Luận văn Tìm hiểu bước đầu về đa tạp Stein

cũng đúng cho các hàm thuộc ( , ) ( )p qC ∞ Ω nên ∂ cũng xác định trù mật. Tương tự ta cũng có định nghĩa toán tử yếu ∂ trên các dạng. Chú ý rằng phát biểu Tf D∈ nghĩa là 2 ( , ) ( , )p qf L ϕ∈ Ω , đồng thời f∂ tồn tại (theo nghĩa yếu) và 2( , 1) ( , )p qf L ϕ+∂ ∈ Ω . Cũng nghĩa tương tự như vậy cho phát biểu Sg D∈ Vì toán tử ∂ là toán tử tuyến tính, xác định trù mật nên nó có toán tử liên hợp, phần tiếp theo sau đây ta sẽ tìm hiểu kĩ hơn về toán tử liên hợp này. Từ định nghĩa toán tử liên hợp và Hệ quả 0.3.6 , liên hợp của ∂ kí hiệu là *∂ là toán tử tuyến tính, xác định trù mật và đóng: 2 2 ( , 1) ( , )* : ( , ) ( , )p q p qL Lϕ ϕ+∂ Ω → Ω được xác định như sau: ( * , ) ( , )f g f gϕ ϕ∂ = ∂ trong đó ( , ) ( )p qg D∈ Ω . Ta trình bày sau đây một số kết quả về ∂ và liên hợp của nó Bổ đề 2.1.1 Với ( )oCη ∞∈ Ω , Sf D∈ thì Sf Dη ∈ . Chứng minh: Vì 2( , 1) ( , )p qf L ϕ+∈ Ω nên 2 ( , 1) ( , )p qf Lη ϕ+∈ Ω . Do Sf D∈ nên f∂ tồn tại theo nghĩa yếu. Giả sử : ,' ' 1 1 n j JI J I j I p J q j f f ω ω ω ω= = + = ∂ ∂ = ∧ ∧ ∂ ∑ ∑ ∑ Với ( )oCφ ∞∈ Ω bất kì, trước tiên ta có: ( ) ( ), , , , , , , , I J I J I J I Jj j j j I J I J I J I Jj j j j f dV f dV f dV f dV f f dV f dV f dV φ φ ηη η ηφ φ ω ω ω ω η ηηφ φ η φ ω ω ω ω    ∂ ∂ ∂ ∂ = = −    ∂ ∂ ∂ ∂    ∂ ∂   ∂ ∂ = − − = − +    ∂ ∂ ∂ ∂    ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Do đó: ( ) , ,I JIJ I Jj j j f f f ηη η ω ω ω ∂∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ theo nghĩa yếu. Trong trường hợp tổng quát, bằng cách nhóm các số hạng ta chứng minh được bổ đề.  25 Bổ đề 2.1.2. Với ( )oCη ∞∈ Ω , Sf D∈ thì ( )S f Sf fη η η− = ∂ ∧ . Chứng minh: Trong chứng minh Bổ đề 2.1.1, ta có: ( )S f f fη η η= ∂ + ∂ ∧ mà f Sfη η∂ = . Vì vậy ta có chứng minh bổ đề. Ký hiệu ( ) ( )1 2, và 1 2. , . lần lượt là tích vô hướng và chuẩn trên các không gian 2 ( , ) ( , )p qL ϕΩ , 2 ( , 1) ( , )p qL ϕ+ Ω Bổ đề 2.1.3. Với ( )oCη ∞∈ Ω , *Tf D∈ thì *Tf Dη ∈ . Chứng minh: Vì *Tf D∈ nên với mọi Tu D∈ , ta có : ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 , , , , * , , * , , f Tu f Tu f T u f Tu T u T f u f Tu T u T f u f Tu T u η η η η η η η η η η η = = + − = + − = + − Áp dụng Bổ đề 2.1.2, ta có ( )Tu T u uη η η− = −∂ ∧ . Do đó: ( ) ( ) ( )2 1 2, * , ,f Tu T f u f uη η η= + −∂ ∧ Vì không có đạo hàm của u xuất hiện trong số hạng cuối cùng, dẫn đến ( )2,f Tuη liên tục theo 1 u : ( ( ) { }2 1 2 1, * Lf Tu C T f f uη η η ∞≤ + ∂ ), do đó có một phần tử 2 ( , ) 1( , )p qv L ϕ∈ Ω sao cho ( ) ( )1 2, ,v u f Tuη= . Điều này có nghĩa *Tf Dη ∈ . Định lý 2.1.4. Với 2( , 1) ( )p qf D L +∂∈ ∩ Ω , ' , , JI I J I p J q f f ω ω = = = ∧∑ . Ta có 2 2 , , ,' ' , 1 1 , , 1 n n I J I kK I mK k m k I p J q k I p K q m k f f f f ω ω ω= = + = = = = ∂ ∂ ∂   ∂ = −    ∂ ∂ ∂   ∑ ∑ ∑ ∑ (2.1.5) Chứng minh: Với 2( , 1) ( )p qf D L +∂∈ ∩ Ω , do định nghĩa của toán tử vi phân ∂ ta có ,' ' ' 1 , = ( 1) LI J p L I kJ I p L q J q k k f f z ε ω ω = = + = ∂ ∂ − ∧ ∂∑ ∑ ∑ 26 Do đó 2 , ,' ' ' , , , 1 , , , , n I M I J kJ mMm k I J M k m I J M k m I J M k m A B f f f ' ' ε ω ω= = ≠ ∂ ∂  ∂ = = +  ∂ ∂  ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ở đây kJmMε là dấu của phép hoán vị, kJ mMε triệt tiêu trừ khi k J∉ , m M∉ và {k} J={m} M∪ ∪ . Như vậy có 2 trường hợp xảy ra như sau : * Nếu k m J M= ⇒ = và k J∉ thì 2 ,' , I J k I J k J f A ω∉ ∂ = ∂ ∑ ∑ * Nếu k m≠ thì 0kJmMε ≠ khi k M∈ và m J∈ . Do đó nếu xóa bỏ chỉ số m khỏi J và k khỏi M thì mỗi bộ đa chỉ số còn lại trong J và M sẽ là tập các đa chỉ số cấp q giống nhau, mà ta đặt là K. Vì kJ kJ kmK mkK J M mM kmK mkK mM mK kK          = = −                  với chú ý rằng , , J I kK kK I Jf fε= thì ta thu được , , , ,' ' , , , I J I M I kK I mKJ M mK kKk m m k I J L m k I K m k f f f f B ε ε ω ω ω ω≠ ≠ ∂ ∂ ∂ ∂      = − = −      ∂ ∂ ∂ ∂      ∑ ∑ ∑ ∑ . Từ đó ta có (2.1.5).  Toán tử *∂ tác động lên *f D∂∈ được biểu diễn như sau: Định lý 2.1.5. Nếu *f D∂∈ thì ,1 ' 1 ( ) * (1) n KI kKp I k I p k K q e f f e ϕ ϕ ω ω ω − − = = =  ∂ ∂ = ∧ ∂  ∑ ∑ (2.1.6) Chứng minh: Nếu *f D∂∈ có ' , , JI I J I p J q f f ω ω = = = ∧∑ thì với , ( , ) , ( ) KI I K p q I K g g Dω ω= ∧ ∈ Ω∑ , ta có: 27 ,' , , , 1 ,' , , 1 ( * , ) ( , ) (-1) (-1) n I Kp J I J kK k I J K k n I Kp I kK k I K k g f g f g f e dV g f e dV ϕ ϕ ϕ ϕ ε ω ω − Ω = − Ω = ∂  ∂ = ∂ =   ∂  ∂ = ∂ ∑ ∑∫ ∑ ∑∫ Khi đó áp dụng định nghĩa đạo hàm theo nghĩa yếu ta thu được ( ) ( ) ,1 ' , , 1 ,1 ' , , 1 ( * , ) (-1) (-1) n I kKp I Kk I K k n I kKp I Kk I K k e f f g g dV e f e g e dV ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ω ω − − Ω = − − − Ω = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∑ ∑∫ ∑ ∑∫ ( ) ( ) ,1 ' , , 1 ,1 ' , 1 (-1) (-1) , n I kKp I Kk I K k n I kKp k I K k e f e g e dV e f e g ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ω ω − − − =Ω − − = ∂ = ∂  ∂  =  ∂  ∑ ∑∫ ∑ ∑ Mệnh đề 2.1.6. Nếu *f D∂∈ thì ff f Aϑ ∗ ∂ = + (2.1.7) trong đó ϑ là toán tử vi phân bậc 1 với hệ số hằng, toán tử A là toán tử vi phân bậc 0. Chứng minh: Từ (2.1.6) ta có: ,1 ' 1 ' , , 1 , 1 * ( 1) ( 1) n nK KI kKp I p I I kKk k I K k I K k f f fϕω ω ω ω ω ω − − = = ∂ ∂ ∂ = − ∧ − − ∧ ∂ ∂∑ ∑ ∑ ∑ f Afϑ= +  Đặt ( )k k k k gg e ge gφ φ φδ ω ω ω −∂ ∂ ∂= = − ∂ ∂ ∂ , ta có kết quả: Với ( , 1)p qf D +∈ thì: * 1 ' , , 1 ( 1) n Kp I k I kK I K k f fδ ω ω− = ∂ = − ∧∑ ∑ (2.1.8) Ta cần chứng minh miền giá trị của toán tử T giữa các không gian 2( , ) ( , )p qL ϕΩ , 2 ( , 1) ( , )p qL ϕ+ Ω là không gian F gồm tất cả các 2 ( , 1) ( , )p qf L ϕ+∈ Ω với 0f∂ = (theo nghĩa lý thuyết hàm suy rộng). Bổ đề sau đây dẫn bài toán này về bài toán đánh giá sau 28 Bổ đề 2.1.7. Cho 1 2:T H H→ là toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật từ một không gian Hilbert 1H vào không gian Hilbert 2H . Gọi F là không gian con đóng của H2 và TR F⊆ . Khi đó TR F= khi và chỉ khi tồn tại một hằng số 0C > sao cho 2 1 *y C T y≤ với mọi *Ty F D∈ ∩ (2.1.9) Chứng minh: )⇐ Giả sử (2.1.9) đúng. Ta chỉ cần chứng minh TF R⊂ , tức là chứng minh với mỗi z F∈ sẽ tồn tại phần tử 1Tx D H∈ ⊂ sao cho Tx