Luận văn Tích bện chuẩn và các nhóm con sylow của nhóm đối xứng

ập. Mệnh đề 1.2.2. Cho X là một tập hợp và K là nhóm đối xứng của X. Giả sử : G Kh → là một đồng cấu nhóm từ G đến K. Khi đó có một tác động của G lên X cho bởi ( )(( ) )xg x g h= với mọi x X∈ , g G∈ . Chứng minh. Với mọi g G∈ , ta đặt ( )gh g h K= ∈ . Cho 1 2, và g g G∈ x X∈ , vì h là đồng cấu nên 1 2 1 21 2 1 2 ( ) ( ) .( )g g g gh g g h g h g h h h= = = . Vì vậy 1 2 1 2 1 21 2 1 2 ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( )( )g g g g g gxg g x h h x h h x h x g g= = = = . Vì h là đồng cấu nên ( ) 1e Xh e h= = . Do đó ( ) ( ) ( )1e Xx e x h x x= = = .  Ví dụ 1.2.3. Nhóm G tác động tầm thường lên tập X như sau : với mọi , ,g G x X∈ ∈ ta đặt xg x= . Ví dụ 1.2.4. Cho G là một nhóm . Khi đó G tác động lên chính nó bằng phép liên hợp như sau : Với ,g a G∈ , ta dùng kí hiệu a g• . Cho tác động của g lên a , và đặt 1a g g ag−• = , ta gọi 1g ag− là liên hợp của a bởi g . 11 Ví dụ 1.2.5. Cho G là một nhóm . Kí hiệu X là tập các tập con của G. Khi đó nhóm G tác động lên tập X bằng phép nhân sau : với g G∈ và H X∈ , ta dùng kí hiệu H g• cho tác động của g lên H, và đặt H g Hg• = . Trước khi trình bày một số ví dụ khác về tác động của nhóm lên tập hợp , ta có những kết quả sau đây. Bổ đề 1.2.6. Cho G là nhóm và A là nhóm con của G . Với mỗi g G∈ , đặt { }1 1 :g Ag g ag a A− −= ∈ . Khi đó 1g Ag− là nhóm con của G. Chứng minh. Ta có 1e g eg−= . Vì thế 1g Ag− ≠ ∅ . Do đó cho 1 1 1, g ag g bg g Ag− − −∈ với mọi ,a b A∈ . Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( )g bg g ag g b gg ag g b a g g Ag− − − − − − − − −= = ∈ . Vì vậy 1g Ag− là nhóm con của G. Cho A là nhóm con của một nhóm G. Nhóm con B của G được gọi là liên hợp với A nếu tồn tại g G∈ sao cho 1B g Ag−= . Bổ đề 1.2.7. Cho A là nhóm con của một nhóm G . Nếu B liên hợp với A và C liên hợp với B thì C liên hợp với A. Chứng minh. Theo giả thiết tồn tại , g l G∈ để 1 1,B g Ag C l Bl− −= = . Suy ra ( ) ( )11 1( )C l g Ag l gl A gl−− −= = . Do đó C liên hợp với A.  Ví dụ 1.2.8. Cho G là nhóm và A là nhóm con của G. Kí hiệu X là tập các nhóm con của G liên hợp với A. Khi đó G tác động lên X bằng cách liên hợp như sau: với mỗi ,g G B X∈ ∈ , đặt 1B g g Bg−• = . Chứng minh. Theo Bổ đề 1.2.6 và 1.2.7 ta có 1 , G, Bg Bg X g X− ∈ ∀ ∈ ∈ . 12 Với , , Bg l G X∈ ∈ ta có 1B e e Be B−• = = và ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 ( )B gl gl B gl l g Bg l g Bg l B g l− − − −• = = = • = • • . Vì vậy qui tắc trên là một tác động của G lên X.  Bổ đề 1.2.9. Cho G là nhóm và X là G- tập . Với x X∈ , đặt { }/ .xG g G xg x= ∈ = Khi đó xG là nhóm con của G. Chứng minh. Cho x X∈ . Vì xe x= nên xe G∈ . Cho , xg l G∈ , khi đó xg x= và xl x= . Vì thế ( ) ( )x gl xg l xl x= = = . Suy ra xgl G∈ . Mặt khác, cho xg G∈ . Khi đó xg x= , nên ( ) ( )1 1 1.x xe x g g xg g xg− − −= = = = Suy ra 1 xg G − ∈ . Vậy xG là nhóm con của G.  