Luận văn Tính chất hyperbolic trên trường không Acsimet

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

LỜI NÓI ĐẦU . 1

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. 3

1.1. Trường định chuẩn không Acsimet, trường số phức p-adic . 3

1.1.1. Trường định chuẩn không Acsimet. 3

1.1.2. Trường số phức p-adic . 4

1.2. Không gian xạ ảnh n . 9

1.3. Giống của đường cong .10

1.4. Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường không Acsimet. 15

1.5. Lý thuyết Nevanlinna trên đường cong đại số. 24

Chương 2. TÍNH CHẤT HYPERBOLIC TRÊN TRƯỜNG KHÔNGACSIMET .27

2.1. Định lý Picard cho đường cong đại số trên trường không Acsimet. 27

2.2. Phỏng đoán Kobayashi-Zaidenberg trên trường không Acsimet. 30

2.3. Bổ đề Schwartz trên trường không Acsimet. 37

2.3.1. Trường hợp 1-dạng vi phân. 37

2.3.2. Trường hợp tổng quát.39

KẾT LUẬN .44

TÀI LIỆU THAM KHẢO .46

pdf51 trang | Chia sẻ: lavie11 | Ngày: 17/12/2020 | Lượt xem: 377 | Lượt tải: 0download
Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Luận văn Tính chất hyperbolic trên trường không Acsimet, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
2, , 0.S z z z = Theo quy tắc Cramer, ta có 1 2 0 0 1 2 ( , ) ( , ) f W z z f z W z z z ∂ ∂ = ∂ ∂ và 2 0 1 0 1 2 ( , ) ( , ) f W z z f z W z z z ∂ ∂ = ∂ ∂ suy ra 1 2 2 0 0 1 0 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) .W z z W z z W z zf f f z z z = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Vì 1S là nhân tử k f z ∂ ∂ nên ta có thể viết 1 1. k f S H z ∂ = ∂ Khi đó 1 11 1 1 1 1 ( , ) ( , ) .i ji j k R H W z zR H W z z fS H z ω = = ∂ ∂ Suy ra 1 1 1 2 1 1 2 0 1 1 0 11 0 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) .R H W z z R H W z z R H W z zf f f z z z ω = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 15 Do đó 1ω chỉ có một cực điểm ( )0 1 2, , iz z z ∈ ∩  (mâu thuẫn với (iii)). Do đó 1ω chính quy trên .C Tương tự cho 2,ω ta có 2ω chính quy trên .C Kết hợp với điều kiện (ii), 1 2,ω ω độc lập tuyến tính trên mỗi thành phần bất khả quy của ,C do đó 2.g ≥ □ 1.4. Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường không Acsimet Ta sẽ xây dựng khái niệm hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường K đóng đại số, đầy đủ với chuẩn không Acsimet . không tầm thường. Các khái niệm về dãy, chuỗi và sự hội tụ của dãy, của chuỗi giống như trường định chuẩn Acsimet. Tuy nhiên với chuẩn không Acsimet ta có một số tính chất riêng. 1.4.1. Định nghĩa Với U K⊂ là tập mở, hàm :f U K→ được gọi là khả vi tại 0z U∈ nếu tồn tại 0 0 00 ( ) ( )lim : ( ). h f z h f z f z h→ + − ′= Hàm f ′ gọi là đạo hàm của .f Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu f khả vi tại mọi .z U∈ 1.4.2. Bổ đề Giả sử ( )nx là một dãy trong .K Dãy ( )nx là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu 1lim 0.n nn x x+→∞ − = Chứng minh: Theo định nghĩa dãy Cauchy, ta có điều kiện đủ. Ta chứng minh điều kiện cần. ,n p∀ ∈ ta có { } 1 1 2 1 1 1 2 1max , , , . n p n n p n p n p n p n n n p n p n p n p n n x x x x x x x x x x x x x x + + + − + − + − + + + − + − + − + − = − + − + + − ≤ − − −   Vì 1lim 0n nn x x+→∞ − = nên ta có điều kiện cần. □ Từ bổ đề trên và theo định nghĩa sự hội tụ của chuỗi số, chuỗi lũy