Luận văn Tăng cường vận dụng các bài toán có nội dung thực tiễn vào dạy môn toán đại số nâng cao 10 - THPT

ội dung thực tế đƣợc ứng dụng trong lí thuyết và bài tập. *Ứng dụng trong lí thuyết + Hàm số bậc nhất. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 46 Trong cuộc sống và trong tự nhiên có rất nhiều các sự vật, hiện tượng có quan hệ với nhau theo mối tương quan hàm số chẳng hạn để củng cố khái niệm hàm số, ta cho học sinh biết về một số hàm số toán học và thể hiện hàm số đó trong thực tiễn, hoặc các em tự tìm ra những mối quan hệ giữa các sự vật, hiện tượng xung quanh thể hiện là mối tương quan hàm số. Sau khi học dạy hàm số y = ax. Hàm số thấy được áp dụng trong cuộc sống như: - Nhiệt độ )( CT phụ thuộc vào sự thay đổi của thời gian t (giờ). - Khối lượng m (m) của một thanh kim loại đồng chất có khối lượng riêng là d tỉ lệ thuận với thể tích . V (cm 3 ) theo công thức: m = dv. + Trong vật lí: S = v.t S: Quãng đưòng. v: Vận tốc trung bình. t: Thời gian. Q = I.t Q: Nhiệt lượng. I: Cường độ dòng điện. t: Thời gian. + Trong hoá học: M = 29d M: Phân tử g của chất khí. d: Tỉ khối của chất khí đối với chất khí. m = n.M m: Khối lượng của một chất. n: Số mol. M: Khối lượng của mol phương trình của chất đó. v…v… + Trong cuộc sống: T = n.G G: giá tiền một đồ vật. n: Số lượng đồ vật. T: Số tiền phải trả. Số lượng công việc làm được = năng xuất x số thời gian làm việc… + Vị trí và tầm quan trọng của hàm số. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 Ở đây nói về vị trí và tầm quan trọng của khái niệm hàm vì hàm số chỉ là trường hợp đặc biệt của khái niệm này. Theo các nhà toán học. Khui – sin thì không có khái niệm nào khác có thể phản ánh những hiện tượng của thực tại khách quan một cách trực tiếp và cụ thể như khái niệm tương quan hàm, không một khái niệm nào có thể thể hiện được ở trong nó nhiều nét biện chứng của tư duy toán học hiện đại như khái niệm tương quan hàm. Thật vậy, bản chất của vật chất là vận động, và sự vận động chỉ ra trong mối tương quan nhất định với khái niệm hàm, người ta nghiên cứu sự vật trong trạng thái biến đổi của nó chứ không phải trong trạng thái tĩnh tại, trong sự phụ thuộc lẫn nhau chứ không phải tách rời nhau. Khái niệm hàm phản ánh sâu sắc hiện thực khách quan và thể hiện rõ nét tư duy biện chứng chính là ở chỗ đó. Chính vì vậy mà khái niệm hàm là một trong những khái niệm cơ bản của toán học, nó giữ vị trí trung tâm trong chương trình môn toán ở nhà trường THPT. Toàn bộ việc dạy học toán ở nhà trường THPT đều xoay quanh khái niệm này. Bắt đầu bậc THPT ở lớp 10 có kiến thức về hàm số bậc nhất và tiếp đó nghiên cứu hàm số bậc hai tương quan. Chú trọng qua các ví dụ và bài tập sát với thực tiễn cuộc sống và gắn bó với các môn học khác. Chẳng hạn có nhiều câu hỏi, bài tập liên quan đến luật giao thông, liên quan đến kinh tế… Ví dụ 1: Thông qua thực tế khái niệm về hàm số theo tình hình kinh tế và xã hội của đất nước như: Theo thông báo của ngân hàng ABBANK, ta có bảng dưới đây vì lãi xuất giữ tiết kiệm kiểu bậc thang với số tiền gửi tiết kiệm VND được áp dụng từ ngày 30/6/2008. Kì hạn (số tháng) 1 2 3 6 12 15 Lãi xuất (% tháng) 18.0 18.15 18.30 18.35 18.40 17.90 Bảng này thể hiện sự phụ thuộc giữa lãi xuất % theo tháng ( kí hiệu là y) là hàm số của kì hạn x (tính theo tháng). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 Ví dụ 2: Biểu đồ sau hình 3 biểu thị sản lượng vịt, gà và ngan lai qua 5 năm của một trang trại. Coi y = f(x), y = g(x) và y = h(x) tương ứng là các hàm số biểu thị sự phụ thuộc số vịt, số gà và số ngan lai vào thời gian x. Qua biểu đồ, hãy: a) Tìm tập xác định của mỗi hàm số đã nêu; b) Tìm các giá trị f(2002), g(1999), h(2000) và nêu ý nghĩa của chúng; c) Tính hiệu h(2002) – h(1999) và nêu ý nghĩa của nó. 0 1 2 3 4 5 6 7 1998 1999 2000 2001 2002 Sản lượng vịt Sản lượng gà Sản lượng ngan lai Hình 3 Trả lời: a) Tập xác định của cả ba hàm số y = f(x), y = g(x) và y = h(x) là : D = {1998; 1999; 2000; 2001; 2002}. b) f(2002) = 620000 (con); g(1999) = 380000 (con); h(2000) = 100000 (con). Năm 2002 sản lượng của trang trại là 620000 con vịt, năm 1999 sản lượng là 380000 con gà; năm 2000 trang trại có sản lượng là 100000 con ngan lai. c) h(2002) – h(1999) = 210000 – 30000 = 180000 ( con). Sản lượng ngan lai của trang trại năm 2002 tăng 180000 con so với năm 1999. + Hàm số bậc hai: Thấy được ý nghĩa của hàm số và đồ thị hàm số bậc hai trong đời sống thực tế, đó là đường parabol. Trong cuộc sống hàng ngày chúng ta thường gặp những hình ảnh của đường parabol. Như khi ta ngắm các đài phun nước, hoặc được chiêm ngưỡng cảnh bắn pháo hoa muôn màu, muôn sắc. Nhiều công trình kiến trúc cũng được Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 tạo dáng theo hình parabol, như cây cầu, vòm nhà, cổng ra vào… Điều đó không chỉ đảm bảo tính bền vững mà còn tạo nên những vẻ đẹp của công trình. *Ứng dụng trong bài tập + Hàm số bậc nhất Bài tập 1: Có 3 hình thức trả tiền cho việc truy cập Internet. - Hình thức A: Mỗi giờ truy cập giá 2000 đồng. - Hình thức B: Thuê bao hàng tháng 35000 đồng và số giờ truy cập không hạn chế. - Hình thức C: Thuê bao hàng tháng 45000 đồng và mỗi giờ truy cập phải trả 500 đồng. a, Em hãy cho biết hình thức nào thì phải trả ít tiền hơn nếu tổng hợp truy cập hàng ngày trong tháng (30 ngày). Lần lượt là 1,5h; 10h; 12h. b, Hãy viết p1(x), p2(x), p3(x) theo thứ tự là số tiền phải trả hàng tháng theo mỗi hình thức A, B, C trong đó x là số giờ truy cập Internet. Hướng dẫn a/ Hãy điền vào bảng sau: Số giờ truy cập hàng tháng Số tiền phải trả 45h 300h 360h Hình thức A Hình thức B Hình thức C b/ - Hình thức A là: p1(x) = 2000.x đồng - Hình thức B là: p2(x) = 350000 đồng - Hình thức C là: p3(x) = 500.x + 45000 đồng Bài tập 2: Một hãng taxi qui định giá thuê xe đi mỗi kilômét là 6 nghìn đồng đối với 10 km đầu tiên và 2,5 nghìn đồng với các km tiếp theo. Một hành khách thuê taxi đi quãng đường x kilômét phải trả số tiền là y nghìn đồng. Trong đó, y là một hàm số của x, x đối với 0x . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 a) Hãy biểu diễn y như một hàm số bậc nhất trên từng khoảng [0;10] và khoảng (10; ). b) Tính f(8), f(10) và f(18). Gợi ý: a) Khi 100 x tức là quãng đường đi nằm trong 10 km đầu tiên, số tiền phải trả là: f(x) = 355,2 6 x x nếu 10 100 x x . b) Từ công thức trên suy ra: f(8) = 6.8 = 48; f(10) = 6.10 = 60; f(18) = 2,5. 18 + 35 = 80. +Hàm số bậc hai Bài toán bóng đá: Khi một quả bóng được đá lên, nó sẽ đạt đến độ cao nào đó rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một cung parabol trong mặt phẳng với toạ độ 0 t.h, trong đó t là thời gian (tính bằng giây), kể từ khi quả bóng được đá lên, h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ độ cao 1,2m. Sau đó 1 giây, nó đạt độ cao 8,5m và 2 giây sau khi đá lên, nó ở độ cao 6 m. a) Hãy tìm hàm số bậc hai biểu thị độ cao h theo thời gian t và có phần đồ thị trùng với quỹ đạo của quả bóng trong tình huống trên. b) Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng ( tính chính xác đến hàng phần nghìn). c) Sau bao lần thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên ( tính chính xác đến háng phần trăm)? Gợi ý: a) Giả sử h = f(t) = at 2 + bt +c. Ta cần tìm các hệ số a, b và c. Theo giả thiết, quả bóng được đá lên từ độ cao 1,2m, nghĩa là: f(0) = c= 1,2. Sau đó 1 giây, nó đạt được độ cao 8,5m nên: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 1 f(1) = a + b + 1,2 = 8,5. Sau khi đá 2 giây, quả bóng ở độ cao 6m, nghĩa là: f(2) = 4a + 2b + 1,2 = 6. Thu gọn cái hệ thức trên, ta có hệ phương trình bậc nhất. 4,22 3,7 ba ba Giải hệ ta có a = -4,9, b= 12,2. Vậy hàm số cần tìm là:f(t) = -4,9t 2 + 12,2t + 1,2. b) Vì những điểm có tung bằng 0 nên độ cao lớn nhất của quả bóng chính là tung độ của đỉnh parabol, cụ thể là: y = a ' = 794,8 9,4 09,43 . c) Giải phương trình: -4,9t 2 + 12,2t + 1,2 = 0, ta được hai nghiệm gần đúng là: t1 = -0,09 và t2 = 2,58 (loại giá trị âm), ta được kết quả là: Quả bóng chạm đất sau gần 2,58 giây. Bài toán tàu vũ trụ: Khi một con tàu vũ trụ được phóng lên mặt trăng, trước hết nó bay vòng qua Trái Đất. Sau đó đến một thời điểm thích hợp, động cơ bắt đầu hoạt động đưa con tàu bay theo quỹ đạo là một nhánh parabol lên mặt trăng ( trong toạ độ O t 2 1,2 4 6 8,5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 0xy như nhình vẽ, x và y tính bằng nghìn km). Biết rằng khi động cơ bắt đầu hoạt động, tức là khi x = 0 thì y = -7. Sau đó y = -4 khi x = 10. Và y = 5 khi x= 20. a. Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa nhánh parabol nói trên. b. Theo lịch trình để đến được mặt trăng, con tàu đi qua điểm (100; y) với y = 294 1,5. Hỏi điều kiện có được thoả mãn hay không? a. Ta cần tìm hàm số dạng f(x) = ax 2 + bx + c thoả mãn: f(0) = C = -7. f(10) = 100a + 10b – 7 = -4. f(20) = 400a + 20b – 7 = 5. Từ đó suy ra a = 0.03 và b = 0. vậy hàm số cần tìm là: y = 0,03x 2 – 7. b. Theo điều kiện khi x = 100 thì y = 294 1,5 tức là: 294 – 1,5 < y < 294 + 1,5 hay y (292,5; 295,5). Ta thấy f(100) = 