Nhóm con xG được định nghĩa trong Bổ đề 1.2.9 được gọi là nhóm con đẳng hướng của phần tử x . Định nghĩa 1.2.10. Cho G là nhóm, X là G – tập và x X∈ . Đặt { }( ) /G x xg g G= ∈ . Khi đó ( )G x là bộ phận của x . Ta gọi ( )G x là quỹ đạo của x trong X. Ví dụ 1.2.11. Xét các tác động chính quy của G lên chính nó : , , Ga g ag g a• = ∀ ∈ , kí hiệu ( )G a G= là quỹ đạo của a . Với , l G∈ ta có ( ) ( )1l a a l G a−= ∈ . Do đó ( )G a G= . Vì thế tác động này chỉ có một quỹ đạo, đó là G. Nhóm con đẳng hướng ứng với a là { } { }: aG g G ag a e= ∈ = = . Ví dụ 1.2.12. Xét các tác động tầm thường của nhóm G lên một tập X : x g x• = , với mọi ,g G x X∈ ∈ . Với x X∈ , quỹ đạo của x là ( ) { } { }/G x x g g G x= • ∈ = . 13 Vì thế, mỗi quỹ đạo gồm đúng một phần tử . Nhóm con đẳng hướng ứng với x là { }/ .xG g G x g x G= ∈ • = = Ví dụ 1.2.13. Xét tác động của nhóm G lên chính nó bằng phép liên hợp: 1a g g ag−• = với mọi ,a g G∈ . Với a G∈ , quỹ đạo của a là ( ) { } { }1/ /G a a g g G g ag g G−= • ∈ = ∈ . Nhóm con đẳng hướng ứng với a là { } { } ( )1/ / .aG g G g ag a g G ag ga C a−= ∈ = = ∈ = = Với C(a) là tâm hóa tử củaa . Do đó ( )C a G= khi và chỉ khi ( )a Z G∈ , với ( )Z G là tâm của G. Ví dụ 1.2.14. Kí hiệu X là tập các nhóm con của một nhóm G. Xét tác động G lên tập X bằng phép liên hợp : với mọi g G∈ và với mọi H X∈ ta có 1H g g Hg−• = . Với H X∈ , quỹ đạo của H là { }1 /g Hg g G− ∈ - tập các nhóm con liên hợp với H. Nhóm con đẳng hướng của H là { }/ ( )H GG g G gH Hg N H= ∈ = = , với ( )GN H là chuẩn hóa tử của H trong G. Mệnh đề 1.2.15. Cho G là nhóm và X là G – tập, các phát biểu sau đây là đúng (i) G( x )≠∅ với mọi x X∈ . (ii) ( ) x X X G x ∈ =  . (iii) ( ) ( )G x G y= hoặc ( ) ( )G x G y∩ =∅ với mọi ,x y X∈ . 14 Chứng minh. (i),(ii).Vì ( )x xe G x= ∈ nên ( )G x ≠∅ , với mọi x X∈ . Vì vậy, ( ) x X X G x ∈ =  . (iii). Giả sử ( ) ( )G x G y∩ ≠∅ . Khi đó tồn tại ,g l G∈ sao cho xg yl= . Suy ra 1 1x xe xgg ylg− −= = = . Cho ( )xa G x∈ với mọi a G∈ , ta có ( )1( )xa y lg a G y−= ∈ . Do đó ( ) ( )G x G y≤ . Chứng minh tương tự ( ) ( )G x G y≥ . Vì vậy ( ) ( )G x G y= .  Mệnh đề 1. 2.15 chỉ ra rằng tập các quỹ đạo trong X là một phép phân hoạch trong X. Định lý 1.2.16. Cho G là nhóm , X là G – tập và x X∈ . Kí hiệu x G G là tập các lớp ghép phải của nhóm con đẳng hướng xG . Khi đó tương ứng : x Gf G ( ) G x→ cho bởi ( )xf G g xg= là một song ánh . X là tập hữu hạn , khi đó chỉ số của xG chính là số phần tử của quỹ đạo ( )G x . Hơn nữa , ( )1 ,G x ( )2G x ( ),..., tG x là các quỹ đạo đôi một rời nhau trong X thì ( ) ( ) 1 1 : i t t i x i i X G x G G = =  = = ∗ ∑ ∑ , trong đó X là cấp của X và : , 1,2,.., ixG G i t  =  là chỉ số nhóm con đẳng hướng ixG . Chứng minh. x x x GG g G l G= ∈ . Khi đó 1 xlg G − ∈ . Suy ra 1xlg x− = , do đó xl xg= . Vì thế f là ánh xạ. Rõ ràng f là toàn xạ. 15 Mặt khác, { }ker / .x xf G g xg x G e= = = nên f là đơn ánh. Suy ra f là song ánh. Giả sử X là tập hữu hạn . Khi đó quỹ đạo ( )G x là tập hữu hạn với mọi x X∈ . Do f là song ánh nên [ ]: ( )xG G G x= với mọi x X∈ .  Công thức ( )∗ trong Định lý1. 