z= . Do định lý 0.3.8 ta có **T T= , phương trình Tx z= tương đương với đẳng thức 1 2( , * ) ( , )x T y z y= , *Ty D∈ Trước hết ta chứng minh 2 2 1( , ) *y z C y T y≤ , *Ty D∈ (2.1.10) Thật vậy, nếu y F ⊥∈ thì 2( , ) 0z y = và * 0T y = vì TR F⊆ . Do đó chỉ cần chứng minh (2.1.10) với *Ty F D∈ ∩ , mà điều này được suy ra từ (2.1.9) và 2 2 2 ( , )y z y z≤ . Ta xét ánh xạ 2: * ( , )T y z yϕ  , ϕ là phiếm hàm tuyến tính thỏa điều kiện (2.1.10) nên áp dụng định lý Hahn-Banach ϕ được thác triển lên 2H . Khi đó có duy nhất x sao cho 2 1( , ) ( * ) ( , * )z y T y x T yϕ= = với mọi *Ty D∈ . Suy ra phương trình Tx z= có nghiệm thuộc **T TD D= . )⇒ Giả sử TR F= , ta cần chứng minh tập hợp { }* 1: * 1TB f D F T f= ∈ ∩ ≤ bị chặn Thật vậy, với mọi f B∈ ta có *Tf D F∈ ∩ và 1* 1T f ≤ . Khi đó với mọi g cố định thuộc F , theo giả thiết TR F= tồn tại một phần tử Tu D∈ sao cho Tu g= . Khi đó 2 2 1 1 1 1( , ) ( , ) ( * , ) *f g f Tu T f u T f u u= = ≤ ≤ với mọi f B∈ (2.1.11) 29 Bất phương trình (2.1.11) nghiệm đúng với mọi g F ⊥∈ vì vế trái bằng 0. Họ phiếm hàm tuyến tính { }2: ( , )f f BTu f gψ ∈ thỏa điều kiện (2.1.10) nên áp dụng nguyên lý bị chặn đều ta có M > 0 sao cho 2f Mψ ≤ , f B∀ ∈ . Điều này dẫn đến (2.1.9)  Trong chứng minh các định lý xấp xỉ ta cần kết quả sau Bổ đề 2.1.8. Cho T là ánh xạ tuyến tính, đóng, trù mật từ không gian Hilbert 1H vào không gian Hilbert 2H , F là không gian con đóng của 2H , TF R⊂ . Giả sử (2.1.9) đúng. Khi đó với mỗi 1v H∈ mà trực giao với KerT có thể tìm được *Tf D∈ sao cho *T f v= và 2 1H H f C v≤ (2.1.12) Chứng minh: Do (2.1.9) 1v H∈ mà trực giao với KerT thì *Tv R∈ . Do TF R⊆ và (0.3.2) ta có phần bù trực giao của F là *KerT . Khi đó: * ** : T TT F D R∩ → có miền giá trị giống miền giá trị của * **: T TT D R→ . Do bất đẳng thức (2.1.9) nên toán tử T* có miền giá trị là đóng, do đó ta có thể tìm *Tf D∈ sao cho *T f v= và bất đẳng thức (2.1.12) xảy ra. 2.2 Các định lý tồn tại và xấp xỉ nghiệm đối với phương trình Cauchy-Riemann trên đa tạp Stein. Nội dung đầu tiên của mục này là định lý tồn tại nghiệm Định lý 2.2.4. Để chứng minh định lý này ta cần chứng minh bất đẳng thức (2.2.14) sau đó sử dụng Bổ đề (2.1.7) để đến kết luận. Để có bất đẳng thức (2.2.14) ta cần chứng minh một số kết quả sau Bổ đề 2.2.1. ( ) ( ) 2 , ,p qL ϕΩ là trù mật trong * STD D∩ với chuẩn đồ thị *f f T f Sf ϕ ϕ ϕ → + + ở đây T * là ánh xạ liên hợp của T Chứng minh: Từ Bổ đề 2.1.2 ( ) ,v v v SS f Sf f f Dη η η− = ∂ ∧ ∈ 30 Theo (2.1.1) ta có ( ) 2 2 ,v v SS f Sf f f Dη η− ≤ ∈ Mặt khác giống như trong chứng minh Bổ đề 2.1.3, ta có ( )( )( ) ( )* * , ,v v vT f T f u f uϕ ϕη η η− = − ∂ ∧ với ( )* ,, p qTf D u D∈ ∈ Suy ra ( ) 2 2* *v vT f T f fη η− ≤ Suy ra v f fη → theo chuẩn đồ thị nếu *T Sf D D∈ ∩ . Do đó ta chỉ cần xấp xỉ các phần tử trong * STD D∩ có giá là compact, và bằng phép phân hoạch đơn vị ta quy chứng minh về trường hợp khi giá nằm trong mảnh tọa độ. Trong trường hợp này ta có thể sử dụng bổ đề cổ điển của Friedrichs Bổ đề 2.2.2. Cho ( )0 NC ϕ ∞∈ và 1dxϕ =∫ , lấy ( )2 Nv L ∈ có giá compact và lấy 1a C∈ là một hàm trong lân cận giá của v . Đặt ( ) ( )( ) ( )J v x v x y y dyε ε ϕ= −∫ Khi đó ( ) 0k kaD J v J aD vε ε− → trong 2L khi 0ε → , ở đây kaD v được xác định theo nghĩa của lý thuyết hàm suy rộng và /k kD x= ∂ ∂ . Chứng minh Bổ đề 2.2.2: Nếu 1v C∈ thì chỉ cần chứng minh bất đẳng thức ( ) 22k k LLaD J v J aD v C vε ε− ≤ với ε đủ nhỏ khi giả sử a có đạo hàm bị chặn trong toàn bộ N . Tính toán ta có ( ) ( ) ( )( )k kW x aD J v x J aD v xε ε ε= − = ( ) ( ) ( )( ) ( )( ( )( )) ( )/k kv x y a x a x y y D a x y y dyε ε ϕ ε ε ϕ= − − − + −∫ ở đây ta hiệu k kDϕ ϕ= . Nếu C là một chặn đối với grad a thì ( ) ( ) ( ) ( )( )kW x C v x y y y y dyε ε ϕ ϕ≤ − +∫ Theo Bất đẳng thức Minkowki cho tích phân ta được ( ) ( ) ( )( ) 2k LW x C y y y dy vε ϕ ϕ≤ +∫  31 Kết thúc chứng minh bổ đề 2.2.1. Từ bổ đề 2.2.2 ta suy ra rằng trong một mảnh tọa độ mà trên đó f có giá compact nếu chúng ta áp dụng toán tử Je lên mỗi thành phần của f thì: ( )* * 0, 0T J f J T fε ε ϕ ε− → → Do đó theo Bổ đề 0.2.4 ( )* * 0T J f T fε ϕ− → khi 0ε → nếu *Tf D∈ Tương tự ta chứng minh được ( )S J f Sfε → , ( Điều này đơn giản hơn vì S có hệ số không đổi nếu các tọa độ là giải tích) . Lấy U là mảnh tọa độ trong Ω mà trên đó có một cơ sở trực giao 1,...., nω ω là các dạng thuộc lớp C¥ kiểu ( )1,0 . Theo cơ sở này ta sẽ biểu diễn các toán tử S và *T tác động lên các dạng ( ), 1p qf D +∈ với giá trong U. Nếu ( )1u C U∈ , ta viết 1 1 n n ii ii u udu ω ω ω ω ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∑ ∑ thì ta có 1 n i i uu ω ω ∂ ∂ = ∂ ∑ , và nếu ' , JI I Jf f ω ω= ∧∑ thì ,' , .... i JI J I i I J i f f ω ω ω ω ∂ ∂ = ∧ ∧ + ∂ ∑ ∑ ở đây các dấu chấm chỉ các số hạng mà không ,I Jf nào được lấy vi phân, chúng xuất hiện vì iω∂ và jω∂ không nhất thiết bằng 0. Nếu tổng đó được kí hiệu là Af , thì ta có f Af C f∂ − ≤ ở đây C độc lập với f khi giá của f nằm trong một tập hợp con compact cố định của U . Bây giờ lấy ( ),p qu D∈ có giá trong U và từ ( ) ,' , , * , , 1 ...p I KI jK j I K j u T f u e dV f u e dV f e dVϕ ϕ ϕ ω − − −∂= ∂ = − + ∂ ∑ ∑∫ ∫ ∫ (2.2.2) ở đây các dấu chấm một lần nữa chỉ các số hạng không liên quan đến vi phân. Ta sẽ lấy tích phân từng phần. Chú ý rằng với kí hiệu 32 ( ) j j we w e ϕ ϕδ ω −∂ = ∂ công thức Green cho ( )0, ,j jj v we dV v we dV vwe dV v w C Uϕ ϕ ϕδ σ ω − − − ∞∂ = − + ∈ ∂ ∫ ∫ ∫ ở đây ( )j C Uσ ∞∈ . Lấy tích phân từng phần (2.2.2), ta được (xem chứng minh Định lý 2.1.5) ( ) 1 ' , , 1 * 1 ... ... n kp I j I jK I K j T f f Bfδ ω ω− = = − ∧ + = +∑ ∑ (2.2.3) ở đây các dấu chấm chỉ các số hạng mà không có ,I jKf nào được lấy vi phân và không liên quan đến ϕ . Do đó *T f Bf C f− ≤ khi f có giá trong một tập con compact cố định của U . Với một hằng số khác độc lập với f và ϕ , ta được ( )22 2 2 22 *Af Bf Sf T f C fϕ ϕ ϕ ϕ ϕ+ ≤ + + (2.2.4) Ta có 2 ' , , , , 1 n j I jK k I kK I K j k Af f f e dVϕ ϕ δ δ − = = ∑ ∑∫ và 2 2 ,, ,' ' , 1 , , 1 n n I jKI J I kK j k j I J j I K j k ff f Bf e dV e dVϕ ϕ ϕ ω ω ω − − = =  ∂∂ ∂  = −    ∂ ∂ ∂   ∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ dẫn đến 2 2 2 ,' , 1 n I J j I J j f Af Bf e dVϕ ϕ ϕ ω − = ∂ + = + ∂ ∑ ∑∫ , ,' , , , , 1 n I jK I kK J I jK k I kK k j I K j k f f f f e dVϕδ δ ω ω − =  ∂ ∂ + −  ∂ ∂  ∑ ∑∫ (2.2.5) Ta phải xem xét các hoán tử của các toán tử / jω∂ ∂ và kδ . Lấy w là một hàm trơn trong U và dạng 2 1 , 1 1 n n njk k i jk ik k j k i w w ww ω ω ω ω ω ωω ω= = = ∂ ∂ ∂ ∂∂ = ∂ = ∧ + ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∑ ∑ ∑ 33 Vì iω∂ là một dạng kiểu ( )1,1 , ta có thể viết , 1 n ji i k jk j k cω ω ω = ∂ = ∧∑ (2.2.6) Khi đó: 2 , i j k jkj ik j k i w ww c ω ω ωω ω  ∂ ∂ ∂∂ = + ∧ ∂∂ ∂  ∑ ∑ Nếu ta thay wbằng wvà lấy liên hợp phức của tất cả các số hạng, ta được kết quả 2 , i kj jkk ij j k i w ww c ω ω ω ω ω  ∂ ∂ ∂∂ = + ∧  ∂ ∂ ∂  ∑ ∑ Khi đó đẳng thức w w∂∂ = −∂∂ suy ra 2 2 ii kjjkj j iik k i i w w w wc c ωω ω ω ω ω ∂ ∂ ∂ ∂ + = + ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∑ ∑ Đặt 2 2 ii kjkj jkj j iik k i i w w w ww c c ωω ω ω ω ω ∂ ∂ ∂ ∂ = + = + ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∑ ∑ (2.2.7) ta có kj jkw w ω ω∂∂ = ∧∑ Như vậy w là một hàm đa điều hòa dưới khi jk j kw f f∑ là xác định dương. Từ (2.2.7) suy ra 2 iik kjk jkj j j iik i i w ww w c cδ ϕδ ωω ω ω ω ω  ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ = + −  ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂  ∑ ∑ Hoặc nếu ta sử dụng định nghĩa của iδ và (2.2.7) lần nữa, với w được thay bằng ϕ ii kjk k kj jk ij j i i i ww w c w cδ δ ϕ δ ω ω ω  ∂ ∂ ∂ − = + −  ∂ ∂ ∂  ∑ ∑ (2.2.8) Sử dụng công thức Green và (2.2.8) ta lấy tích phân từng phần của (2.2.5). 34 2 2 ' , , , , 1 2 , ,' ' , , , , , , 1 - n j j I jK I kKk k I K j k n I kK I J jI jK k I kK I jK k j j I K j k I J j Af Bf f f e dV f f f f f e dV e dV ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ δ δ ω ω σ δ σ ω ω − = − − =   ∂ ∂ + = −   ∂ ∂    ∂ ∂ − +  ∂ ∂  ∑ ∑∫ ∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ ' , , , , 1 2 , ,' ' , , , , , , 1 - n ii kjkj jk i I jK I kKi I K j k i i n I kK I J jI jK k I kK I jK k j j I K j k I J j c c f f e dV f f f f f e dV e dV ϕ ϕ ϕ ϕ δ ω σ δ σ ω ω − = − − =   ∂ = + −   ∂    ∂ ∂ − +  ∂ ∂  ∑ ∑ ∑ ∑∫ ∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ Theo (2.2.4) điều này dẫn đến 2 ,' ' , , , , 1 , 1 n n I J i jk i kK jk j I K j k I J j f f f e dV e dVϕ ϕϕ ω − − = = ∂ + ∂ ∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ ( )2 2 2 1 2 32 * ,Sf T f C f t t tϕ ϕ ϕ≤ + + + + + (2.2.9) ở đây ' 1 , , , , , 1 ,' 2 , , , , 1 ,' 3 , , , , , n i I jK jk i I kK I K i j k n I kKi I jK kj i I K i j k I kK jI jK k I kK I jK k j I K j k t f c f e dV f t f c e dV f t f f f e dV ϕ ϕ ϕ δ ω σ δ σ ω − − = − = − = ∂ = − ∂  ∂ = −  ∂  ∑ ∑ ∫ ∑ ∑ ∫ ∑ ∑∫ Trong 1t và trong các số hạng của 3t có liên quan tới toán tử iδ , phép lấy tích phân từng phần khác dẫn đến các số hạng chỉ liên quan đến toán tử vi phân / iω∂ ∂ . Nếu đánh giá các số hạng này theo bất đẳng thức Cauchy- Schwarz thì từ (2.2.9) có 2 2 ,' ' , , , 