Luận văn Tích bện chuẩn và các nhóm con sylow của nhóm đối xứng

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ.1

1.1. Nhóm đối xứng .1

1.2. Tác động nhóm lên tập hợp .10

1.3. p - nhóm hữu hạn.20

1.4. Tích trực tiếp và tích nửa trực tiếp .26

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG TÍCH BỆN CHUẨN VÀ MÔ TẢ CÁC NHÓM CON

SYLOW CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG

Sn .29

1.1 . Tích bện .29

2.2. Mô tả p- nhóm con Sylow của nhóm đối xứng Sn .36

KẾT LUẬN.46

TÀI LIỆU THAM KHẢO.47

pdf52 trang | Chia sẻ: mimhthuy20 | Lượt xem: 372 | Lượt tải: 1download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Tích bện chuẩn và các nhóm con sylow của nhóm đối xứng, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
ập. Mệnh đề 1.2.2. Cho X là một tập hợp và K là nhóm đối xứng của X. Giả sử : G Kh → là một đồng cấu nhóm từ G đến K. Khi đó có một tác động của G lên X cho bởi ( )(( ) )xg x g h= với mọi x X∈ , g G∈ . Chứng minh. Với mọi g G∈ , ta đặt ( )gh g h K= ∈ . Cho 1 2, và g g G∈ x X∈ , vì h là đồng cấu nên 1 2 1 21 2 1 2 ( ) ( ) .( )g g g gh g g h g h g h h h= = = . Vì vậy 1 2 1 2 1 21 2 1 2 ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( )( )g g g g g gxg g x h h x h h x h x g g= = = = . Vì h là đồng cấu nên ( ) 1e Xh e h= = . Do đó ( ) ( ) ( )1e Xx e x h x x= = = .  Ví dụ 1.2.3. Nhóm G tác động tầm thường lên tập X như sau : với mọi , ,g G x X∈ ∈ ta đặt xg x= . Ví dụ 1.2.4. Cho G là một nhóm . Khi đó G tác động lên chính nó bằng phép liên hợp như sau : Với ,g a G∈ , ta dùng kí hiệu a g• . Cho tác động của g lên a , và đặt 1a g g ag−• = , ta gọi 1g ag− là liên hợp của a bởi g . 11 Ví dụ 1.2.5. Cho G là một nhóm . Kí hiệu X là tập các tập con của G. Khi đó nhóm G tác động lên tập X bằng phép nhân sau : với g G∈ và H X∈ , ta dùng kí hiệu H g• cho tác động của g lên H, và đặt H g Hg• = . Trước khi trình bày một số ví dụ khác về tác động của nhóm lên tập hợp , ta có những kết quả sau đây. Bổ đề 1.2.6. Cho G là nhóm và A là nhóm con của G . Với mỗi g G∈ , đặt { }1 1 :g Ag g ag a A− −= ∈ . Khi đó 1g Ag− là nhóm con của G. Chứng minh. Ta có 1e g eg−= . Vì thế 1g Ag− ≠ ∅ . Do đó cho 1 1 1, g ag g bg g Ag− − −∈ với mọi ,a b A∈ . Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( )g bg g ag g b gg ag g b a g g Ag− − − − − − − − −= = ∈ . Vì vậy 1g Ag− là nhóm con của G. Cho A là nhóm con của một nhóm G. Nhóm con B của G được gọi là liên hợp với A nếu tồn tại g G∈ sao cho 1B g Ag−= . Bổ đề 1.2.7. Cho A là nhóm con của một nhóm G . Nếu B liên hợp với A và C liên hợp với B thì C liên hợp với A. Chứng minh. Theo giả thiết tồn tại , g l G∈ để 1 1,B g Ag C l Bl− −= = . Suy ra ( ) ( )11 1( )C l g Ag l gl A gl−− −= = . Do đó C liên hợp với A.  Ví dụ 1.2.8. Cho G là nhóm và A là nhóm con của G. Kí hiệu X là tập các nhóm con của G liên hợp với A. Khi đó G tác động lên X bằng cách liên hợp như sau: với mỗi ,g G B X∈ ∈ , đặt 1B g g Bg−• = . Chứng minh. Theo Bổ đề 1.2.6 và 1.2.7 ta có 1 , G, Bg Bg X g X− ∈ ∀ ∈ ∈ . 