2.16 ta có ( ) ( ) ( ) ( )\ : : a a Z G G G C a Z G G C a ∈∆ ∈∆ = = +      ∑ ∑ . (1) Do đó (1) gọi là công thức các lớp. Với ∆ là tập con của G sao cho ( )( )aG a ∈∆ là họ các quỹ đạo đôi một dời nhau. Chú ý 1.2.17. Giả sử G là nhóm hữu hạn và X là G- tập . Với x X∈ theo Định lý 1.2.16 số phần tử quỹ đạo ( )G x bằng chỉ số nhóm con đẳng hướng xG , vì thế nó là ước của cấp G. Sử dụng Định lý 1.2.16 ta có công thức sau đây. Mệnh đề 1.2.18. Nếu H, K là các nhóm con của một nhóm hữu hạn G thì ta có . .HK H K H K∩ = . Chứng minh. Kí hiệu X là tập các lớp ghép phải của H trong G. Xét tác động K lên nhóm X bằng phép nhân : Ha g Hag• = , với mọi ,Ha X g K∈ ∈ . Nhóm con đẳng hướng ứng với He X∈ là { } { }/ /HeK g K Heg H g K g H H K= ∈ = = ∈ ∈ = ∩ . Vì thế chỉ số nhóm con đẳng hướng ứng với He là K H K∩ . 16 Kí hiệu He K• là quỹ đạo của He. Khi đó { }/He g Hg g K• = ∈ . Mặt khác H g có H phần tử và ,Hg Hg≠ thì ,Hg Hg∩ =∅ , với mọi ,,g g K∈ . Hơn nữa , { }/, g K Hg Hg g K HK ∈ = ∈ =  .Vì thế số phần tử của quỹ đạo He K• là HK H . Theo Định lý 1.2.16 ta có . HK K H H K = ∩ Suy ra . .HK H K H K∩ = .  Mệnh đề 1.2.19. Cho G là nhóm hữu hạn và H G≤ . Khi đó số các nhóm con của G liên hợp với H bằng chỉ số của ( )GN H trong G. Do đó số các nhóm con của G liên hợp với H là ước của cấp G. Mệnh đề 1.2.20. Cho G là một nhóm hữu hạn . (i) Nếu ,H K G≤ sao cho H K thì ( )GK N H≤ . (ii) Nếu ,H K G≤ thỏa H là nhóm con duy nhất cấp m của K thì H K . Hơn nữa, ( ) ( )G GN K N H≤ . (iii) Nếu H, K liên hợp với nhau trong G thì ( ) ( ),G GN K N H cũng liên hợp với nhau trong G. Chứng minh. (i) Lấy x K∈ thì do H K nên 1x Hx H− = , do đó x∈ ( )KN H , suy ra ( )GK N K≤ . Hơn nữa, K G≤ nên 1 ,x Hx H− = x∀ ∈G , suy ra ( )Gx N H∈ . Vì vậy ( )GK N H≤ . (ii) Vì H K≤ nên với mọi x K∈ , ta có 1x Hx K− ≤ , mà 17 1x Hx H m− = = , nên theo tính duy nhất nhóm con cấp m của K, suy ra 1x Hx H− = . Do đó H K . Nếu ( )Gy N K∈ thì 1 .y Ky K− = Do H K≤ nên 1 .y Hy K− ≤ Mà 1y Hy H m− = = nên theo tính duy nhất nhóm con cấp m của K thì 1 .y Hy H− = Do đó ( )Gy N H∈ , vì vậy ( ) ( )G GN K N H≤ . (iii) Giả sử tồn tại 1: Hx G x x K−∈ = . Khi đó ta có ( )1 Gy x N H x−∈ , suy ra ( )1 Gxyx N H− ∈ . Do đó, 1 1xyx H Hxyx− −= hay 1yx Hx− = 1x Hxy− nên ( )1Gy N x Hx−∈ hay ( )Gy N K∈ .Vậy ( )1 Gx N H x− ≤ ( )GN K . Tương tự ta có ( ) ( )1 G Gx N H x N K− ≥ . Do đó ( )1 Gx N H x− = ( )GN K . Vì vậy ( ) ( ),G GN K N H liên hợp với nhau trong G.  Định nghĩa 1.2.21. Một tác động G lên tập X gọi là bắc cầu nếu X ≠∅ và thỏa một trong các điều kiện tương sau: (i) Với mọi , ,x y X g G∈ ∃ ∈ sao cho xg y= . (ii) Với : G( ) =x X x X∈ , trong đó ( )G x là quỹ đạo của phần tử x đối với nhóm G. Như vậy, một tác động G lên tập X có tính bắc cầu nếu nó chỉ có duy nhất một quỹ đạo là X. Định lý 1.2.22. (Định lý Calley) Mọi nhóm đều nhúng được vào nhóm đối xứng . Chứng minh . Cho G là nhóm bất kì và g G∈ . Định nghĩa ánh xạ : G G , GgR x→ ∀ ∈ , đặt ( ) gx R xg= . 