Luận văn Thống kê bose - Einstein biến dạng Q tổng quát

a thấy 2ˆ( ) n   ; 2ˆ( ) n   là các hàm riêng của toán tử Nˆ tƣơng ứng với trị riêng là (n-2); (n+2). Mở rộng cho tất cả : 3 4ˆ ˆ ˆ( ) ,( ) .....( ) p n n n       của toán tử Nˆ sẽ lần lƣợt tƣơng ứng có trị riêng là (n-3), (n-4),....,(n-p). Và 3 4ˆ ˆ ˆ( ) ,( ) .....( ) p n n n         sẽ lần lƣợt tƣơng ứng có trị riêng là ( n+3), (n+4),..., (n+p), với p =1,2,3 ...với p khác q. Như vậy những giá trị riêng có thể có của Nˆ là những số nguyên, không âm (n=0,1,2,3...) Kí hiệu vecto trạng thái riêng chứa n lƣợng tử của toán tử Nˆ là n , hệ thức (1.13) đƣợc viết lại nhƣ sau : Nˆ n n n ˆ ˆˆ ( 1)N n n n    (1.14) ˆ ˆˆ ( 1)N n n n   (1.15) 7 Phổ năng lƣợng của dao động tử xác định bởi phƣơng trình hàm riêng, trị riêng của Hˆ ˆ 1ˆ. 2 1 . 2 n n n H n E n N n E n n n E n                    Ta suy ra 0 0 1 1 0 2 2 1 3 3 2 1 1 0 . 0 0 0 2 2 1 1 1 . 1 1 1 . 2 2 1 1 2 . 2 2 2 2. . 2 2 1 1 3 . 3 3 3 3. 2 2 .... n E E n E E E n E E E n E E E                                                                    Các trạng thái dừng của dao động tử điều hòa có năng lượng gián đoạn, giữa hai trạng thái tiên tiếp thì hiệu số năng lượng luôn là   . Hạt có năng lượng  được gọi là phonon. Phonon không phải là hạt thực , mà là chuẩn hạt có spin bằng không thuộc loại boson. Chúng ta thấy khi tác dụng các toán tử ˆ  và ˆ lên các trạng thái n lúc này thu đƣợc công thức ˆ 1 ;(n 0) ˆ 1 1 ;(n 0) ˆ 0 0 n n n n n n                 (1.16) 8 Nhƣ vậy , việc nêu lên số lƣợng tử n hoàn toàn tìm đƣợc trạng thái của dao động tử. Số lƣợng tử tăng lên ( giảm đi) một thì tƣơng ứng năng lƣợng của nó cũng tăng lên ( giảm đi) một lƣợng  . Ngƣời ta gọi n là trạng thái n phonon. Các phonon là các kích thích nguyên tố của dao động tử . Dao động tử ở trạng thái n đƣợc biểu diễn nhƣ một hệ có n phonon ( n ) . Lúc nàyˆ (hoặc ˆ  ) tác dụng lên n làm giảm số phonon đi một đơn vị (hoặc làm tăng số phonon lên một đơn vị ) gọi là toán tử hủy phonon ( hoặc toán tử sinh phonon).Tác dụng của Nˆ lên n cho giá trị riêng bằng số phonon n. . Nhƣ vậy toán tử Nˆ mang ý nghĩa là toán tử sốphonon. Tác dụng n lần liên tiếp toán tử sinh ˆ  lên trạng thái 0 ta có hàm sóng trạng thái : 1 ˆ 0 ! nn n   (1.17) Ta có thể chứng minh (1.17) bằng cách sử dụng ˆ 1 1n n n    và nếu thay n bằng giá trị (n-1) khi đó ˆ 1n n n    suy ra ˆ 1n n n     Hoàn toàn tƣơng tự khi thay lần lƣợt n bằng các giá trị (n-2), (n-3),...., (n-n) thì ta tìm đƣợc các trạng thái ˆ 2 1 1 n n n       , ˆ 3 2 2 n n n       ....., Thay vào ˆ 1n n n     , ta đƣợc:    ˆ ˆ ˆ1 0 0 . 1. 2. 3.... 