Luận văn Thiết lập hiệu ứng ảnh hưởng qua lại liên kết spin-Quỹ đạo và điều biến mạng trong mạng tinh thể Lieb thông qua các mode biên

hi không có liên kết spin - quỹ đạo, suy biến bậc 2 theo định lý Kramer đơn giản chỉ là suy biến theo spin lên và spin xuống. Nhưng khi có liên kết spin - quỹ đạo suy biến bậc hai này dẫn tới một hệ quả thú vị. Do Hamiltionian bất biến theo nghịch đảo thời gian nên các trạng thái có động lượng m mk k G  , trong đó G là vector mạng đảo, sẽ suy biến bậc 2. Các trạng thái có động lượng khác không còn suy biến bậc 2 do tương tác spin - quỹ đạo tách chúng ra. Có thể nhận thấy mk nằm trên biên của vùng Brillouin thứ nhất, và thường là các điểm có tính chất đối xứng cao của mạng tinh thể. Trên hình 1.2, hình bên tay trái, các trạng thái liên kết nối với nhau bằng các đường đi qua mức Fermi số chẵn lần. Trong trường hợp này, các trạng thái biên có thể loại đi khỏi các trạng thái liên kết ra khỏi khe năng lượng. Và do vậy các trạng thái điện môi ở biên vẫn mang tính điện môi. Ngược lại, ở hình bên phải của hình 1.2 khi các đường liên kết các trạng thái biên đi qua mức năng lượng Fermi số lẻ lần, các trạng thái biên không làm sao có thể loại bỏ được. Do vậy trạng thái biên mang tính dẫn, mặc dù trạng thái trong khối vẫn là điện môi. Đây chính là trường hợp của chất điện môi tôpô. Vậy theo lý thuyết vùng năng lượng này, một chất điện môi tôpô có tính chất tôpô hay không phụ thuộc vào số lần các trạng thái biên có mức năng lượng cắt mức Fermi là chẵn hay lẻ, nên có thể ánh xạ nó vào nhóm 2Z . Do vậy chất điện môi tôpô theo lý thuyết vùng năng lượng như trên còn được gọi là chất điện môi tôpô 2Z . Kane và các cộng sự đã xây dựng một chỉ số theo nhóm 2Z để xác định một chất điện môi có phải là chất điện 11 môi tôpô hay không [18]. Chỉ số đó chính là bất biến tôpô. Khi chỉ số đó bằng 0, chất điện môi là chất điện môi thông thường, và khi chỉ số đó bằng 1, chất điện môi là chất điện môi tôpô. Lưu ý ví dụ được xét ở trên chỉ có một cạnh biên. Khi hệ có hai cạnh biên số trạng thái biên ứng với tính chất tôpô của khối được tính cho mỗi cạnh biên. Chi tiết cụ thể về chất điện môi tôpô có thể xem trong các tài liệu tổng quan [18]. Đặc tính xác định chất điện môi tôpô này cũng có thể áp dụng cho chất điện môi 3 chiều. Thực nghiệm đã tìm ra chất điện môi tôpô 3 chiều như Bi2Se3, Bi2Te [ 18]. Hình 1.2: Hệ thức tán sắc điện tử giữa hai suy biến Kramer tại 0a  và /b a  . Trong hình (a) số trạng thái qua năng lượng Fermi là số chẵn, trong hình (b) là số lẻ. (Hình lấy từ tài liệu [18]). 