12 Với , , Bg l G X∈ ∈ ta có 1B e e Be B−• = = và ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 ( )B gl gl B gl l g Bg l g Bg l B g l− − − −• = = = • = • • . Vì vậy qui tắc trên là một tác động của G lên X.  Bổ đề 1.2.9. Cho G là nhóm và X là G- tập . Với x X∈ , đặt { }/ .xG g G xg x= ∈ = Khi đó xG là nhóm con của G. Chứng minh. Cho x X∈ . Vì xe x= nên xe G∈ . Cho , xg l G∈ , khi đó xg x= và xl x= . Vì thế ( ) ( )x gl xg l xl x= = = . Suy ra xgl G∈ . Mặt khác, cho xg G∈ . Khi đó xg x= , nên ( ) ( )1 1 1.x xe x g g xg g xg− − −= = = = Suy ra 1 xg G − ∈ . Vậy xG là nhóm con của G.  Nhóm con xG được định nghĩa trong Bổ đề 1.2.9 được gọi là nhóm con đẳng hướng của phần tử x . Định nghĩa 1.2.10. Cho G là nhóm, X là G – tập và x X∈ . Đặt { }( ) /G x xg g G= ∈ . Khi đó ( )G x là bộ phận của x . Ta gọi ( )G x là quỹ đạo của x trong X. Ví dụ 1.2.11. Xét các tác động chính quy của G lên chính nó : , , Ga g ag g a• = ∀ ∈ , kí hiệu ( )G a G= là quỹ đạo của a . Với , l G∈ ta có ( ) ( )1l a a l G a−= ∈ . Do đó ( )G a G= . Vì thế tác động này chỉ có một quỹ đạo, đó là G. Nhóm con đẳng hướng ứng với a là { } { }: aG g G ag a e= ∈ = = . Ví dụ 1.2.12. Xét các tác động tầm thường của nhóm G lên một tập X : x g x• = , với mọi ,g G x X∈ ∈ . Với x X∈ , quỹ đạo của x là ( ) { } { }/G x x g g G x= • ∈ = . 13 Vì thế, mỗi quỹ đạo gồm đúng một phần tử . Nhóm con đẳng hướng ứng với x là { }/ .xG g G x g x G= ∈ • = = Ví dụ 1.2.13. Xét tác động của nhóm G lên chính nó bằng phép liên hợp: 1a g g ag−• = với mọi ,a g G∈ . Với a G∈ , quỹ đạo của a là ( ) { } { }1/ /G a a g g G g ag g G−= • ∈ = ∈ . Nhóm con đẳng hướng ứng với a là { } { } ( )1/ / .aG g G g ag a g G ag ga C a−= ∈ = = ∈ = = Với C(a) là tâm hóa tử củaa . Do đó ( )C a G= khi và chỉ khi ( )a Z G∈ , với ( )Z G là tâm của G. Ví dụ 1.2.14. Kí hiệu X là tập các nhóm con của một nhóm G. Xét tác động G lên tập X bằng phép liên hợp : với mọi g G∈ và với mọi H X∈ ta có 1H g g Hg−• = . Với H X∈ , quỹ đạo của H là { }1 /g Hg g G− ∈ - tập các nhóm con liên hợp với H. Nhóm con đẳng hướng của H là { }/ ( )H GG g G gH Hg N H= ∈ = = , với ( )GN H là chuẩn hóa tử của H trong G. Mệnh đề 1.2.15. Cho G là nhóm và X là G – tập, các phát biểu sau đây là đúng (i) G( x )≠∅ với mọi x X∈ . (ii) ( ) x X X G x ∈ =  . (iii) ( ) ( )G x G y= hoặc ( ) ( )G x G y∩ =∅ với mọi ,x y X∈ . 14 Chứng minh. (i),(ii).Vì ( )x xe G x= ∈ nên ( )G x ≠∅ , với mọi x X∈ . Vì vậy, ( ) x X X G x ∈ =  . (iii). Giả sử ( ) ( )G x G y∩ ≠∅ . Khi đó tồn tại ,g l G∈ sao cho xg yl= . Suy ra 1 1x xe xgg ylg− −= = = . Cho ( )xa G x∈ với mọi a G∈ , ta có ( )1( )xa y lg a G y−= ∈ . Do đó ( ) ( )G x G y≤ . Chứng minh tương tự ( ) ( )G x G y≥ . Vì vậy ( ) ( )G x G y= .  Mệnh đề 1. 2.15 chỉ ra rằng tập các quỹ đạo trong X là một phép phân hoạch trong X. Định lý 1.2.16. Cho G là nhóm , X là G – tập và x X∈ . Kí hiệu x G G là tập các lớp ghép phải của nhóm con đẳng hướng xG . Khi đó tương ứng : x Gf G ( ) G x→ cho bởi ( )xf G g xg= là một song ánh . X là tập hữu hạn , khi đó chỉ số của xG chính là số phần tử của quỹ đạo ( )G x . Hơn nữa , ( )1 ,G x ( )2G x ( ),..., tG x là các quỹ đạo đôi một rời nhau trong X thì ( ) ( ) 1 1 : i t t i x i i X G x G G = =  = = ∗ ∑ ∑ , trong đó X là cấp của X và : , 1,2,.., ixG G i t  =  là chỉ số nhóm con đẳng hướng ixG . Chứng minh. x x x GG g G l G= ∈ . Khi đó 1 xlg G − ∈ . Suy ra 1xlg x− = , do đó xl xg= . Vì thế f là ánh xạ. Rõ ràng f là toàn xạ. 15 Mặt khác, { }ker / .x xf G g xg x G e= = = nên f là đơn ánh. Suy ra f là song ánh. Giả sử X là tập hữu hạn . Khi đó quỹ đạo ( )G x là tập hữu hạn với mọi x X∈ . Do f là song ánh nên [ ]: ( )xG G G x= với mọi x X∈ .  