Luận văn Sự tồn tại và tính trơn của tập hút toàn cục đối với bài toán parabolic suy biến nửa tuyến tính trong không gian lp n

nh nghĩa 1.1.13. Giả sử :s W là hàm đo được Lebesgue, không âm và thỏa mãn các điều kiện sau: khi miền W bị chặn, ( ) a H 1 ( ) loc Ls W và với 0 2( , ),a  lim inf x z 0( )x z x a s    với mọi z W , và khi miền W không bị chặn, , ( ) a b H s thỏa mãn điều kiện ( ) a H và lim inf x z 0( )x x b s   với 2b  . Khi đó ta định nghĩa không gian 1 0 ( , )sWD là bổ sung đủ của không gian ( ) o C W đối với chuẩn 1 0 1 22 ( , ) : ( ) .u x u dx s s W W        D 1 0 ( , )sWD là không gian Hilbert với tích vô hướng: ( , ) : ( ) .u v x u xdxs W    1( , )sWD là không gian đối ngẫu của 1 0 ( , )sWD . Giả sử 2N  , 0 2( , ),a  và  4 2 2 2 2 2 3 2 2 2 , , . N N N N N N a a a                  Số mũ 2 a  là số mũ tới hạn trong phép nhúng Sobolev liên quan đến không gian 1 0 ( , ).sWD Bổ đề 1.1.14. Giả sử rằng W là miền bị chặn trên N , 2,N  và s thỏa mãn điều kiền ( ) a H . Khi đó: (i) phép nhúng 1 0 ( , )sWD ↪ 2 ( )L a W  là liên tục; (ii) phép nhúng 1 0 ( , )sWD ↪ ( )pL W là compact nếu 1 2, .p a  9 Bổ đề 1.1.15. Giả sử rằng W là miền không bị chặn trên N , 2,N  và s thỏa mãn điều kiện , ( ). a b H Khi đó: (i) phép nhúng 1 0 ( , )sWD ↪ ( )pL W là liên tục với mọi 2 2, ;p b a      (ii) phép nhúng 1 0 ( , )sWD ↪ ( )pL W là compact nếu  2 2,p b a   . Định nghĩa 1.1.16. Ta định nghĩa không gian Sobolev có trọng 2 0 ( , )sWD là bao đóng của không gian 0 ( )C W với chuẩn 2 0 1 22 ( , ) : ( ( ) )u div x u dx s s W W        D 2 0 ( , )sWD là một không gian Hilbert với tích vô hướng tương ứng là 2 0 ( , ) : ( ( ) ) ( ( ) )u v div x u div x v dxs s W   D Kết quả sau suy ra trực tiếp từ định nghĩa của không gian 1 0 ( , )sWD , 2 0 ( , )sWD và phép nhúng 1 0 ( , )D sW ↪ 2( )L W khi s thảo mãn ( ). a H Mệnh đề 1.1.17. Giả sử W là một miền bị chặn trong N 2( )N  , và s thỏa mãn ( ) a H . Khi đó phép nhúng 2 0 ( , )sWD ↪ 1 0 ( , )sWD là tiên tục. Chứng minh. Với bất kì hàm 0 ( ),u C W ta có 1 0 2 2 ( , ) ( )u u dx div u udx s s s W W     D 1 2 1 2 2 2 / / ( )div u dx u dxs W W              2 2 0 ( , ) ( )L u u sW W  D . Mặt khác ta có 10 2 1 0 ( ) ( , ) , L u C u sW W  D ở đó C là hằng số vậy ta có điều phải chứng minh. Mệnh đề 1.1.18.  , ;C a b X   là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm X liên tục từ :u ,a b   vào X với chuẩn   0, ; , sup ( ) . C a b X X t T u u t         Mệnh đề 1.1.19. ( , ; ) pL a b X là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm : ,u a b X    sao cho 1/ ( , ; ) : ( ) . p p b p L a b X X a u u t dt           1.2. Một số khái niệm xét tính chất của tập hút toàn cục Giả sử X là một không gian Banach, ta có các định nghĩa sau: Định nghĩa 1.2.1. Một nửa nhóm (liên tục) trên X là một họ các ánh xạ 0( ) : , ,S t X X t  thỏa mãn: (i) 0( ) ,S I I là phép