12 CHƯƠNG 2. MẠNG TINH THỂ CÓ CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG PHẲNG Vùng năng lượng phẳng là vùng năng lượng không có tán sắc, có nghĩa là nó là một hằng số, không phụ thuộc vào động lượng. Vùng năng lương phẳng xuất hiện trong các mạng tinh thể có cấu trúc khác nhau. Một trog những mạng tinh thể có cấu trúc đơn giản nhất có cấu trúc vùng năng lượng phẳng là mạng tinh thể Lieb. Mạng tinh thể Lieb được quan tâm nghiên cứu khá nhiều, vì ngoài tính chất có cấu trúc vùng năng lượng phẳng, nó còn có cấu trúc tương tự như cấu trúc cơ bản của các chất siêu dẫn nhiệt độ cao chứa oxit đồng. Khi chất điện môi tôpô được phát hiện, mạng tinh thể Lieb lại được quan tâm nghiên cứu và khi kết hợp với liên kết spin-quỹ đạo chúng có khả năng tạo ra trạng thái điện môi tôpô. Do vậy có thể kỳ vọng vùng năng lượng phẳng , liên kết spin-quỹ đạo và tương quan điện tử có thể dẫn đến hiện tượng phân số hóa điện tích như trong hiệu ứng Hall lượng tử phân số. Do vậy trong chương này, trước tiên chúng tôi sẽ trình bày về cấu trúc vùng năng lượng trong mô hình tổng quát. Sau đó cấu trúc mạng tinh thể Lieb sẽ được trinh bày ở mục 2.2. Mô hình liên kết chặt và cấu trúc vung năng lượng sẽ được trình bày ở mục 2.3. Ở mục 2.4, liên kết spin-quỹ đạo sẽ được đưa vào. Cuối cùng mục 2.5 trình bày về điều biến mạng và cấu trúc vùng năng lượng khi có điều biến mạng. 13 2.1. CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG PHẲNG TRONG MÔ HÌNH TỔNG QUÁT Xét một hệ vật lí nhiều hạt có Hamiltonian có dạng tổng quát như sau † IJ I;J ˆ I JH h     (1) trong đó †I và I là toán tử sinh, hủy hạt có spin σ tại ô mạng I, viết ở dạng tổng quát dạng hàng và cột ma trận. Tùy theo số nút mạng trong ô mạng cơ sở mà †I và I có số chiều tương ứng. Chẳng hạn trong một ô mạng cơ sở có l nút mạng tinh thể thì: 1 I l c c                ;  † † †1i lc c    với †ac  và ac  là các toán tử sinh hủy hạt tại nút mạng a trong ô mạng cơ sở (a=1,, l ). Trong biểu thức (1) IJhˆ  là ma trận thông số về Hamiltonian của hệ. Do tính chất Hermite của Hamiltonian, IJhˆ  có tính chất IJ ˆ ˆ JIh h    Xét hệ trong một khối tinh thể có điều kiện biên tuần hoàn. Do có tính chất tuần hoàn, chúng ta có thể thực hiện biến đổi Fourier từ không gian mạng thuận sang không gian mạng đảo 14 1 IikR I k k e N     , trong đó N là số ô mạng cơ sở của mạng tinh thể, IR là vị trí của ô mạng I và k là động lượng tinh thể. Áp dụng phép biến đổi Fourier này vào Hamiltonian ở biểu thức (1) chúng ta thu được † ˆ ( )k k k H h k       trong đó ( ) IJ I;J ˆ ˆ( ) I Jik R Rh k h e    Hamiltonian ˆ ( )h k được gọi là Hamiltonian Bloch. Chéo hóa Hamiltonian Bloch chúng ta thu được các phổ năng lương của một hạt, tức là: ˆ ( ) ( ) ( ) ( )n n nh k k E k k     với ( )nE k , ( )n k là trị riêng và trạng thái riêng của Hamiltonian Bloch. Các hàm số ( )nE k phụ thuộc vào động lượng k được gọi là vùng năng lượng n của hệ. Tập hợp tất cả các hàm số ( )nE k được gọi là cấu trúc vùng năng lượng của hệ. 2.2. MẠNG TINH THỂ LIEB Mạng tinh thể Lieb là mạng tinh thể hình vuông mà mỗi cạnh của nó có thêm một nút mạng ở trung điểm như ở hình 1. Mạng tinh thể Lieb là mạng tinh thể phi Bravais. Có thể chọn ô cơ sở là hình vuông có chứa ba nút mạng A, B, C như hình 2.1. Tham số mạng có thể chọn a=1. Như vậy mạng Bravais của mạng tinh thể Lieb là mạng hình vuông thuần túy với hằng số mạng a=1. 