Công thức ( )∗ trong Định lý1. 2.16 ta có ( ) ( ) ( ) ( )\ : : a a Z G G G C a Z G G C a ∈∆ ∈∆ = = +      ∑ ∑ . (1) Do đó (1) gọi là công thức các lớp. Với ∆ là tập con của G sao cho ( )( )aG a ∈∆ là họ các quỹ đạo đôi một dời nhau. Chú ý 1.2.17. Giả sử G là nhóm hữu hạn và X là G- tập . Với x X∈ theo Định lý 1.2.16 số phần tử quỹ đạo ( )G x bằng chỉ số nhóm con đẳng hướng xG , vì thế nó là ước của cấp G. Sử dụng Định lý 1.2.16 ta có công thức sau đây. Mệnh đề 1.2.18. Nếu H, K là các nhóm con của một nhóm hữu hạn G thì ta có . .HK H K H K∩ = . Chứng minh. Kí hiệu X là tập các lớp ghép phải của H trong G. Xét tác động K lên nhóm X bằng phép nhân : Ha g Hag• = , với mọi ,Ha X g K∈ ∈ . Nhóm con đẳng hướng ứng với He X∈ là { } { }/ /HeK g K Heg H g K g H H K= ∈ = = ∈ ∈ = ∩ . Vì thế chỉ số nhóm con đẳng hướng ứng với He là K H K∩ . 16 Kí hiệu He K• là quỹ đạo của He. Khi đó { }/He g Hg g K• = ∈ . Mặt khác H g có H phần tử và ,Hg Hg≠ thì ,Hg Hg∩ =∅ , với mọi ,,g g K∈ . Hơn nữa , { }/, g K Hg Hg g K HK ∈ = ∈ =  .Vì thế số phần tử của quỹ đạo He K• là HK H . Theo Định lý 1.2.16 ta có . HK K H H K = ∩ Suy ra . .HK H K H K∩ = .  Mệnh đề 1.2.19. Cho G là nhóm hữu hạn và H G≤ . Khi đó số các nhóm con của G liên hợp với H bằng chỉ số của ( )GN H trong G. Do đó số các nhóm con của G liên hợp với H là ước của cấp G. Mệnh đề 1.2.20. Cho G là một nhóm hữu hạn . (i) Nếu ,H K G≤ sao cho H K thì ( )GK N H≤ . (ii) Nếu ,H K G≤ thỏa H là nhóm con duy nhất cấp m của K thì H K . Hơn nữa, ( ) ( )G GN K N H≤ . (iii) Nếu H, K liên hợp với nhau trong G thì ( ) ( ),G GN K N H cũng liên hợp với nhau trong G. Chứng minh. (i) Lấy x K∈ thì do H K nên 1x Hx H− = , do đó x∈ ( )KN H , suy ra ( )GK N K≤ . Hơn nữa, K G≤ nên 1 ,x Hx H− = x∀ ∈G , suy ra ( )Gx N H∈ . Vì vậy ( )GK N H≤ . (ii) Vì H K≤ nên với mọi x K∈ , ta có 1x Hx K− ≤ , mà 17 1x Hx H m− = = , nên theo tính duy nhất nhóm con cấp m của K, suy ra 1x Hx H− = . Do đó H K . Nếu ( )Gy N K∈ thì 1 .y Ky K− = Do H K≤ nên 1 .y Hy K− ≤ Mà 1y Hy H m− = = nên theo tính duy nhất nhóm con cấp m của K thì 1 .y Hy H− = Do đó ( )Gy N H∈ , vì vậy ( ) ( )G GN K N H≤ . (iii) Giả sử tồn tại 1: Hx G x x K−∈ = . Khi đó ta có ( )1 Gy x N H x−∈ , suy ra ( )1 Gxyx N H− ∈ . Do đó, 1 1xyx H Hxyx− −= hay 1yx Hx− = 1x Hxy− nên ( )1Gy N x Hx−∈ hay ( )Gy N K∈ .Vậy ( )1 Gx N H x− ≤ ( )GN K . Tương tự ta có ( ) ( )1 G Gx N H x N K− ≥ . Do đó ( )1 Gx N H x− = ( )GN K . Vì vậy ( ) ( ),G GN K N H liên hợp với nhau trong G.  