đồng nhất, (ii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),S t S s S s S t S t s   (iii) 0 ( )S t u liên tục đối với 0 0( , ) ; .t u X   Định nghĩa 1.2.2. Tập Y X được gọi là bất biến dương nếu ( ) ,S t Y Y 0.t  Tập Y X được gọi là bất biến âm nếu 0( ) , .S t Y Y t   Tập Y X được gọi là bất biến nếu 0( ) , .S t Y Y t   Định nghĩa 1.2.3. Nửa nhóm ( )S t gọi là tiêu hao điểm (tiêu hao bị chặn) nếu tồn tại một tập bị chặn 0 B X hút các điểm (hút các tập bị chặn) của X. 11 Nếu ( )S t là tiêu hao bị chặn thì tồn tại một tập 0 B X sao cho với mọi tập bị chặn 0 B X , tồn tại 0( )T T B  sao cho 0 ( ) , .S t B B t T   Tập 0 B như vậy gọi là một tập hấp thụ đối với nửa nhóm ( ).S t Dễ thấy một nửa nhóm tiêu hao bị chặn thì tiêu hao điểm. Điều ngược lại nói chung không đúng, nhưng nó đúng đối với các nửa nhóm trong không gian hữu hạn chiều. Định nghĩa 1.2.4. Giả sử X là một không gian Banach. Nửa nhóm ( )S t gọi là compact tiệm cận nếu với mọi 0,t  ( )S t có thể biểu diễn dưới dạng lllllllllllllllllll 1 2( ) ( )( ) ( ) ( )S t S t S t  (1.2) ở đó 1( )( )S t và 2( )( )S t thỏa mãn các tính chất sau: 1) Với bất kì tập bị chặn B X 1 0( )( ) sup ( ) B r t S t y X  khi t  ; 2) Với bất kì tập bị chặnB trong X tồn tại 0t sao cho tập hợp 0 2 2 0 ( ) ( )( ) ( ) t t t B S t Bg             (1.3) Là compact trong X , ở đây g   là bao đóng của tập g . Một hệ động lực gọi là compact nếu nó là compact tiệm cận và ta có thể lấy 2 0( )( )S t  trong biểu diễn (1.2). Rõ ràng rằng bất kì hệ động lực tiêu hao hữu hạn chiều nào cũng là compact. Dễ dàng thấy rằng điều kiện (1.3) được thỏa mãn nếu tồn tại một tập compact K trong X sao cho với bất kì tập bị chặn ,B X tồn tại 0( )t B sao cho 2 0 ( )( ) , ( ).S t B K t t B   Nói riêng, một hệ tiêu hao là compact nếu nó có một tập hấp thụ compact. 12 Bổ đề 1.2.5. Nửa nhóm ( )S t là compact tiệm cận nếu tồn tại một tập compact K sao cho lim x dist 0( ( ) , ) ,s t B K  với mọi tập B bị chặn trong X. Chứng minh. Vì K là tập compact nên với mọi 0t  và u X , tồn tại phần tử 2( ): ( )v S t K  sao cho 2( )( ( ) , ) ( ) ( ) .S t u K S t u S t u  Do đó nếu đặt 1 2( ) ( )( ) ( ) ( ) ,S t u S t u S t u  dễ thấy sự phân tích (1.2) thỏa mãn tất cả các yêu cầu trong định nghĩa của tính compact tiệm cận. Chú ý. Nếu X là một không gian Banach lồi đều và nửa nhóm ( )S t có một tập hấp thụ bị chặn B , thì ba điều kiện sau là tương đương: i) Nửa nhóm ( )S t là compact tiệm cận; ii) Nửa nhóm ( )S t thuộc lớp AK , tức là với mọi dãy bị chặn  kx trong X và mọi dãy   1 , ( ) k k k k t S t x     là compact tương đối trong .X iii) Tồn tại một tập compact K X sao cho Dist 0( ( ) , )S t K B khi .t   Định nghĩa 1.2.6. Một tập con khác rỗng A của X gọi là một tập hút toàn cục đối với nửa nhóm ( )S t nếu: 1) A là một tập đóng và bị chặn; 2) A là bất biến, tức là ( )S t A A với mọi 0;t  3) A hút mọi