293 thoả mãn điều kiện đó. O quỹ đạo y x Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 0 10 162 x Bài toán về cổng Ác – xơ (Asch). Khi di lịch đến thành phố XanhLu – i (Mĩ), ta sẽ thấy một cái cổng lớn có hình parabol hướng bề lõm xuống dưới, đó là cổng Ác – xơ. Giả sử ta lập một hệ toạ độ 0xy sao cho một chân cổng đi qua gốc 0 như hình 4 (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí (162; 0). Biết một điểm M trên cổng có toạ độ là (10; 43). a) Tìm hàm số bậc hai có đồ thị chứa cung parabol nói trên. b) Tính chiều cao của cổng ( tính từ đỉnh cao nhất trên cổng xuống mặt đất, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Giải a/ Ta cần tìm hàm số có dạng f(x) = ax 2 + bx + c thoả mãn f(0)=c; f(10)= 100a + 10b = 43; f(126) = 162 2 a + 162b = 0 hay 162a + b = 0. Từ đó suy ra a 583,4;028,0 b . Vậy hàm số cần tìm là f(x) = ax 2 + bx, trong đó a 583,4;028,0 b b/ Chiều cao của cổng bằng tung độ của đỉnh parabol do đó: h = f(162/2) = f(81) 188(phút). c/ Xét các giao điểm của parabol với đường thẳng y =170. Hoành độ các giao điểm là nghiệm của phương trình: - 0,028x 2 + 4,583x = 170 hay 0,028x 2 – 4,583x + 170 = 0. Giải phương trình ta được x1 9,106;8,56 2x . Vậy khoảng cách giữa hai điểm đó là x2 – x1 1,50 (mét). y 43 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 2.2.3. Chương III Phương trình và hệ phương trình. Chương IV Bất đẳng thức và bất phương trình A. Tóm tắt kiến thức cơ bản của chƣơng III và chƣơng IV - Các phép biến đổi tương đương các phương trình - Phép biến đổi cho phương trình hệ quả - Giải và biện luận phương trình ax + b = 0 - Giải và biện luận phương trình bậc hai ax 2 + bx + c =0 (a )0 - Giải và biện luận phương hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - Định vi-ét (thuận và đảo) - Giải hệ phương trình bậc hai hai ẩn - Các tính chất của bất đẳng thức. BĐT cô-si và BĐT chứa giá trị tuyệt đối. Bất PT tương đương - Bất PT và hệ BPT bậc nhất hai ẩn, định lí về dấu của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. - Bất PT và hệ BPT bậc hai. - Một số PT và BPT qui về bậc hai. B.Các ví dụ và bài toán có nội dung thực tế đƣợc ứng dụng trong lí thuyết và bài tập. Trong thực tế đời sống, kỹ thuật, sản xuất có nhiều đại lượng biến đổi và phụ thuộc lẫn nhau và ta phải tìm ra cụ thể hoặc là tất cả, hoặc là một trong các đại lượng ấy.Để giải quyết các vấn đề ấy ta cần “ toán học hoá” các mối quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng thành các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình. Khi đó việc giải các phương trình, hệ phương trình,bất phương trình sẽ giúp ta giải quyết được những vấn đề mà thực tiễn đòi hỏi. Chúng ta quan tâm đến vấn đề: phương trình, hệ phương trình, bất phương trình trong toán học giúp con người giải quyết các bài toán thực tế như thế nào và việc hình thành kỹ năng đưa bài toán của thực tiễn thành các phương trình, hệ phương trình, bất phương trình ở học sinh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55 Ở trường phổ thông, dạy học phương trình, hệ phương trình, bất phương trình không dừng lại ở việc dạy giải phương trình, hệ Phương trình, bất phương trình mà cần quan tâm dạy học giải bài toán bằng cách lập phương trình. Đối với hệ phương trình, bất phương trình cũng được lý luận tương tự như phương trình. Vậy giải bài toán bằng cách lập phương trình để học sinh thấy được ứng dụng thực tế của lí luận trong khoa học và đồi sống. *Ứng dụng trong lí thuyết Trong việc dạy giải bài toán bằng cách lập phương trình khâu mấu chốt là dạy cho học sinh biết lập phương trình xuất phát tình huống thực tế của bài toán. để làm được điều đó,điều quan trọng là tập cho học sinh biết xem xét những đại lượng trong những mối liên quan với nhau, phát hiện ra những mối liên quan với nhau, phát hiện ra những mối liên quan về lượng giữa chúng để trên cơ sở đó mà lập được phương trình, ta xét ví dụ sau; “ Một xí nghiệp dự định sản suất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do thi đua xí nghiệp đó đã tăng năng suất thêm 5 sản phẩm mỗi ngày và do đó đã hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 6 ngày. Tính năng suất dự định của xí nghiệp đó.” Trước hết ta có thể hướng dẫn học sinh kí hiệu x là năng suất dự kiến của xí nghiệp. Bằng cách gọi ra mối liên hệ “ năng suất dự kiến cộng thêm 5 bằng năng suất thực tế, ta có thể dẫn họ đi đến biểu thị năng suất thực tế qua năng xuất dự kiến là x+5. Trên cơ sở giúp học sinh phát hiện mối liên hệ “ Tổng sản lượng bằng năng suất nhân với thời gian sản xuất, có thể dẫn dắt họ biểu thị thời gian dự kiến là x 600 và thời gian sản xuất thực tế là x 600 +x”. Bằng cách gợi ý mối liên hệ “ Thời gian dự kiến bớt đi 6 ngày bằng thời gian sản xuất thực tế”, ta có thể giúp học sinh đi đến lập phương trình: 5 600 6 600 xx . Qua ví dụ minh hoạ trên, ta thấy trong dạy học lập PT,HPT,BPT cần xoái vào hai khâu mấu chốt như sau: + Rèn cho HS khả năng phát hiện những hệ thức giữa những đại lượng đó là cần làm cho HS ý thức được rằng những mối liên hệ giữa những đại lượng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 56 trong bài toán có thể chia thành hai loại: Những mối liên hệ cụ thể ở bài toán đó và những mối liên hệ tổng quát có tính chất qui luật. Thuộc về loại thứ nhất có thể kể : -Năng xuất dự kiến +5 = năng xuất thực tế. -Thơi gian dự kiến -6 = Thời gian thực tế, - Vận tốc ô tô gấp 3 vận tốc xe đạp vv… Thuộc loại liên hệ thứ hai có thể nêu: - Tổng sản lượng = năng xuất x với thời gian sản xuất - đường đi = vận tốc x thời gian (trong chuyển động đều), - nửa chu vi hình chữ nhật= chiều dài + chiều rộng. ….. Trong khi những mối liên hệ loại thứ nhất được nêu ra trong đề toán thì những mối liên hệ loại thứ hai được coi là những kiến thức học sinh phải nắm vững, những mối liên hệ này không được nêu ra trong bài toán, học sinh cần dựa vào vốn kiến thức của mình để phát hiện ra chúng. Người thầy giáo cần nhấn mạnh cho HS, thấy rằng phát hiện những mối liên hệ giữa những đại lượng trong bài toán là cơ sở để lập