3 2 1 ! n n n n n n n n n n            9 1.2. Hệ nhiều hạt đồng nhất 1.2.1. Nguyên lý bất khả phân biệt các hạt đồng nhất Nếu có hệ N hạt có các đặc trƣng nhƣ điện tích , khối lƣợng , spin ,... không phân biệt đƣợc với nhau thì chúng ta có hệ N hạt đồng nhất. Trong hệ nhƣ vậy thì làm thế nào để phân biệt đƣợc hai hạt với nhau? Trong vật lí cổ điển đối với trƣờng hợp tƣơng tự ngƣời ta có thể phân biệt các hạt theo trạng thái của chúng nghĩa là nêu ra các xung lƣợng hoặc tọa độ của từng hạt. Từ đó mỗi hạt có những quỹ đạo khác nhau trong quá trình chuyển động . Trong vật lí lƣợng tử, một đặc thù rất cơ bản của việc quan sát các hiện tƣợng xảy ra trong thế giới vi mô là chúng ta không thể dùng trực giác để nhận biết đƣợc. Hàng loạt các quy luật mới xuất hiện, kéo theo sự thay đổi một số khái niệm đã đƣợc hình thành đối với vật lí cổ điển. Ví dụ một hạt có xung lƣợng xác định thì tọa độ không xác định và ngƣợc lại, hay thừa nhận rằng một hạt chuyển động không có quỹ đạo rõ rệt. Do vậy không phân biệt đƣợc từng hạt có số lƣợng tử nội giống nhau, riêng biệt trong một hệ nhiều hạt. Vì vậy nó đƣợc phát biểu ở dạng nguyên lý “ Các trạng thái của hệ nhiều hạt đồng nhất phải là các trạng thái bất biến đối với bất kì phép hoán vị nào giữa các hạt”[3] 1.2.2. Các trạng thái đối xứng và phản đối xứng. Kí hiệu toán tử hoán vị hạt i và hạt k với nhau là ikPˆ và kí hiệu là hàm sóng miêu tả trạng thái của hệ N hạt có số lƣợng tử nội giống nhau ( hạt đồng nhất)    1,...,i,...,k...,N, t i,k  Lúc đó ik ik Pˆ (i ,k) (k ,i); Pˆ (k ,i) (i ,k)     10 Phƣơng trình cho hàm riêng và trị riêng của toán tử ikPˆ ikPˆ (i,k) (i,k)  Do vậy  2 2ik ik ik ikˆ ˆ ˆ ˆP (i ,k) (i ,k) P P (i,k) P (k,i) (i,k)        Từ đây suy ra trị riêng của ikPˆ là 1  Do đó, các hàm riêng của toán tử hoán vị ikPˆ đƣợc chia thành hai lớp: -Với 1  có ikPˆ    . Lớp hàm đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kì gọi là hàm phản đối xứng , lúc này các hạt sẽ tuân theo thống kê Fermi - Dirac. -Với 1 có ikPˆ    . Lớp hàm không đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kì gọi là hàm đối xứng , lúc này các hạt sẽ tuân theo thống kê Bose- Einstein . Tính chất đối xứng và phản đối xứng của hàm sóng phụ thuộc vào tính chất nội tại của một hạt. Pauli đã chứng minh rằng hàm sóng của hệ các hạt bose hay các boson ( spin nguyên 0, 1, 2...) không thay đổi dấu khi ta hoán vị hai hạt i,k tùy ý nên gọi là hàm sóng đối xứng, ví dụ nhƣ các hạt photon, K- meson.... Còn hàm sóng của hệ các hạt Fermi hay các fermion ( spin nửa nguyên 1/2, 3/2...) thay đổi dấu khi ta hoán vị hai hạt i, k tùy ý nên gọi là hàm phản đối xứng ,ví dụ nhƣ các hạt electron.... Minh họa