Luận văn Tán xạ hạt nhân của các nơtron phân cực trên mặt tinh thể có các hạt nhân phân cực trong điều kiện có phản xạ

3) Lấy tổng công thức (1.2.3) theo l từ 1 đến số hạt nhân trong bia ta sẽ tìm được thế tương tác của nơtron với toàn bộ bia: Luận văn thạc sĩ khoa học Vũ Thị Thu Trang 9 ' 1 l N iqR p p l l V e     (1.2.4) Các yếu tố ma trận 'p pV thuộc toán tử tương tác hạt nhân V từ xung lượng p đến 'p được ghi nhận trên cơ sở (1.2.3) có dạng:   ' liq Rl l lp p l V A B sJ e     (1.2.5). Trong đó 'q p p    : Véctơ tán xạ của nơtron 1.2.2. Yếu tố ma trận của tương tác từ. Tương tác từ của nơtron trong mạng tinh thể xuất hiện do các điện tử tự do chuyển động. Và bản thân nơtron cũng có mômen từ sinh ra. Thế đặc trưng cho tương tác này được cho bởi biểu thức [21]  2' 04 ( ) , ( )jiqRp p j j j V r F q e S s es e m           (1.2.6). Trong đó: 2 0 2 0 e r m c  : là véctơ bán kính điện từ của electron m - khối lượng nơtron 1.913   - độ lớn mômen từ hóa trên manhêton Bohr hạt nhân jS  - Spin của nguyên tử thứ j lR  - là véctơ tọa độ vị trí hạt nhân thứ l 'q p p    - véctơ tán xạ của nơtron q e q   - véctơ tán xạ đơn vị s  - spin của nơtron tới Biểu thức    *( ) 1 j iqrZ j j j j j j j e s S F q d S S            (1.2.7) Với jz jS s    là toán tử spin của nguyên tử thứ j Luận văn thạc sĩ khoa học Vũ Thị Thu Trang 10 jS là đại lượng spin của nguyên tử thứ j j là hàm sóng của điện tử thứ j ( )jF q  đặc trưng cho sự phân bố của mật độ spin trong nguyên tử Như vậy khi xét bài toán của một chùm nơtron chậm không phân cực tán xạ trong tinh thể, ngoài tương tác hạt nhân chúng còn tương tác từ. Do đó trong biểu thức tiết diện tán xạ vi phân sẽ gồm đóng góp hai phần được đặc trưng bởi hai loại tương tác ở trên 2 22 ' ' ' n m p p p d dd d dE d dE d dE       (1.2.8) Do vậy đại lượng 'p pV được viết lại dưới dạng sau:     ' 2 04 ( ) , ( )l jiqRiq Rl l l j jp p l j V A B sJ e r F q e S s es e m                (1.2.9) Từ đó ta đi tính được tiết diện tán xạ vi phân       '2 2 ' '3 5 ' ' 2 p p i E E t p p p p p d m p dte Sp V V t d dE p           (1.2.10) Luận văn thạc sĩ khoa học Vũ Thị Thu Trang 11 CHƯƠNG 2 – TIẾN ĐỘNG HẠT NHÂN CỦA SPIN CỦA CÁC NƠTRON TRONG MÔI TRƯỜNG PHÂN CỰC 2.1. Tính góc tiến động bằng phương pháp toán tử. Giả sử hạt tới và bia đều có spin. Chúng ta xem xét quá trình chuyển động của nơtron chậm qua vật chất. Trong trường hợp này, hàm sóng mô tả quá trình va chạm đàn hồi của nơtron với hạt nhân được gắn ở điểm iR có dạng :   0 0i ii k r Rik r ik Rn n n n i e r e f e r R                   (2.1.1) Trong đó: n là hàm sóng spin của nơtron tới, 0n là hàm sóng spin của hạt nhân Trong trường hợp các nơtron chậm, bước sóng lớn hơn nhiều so với kích thước của hạt nhân, vì vậy biên độ tán xạ không phụ thuộc vào góc tán xạ và có thể được viết dưới dạng: f J    (2.1.2) Trong đó: 2S  , S là toán tử spin của nơtron  là toán tử ma trận được tạo bởi các ma trận Pauli J là toán tử spin của hạt nhân 1 2 1 2 1 I I a a I I      và 2 1 a a I     a là biên độ tán xạ trong trạng thái ứng với mômen tổng cộng của nơtron và hạt nhân là 1 2 I  a là biên độ tán xạ trong trạng thái ứng với mômen tổng cộng của