18 Kiểm tra gR là một song ánh . Thật vậy, với mọi , sao cho ( )R ( )Rg gx y G x y∈ = , nên ta có xg yg= , suy ra x y= . Do vậy, gR là đơn ánh. Mặt khác, mọi ,y G∈ đặt 1. x y g−= . Khi đó , 1( )R ( )gx yg g −= y= nên R g là toàn ánh. Suy ra R g là song ánh. Vậy R g GS∈ . Định nghĩa ánh xạ : G S Gψ → như sau : với mọi G,g∈ đặt ( ) gg Rψ = . Ta sẽ chứng minh ψ là đơn cấu nhóm . Thật vậy, với mọi 1 2 1 21 2 1 2 1 2 , , ( ) R ( ) ( )g g g gg g G g g R R g gψ ψ ψ∈ = = = . Suy ra ψ là đồng cấu nhóm . Mặt khác, { }, ker : ( ) RG G g Gid S g G g idψ ψ∈ = ∈ = = . Do đó ( )R gx xg x= = , suy ra g e= . Vì vậy ψ là đơn cấu nhóm. Do đó, theo Định lý về sự đẳng cấu nên ta có Im SGG ψ≅ ⊂ .  Bổ đề 1.2.23. Với mỗi tập hợp X , nhóm đối xứng XS trên tập X tác động tự nhiên lên tập Y như sau: • ( )y g y g= với mọi , Xy Y g S∈ ∈ . Chứng minh. Cho , ,Xg h S y Y∈ ∈ . Ta có •1 ( )1X Xy y y= = và ( )( • ) • ( ) • (( ) ) ( ) • ( ).yy h g y h g y h g hg y gh= = = =  Định lý 1.2.24. (Bổ đề Burnside) Giả sử một nhóm hữu hạn G tác động lên một tập hữu X. Với mỗi phần tử g G∈ , kí hiệu Fix( g ) là số phần tử của X cố định qua tác động của g , tức là số phần tử của tập hợp { }( ) ( , ) /Fix g x g X G xg x= ∈ × = . Gọi m số G- quỹ đạo trên X , khi đó 19 ( ) g G Fix g m G ∈= ∑ . Chứng minh . Gọi T là tập sắp thứ tự ( , )x g X G∈ × sao cho , và g G x X xg x∈ ∈ = . ,x X∀ ∈ số các phần tử sao cho ( , ) Tg G x g∈ ∈ chính là xG . Do đó, x x X T G ∈ = ∑ (1). Với mọi g G∈ , số phần tử ( , ) Tx X sao cho x g∈ ∈ chính là ( )Fix g . Do đó ( ) g G T Fix g ∈ = ∑ . (2). Từ (1), (2) ta có 1 1 ( )x x X g G G Fix g G G∈ ∈ =∑ ∑ . Gọi ( ) ( ) ( )1 2, ,...,G mG x G x x là các quỹ đạo .Vì ( ) ( ) , i jG x G x i j∩ =∅ ∀ ≠ và ( ) 1 X= m i i G x =  , nên ta có 1 2( ) ( ) ( ) ... m x x x x x X x G x x G x x G x G G G G G G G G∈ ∈ ∈ ∈ = + + +∑ ∑ ∑ ∑ , với mỗi 1,2,...,i m= theo Định lý 2.16 ta có ( )i x x G x G G∈ ∑ bao gồm ( )iG x số hạng , mỗi số hạng bằng 1 ( )iG x , suy ra ( ) 1 i x x G x G G∈ =∑ .Vì vậy, {1,2,...i∀ ∈ },m , suy ra ( )x x X g G G Fix g m G G∈ ∈ = =∑ ∑ .  20 1.3. p - nhóm hữu hạn Định nghĩa1.3.1. Cho p là số nguyên tố và H G≤ (i) Nhóm G được gọi là p - nhóm hữu hạn nếu cấp của G là một lũy thừa của p , tức là tồn tại số nguyên dương n sao cho nG p= . (ii) Nhóm H được gọi là p - nhóm con của G nếu H là một p - nhóm. (iii) Giả sử G n= và P là p - nhóm con của G sao cho mP p= với p không là ước của m n p . Khi đó P được gọi là p - nhóm con Sylow của G. Định lý 1.3.2. (Định lý Cauchy) Cho G n= , p là số nguyên tố thỏa p |n. Khi đó G chứa phần tử cấp p và do đó G chứa nhóm con cấp p . Chứng minh . Chúng ta sẽ chứng minh kết quả này bằng phương pháp quy nạp theo cấp của G. Do p | n nên tồn tại số nguyên dương k sao cho n pk= . Với 1k = thì G là nhóm cylic cấp p , như vậy Định lý đúng. Với 1k > thì ta chọn , e g G g r≠ ∈ = khi đó xảy ra các trường hợp sau : Trường hợp 1: Nếu p là ước của r , r pm= , với m là số nguyên dương, thì phần tử mg e≠ có cấp là p , p là số nguyên tố và ( )m p rg g e= = . Trường hợp 2: Xét các trường hợp còn lại , p không là ước của r . Gọi H là nhóm con xylic sinh bởi phần tử g . Do G là nhóm aben nên H là nhóm con chuẩn tắc , nên ta có nhóm thương G/H có cấp G r . Do đó | G p r , nên theo giả thiết quy nạp nhóm thương G/H có phần tử cấp p , chẳng hạn phần tử a H. Nếu , a G a q∈ = thì ( )q qaH a H H= = . Từ đó suy ra p là ước của q , 21 ta quay về trường hợp 1. Như vậy định lý đã cho đúng với k . Như vậy theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh.  