Định nghĩa 1.2.21. Một tác động G lên tập X gọi là bắc cầu nếu X ≠∅ và thỏa một trong các điều kiện tương sau: (i) Với mọi , ,x y X g G∈ ∃ ∈ sao cho xg y= . (ii) Với : G( ) =x X x X∈ , trong đó ( )G x là quỹ đạo của phần tử x đối với nhóm G. Như vậy, một tác động G lên tập X có tính bắc cầu nếu nó chỉ có duy nhất một quỹ đạo là X. Định lý 1.2.22. (Định lý Calley) Mọi nhóm đều nhúng được vào nhóm đối xứng . Chứng minh . Cho G là nhóm bất kì và g G∈ . Định nghĩa ánh xạ : G G , GgR x→ ∀ ∈ , đặt ( ) gx R xg= . 18 Kiểm tra gR là một song ánh . Thật vậy, với mọi , sao cho ( )R ( )Rg gx y G x y∈ = , nên ta có xg yg= , suy ra x y= . Do vậy, gR là đơn ánh. Mặt khác, mọi ,y G∈ đặt 1. x y g−= . Khi đó , 1( )R ( )gx yg g −= y= nên R g là toàn ánh. Suy ra R g là song ánh. Vậy R g GS∈ . Định nghĩa ánh xạ : G S Gψ → như sau : với mọi G,g∈ đặt ( ) gg Rψ = . Ta sẽ chứng minh ψ là đơn cấu nhóm . Thật vậy, với mọi 1 2 1 21 2 1 2 1 2 , , ( ) R ( ) ( )g g g gg g G g g R R g gψ ψ ψ∈ = = = . Suy ra ψ là đồng cấu nhóm . Mặt khác, { }, ker : ( ) RG G g Gid S g G g idψ ψ∈ = ∈ = = . Do đó ( )R gx xg x= = , suy ra g e= . Vì vậy ψ là đơn cấu nhóm. Do đó, theo Định lý về sự đẳng cấu nên ta có Im SGG ψ≅ ⊂ .  Bổ đề 1.2.23. Với mỗi tập hợp X , nhóm đối xứng XS trên tập X tác động tự nhiên lên tập Y như sau: • ( )y g y g= với mọi , Xy Y g S∈ ∈ . Chứng minh. Cho , ,Xg h S y Y∈ ∈ . Ta có •1 ( )1X Xy y y= = và ( )( • ) • ( ) • (( ) ) ( ) • ( ).yy h g y h g y h g hg y gh= = = =  Định lý 1.2.24. (Bổ đề Burnside) Giả sử một nhóm hữu hạn G tác động lên một tập hữu X. Với mỗi phần tử g G∈ , kí hiệu Fix( g ) là số phần tử của X cố định qua tác động của g , tức là số phần tử của tập hợp { }( ) ( , ) /Fix g x g X G xg x= ∈ × = . Gọi m số G- quỹ đạo trên X , khi đó 19 ( ) g G Fix g m G ∈= ∑ . Chứng minh . Gọi T là tập sắp thứ tự ( , )x g X G∈ × sao cho , và g G x X xg x∈ ∈ = . ,x X∀ ∈ số các phần tử sao cho ( , ) Tg G x g∈ ∈ chính là xG . Do đó, x x X T G ∈ = ∑ (1). Với mọi g G∈ , số phần tử ( , ) Tx X sao cho x g∈ ∈ chính là ( )Fix g . Do đó ( ) g G T Fix g ∈ = ∑ . (2). Từ (1), (2) ta có 1 1 ( )x x X g G G Fix g G G∈ ∈ =∑ ∑ . Gọi ( ) ( ) ( )1 2, ,...,G mG x G x x là các quỹ đạo .Vì ( ) ( ) , i jG x G x i j∩ =∅ ∀ ≠ và ( ) 1 X= m i i G x =  , nên ta có 1 2( ) ( ) ( ) ... m x x x x x X x G x x G x x G x G G G G G G G G∈ ∈ ∈ ∈ = + + +∑ ∑ ∑ ∑ , với mỗi 1,2,...,i m= theo Định lý 2.16 ta có ( )i x x G x G G∈ ∑ bao gồm ( )iG x số hạng , mỗi số hạng bằng 1 ( )iG x , suy ra ( ) 1 i x x G x G G∈ =∑ .Vì vậy, {1,2,...i∀ ∈ },m , suy ra ( )x x X g G G Fix g m G G∈ ∈ = =∑ ∑ .  20 1.3. p - nhóm hữu hạn Định nghĩa1.3.1. Cho p là số nguyên tố và H G≤ (i) Nhóm G được gọi là p - nhóm hữu hạn nếu cấp của G là một lũy thừa của p , tức là tồn tại số nguyên dương n sao cho nG p= . (ii) Nhóm H được gọi là p - nhóm con của G nếu H là một p - nhóm. (iii) Giả sử G n= và P là p - nhóm con của G sao cho mP p= với p không là ước của m n p . Khi đó P được gọi là p - nhóm con Sylow của G. Định lý 1.3.2. (Định lý Cauchy) Cho G n= , p là số nguyên tố thỏa p |n. Khi đó G chứa phần tử cấp p và do đó G chứa nhóm con cấp p . Chứng minh . Chúng ta sẽ chứng minh kết quả này bằng phương pháp quy nạp theo cấp của G. Do p | n nên tồn tại số nguyên dương k sao cho n pk= . Với 1k = thì G là nhóm cylic cấp p , như vậy Định lý đúng. Với 1k > thì ta chọn , e g G g r≠ ∈ = khi đó xảy ra các trường hợp sau : Trường hợp 1: Nếu p là ước của r , r pm= , với m là số nguyên dương, thì phần tử mg e≠ có cấp là p , p là số nguyên tố và ( )m p rg g e= = . Trường hợp 2: Xét các trường hợp còn lại , p không là ước của r . Gọi H là nhóm con xylic sinh bởi phần tử g . Do G là nhóm aben nên H là nhóm con chuẩn tắc , nên ta có nhóm thương G/H có cấp G r . Do đó | G p r , nên theo giả thiết quy nạp nhóm thương G/H có phần tử cấp p , chẳng hạn phần tử a H. Nếu , a G a q∈ = thì ( )q qaH a H H= = . Từ đó suy ra p là ước của q , 21 ta quay về trường hợp 1. Như vậy định lý đã cho đúng với k . Như vậy theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh.  Định lý 1.3.3.( Định lý Sylow thứ nhất) Cho . nG p m= với ( , ) 1m p = và n là số nguyên dương, p là số nguyên tố . Giả sử tồn tại 1k ≥ sao cho k n≤ . Khi đó tồn tại trong G nhóm con cấp kp . Nói riêng , trong G tồn tại các p - nhóm con Sylow . Chứng minh. Gọi S là tập tất cả các tập con có đúng kp phần tử của G và kS p= . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! . 1 ... 1 .( 1)...2.1! ! k n n n n n k p k kk n kp m p m p m p m p m p S C p pp p m p − − + = = = −− 1 1 . kp n n k i p m ip m i − − = − = ∏ Ta có ( )modn np m i i p− ≡ − . Suy ra ( )mod ,n jp m i i p− ≡ − :1j j∀ ≤ ≤ k n≤ . Giả sử ( ) 1 1 0 mod kp n i p m i p i − = − ≡∏ (*). Ta gọi ( )1 2, ,..., 1 1kri i i r p≤ ≤ − là những số thỏa ( )0 mod ,1n tp m i p t r− ≡ ≤ ≤ . Nên tjt ti p l= , suy ra ( )0 modti p≡ , với ( ), 1tl p = và 1 1tj k≤ ≤ − . Khi đó t t t j n jn n t t t j t tt p m i p m p l p m l i lp l −− − − = = , với ( )0 mod .tn j tp m l p− − ≡/ 22 Do đó, 1 1 1 1 1 . k k tn jp pn nr t i t it p m i p m l p m i i l i −− − = = = − − − =∏ ∏ ∏ , { }1 2, ,..., ri i i i∉ (**). Vì vậy tất cả các thừa số trong tử số của (**) đều không chia hết cho p . Điều này trái với giả thiết (*), nên ( ) 1 1 0 mod kp n i p m i p i − = − ≡/∏ . Do đó, 1n kp S− +  . Xét ánh xạ ( ) { } sao cho , |S G S A g Ag ag a A× → = ∈ . Ta kiểm tra được đây là một tác động của nhóm G lên tập S: (i) .1 , .A A A S= ∀ ∈ (ii) ( )1 2 1 2 1 2, ; : ( )g g G A S A g g Ag g∀ ∈ ∀ ∈ = . Vì 1n kp S− +  nên theo công thức khai triển thành quỹ đạo của S, phải tồn tại A S∈ sao cho quỹ đạo G(A) của A thỏa ( )1n kp G A− +  . Khi đó ( ) rG A p m′= , với ( ), 1m p′ = và r n k≤ − . Xét nhóm con ổn định AG của A trong G. Theo 2.16 Công thức lớp và Định lý Lagrange nên ta có ( ) n r n r k A G mG p p p G A m − −= = ≥ ≥ ′ . (1) Mặt khác, lấy a A∈ và AaG là lớp ghép trái của G theo nhóm con AG . Khi đó, :Ag G Ag A∀ ∈ = , nên ag A∈ , suy ra AaG A⊂ . Vậy thì kA AG aG A p= ≤ = . (2) Từ (1) và (2) , ta có AG chính là p – nhóm con của G có cấp kp . Nói riêng trường hợp k n= , ta tìm được trong G một p – nhóm con Sylow.  