g chứa trong G. Khi đó tồn tại \b E - -Î ¶ G , \b E+ +Î ¶ G , 0 k b gÎ , và hai đường đơn đóng s - và s + sao cho ,b b s- -Î , ,b b s+ +Î , ( )s -W Ì G và ( )s +W Ì G. Khi đó, ta có thể tìm được hai đường đơn đóng k g+ và k g - trong 0 W ( ) ( ) { , }b bs s- + - +ÈW ÈW È với k b g- -Î và k b g+ +Î thỏa mãn hai điều kiện sau: 1) ( ) ( ) k k a g g+ -Î W ÇW . 2) 0 ( ) k k g g+ Ì GÇW và 0 [ \ ( )] k k g g- Ì GÇ WC . Do đó: 19 i) k Eg+ Ç = Æ và k Eg- Ç = Æ. ii) ( ) k f S e g+ Ç ¹ Æ và ( ) k f S e g- Ç ¹ Æ. iii) 0 ( ) ( ) ( ) k k k g g g+ -W Ì W Ì W và 2 ( ( , )) k k f R Ueg g- + Ì D Ì . Khi đó ( , ) k k R g g- + là một tập con compact của \D E , thì tồn tại một tập mở compact tương đối W của \D E mà là một lân cận của ( , ) k k R g g- + và thỏa mãn (W)f e Ì D . Với 0 k k z gÎ và (W, )f Hol UÎ , thì 1 1 0 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k i i i i k i i k f z f z dz dz f z f z f z f zg gp p - + ¢ ¢ - > - -- - ò ò (* ) Mặt khác, ( ) k f z hội tụ đến p , { } k g- và { } k g + đều hội tụ đến a . Sau khi lấy một dãy con nếu cần, chúng ta có thể giả sử rằng { ( )} k f g- và { ( )} k f g+ hội tụ tương ứng tới q¢ và q trên X . Ta cũng có thể giả sử rằng 0q ¹ và 0q¢¹ . Vì vậy tồn tại một số nguyên K sao cho 1 ( ) k f z không chứa trong 1 1 ( ) ( ) k k f fg g- +È với mọi k K³ . Từ đó ta có 1 { ( )} k f g- và 1 { ( )} k f g+ đều chứa trong một miền liên thông đơn trong C mà không chứa 1 ( ) k f z . Do đó 1 1 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k k k i k f z f z dz dz f z f z f z f zg g- + ¢ ¢ = = - -ò ò (* * ) (* * ) mâu thuẫn với (* ). Vậy bổ đề được chứng minh ∎ 2.2. Sự thác triển của ánh xạ chỉnh hình quanh các tập đóng có độ đo Hausdorff 2 1( )n - -chiều bằng 0 Omar Alehyane và Hichame Amal đã chứng minh được một định lý về sự thác trển ánh xạ chỉnh hình quanh các tập các tập đóng có độ đo Hausdorff 2 1( )n - -chiều bằng 0 trong trường hợp tập đích là không gian hyperbolic 20 compact nhưng không phải với kỹ thuật chứng minh của Kwack. Để chứng minh định lý này Omar Alehyane và Hichame Amal đã sử dụng ba bổ đề sau về độ đo Hausdorff . Bổ đề 2.2.1 ([5]). Cho M ,N là các đa tạp Riemann lớp 1C , :f N M® là một ánh xạ trơn và E là một tập con trong N thỏa mãn 0( )E a =H , với mọi dimm Ma ³ = . Khi đó 1 0( ( )) m E f x a - - Ç =H , với hầu hết x MÎ . Chứng minh. Kết luận của bổ đề mang tính địa phương nên chỉ cần xét trường hợp nN Ì R , mM Ì Ì R là một tập mở, và f thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên E . Vì 0( )E a =H nên với mọi 0>ò , tồn tại các hình cầu j B với bán kính j r < ò sao cho j c r a a <å ò là một phủ của E . Với mỗi điểm x MÎ luôn có bất đẳng thức 1( ( )) m m m jx E f x c r a a a - - - - Ç £ åòH , trong đó tổng xå được lấy theo tất cả các j mà 1( ) j B E f x-Ç Ç là không rỗng. Ta muốn lấy tích phân bất đẳng thức này trên M . Vì bên trái có thể là một hàm không đo được, thay cho các tích phân thường với độ đo Lebesgue dV , ta lấy tích phân trên * ò (theo định nghĩa, {inf g M M dV dVf * =ò ò : g là khả tích và }g f³ ). Vì vậy, 1 ( ) ( ( )) j m m m j M f B j E f x dV c r dVa a a * - - - - Ç £ åò ò òH ( )m m m j m j j c r c Cra a - - £ å C ¢< ò. Vì m ma a- - ®òH H đơn điệu tăng khi 0®ò nên từ bất đẳng thức trên và 21 định lý B . Levi ta có 1( ( )) 0 m M E f x dV a * - - Ç =ò H , do đó tích phân triệt tiêu hầu hết khắp nơi trên M . Vậy bổ đề được chứng minh. ∎ Chú ý: Bằng cách chứng minh tương tự, có thể chứng minh rằng nếu ( )x a < ¥H , thì 1( ( )) m E f x a - - Ç < ¥H với hầu hết x MÎ . Bổ đề 2.2.2 ([3]). Cho E là một tập đóng địa phương trong nC sao cho 2 1 0( ) p E + =H với mỗi số nguyên p n và một là phép biến đổi đơn vị : n nl ®C C sao cho ( , ) pB B a r¢ ¢ ¢= Ì C , ( , ) n pB B a r -¢¢ ¢¢ ¢¢= Ì C , ( ) [ ]l E B B¢ ¢¢Ç ´ là đóng trong B B¢ ¢¢´ và ( ) [ ]l E B B¢ ¢¢Ç ´ ¶ = Æ. Bổ đề 2.2.3 ([3]). Cho X là một không gian phức hyperbolic Kobayashi, nD Ì C là một miền và E DÌ là một tập con đóng với độ đo Lebesgue 0( )El = . Cho { } ( , ) n n f Hol D X Î Ì N và ( , )f Hol D XÎ sao cho { } n n f Î N là hội tụ đều trên các tập con compact của \D E tới f . Khi đó { } n n f Î N là hội tụ đều tới f trên các tập con compact của D . Chứng minh. Cho a EÎ , U DÌ Ì là một lân cận liên thông của a và 0e > . Tập \D E là trù mật trong D . Do đó, lấy \b U EÎ là sao cho 3 ( , ) U d a b e sao cho với mọi n N³ , ta có 3 ( ( ), ( )) X n d f b f b e < . Từ đó suy ra: ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) X n X n n X n X d f a f a d f a f b d f b f b d f b f a£ + + 22 3 3 ( , ) U d a b e e e< + + < . Do vậy, với mọi z DÎ , tập { ( )} n n f z Î N là compact tương đối trong X . Vì X là hyperbolic, nên ( , )Hol D X là đồng liên tục. Theo định lý Ascoli- Arzelà họ { } n n f Î N là compact tương đối trong ( , )Hol D X . Do đó, tồn tại một dãy con { } p n n f Î N hội tụ đều trên tập con compact tới một ánh xạ chỉnh hình ( , )g Hol D XÎ . Theo giả thiết | \ | \D E D E g f= , vì vậy g f= . Chú ý rằng không tồn tại dãy con phân kỳ và mọi dãy con đều hội tụ tới f . Vậy Bổ đề được chứng minh. ∎ Định lý 2.2.4 (Omar Alehyane - Hichame Amal). Cho D là một miền trong nC và E DÌ là một tập con đóng sao cho 2 1 0( ) n E - =H . Khi đó mọi ánh xạ chỉnh hình f từ \D E tới một không gian đầy Caratheodory X có thể thác triển chỉnh hình từ D đến X , và nếu { } ( \ , )n nf Hol D E XÎ ÌN hội tụ đều trên các tập con compact của \D E tới f , thì { }n nf Î N hội tụ đều tới f trên các tập con compact của D , trong đó ( , )f Hol D XÎ là sự thác triển của ( \ , )f Hol D E XÎ . Chứng minh. 1) Trường hợp 1n = : Cho a EÎ và 0r > sao cho ( , )D a r DÌ . Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng 0a = và 1r = . Cho b D EÎ Ç , { } k g là một dãy các đường đơn đóng { } k g trong \D E hội tụ tới b và dãy 1 ( ) k k z ³ với k k z gÎ . Vì k z hội tụ đến b , thì 1 ( ) k k z ³ là một dãy D C - Cauchy, 1 ( ) k k z ³ cũng là một dãy \D E C -Cauchy. Thực vậy, cho ( \ , )g Hol D E DÎ khi đó g thác triển chỉnh hình được tới g từ D đến D 23 (xem [5, A1.4]). Áp dụng nguyên lý cực đại đối với ( ) | ( ) |u z g z= ta được có ( )g D DÌ và vì vậy với mọi , \x y D EÎ , ta có \ ( \ , ) ( , ) ( , ) sup ( , ) sup ( , ) ( , ) D E D g Hol D E D g Hol D D C x y x y x y C x yr r Î Î = = = . Từ đó ta có 1 ( ( )) k k f z ³ là một dãy X C -Cauchy và vì vậy X C là đầy, 1 ( ( )) k k f z ³ hội tụ tới một điểm p XÎ . Gọi W là một lân cận mở của p trong X và 0e > sao cho hình cầu ( , ) WB p e Ì . Tồn tại 1 K sao cho 2 ( , ( )) X k C p f z e < với mọi 1 k K³ . Ta có \ ( ) ( ) D D E C k C k L Lg g= , trong đó \ ( ) D E C k L g (tương ứng ( ) D C k L g ) là đường kính của k g được đo bởi khoảng cách Caratheodory \D E C (tương ứng D C ), do đó 0 \ ( ) D E C k L g ® . Nếu ta ký hiệu ( ( )) X C k L f g là đường kính của ( ) k f g đo bởi khoảng cách Caratheodory X C , thì ta có \ ( ( )) ( ) X E C k C k L f Lg g£ D . Vì thế ( ( )) X C k L f g hội tụ tới 0. Do đó tồn tại 2 K sao cho 2 ( ( )) X C k L f e g < với mọi 2 k K³ và vì vậy với 1 2 : max( , )k K K K³ = ta có ( , ( )) ( , ( )) ( ( ), ( )) X X k X k C p f z C p f z C f z f z e£ + < với mọi k z gÎ . Vì vậy ( ) W k f g Ì với k K³ , và theo bổ đề 2.1.1, f có thể thác triển chỉnh hình trên D . 2) Trong trường hợp 0n > , vì 2 1 0( ) n E - =H và theo bổ đề 2.2.2. Tồn tại 0r > và một phép biến đổi đơn vị : n nl ®C C sao cho 24 ( , ) ( , ) n B a r B a r D¢ ´ Ì và ( ) [ ( , ) ( , )] n l E B a r B a r¢Ç ´ ¶ = Æ. Hơn nữa khi ( , ) n B a r¶ là compact và E là đóng ta có thể tìm được 0 r : 0 0 r r< < sao cho 0 ( ) [ ( , ) ( ( , ) \ ( , ))] n n l E B a r B a r B a r¢Ç ´ = Æ. Ta ký hiệu ( , )B B a r¢ ¢ ¢= , ( , ) n n B B a r= và 0 0 ( , ) \ ( , ) n n V B a r B a r= . Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng :l z z® . Lấy : [ ] r n E E B Bx ¢Î = Ç ´ . Đặt { | ( , ) } n n n r E z B z E x x= Î Î . Gọi : n p B B B¢ ¢´ ® là ánh xạ chiếu, theo bổ đề 2.2.1 tồn tại một tập con A B¢Ì mà độ đo Lebesgue của A bằng 0 sao cho với mọi \B Ax ¢Î tập 1( ) { }