Định lý 1.3.3.( Định lý Sylow thứ nhất) Cho . nG p m= với ( , ) 1m p = và n là số nguyên dương, p là số nguyên tố . Giả sử tồn tại 1k ≥ sao cho k n≤ . Khi đó tồn tại trong G nhóm con cấp kp . Nói riêng , trong G tồn tại các p - nhóm con Sylow . Chứng minh. Gọi S là tập tất cả các tập con có đúng kp phần tử của G và kS p= . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! . 1 ... 1 .( 1)...2.1! ! k n n n n n k p k kk n kp m p m p m p m p m p S C p pp p m p − − + = = = −− 1 1 . kp n n k i p m ip m i − − = − = ∏ Ta có ( )modn np m i i p− ≡ − . Suy ra ( )mod ,n jp m i i p− ≡ − :1j j∀ ≤ ≤ k n≤ . Giả sử ( ) 1 1 0 mod kp n i p m i p i − = − ≡∏ (*). Ta gọi ( )1 2, ,..., 1 1kri i i r p≤ ≤ − là những số thỏa ( )0 mod ,1n tp m i p t r− ≡ ≤ ≤ . Nên tjt ti p l= , suy ra ( )0 modti p≡ , với ( ), 1tl p = và 1 1tj k≤ ≤ − . Khi đó t t t j n jn n t t t j t tt p m i p m p l p m l i lp l −− − − = = , với ( )0 mod .tn j tp m l p− − ≡/ 22 Do đó, 1 1 1 1 1 . k k tn jp pn nr t i t it p m i p m l p m i i l i −− − = = = − − − =∏ ∏ ∏ , { }1 2, ,..., ri i i i∉ (**). Vì vậy tất cả các thừa số trong tử số của (**) đều không chia hết cho p . Điều này trái với giả thiết (*), nên ( ) 1 1 0 mod kp n i p m i p i − = − ≡/∏ . Do đó, 1n kp S− +  . Xét ánh xạ ( ) { } sao cho , |S G S A g Ag ag a A× → = ∈ . Ta kiểm tra được đây là một tác động của nhóm G lên tập S: (i) .1 , .A A A S= ∀ ∈ (ii) ( )1 2 1 2 1 2, ; : ( )g g G A S A g g Ag g∀ ∈ ∀ ∈ = . Vì 1n kp S− +  nên theo công thức khai triển thành quỹ đạo của S, phải tồn tại A S∈ sao cho quỹ đạo G(A) của A thỏa ( )1n kp G A− +  . Khi đó ( ) rG A p m′= , với ( ), 1m p′ = và r n k≤ − . Xét nhóm con ổn định AG của A trong G. Theo 2.16 Công thức lớp và Định lý Lagrange nên ta có ( ) n r n r k A G mG p p p G A m − −= = ≥ ≥ ′ . (1) Mặt khác, lấy a A∈ và AaG là lớp ghép trái của G theo nhóm con AG . Khi đó, :Ag G Ag A∀ ∈ = , nên ag A∈ , suy ra AaG A⊂ . Vậy thì kA AG aG A p= ≤ = . (2) Từ (1) và (2) , ta có AG chính là p – nhóm con của G có cấp kp . Nói riêng trường hợp k n= , ta tìm được trong G một p – nhóm con Sylow.  Định lý 1.3.4. ( Định lý Sylow thứ hai) Cho . nG p m= với ( ), 1m p = và n là số nguyên dương, p là số nguyên tố. 23 (i) Mọi p - nhóm con của G đều nằm trong p - nhóm con Sylow nào đó của G. (ii) Mọi p - nhóm con Sylow đều liên hợp với nhau. (iii) Số các p - nhóm con Sylow của G. Kí hiệu r , là ước của m và ( )1 modr p≡ . Chứng minh. (i) Lấy H là một p – nhóm con và K là một p – nhóm con Sylow của G. Nên ta có , ,( , ) 1, .k nH p K p p m k n= = = ≤ Đặt { }|X l Kg g G= = ∈ .Theo Định lý Lagrange, ta được: GX