Luận văn Tích phân Itô – Wiener nhiều chiều

+ . (1.63) Ta có công thức: ( ) ( ) ( )1 2, ,t t t t t td X Y X dY Y dX t t dtβ ω β ω= + + . (1.64) Chứng minh Ta có ( ) ( )2 22 2 2 22 2t t t t t t t t t t t tX Y X X Y Y X Y X Y X Y+ = + + ⇔ = + − − . Lấy vi phân 2 vế ta được: ( ) ( )2 2 22 t t t t t td X Y d X Y dX dY= + − − . (*) Trong đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 2 2 1 22 1 2 2 , , 2 , , 2 , , . t t t t t t t t t t t t dX X dX t dt dY Y dY t dt d X Y X Y d X Y t t dt β ω β ω β ω β ω ⎧ = +⎪⎪⎪ = +⎨⎪⎪⎪ + = + + + +⎩ Thay vào (*) ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 1 2 1 2 2 2 2 , , 2 , 2 , t t t t t t t t t t d X Y X Y d X Y t t dt X dX t dt Y dY t dt β ω β ω β ω β ω = + + + + − + − + = ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 21 1 2 22 , 2 , , ,t t t tX Y dX dY t t t t dtβ ω β ω β ω β ω+ + + + + Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 30 ( )( ) ( )( )2 21 22 , 2 ,t t t tX dX t dt Y dY t dtβ ω β ω− + − + ( ) ( )1 22 2 2 , ,t t t tY dX X dY t t dtβ ω β ω= + + . Suy ra: ( ) ( ) ( )1 2, ,t t t t t td X Y X dY Y dX t t dtβ ω β ω= + + . , Ví dụ 1.3.5: Cho quá trình ngẫu nhiên 2 ,t tX W= trong đó tW là quá trình Wiener một chiều, có vi phân ngẫu nhiên: 2t t tdX dt W dW= + . (1.65) Cho quá trình ngẫu nhiên 2 ,tWtY t e= + + trong đó tW là quá trình Wiener một chiều, có vi phân ngẫu nhiên: 11 2 t tW W t tdY e dt e dW ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠ . (1.66) Khi đó ta tìm vi phân ngẫu nhiên Itô của tích t tX Y⋅ . Giải Ta có: ( ) ( ) ( )1 2, ,t t t t t td X Y X dY Y dX t t dtβ ω β ω= + + ( )( )2 11 2 2 22 t t t tW W W Wt t t t tW e dt e dW t e dt W dW W e dt⎡ ⎤⎛ ⎞= + + + + + + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ( ) ( )2 211 2 2 2 22 t t t t tW W W W Wt t t t tW e t e W e dt W e W t e dW⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + + + + + + + + +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦ ( ) ( )2 22 1 2 2 2 2 2 t tW Wt t t t t t We W W t dt W e W t dW ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + + + + + + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎣ ⎦ . (1.67) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 31 Tính chất 1.3.6: Vi phân của nghịch đảo quá trình ngẫu nhiên Điều kiện: Cho tY là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân Itô biểu diễn dạng: ( ) ( )2 2, ,t tdY t dt t dWα ω β ω= + . (1.68) Ta có công thức: ( ) ( ) ( )22 2 22 ,1 1 , , t t t t t d t dt t dW Y Y Y β ω α ω β ω⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ = − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ (1.69) Chứng minh Ta xét ( ) 1,t X X ϕ = thì: 0 t ϕ∂ =∂ , 2 2 2 3 1 2, X X X X ϕ ϕ∂ ∂= − =∂ ∂ suy ra ( )222 3,1 1 t t t t t d dY dt Y Y Y β ω⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠ ( ) ( ) ( )22 2 22 ,1 , , t t t t t dt t dW Y Y β ω α ω β ω⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ . , (1.70) Ví dụ 1.3.7: Cho quá trình ngẫu nhiên ,tWtY e= trong đó tW là quá trình Wiener một chiều, có vi phân ngẫu nhiên: 1 2 t tW W t tdY e dt e dW= + . (1.71) Khi đó ta tìm vi phân ngẫu nhiên Itô của 1 tY . Giải Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 32 Ta có: ( ) ( ) ( )22 2 22 ,1 1 , , t t t t t d t dt t dW Y Y Y β ω α ω β ω⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ = − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 2 2 1 1 2 t t t t t t Y Y dt Y dW Y Y ⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦ 1 1 2 tt t dt dW Y Y = − 1 1 2 t t tW W dt dW e e = − . (1.72) Tính chất 1.3.8: Vi phân của thương hai quá trình ngẫu nhiên Điều kiện: Cho tX là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân Itô biểu diễn dạng: ( ) ( )1 1, ,t tdX t dt t dWα ω β ω= + . (1.73) Cho tY là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân Itô biểu diễn dạng: ( ) ( )2 2, ,t tdY t dt t dWα ω β ω= + . (1.74) Ta có công thức: ( ) ( ) ( )2 122 3, ,, t tt t t t t t t t t X t YX Y dX X dYd t dt Y Y Y β ω β ωβ ω⎛ ⎞ −−= +⎜ ⎟⎝ ⎠ (1.75) Chứng minh Ta có ( ) ( )21 2,1 1 1. ,t t t t t t t t t tXd d X X d dX t dt Y Y Y Y Y β ωβ ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( )22 1 22 3 2, , ,1 1t t t t t t t t t t X dY dt dX dt Y Y Y Y β ω β ω β ω⎛ ⎞= − + + −⎜ ⎟⎝ ⎠ ( ) ( ) ( )22 1 23 2 2, , , 1 tt t t t t t t t t t XX dt dt dX dY Y Y Y Y β ω β ω β ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ . , (1.76) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 33 Ví dụ 1.3.9: Cho quá trình ngẫu nhiên ,taWtX e= trong đó tW là quá trình Wiener một chiều, có vi phân ngẫu nhiên: 21 2 t taW aW t tdX a e dt a e dW= + . (1.77) Cho quá trình ngẫu nhiên ln ,tW atY e= trong đó tW là quá trình Wiener một chiều, có vi phân ngẫu nhiên: ( )21 ln ln 2t t t t dY a Y dt Y a dW= + . (1.78) Khi đó ta tìm vi phân ngẫu nhiên Itô của thương t t X Y . Giải Ta có: ( ) ( ) ( )2 122 3, ,, t tt t t t t t t t t X t YX Y dX X dYd t dt Y Y Y β ω β ωβ ω⎛ ⎞ −−= +⎜ ⎟⎝ ⎠ ( )22 2 1 1ln ln 2 2t t t t t t t t t Y aX dW a X dt X Y a dW a Y dt Y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= ( ) ( ) 2 2 2 3 1 1ln . .1 2 2ln 2 t t t t t t a Y X a Y X a Y dt Y − + ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 22 21 1ln ln ln ln2 4t ttt tX Xa a dW a a dt a a a dtY Y⎡ ⎤= − + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ( ) ( )( ) ( )2 221 1ln ln 1 ln2 2t ttX a a dW a a a dtY ⎡ ⎤⎛ ⎞= − + − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2ln 21 1ln 1 ln ln .2 2tW a a te a a a dt a a dW− ⎡ ⎤⎛ ⎞= − − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (1.79) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 34 Tính chất 1.3.10: Công thức tích phân từng phần Giả sử ( ) ( ),f s f sω = chỉ phụ thuộc vào s và f là hàm bị chặn trên đoạn [ ]0,T khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) 0 0 . T T s t sf s dW f t W W df s= −∫ ∫ (1.80) Chứng minh Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 0 T T s sf s dW f s f T f T dW= − − + −∫ ∫ ( ) ( )( ) ( ) 0 0 T T s sf T f s dW f T dW= − − +∫ ∫ ( ) ( ) 0 0 T T T s s s dW f u du f T dW′= − +∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 0 0 0 T u T s sf u du dW f T dW′= − +∫ ∫ ∫ ( )( ) ( )( )0 0 0 T u Tf u W W du f T W W′= − − + −∫ ( ) ( ) 0 . T T uW f T W df u= − ∫ , (1.81) Ví dụ 1.3.11: Tính tích phân 0 T ssdW∫ . Giải Áp dụng công thức từng phần ta có: 0 0 . T T s T ssdW T W W ds= −∫ ∫ . (1.82) Tính chất 1.3.12: Công thức vi phân vectơ – Itô Nếu ( )1,2 df C +∈ ×\ \ và tWJJG là quá trình Wiener trong d\ thì Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 35 ( ) ( ) ( ) ( )1, , , , ,2t t t t t tdf t W f t W dt