tập con bị chặn B của X , tức là lim x dist 0( ( ) , )S t B A , 13 ở đó dist( , ) sup inf ( , ) b Fa E E F d a b   là nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập con E và F của X. Các tính chất sau đây của tập hút toàn cục là hệ quả trực tiếp của định nghĩa. Mệnh đề 1.2.7. Giả sử ( )S t có tập hút toàn cục A . Khi đó: 1) Nếu B là một tập con bị chặn bất biến của X thì B A (tính cực đại); 2) Nếu B là một tập con đóng hút các tập bị chặn của X thì BA (tính cực tiểu); 3) A là duy nhất. Định lí 1.2.8. Giả sử nửa nhóm ( )S t có tập hút toàn cục A . Khi đó mọi quĩ đạo đầy đủ bị chặn (nói riêng là các điểm dừng và các quĩ đạo tuần hoàn, nếu có) đều nằm trên A . Hơn nữa, nếu ( )S t là đơn ánh trên A thì A là hợp của tất cả các quĩ đạo đầy đủ bị chặn. Định lí 1.2.9. Giả sử hệ động lực ( , ( ))X S t có tập hút toàn cục A . Cho trước một quĩ đạo 0 ( ) ( )u t S t u , một sai số 0>ò và một khoảng thời gian 0.T > Khi đó tồn tại một thời điểm ( , )Tt t= ò và một điểm 0 v Î A sao cho 0( ) ( )u t S t vt + - £ ò với mọi 0 .t T£ £ Để xấp xỉ quĩ đạo đã chọn ( )u t trong một khoảng thời gian dài hơn, ta phải dùng nhiều quĩ đạo trên tập hút toàn cục A . Mệnh đề sau đây là hệ quả trực tiếp của Định lí 1.2.9. Hệ quả 1.2.10. Cho trước một quĩ đạo ( ),u t tồn tại một dãy các sai số   1n n   ò với 0, n ò một dãy tăng các thời điểm   1n n t   với 1n n t t     khi ,n  và một dãy các điểm   1n n v   với n v  A sao cho ( ) ( ) n n n u t S t t v   ò với mọi 1 . n n t t t    Hơn nữa, bước nhảy ( ) ( ) n n u t S t t v  dần tới 0 khi n   . 14 Định lí 1.2.11. Giả sử ( )S t là nửa nhóm liên tục trên không gian Banach X . Giả sử ( )S t là tiêu hao và compact tiệm cận. Nếu B là một tập hấp thụ bị chặn của ( )S t thì ( )BwA là một tập compact khác rỗng và là tập hút toàn cục đối với ( )S t . Hơn nữa, tập hút toàn cục A là liên thông trong X . Hệ quả 1.2.12. Nếu nửa nhóm ( )S t là tiêu hao và B là một tập hấp thụ compact thì ( )S t có một tập hút toàn cục compact liên thông ( )BwA . Mệnh đề 1.2.13. Giả sử   0 ( ) t S t  là một nửa nhóm trên ( ) rL W và giả sử  0( ) tS t  có một tập hấp thụ bị chặn trong ( ), rL W khi đó với bất kì 0ò và bất kì tập con bị chặn ( )rB L W , tồn tại hai hằng số dương ( )T T B và M  ( )M ò sao cho: mes   0( ) ,S t u MW   ò với mọi 0 u B và ,t T trong đó mes(e) kí hiểu độ đo Lebesgue của e W và     0 0( ) : ( ) ( )S t u M x S t u x MW W    . Định nghĩa 1.2.14. Giả sử X là một không gian Banach. Nửa nhóm   0 ( ) t S t  trên X được gọi là liên tục mạnh - yêu trên X nếu với bất kì   1 , , n nn x X x x     và 0, , n n t t t  ta có ( ) ( ) n n S t x S t x trong X. Kết quả sau thường dùng để chứng minh một nửa nhóm là liên tục mạnh - yếu. Bổ đề 1.2.15. Giả sử X,Y là hai không gian Banach và ,X Y  là các không gian đối ngẫu tương ứng. Ta cũng giả sử rằng X là một không gian con trù mật của Y , phép