cho trƣờng hợp hệ gồm hai hạt (N=2) . Giải phƣơng trình Schrodinger (1, 2, t) Hˆ (1, 2, t) i . t     (1.18) 11 Hàm sóng  1,2, t mà hệ thu đƣợc không mang tính đối xứng hoặc phản đối xứng. Ta có    ik 12ˆ ˆ(i,k) P (k,i) 2 ,1 , t P 1, 2, t      là nghiệm phƣơng trình Schrodinger . Lúc này ta thể viết 1 2 12 ˆc (1, 2, t) c P (1, 2, t)     cho ta c1,c2 tùy ý cũng là nghiệm của phƣơng trình Schrodinger Trƣờng hợp hai hạt là boson lúc này thì 1 2 c c c  thì ta có hàm sóng s là hàm không thay đổi dấu khi ta hoán vị hai hạt (1,2) hay là hàm đối xứng. s 12 ˆc P (1,2, t) (1,2, t)      Trƣờng hợp hai hạt là fermion lúc này thì , 1 2 c c c   thì ta có hàm sóng a là hàm thay đổi dấu khi ta hoán vị hai hạt (1,2) hay là hàm phản đối xứng a ' 12 ˆc P (1,2, t) (1,2, t)      Hoàn toàn tƣơng tự trong trƣờng hợp xét cho cả hệ N hạt bất kì đồng nhất (N2), ta có thể viết đƣợc hàm sóng tổng quát cho trƣờng hợp hàm không đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kì ( hàm đối xứng s ) và hàm thay đổi dấu khi hoán vị một cặp hạt bất kì ( hàm phản đối xứng a ) s P ˆc P (1,2,3,4,....,i....,k,....,N, t)   (1.19) a , P P ˆc ( 1) P (1,2,3,4,....,i....,k,....,N, t)    (1.20) Với kí hiệu P  là tổng theo mọi phép hoán vị i,k theo N!, Pˆ là toán tử hoán vị giữa các hạt bất kì. 12 1.2.3. Dao động tử Boson 1.2.3.1. Ngƣng tụ Bose - Einstein “Ngưng tụ Bose- Einstein là hiện tượng chuyển pha của các hạt boson, trong đó một lượng lớn các hạt boson cùng tồn tại trên cùng một trạng thái lượng tử, có mức năng lượng thấp nhất, khi nhiệt độ nhỏ hơn nhiệt độ chuyển pha.”[1] Hiện tƣợng này đƣợc dự đoán bởi Einstein vào năm 1925, dựa trên ý tƣởng về một phân bố lƣợng tử cho các phonon đƣợc đƣa ra bởi Bose. Nhƣng phải đến năm 1995 Eric A.Cornell và Carl E.Wieman mới tiến hành thực nghiệm. Hai ông đã kết hợp laser và nam châm làm lạnh mẫu rubidium từ nhiệt độ T đến nhiệt độ âm 273,150C. Khi đó có số lƣợng lớn các hạt boson (có spin nguyên) ở cùng trong một trạng thái cơ bản giống nhau. Vài chục năm trƣớc đây ít ai nghĩ rằng có thể tạo ra ngƣng tụ Bose – Einstein với nhiều hứa hẹn về ứng dụng vào khoa học và công nghệ. Năm 2005, những bộ óc thông minh nhất mới tập trung tìm hiểu kỹ hơn về cách ứng dụng các công trình của ông, và nhận thấy rằng cơ sở của nhiều công nghệ chính là ngƣng tụ Bose – Einstein. Einstein đã phát triển phƣơng pháp thống kê cả với những hạt có khối lƣợng và không có khối lƣợng. 