f t W dW f t W dt= +∇ + ΔJJG JJG JJG JJG JJG (1.83) trong đó: 2 2 1 d i f x= ∂Δ = ∂∑ là toán tử Laplace, còn 1 , , d f f x x ⎛ ⎞∂ ∂∇ = ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ " là toán tử Gradient. Tính chất 1.3.13: Công thức vi phân Itô nhiều chiều Cho quá trình ngẫu nhiên n chiều tX thỏa 1 1 1 11 1 1 1 ... ... m t t m t n m t n n t nm t dX u dt v dW v dW dX u dt v dW v dW = + + + = + + + # # # (1.84) hay viết dưới dạng t tdX udt vdW= + , trong đó 1 1 11 11 1 , , , t m t t t n m n n nmt t X v v Wu X u v W u v vX W ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ … # # # # # " . Cho ( ) ( ) ( )( ) [ )1, , ,..., , : 0, d ppg t x g t x g t x= ∞ × →\ \ , thì quá trình ( ) ( )( ),Y t g t X t= có công thức vi phân ngẫu nhiên Itô ( ) ( ) ( )2 , 1, , , . 2 k k k k i i j i i ji i j g g gdY t X dt t X dX t X dX dX t x x x ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ ∂∑ ∑ (1.85) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 36 §1.4 ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH Khái niệm hợp đồng Quyền Chọn Mua: Người mua có thể mua “ một cơ hội mua một cổ phần chứng khoán trong tương lai với một giá đảm bảo trước ”. Cái quyền cho phép có thể mua (mà không bắt buộc phải mua) như vậy trong tương lai thì được gọi là Quyền Chọn Mua. Các điều kiện của hợp đồng này là: • Đến ngày đáo hạn, người giữ hợp đồng có thể trả cho người viết hợp đồng số tiền bằng giá thực thi của hợp đồng. • Nếu người viết hợp đồng nhận số tiền giá thực thi do người giữ trả, thì người viết phải giao cổ phần chứng khoán cho người giữ vào ngày đáo hạn. Lưu ý rằng người giữ hợp đồng có một Quyền Chọn đầu tư. Nếu người đó không muốn có một cổ phần thì người đó sẽ tránh không trả khoản chi phí thực thi. Hiển nhiên là điều đó xảy ra nếu giá cổ phiếu vào ngày đáo hạn thấp hơn giá thực thi. Và nếu người giữ thấy rằng giá cổ phiếu cao vào ngày đáo hạn, chắc chắn là người đó sẽ trả chi phí ấy và có được một cổ phần có giá trị. Khi đó ta nói rằng Quyền Chọn được thực thi. Quyền Chọn Mua kiểu Châu Âu là người giữ hợp đồng chỉ có thể sử dụng nó vào ngày đáo hạn. Khái niệm Bảo hộ giá: là một phương tiện để giảm thiểu tối đa những rủi ro tài chính hay Bảo hộ giá cũng có nghĩa là hạn chế rủi ro. Bảo hộ giá delta: Nếu ký hiệu giá Quyền Chọn là C còn giá cổ phiếu là S thì ta có: C S ∂Δ = ∂ nghĩa là Bảo hộ delta chính là sự cân bằng giữa sự thay đổi giá Quyền Chọn và giá cổ phiếu để triệt tiêu tác động của những thay đổi đó. Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 37 Năm 1973, trong một tạp chí về kinh tế chính trị, hai nhà kinh tế kiêm toán học Mỹ là Fisher Black và Myron Scholes, đã công bố một bài báo quan trọng về định giá Quyền Chọn. Từ đó ra đời mô hình Black – Scholes để định giá tài sản không rủi ro trong một thị trường với thời gian liên tục. Ngay lập tức, mô hình đó cùng với công thức Black – Scholes nổi tiếng rút ra từ mô hình đó đã có một tác động có tính chất cách mạng đến các thị trường chứng khoán tại Mỹ lúc đó. Người ta thấy rõ sự đơn giản mà rất hiệu quả của mô hình này để định giá chứng khoán và định giá hợp đồng Quyền Chọn có kể đến các yếu tố ngẫu nhiên tác động lên thị trường. Năm 1996, Scholes đã được nhận giải thưởng Nobel về kinh tế (lúc đó Black đã mất) nhờ các công trình về tài chính với sự cộng tác của R.C. Merton, một chuyên gia lão luyện về Toán tài chính tại Viện Công nghệ Massachusetts. Gọi tS là giá cổ phiếu tại thời điểm t , vì giá cổ phiếu chịu nhiều tác động ngẫu nhiên của thị trường, nên ta coi tS là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục ( ),tS S t= ω . Mô hình Black – Scholes được mô tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính như sau: .t t t tdS S dt S dW= μ + σ Trong đó ,μ σ là những hằng số, còn tW là quá trình Wiener. 