nơtron và hạt nhân là 1 2 I  Trong quá trình tán xạ trên hệ hạt nhân, hàm sóng viết lại có dạng sau: Luận văn thạc sĩ khoa học Vũ Thị Thu Trang 12    . . i i ik r R ik r ik R n nuc m n nuc mi im mi e r e f e r R                    (2.1.3) Trong đó .nuc m m  là hàm sóng spin của các hạt nhân với giả thiết rằng các hạt nhân không tương tác với nhau. Để tìm sóng kết hợp trong trường hợp này, chúng ta làm trung bình cộng công thức (2.1.3) theo phân bố của các hạt nhân bia và theo các trạng thái spin của chúng Sự trung bình hóa đó dẫn đến biểu thức sau của hàm sóng:    i iik r Rik r ik Rn m n i i e r e f e r R                 (2.1.4) Trong đó: f J I p         J p I   : Véctơ phân cực của hạt nhân I: spin của hạt nhân Nếu các hạt nhân được phân bố hỗn loạn trong mặt phẳng 0z z thì chúng ta sẽ nhận được biểu thức sau cho sóng kết hợp đi qua mặt phẳng trên:   21 ( ) i K r n z i r I p e k              (2.1.5) Trong công trình [16], toán tử 1 2 p iB    (2.1.6) được gọi là toán tử spin quay xung quanh một trục đặc trưng bởi vectơ đơn vị p  một góc  ;  <<1 So sánh (2.1.5) và (2.1.6) ta có thể kết luận: Sau khi đi qua mặt phẳng phân cực, spin của nơtron đã quay đi 1 góc:  4 Re z Ip k   (2.1.7) Nếu hàm sóng của các nơtron đi qua m mặt thì góc quay tổng cộng là: Luận văn thạc sĩ khoa học Vũ Thị Thu Trang 13  4 Rem z Ipm k   (2.1.8) Hay, khi đi qua 1 tấm bia có độ dày L xác định, chúng ta sẽ thu được: Khi nơtron đi qua bia phân cực này, spin của nó sẽ quay đi 1 góc:  4 Re z Ipl k   (2.1.9) Kết quả này có thể nhận được bằng các phương pháp khác 2.2. Tính góc tiến động bằng phương pháp hàm sóng Chọn trục lượng tử song song với véctơ phân cực của hạt nhân p  . Nếu nơtron tới mặt phẳng có spin song song với véctơ p  ( 1 0n       ), thì sóng kết hợp ( )r  có dạng:    121 0ik rzir f ek               (2.2.1) Trong đó:f  Ip  là biên độ tán xạ kết hợp đàn hồi dưới góc bằng 0 của nơtron với spin song song với véctơ phân cực của hạt nhân p Đối với nơtron có spin ngược lại thì sóng kết hợp đàn hồi  r  có dạng:    021 1ik rzir f ek               (2.2.2) Trong đó: f  Ip  là biên độ tán xạ kết hợp đàn hồi dưới góc bằng 0 của nơtron với spin phản song song với véctơ phân cực của hạt nhân p Nếu hàm sóng đi qua một lớp vật chất có độ dày xác định thì lặp lại tất cả các lý luận dẫn đến biểu thức của hệ số khúc xạ đối với bia phân cực mà ta đã biết thì chúng ta sẽ nhận được hệ số khúc xạ của các nơtron có spin song song với véctơ p như sau: Luận văn thạc sĩ khoa học Vũ Thị Thu Trang 14   2 22 21 1 z z i n f Ip k k           (2.2.3) Đối với các nơtron với sự phân cực ngược lại thì:   2 22 21 1 z z i n f Ip k k           (2.2.4) Hiệu số   22 z n n n f f k          (2.2.5) được xác định bởi hiệu các biên độ tán xạ của sóng kết hợp tương ứng và khác 0 chỉ trong bia phân cực Như vậy, trong hạt nhân bia phân cực, nơtron có 2 hệ số khúc xạ Xét trường hợp nơtron có véctơ phân cực tạo thành một góc tương đối với hướng của véctơ phân cực hạt nhân. Chọn một hướng của p tạo thành một góc tương đối với trục z. Véctơ phân cực của hạt nhân bia có phương vuông góc với bề mặt. Hàm sóng cơ sở có dạng: ( ) ik r nr e    , 1 2 n c c       (2.2.6) Hay: 1 2 1 0( ) 0 1 ik r ik r r c e c e                Trạng thái spin 1 0     có liên quan tới chỉ số khúc xạ n Trạng thái spin 0 1     có liên quan tới chỉ số khúc xạ n Hàm sóng của nơtron trong trạng thái phân cực thay đổi theo chiều sâu xác định theo biểu thức sau: 1 1 2 2 _ ( ) 1 0( ) 0 1( ) z zi k n z ik n zik r ik r c r r c e e c e e c r                                (2.2.7) Véctơ phân cực của nơtron là : nP     (2.2.8) Luận văn thạc sĩ khoa học Vũ Thị Thu Trang 15 có các thành phần là : * * 1 22 RenxP c c   * * 1 22ImnyP c c   (2.2.9) 2 2 1 2nzP c c    Giả thiết rằng spin của nơtron có phương vuông góc với vecto phân cực của hạt nhân và có phương song song với trục x, ta được 1 2 1 2 c c  Sử dụng các đẳng thức (2.2.9) ta có :    Imos Re zk n n znx zP c k n n z e           Imsin Re zk n n zny zP k n n z e        (2.2.10)    2 Im 2 Imz zk n z k n z nzP e e     Suy ra, vectơ phân cực của nơtron hợp với vectơ phân cực của hạt nhân một góc :     2Re Rez z k n n z f f z k           (2.2.11) Biểu thức của (2.2.11) phù hợp với (2.2.10). Trong trường hợp tổng quát, vectơ phân cực của hạt nhân không xác định. Để mô tả hiệu ứng quay của spin nơtron ta dùng toán tử quay spin đi một góc  nào đó. Sử dụng (2.1.5) ta có : Sau khi đi qua m mặt phẳng phân cực, hàm sóng của nơtron là :    21 m z i r I p k             ik r ne    (2.2.12) Sau khi nơ tron đi qua lớp vật chất có bề dày là z = m a (a- bề dày của 1 lớp) thì  r  được viết như sau :   zik r ik nz nr e e   (2.2.13) Với : Luận văn thạc sĩ khoa học Vũ Thị Thu Trang 16    221 0 z n f k   (2.2.14)   0f là biên độ tán xạ đàn hồi trên hạt nhân với một góc bằng 0. So sánh với việc mô tả bằng toán tử quay spin của nơtron đi một góc trong [16] : 2i nB e    , ta thấy, trong trường hợp này, toán tử quay spin nơtron được mô tả bởi :  2exp Ren p z B i I n z k         (2.2.15) Ngoài ra, sự quay spin của nơtron trong bia phân cực có thể nhận được bằng cách khác. 2.3. Sử dụng bảo toàn năng lượng để tính góc tiến động. Gọi năng lượng của sóng kết hợp là 'khE Năng lượng của sóng tự do trong chân không là tkE Theo định luật bảo toàn năng lượng thì thế năng có dạng :  2 2 2' 2 2(1 ) 0 2 z tk kh kU E E n f m m         (2.3.1) Như vậy trong hạt nhân bia phân cực, sóng nơtron có khả năng khúc xạ với các mức năng lượng là :  22 2 22(1 ) 0 2 z z kU n f m m        (2.3.2) So sánh với (2.2.14) ta viết lại năng lượng dưới dạng toán tử :    2 22 20 ( )U f I p m m            (2.3.3) Khi nơtron chuyển động trong từ trường, năng lượng tương tác của thành phần spin song song với H  được tính theo công thức : W H   Tương tự với thành phần spin ngược lại ta có năng lượng bằng W H  Hiệu năng lượng là : W W 2 H    Giới hạn của tần số chuyển động tiến động của nơtron trong từ trường H là : 2 R H   Luận văn thạc sĩ khoa học Vũ Thị Thu Trang 17 Hoàn toàn tương tự, trong từ trường tồn tại hiệu số thế U U  , spin của nơtron chuyển động tiến động quanh trục song song với vectơ phân cực của hạt nhân với tần số : 4Re ReU U Ip m       (2.3.4) Trong khoảng thời gian t, spin của nơtron quay đi một góc t  . Nếu phần có từ trường có độ dài l, thời gian để nơtron đi qua