chiếu :i X Y là liên tục và liên hợp của nó :i Y X    là phép chiếu trù mật. Giả sử   0 ( ) t S t  là một nửa nhóm trên X và Y tương ứng và giả sử ( )S t là liên tục hoặc liên tục yếu trên Y . Khi đó   0( ) tS t  là liên tục 15 mạnh - yếu trên X nếu và chỉ nếu   0 ( ) t S t  biến các tập con compact của X  thành các tập con bị chặn của .X Định nghĩa 1.2.16. Nửa nhóm   0 ( ) t S t  được gọi là thỏa mãn điều kiện ( )C trong X nếu và chỉ nếu với bất kì tập bị chặn B của X và bất kì 0ò , tồn tại một hằng số dương B t và một không gian con hữu hạn chiều 1 X của X , sao cho tập  ( ) , BPS t x x B t t  bị chặn và ( ) ( )I P S t x  ò với bất kì B t t và x B , trong đó 1 :P X X là phép chiếu tắc. Các định lí sau thường dùng để chứng minh tính trơn của tập hút toàn cục, tức là chứng minh sự tồn tại của tập hút toàn cục trong các không gian “trơn hơn” không gian chứa điều kiện ban đầu. Định lí 1.2.17. Giả sử   0 ( ) t S t  là một nửa nhóm liên tục mạnh-yếu trên ( ) qL W , liên tục hoặc liên tục yếu trên ( ) rL W với ,r q và có một tập hút toàn cục trong ( )rL W . Khi đó   0 ( ) t S t  có tập hút toàn cục trong ( ) qL W nếu và chỉ nếu: (i)   0 ( ) t S t  có một tập hấp thụ bị chặn trong ( ) qL W ; (ii) với bất kì 0ò và bất kì một tập con bị chặn B của ( ) qL W , tồn tại các hằng số dương ( , )M M B ò và ( , )T T B ò sao cho  0 0( ) ( ) q S t u M S t u W   ò, (1.4) với bất kì 0 u B và t T . 16 Định lí 1.2.18. Giả sử X là không gian Banach và   0 ( ) t S t  là một nửa nhóm liên tục mạnh - yếu trên X . Khi đó   0 ( ) t S t  có một tập hút toàn cục trong X nếu các điều kiện sau thỏa mãn: (i)   0 ( ) t S t  có một tập hấp thụ bị chặn trong X, (ii)   0 ( ) t S t  thỏa mãn điều kiện (C) trong X, Bổ đề 1.2.19. Giả sử X ↪ H ↪ Y , trong đó , ,X Y H là ba không gian Banach với X là phản xạ và phép nhúng X trong H là compact. Giả sử  nu là dãy bị chặn trong 2 0( , ; )L T X và n du dt         bị chặn trong 0( , ; ), pL T Y p>1. Khi đó tồn tại một dãy con của  nu hội tụ mạnh trong 2 0( , ; ).L T H Bổ đề 1.2.20. Giả sử O là tập mở bị chặn trong N là dãy trong ( ) pL O thỏa mãn: ( ) , pj L g C j  O Nếu ( ) pg L O và j g g h.k.n trong O thì j g g trong ( ) pL O . 1.3. Một số bất đẳng thức thường dùng Bổ đề 1.3.1. (Bất đẳng thức Holder) Giả sử W là một miền trong .N Nếu p và 'p là hai số liên hợp, tức là 1', ,p p  và 1 1 1 ' , p p   thì 1( )fg L W với mọi ( ) pf L W , ' ( )pg L W và 11 ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) p pp p f x g x dx f x dx g x dx W W W               . Bổ 17 đề 1.3.2. (Bất đẳng thức Young) Cho 0, ,a b  p và 'p là hai số liên hợp. Khi đó: ' ' p pa b ab p p   Đặc biệt, nếu 2'p p  thì ta có bất đẳng thức Cauchy Bổ đề 1.3.3. (Bất đẳng thức Gronwall) Giả sử ( )x t là một hàm liên tục tuyệt đối trên 0;T   và thỏa mãn ( ) ( ), dx g t x h t dt   với hầu khắp ,t trong đó ( )g t và ( )h