1.2.3.2. Các hệ thức giao hoán của các toán tử sinh, hủy củacác hạt Boson Khi nghiên cứu bài toán hệ hạt vĩ mô, chúng ta rất hay sử dụng biến của hàm sóng là số hạt ở cùng trạng thái đơn hạt và lúc này toán tử của các đại lƣợng vật lí đƣợc biểu diễn thông qua toán tử sinh hạt và hủy hạt. Đây cũng chính là nội dung chỉ đạo của phƣơng pháp biểu diễn số hạt . Hạt boson có spin nguyên, không bị ràng buộc bởi nguyên lí Pauli cũng có toán tử sinh hủy thỏa mãn 13 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, . . 1             (1.21) ˆ ˆ ˆ ˆ, , 0              Lúc này hoàn toàn tƣơng tự , ta có ˆ ˆNˆ    ˆ ˆNˆ, ˆ ˆNˆ,               Các toán tử này đƣợc thực hiện trong không gian Fock. Khi đó ở trạng thái 0 và n ta có : n ˆ 0 0 ˆ( ) n 0 (n 0,1,2,...) n!       Đối với hệ nhiều hạt, ở các trạng thái khác nhau có thể mở rộng : ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ, , 0                               (1.22) Để biết đƣợc hạt thỏa mãn hệ thức (1.22) là boson hay fermion? Chúng ta đi xét các trạng thái ;  của hệ hai hạt với  ≠  . ˆ ˆ 0 ˆ ˆ 0                  (1.23) Ở trạng thái không chứa hạt ( chân không ) là 0 . (1.25) cho ta : ˆ ˆ ˆ ˆ                Từ việc suy luận ở trên cho ta thấy các véc tơ trạng thái   ,   của hệ hai hạt có lƣợng tử nội nhƣ nhau có tính đối xứng khi hoán vị hai hạt. Vậy 14 các hạt trong hệ là boson. Lúc này trị riêng của ˆ ˆNˆ         trong trạng thái  nhận mọi giá trị n = 0,1,2,3.....N. 1.3. Thống kê Bose-Einstein Trong nội dung này chúng ta đi trình bày việc xây dựng thống kê Bose - Einstein nhƣ sau: Giá trị trung bình của đại lƣợng F và tƣơng ứng với nó là toán tử Fˆ [7] i i i i 1 1ˆ ˆ ˆ.( .N .N) .(H .N) kT kT 1 1ˆ ˆ ˆ.( .N .N ) .(H .N ) kT kT ˆ ˆTr F .e Tr F .e Fˆ Tr e Tr e                                    (1.24) Với : iHˆ -toán tử Hamiltonian, i i ˆ ˆH N  Sử dụng toán tử số Nˆ thay cho Fˆ i i i i 1 1ˆ ˆ ˆ.( .N .N) .(H .N) kT kT 1 1ˆ ˆ ˆ.( .N .N ) .(H .N ) kT kT ˆ ˆTr e .N Tr e .N Nˆ Tr e Tr e                                    (1.25) Gọi tổng thống kê i 1 ˆ.(H .N ) kTZ Tr e         i 1 ˆ.(H .N) kT ˆTr e .N Nˆ Z        (1.26) Tính mẫu số Z của (1.26) : 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ.( .N .N ) .( .N .N ) 0 i i kT kT n Z Tr e n e n                 15 1 .( ).n 0 1 .( ).n 0 i i kT n kT n n e n e n n               Do 1n n  nên 1 .( ).n 0 i kT n Z e       Đặt i ( ) x kT     i 1 .( ).n n.xkT n 0 n 0 Z e e         0.x 1x 2x 3x nxe e e e ...... e      1x 2x 3x 4x nx x 1 1 e e e e ...... e 1 e          Ta có   1 .( ) 1 1 . .( ) 1 1 1 1 1 i i i kT x kT kT e Z e e e                (1.27) Vì :   n ˆ ˆTr F n F n Tính tử số của (1.26) : i i 1 1ˆ ˆ ˆ.( .N .N) ( ) N ) kT kT n 0 ˆ ˆTr .e N n e N n             16 i i 1 .( ).n kT n 0 1 .( ).n kT n 0 n e n n e n n n           Do n n 1 Nên : i i 1 1ˆ ˆ.