Luận văn Thiết kế hoạt động có ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học một số chủ đề môn toán ở trường THPT

hấy đƣợc sự thay đổi của hệ số góc k. Hình 2.7 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 GV: Từ hình ảnh trực quan, hãy cho biết khi nào thì cát tuyến MN trở thành tiếp tuyến của đồ thị (C)? HS: Khi M dần tới N thì cát tuyến MN cũng thay đổi vị trí. Khi M  N thì cát tuyến MN trở thành tiếp tuyến của đồ thị (C). GV: Quan sát trên màn hình, cho biết MN có phƣơng trình là gì? Từ đó cho biết hệ số góc của MN? HS: MN có phƣơng trình là 3 2y x  , tức là MN có hệ số góc 3 '(1)k y  GV: Cho biết mối quan hệ giữa hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3y x tại điểm M và đạo hàm của hàm số đó? HS: Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại M chính là đạo hàm của hàm số 3y x tại Mx . GV: Phát biểu ý nghĩa hình học của đạo hàm. Ví dụ 8: Cho hàm số 3 1y x kx k    có đồ thị là (Ck), k là tham số. 1. Khảo sát, vẽ đồ thị (C-3) với k = -3 Với k = -3, ta có 3 3 2y x x   HS thực hiện khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. GV dùng Auto Graph để vẽ đồ thị hàm số: nhập hàm số 3 1y x kx k    và chọn k = -3. Ta đƣợc đồ thị (C-3) ( Hình 2.8) 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C-3) và trục hoành *Hoạt động 1: GV hướng dẫn HS giải bài toán trên. GV: Từ đồ thị (C-3), cho biết phần hình phẳng cần tính diện tích? HS: Chỉ ra phần hình phẳng cần tính diện tích. GV: Yêu cầu học sinh tính diện tích hình phẳng đó. HS: Tính toán và đƣợc kết quả 27 4 S  Hình 2.9 Hình 2.8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 * Hoạt động 2: GV minh họa kết quả bài toán bằng AutoGraph + Thực hiện thao tác xác định giao điểm của (C-3) và trục hoành. Trong hộp Results Box có thể thấy tọa độ hai điểm đó là (-1; 0) và (2; 0 ) + Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi (C-3) và trục hoành: Chọn (C-3) và kích chuột phải, chọn Find Area. Hộp thoại Edit Area xuất hiện, ta chọn chức năng Simson’s Rule để tính chính xác diện tích. Ta nhập: Start Point: -1 End Point: 2 Division: 1000 và chọn OK. Khi đó Auto Graph sẽ vẽ miền cần tính diện tích (Hình 2.9) và trong hộp Result Box cho ta kết quả -6.75 Chú ý: Vì phần hình phẳng cần tính diện tích nằm phía dƣới trục hoành nên diện tích cần tìm là 6,75. Đây là một trong những hạn chế của AutoGraph, vì vậy GV và HS trong khi dạy và học không nên phụ thuộc quá nhiều vào phần mềm. 3. Viết phƣơng trình tiếp tuyến với (C-3) biết tiếp tuyến đi qua điểm  1; 5A  *Hoạt động 1: GV hướng dẫn HS giải bài toán trên GV: Yêu cầu HS nhắc lại phƣơng pháp giải bài tập dạng viết phƣơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( )y f x biết tiếp tuyến đi qua điểm  0 0;A x y GV: Phƣơng trình đƣờng thẳng qua  1; 5A  có dạng nhƣ thế nào? HS: Đƣờng thẳng qua  1; 5A  có phƣơng trình dạng: 5 ( 1)y m x   hay - - 5y mx m với m là hệ số góc. GV: Để đƣờng thẳng trên là tiếp tuyến