Định lý 1.3.4. ( Định lý Sylow thứ hai) Cho . nG p m= với ( ), 1m p = và n là số nguyên dương, p là số nguyên tố. 23 (i) Mọi p - nhóm con của G đều nằm trong p - nhóm con Sylow nào đó của G. (ii) Mọi p - nhóm con Sylow đều liên hợp với nhau. (iii) Số các p - nhóm con Sylow của G. Kí hiệu r , là ước của m và ( )1 modr p≡ . Chứng minh. (i) Lấy H là một p – nhóm con và K là một p – nhóm con Sylow của G. Nên ta có , ,( , ) 1, .k nH p K p p m k n= = = ≤ Đặt { }|X l Kg g G= = ∈ .Theo Định lý Lagrange, ta được: GX m K = = . Xét ánh xạ như sau: ( ) X sao cho ,H X l h lh× →  . Ta kiểm tra được đây là một tác động của nhóm H lên tập X : (i) .1 , .l l l X= ∀ ∈ (ii) ( )1 2 1 2 1 2, ; : ( )h h H l X l h h lh h∀ ∈ ∀ ∈ = . Với mỗi phần tử l X∈ , quỹ đạo của l là ( ) { }|H l lh h H= ∈ và { }|lH h H lh l= ∈ = là nhóm con đẳng hướng của l trong H. Theo 2.16 Công thức các lớp và Định lý Lagrange ta có: ( )H l H∣ . Suy ra ( ) ,0iH l p i k= ≤ ≤ . Vì X m p=  nên tồn tại một quỹ đạo H(l) sao cho ( ) 0 1H l p= = . Khi đó ,lH H= nên lh l= hay = , ,Kgh Kg h H∀ ∈ suy ra 1 ,ghg K− ∈ ∀ h H∈ , ∀ g G∈ . Suy ra 1 .H g Kg−≤ Vậy H nằm trong p – nhóm con Sylow 1g Kg− (vì 1 ng Kg K p− = = ) của G. 24 (ii) Nếu ta lấy H và K là các p – nhóm con Sylow của G, thì theo (i) ta có tồn tại 1:g G H g Kg−∈ ≤ và H và 1g Kg− có cùng lực lượng nên 1H g Kg−= . Vậy H và K liên hợp với nhau. (iii) Lấy H là một p – nhóm con Sylow của G. Đặt { }1| :Y K G g G H g Kg−= ≤ ∃ ∈ = . Theo (ii) thì Y là tập tất cả các p – nhóm con Sylow của G. Xét tác động liên hợp của nhóm H lên tập Y như sau: ( ) 1, . Y H Y K h h Kh− × →  Với mọi K Y∈ , quỹ đạo của K là ( ) { }1 |H K h Kh h H−= ∈ và nhóm con đẳng hướng của K trong H là { }1|KH h H h Kh K−= ∈ = . Theo Công thức các lớp và Định lý Lagrange ta có ( ) | ,H K H suy ra ( ) ,0iH K p i n= ≤ ≤ . Ta có ( ): Gr Y G N H= =    . Mặt khác, theo Định lý Lagrange ta có: ( ) ( ) [ ] ( ): . : . :1 . : . .n nG G Gp m G G N H N H H H r N H H p= = =           Suy ra |r m và ( )0 modr p≡/ . Vì vậy ( )0 modr p≡/ nên theo công thức khai triển theo quỹ đạo của Y, sẽ tồn tại K Y∈ để cấp quỹ đạo ( ) 0 1H K p= = . 25 Ta sẽ chứng minh H = K. Thật vậy, ta có H(K) = K (vì ( ) 1H K = ) nên 1 , .h Kh K h H− = ∀ ∈ Suy ra , hK Kh h H= ∀ ∈ nên HK KH= . Ta chứng minh HK là một nhóm con của G . Thật vậy, HK ≠∅ , 1 1 ,h k∀ 2 2 :h k HK∈ ( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1 1 11 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1h k h k h k k h h k k h h hk− − − − −= = = ( )1h h k HK= ∈ (vì HK = KH). Mặt khác, ta kiểm tra được K là nhóm con chuẩn tắc của HK. Vì 1.K K HK= ≤ và 1 1 , :h k HK k K∀ ∈ ∀ ∈ ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. . .h k k h k k h k h k − − −= ( )1 11 1 1 1.k h k h k K− −= ∈ , do 11 1 1. ,h k h K h H− ∈ ∀ ∈ . Từ đó ta có đồng cấu nhóm tự nhiên : HKH Kφ → , với Ker H Kφ = ∩ và φ là toàn cấu nên H HKH K K≅∩ . Suy ra 2 . . nHK H K H K p∩ = = . Vậy HK là một p – nhóm con của G. Hơn nữa, . H HK K HK ≤  ≤ Suy ra , H HK K= = (do H, K là các p – nhóm con Sylow). Như vậy, ta đã chứng minh được chỉ có H là p – nhóm con Sylow thỏa ( ) 1H H = nên ( ), : ,1iK Y K H H K p i n∀ ∈ ≠ = ≤ ≤ . Theo Công thức khai triển thành quỹ đạo của Y, ta có: ( ) ( ) 1 (mod ) i i i I K H r Y H H H K p ∈ ≠ = = + ≡∑ , với { }i i IK ∈ là tất cả các phần tử đại diện cho các quỹ đạo khác nhau và khác H trong Y. Vậy ( )1 modr p≡ .  26 1.4. Tích trực tiếp và tích nửa trực tiếp Định nghĩa 1.4.1. (tích trực tiếp) Cho G là một nhóm có họ nhóm con { }/Hλ λ∈Λ và thỏa điều kiện sau: (i) Các nhóm con Hλ là chuẩn tắc của G, với mọi λ∈Λ . (ii) / và H / , 1G H Hλ λ µλ µ µ λ= ∈Λ ∩ ∈Λ ≠ = . Khi đó, ta nói G là tích trực tiếp của các nhóm con chuẩn tắc Hλ . Kí hiệu: G Dr Hλλ∈Λ= . Từ định nghĩa tích trực tiếp trên ta có những kết quả sau đây. Bổ đề 1.4.2. Cho G có các nhóm con chuẩn tắc H và K sao cho G=HK. Khi đó G H K H K H K H K= ×∩ ∩ ∩ . Để chứng minh Bổ đề 1.4.2 ta có Mệnh đề. Cho H và K là các nhóm con chuẩn tắc của một nhóm G . Nếu K G thì HK G≤ và H K H∩  . Hơn nữa, nếu H G thì HK G và H K G∩  . Như vậy ta chứng minh Bổ đề1. 4.2 như sau: Thật vậy, đặt L H K= ∩ nên L G (theo mệnh đề trên) . Từ Định lý tương ứng ta có , G GH KL L L L  . Mặt khác, H K eLL L∩ = vì H Kx L L∈ ∩ , suy ra Hx L∈ và Kx L∈ nên x kL hL= = , K, Hk h∀ ∈ ∀ ∈ . Khi đó 1k hL L− = , suy ra 1k h L H K− ∈ = ∩ , vì vậy k L∈ và h L∈ , do đó .x e L= . Vì vậy ta chỉ cần chứng minh 27 ( ).( )G H KL L L= . Thật vậy, giả sử g G∈ , khi đó , H, Kg hk h k= ∈ ∈ vì G = HK. Do đó = ( ).( )H KgL hkL hLkL L L= ∈ .  Bổ đề 1.4.3. Cho n∈ và ta viết 1 21 2. ... r a a a rn p p p= , trong đó ip là các số nguyên tố phân biệt và ia là các số nguyên dương , với { }1,2,...,i r∈ . Khi đó ta có 1 2 1 2 ...a a arrn p p p≅ × × ×    . Chứng minh . Cho ai i i i p P x= ≅  với 1 i r≤ ≤ . Khi đó ( )1 2 1 2, ,..., ...r rx x x P P P∈ × × × có cấp 1 21 2. ... r a a a rn p p p= . Suy ra, 1 2 ... r nP P P× × × ≅  .  Hệ quả 1.4.4. Nếu (a,b)=1 thì ab a b≅ ×   . Định nghĩa 1.4.5. (tích nửa trực tiếp) Cho G là một nhóm . Giả sử G có một nhóm con H và một nhóm con chuẩn tắc N sao cho G = N.H và 1N H∩ = . Khi đó, ta gọi G là tích nửa trực tiếp của N bởi H. Ta kí hiệu : G N H=  . Nếu thêm điều kiện H là nhóm con chuẩn tắc của G thì G chính là tích trực tiếp của N và H. Ví dụ 1.4.6. Đặt 3G S= , 3N A G=  và ( )H = 12 thì G N H=  nhưng H không là nhóm con chuẩn tắc của G nên G không là tích trực tiếp của N và H. Ví dụ 1.4.7. Nhóm Dihedral 2nD là tích nửa trực tiếp của một nhóm cylic cấp n và một nhóm cấp 2. 28 Định nghĩa1. 4.8 .(Tính đồng dạng những nhóm hoán vị) Cho G và H là hai nhóm hoán vị tương ứng trên các tập X và Y. Cặp ( , )α β là một sự đồng dạng từ G đến H nếu : G Hα → là đẳng cấu, : X Yβ → là song ánh sao cho g gαβ β= ,với mọi Gg∈ . • Nếu X =Y thì 1 , SXg g α β β β−= ∈ . • Nếu X Y= thì SX đồng dạng với SY . 29 CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG TÍCH BỆN CHUẨN VÀ MÔ TẢ CÁC NHÓM CON SYLOW CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG nS 1.1. Tích bện Định nghĩa 1.1.1. Cho H, K là hai nhóm hoán vị tương ứng trên các tập X và Y. Đặt Z X Y= × , , K f H g∀ ∈ ∈ và ( ), x y Z∈ , với , Yx X y∈ ∈ . Xét các hoán vị ( )f y , g∗ trên tập Z, được xác 1 1 1 Z ( ) : ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), Z f y x y xf y x y x y y y →    ≠   Z : ( , ) ( , ). Z g x y x yg ∗ →    Định nghĩa các ánh xạ ϕ và ρ như sau: : SZHϕ → ( )f f y : SZKρ → g g∗ . Vì vậy, với mọi phần tử y cố định trong Y ta có ϕ , ρ là những đơn cấu và H , K có ảnh tương ứng là H(y) và K ∗ . Khi đó tích bện