15 Mạng đảo cũng là mạng hình vuông với hằng số mạng 2 a  . Vùng Brillouin là hình vuông với các véc tơ động lượng xk a a      ; yk a a      Hình 2.1: Mạng tinh thể Lieb là mạng tinh thể hình vuông mà mỗi cạnh của nó có thêm một nút mạng ở trung điểm. Ô cơ sở là hình vuông có chứa ba nút mạng A, B, C 2.3. MÔ HÌNH LIÊN KẾT CHẶT TRONG MẠNG TINH THỂ LIEB Mô hình liên kết chặt có Hamiltonian như sau: † ij , i j i j H t c c     trong đó †ic và ic là toán tử sinh hủy electron có spin σ tại nút mạng i. ijt là thông số nhảy nút giữa nút i và nút j trong mạng tinh thể. Ở đây chúng ta chỉ xét nhảy nút giữa các nút mạng tinh thể lân cận gần nhất. Ký hiệu ,i j chỉ hai nút i,j là hai nút mạng tinh thể gần nhất. Trong luận văn này chúng tôi sử dụng t=1 làm đơn vị năng lượng. 16 Áp dụng cách tính cấu trúc vùng năng lượng ở mục 2.1 chúng ta thu được Hamiltonian Bloch như sau:         0 2 2 ( ) 2 2 0 0 0 0 x y x y t k t k h k t k t k                      trong đó   cos 2 k k  Do mạng tinh thể Lieb có 3 nút mạng trong một ô cơ sở cho nên Hamiltonian Bloch là ma trận 3x3. Các trị riêng của Hamiltonian Bloch có thể tìm được từ phương trình đặc trưng           2 2 0 det ( ) det 2 02 0 x y x y E t k t k h E t k E t k E                           k     223 24 x yE Et k k          Giải phương trình đặc trưng trên ta thu được ba nghiệm gốm: E =0 Và hai nghiệm khác 0 là:     22 2 x yE t k k     12 1 cos cos 2 x yt k k    Như vậy chúng ta có thể thống nhất cho mô hình liên kết chặt với nhảy nút lân cận gần nhất cho một vùng năng lượng phẳng nằm giữa hai vùng năng 17 lượng tán sắc. Khi triển năng lượng tán sắc quanh điểm ( , )M   nằm ở góc vùng Brillouin chúng ta thu được: E t q  trong đó q k M  , 1q . Như vậy có thể thấy ở kích cỡ năng lượng thấp, hai vùng năng lượng tán sắc có tính chất của electron Dirac. Hình 2.2 là cấu trúc vùng năng lượng cho mô hình liên kết chặt trong mạng tinh thể Lieb. Có thể thấy một vùng năng lượng phẳng nằm giữa hai vùng năng lượng tán sắc. Hình 2.2: Cấu trúc vùng năng lượng trong mô hình liên kết chặt của mạng tinh thể Lieb, 2.4. LIÊN KẾT SPIN-QUỸ ĐẠO TRONG MẠNG TINH THỂ LIEB 18 Liên kết spin-quỹ đạo là hiệu ứng tương đối của elecron chuyển động trong một thế tương tác. Trong cơ học lượng tử chung ta biết liên kết spin-quỹ đạo có dạng [12,13] 2 1 ( ). 4 soH V p m    trong đó m là khối lượng của electron, V(r) là thế năng, p là toán tử động lượng của electron và  là các ma trận Pauli. Lượng tử hóa lân thứ hai liên kết spin-quỹ đạo chúng ta thu được [13]: , , , ij ij so is js ss H t s s c c      trong đó isc  và isc Là toán tử sinh hủy electron tại nút mạng tinh thể i có spin s. s là trạng thái spin có spin s.  là tensor phản đối xứng toàn phần. ijt  là thông số của liên kết spin-quỹ đạo [13]: ij 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 