của (C-3) thì cần điều kiện gì? HS: Hệ phƣơng trình sau có nghiệm: 3 2 3 3 2 5 0 2 v 3 153 3 4 x x x mx m x mx m m                   Với 3m   ta có tiếp tuyến cần tìm là: 3 2y x   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 Với 15 4 m  tiếp tuyến cần tìm là 15 35 4 4 y x  *Hoạt động 2 : GV minh họa bài toán trên bằng Auto Graph + Trong hộp thoại Constant Controller chọn 3k   để xác định đồ thị (C-3) + Xác định điểm  1; 5A  trên mặt phẳng tọa độ. + Chọn Enter Equation và nhập phƣơng trình - - 5y mx m + Chọn View\Constart Controller. Hộp thoại Constart Controller xuất hiện. Ta chọn 3k   để xác định (C-3), chọn m để xác định cát tuyến AM. + GV thay đổi các giá trị của m và yêu cầu HS quan sát, nhận xét với những giá trị nào của m thì cát tuyến trở thành tiếp tuyến. HS: Với 15 4 m  (Hình 2.10) và 3m   (Hình 2.11) cát tuyến trở thành tiếp tuyến đúng với kết quả đã tìm ra ở phần đầu. 4. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phƣơng trình 3 3 0x x m   (*) Hướng dẫn HS giải bài toán trên với sự trợ giúp của AutoGraph như sau: GV: Dựa vào đâu để biện luận theo m số nghiệm của (*) HS: Biến đổi phƣơng trình (*) 3 3 (**)x x m   ; khi đó số nghiệm của (*) chính là số nghiệm của (**). Số nghiệm của (**) là số giao điểm của trục hoành và đồ thị (C). GV: Nhƣ vậy số nghiệm của phƣơng trình (*) chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số 3 3y x x  và đƣờng thẳng (): y m  GV dùng AutoGraph vẽ đồ thị các hàm số 3 3y x x  và y m  Hình 2.10 Hình 2.11 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 + Xác định giao điểm của (C) và (). + GV thay đổi các giá trị của m bằng chức năng View\Constart Controller và yêu cầu HS quan sát, nhận xét vị trí tƣơng đối của () và đồ thị (C) ứng với sự thay đổi của m (Hình 2.12) GV: Dựa vào đó kết quả trên, hãy biện luận số nghiệm của (*)? HS: + Với 2m   hoặc 2m  thì (*) có một nghiệm duy nhất + Với 2m   hoặc 2m  thì (*) có một nghiệm đơn và một nghiệm kép + Với 2 2m   thì (*) có ba nghiệm phân biệt. 5. Tìm m để phƣơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 3 3 0x x m   (*) Hướng dẫn HS giải bài toán trên với sự trợ giúp của AutoGraph như sau: GV: Để xác định số nghiệm của (*), ta sử dụng phƣơng pháp đồ thị giống nhƣ ví trên. Vậy ta cần phải làm những gì? HS: B1: Chuyển (*) về dạng 3 3 (**)x x m   . B2: Vẽ đồ thị các hàm số 3 3y x x  và y m  B3: Dựa vào đồ thị hai hàm số trên để chỉ ra số nghiệm (**). GV: Quy trình vẽ đồ thị hàm số  y f x khi đã biết đồ thị hàm số ( )y f x ? HS: Nhắc lại quy trình vẽ đồ thị. Hình 2.12 m > 2 m = 2 -2 < m < 2 m = - 2 m < -2 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 GV: Tuy nhiên, ở đây ta có thể rút ngắn đƣợc thời gian vẽ đồ thị  y f x bằng cách sử dụng AutoGraph. Việc vẽ đồ thị đó HS về nhà tự thực hiện. GV dùng AutoGraph vẽ đồ thị các hàm số 3 3y x x  ; y m  ; đặt tên cho hai đồ thị hàm số trên lần lƣợt là (C) và (d). Xác định giao điểm của (C) và (d). + GV thay đổi các giá trị của m bằng chức năng View\Constart Controller. và yêu cầu HS quan sát, nhận xét các vị trí tƣơng đối của (C) và (d). GV: Dựa vào các nhận xét ở trên, nêu kết luận của bài toán? HS: Với 0 2m  thì phƣơng trình 3 3 0x x m   có 4 nghiệm phân biệt. 6. Tìm các giá trị của k để (Ck) tiếp xúc với đƣờng thẳng (d): 1y x  Hoạt động 1: GV hướng dẫn HS giải bài toán trên GV: (Ck) tiếp xúc với đƣờng thẳng (d): 1y x  khi nào? HS: Khi (d) là tiếp tuyến của (C). GV: Điều kiện để đƣờng thẳng (d) là tiếp tuyến của (C)? HS: Hệ phƣơng trình sau có nghiệm: 3 2 1 1 3 1 x kx k x x k          GV: Giải hệ trên? HS thực hiện giải hệ trên, tìm đƣợc 1 ; 2 4 k k   * Hoạt động 2: GV minh họa bằng AutoGraph + GV mở một trang Auto Graph và vẽ đồ thị các hàm số 3 1y x kx k    (Ck); 1y x  (d). Xác định giao điểm của (Ck) và (d). Hình 2.13 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55 GV thay đổi các giá trị của k bằng chức năng View\Constart Controller. Yêu cầu HS quan sát và cho nhận xét vị trí tƣơng đối của (Ck) và (d). Từ đó HS rút ra kết luận của bài toán. HS: (Ck) tiếp xúc với đƣờng thẳng (d) khi 2k   (hình 2.14) và 1 4 k  (hình 2.15) 7. Tìm k để (Ck) có cực đại và cực tiểu. Khi đó hãy viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu đó * Hoạt động 1: Tìm k để (Ck) có cực đại và cực tiểu. GV: (Ck) có cực đại và cực tiểu khi nào? HS: Khi 2' 3 0y x k   phải có 2 nghiệm phân biệt, tức là 0k  * Hoạt động 2: GV sử dụng Auto Graph để minh họa: + Dùng AutoGraph vẽ đồ thị hàm số 3 1y x kx k    (Ck) +Xác định điểm cực trị trên (Ck): Dùng chức năng View\Constart Controller và thay đổi k để nhận đƣợc (Ck) có cực trị + Kích chuột phải vào (Ck) và chọn Solve f’(x)=0. Lúc này trên (Ck) sẽ xuất hiện hai điểm cực trị. Xác định tọa độ các điểm cực trị bằng cách: kích chuột phải vào một điểm cực trị bất kỳ rồi chọn Text box. Hộp thoại Edit TextBox hiện ra và bấm OK. Lúc này Auto Graph cho ta tọa độ của hai điểm cực trị trên màn hình. ( Hình 2.16) Hình 2.14 Hình 2.15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 56 + GV thay đổi các giá trị của k bằng công cụ View\Constart Controller và yêu cầu HS quan sát sự thay đổi trên màn hình. GV: Với giá trị nào của k thì (Ck) có hai cực trị? HS: Với 0k  thì (Ck) có hai cực trị. * Hoạt động 3: Khi 0k  , hàm số có cực đại và cực tiểu. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó: GV: Phƣơng pháp để viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị đối với hàm số bậc ba? HS: Nhắc lại phƣơng pháp đã đƣợc học và thực hiện giải toán theo phƣơng pháp đã biết. + Chia y cho y’ta đƣợc:  2 1 2 1 2 ' 1 3 1 3 3 3 3 y xy kx k x x k kx k         + Giả sử các điểm cực trị có tọa độ là    1 1 2 2; , ;x y x y khi đó ta có 1 1 1 1 1 1 1 '( ) 0 2 11 2 3'( ) 1 3 3 y x y kx k y x y x kx k           và 2 2 2 2 2 2 2 '( ) 0 2 11 2 3'( ) 1 3 3 y x y kx k y x y x kx k           Từ đó ta thấy tọa độ hai điểm cực trị thỏa mãn