m K = = . Xét ánh xạ như sau: ( ) X sao cho ,H X l h lh× →  . Ta kiểm tra được đây là một tác động của nhóm H lên tập X : (i) .1 , .l l l X= ∀ ∈ (ii) ( )1 2 1 2 1 2, ; : ( )h h H l X l h h lh h∀ ∈ ∀ ∈ = . Với mỗi phần tử l X∈ , quỹ đạo của l là ( ) { }|H l lh h H= ∈ và { }|lH h H lh l= ∈ = là nhóm con đẳng hướng của l trong H. Theo 2.16 Công thức các lớp và Định lý Lagrange ta có: ( )H l H∣ . Suy ra ( ) ,0iH l p i k= ≤ ≤ . Vì X m p=  nên tồn tại một quỹ đạo H(l) sao cho ( ) 0 1H l p= = . Khi đó ,lH H= nên lh l= hay = , ,Kgh Kg h H∀ ∈ suy ra 1 ,ghg K− ∈ ∀ h H∈ , ∀ g G∈ . Suy ra 1 .H g Kg−≤ Vậy H nằm trong p – nhóm con Sylow 1g Kg− (vì 1 ng Kg K p− = = ) của G. 24 (ii) Nếu ta lấy H và K là các p – nhóm con Sylow của G, thì theo (i) ta có tồn tại 1:g G H g Kg−∈ ≤ và H và 1g Kg− có cùng lực lượng nên 1H g Kg−= . Vậy H và K liên hợp với nhau. (iii) Lấy H là một p – nhóm con Sylow của G. Đặt { }1| :Y K G g G H g Kg−= ≤ ∃ ∈ = . Theo (ii) thì Y là tập tất cả các p – nhóm con Sylow của G. Xét tác động liên hợp của nhóm H lên tập Y như sau: ( ) 1, . Y H Y K h h Kh− × →  Với mọi K Y∈ , quỹ đạo của K là ( ) { }1 |H K h Kh h H−= ∈ và nhóm con đẳng hướng của K trong H là { }1|KH h H h Kh K−= ∈ = . Theo Công thức các lớp và Định lý Lagrange ta có ( ) | ,H K H suy ra ( ) ,0iH K p i n= ≤ ≤ . Ta có ( ): Gr Y G N H= =    . Mặt khác, theo Định lý Lagrange ta có: ( ) ( ) [ ] ( ): . : . :1 . : . .n nG G Gp m G G N H N H H H r N H H p= = =           Suy ra |r m và ( )0 modr p≡/ . Vì vậy ( )0 modr p≡/ nên theo công thức khai triển theo quỹ đạo của Y, sẽ tồn tại K Y∈ để cấp quỹ đạo ( ) 0 1H K p= = . 25 Ta sẽ chứng minh H = K. Thật vậy, ta có H(K) = K (vì ( ) 1H K = ) nên 1 , .h Kh K h H− = ∀ ∈ Suy ra , hK Kh h H= ∀ ∈ nên HK KH= . Ta chứng minh HK là một nhóm con của G . Thật vậy, HK ≠∅ , 1 1 ,h k∀ 2 2 :h k HK∈ ( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1 1 11 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1h k h k h k k h h k k h h hk− − − − −= = = ( )1h h k HK= ∈ (vì HK = KH). Mặt khác, ta kiểm tra được K là nhóm con chuẩn tắc của HK. Vì 1.K K HK= ≤ và 1 1 , :h k HK k K∀ ∈ ∀ ∈ ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. . .h k k h k k h k h k − − −= ( )1 11 1 1 1.k h k h k K− −= ∈ , do 11 1 1. ,h k h K h H− ∈ ∀ ∈ . Từ đó ta có đồng cấu nhóm tự nhiên : HKH Kφ → , với Ker H Kφ = ∩ và φ là toàn cấu nên H HKH K K≅∩ . Suy ra 2 . . nHK H K H K p∩ = = . Vậy HK là một p – nhóm con của G. Hơn nữa, . H HK K HK ≤  ≤ Suy ra , H HK K= = (do H, K là các p – nhóm con Sylow). Như vậy, ta đã chứng minh được chỉ có H là p – nhóm con Sylow thỏa ( ) 1H H = nên ( ), : ,1iK Y K H H K p i n∀ ∈ ≠ = ≤ ≤ . Theo Công thức khai triển thành quỹ đạo của Y, ta có: ( ) ( ) 1 (mod ) i i i I K H r Y H H H K p ∈ ≠ = = + ≡∑ , với { }i i IK ∈ là tất cả các phần tử đại diện cho các quỹ đạo khác nhau và khác H trong Y. Vậy ( )1 modr p≡ .  