1 1 2 n I J I J j I J I J j f f e dV e dVϕ ϕλ ω − − = ∂ + ∂ ∑ ∑ ∑∫ ∫ ( )2 2 22 *T f Sf C fϕ ϕ ϕ≤ + + (2.2.10) với mọi ( ), 1p qf D +∈ với giá nằm trong tập con compact cố định của U . Ở đây C là một hằng số và λ kí hiệu giá trị riêng nhỏ nhất của dạng đối xứng Hec-mit jk j kt tϕ∑ (2.2.11) 35 (Chú ý: λ không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở 1,..., nω ω , vì một phép đổi cơ sở chỉ là là một phép biến đổi unita các biến 1,..., nt t ) Đánh giá (2.2.10) được quan tâm chủ yếu khi ϕ là một hàm đa điều hòa dưới. Bây giờ ta có thể đưa ra một kiểu đánh giá toàn cục của (2.2.10) Định lý 2.2.3. Tồn tại một hàm liên tục C trên Ω sao cho ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 , 14 * , p qC f e dV T f Sf f Dϕ ϕ ϕλ − +− ≤ + ∈ Ω∫ (2.2.12) ở đâyϕ là một hàm tùy ý trong ( )2C Ω và λ là giá trị riêng nhỏ nhất của dạng (2.2.11), nó cũng là một hàm liên tục trong Ω . Hằng số 4 có thể thay bằng một số lớn hơn 1 Chứng minh: Lấy , 1, 2,...jU j = là các mảnh tọa độ trong Ω , mà (2.2.10) có thể áp dụng được, và , 1, 2,...jU j = được lựa chọn sao cho chúng tạo thành một phủ hữu hạn tại địa phương của Ω ( nghĩa là jU∪ = Ω và không có tập compact trong Ω giao với nhiều hơn hữu hạn phần tử của jU ). Chọn 0 ( )j jC Uψ ∞∈ sao cho 2 1 j ψ =∑ trong Ω ( Nếu 0' ( )jC Uψ ∞∈ và 2 2' 0jψ ψ= >∑ khắp nơi trong Ω , ta có thể lấy ' j j ψ ψ ψ = ). Áp dụng (2.2.10) cho j fψ ta có ( ) 22 222 4 * j j j j U f e dV T f Sf C f e dVϕ ϕ ϕ ϕ ψ λ ψ ψ− −≤ + +∫ ∫ Cộng tất cả các đánh giá này ta có được (2.2.12) Định lý 2.2.4. Lấy Ω là đa tạp phức mà trên đó tồn tại một hàm điều hòa dưới ngặt ϕ sao cho { }: , ( )z z z cϕ∈Ω < ⊂⊂ Ω tại mọi điểm c ∈ . Khi đó phương trình có u f∂ = (theo nghĩa yếu) một nghiệm ( ) ( ) 2 , , locp qu L∈ Ω mọi ( ) ( ) 2 , 1 , locp qf L +∈ Ω sao cho 0f∂ = Chứng minh: Ta thay hàm ϕ trong (2.2.12) bằng ( )χ ϕ trong đó χ là hàm lồi tăng. Cận dưới χ đối với dạng (2.2.11) có thể thay bởi '( )χ ϕ λ . Từ định lý 2.2.3 ta có kết quả 36 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2( ) , 1( ) ( )'( ) 4 * , p qC f e dV T f Sf f Dχ ϕ χ ϕ χ ϕχ ϕ λ − +− ≤ + ∈ Ω∫ Nếu 'χ được chọn tăng nhanh ( χ là hàm lồi) sao cho '( ) 4Cχ ϕ λ − ≥ (2.2.13) thì ta có 2 2 2 *( ) ( ) ( ) * , T Sf T f Sf f D Dχ ϕ χ ϕ χ ϕ≤ + ∈ ∩ (2.2.14) khi ta sử dụng Bổ đề 2.2.1 (toán tử *T là một liên hợp của T đối với chuẩn ( )χ ϕ ). Nếu χ thỏa mãn (2.2.13), Bổ đề (2.1.7) chỉ ra rằng phương trình u f∂ = có một nghiệm ( ) ( ) 2 , , ( )p qu L χ ϕ∈ Ω với mọi ( ) ( ) 2 , 1 , ( )p qf L χ ϕ+∈ Ω thỏa mãn phương trình 0f∂ = (số hạng cuối cùng trong (2.2.14) khi f Kers∈ ). Ngoài ra, từ Bổ đề 2.1.8 ta có thể chọn u sao cho ( ) ( ) u f χ ϕ χ ϕ ≤ (2.2.15) Định lý được chứng minh xong. Bây giờ ta sẽ kiểm tra về tính chính quy của nghiệm u của phương trình u f∂ = mà ta thu được ở Định lý 2.2.4. Với f là hàm trơn cho trước không phải mọi nghiệm của phương trình u f∂ = đều là hàm trơn. Tuy nhiên, vì nghiệm của phương trình Tu f= trong Bổ đề 2.1.7 có thể được chọn trực giao với TKer (nghĩa