i j R Rt dr r F r p r r m       trong đó ( ) ( )F r V r  và ( ) iR r là hàm sóng Wannier ở nút mạng tinh thể i. 19 Hình 2.3: Mạng Bravais của mạng tinh thể Lieb là mạng hình vuông, liên kết spin-quý đạo có thông số liên kết lớn nhất khi i,j là các nút mạng lân cận tiếp theo, cụ thể là giữa các nút mạng tinh thể theo đường chéo Thông thường thông số liên kết spin-quỹ đạo giảm rất nhanh khi khi khoảng cách giữa các nút mạng tinh thể i,j xa nhau do hàm sáng Wannier gần như định xứ quanh nút mạng tinh thể. Do tính chất đối xứng điểm của mạng tinh thể mà thông số liên kết spin-quỹ đạo có thể bị triệt tiêu ở một số chỗ. Mạng Bravais của mạng tinh thể Lieb là mạng hình vuông. Do tính chất đối xứng gương qua bất kỳ cạnh nào của hình vuông mà ij 0t   khi i,j là các nút mạng lân cận gần nhất. Vì vậy liên kết spin-quý đạo có thông số liên kết lớn nhất khi i,j la các nút mạng lân cận tiếp theo, cụ thể là giữa các nút mạng tinh thể theo đường chéo, như ở hình 2.3. Hamiltonian của liên kết spin-quỹ đạo này có thể viết như sau ij , so i j i j H i c c       với ij 1  . Trong đó ij 1  khi nhảy nút từ nút i sang nút j ngược chiều kim đồng hồ như ở hình 2.4, ij 1  khi nhảy nút từ i sang nút j thuận chiều kim đồng hồ. Để Hamiltonian có tính chất Hermite và λ là thông số thực chúng ta cần hệ số i (số ảo i2 = -1) ở phía trước. Áp dụng cách tính cấu trúc vùng năng lượng ở mục 2.1 chúng ta thu được Hamiltonian Bloch như sau:         0 2 2 ( ) 2 ( ) ( )2 x y x y t k t k h t k k E E i k kt i E                            k 20 trong đó   4sin sin 2 2 yx kk k   Do mạng tinh thể Lieb có 3 nút mạng trong một ô cơ sở cho nên Hamiltonian là ma trận 3x3. Các trị riêng của Hamiltonian Bloch có thể tìm được từ phương trình đặc trưng               2 2 0 det ( ) det 2 2 x y x y t k t k h E t k i E E i k t k Ek                              k Từ đây chúng ta thu được phương trình:       223 2 2 20 4 x yE Et k k E k             Giải phương trình trên ta thu được nghiệm: E =0 Và hai nghiệm khác 0    2 2 214 1 cos cos 2 x yE t k k k            Hình 2.4 là cấu trúc vùng năng lượng cho mô hình đang xét khi có liên kết spin-quỹ đạo. Chúng ta có thể thấy liên kết spin-quỹ đạo đã tạo ra khe năng lượng cô lập vùng năng lượng phẳng. Khi mật độ số hạt bằng 1/3 (hay 2/3) trạng thái cơ bản là điện môi. Còn khi mật độ số hạt bằng ½ tính chất cơ bản của trạng thái cơ bản do vùng năng lượng phẳng xác định. 21 Hình 2.4: Cấu trúc vùng năng lượng cho mô hình liên kết chặt khi có liên kết spin-quỹ đạo. 2.5. ĐIỀU BIẾN MẠNG TRONG MẠNG TINH THỂ LIEB Nếu trong mô hình liên kết chỉ xét tới điều biến mạng tinh thể thì Hamiltonian có dạng như sau: † ij , i j i j H t c c     trong đó  1ijt t   , với δ đặc trưng cho sự điều biến cấu trúc mạng tinh thể tại nút (i,j) như thể hiện trên hình 2.5 22 Hình 2.5. Cấu trúc mạng tinh thể Lieb khi có điều biến mạng tinh thể trong đó  1ijt t   , với δ đặc trưng cho sự điều