(H N ) .n( ) kT kT n 0 ˆTr e N e n            i i i i 1 1 1 1 .1( ) .2( ) .3( ) .n( ) kT kT kT kT0 1e 2e 3e ... ne           Đặt  i 1 x . kT     i 1 .( ).n n.xkT n 0 n 0 e n n.(e )           1x 2x 3x nx0 1e 2e 3e ... ne      x 2x 3x nxe 2e 3e .... ne     ' 1 2 3 4 ( 1)(1 ... )x x x x x n xe e e e e e          Ta lại có : 1 2 3 4 ( 1). 1 (1 ... ) 1 x x x x n x x e e e e e e        Do vậy :   ' 2 1 . 1 1 x x x x e K e e e         Tử số của (1.26) là : 17 i i i i i 1 1 .( ) .( ) 1 x kT kTˆ ˆ.(H N ) kT 2 2x 2 1 1 .( ) .( ) kT kT e e eˆTr e N (1 e ) 1 e 1 e                                (1.28) Thế (1.27),(1.28) vào (1.26) :   1 .( ) 2 1 .( ) 1 1.( ) . 1 .( ) 1 1ˆ ˆˆ 1 1 i i i i i kT kT kT kT kT e e N e e e                                1 . 1ˆ 1kT N e       1 1e      (với 1 kT   ) (1.29) Vậy Ở cùng một mức năng lƣợng, số hạt trung bình xác định bằng biểu thức (1.29) là biểu thức của phân bố thống kê Bose - Einstein đối với hệ hạt boson. 18 KẾT LUẬN CHƢƠNG 1 Qua việc trình bày nội dung của chƣơng này, tôi đã đạt đƣợc : - Nghiên cứu đƣợc phổ năng lƣợng của dao động tử và thấy đƣợc hạt có năng lƣợng  đƣợc gọi là phonon. Phonon không phải là hạt thực, mà là chuẩn hạt có spin bằng không. - Nghiên cứu đƣợc các tính chất của toán tử sinh hủy và cách áp dụng nó trong hệ hạt đồng nhất. - Nghiên cứu đƣợc hàm phân bố thống kê Bose- Einstein 19 CHƢƠNG 2 THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN BIẾN DẠNG q 2.1. Lý thuyết q-số - Định nghĩa q -số ký hiệu [n]q   1 n n q q q n q q      (2.1) Chú ý hoàn toàn áp dụng đƣợc khi ta thay bằng nghịch đảo 1 q q  + Trƣờng hợp q=e và  thực, ta có : 1 x x x x q q q e e x q q e e                  (2.2) + Trƣờng hợp iq e  và  thực , ta có :   1 x x i x i x i iq q q e e x q q e e               (2.3) + Một số ví dụ cụ thể về q-số 2 2 1 1 0 0; 1 1; 2 q q q q q q q q q                    3 3 2 2 1 3 1 q q q q q q q             - Tính chất1: Khi 1q  ( hoặc 0  ) thì 1 lim qq x x      - Tính chất 2:          . 1 . 1 q q q q q m n n m m n     20 Chứng minh:         ( 1) ( 1) 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 . 1 . . 1 . m m n n q q n n m m q q q q q q m n q q q q q q q q n m q q q q                         Suy ra           ( ) 1 . 1 . 1 m n m n q q q q q q q m n n m m n q q             - Tính chất 3:    ! 1 . 2 ..... 1 . q qq q q n n n            + Một số hàm cơ bản:  0 . ( . ) ! n n q n q a x e a x n      2. 0 1 sin ( ) ( 1) . 2 1 ! n n q n q x x n          2. 