là thuộc *TR ) nên có thêm một phương trình vi phân theo u, phương trình này đóng vai trò chủ chốt trong việc chứng minh tính trơn của u. Cụ thể nếu 1KerT H⊆ là nhân của T thì KerT đóng trong 1H . Đặt 1: KerTP H → là phép chiếu trực giao không gian Hilbert. Nếu 2f H∈ mà thỏa mãn 0Sf = thì giả sử u là một nghiệm nào đó thỏa Tu f= . Khi đó ( ) ( )T u Pu Tu T Pu f− = − = hay u u Pu= − cũng là nghiệm, đồng thời  KerTu ⊥ (do tính chất của phép chiếu trực giao). Như vậy nghiệm của phương trình Tu f= có thể được chọn trong không gian trực giao với không gian KerT là *TR . Nếu  *u là một 37 nghiệm khác mà cũng trực giao với KerT thì  * KerTu u− ∈ và  * KerTu u− ⊥ . Vì vậy   *u u= . Nghiệm duy nhất trong không gian KerT ⊥ được gọi nghiệm chính tắc. Điều kiện  KerTu ⊥ cung cấp cho ta thêm một phương trình vi phân cần thiết trong việc chứng minh tính trơn của nghiệm u. Ta giới thiệu không gian ( , ) ( ) s p qW Ω . Trước tiên ta xét nΩ⊂  . Đặt ( )sW Ω , với s là số nguyên không âm, là không gian các hàm xác định trên nΩ⊂  có đạo hàm bậc nhỏ hơn hoặc bằng s thuộc 2L . Lưu ý là tất cả các đạo hàm đều theo nghĩa yếu. Ta ký hiệu ( , )sW locΩ là tập hợp các hàm xác định trên nΩ⊂  thỏa điều kiện tương tự trên các tập con compact của Ω . Đặt ( , ) ( ) s p qW Ω , ( , ) ( , loc) s p qW Ω tương ứng là không gian các (p,q)-dạng với hệ số tương ứng thuộc vào ( )sW Ω , ( , )sW locΩ . Không gian ( ), , 0 s p qW s≤ ≤ ∞ , được giới thiệu như trên là bất biến theo phép biến đổi giải tích các toạ độ, vì thế nếu ta có một đa tạp Ω , không gian ( ) ( ), , loc s p qW Ω có thể định nghĩa như là một tập các dạng thuộc về ( ), s p qW tại mọi mảnh tọa độ. Định lý 2.2.5. Cho Ω là một đa tạp phức mà trên đó tồn tại một hàm đa điều hòa dưới ngặt ( )Cϕ ∞∈ Ω sao cho { }: , ( )z z z cϕ∈Ω < ⊂⊂ Ω với mọi c . Khi đó phương trình u f∂ = có nghiệm ( ) ( ) 1 , , loc s p qu W +∈ Ω với mọi ( ) ( ), 1 , loc s p qf W +∈ Ω sao cho 0f∂ = . Mọi nghiệm của phương trình u f∂ = có tính chất trên khi 0q = Chứng minh Định lý 2.2.5 tương tự như chứng minh Định lý 4.2.5 (xem [4] trang 86) trên miền giả lồi của n với lưu ý : *T Sf D D∈ ∩ bây giờ là dạng với giá nằm trong một mảnh tọa độ, và từ (2.2.10) ta nhận được các đánh giá của các đạo hàm ,I J j f ω ∂ ∂ và do đó có các đánh giá của các đạo hàm ,I J j f z ∂ ∂ nếu jz là các tọa độ địa phương. Hệ quả 2.2.6. Theo giả thiết của Định lý 2.2.5, phương trình u f∂ = có nghiệm ( ) ( ),p qu W ∞∈ Ω với mọi ( ) ( ), 1p qf W ∞ +∈ Ω sao cho 0f∂ = . 38 Chứng minh: Áp dụng Định lý nhúng Sobolev ta có: ( ) ( )2( , ) ( , )s n sp q p qW C+ Ω ⊂ Ω và Định lý 2.2.5 ta có điều phải chứng minh. Định lý 2.2.7. Nếu Ω là một đa tạp Stein chiều n, thì ( ), 0rH CΩ = khi r n> . Chứng minh: Ta áp dụng định lý DeRham và Định lý 1.2.7. Phần tiếp theo ta trình bày về Định lý xấp xỉ: Định lý 2.2.8. Cho Ω là một đa tạp phức và ϕ là một hàm đa điều hòa dưới ngặt trong Ω sao cho { }: , ( )cK z z z cϕ= ∈Ω < ⊂⊂ Ω với mọi số thực c . Mọi hàm giải tích trên một lân cận của 0K có thể xấp xỉ hội