thừa ta có mệnh đề sau. 16 1.4.3. Mệnh đề Chuỗi 0 ,n n n a a K ∞ = ∈∑ hội tụ nếu và chỉ nếu lim 0.nn a→∞ = Khi đó 0 max .n nnn a a ∞ = ≤∑ Chuỗi 0 ( ) ,nn n n f z a z a K ∞ = = ∈∑ hội tụ tại z nếu và chỉ nếu lim 0.nnn a z→∞ = Đặt 1 , limsup n na ρ = khi đó ta có (1) Nếu 0ρ = thì ( )f z hội tụ tại 0.z = (2) Nếu ρ = +∞ thì ( )f z hội tụ tại mọi .z K∈ (3) Nếu 0 ρ< < +∞ và 0nna ρ → thì ( )f z hội tụ khi và chỉ khi .z ρ≤ (4) Nếu 0 ρ< < +∞ và 0nna ρ  thì ( )f z hội tụ khi và chỉ khi .z ρ< 1.4.4. Định nghĩa ρ được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ( ).f z Nếu ρ = ∞ thì ( )f z hội tụ trên .K Khi đó ( )f z gọi là hàm nguyên trên .K Với 0,r > ký hiệu 0 ( ) ( ) : , lim 0 ,n nr n n n n K f z a z a K a r ∞ =   = = ∈ =    ∑ ( 0 ( ) ( ) : ,nn nr n K f z a z a K ∞ =  = = ∈  ∑ bán kính hội tụ },rρ ≥ (( ) ( )K K∞=  là tập các hàm nguyên trên .K Ta có ( )r K cùng với hai phép toán cộng và nhân hai chuỗi lũy thừa lập thành một vành và ( ) ( ).r s s r K K ≤ =    17 1.4.5. Định nghĩa Cho ( 0 ( ) ( ).nn r n f z a z K ∞ = = ∈∑  Số hạng lớn nhất của ( )f z là 0 : max .nnr nf a r≥= Chỉ số tâm của ( )f z là { } 0 ( , ) : max : .nn rnr f n a r fn ≥= = Khi 0,r = ta quy ước 0 0 0 lim , (0, ) lim ( , ). rr r f f f r fn n + +→ → = = 1.4.6. Định lý (Công thức Poisson-Jensen) Chỉ số tâm ( , )r fn tăng khi r ρ→ và thỏa công thức ( ) ( )(0, ) 0 ( , ) (0, )log log (0, ) log 0 . r fr t f ff a dt f r r tn n n n ρ−= + + < < ∗∫ Chứng minh: Lấy 1 20 r r ρ< < < và đặt 1 1( , ),r fn n= ta có 112 2 . n na r a r n n< Thật vậy, với 1n n< ta có 2 1( , )r fn n≥ khi 0.na = Nếu 0na ≠ và 111 1 n na r a r n n≤ thì 11 1 1log log log logna n r a rn n+ ≤ + Suy ra 1 1 2 1 log log log log .n a a r r n n n − ≤ < − Ta có điều cần chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta chứng minh ( )∗ trong trường hợp 0(0) 1.f a= = Giả sử [ ] ( )1 1( , ) , , 1,2,k k kt f t r r kn n − −= ∈ = và 0 1 0 10 ; 0 r rn n= < < = < <  Ta có 1 1 ; 1,2,k k k kk k a r a r kn nn n −−= =  Vì tính liên tục của hàm k k k a rnn theo kr nên với 1, .nnn n rr r r f a r n n+≤ < = Khi đó 1 1 1 2 10 ( , ) ( , ) ( , ) log log k k n rr rn n k k n k k k nr r t f t f t f r rdt dt dt t t t r r n n n n n − − = = − = + = +∑ ∑∫ ∫ ∫ 18 ( ) 1 1 1 1 2 1 log log log n k n k n nn k n k n k r kn k a r a r a r f a r a r n n n n n nn n n n − − − − = −    = = =     ∏ □ 1.4.7. Mệnh đề Với 0,r > hàm (. : ( )rr K +→ thỏa mãn: (, ( ),rf g K∀ ∈ (1) 0; 0 0; r r f f f≥ = ⇔ = (2) r r r fg f g= và , . r r f f Kλ λ λ= ∀ ∈ (3) { }max , .r r rf g f g+ ≤ Khi đó . r là chuẩn không Acsimet trên ( )r K và (4) ( )r K đầy đủ với chuẩn . ;r (5) Vành đa thức [ ]K z trù mật trong ( )r K theo chuẩn . .r 1.4.8. Định nghĩa Cho 0z K∈ và [ ].f K z∈ Điểm 0z được gọi là không điểm của hàm f nếu và chỉ nếu 0( ) 0.f z = 1.4.9. Định lý (Định lý chuẩn bị Weierstrass) Với { }0, ( ) \ 0 ,rr f K> ∈ tồn tại đa thức 0 1( )g z b b z b znn= + + + với ( , )r fn n= và chuỗi lũy thừa 1 ( ) 1 , ,nn n n h z c z c K ∞ = = + ∈∑ thỏa mãn (i) ( ) ( ) ( );f z h z g z= (ii) ; r g b rnn= (iii) ( );rh K∈ (iv) 1 1 r h − < và . r r f g f− < 19 Đặc biệt, ( )h z không có không điểm trong [ ]0;K r và f có đúng n không điểm trong [ ]0; ,K r tính cả bội. Chứng minh: Xét 1 0 0 ( ) , ( )n