0 cos ( ) ( 1) 2. ! n n q n q x x n     + Các kiểu số biến dạng   1 1, ( 1) .x x x q x x p q q q x q q q p x q p               (2.4) 2.2. Dao động tử biến dạng q Để bắt đầu tìm hiểu về dao động tử biến dạng q, ta tìm ma trận của các toán tử sinhˆ  và toán tử hủyˆ của dao động tử điều hòa nhƣ sau Ta có 21 ˆ ˆ ˆ ˆ, , 0 ˆ ˆ, 1 ˆ ˆˆ ˆ ˆ 1 ,(n 0) ˆ 1 1 ,( 0) N N n n n n n n n n n n                                     (2.5) Giả sử ma trận của toán tử sinhˆ  ( hủyˆ ) của dao động tử đƣợc biểu diễn 00 01 02 10 11 12 20 21 22 00 01 02 10 11 12 20 21 22 ˆ ˆ                                                 Xét ma trận hàng m, cột n mn m,n 1 ˆm n n 1.        Mà m,n 1 1 khi m n 1 m n 1 0 khi m n 1            Do đó mn n 1 khi m n 1 0 khi m n 1           Tƣơng tự ta có: mn m,n 1 ˆm n n.      22 Mà m,n 1 1 khi m n 1 m n 1 0 khi m n 1            Do đó mn n khi m n 1 0 khi m n 1          Vậy, tìm đƣợc ma trận của toán tử sinhˆ  ( hủyˆ ) và toán tử Nˆ 0 0 0 1 0 0ˆ 0 2 0                  0 1 0 0 0 2ˆ 0 0 0 3                 (2.6) 0 0 0 0 1 0ˆ ˆNˆ 0 0 2                 Bằng cách thay các số nguyên   q n n , với ký hiệu   1 n n q q q n q q      vào các ma trận ˆ ˆ,  ta thu đƣợc ma trận của toán tử biến dạng q.     q q q 0 0 0 1 0 0 ˆ 0 2 0 ...                   23     q q q 0 1 0 0 0 2ˆ 0 0 0                       q q q 0 0 0 0 1 0 Nˆ 0 0 2                    (2.7) Hoàn toàn tƣơng tự, ta cũng có đƣợc các hệ thức toán tử sinh (hủy) và toán tử số Nˆ trong dao động tử biến dạng q. ˆˆ ˆ ˆ ˆ. ˆ ˆ ˆ ˆ, , 0 ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ 1 ˆ ˆˆ , ˆ ˆˆ , N q q q q q q q q q q q q q q q q q q N N N N                                                            (2.8) Các biểu thức đại số (2.8) có véc tơ trạng thái q n thỏa mãn phƣơng trình ˆ q q q N n n n    Với q n là vecto trạng thái do q ˆ  tác dụng liên tiếp lên trạng thái chân không 0 24 ˆ( ) 0 ! n q q q n n       (2.9) Và toán tử sinh, hủy ˆ ˆ, q q   tác dụng lên véc tơ cơ sở  ˆ 1 1 ˆ 1 q q q q q q q q n n n n n n           (2.10) Với q là tham số biến dạng, nhận các giá trị thực và nếu q=1 thì các biểu thức đại số (2.8) trở về dạng chuẩn tức là có dạng đại số Heisenberg – Weyl thông thƣờng.[7] 2.3. Phổ năng lƣợng của dao động tử biến dạng q Hoàn toàn tƣơng tự , khi tìm phổ năng lƣợng của dao động tử biến dạng q ta đi biểu diễn pˆ và qˆ theo ˆ ˆ,q q   và Nˆ ˆ ˆˆ ( ) 2 m ˆ ˆˆ ( ) 2 q q q q q m p i             , Ta có   1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ, 2 . .( ). 2 . ( ) 2 . ( ). 2 . .( )q q q q q q q qp q i m i m m m                           ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ.( ) i . 1q q q q q q i N N               Hamiltonian của hệ lúc này là 25 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 ˆˆ ˆ 2 2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) 2 m. ( ) q q q q m p H q m m i m m                             1 ˆ ˆ ˆ ˆ2 . .