biến cấu trúc mạng tinh thể tại nút (i,j) Mạng Lieb có 3 nút mạng trong một ô cơ sở cho nên Hamiltonian Bloch là ma trận sau:         2 0 0 0 2 ) 0 2 2 0 ( x y x y t k t k h t k t k                      k Các trị riêng của Hamiltonian Bloch có thể tìm được từ phương trình đặc trưng là           2 2 0 det ( ) det 2 02 0 x y x y E t k t k h E t k E t k E                           k     223 24 x yE Et k k          trong đó   cos sin , 22 k k k i       2 2 2 2 2 21cos sin 1 (1 )cos 2 2 2 k k k k         Giải phương trình đặc trưng trên ta thu được nghiệm gồm: E =0 Và hai nghiệm khác 0     22 2 x yE t k k    23  2 212 1 (1 ) cos cos 2 x yt k k       Như vậy chúng ta có thể thấy điều biến mạng cũng tạo ra khe năng lượng cô lập vùng năng lượng phẳng giống như liên kết spin-quỹ đạo như ở hình 2.6 Hình 2.6. Cấu trúc vùng năng lượng trong mạng tinh thể Lieb khi có điều biến mạng δ=0.4. Như vậy chúng ta có thể thấy nếu chỉ khảo sát cấu trúc vùng năng lượng của khối thì chúng ta chỉ biết hiệu ứng của liên kết spin-quỹ đạo và hiệu ứng của điều biến mạng giống như nhau. Chúng đều tạo ra khe năng lượng và cô lập vùng năng lượng phẳng ở giữa. Chúng ta không thể biết tính chất tôpô của trạng thái cơ bản từ cấu trúc vùng năng lượng khối. Do vậy ở chương tiếp theo chúng tôi nghiên cứu tính chất tôpô của hệ thông qua các mode biên. 24 CHƯƠNG 3. CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG CHO DẢI BĂNG NANO MẠNG TINH THỂ LIEB Ở chương trước chúng ta đã thây hiệu ứng của liên kết spin-quỹ đạo và của điều biến mạng lên vùng năng lượng phẳng trong khối. Nhưng với cấu trúc vùng năng lượng khối chúng ta không thấy được tính chất tôpô của hệ. Tính chất tôpô của hệ có thể khảo sát thông qua các đặc điểm khác nhau. Một cách khảo sát tính chất tôpô là tính số Chern. Số Chern chính là bất biến tôpô của trạng thái cơ bản. Cách khác là khảo sát các chỉ số mode biên của hệ. Cách làm này trực quan vì nó thể hiện tính chất căn bản của chất điện môi tôpô: trong khối là chất điện môi nhưng trên bề mặt (hay biên) electron lại có khả năng truyền dẫn. Đó chính là tính chất được gọi là nguyên lí tương ứng khối-biên. Tính chất tôpô trong khối phản ánh lên tính chất của các mode biên và ngược lại. Khi đường mode biên cắt mức năng lượng Fermi nó thể hiện mode biên đó có tính chất kích thích không khe. Tương ứng với mỗi biên, nếu số mode biên ở mức năng lượng Fermi là số lẻ thì trạng thái điện môi là tôpô. Ngược lại, nếu số mode biên là số chẵn thì ta có trạng thái điện môi không có tính chất tôpô. Để khảo sát được các mode biên, chúng ta xét một dải băng nano. Dải băng nano được cắt ra từ mạng tinh thể Lieb theo một chiều nào đó, khiến nó 25 có biên tuần hoàn theo một chiều và không có biên tuần hoàn theo chiều kia. Biên không tuần hoàn sẽ tạo ra các mode biên. Trong chương này, trong mục 3.1 chúng tôi sẽ trình bày lí thuyết về cấu trúc vùng năng lượng cho dải băng nano. Tùy theo