là : z l t v  Vậy spin của nơtron quay đi một góc : 4 R e z z z l m l Ipl v k k       Điều này hoàn toàn phù hợp với công thức (2.1.9). Trong từ trường thì tương tác giữa spin của nơtron với hạt nhân có từ trường hiệu dụng : e f f 2 H   Tương tự, nếu như bia phân cực có từ trường phụ thuộc vào thời gian B(t) và vectơ phân cực của hạt nhân cũng phụ thuộc vào thời gian P=P(t) thì từ trường hiệu dụng tổng hợp là : ( ) ( ) ( )effG t B t H t  Trong đó 22( ) ( )eff IH t p t m     Như vậy, năng lượng tương tác spin trong từ trường hiệu dụng là : eff( ( ) ( ))V G B t H t       (2.3.5) Luận văn thạc sĩ khoa học Vũ Thị Thu Trang 18 CHƯƠNG 3 – PHẢN XẠ GƯƠNG CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRÊN MẶT BIÊN GỒ GHỀ GIỮA “CHÂN KHÔNG – VẬT CHẤT” CÓ CÁC HẠT NHÂN PHÂN CỰC 3.1. Ảnh hưởng của sự gồ ghề mặt biên “chân không – vật chất” có các hạt nhân phân cực lên phản xạ gương của các nơtron phân cực Phản xạ gương của nơtron trên mặt biên giữa vật chất và chân không đã được nghiên cứu [19]. Sự xuất hiện gồ ghề của mặt biên giới hạn đã dẫn tới sự phụ thuộc của hệ số phản xạ vào hệ số Debye-Waller [15]. Sự khác biệt giữa công thức mô tả sự phản xạ gương trên mặt biên phẳng với công thức trong trường hợp có sự gồ ghề cho phép phán đoán trạng thái bề mặt Khi xem xét phản xạ gương của các nơtron phân cực trên biên thực tế giữa vật chất và chân không, chúng ta cần tính đến sự gồ ghề của mặt biên. Sự gồ ghề của mặt biên thực xuất hiện là do sự gồ ghề của các vị trí của các hạt nhân trong quá trình dao động nhiệt hoặc là do sự thăng giáng vị trí của biên đến cỡ vài chục 0 A Giả sử chùm nơtron phân cực tiến đến bề mặt của vật chất có các hạt nhân phân cực nằm chiếm nửa không gian x >0 Trong bia phân cực như chúng ta biết [18] từ trường tổng cộng hiệu dụng effG  sẽ tác động lên chùm nơtron effG B  + effnucH (3.1.1) Ở đó B  - vectơ cảm ứng từ. eff nuc H  - từ trường hiệu dụng hạt nhân Chúng ta giả thiết rằng trong nửa không gian x>0, trong vật chất có các hạt nhân phân cực có từ trường hiệu dụng đồng nhất có dạng: eff eff 0;x yG G  eff eff ( )zG G x Trục z có hướng song song với mặt của bia Trong trường hợp này quá trình phản xạ, khúc xạ của các nơtron phân cực trên bia được xác định bởi Hamiltonien Luận văn thạc sĩ khoa học Vũ Thị Thu Trang 19 H= 2 2 p m + eff( ) ( ) zV x G x    (3.1.2) Ở đó, p, m- là toán tử xung lượng và khối lượng của nơtron  - moment từ của nơtron ( )V x : Thành phần thế hạt nhân hiệu dụng không phụ thuộc vào spin 1 0 0 1z       - ma trận Pauli. Ta viết lại (3.1.2) dưới dạng: H = 0 ( , )zH x  (3.1.3) 0H = 2 2 p m + eff0 ( )zV G x       Trong đó: 0V và effG - là các giá trị của ( )V x và eff ( )G x ở sâu trong bia cách xa biên ( , )zx  = 0( ) ( )V x V x  eff eff( ) ( ) zG x G x    ở đó ( )x  10  , 0 , 0 x x   ( , )zx  - nhiễu loạn xuất hiện khi ta tính đến sự gồ ghề của mặt vật chất Chúng ta sẽ đi thu nghiệm của phương trình Schrodinger  0 ( , )zH H x E       (3.1.4) Dưới dạng sau : || || ( ) z ik r Se x     Ở đó zS  - hàm spin tương ứng với giá trị xác định zS của hình chiếu của spin của nơtron lên trục z: 1 2 z zz S z S S    , 1 2z S  ||k  và ||r  - là các thành phần