1.4.1 Đạo hàm bậc nhất của công thức Black – Scholes Sở hữu của nhà đầu tư: một nhà đầu tư với sở hữu ban đầu là 0X và ở thời điểm t giữ ( )tΔ cổ phần của cổ phiếu ( ( ) 0t t tΔ = − là khoảng thời gian từ thời điểm bắt đầu 0t cho đến thời điểm đáo hạn t ). tS là giá của cổ phiếu được xác định bởi mô hình chuyển động Brown hình học: .t t t tdS S dt S dW= μ + σ (1.86) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 38 ( )tΔ có thể là ngẫu nhiên. Nhà đầu tư tài chính có thể mượn tiền hoặc là cho mượn tiền với tỉ lệ lãi suất là r . Ký hiệu tX là sở hữu của nhà đầu tư ở thời điểm t . Thì ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) . t t t t t t t t t t t t t dX t dS r X t S dt t S dt S dW r X t S dt rX dt t S r dt t S dW = Δ + − Δ = Δ μ + σ + − Δ = + Δ μ − + Δ σ ( )( )( ) ( ) .t t t trX t r S dt S t dW= + Δ μ − + σ Δ (1.87) Giá của một quyền chọn: Xem xét một quyền chọn kiểu Châu Âu với giá ( )Tg S ở thời điểm T . Ký hiệu ( ),v t x là giá của quyền chọn này ở thời điểm t nếu giá cổ phiếu tS x= . Hay nói cách khác giá của quyền chọn này ở thời điểm [ ]0,t T∈ là ( ), .tv t S Lấy vi phân của hàm này ta được: ( ) ( ) 2 2 1, 2 1 2 t t x t xx t t t x t t t xx t dv t S v dt v dS v dS dS v dt v S dt S dW v S dt ′ ′ ′′= + + ′ ′ ′′= + μ + σ + σ 2 21 . 2t t x xx t t x t v S v v S dt S v dW⎛ ⎞′ ′ ′′ ′= + μ + σ + σ⎜ ⎟⎝ ⎠ (1.88) Danh mục đầu tư bảo hộ bắt đầu với sở hữu 0X và sau khi đầu tư sẽ sở hữu tX ở mỗi lần chọn giá ( ), .tv t S Chắc chắn rằng ( ), ;t tX v t S t= ∀ , ta đồng nhất hệ số hai vế phương trình vi phân. Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 39 Đồng nhất theo hệ số tdW ta được công thức bảo hộ delta: ( ) ( ), .x tt v t S′Δ = (1.89) Đồng nhất theo hệ số dt ta được: ( )( )2 21 . 2t t x t xx t t v S v S v rX t r S′ ′ ′′+ μ + σ = + Δ μ − (1.90) Do ( ) ( ),x tt v t S′Δ = và ( ), ;t tX v t S t= ∀ nên ta suy ra: ( )2 21 . 2t t x t xx x t v S v S v rv v r S′ ′ ′′ ′+ μ + σ = + μ − (1.91) 2 21 . 2t t x t xx rv v rS v S v′ ′ ′′⇒ = + + σ (1.92) • Kết luận v là nghiệm của phương trình vi phân Black – Scholes: ( ) ( ) ( ) ( )2 21, , , , 2t x xx r v t x v t x r xv t x x v t x′ ′ ′′= + + σ (1.93) và thỏa điều kiện cuối ( ) ( ), .v T x g x= (1.94) Nếu một người đầu tư bắt đầu với ( )0 00,X v S= và sử dụng bảo hộ delta ( ) ( ),x tt v t S′Δ = thì người ấy sẽ có ( ), ;t tX v t S t= ∀ và đặc biệt ( )T TX g S= . 