t là các hàm khả tích trên 0;T   . Khi đó 0 0 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) , t G t G t G sx t x e e h s ds   với 0 ,t T  ở đó 0 ( ) ( ) t G t g r dr  . Nói riêng, nếu a và b là các hằng số và dx dt  a x b , thì 0( ) ( ) .at b b x t x e a a         Bổ đề 1.3.4. (Bất đẳng thức Gronwall đều) Nếu , ,x a b là ba hàm dương thỏa mãn dx ax b dt   , trong đó 0 ( ) , ( ) , ( ) , t r t r t r t t t x s ds X a s ds A b s ds B t t           . Khi đó 0 ( ) ,A X x t B e t t r r           . 18 Chương 2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI BÀI TOÁN PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN ( ) p NL Trong Chương này, chúng tôi trình bày bài toán trên không gian N , 2.N  Khi đó các phép nhúng không còn compact, do đó ( )S t không còn là nửa nhóm compact nữa và điều đó gây ra những khó khăn lớn khi nghiên cứu. trong chương này chúng tôi trình bày định lý về sự tồn tại của tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh bởi bài toán trong các không gian 2( ), ( )N p NL L . Các nội dung trong chương được trích dẫn từ các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [8], [10], [11]. 2.1. Đặt bài toán Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán parabolic suy biến sau trên không gian N , 2N  ( ( ) ) ( , ) ( )        u div x u u f x u g x t   , 0,  Nx t (2.1) 0(0, ) ( ), , Nu x u x x  trong đó 0,  20 ( ) Nu L . Để nghiên cứu Bài toán (2.1), ta giả sử các điều kiện sau: ( )F : Nf  R là hàm liên tục thỏa mãn 2 1 1( , ) ( ), 2,  f x u u u C x p (2.2) 1 2 2( , ) ( ), p f x u u C x    (2.3) 3( , ) , f x u u      (2.4) trong đó 1, 2 , 3 là các hằng số dương, 1 2 1( ) ( ) ( )  N NC x L L và 19 ' 2 ( ) ( ) P NC x L với ' 1 1 1 p p   là các hàm không âm. Kí hiệu 0 ( , ) ( , ) s F x s f x d   khi đó ta giả sử F thỏa mãn: 4 4 5 3( ) ( , ) ( ), p p C x u F x u u C x      (2.5) trong đó 4 , 5 là các hằng số dương, và 1 3 4( ), ( ) ( ) NC x C x L là các hàm không âm; ( )H s là hàm đo được không âm thỏa mãn 1 ( ) NlocL , và với mọi (0,2), lim x z inf ( ) 0x z x      với mọi ,Nz và  thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: i) tồn tại 0 0K  sao cho 0 sup k K 2 sup k x k  ( )x  ; ii) tồn tại 0 0K  sao cho 0 sup k K 1 2 2 ( ) , p p k x k x dxs       trong đó 2p  cho ở điều kiện (F); ( )G 2( ).Ng L Chú ý rằng hạn chế về dáng điệu tại vô cùng của ( )xs trong điều kiện , ( ) a b H (xem Chương 1) được thay thế bằng tính khả tích địa phương bậc cao hơn của s . Ví dụ đơn giản của hàm s thỏa mãn điều kiện ( ) H nhưng không thỏa mãn , ( ) a b H là 1s  (trường hợp không suy biến) hoặc ( ) x x e x x           với 0 2, ( , )a g  . Bây giờ ta định nghĩa các không gian Sobolev có trọng liên quan đến bài toán. Giả sử NW , ta định nghĩa không gian  10 , sWH là bổ sung đủ của 0C  đối với chuẩn  10 2 , :u sW H 2 2 ( ) .u dx x u dxs W W    20 Chú ý rằng trong trường hợp compact, tức là  aH hoặc  ,a bH được thỏa mãn,  1 10 0, ,s sW WH D do   1 0 , sWD ↪ 2( )L W . Từ đây các không gian năng lượng tự nhiên đối với Bài toán (2.1) là không gian  10 ,N sH và đối ngẫu của nó là  1 ,N sH . Mục đích chính của chương này là chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục trong không gian    10 , , .N p NLs sH đối với nửa nhóm sinh bởi Bài toán (2.1). 2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu Ta định nghĩa nghiệm yếu của Bài toán (2.1). Định nghĩa 2.2.1. Hàm    0, , , , ,Nu t x t T x  được gọi là một nghiệm yếu của Bài toán (2.1) trên  0,T nếu      2 100 0, ; , , ;N p p Nu L T L T Ls H   20, ; ,NL T L   00u u và thỏa mãn:     2 20 0 0( ) ( ) , , NN N T T T t L L u v dt u vdxdt u v dxdts l              220 0 ( ) , , , NN T T LL f x u v dxdt g v dxdt   , (2.6) với mọi hàm thử      2 100 0, ; , , ; .N p p Nv L T L T Ls H Định lí 2.2.2. Giả sử các điều kiện ( )H - ( )F - ( )G được thỏa mãn. Khi đó, Bài toán (2.1) có duy nhất một nghiệm yếu u trên (0,T) với mọi 2 0 ( )Nu L và 0.T  Hơn nữa, ánh xạ 0 ( )u u t là liên tục trên 2( ).NL Chứng minh. Ta chứng minh tương tự như Định lí 2.2.3 trong [2], chỉ khác phần qua giới hạn của số hạng phi tuyến (., .),f vì ở đây ta không thể dùng Bổ 21 đề compact Aubin-Lions như trong trường hợp miền bị chặn. với mỗi 1,m  ta kí hiệu  : ,NNm x x mW    Trong đó . N là kí hiệu của chuẩn Euclid trong N . Với mỗi số nguyên 1,n  ta kí hiệu 1 ( ) ( ) n n j j u t nj tg w   là nghiệm của bài toán ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( , ( ), ) n j j n j n j d u t div u u t f x u t dt w s w l w w    0( , ), , j g tw  0 0( ( ), ) ( , ), n j j u uw w 1 2, ,..., ,j n trong đó   11 01: ( , ) ( ) N p Nj Lw s  H là cơ sở Hilbert trong 2( )NL sao cho span  1:j jw  là trù mật trong 10( , ) ( )n p NLs H . Tương tự chứng minh Định lí 2.2.3 trong [2], ta có:  nu bị chặn trong 2 1 2 0 0 0 0( , ; ( , )) ( , ; ( )) ( , ; ( )),N p p N NL T L T L L T Ls  H (2.7)  ( , )nf x u bị chặn trong 0 ' ' ( , ; ( )),p p NL T L với mọi T t . Khi đó, tồn tại một dãy con  um sao cho u u m  trong 2 20( , ; ( ))L T L , u u m trong 0( , ; ( )),p p NL T L u u m trong 2 1 0 0( , ; ( , )),NL T sH (2.8) ( , )f x u m X trong 0 ' ' ( , ; ( )),p p NL T L (2.9) 22 với mọi .T t Do đó, (2.8) thỏa mãn -div( ( ) )x u u m m s l  -div( ( ) )x u us l  in 2 1( , ; ( , )).NL Tt sH Ta sẽ chứng minh ( ) (., ( )),t f u tX tương tự như trong [8] Lí luận như ở [8,tr.75] ta thu được 2 2 00 1 0 ( ) lim sup ( ) ( ) , N T a a L u t u t dt m m m      với mọi 0.T  (2.10) Giả sử  1 0,Cf   là hàm thỏa mãn 0 1( ) ,sf  1( )sf  0 1, ,s      0( )sf  2.s  Với mỗi m và 1,m  ta định nghĩa 2 2, ( , ) ( ) N m x v x t u t m m m f           , 2 1, , .mx mmW     (2.11) Ta thu được từ (2.7), với mọi 1,m  dãy   1,m v m m là bị chặn trong 2 2 1 2 2 0 2 0 0 