của H và K là một nhóm hoán vị trên Z được sinh ra bởi K ∗và ( )H y , kí hiệu : KH  = . Mặt khác, ta có 1 1 1 1( )( ) ( ( )) , ( ) ( )f y f y g g− − − ∗ ∗ −= = , 30 1 Z ( ) ( )( ) : ( , ) ( , ) Z g f y g x yg xf yg ∗ − ∗ →    , và 1 1( , )x y cố định nếu 1y yg≠ . Do đó, với mọi ( , )x yg Z∈ ta có 1( , )( ) ( )( )x yg g f y g∗ − ∗ = ( , )xf yg ( , ) ( )x yg f yg= . Suy ra 1( ) ( )( ) ( )g f y g f yg∗ − ∗ = , hay 1( ) ( )( ) H( ). (1)g H y g yg∗ − ∗ = Đặt ( ) |B H y y Y= ∈ và W H K=  . Như vậy cần chứng minh B là tích trực tiếp sinh bởi H(y), với mọi y Y∈ , W là tích nửa trực tiếp của B bởi K ∗ . Chứng minh. i) B là tích trực tiếp sinh bởi H(y), với mọi y Y∈ . Gọi γ là phần tử sinh của B, do đó để chứng minh ( )H y B thì cần chứng minh 1 ( ) ( ), ( ) ( )f y H y f y H yγ γ− ∈ ∈ . ta xét hai trường hợp ' ( ),f yγ = ' ,y Y f H∈ ∈ và 1 1 1 1 1( ), , , f y y y y Y f Hγ = ≠ ∈ ∈ . Trường hợp ' ( )f yγ = : Với mọi ,( , )x y Z∈ . Nếu ,y y= thì , ' 1 ' ' 1 , '( , ) ( ( )) ( ) ( ) ( , )( ( )) ( )x y f y f y f y xf y f y f y− −  =  = ' 1 ' ,( , )xf ff y− , ' 1 ' ,( , ) ( )x y f ff y−= . Suy ra ' 1 '( ( )) ( ) ( )f y f y f y− = ' 1 '( ) ( )f ff y H y− ∈ . Nếu ,y y≠ thì , ' 1 '( , ) ( ( )) ( ) ( )x y f y f y f y−  = ,( , )x y . Suy ra ' 1 '( ( )) ( ) ( )f y f y f y− ( )H y∈ . Trường hợp 1 1 1( ),f y y yγ = ≠ : Với mọi 1( , )x y Z∈ ta có 1 1 1 1 1 1( , ) ( ( )) ( ) ( )x y f y f y f y −  =  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )xf y f y f y xf y f y − −  =  1( , )x y= . Suy ra 1 1 1( ( )) ( ) ( ) ( )f y f y f y H y − ∈ . Như vậy cả hai trường hợp, 1 ( ) ( )f y H yγ γ− ∈ . Dó đó ( )H y B (2). 31 Mặt khác lấy , , ,( ) ( ) | , ,l H y H y y y Y y y∈ ∩ ∈ ≠ , ta có { }1 1 2 2( ) ( ). ( )... ( )... ,y y , 1,2,..., ,...m m il f y f y f y f y i m= = ≠ ∈ . Ta cần chứng minh ( ) 1f y = . Thật vậy, với mọi ,( , )x y Z∈ , ta xét ,y y= và ,y y≠ . Nếu ,y y= thì , , , , 1 1 2 2( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ). ( )... ( )... =( , )m mxf y x y f y x y f y f y f y x y= = , vì , iy y y= ≠ . Suy ra xf x= nên 1f = . Vì vậy ( ) 1f y = . Nếu ,y y≠ thì , ,( , ) ( ) ( , )x y f y x y= , suy ra ( ) 1f y = . Vì vậy , , ,( ) ( ) | , , 1H y H y y y Y y y∩ ∈ ≠ = (3). Từ (2) và (3) suy ra B là tích trực tiếp sinh bởi các nhóm con chuẩn tắc H(y) với mọi y Y∈ , kí hiệu : ( ) y Y B Dr H y ∈ = . ii) Ta chứng minh W là tích nửa trực tiếp của B bởi K ∗ . Như vậy cần chứng minh W, B K 1, W .B BK∗ ∗∩ = = Thật vậy, ta có 1( ) ( )( )g f y g∗ − ∗ ( ) , W, Yf yg B g yg∗= ∈ ∀ ∈ ∈ nên WB và W BK ∗= (hiển nhiên). Mặt khác, với mọi h B K ∗∈ ∩ , ta có 1 1 2 2( ). ( )... ( )...m mh g f y f y f y ∗= = Chứng minh 1g∗ = . Thật vậy, với ( , )x y Z∈ , ta có ( , ) ( , )x y g x yg∗ = . Vì vậy 1 1 2 2( , ) ( ). ( )... ( )... = (x, )m mx y f y f y f y yg . Nếu 1y y= thì 1 1 1 2 2 1 1( , ) ( , ) ( )... ( )... = ( , )m mx y g xf y f y f y xf y= (vì i jy y≠ ), suy ra 1 1 1,xf x y y g= = nên g =1. Vì vậy * 1g = . Nếu 1y y≠ hay { }, 1,2,..., ,...iy y i m≠ ∈ thì 1 1 2

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdftvefile_2013_02_28_1242038406_1903_1871126.pdf
Tài liệu liên quan