1.4.2 Ví dụ Một nhà đầu tư một lượng tiền vào cổ phiếu thì lượng tiền này sẽ thay đổi theo thời gian và được mô tả bởi quá trình ngẫu nhiên tX có phương trình vi phân ngẫu nhiên thỏa mô hình Black – Scholes: Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 40 t t t tdX X dt X dW= μ + σ , trong đó ,μ σ là hằng số. (1.95) ⇒ t t t dX dt dW X = μ + σ (1.96) Để giải phương trình này ta áp dụng công thức Itô cho hàm ( ), ln , 0.g t x x x= > Ta có: ( ) ( )2 221 1 1 1ln 2 2tt t tt t t dXd X dX X dt dt X X X ⎛ ⎞= + − σ = − σ⎜ ⎟⎝ ⎠ (1.97) ( ) 21ln 2 t t t dX d X dt X ⇒ = + σ . (1.98) Suy ra: ( ) 21ln 2t d X dt+ σ = tdt dWμ + σ . (1.99) Lấy tích phân hai vế từ 0t đến t ta được: ( ) 0 0 0 0 21ln 2 t t t t t t t t t t d X dt dt dW+ σ = μ + σ∫ ∫ ∫ ∫ (1.100) ( ) ( )0 0 2 0ln 2 t t t t X t t W W X ⎛ ⎞σ⇒ = μ − − + σ −⎜ ⎟⎝ ⎠ (1.101) suy ra: ( ) ( )0 02 0exp .2t t t tX X t t W W⎧ ⎫⎛ ⎞σ⎪ ⎪= μ − − + σ −⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭ (1.102) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 41 1.4.3 Kỳ vọng và phương sai của quá trình Cox – Ingersoll – Ross Mô hình Cox – Ingersoll – Ross cho ta tính lãi suất trong tài chính được mô tả như sau: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ,dr t a b cr t dt r t dW t= − + σ (1.103) trong đó , , ,a b c σ và ( )0r là những hằng số dương. Công thức tích phân tương ứng là: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0 . t t r t r a b cr u du r u dW u= + − + σ∫ ∫ (1.104) Ta áp dụng công thức Itô để tính ( )2dr t , nghĩa là ( )( )df r t trong đó ( ) 2f x x= 0; 2 ; 2.t x xxf f x f′ ′ ′′⇒ = = = Vậy ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 1 2 dr t df r t f r t dr t f r t dr t dr t = ′ ′′= + ( ) ( ) ( ) ( )32 2 22 2 2 .ab r t dt acr t dt r dW t= + σ − + σ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 22r t a b cr t dt r t dW t a b cr t dt r t dW t⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + σ + − + σ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )32 222 2 2abr t dt acr t dt r t dW t r t dt= − + σ + σ (1.105) ( )2dr t⇒ ( ) ( ) ( ) ( )32 2 22 2 2 .ab r t dt acr t dt r dW t= + σ − + σ (1.106) Kỳ vọng của ( )r t . Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 42 Từ phương trình ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 0 0 , t t r t r a b cr u du r u dW u= + − + σ∫ ∫ lấy kỳ vọng hai vế ta được: ( ) ( ) ( )( ) 0 0 . t Er t r a b cEr u du= + −∫ (1.107) Lấy vi phân hai vế ta được: ( ) ( )( ) ( )d Er t a b cEr t ab acEr t dt = − = − . (1.108) Suy ra ( ) ( ) ( ) .act act actd de Er t e acEr t Er t e ab dt dt ⎡ ⎤⎡ ⎤ = + =⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ (1.109) Lấy tích phân hai vế ta được: ( ) ( ) ( ) 0 0 1 . t act acu actbe Er t r ab e du e c − = = −∫ (1.110) Suy ra ( ) ( )0 .actb bEr t e r c c − ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠ (1.111) Phương sai của ( )r t . Lấy tích phân hai vế của (1.106), ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )32 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 . t t t r t r ab r u du ac r u du r u dW u= + + σ − + σ∫ ∫ ∫ (1.112) Lấy kỳ vọng hai vế ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 0 0 0 2 2 . t t Er t r ab Er u du ac Er u du= + + σ −∫ ∫ (1.113) Lấy vi phân hai vế ta được: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 .d Er t ab Er t acEr tdt = + σ − (1.114) Chương I Luận văn thạc sĩ toán học 43 suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 22 2 .act act actd de Er t e acEr t Er t e ab Er tdt dt⎡ ⎤= + = + σ⎢ ⎥⎣ ⎦ (1.115) Lấy tích phân hai vế ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 2 0 0 . 