( ) q q q q          ˆ ˆ ˆ 1 2 q q H N N           (2.11) Vì      ˆ 1 . 1 2 nq q nq q q q H n E n n n n E n      Do vậy , phổ năng lƣợng của nó: .( 1 ) 2 n q q E n n           (2.12) Hệ thức (2.12) cho thấy phổ năng lƣợng dao động tử biến dạng q, q=e (với q, - thực ) không cách đều, giãn rộng khi n tăng và có giá trị gián đoạn, Emin = 0 . 0. 2 E    2.4. Tính phi tuyến của dao động tử biến dạng q Mô tả dao động tử biến dạng q dao động phi tuyến , với q=eτ . Từ (2.12) ta có 1 ( ) 1 2 . 2 2 n sh n E sh         (2.13) Khai triển   q n theo chuỗi Taylor theo τ2 khi  nhỏ :        1 2 3 1 4 2 5 1 2 3 5 76 360 7 10 3 15120 31 49 21 3 ... q n n n n n n n n n n n               26 Lúc này phổ năng lƣợng dao động điều hòa biến dạng q và thế năng dao động tử điều hòa phi tuyến có thể viết : 32 61 1 1 ... 2 24 2 6 n E n n                           (2.14) 2 4 6 8 0 ( ) . . . . ...V x V k x x x x        (2.15) Trong đó các hệ số λ, μ, ξ < k, lúc này coi thế năng là tổng của thế năng dao động tử điều hòa và các số hạng nhiễu loạn. Sử dụng lí thuyết nhiễu loạn để tính phổ năng lƣợng của nó, ta có  2 3 30 1 1 1 1 ( )(2 25. ) ( ) 6 245 ( ) .20 ( ) .70 2 2 2 2 n E E n k n n n               (2.16) Từ (2.14) và (2.16) ta có : 2 2 2 61( ) ( ). . ..... 2 8 120 V x x x      (2.17) Biểu thức (2.17) chứng tỏ dao động tử biến dạng q là một dao động phi tuyến . Nếu 1 ( 0)q   từ (2.12) sẽ thu đƣợc phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa tuyến tính quen thuộc [8] 1 2 n E n        2.5. Thống kê Bose - Einstein biến dạng q Trong nội dung này chúng ta đi trình bày việc xây dựng thống kê Bose - Einstein biến dạng q nhƣ sau:. Sử dụng công thức tính giá trị trung bình của đại lƣợng vật lí F tƣơng ứng toán tử Fˆ đối với phân bố Gibbs suy rộng 27 i i i i 1 1ˆ ˆ ˆ.( .N .N) .(H .N) kT kT 1 1ˆ ˆ ˆ.( .N .N ) .(H .N ) kT kT ˆ ˆTr F .e Tr F .e Fˆ Tr e Tr e                                    (2.18) Thay toán tử số hạt vào (2.18) từ đó tìm đƣợc số boson trung bình trong một trạng thái lƣợng tử i i 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ.(H .N) .( .N .N) kT kT 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ.(H .N) .( .N .N) kT kT ˆ ˆTr e N Tr e N Nˆ Tr e Tr e                                    (2.19) Trƣớc hết ta tính tử số B của biểu thức (2.19): 1 ˆ ˆ.( .N ) 1 ˆ ˆ.( .N ) 0 ˆ . ˆ . i i H kT H kT n B Tr N e n N e n                   1 .( ). ) 0 1 .( ). 1 0 1 1 .( ) .( ) 1 0 0 . . . 1 1 . . i i i i n kT q n n n n kT n nn kT kT n n n n e n q q e q q q e e q q q                                                  Đặt 1 .( ) 1 0 . i n kT n B q e              , và 1 .