phƣơng trình đƣờng thẳng 2 1 3 y kx k   . Vậy đƣờng thẳng đi qua hai điểm cực trị là 2 1 3 y kx k   GV minh họa bằng AutoGraph như sau: + Vẽ đồ thị hàm số: 2 1 3 y kx k   bằng AutoGraph + Thay đổi các giá trị của k bằng công cụ View\Constart Controller và yêu cầu HS quan sát màn hình. Hình 2.16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 57 GV: Từ hình ảnh trực quan, hãy cho biết với giá trị nào của k thì đồ thị (Ck) có hai cực trị và đƣờng thẳng 2 1 3 y kx k   có vị trí nhƣ thế nào đối với hai điểm cực trị? HS: Với 0k  thì (Ck) có hai điểm cực trị và đƣờng thẳng 2 1 3 y kx k   luôn đi qua hai điểm đó. 9. Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Ck) GV: Phƣơng pháp tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số ( , )f x m với m là tham số? HS: Nhắc lại phƣơng pháp giải đã biết và thực hành giải đƣợc kết quả . Vậy tọa độ điểm cố định là:  1;0A  GV minh họa cho kết quả trên bằng Auto Graph: + Mở một trang Auto Graph mới và vẽ đồ thị hàm số 3 1y x kx k    + Chọn View\Constant Controller. Hộp thoại Constart Controller xuất hiện. Ta chọn Option, hộp thoại Edit Constant Options xuất hiện. Ta chọn Family Plot và trong Comma Separated nhập vào một số giá trị bất kỳ. Chọn OK để Auto Graph vẽ một số đồ thị ứng với các giá trị k đã nhập ở Comma Separated. Kết quả nhận đƣợc là hình 2.18 GV: Từ hình ảnh trực quan, hãy nhận xét về điểm cố định của họ đồ thị (Ck)? HS: Điểm cố định của họ đồ thị (Ck) là điểm (-1; 0). Ví dụ 9: Cho hàm số 4 2 2y x mx m    có đồ thị (Cm) 1. Khảo sát, vẽ đồ thị (C-2) với m = -2 Với m =-2 ta có: 4 22y x x  . HS thực hiện khảo sát và vẽ đồ thị (C-2) GV: Kiểm tra lại tính chính xác bằng AutoGraph. Hình 2.18 Hình 2.17 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 58 2. Tìm a để phƣơng trình 4 22 logx x a  có 6 nghiệm phân biệt GV: Việc giải bằng phƣơng pháp khử dấu giá trị tuyệt đối để tìm ra kết quả của bài toán trên là tƣơng đối khó mà HS khó có thể thực hiện đƣợc. Đối với bài toán này, ta có thể sử dụng phƣơng pháp đồ thị để tìm ra lời giải một cách nhanh chóng. GV: Sử dụng sự tƣơng giao của đồ thị hai hàm số, hãy chỉ ra số nghiệm của phƣơng trình 4 22 logx x a  là số giao điểm của đồ thị hai hàm số nào? HS: Số nghiệm của phƣơng trình trên chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số 4 22y x x  và logy a . * Vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số 4 22y x x  GV: Nhắc lại quy trình xác định đồ thị hàm số  y f x khi đã biết đồ thị hàm số ( )y f x ? HS: Nhắc lại quy trình vẽ đồ thị. GV: Hãy xác định đồ thị (C) của hàm số 4 22y x x  ? Ta có: 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 2 2 0 2 2 2 0 x x khi x x y x x x x khi x x             Vì vậy (C) đƣợc vẽ bằng cách giữ nguyên phần đồ thị (C-2) nằm ở phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị của (C-2) nằm ở phía dƣới của trục hoành qua trục hoành. GV: Yêu cầu HS về nhà tự vẽ theo quy trình đã nêu ở trên. Ở đây, với sự trợ giúp của AutoGraph, ta có thể xác định đồ thị (C) một cách nhanh chóng nhƣ sau: GV mở 1 trang AutoGraph mới và vẽ đồ thị hàm số 4 22y x x  . HS quan sát thấy ngay đồ thị (C) trên màn hình. GV: Nhận xét gì về đồ thị của hàm số logy a ? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 59 HS: Vì a là hằng số nên với 0a  thì đồ thị hàm số logy a là một đƣờng thẳng song song với trục hoành, cắt trục tung tại điểm log a . GV dùng AutoGraph vẽ đồ thị hàm số logy a ; xác định giao điểm của hai đồ thị trên. + GV thay đổi các giá trị của a bằng công cụ View\Constart Controller và yêu cầu HS quan sát sự thay đổi của đồ thị hàm số logy a đồng thời nhận xét về sự tƣơng giao của đồ thị hai hàm số trên. GV: Quan sát hình ảnh và cho biết với những giá trị nào của tham số a thì đồ thị (C) và đƣờng thẳng logy a cắt nhau tại 6 điểm phân biệt? HS: 1 10a  GV: Kết luận của bài toán? HS: 4 22 logx x a  có 6 nghiệm phân biệt khi 1 10a  . GV: Dựa vào đồ thị trên, hãy đƣa ra lời giải của bài toán? HS: Đƣờng thẳng logy a cắt đồ thị (C) tại 6 điểm phân biệt khi và chỉ khi 0 log 1 log1 log log10 1 10a a a        3. Tìm m để hàm số có 3 cực trị GV: Điều kiện gì để hàm số có 3 cực trị? HS: Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi ' 0y  có ba nghiệm phân biệt và 'y đổi dấu khi đi qua ba điểm đó 22 (2 ) 0x x m   có 3 nghiệm phân biệt 0m  GV sử dụng AutoGraph để minh họa như sau: + Vẽ đồ thị của hàm số 4 2 2y x mx m    (Cm) bằng AutoGraph Hình 2.19 Hình 2.20 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 60 + Xác định các điểm cực trị của đồ thị (Cm). + Thay đổi các giá trị của m và yêu cầu HS quan sát sự thay đổi của số các điểm cực trị trên đồ thị của hàm số. GV: Quan sát và rút ra kết luận? HS: Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi m < 0 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C-2) và trục Ox * Hoạt động 1: HS giải bài toán trên. GV: Từ đồ thị ý 1. Chỉ ra phần hình phẳng cần tính diện tích? Thực hiện tính diện tích đó? HS: Thực hiện tính toán theo phƣơng pháp đã biết. Kết quả diện tích hình phẳng cần tìm là: 3 2 S  (đơn vị diện tích) * Hoạt động 2: GV minh họa bằng AutoGraph + Xác định giao điểm của (C-2) và trục hoành Trong hộp Results box có thể thấy tọa độ ba điểm đó là: Solution: x=-1,414; y=0,0001916 Solution: x=0,0001206; y=0 Solution: x=1,414; y=0,0001552 + Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi (C-2) và trục hoành. Chọn (C-2) và kích chuột phải, chọn Find Area. Hộp thoại Edit Area xuất hiện yêu cầu, ta chọn chức năng Simson’s Rule để tính chính xác diện tích. Nhập: Start Point: -1,414 End Point: 1,414 Division: 1000 và chọn OK. Khi đó Auto Graph sẽ vẽ miền cần tính diện tích và trong hộp Result Box cho ta kết quả 1,508 . Vì phần hình phẳng cần tính diện tích nằm phía dƣới trục hoành nên diện tích cần tìm là: 1,508 Chú ý: Vì giao điểm với trục hoành tính đƣợc là số gần đúng nên kết quả diện tích hình phẳng cũng là số gần đúng. Hình 2.21 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 61 5. Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi (C-2) và trục Ox khi quay quanh Ox * Hoạt động 1: GV hướng dẫn HS giải bài toán trên GV: Xác định khối tròn xoay cần tính thể tích? Công thức tính thể tích khối tròn xoay đó? HS: Thực hiện tính toán theo công thức đã biết, kết quả thể tích cần tìm là: 1,149V  (đv thể tích ) *Hoạt động 2: GV minh họa bằng AutoGraph + Mở một trang Auto Graph ở chế độ đồ thị 3D; Trong hộp thoại Edit Axes Settings Option và chọn Hide z- axes. + Chọn Enter Equation và nhập phƣơng trình 4 22y x x  và chọn “Plot as 2D” sau đó chọn OK. + Tạo ra miền hình phẳng cần quay: Kích chuột vào đồ thị  chuột phải  Find Area. Hộp thoại Edit Area xuất hiện ta chọn một trong 4 cách tìm diện tích là: Retange(-), Retange (+), Trapedium Rule và Simpson’s Rule. Nhập Start Point: 2 , End Point: 2 Chọn Division: 1000 và chọn OK + Tìm thể tích: Chọn Slow Plot, Auto Graph sẽ tạo ra khối tròn xoay một cách từ từ; chọn miền hình phẳng cần giới hạnchuột phảiFind Volume. Khi đó hộp thoại Edit Volume xuất hiện yêu cầu ta nhập trục mà miền hình phẳng quay quanh. Ta nhập phƣơng trình trục hoành là y = 0 rồi chọn OK. Khi đó trên thanh Status Bar cho kết quả thể tích có dạng 1,149V  6. Viết PT tiếp tuyến với đồ thị (C-2) biết tiếp tuyến song song với đƣờng thẳng (d): 24 1y x  GV: Phƣơng trình đƣờng thẳng song song với (d) có dạng nhƣ thế nào? HS: 24y x m  GV: Để đƣờng thẳng trên là tiếp tuyến của (C-2) thì cần điều kiện gì? Hình 2.22 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 62 HS: Hệ phƣơng trình sau có nghiệm: 4 2 3 2 24 (1) 4 4 24 (2) x x x m x x        HS: Giải hệ trên đƣợc 2x  thay vào (1) đƣợc 40m    phƣơng trình tiếp tuyến cần tìm là: 24 40y x  GV minh họa bằng Auto Graph như sau: + Dùng Auto Graph vẽ đồ thị các hàm số 4 22y x x  ; 24y x m  + GV thay đổi các giá trị của m và yêu cầu HS quan sát, nhận xét với những giá trị nào của m thì đƣờng thẳng 24y x m  tiếp xúc với đồ thị (C-2)? HS: Với 40m   thì đƣờng thẳng 24y x m  tiếp xúc với đồ thị (C-2) đúng với kết quả đã tìm ra ở phần trên. 7. Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm) * Hoạt động 1: GV hướng dẫn HS giải bài toán trên GV: Thực hiện việc tìm điểm cố định của hệ trên? HS: Điểm cố định của họ (Cm) là điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi m. 4 2 4 22 2 ( 1)y x mx m y x m x         Tọa độ điểm cố định là nghiệm hệ phƣơng trình: 4 2 2 0 1 0 y x x        Hệ trên vô nghiệm vì phƣơng trình thứ 2 là vô nghiệm. Vậy (Cm) không đi qua điểm cố định nào. * Hoạt động 2: GV minh họa cho kết quả trên bằng Auto Graph + Dùng Auto Graph vẽ đồ thị hàm số 4 2 2y x mx m    (Cm) + Chọn View\Constant Controller. Hộp thoại Constart Controller xuất hiện. Chọn Option, hộp thoại Edit Constant Options xuất hiện. Chọn Family Plot và trong Comma Separated nhập vào một số giá trị bất kỳ. Hình 2.23 