2 act act act b b b bEr t r e ac c c ac c b br e r e c ac ac c − − − ⎛ ⎞σ σ⎛ ⎞= + + − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ σ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1.116) Suy ra ( ) ( ) ( )( )22var r t Er t Er t= − ( ) ( )2 2 22 22 0 0 .2 2act act b b br e r e ac c ac ac c − −σ σ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1.117) Chương II Luận văn thạc sĩ toán học 44 CHƯƠNG II TÍCH PHÂN ITÔ – WIENER NHIỀU CHIỀU § 2.1. TÍCH PHÂN ITÔ – WIENER NHIỀU CHIỀU Định nghĩa 2.1.1: Hàm đối xứng Hàm thực : [0, ]ng T →\ được gọi là đối xứng nếu 1 1 ( ,..., ) ( ,..., ) n n g x x g x xσ σ = (2.1) với mọi hoán vị σ của (1 , 2,…, n). Định nghĩa 2.1.2: 2 2 1 1([0, ] ) [0, ] : ( ,..., ) ... .n n n nL T T g g x x dx dx= < ∞∫ (2.2) Ta ký hiệu 2 ([0, ] )nL T  là không gian các hàm tích phân bình phương khả tích đối xứng trên khối [0, ]nT . • Đặt 1 1 2{( ,..., ) [0, ] :0 ... }.nn n nS x x T x x x T= ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ (2.3) Tập nS chiếm 1 !n thể tích của khối [0, ]nT . • Nếu 2 ([0, ] )ng L T∈  thì Chương II Luận văn thạc sĩ toán học 45 2 2 2 22 1 1([0, ] ) ( ) ! ( ,..., ) ... !n n n nL T L S n g n g x x dx dx n g S = =∫ (2.4) • Nếu f xác định trên khối [0, ]nT thì định nghĩa 11 1( ,..., ) ( ,..., ) ! nn f x x f x x n = ∑ σ σ σ (2.5) trong đó xích ma là tổng tất cả các hoán vị σ của (1,2,…,n). Chú ý rằng: f f= nếu và chỉ nếu f là đối xứng. Ví dụ 2.1.3: Cho 121 2 1 2( , ) 2 xf x x x x e= + thì 1 22 21 2 1 2 2 11( , ) (2 2 )2 x xf x x x x x e x e= + + + (2.6) Định nghĩa 2.1.4: Tích phân Itô lặp Nếu f xác định trên ( 1)nS n ≥ sao cho ( )22 2 1 1( ) : ,..., ...n n n nL S S f f t t dt dt= < ∞∫ , thì ta định nghĩa tích phân Itô lặp như sau: ( ) ( ) ( ) ( )3 2 1 1 2 0 0 0 0 ( ) : ,..., ... nt t tT n n nJ f f t t dW t dW t dW t ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ ∫" (2.7) • Áp dụng tính đẳng cự của tích phân Itô ta được: Chương II Luận văn thạc sĩ toán học 46 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 1 1 0 0 0 ,..., nt tT n n nE J h E h t t dW t dW t ⎡ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥⎡ ⎤ = ⎜ ⎟⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫" " ( ) ( ) ( )2 2 1 1 0 0 0 , , nt tT n n nE h t t dW t dW t dt ⎡ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎢ ⎥= ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎦ ∫ ∫ ∫" " " ( ) ( ) 2 2 22 1 1 0 0 0 , , n n t tT n n L S h t t dt dt h= = =∫ ∫ ∫" " " " (2.8) • Tương tự, nếu ( )2 mg L S∈ , và ( )2 mh L S∈ với m < n thì theo tính đẳng cự của tích phân Itô ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 , , , , , , , m m s sT m n m m s tT n m m m E J g J h E g s s dW s dW s h t t s s dW t dW s− ⎡⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎢⎡ ⎤ = ⎜ ⎟⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎢⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭⎣ ⎤⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎥⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎥⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ " " " " " " " ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 , , , , , , m m s sT m m m s t m m m m E g s s s dW s dW s h t s s dW t dW s ds − − − − ⎡⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎢⎨ ⎬⎪ ⎪⎢⎩ ⎭⎣ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪⎥⎨ ⎬⎪ ⎪⎥⎩ ⎭⎦ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ " " " " " " Chương