( ) 2 0 1 . i n kT n B e q              Xác định B1 1 1 .( ) .( ) 1 0 0 . lim 1. . i i n n k kT kT k n n B q e q e                         28 1 1 .( ) 1 1 .( ) 11 .( ) 1 . lim 1 . (*) 1 . i i i k kT kT k kT q e B q e q e                          Hoàn toàn tƣơng tự 1 1 1 .( ) .( ) 1 1 2 0 . 1 . (**) i i n kT kT n B q e q e                          Thay (*) và (**) vào công thức tính tử số B của biểu thức, ta có: 1 1 1 1 .( ) .( ) 1 1 1 1 . 1 . i i kT kTB q e q e q q                                  1 .( ) 1 1 1 1 1 1 .( ) .( ) 2. .( ) 1 ( ). . 1 . . i i i i kT kT kT kT q q e q q q e q e e                      1 .( ) 1 1 1 .( ) .( ) 2. .( ) 11 . . i i i i kT kT kT kT e q e q e e                   (2.20) Tiếp tục đi tính mẫu số của (2.19): 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ.( .N .N ) .( .N .N ) 0 i i kT kT n Z Tr e n e n                 1 .( ).n 0 1 .( ).n 0 i i kT n kT n n e n e n n               Do 1n n  nên 29 1 .( ).n 0 i kT n Z e       Đặt i ( ) x kT     i 1 .( ).n n.xkT n 0 n 0 Z e e         0.x 1x 2x 3x nxe e e e ...... e      1x 2x 3x 4x nx x 1 1 e e e e ...... e 1 e          Ta có   1 .( ) 1 1 . .( ) 1 1 1 1 1 i i i kT x kT kT e Z e e e                (2.21) Từ (2.19), (2.20) và (2.21) ta tìm đƣợc i i i 1 ˆ ˆ.(H .N) kT 1 .( ) kT 1 11 ˆ ˆ 2. .( ) .( ).(H .N) 1kT kTkT ˆTr N.e e 1 Nˆ e (q q ).e 1Tr e                          Hàm thống kê Bose - Einstein biến dạng q [5] thu đƣợc là 1 .( ) 1 1 2. .( ) .( ) 1 1 ( ) ( ). 1 i i i kT i kT kT e f e q q e                 .( ) 2. .( ) .( )1 1 ( ) ( ). 1 i i i i e f e q q e                   ( với 1 kT   ) (2.22) Khi ta cho giá trị q =1 lúc này hàm ( ) i f  đƣợc viết lại 30 ( ) 2. ( ) ( )1 1 ( ) ( ). 1 i i i i e f e q q e                   .( ) 2. .( ) .( ) .( ) 2 .( ).( ) 1 2. 1 1 1 11 i i i i ii e e e e ee                                 Hàm      1 1 1 1 1 i i i kT f e e             lúc này là chính là hàm Bose - Einstein mà chúng ta thƣờng gặp 31 KẾT LUẬN CHƢƠNG 2 Ở chƣơng này tôi đã trình bày các khái niệm và một số tính chất về lý thuyết q -số, từ đó là cơ sở để khảo sát phổ năng lƣợng và tính phi tuyến của dao động tử biến dạng q. Tìm hiểu nghiên cứu hàm thống kê Bose -Einstein biến dạng q, và tìm lại đƣợc hàm phân bố Bose- Einstein quen thuộc khi cho q=1 32 CHƢƠNG 3 PHÂN BỐ THỐNG KÊ BOSE - EINSTEIN BIẾN DẠNG q TỔNG QUÁT 3.1. Dao động tử có thống kê vô hạn Dao động tử boson và dao động tử fermion đƣợc đặc trƣng bởi các hệ thức : ˆ ˆ ˆ ˆ 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1               Từ các hệ thức trên, O.W. Greenberg [9] đã đƣa ra ý tƣởng mới là trung gian của