tính chất của biên không tuần hoàn chúng ta có các cấu trúc vùng năng lượng khác nhau. Các mục tiếp theo chúng tôi tính toán cấu trúc vùng năng lượng cho các dải băng nano có biên không tuần hoàn khác nhau và khảo sát các mode biên để từ đó rút ra tính chất tôpô của hệ. 3.1. LÍ THUYẾT CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG CHO DẢI BĂNG NANO TRONG MẠNG TINH THỂ LIEB Chúng ta xem xét một mô hình liên kết chặt với liên kết spin-quỹ đạo trên mạng tinh thể Lieb, Hamiltonian có dạng: † † ij ij , , , , i j i j i j i j H t c c i c c            Chỉ số nút mạng i trong mạng tinh thể Lieb được đánh số lại bằng chỉ số mạng cơ sở là ( , )x yI I và chỉ số nút mạng a trong ô cơ sở chúng ta quy ước a=1 chỉ nút mạng A, a=2 chỉ nút mạng C, a=3 chỉ nút mạng B ( , , )x yi I I a , 1,2,3.a  Khi đó Hamiltonian được viết lại như sau: † † 0 ( ) ( ) ( ) ( )y y y yIJ I a x J b x ij I a x J b xH t c I c J i c I c J         † † 1 2 1 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y y y yI x I x I x I xt c I c I t c I c I          26 † † 1 2 ,1 1,3( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) .y y y yI x I x I x I xt c I c I t c I c I H c            † † 3 2 2 1,3( ) ( ) ( ) ( )y y y yI x I x I x I xi c I c I c I c I        † † 1,3 2 2 3( ) ( 1) ( 1) ( )y y y yI x I x I x I xc I c I c I c I        Sử dụng phép biến đổi Fourier theo chiều x do điều kiện biên tuần hoàn ta thu được 1 ( ) ( )x Ix y y x ik R I a x I a x kx c I e c I N    trong đó xN là số ô mạng cơ sở tính theo chiều x Chúng ta thu được 1 ( ) † †2 0 1 2 1 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x y y y y ik I ip I ik I ip I I x I x I x I xH t c k c p e t c k c p e               1 ( 1 ) † †2 1 2 ,1 1,3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . x x x x x x x x y y y y ik I ip I ik I ip I I x I x I x I xt c k c p e t c k c p e H c                 1 1 ( ) ( ) † †2 2 3 2 2 1,3( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x y y y y ik I ip I ik I ip I I x I x I x I xi c k c p e c k c p e              1 1 ( 1 ) ( 1 ) † †2 2 1,3 2 2 3( ) ( ) ( ) ( ) . . x x x x x x x x y y y y ik I ip I ik I ip I I x I x I x I xc k c p e c k c p e H c                Lấy tổng theo chỉ số Ix, chúng ta thu được ( )x xk p  . Sau đó lấy tổng theo px , Hamiltonian trở thành: 1 † †2 0 1 2 1 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y y y y ik I x I x I x I xH t c k c k e t c k c k          1 † †2 1 2 ,1 1,3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . x y y y y ik I x I x I x I xt c k c k e t c k c k H c            1 1 † †2 2 3 2 2 1,3( ) ( ) ( ) ( ) x x y y y y ik ik I x I x I x I xi c k c k e c k c k e         27 1 1 † †2 2 1,3 2 2 3( ) ( ) ( ) ( ) . . x x y y y y ik ik I x I x I x I xc k c k e c k c k e H c         Ghép các số hạng có cùng toán tử sinh hủy, chúng ta thu được: 1 1 † 2 2 0 1 2( ) ( ) ( ) ( ) x x y y ik ik I x I xH c k c k t e t e               † † 1 3 ,1 1,3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .y y y yI x I x I x I xt c k c k t c k c k H c           1 1 1 1 † †2 2 2 2 3 2 2 1,3( ) ( ) ( ) ( ) x x x x y y y y ik ik ik ik I x I x I x I xc k c k i e i e c k c k i e i e                            1 1 1 1 † †2 2 2 2 1,3 2 2 3( ) ( ) ( ) ( ) x x x x y y y y ik ik ik ik I x I x I x I xc k c k i e i e c k c k i e i e                           Hay † 0 1 2( ) ( ) 2 cos 2 sin 2 2y y x x I x I x k k H c k c k t i            † † 1 3 ,1 1,3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .y y y yI x I x I x I xt c k c k t c k c k H c           † † 3 2 2 1,3( ) ( ) 2 sin ( ) ( ) 2 sin 2 2y y y y x x I x I x I x I x k k c k c k c k c k                      † † 1,3 2 2 3( ) ( ) 2 sin ( ) ( ) 2 sin 2 2y y y y x x I x I x I x I x k k c k c k c k c k                     Và cuối cùng chúng ta thu được: † † 0 1 2 1 3( ) ( ) 2 cos 2 sin ( ) ( ) ( ) 2 2y y y y x x I x I x I x I x k k H c k c k t i t c k c k                 28 † † 3 2 2 3( ) ( ) 2 sin ( ) ( ) 2 sin 2 2y y y y x x I x I x I x I x k k c k c k c k c k                       † 1,1 ,3( ) ( ) ( ) .y yI x I xt c k c k H c     † † 1,2 ,3 ,3 1,2( ) ( ) 2 sin ( ) ( ) 2 sin 2 2y y y y x x I x I x I x I x k k c k c k c k c k                     Hamiltonian này có thể viết dưới dạng ma trận như sau † 0 , ˆ ( ) x x x k x k k H h k       Ở đây chúng ta đưa vào các chỉ số kép cho chỉ số yI và 1,2,3.a  3( 1)yM a I   Với chỉ số kép xk   có dạng: 11 1 12 2 13 3 21 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x k x x x x c k c k c k c k c k c k c k c k                                            Cột ma trận đầu viết với chỉ số Iy và a tách biệt, cột ma trận sau viết với chỉ số kép chung cho cả Iy và a. Số chiều của cột ma trận này phụ thuộc vào số ô ma trận cơ sở tính theo chiều y và điều kiên biên không tuần hoàn. Chúng ta sử dụng chỉ số kép để cho Hamiltonian Bloch có dạng chính tắc của ma trận vuông, thuận tiện cho tính số tìm các trị riêng của ma trận. Cấu trúc vùng năng lượng của dải băng nano chính là các trị riêng của Hamiltonian ˆ ( )xh k . Sử dụng thư viện LAPACK trong lập trình bằng ngôn 29 ngữ FORTRAN77 chúng ta có thể tính các trị riêng của ˆ ( )xh k . Trong mục sau chúng tôi trình bày các kết quả tính số. 3.2. CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG CHO DẢI BĂNG NANO VỚI HAI BIÊN THẲNG Dải băng nano với hai biên thẳng không tuần hoàn theo trục y có dạng như hình 3.1. Hình 3.1: Dải băng nano với hai biên thẳng theo chiều y Gọi Ny là số ô cơ sở tính theo trục y. Khi đó số chiều ma trận của Hamiltonian Bloch là Mt x Mt với Mt = 3Ny + 2. Trong tính số chúng tôi tính cấu trúc vùng năng lượng với Ny = 20. 