tụ đều trên 0K bởi các hàm trong ( )A Ω . Chứng minh: Vì cK ⊆ Ω nên 2 2( ) ( )cL L KΩ ⊆ . Theo định lý Hahn – Banach ta chỉ cần chứng minh rằng nếu 2 ( )cv L K∈ và 0 cK uvdV =∫ (2.2.16) với mọi ( )u A∈ Ω thì (2.2.16) cũng đúng với mọi u mà chỉ giải tích trong lân cận của cK . Trước tiên ta cố định hàm v như trên, giả sử 0c = . Đặt 0v = trên \ oKΩ . Dùng kí hiệu như trong mục 2.1, ta đặt KerS TF R= = cho nên bất đẳng thức 2 1H H f C v≤ thỏa mãn với mọi *Tf D F∈ ∩ . Không mất tính tổng quát, giả sử 1v = . Do Định lý 2.2.5 ta có KerT là không gian con của ( )A Ω đồng thời các phần tử của KerT là các hàm thuộc lớp C ∞ . Khi đó từ (2.2.16) ta có hàm ( ) 2Ker ( , )Tve Lφ φ ⊥∈ ⊆ Ω . Áp dụng Bổ đề 2.1.7 sẽ tồn tại hàm *Tf D∈ thỏa T f ve φ∗ = và 2 1 f C veφ≤ . Ta viết j jj f f dω=∑ thì từ (2.2.3) cho ta: ( ) ( )j j j j j j e f e f ve e v φ φ φ φ ω ω − −∂ ∂ = − ⇔ = − ∂ ∂∑ ∑ theo nghĩa phân bố. Viết fe gφ− = ta có 1 n j j g v ω ∂ = − ∂∑ và 39 22 j j g e dV v e dVφ φ≤∑∫ ∫ (2.2.17) đúng khi (2.2.14) đúng. Chọn một dãy νχ là dãy các hàm lồi sao cho (2.2.13) xảy ra để ( )tνχ không phụ thuộc n nếu 0t ≤ và ( )t νχ ∞ khi ν →∞ nếu 0t > . Do đó với mỗi *ν ∈ , ta có thể xây dựng các jg ν 1,..,j n= đề 1 n j j g v ν ω ∂ = − ∂∑ (2.2.18) và 2 ( ) j j g e dV Cνχ ϕν ≤∑∫ (2.2.19) với j là hàm vét kiệt; C là hằng số nào đó không phụ thuộc n vì vế phải của (2.2.17) chỉ liên quan đến tích phân trên oK và ( )νχ ϕ độc lập với n tại đó. Bây giờ lấy 1 νχ χ≤ , ta có thể chọn một dãy con của dãy gn trong không gian Hilbert 2(0,1) 1( , ( ))L χ ϕΩ − đến một giới hạn g . Từ (2.2.19) ta có 0g = trong đó 0j > và (2.2.18) cho 1 n j j g v ω ∂ = − ∂∑ theo nghĩa phân bố, nghĩa là 1 n jj j uuvdV g dv ω= ∂ = ∂ ∑∫ ∫ (2.2.20) với mọi 0 ( )u C∞∈ Ω . Thật ra điều này suy ra từ (2.2.18) với g được thay bởi gn . Vì v và g triệt tiêu bên ngoài oK , đẳng thức (2.2.20) đúng với mọi u mà thuộc lớp C∞ chỉ trên một lân cận của oK và nếu u giải tích trong một lân cận của oK thì (2.2.16) đúng. Kết hợp Định lý 2.2.8 và Định lý 1.2.7 ta có Hệ quả 2.2.9. Nếu Ω là một đa tạp Stein và K là tập compact của Ω với K K= , thì mọi hàm giải tích trên một lân cận của K có thể xấp xỉ hội tụ đều trong K với các hàm trong ( )A Ω . Chứng minh: Lấy u là hàm chỉnh hình bất kì trong lân cận ω của K. Do Ω là đa tạp Stein nên theo Định lý 1.2.7 tồn tại j là hàm vét kiệt, đa điều hòa dưới ngặt, thuộc 40 lớp C∞ xác định trên Ω sao cho j thỏa mãn giả thuyết của Định lý 2.2.8 và K được chứa trong phần trong của oK mà bản thân oK cũng được chứa trong phần trong của ω . Áp dụng Định lý 2.2.8 sẽ có một dãy ( )ju A∈ Ω sao cho 0ju u− → trong 2 ( )oL K . Áp dụng Định lý 2.2.3 Hormander điều này suy ra 0ju u− → đều trên K. Do đó hệ quả được chứng minh.  Bây giờ ta có thể chứng minh định lý đảo của Định lý 1.2.7 Định lý 2.2.10 . Một đa tạp phức Ω là đa tạp Stein nếu và chỉ nếu tồn tại một hàm đa điều hòa dưới ngặt ( )Cϕ ∞∈ Ω sao cho { }: ( )c z z cϕΩ = ∈Ω < ⊂⊂ Ω với mọi số thực c . Khi đó các tập cΩ là tập ( )A Ω - lồi. Chứng minh : Đị