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 63 Chọn OK để Auto Graph vẽ một số đồ thị ứng với các giá trị của tham số m đã nhập ở Comma Separated. Kết quả nhận đƣợc là hình 2.24. GV: Từ hình ảnh nhận đƣợc hãy nhận xét về điểm cố định của họ đồ thị hàm số? HS: Họ đồ thị (Cm) không đi qua bất kỳ điểm cố định nào. Ví dụ 10: Tìm m để hàm số 2 2mx m y x m     (Cm) luôn đồng biến trên tập xác định. * Hoạt động 1: GV hướng dẫn HS giải bài toán trên GV: Tập xác định của hàm số trên? HS:  \D m  GV: Đồ thị (Cm) luôn đồng biến trên tập xác định khi nào? HS: Khi và chỉ khi ' 0,y x m    Ta có 2 2 2 2 ' ( ) m m y x m     ; ' 0y m  vì 22 2 0m m m    Kết luận: m thì đồ thị của hàm số 2 2mx m y x m     luôn đồng biến trên tập xác định * Hoạt động 2: GV minh họa bằng Auto Graph + GV dùng AutoGraph vẽ đồ thị hàm số 2 2mx m y x m     (Cm) + Kích chuột vào đồ thị (Cm) và chọn chức năng Equation  Create Gradient Function  OK. Lúc này Auto Graph sẽ vẽ cho ta đồ thị của đạo hàm bậc nhất ' '( )y f x Hình 2.24 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 64 + GV thay đổi giá trị của m và yêu cầu HS quan sát sự thay đổi của đồ thị của đạo hàm bậc nhất. GV: Nhận xét gì về đồ thị của đạo hàm bậc nhất? HS: Luôn nằm phía bên trên trục hoành m GV: Kết luận gì về dấu của 'y ? HS: ' 0y m  GV: Kết luận gì về tính đơn điệu của hàm số 2 2mx m y x m     ? HS: Luôn đồng biến trên tập xác định. Ví dụ 11: Cho họ parabol   2 2: (2 1) 1mP y x m x m     , chứng minh rằng  mP luôn tiếp xúc với một đƣờng thẳng cố định. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng đó. (Trang 176_ Các bài toán khảo sát và đồ thị hàm số - Trần Văn Hãn – Lê Sĩ Đồng) Thực hiện giảng dạy ví dụ trên với sự hỗ trợ của AutoGraph như sau: * Hoạt động 1: GV dùng AutoGraph để minh họa cho HS kết quả bài toán trên GV dùng AutoGraph vẽ đồ thị hàm số 2 2(2 1) 1y x m x m     . - Chọn View\Constant Controller, chọn Options, hộp thoại Edit Constant Options hiện ra. Trong phần Plotting chọn Family Plot, trong phần Parameters chọn dòng thứ nhất và nhập các thông số Start: - 10 Finish: 10 Step: 0,1 để vẽ các đồ thị của họ  mP với các giá trị của m từ -10 đến 10 Hình 2.25 Hình 2.26 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 65 với bƣớc nhảy là 0,1. Khi đó AutoGraph sẽ cho ta thấy đồ thị của các hàm số ứng với các giá trị của m đó (Hình 2.26) GV: Quan sát hình ảnh trên, có thể rút ra nhận xét gì? HS: Họ đồ thị  mP luôn tiếp xúc với một đƣờng thẳng cố định và có thể thấy đƣờng thẳng này đi qua hai điểm (1;0) và (0;1). GV: Có thể chỉ ra đƣợc phƣơng trình của đƣờng thẳng cố định đó? HS: Đƣờng thẳng đó đi qua hai điểm (1;0) và (0;1) nên suy ra phƣơng trình của nó là 1y x  GV: Từ kết quả đó, hãy đề xuất phƣơng hƣớng giải bài toán trên? ( Dựa vào yếu tố cố định của đƣờng thẳng ) HS: Gọi đƣờng thẳng cần tìm là y Ax B  . Ta tìm A và B để đƣờng thẳng trên tiếp xúc với  mP với mọi m tức là phƣơng trình hoành độ giao