26 1.4. Tích trực tiếp và tích nửa trực tiếp Định nghĩa 1.4.1. (tích trực tiếp) Cho G là một nhóm có họ nhóm con { }/Hλ λ∈Λ và thỏa điều kiện sau: (i) Các nhóm con Hλ là chuẩn tắc của G, với mọi λ∈Λ . (ii) / và H / , 1G H Hλ λ µλ µ µ λ= ∈Λ ∩ ∈Λ ≠ = . Khi đó, ta nói G là tích trực tiếp của các nhóm con chuẩn tắc Hλ . Kí hiệu: G Dr Hλλ∈Λ= . Từ định nghĩa tích trực tiếp trên ta có những kết quả sau đây. Bổ đề 1.4.2. Cho G có các nhóm con chuẩn tắc H và K sao cho G=HK. Khi đó G H K H K H K H K= ×∩ ∩ ∩ . Để chứng minh Bổ đề 1.4.2 ta có Mệnh đề. Cho H và K là các nhóm con chuẩn tắc của một nhóm G . Nếu K G thì HK G≤ và H K H∩  . Hơn nữa, nếu H G thì HK G và H K G∩  . Như vậy ta chứng minh Bổ đề1. 4.2 như sau: Thật vậy, đặt L H K= ∩ nên L G (theo mệnh đề trên) . Từ Định lý tương ứng ta có , G GH KL L L L  . Mặt khác, H K eLL L∩ = vì H Kx L L∈ ∩ , suy ra Hx L∈ và Kx L∈ nên x kL hL= = , K, Hk h∀ ∈ ∀ ∈ . Khi đó 1k hL L− = , suy ra 1k h L H K− ∈ = ∩ , vì vậy k L∈ và h L∈ , do đó .x e L= . Vì vậy ta chỉ cần chứng minh 27 ( ).( )G H KL L L= . Thật vậy, giả sử g G∈ , khi đó , H, Kg hk h k= ∈ ∈ vì G = HK. Do đó = ( ).( )H KgL hkL hLkL L L= ∈ .  Bổ đề 1.4.3. Cho n∈ và ta viết 1 21 2. ... r a a a rn p p p= , trong đó ip là các số nguyên tố phân biệt và ia là các số nguyên dương , với { }1,2,...,i r∈ . Khi đó ta có 1 2 1 2 ...a a arrn p p p≅ × × ×    . Chứng minh . Cho ai i i i p P x= ≅  với 1 i r≤ ≤ . Khi đó ( )1 2 1 2, ,..., ...r rx x x P P P∈ × × × có cấp 1 21 2. ... r a a a rn p p p= . Suy ra, 1 2 ... r nP P P× × × ≅  .  Hệ quả 1.4.4. Nếu (a,b)=1 thì ab a b≅ ×   . Định nghĩa 1.4.5. (tích nửa trực tiếp) Cho G là một nhóm . Giả sử G có một nhóm con H và một nhóm con chuẩn tắc N sao cho G = N.H và 1N H∩ = . Khi đó, ta gọi G là tích nửa trực tiếp của N bởi H. Ta kí hiệu : G N H=  . Nếu thêm điều kiện H là nhóm con chuẩn tắc của G thì G chính là tích trực tiếp của N và H. Ví dụ 1.4.6. Đặt 3G S= , 3N A G=  và ( )H = 12 thì G N H=  nhưng H không là nhóm con chuẩn tắc của G nên G không là tích trực tiếp của N và H. Ví dụ 1.4.7. Nhóm Dihedral 2nD là tích nửa trực tiếp của một nhóm cylic cấp n và một nhóm cấp 2. 28 Định nghĩa1. 4.8 .(Tính đồng dạng những nhóm hoán vị) Cho G và H là hai nhóm hoán vị tương ứng trên các tập X và Y. Cặp ( , )α β là một sự đồng dạng từ G đến H nếu : G Hα → là đẳng cấu, : X Yβ → là song ánh sao cho g gαβ β= ,với mọi Gg∈ . • Nếu X =Y thì 1 , SXg g α β β β−= ∈ . • Nếu X Y= thì SX đồng dạng với SY . 29 CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG TÍCH BỆN CHUẨN VÀ MÔ TẢ CÁC NHÓM CON SYLOW CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG nS 1.1. Tích bện Định nghĩa 1.1.1. Cho H, K là hai nhóm hoán vị tương ứng trên các tập X và Y. Đặt Z X Y= × , , K f H g∀ ∈ ∈ và ( ), x y Z∈ , với , Yx X y∈ ∈ . Xét các hoán vị ( )f y , g∗ trên tập Z, được xác 1 1 1 Z ( ) : ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), Z f y x y xf y x y x y y y →    ≠   Z : ( , ) ( , ). Z g x y x yg ∗ →    Định nghĩa các ánh xạ ϕ và ρ như sau: : SZHϕ → ( )f f y : SZKρ → g g∗ . Vì vậy, với mọi phần tử y cố định trong Y ta có ϕ , ρ là những đơn cấu và H , K có ảnh tương ứng là H(y) và K ∗ . Khi đó tích bện của H và K là một nhóm hoán vị trên Z được sinh ra bởi K ∗và ( )H y , kí hiệu : KH  = . Mặt khác, ta có 1 1 1 1( )( ) ( ( )) , ( ) ( )f y f y g g− − − ∗ ∗ −= = , 30 1 Z ( ) ( )( ) : ( , ) ( , ) Z g f y g x yg xf yg ∗ − ∗ →    , và 1 1( , )x y cố định nếu 1y yg≠ . Do đó, với mọi ( , )x yg Z∈ ta có 1( , )( ) ( )( )x yg g f y g∗ − ∗ = ( , )xf yg ( , ) ( )x yg f yg= . Suy ra 1( ) ( )( ) ( )g f y g f yg∗ − ∗ = , hay 1( ) ( )( ) H( ). (1)g H y g yg∗ − ∗ = Đặt ( ) |B H y y Y= ∈ và W H K=  . Như vậy cần chứng minh B là tích trực tiếp sinh bởi H(y), với mọi y Y∈ , W là tích nửa trực tiếp của B bởi K ∗ . Chứng minh. i) B là tích trực tiếp sinh bởi H(y), với mọi y Y∈ . Gọi γ là phần tử sinh của B, do đó để chứng minh ( )H y B thì cần chứng minh 1 ( ) ( ), ( ) ( )f y H y f y H yγ γ− ∈ ∈ . ta xét hai trường hợp ' ( ),f yγ = ' ,y Y f H∈ ∈ và 1 1 1 1 1( ), , , f y y y y Y f Hγ = ≠ ∈ ∈ . Trường hợp ' ( )f yγ = : Với mọi ,( , )x y Z∈ . Nếu ,y y= thì , ' 1 ' ' 1 , '( , ) ( ( )) ( ) ( ) ( , )( ( )) ( )x y f y f y f y xf y f y f y− −  =  = ' 1 ' ,( , )xf ff y− , ' 1 ' ,( , ) ( )x y f ff y−= . Suy ra ' 1 '( ( )) ( ) ( )f y f y f y− = ' 1 '( ) ( )f ff y H y− ∈ . Nếu ,y y≠ thì , ' 1 '( , ) ( ( )) ( ) ( )x y f y f y f y−  = ,( , )x y . Suy ra ' 1 '( ( )) ( ) ( )f y f y f y− ( )H y∈ . Trường hợp 1 1 1( ),f y y yγ = ≠ : Với mọi 1( , )x y Z∈ ta có 1 1 1 1 1 1( , ) ( ( )) ( ) ( )x y f y f y f y −  =  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )xf y f y f y xf y f y − −  =  1( , )x y= . Suy ra 1 1 1( ( )) ( ) ( ) ( )f y f y f y H y − ∈ . Như vậy cả hai trường hợp, 1 ( ) ( )f y H yγ γ− ∈ . Dó đó ( )H y B (2). 31 Mặt khác lấy , , ,( ) ( ) | , ,l H y H y y y Y y y∈ ∩ ∈ ≠ , ta có { }1 1 2 2( ) ( ). ( )... ( )... ,y y , 1,2,..., ,...m m il f y f y f y f y i m= = ≠ ∈ . Ta cần chứng minh ( ) 1f y = . Thật vậy, với mọi ,( , )x y Z∈ , ta xét ,y y= và ,y y≠ . Nếu ,y y= thì , , , , 1 1 2 2( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ). ( )... ( )... =( , )m mxf y x y f y x y f y f y f y x y= = , vì , iy y y= ≠ . Suy ra xf x= nên 1f = . Vì vậy ( ) 1f y = . Nếu ,y y≠ thì , ,( , ) ( ) ( , )x y f y x y= , suy ra ( ) 1f y = . Vì vậy , , ,( ) ( ) | , , 1H y H y y y Y y y∩ ∈ ≠ = (3). Từ (2) và (3) suy ra B là tích trực tiếp sinh bởi các nhóm con chuẩn tắc H(y) với mọi y Y∈ , kí hiệu : ( ) y Y B Dr H y ∈ = . ii) Ta chứng minh W là tích nửa trực tiếp của B bởi K ∗ . Như vậy cần chứng minh W, B K 1, W .B BK∗ ∗∩ = = Thật vậy, ta có 1( ) ( )( )g f y g∗ − ∗ ( ) , W, Yf yg B g yg∗= ∈ ∀ ∈ ∈ nên WB và W BK ∗= (hiển nhiên). Mặt khác, với mọi h B K ∗∈ ∩ , ta có 1 1 2 2( ). ( )... ( )...m mh g f y f y f y ∗= = Chứng minh 1g∗ = . Thật vậy, với ( , )x y Z∈ , ta có ( , ) ( , )x y g x yg∗ = . Vì vậy 1 1 2 2( , ) ( ). ( )... ( )... = (x, )m mx y f y f y f y yg . Nếu 1y y= thì 1 1 1 2 2 1 1( , ) ( , ) ( )... ( )... = ( , )m mx y g xf y f y f y xf y= (vì i jy y≠ ), suy ra 1 1 1,xf x y y g= = nên g =1. Vì vậy * 1g = . Nếu 1y y≠ hay { }, 1,2,..., ,...iy y i m≠ ∈ thì 1 1 2