của vectơ sóng và vectơ vị trí của nơtron song song với bề mặt của vật chất Đặt (3.1.2) vào (3.1.4) chúng ta sẽ nhận được phương trình để cho ( )x có dạng Luận văn thạc sĩ khoa học Vũ Thị Thu Trang 20  2 0 eff 122( ) ( ) ( ) ( ) 0x x mx k V G x x x              (3.1.5) Ở đó 1/2 2 2 0x mEk      1 2 2( ) ( )mx x        0 eff eff( ) ( ) ( ) ( ) ( )x V x V x G x G x       2 2 0 2 y zP PE E m    - năng lượng chuyển động dọc của nơtron. Nhờ hàm Green của phương trình Schrodinger mô tả phản xạ gương trên biên phẳng.  2 0 eff22( , ') ( ) ( , ') ( ')x x mG x x k V G x G x x x x           (3.1.6) Chúng ta biểu diễn phương trình (3.1.5) trong dạng tích phân: 0 1( ) ( ) ( , ') ( ') ( ') 'x x G x x x x dx          (3.1.7) Ở đó 0 ( )x  - nghiệm của phương trình thuần nhất xác định phản xạ gương trên biên phẳng chân không- vật chất: 0 0 , 0( ) , 0 x x x ik x ik x o ik x e A e x x B e x               Ở đó: 2 2 0x mEk     0 eff22x mk E V G    > 0 Từ điều kiện liên tục của hàm sóng và của đạo hàm của hàm sóng trên biên x= 0 chúng ta xác định được các hệ số của sóng phản xạ và sóng khúc xạ: 0 01 A B   , 0 0(1 )x xk A k B     Luận văn thạc sĩ khoa học Vũ Thị Thu Trang 21 0 x x x x k kA k k          ; 0 2 x x x kB k k        (3.1.8) Để tìm biên độ của sóng phản xạ gương chúng ta cần nghiên cứu tiệm cận của hàm sóng (3.1.7) khi x  . Có thể chỉ ra rằng: 0lim ( , ') ( ')xik x x x iG x x e x k   (3.1.9) Ở đó 0 ( ')x - nghiệm của phương trình thuần nhất xác định phản xạ gương trên biên phẳng của chân không - vật chất. Thay (3.1.9) vào (3.1.7) chúng ta sẽ nhận được biên độ sóng phản xạ có dạng như sau: 0 0 1( ') ( ') ( ') ' x iA A x x x dx k          (3.1.10) Hạn chế ở gần đúng bậc nhất và chú ý đến các công thức (3.1.8) chúng ta sẽ nhận được: 2 ' 2 '2 0 0 0 12 ( ') 'x xik x ik x x iA A e A e A x dx k                  2 20 0 0 11 2 '(1 ) ( ') 'x x iA A ik x A x dx k                2 0 0 1 1( ') ' 2 ' ( ') 'x x iBA x dx ik x x dx k                Nếu 1 ( ')x  là một hàm chẵn thì tích phân thứ hai của biểu thức trên sẽ bằng không và ta có 2 0 0 1 0 2 ( ') ' x iBA A x dx k         (3.1.11) Chúng ta xét một ví dụ khi 1 ( ')x  có dạng Gauss : 2 2 02 1 0( ') x d x e    Luận văn thạc sĩ khoa học Vũ Thị Thu Trang 22 Ở đó 0d - biên độ đặc trưng của sự gồ ghề. Thay 1 ( ')x  vào (3.1.11) và tính tích phân ta sẽ nhận được : 2 2 0 '2 20 0 02 0 2 2 ' x d x iB mA A e dx k         2 0 0 0 0 2 2 2 x i B d mA k        0 0 0 2 2 8 2 ( ) x x x i k mdA k k            (3.1.12) Như vậy cường độ của sóng phản xạ được xác định bởi biểu thức sau : 2 0 0 0 0 2 2 216 Im ( ) x x x A k mdJ A k k             (3.1.13) Bây giờ chúng ta đánh giá số hạng bộ xung vào cường độ của sóng phản xạ ở gần góc tới hạn đặc trưng có sự gồ ghề của bề mặt biên. Để làm được điều đó chúng ta chọn k 910 cm 1 và góc trượt của nơtron 00,1  . Trong trường hợp đó xk  610 cm 1 Theo kết quả của [18] thì 2 0 0 2 (0)V f m     , ở đó  - mật độ hạt nhân, f(0) – biên độ tán xạ về phía trước của nơtron. Nếu chọn ~ 10 22 cm 3 , (0)f  10 12 cm, 70 10d cm thì : 2 10 0 0 2 2 16 2 10 10( ) x x x A k md k k           Như vậy chúng ta đã thấy phần đóng góp bổ sung vào cường độ của sóng phản xạ của nơtron đặc trưng cho sự gồ ghề của bề mặt biên là không nhỏ ngay cả khi d0 rất nhỏ và bằng 710 cm . Luận văn thạc sĩ khoa học Vũ Thị Thu Trang 23 3.2. Vectơ phân cực của nơtron phản xạ gương trên mặt biên gồ ghề giữa chân không và vật chất có các hạt nhân phân cực. Ta xét ảnh hưởng của sự gồ ghề của mặt biên tới trạng thái của vectơ phân cực của nơtron phản xạ. Véctơ phân cực của nơtron phản xạ được xác định bởi công thức : px px px px P        (3.2.1) Giả sử rằng các nơtron tiến đến bia có các vectơ phân cực hướng theo một góc nào đó đối với hướng của vectơ phân cực của hạt nhân bia NP  . Trạng thái của nơtron có thể xem như là sự tổ hợp của hai trạng thái phân cực, phân cực theo vectơ phân cực của hạt nhân bia NP  và phân cực theo hướng ngược lại. Hàm sóng mô tả trạng thái spin của nơtron tới là : 1 2 1 0 0 1zs c c            Trong đó 21c và 2 2c cho ta xác suất tìm thấy nơtron có trạng thái spin 1 2z S  và 1 2z S   . Ta xem xét hàm sóng phản xạ của nơtron có dạng như sau :    / // / 10 0 0 0 0 02 22 2 2 08 2 8 2 0 xik xik r x x px x x x x ci k m d i k m d e A A e ck k k k                                                   (3.2.2) Đặt :   02 2 8 2 x x x i k m k k           và   02 2 8 2 x x x i k m k k           Thay vào (3.2.2) ta có thể viết sóng phản xạ như sau :    //// 1 0 01 0 0 x ik xik r px c A d e e c A d             (3.2.3) Luận văn thạc sĩ khoa học Vũ Thị Thu Trang 24 Thay (3.2.3) vào (3.2.1) và lưu ý các ma trận Pauli : 0 1 1 0x       ; 0 0y i i       ; 1 0 0 1z       Ta có : px x px x px px P       0 1 1 0px x px px px                1 0 0* * * * * *1 0 0 2 0 0 2 0 00 1, 1 0x xik x ik xi k r i k r c A de c A d c A d e e ec A d                                   2 0 0* * * * * *1 0 0 2 0 0 1 0 0, . c A dc A d c A d c A d                  * * * * * * 1 0 0 2 0 0 2 0 0 1 0 0. .c A d c A d c A d c A d                          Bỏ qua các số hạng chứa 20d , ta có : px x px       * * * * * * * *1 2 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0c c A A d A A d c c A A d A A d                * * * * 1 2 0 0 0 0 0 02 Re c c A A d A A d         px px px px        1 0 0* * * * * *1 0 0 2 0 0 1 0 0, .x xik x ik xik r ik r c A de c A d c A d e e ec A d                              * * * * * * * *1 1 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0c c A A d A A d c c A A d A d A                   2 2 2 2* *1 0 0 0 2 0 0 02Re 2Rec A A d c A A d              Vậy : Luận văn thạc sĩ khoa học Vũ Thị Thu Trang 25       * * * * 1 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2* * 1 0 0 0 2 0 0 0 2 Re 2 Re 2 Re x c c A A A A d P c A A d c A A d                          (3.2.4) Tính toán tương tự cho yP , zP (bỏ qua các số hạng chứa 20d ), ta có : px y px y px px P             * * * * 1 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2* * 1 0 0 0 2 0 0 0 2 Im 2 Re 2 Re c c A A A A d c A A d c A A d                          (3.2.5) px z px z px px P               2 2 2 2* * 1 0 0 0 2 0 0 0 2 2 2 2* * 1 0 0 0 2 0 0 0 2Re 2Re 2Re 2Re c A A d c A A d c A A d c A A d                               (3.2.6) Từ các biểu thức nêu trên, ta thấy trạng thái