phương trình giải bài toán đó. Làm như vậy cũng là tập dượt cho HS biết xem xét sự vật trong mối liên hệ với nhau chứ không tách rời nhau một cách cô lập, đó là một yếu tố của tư duy biện chứng. Rèn luyện cho HS khả năng sử dụng những biểu thức chứa biến để biểu thị những tình huống thực tế đó là trong dạy học cần chú trọng cho HS lập phương trình là tập luyện cho họ biểu thị những tình huống thực tế bằng những biểu thức có chứa những biến đại diện cho những đại lượng chưa biết. Cần tập cho HS một mặt biết chuyển từ những tình huống thực tế sang những biểu thức biểu thị chúng và mặt khác biết chuyển từ những biểu thức sang những tình huống thực tế phù hợp với chúng chính vì thế ta nên tiến hành theo từng bước sau: a/ Đặt ấn số. Ẩn số là cái chưa biết, cái phải tìm.Thông thường bài toán yêu càu tìm cái gì (các cái gì ) thì ta đặt cái đó (các cái đó ) làm ẩn (các Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 57 ẩn).Cũng có khi ta đặt những bài toán và với cách đặt ẩn như thế mà phương trình lập nên quá phức tạp hoặc khó khăn thì cần thay đổi cách chọn ẩn hoặc chọn thêm ẩn. Ẩn mà ta chọn phải liên quan đến cái cần tìm và cho phép ta lập phương trình dễ dàng hơn. b/ Lập phƣơng trình. Sau khi đặt ẩn ( nêu điều kiện cho ẩn nếu có ) ta tiến hành biểu thị các đại lượng qua các số đã biết và ẩn số. để lập được phương trình (các phương trình) ứng với bài toán cần giải,ta có gắng hình dung thật cụ thể và rõ ràng điều kiện của bài toán ( quan hệ giữa cái cần tìm,cái chưa biết và những cái đã cho). Trong những trường hợp phức tạp, ta phải phân tích, tách ra từng phần, phiên dịch mỗi phần theo ngôn ngữ đại số,sắp xếp chúng theo một trình tự hợp lí, sau đó kết hợp những phần đã nói để có thể biểu diễn cùng một lượng bằng hai cách khác nhau thành một đảng thức. Như vậy ta sẽ có phương trình. Thông thường ở mỗi bài toán ta đưa ra bao nhiêu ẩn, cần thiết lập bấy nhiêu phương trình. Cũng có những trường hợp ngoại lệ: ta đưa thêm ẩn phụ vào và sau đó khử được ẩn đó đi hoặc có trường hợp dẫn đến PT nghiệm nguyên. Chú ý: trong những bài toán thực tế giải bằng cách lập phương trình (hệ PT,BPT) có những đại lượng liên quan chặt chẽ với nhau khi nói đến đại lượng này ta phải nghĩ ngay đến đại lượng kia dù trong bài toán không nói đến đại lượng quan hệ đó. c/ Trình tự các bƣớc trong lời giải bài toán bằng cách lập phƣơng trình (HPT, BPT) - Chọn ẩn số, xác định điều kiện cho ẩn (nếu có) - Biểu thị các đại lượng qua ẩn số và các số đã cho - Lập phương trình (HPT,BPT) - Chọn nghiệm thích hợp trả lời. Vai trò PT,HPT,BPH đối với đời sống thực tiễn được thể hiện rất phong phú, đa dạng ở nhiều lĩnh vực, Giúp con người giải quyết các bài toán trong cuộc sống như về kinh tế, kỹ thuật,..Thông qua một số ví dụ sau: *Ứng dụng trong bài tập Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 58 +Toán tìm số. Bài toán1. Số trứng ở rổ thứ nhất gấp đôi số trứng ở rổ thứ hai. Nếu bớt đi 20 quả ở rổ thứ nhất và bỏ thêm 10 quả vào rổ thứ hai thì số trứng ở rổ thứ nhất gấp 3 4 lần số trứng ở rổ thứ hai. Tính số trứng ban đầu ở mỗi rổ ? Trước những bài toán thưc tế trên, đ iều quan trọng là phải hướng dẫn học sinh phân tích bài toán để biết được trong bài toán có những đại lượng nào ? quan hệ giữa chúng ra sao ? toán học hoá các đại lượng và các mối quan hệ ấy ? Trong ví dụ của bài toán trên, ta gặp các đại lượng. Số trứng ở rổ thứ nhất (chưa biết) gấp đôi số trướng ở rổ thứ hai (chưa biết) chính vì thế cần chọn ẩn là các đại lượng chưa biết. Ta gọi số trứng ở rổ thứ nhất và ở rổ thứ hai theo thứ tự là x và y (x>y>0) Theo bài ra quan hệ giữa số trứng thêm, bớt ở rổ thứ nhất và rổ thứ hai là bước tiếp theo là toán học hoá các đại lượng và mối quan hệ giữa chúng thì tỉ số giữa số trứng ở hai rổ sau khi thêm bớt là: 3 4 10 20 y x . Từ đó ta lập hệ thống phương trình để giải. Gọi số trứng ở rổ thứ nhất và ở rổ thứ hai theo thứ tự xvà y (x>y và x,y nguyên dương). Theo đầu bài ta có phương trình: 3 4 10 20 2 y x yx Giải ra tìm được x=100; y=50. Thoả mãn điều kiện đầu bài, Vậy rổ trứng thứ nhất có 100 quả, rổ trứng thứ hai có 50 quả. Bài toán2.Tìm hai số biết tổng là 17 và tổng các bình phương của chúng là 157. a/ phân tích tìm lời giải. Nếu ta đặt ẩn với cả hai số là x và y thì ta có ngay hệ phương trình bậc hai 157 17 22 yx yx Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 59 Bài toán trên cố thể sử dụng kiến thức đơn giản hơn,phù hợp với đa phần học sinh, có thể chuyển sang chỉ tìm một số rồi từ đó tìm số kia sau. Vì lẽ đó ta sắp xếp và viết bài toán dưới dạng: Số thứ nhất là x số thứ hai là 17-x Tổng các bình phương của chúng là 157 . Khi đó ta có phương trình: X 2 +(17-x) 2 =157. giải phương trình ta có hai số là 6 và 11 b/ Lời giải (HS tự giải) c/Khai thác bài toán . Đây là loại toán bậc hai, để tạo những bài toán tương tự , ta có thể điều kiện, chẳng hạn 1.Biết hiệu hai số và tổng các bình phƣơng của chúng. 2.Biết tổng hoặc hiệu hai số và tổng hoặc hiệu các nghịch đảo của hai số. Ta có thể thay đổi ẩn nhƣ tìm ba số… Bài toán3.(bài toán cổ) Quýt, cam mười bảy quả tươi Đem chia cho một trăm người cùng vui Chia ba mỗi quả quýt rồi. Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh Trăm người trăm miếng ngọt lành Quýt, cam mỗi loại tính rành là sao? Hướng dẫn giải; Gọi x( quả) là số quả quýt và y là số quả cam. điều kiện: x,y<17;x,y *N Theo đề bài ta có: x+y=17 Chia ba mỗi quả quýt và chia mười mỗi quả cam được một trăm miếng, nghĩa là: 3x+10y=100 Ta có hệ phương trình: 100103 17 yx yx Giải hệ phương trình ta được: x=10; y=7 Hai số x và y tìm được thoả mãn điều kiện của bài toán. Vậy có 10 quả quýt và 7 quả cam. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 60 +Toán năng xuất Bài toán1. Hai công nhân cùng làm một công việc thì sau 5giờ 50 phút sẽ hoàn thành.Sau khi làm chung được 5 giờ thì một người phải điều đi làm việc khác nên người kia phải làm tiếp trong 2giờ nữa mới xong công việc. Hỏi nếu một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu ? Gợi ý. Gọi x, y là số giờ mà mỗi người phải làm một mình sẽ xong công việc thì trong một người thứ nhất làm được x 1 công việc và người thứ hai làm được y 1 công việc (x>0, y>0). cả hai người cùng làm thì trong 5giờ 50 phút hay 5 6 5 giờ sẽ xong công việc thì trong một giờ họ làm được 35 5 6 5 5 1 công việc. Từ đó ta lập hệ phương trình để giải. Giải: Gọi số giờ mà mỗi người phải làm một mình xong công việc là x giờ, y giờ (x>0, y>o). Thì trong một giờ người thứ nhất làm được x 1 công việc, người thứ hai làm được y 1 công việc. Cả hai người cùng làm xong công việc trong 5giờ 50 phút bằng 6 35 giờ. Thì trong một giờ làm được 6 35 1 công việc hay 35 6 công việc, ta có phương trình: 35 611 yx (1) Trong hai giờ làm chung cả hai người làm được 5( yx 11 ) công việc, và người còn lại làm một trong hai giờ tức là làm được y 2 công việc, ta có phương trình: 5( 1 2 ) 11 yyx (2). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 61 Theo đầu bài ta có hệ phương trình: 1 2 ) 11 (5 35 611 yyx yx Giải ra tìm được x=10, y=14 thoả mãn điều kiện bài toán. Vậy. Nếu làm một mình thì người thứ nhất phải làm hết 10 giờ; Người thứ hai phải làm 14 giờ mới làm xong công việc. Bài toán2. Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế gía trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng ? Giải: Giả sử không kể thuế VAT, người mua hàng phải trả x (triệu ) đồng cho loại hàng thứ nhất; y(triệu) đồng cho loại hàng thứ hai. - Khi đó số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất (kể cả thuế VAT10%) là x 100 110 (triệu) đồng, cho loại hàng thứ hai (kể cả thuế VAT 8%) là y 100 108 (triệu) đồng. - Ta có phương trình: 17,2 100 108 100 110 yx 1,1x+1,08y=2,17 (1) Khi thuế VAT là 9% cho cả hai loại hàng thì số tièn phải trả là 18,2)( 100 109 yx hay 1,09x+1,09y = 2,18 (2) Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình: 18,209,109,1 17,208,11,1 yx yx Giải hệ PT ta được: x=0,5 (nhận) Y=1,5 (nhận) Vậy nếu không kể thuế VAT thì người mua hàng phải trả 0,5 triệu đồng cho loại hàng thứ nhất và 1,5 triệu đồng cho loại hàng thứ hai. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 62 Bài toán 3.(bài toán cổ) một người nói với bạn: “ nếu anh đưa tôi 7 đina thì tôi sẽ giàu gấp anh 5 lần”, người bạn trả lời: “ nếu anh cho tôi 5 đina thì tôi sẽ giàu gấp anh 7 lần !”. Hỏi mỗi người có bao nhiêu đina ? Hướng dẫn. bài toán có hai người khi đó gọi người đầu là x, người thứ hai là y. với điều kiện đầu bài dẫn đến hệ phương trình. )5(75 )7(57 xy yx Giải hệ trên ta có : x= 7 17 14 9; 17 2 y Trả lời: người đầu có 7 17 2 đina, người thứ hai có 9 17 14 đina. Bài toán này được lấy trong cuốn “liberabaci” của nhà toán học Italia leonađơ Pizaxnki phibonaxi. Ông sinh ra ở Pida, năm 117. ông đã từng giảng dạy toán học ở angie, sang phương đông làm quan với toán học ẢRập. Chính vì thế mà ông đã có dịp đối chiếu và so sánh giữa nghệ thuật tính toán Ấn độ với 9 kí tự Hindu trong tính toán, ông đã đúc kết những kiến thức “cổ kim” về toán học và quyết định viết cuốn “ Liberabaci