điểm 2 2(2 1) 1x m x m Ax B      luôn có nghiệm kép m . Ta có 2 2(2 1) 1x m x m Ax B      2(2 1 ) 1 0x m A x m B        có nghiệm kép m   24 1 2 4 5 0,m A A A B m         2 1 0 1 12 4 5 0 A A BA A B              vậy đƣờng thẳng cần tìm là 1y x  * Hoạt động 2: Dùng AutoGraph để phát triển bài toán trên GV: Đồ thị hàm số   2 2: (2 1) 1mP y x m x m     luôn tiếp xúc với đƣờng thẳng 1y x  m . Nếu ta thay đổi giả thiết của bài toán, đồ thị hàm số  mP có phƣơng trình là 2 2(2 1) 1y ax m x m     với a là hằng số. Khi a thay đổi thì liệu rằng họ đồ thị  mP còn tiếp xúc với đƣờng thẳng nữa hay không? Ta sẽ kiểm tra bằng AutoGraph để tìm ra câu trả lời trên. GV dùng AutoGraph vẽ đồ thị hàm số 2 2(2 1) 1y ax m x m     . Chọn View\Constant Controller, chọn Options, hộp thoại Edit Constant Options Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 66 hiện ra. Trong phần Plotting chọn Family Plot, trong phần Parameters chọn dòng thứ nhất và nhập các thông số Start: -10 Finish: 10 Step: 0,1 để vẽ các đồ thị của họ  mP với các giá trị của m từ -10 đến 10 với bƣớc nhảy là 0,1. Lúc này AutoGraph sẽ mặc định cho 1a  và kết quả nhận đƣợc là hình 2.26. GV thay đổi các giá trị của tham số a bằng chức năng View\Constant Controller và yêu cầu HS quan sát. GV: Từ hình ảnh trực quan, hãy cho biết khi a thay đổi thì họ đồ thị  mP còn tiếp xúc với một đƣờng thẳng nữa hay không? HS: Khi a thay đổi thì dƣờng nhƣ họ đồ thị  mP luôn tiếp xúc với một parabol nào đó. GV: Tƣơng tự phần trên, hãy tìm parabol đó? HS: Gọi parabol cần tìm là 2y Ax Bx C   . Làm tƣơng tự nhƣ phần trên tìm đƣợc 1; 1; 1A a B C     . GV: Khi tham số a thay đổi thì họ đồ thị  mP luôn luôn tiếp xúc với Parabol 2( 1) 1y a x x    . Với 1a  thì chính là kết quả của bài toán ban đầu. Ví dụ 12: Cho hàm số 3 2( 2) 2( 2) ( 3) 2 1y m x m x m x m        có đồ thị  mC . Chứng minh rằng  mC đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng. (Trang 165_ Các bài toán khảo sát và đồ thị hàm số_ Trần Văn Hãn – Lê Sĩ Đồng) Thực hiện giảng dạy ví dụ trên với sự hỗ trợ của AutoGraph như sau: Hoạt động 1: Xác định ba điểm cố định của  mC GV: Nhắc lại phƣơng pháp tìm điểm cố định của họ đồ thị hàm số ( , ),y f x m onsm c t . Thực hành tìm các điểm cố định đó. Hình 2.27 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 67 HS: Nhắc lại phƣơng pháp giải và giải toán bằng phƣơng pháp đã biết. Kết quả ba điểm cố định của  mC là A(-2; 7), B(1; 4), C(-1; 6). Họat động 2: Chứng minh ba điểm cố định thẳng hàng GV: Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng? HS: A, B, C thẳng hằng khi các vector ;AB AC   cùng phƣơng. GV: ;AB AC   cùng phƣơng khi nào? HS: Khi tồn tại số thực k để AB k AC   GV: Xác định số thực k đó? HS: Có (3; 3), (1; 1)AB AC      nên dễ thấy 3k  . Vậy ba điểm cố định của họ đồ thị  mC là thẳng hàng. Hoạt động 3: GV minh họa bằng AutoGraph + Dùng AutoGraph vẽ đồ thị hàm số 3 2( 2) 2( 2) ( 3) 2 1y m x m x m x m 