30 Hình 3.2: Cấu trúc vùng năng lượng của dải băng nano có hai biên thẳng khi không có liên kết spin-quỹ đạo và điều biến mạng Hình 3.2 thể hiện cấu trúc vùng năng lượng của dải băng nano có hai biên thẳng khi không có liên kết spin-quỹ đạo lẫn điều biến mạng (λ=0, δ=0). Cấu trúc vùng năng lượng cho thấy rõ có ba vùng năng lượng, trong đó có một vùng phẳng. Ở lân cận xk  , hệ thức tán sắc của electron cũng tuyến tính với động lượng như chúng ta đã phân tích ở cấu trúc vùng năng lượng của khối. Ở đây chúng ta không thấy có mode biên. Khi mật độ số hạt bằng 1/2 , mức năng lượng Fermi nằm trên chính vùng năng lượng phẳng. Nếu thêm các tương tác khác chúng có thể tạo ra hiện tượng như: sắt từ phẳng, hiệu ứng Kondo phân tử[8-11] 31 Hình 3.3: Cấu trúc vùng năng lượng của dải băng nano có hai biên thẳng khi có liên kết spin-quỹ đạo và không có điều biến mạng Hình 3.3 thể hiện cấu trúc vùng năng lượng cho dải băng nano khi chỉ có thêm liên kết spin-quỹ đạo (λ≠0, δ=0). Chúng ta vẫn thấy có ba vùng năng lượng trong đó có một vùng phẳng. Nhưng khác với trường hợp trước, vùng năng lượng phẳng bị tách khỏi hai vùng năng lượng còn lại. Giữa chúng là khe năng lượng. Như vậy hiệu ứng của liên kết spin-quỹ đạo là tạo ra khe năng lượng cô lập vùng năng lượng phẳng. Tính chất này chúng ta đã thấy trong cấu trúc vùng năng lượng của khối. Nhưng bên cạnh đó, chúng ta cũng thấy có hai mode biên. Khi hệ có mật độ số hạt bằng 1/3 (hay 2/3) trạng thái cơ bản là điện môi do mức năng lượng Fermi nằm trong khe năng lượng do liên kết spin-quỹ đạo tạo ra. Ở đó có một mode biên tương ứng với mỗi thành phần spin cắt mức năng lượng Fermi hai lần. Do dải băng nano có hai biên, nên ứng với mỗi biên chúng ta có một mode biên kích thích không khe. Như vậy trạng thái điện môi khi mật độ số hạt bằng 1/3 (hay 2/3) là trạng thái điện môi tôpô. Kết quả nay phù hợp với các kết quả nghiên cứu công bố đã biết [1]. 32 Hình 3.3: Cấu trúc vùng năng lượng của dải băng nano có hai biên thẳng khi không có liên kết spin-quỹ đạo và có điều biến mạng Hình 3.3 thể hiện cấu trúc vùng năng lượng cho dải băng nano khi chỉ có điều biến mạng (λ=0, δ≠0). Cũng giống như trương hợp trước, điều biến mạng tạo ra khe năng lượng cô lập vùng năng lượng phẳng. Như vậy ở mật độ số hạt 1/3 (hay 2/3) trạng thái cơ bản là điện môi. Nhưng khác với trường hợp trước, mode biên bị cô lập trong khe năng lượng chúng không tạo ra kích thích biên không khe. Do vậy trạng thái điện môi có mật độ số hạt bằng 1/3 (hay 2/3) là trạng thái có tính chất tôpô tầm thường (hay đơn giản gọi là không tôpô). Kết quả này phù hợp với các kết quả đã công bố trên thế giới [1]. 33 Hình 3.4. Cấu trúc vùng năng lượng với liên kết spin-quỹ đạo ấn định (λ=0.4) và điều biến mạng thay đổi (δ=0.2, 0.4, 0.6, 0.8). Chúng ta nhận thấy vùng năng lượng phẳng đã biến mất và vùng năng lượng cho các thành phần spin của electron trở nên khác nhau. Khi điều biến mạng nhỏ (δ<0.5) mode biên cắt mức năng lượng Fermi hai lần trạng thái điện môi có tính chất tôpô. Nhưng khi điều biến mạng lớn (δ>0.5) mode biên lại bị cô lập và trạng thái cơ bản thành điện môi thường, không c