0( , ; ( )) ( , ; ( )) ( , ; ( , )),p p m m m L T L L T L L T sW W W   H với mọi 0T  hơn nữa, ta có 2 2 2 2 2 2 00 0 , ,( ) ( ) lim sup ( , ) ( , ) . m m a T m mT aa L L v x t dt v x t dt m m m W W          Mặt khác, từ (2.10) ta có với mọi 1,m  2 2 2 00 0 , , ( ) lim sup ( , ) ( , )) m T a m ma L v x t a v x t dt m m m W            . Hơn nữa, do 2mW là tập bị chặn nên 1 0 2 ( , ) m sWH nhúng compact vào 2 2 ( ). m L W Khi đó, do Bổ đề compact trong [10], ta có   1, ( , ) m v x t m m là compact tương đối trong 2 2 2 0( , ; ( )), m L T L W 23 và do đó, , ( , ) ( , ) m v x t u x t m m  với mọi mx W , ta có với mọi 1,m   mum W là tiền compact trong 2 20( , ; ( )). m L T L W (2.12) Do đó, từ (2.12) và (2.8) tồn tại một dãy con     11 u um m m mm   sao cho u um m  in 0( , )mW   khi n   , 1.m  Khi đó, do (., .)f là liên tục, ( , ) ( , )f x u f x um m  hầu khắp trong 0( , )mW   , và do  ( , )f x u mm là bị chặn trên 0 ' ( ( , ))p m L TW  , từ Bổ đề 2.5.2 trong [2], ta có ( , ) ( , )f x u f x um m trong 0 ' ' ( , ; ( ))p p m L T L W . Từ tính duy nhất của giới hạn, ta có ( , )f x uX hầu khắp trong 0( , )m TW  0 1, ,T m    và vì vậy, từ 1 N m m W    , ta có ( , )f x uX hầu khắp trong 0( , ) N   . (2.13) Khi đó, từ (2.13) và (2.9) ta có ( , ) ( , )f x u f x u m trong 0 ' ' ( , ; ( ))p p NL T L 0.T  (2.14) Do đó, u là nghiệm yếu của Bài toán (2.1). Tính duy nhất và phụ thuộc liên tục của nghiệm vào điều kiện ban đầu được chứng minh. 2.3 Sự tồn tại và tính trơn của tập hút toàn cục Từ Định lí 2.2.2, ta có thể định nghĩa nửa nhóm 2 1 0 ( ) : ( ) ( , ) ( )N N p NS t L Ls H , trong đó 0( ) : ( )S t u u t là nghiệm yếu duy nhất của Bài toán (2.1) với điều kiện ban đầu là 0u . Ta chứng minh sự tồn tại tập hấp thụ của ( )S t trong 1 0 ( , ) ( )N p NLs H . 24 Bổ đề 2.3.1. Giả sử các điều kiện ( ) ( ) ( )   H F G được thỏa mãn. Khi đó nửa nhóm ( )S t sinh bởi Bài toán (2.1) có một tập hấp thụ bị chặn trong 1 0 ( , ) ( )N p NLs H , nghĩa là, tồn tại một hằng số dương r , sao cho với mọi tập con bị chặn B trong 2( )NL , tồn tại số 0( )T T B  , sao cho với mọi t T , 0u B , ta có: 1 0 2 ( , ) ( ) ( ) ( ) N p N p L u t u t s r  H . Chứng minh. Nhân vô hướng phương trình đầu tiên của (2.1) với u trong 2( )NL ta có 2 2 2 2 21 2 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ). N NN NL L d u x x dx u f x u udx g u dt s l      (2.15) Từ (2.2), ta có 1 1 ( , ) ( ) N N N p f x u dx u dx C x dxa    . (2.16) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế phải của (2.15) ta có 2 2 2 2 2 21 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) N N N NL L L L g u g u u g l l    . (2.17) Từ (2.15),(2.16)-(2.17) ta thu được 2 2 2 22 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( )N N NN N p L L L d u u dx u u dx C g dt s l a l        (2.18) Do đó, ta có: 2 2 2 2 2 21 ( ) ( ) ( ) ( ) . N N NL L L d u u t C g dt l l    (2.19) Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta thu được 2 2 2 2 2 2 0 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N N N t t L L L c u t e u g el l l l          . (2.20) Từ (2.20) suy ra sự tồn tại của tập hấp thụ bị chặn trong 2( )L W : Tồn tại một hằng số R và thời điểm 20 0 ( ) ( ) L t u W sao cho nghiệm 0 ( ) ( )u t S t u , thỏa mãn 25 2( ) ( ) L u t R W  với mọi  20 0 ( )Lt t u W . Lấy tích phân (2.18) trên (t, t+1),  20 0 ( )Lt t u W , và từ (2.5), ta có 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( )) NN N t Lt x u s dx u s F x u x dx dss l           2 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) N NL L C u t g       2 2 2 1 ( )NL C R g       . (2.21) Nhân (2.1) với ( ) t u s và lấy tích phân trên N , ta có 2 2 2 2 21 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( )) ) N NN Nt L L d u s x u s dx u s F x u s dx ds s l         2 2 2 21 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) N NN t tL L gu s dx g u s   (2.22) Do đó, 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( )) . N NN NL L d x u s dx u s F x u s dx g ds s l         (2.23) Kết hợp (2.21), (2.23), và sử dụng bất đẳng thức Gronwall đều, ta có 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( )) NN NL x u t dx u t F x u t dxs l    2 2 2 1 ( )NL C R g       (2.24) Sử dụng (2.5), ta có điều phải chứng minh. Ta chứng minh ước lượng đạo hàm của nghiệm. Bổ đề 2.3.2. Giả sử các điều kiện ( ) ( ) ( )  H F G được thỏa mãn. Khi đó với mọi tập bị chặn B trong 2( ),NL tồn tại một hằng số 0( )T T B  sao cho, 2 2 1( ) ( ) Nt L u s r với mọi 0 ,u B và ,s T 26 trong đó 0( ) ( ( ) )t t s d u s S t u dt   và 1 r là hằng số dương không phụ thuộc vào B. Chứng minh. Đạo hàm phương trình đầu tiên của (2.1) theo thời gian và kí hiệu t v u , ta có 0( ( ) ) ( , ) v f div x v v x u v t u s l          . Nhân vô hướng đẳng thức trên với v trong 2( )NL , ta có 2 2 2 2 2 21 0 2 ( ) ( ) ( ) ( , ) N NN NL L d f v x v dx v x u v dx dt u s l         . (2.25) Sử dụng (2.4), từ (2.25) ta có 2 2 2 2 3 2 ( ) ( )N NL L d v v dt a . (2.26) Mặt khác, lấy tích phân (2.22) từ t tới 1t  và từ (2.24), ta có  2 2 21 2 ( ) ( ) ( ) , N N t t Lt L u s ds C gr   . (2.27) Với t đủ lớn. kết hợp (2.26) với (2.27), và sử dụng bất đẳng thức Gronwall đều ta có 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) , N Nt L L u s ds C gr      . Định lí được chứng minh. Bổ đề 2.3.3. Giả sử các điều kiện ( ) ( ) ( )   H F G được thỏa mãn. Khi đó nửa nhóm   0 ( ) t S t  có một tập hấp thụ bị chặn trong 2 2( ),p NL  nghĩa là, tồn tại một hằng số 2 2p r  , sao cho với mọi tập con bị chặn 2( ),NB L tồn tại 0( )T T B  sao cho 2 2 2 2( ) ( ) , p N pL u t r    với mọi t T , 0 u B . Chứng minh. Lấy 2p u u  là hàm thử, ta có 27 2 2 2 2 2 . ( ) ( , ) . N N N N p p p p t u u u dx x u u dx f x u u udx g u udxs            Do đó, t