II Luận văn thạc sĩ toán học 47 ( ) ( ) ( ) ( )2 1 21 1 1 1 1 0 0 0 0 0 , , , , , , , ms s s tT m n m m n m mE g s s h t t s s dW t dW t ds ds− − ⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫" " " " " " " " = 0. (2.9) Từ đó ta suy ra tính chất trực giao: 2 ( ) 0 [ ( ) ( )] ( , ) n m n L S khi n m E J g J h g h khi n m ≠⎧⎪= ⎨ =⎪⎩ (2.10) trong đó 2 1 1 1( ) 0 ( , ) ( ,..., ) ( ,..., ) ... n n S n n nL S g h g x x h x x dx dx= ∫ (2.11) là tích vô hướng trong 2 ( )mL S . Chú ý rằng (2.10) cũng thỏa với n = 0 hay m = 0 nếu ta đặt: 0 ( )J g g= nếu g là hằng số và 2 0( ) ( , ) L S g h g h= nếu g,h là hằng số. Định nghĩa 2.1.5: Tích phân Itô – Wiener nhiều chiều Nếu [ ]( )2 0,ˆ nTg L∈ ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều qua khái niệm tích phân Itô lặp. Trong đó ta xét lớp các hàm ngẫu nhiên bình phương khả tích đối xứng, khi đó ta định nghĩa: ( ) : ! ( ).n nI g n J g= (2.12) Chú ý rằng: Từ (2.8) và (2.12) suy ra: Chương II Luận văn thạc sĩ toán học 48 2 2 2 22 2 2 2 ( ) ([0, ] ) [ ( )] [( !) ( )] ( !) ! n n n n L S L T E I g E n J g n g n g= = = (2.13) với mọi 2ˆ ([0, ] )ng L T∈ . §2.2 ĐA THỨC HERMITE Trong phần này sẽ trình bày cách xác định đa thức Hermite ( )nH x và các tính chất từ hàm sinh: ( ) ( )2 2 0 , ! n t tx n n tg x t e H x n ∞− + = = =∑ , (2.14) đây là cách tiếp cận khác so với thông thường. Tính chất 2.2.1: Công thức đa thức Hermite Từ (2.14) ta sẽ có công thức: ( ) ( ) ( )2 21 nn x xn ndH x e edx −= − . (2.15) Chứng minh Nhắc lại công thức khai triển Taylor với hàm ( )f x khả vi vô hạn lần: ( ) ( ) ( )0 0 0 ! n n f x f x x x n ∞ = = −∑ (2.16) Ta có: ( )2 2 0 ! n t tx n n te H x n ∞− + = = ∑ , sử dụng khai triển Taylor tại 0t = ta được: Chương II Luận văn thạc sĩ toán học 49 ( ) ( ) ( )2 2 0 0! ! n n nk k t tx n n n n n t te O t H x O t t n n − + = = ∂⎛ ⎞ + = +⎜ ⎟∂⎝ ⎠∑ ∑ (2.17) đồng nhất hai vế ta được: ( ) ( )22 22 0 0 n n x tt tx x n t t H x e e e t t − −− + = = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( )22 0 1 n n x tx t e e x − − = ⎡ ⎤∂⎛ ⎞= − ⎢ ⎥⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ ( vì ( ) ( ) 2 2x t x te e t x − − − −∂ ∂= −∂ ∂ ) ( ) 2 21 .nn x xnde edx −= − , (2.18) Tính chất 2.2.2: Đệ qui Từ (2.14) ta sẽ có: ( ) ( ) ( )1 12 2 , 1n n nH x x H x n H x n+ −= − ≥ (2.19) Chứng minh Ta có ( ) ( )2 2 0 , ! n t tx n n tg x t e H x n ∞− + = = =∑ . Lấy vi phân hai vế theo t , ta được: ( ) ( ) ( )2 12 0 , 2 2 ! n t tx n n tg x t t x e H x n t n −∞− + = ∂ = − + =∂ ∑ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 1 2 2 ! ! 1 ! n n n n n n n n n t t tH x x H x H x n n n + −∞ ∞ ∞ = = = ⇔ − + = −∑ ∑ ∑ Chương II Luận văn thạc sĩ toán học 50 ( ) ( ) ( )1 1 1 0 0 2 2 ! ! ! n n n n n n n n n t t tn H x x H x H x n n n ∞ ∞ ∞ − + = = = ⇔ − + =∑ ∑ ∑ (2.20) đồng nhất hệ số hai vế theo nt , ta suy ra: ( ) ( ) ( )1 12 2 , 1n n nH x x H x n H x n+ −= − ≥ . , • Ta xác định đa thức ( ) ( )0 1,H x H x như sau: Sử dụng khai triển Taylor theo t của (2.14) ta được: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 20 1 1 2H x H x t O t t tx O t+ + = − + + (2.21) đồng nhất hệ số hai vế theo t ta được: ( ) ( )0 11, 2H x H x x= = . • Bây giờ dựa vào công thức đệ qui (2.19) ta suy ra một vài đa thức sau: ( ) ( ) ( ) 22 1 02 1 2 4 2H x xH x H x x= − × = − ( ) ( ) ( ) 