phân cực của nơtron phản xạ cũng phụ thuộc vào độ dày 0d của lớp chuyển tiếp ở bề mặt gồ ghề. Điều này cho phép ta dựa vào các kết quả thực nghệm đo vectơ phân cực của nơtron phản xạ để nghiên cứu trạng thái gồ ghề của bề mặt vật chất. Luận văn thạc sĩ khoa học Vũ Thị Thu Trang 26 CHƯƠNG 4 – TÁN XẠ HẠT NHÂN CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRÊN MẶT TINH THỂ CÓ CÁC HẠT NHÂN PHÂN CỰC TRONG ĐIỀU KIỆN CÓ PHẢN XẠ 4.1. Tiết diện hiệu dụng của tán xạ không đàn hồi của các nơtron trên tinh thể có các hạt nhân phân cực Chúng ta đi xem xét tán xạ không đàn hồi của các nơtron phân cực trong tinh thể có các hạt nhân phân cực khi có phản xạ và khúc xạ Giả sử chùm nơtron tiến tới tinh thể có các hạt nhân phân cực, được đặt ở nửa không gian x > 0 và mặt của tinh thể đó trùng với mặt phẳng yoz. Như chúng ta đã biết, trong tinh thể phân cực tác động lên chùm nơtron có từ trường tổng cộng : effeff nuc G B H    ở đó eff nuc H  là giả từ trường hiệu dụng hạt nhân [15] Theo giả thuyết trên thì trong nửa không gian x > 0, trong tinh thể có các hạt nhân phân cực có từ trường hiệu dụng đồng nhất eff ( )G x  dạng eff eff 0;x yG G  eff eff ( )zG G x  , ở đó ( )x  10  , 0 , 0 x x   Quá trình tán xạ phi đàn hồi của các nơtron phân cực trong tinh thể có các hạt nhân phân cực được xác định bởi Hamilton [22,25] : H = 0 1 2W WkH H   (4.1.1) Ở đó 2 2 0 2 H m    kH : Hamilton của tinh thể- bia tán xạ eff1 0 ( ) ( )W V x G x   : 0V : Thế hạt nhân hiệu dụng không phụ thuộc vào spin  : Moment từ của nơtron Luận văn thạc sĩ khoa học Vũ Thị Thu Trang 27  tương ứng với các thành phần x , y , z là các ma trận Pauli Số hạng thứ 2 của 1W mô tả thế năng tương tác của nơtron với từ trường hiệu dụng    2 l l ll l l W A B J J r R              : Mô tả phần thể nhỏ tương tác của nơtron với hạt nhân r  , lR  : véc tơ vị trí của nơtron, hạt nhân J  :Toán tử spin hạt nhân Sử dụng phương pháp các sóng méo ta đi tính yếu tố ma trận chuyển 'k kT của quá trình tán xạ trên: Theo [3,25]: ( ) ( ) ' ' 2k k k kT W   (4.1.2) Ở đó, ( ) 'k  và ( )k  là nghiệm của phương trình Schrodinger sau: 2 2 0 ( ) ( )2 z effz k K kV x G x Em             (4.1.3) Với tiệm cận ở vô cùng trong dạng sóng phân kỳ và sóng hội tụ Biểu diễn k trong dạng: // // ( )ik rk ke x      (4.1.4) 1 2 1 0 0 1 C C            hàm sóng spin riêng của nơtron ||k  và ||r  - các thành phần của vectơ sóng và véctơ vị trí của nơtron song song với bề mặt tinh thể: Đặt (4.1.12) vào (4.1.11) ta có phương trình schordinger để cho ( )k x :  2 02( ) ( ) ( ) 0x k x eff kmx k V G x x             (4.1.5) Luận văn thạc sĩ khoa học Vũ Thị Thu Trang 28 ở đó, 2 2 0x mEk     khi x<0 2 2 || 2k k E E m     là năng lượng chuyển động dọc của nơtron Ký hiệu  022x effmk E V G    khi x>0 Chúng ta sẽ nhận được nghiệm của phương trình (4.1.5) và theo đó là nghiệm của phương trình (4.1.3) trong dạng sau: || || || || 1 1 22 1 2 0 0 0 0 x x x x x ik r ik x ik x ik x k ik r ik x ik x c c e e A e A e cc c e B e B e c                                                         khi 0 0 x x   (4.1.6) x x x x k kA k k          : Biên độ của sóng phản xạ của nơtron 2 x x x kB k k        : Biên độ