33 2 12 2 2 8 12H x xH x H x x x= − × = − ( ) ( ) ( ) 4 24 3 22 3 2 16 48 12H x xH x H x x x= − × = − + . Tính chất 2.2.3: Cho ( )nH x là đa thức Hermite, ta có: i. ( ) ( )12 1.n nH x n H x n−′ = ≥ (2.22) ii. ( ) ( ) ( )2 2n n nH x x H x n H x′′ ′= − . (2.23) iii. ( ) ( ) ( )1 .nn nH x H x= − (2.24) Chương II Luận văn thạc sĩ toán học 51 Chứng minh i. Từ (2.14) lấy vi phân hai vế theo x ta được: ( ) ( )2 2 0 , 2 ! n t tx n n tg x t t e H x x n ∞− + = ∂ ′= =∂ ∑ ( ) ( ) 1 0 1 2 ! ! n n n n n n t tH x H x n n +∞ ∞ = = ′⇔ =∑ ∑ ( ) ( ) ( )11 12 1 ! ! n n n n n n t tH x H x n n ∞ ∞ − = = ′⇔ =−∑ ∑ (2.25) đồng nhất hệ số hai vế theo nt , ta suy ra ( ) ( )12 1.n nH x n H x n−′ = ≥ ii. Từ hệ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 n n n n n H x n H x H x x H x n H x − + − ′⎧ =⎪⎨⎪ = −⎩ (2.26) ta suy ra: ( ) ( ) ( )1 2n n nH x x H x H x+ ′= − (2.27) lấy vi phân hai vế theo x ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 1 2 2 n n n n n n n n H x H x x H x H x n H x H x x H x H x +′ ′ ′′= + − ′ ′′⇔ + = + − ⇒ ( ) ( ) ( )2 2n n nH x x H x n H x′′ ′= − . (2.28) Chương II Luận văn thạc sĩ toán học 52 iii. Ta có: ( ) ( ) ( )( ) ( )2 22 2, ,t t x t txg x t e e g x t− − + − − − +− − = = = (2.29) ( ) ( ) ( ) 0 0! ! n n n n n n t tH x H x n n ∞ ∞ = = −⇒ − =∑ ∑ (2.30) ( ) ( ) ( )1 .nn nH x H x⇒ − = − , Tính chất 2.2.4: Trực giao Cho ( ) ( ),n mH x H x là các đa thức Hermite, ta có: ( ) ( ) 2 0 !2 x n m n khi n m H x H x e dx n khi n m +∞ − −∞ ⎧ ≠⎪= ⎨⎪ π =⎩ ∫ . (2.31) Chứng minh • Khi m n≠ Ta có: ( ) ( ) ( )2 2 0n n nH x x H x n H x′′ ′− + = Nhân hai vế cho hàm 2xe− ta được: ( ) ( ) ( )2 2 22 2 0x x xn n ne H x e x H x e n H x− − −′′ ′− + = (2.32) ( ) ( )2 22x xn nd de H x ne H xdx dx − ⎛ ⎞⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠ (2.33) nhân hai vế cho ( )mH x ta được: Chương II Luận văn thạc sĩ toán học 53 ( ) ( ) ( ) ( )( )2 22x xm n m nd dH x e H x H x ne H xdx dx −⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠ . (2.34) Tương tự ta cũng có: ( ) ( ) ( ) ( )( )2 22x xn m n md dH x e H x H x me H xdx dx −⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠ . (2.35) Từ hai phương trình trên ta suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x x m n n m x x m n n m d d d dH x e H x H x e H x dx dx dx dx H x ne H x H x me H x − − − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = − + ( ) ( ) ( )22 x n mm n e H x H x−= − . (2.36) Lấy tích phân hai vế phương trình trên theo x từ −∞ đến +∞ ta được: ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2x xm n n md dH x e H x dx H x e H x dxdx dx +∞ +∞ − − −∞ −∞ −∫ ∫ ( ) ( ) ( )22 x m nm n e H x H x dx +∞ − −∞ = − ∫ (2.37) tính tích phân vế trái: ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2x xm n n md dH x e H x dx H x e H x dxdx dx +∞ +∞ − − −∞ −∞ −∫ ∫ Chương II Luận văn thạc sĩ toán học 54 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x x m n m n x x n m n m d d dH x e H x H x e H x dx dx dx dx d d dH x e H x H x e H x dx dx dx dx +∞ +∞ − − −∞ −∞ +∞ +∞ − − −∞ −∞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞− + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ∫ ∫ = 0. Vì ( ) ( )2 0.xm ndH x e H xdx +∞ − −∞ ⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦ (2.38) Suy ra: ( ) ( ) ( )22 0x n mm n e H x H x dx