nn n n n f z a z g z a z n∞ = = = =∑ ∑ và chọn δ +∈ thỏa mãn 10 1.r r f g f δ − ≤ < < Lấy 1( ) 1.h z = Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh rằng có đa thức 0 ( ) ji ij j g z b z n = =∑ và ih thỏa mãn (1) ;i irg b r n n= (2) 1i rh δ− ≤ và ;i rrf g fδ− ≤ (3) .ii i rrf g h fδ− ≤ Điều này được chứng minh đúng trong trường hợp 1.i = Nếu (1), (2), (3) đúng trong trường hợp 1i ≥ thì có một chuỗi lũy thừa ( )i rQ K∈ và một đa thức [ ]iR K z∈ sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), degi i i i i if z g z h z g z Q z R z R n− = + + < thỏa mãn { }max , .i i i i ir r r rf g h g Q R− = Khi đó 1 1, 1 0 ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( )ji i i i j i i i j g z g z R z b z h z h z Q z n + + + = = + = = +∑ Từ (2) suy ra .ir rf g= Do đó, i i i i ir r i r i rr f g h f g h Q g f δ − − ≤ = ≤ và .ii i i rr rR f g h fδ≤ − ≤ Khi đó 1 .i ir rg g+ = 20 Vì vậy, (1) đúng với 1i + suy ra deg deg .i iR g n< < Khi đó (2) cũng đúng với 1i + suy ra { }1 1 max 1 ,i i ir r rh h Q δ+ − ≤ − ≤ và { }1 max , .i i i rr r rf g f g R fδ+− ≤ − ≤ Chú ý rằng ( )1 1 1 .i i i i if g h R h Q+ −− = − − Khi đó { } 11 1 max 1 , .ii i i i i rr r r rf g h R h Q fδ ++ +− ≤ − ≤ Do đó, (3) đúng cho trường hợp 1.i + Chú ý rằng 1 1, . i i i i i i i irr r r r g g R f h h Qδ δ+ +− = ≤ − = ≤ Do 1δ < nên { }ig và { }ih đều là dãy Cauchy theo chuẩn . .r Khi đó ( )1 1 0 , 1 ,j ii ij i i rrb b r g g f j iδ n+ +− ≤ − ≤ ≤ ≤ ≥ nghĩa là { } 1ij ib ≥ là dãy Cauchy với mỗi j nên hội tụ. Giả sử lim ,j ijib b→∞= đặt 0 ( ) jj j g z b z n = =∑ thì ig g→ và .rg b rnn= Do ( )r K đầy đủ nên { }ih hội tụ. Khi đó tồn tại ( )rh K∈ sao cho .ih h→ Suy ra g và h thỏa mãn các điều kiện của định lý chuẩn bị Weierstrass. Từ (iv) suy ra 1 1 t h − < với 0 ,t r≤ ≤ do đó ( ) 1h z = với [ ]0; .z K r∈ Cho 1, ,z zn là các không điểm của .g Khi đó ( ) ( )1( ) .g z b z z z zn n= − − Từ (ii) ta có r g b rnn = suy ra { }( ) { }( )1max , max ,r z r z znn = với , 1, , .jz r j n≤ = Do đó, g có đúng n không điểm trong [ ]0; ,K r tương tự với .f □ 1.4.10. Định nghĩa Cho 0z K∈ và [ ].f K z∈ Điểm 0z được gọi là cực điểm của hàm f nếu và chỉ nếu 0 lim ( ) . z z f z → = ∞ 21 1.4.11. Định nghĩa Giả sử D là tập vô hạn trong .K Đặt ( )R D là tập các hàm hữu tỷ không có cực điểm trong .D Khi đó ( ),h R D∀ ∈ đặt sup ( ) . D z D h h z ∈ = Ký hiệu ( )DH là đầy đủ hóa của ( )R D theo tôpô sinh bởi chuẩn hội tụ đều trên .D Mỗi phần tử của ( )DH được gọi là hàm giải tích (hàm chỉnh hình) trên .D Khi đó, ( )DH là một K −không gian vectơ và mỗi hàm giải tích trên D là giới hạn của một dãy các hàm hữu tỷ thuộc ( ).R D 1.4.12. Định nghĩa Cho .X K⊂ Hàm :f X K→ gọi là giải tích địa phương (chỉnh hình địa phương) tại điểm a X∈ nếu f giải tích tại mọi lân cận của điểm a trong .X 1.4.13. Định lý Cho D K⊂ không có điểm cô lập. Khi đó hàm :f D K→ là giải tích địa phương (chỉnh hình địa phương) trên D nếu với mỗi ,a D∈ tồn tại ,r +∈ dãy ( )na K⊂ sao cho ( ) [ ] 0 ( ) , ; .nn n f z a z a z D K a r ∞ = = − ∀ ∈ ∩∑ Ký hiệu ( )Hol D là tập các hàm giải tích địa phương trên .D 1.4.14. Định lý Cho tập mở .D K⊂ Hàm :f D K→ là giải tích tại điểm a D∈ nếu tồn tại { }ρ +∈ ∪ ∞ và dãy ( )na K⊂ sao cho ( ) ( ); , ; \ 0,K a D K a Dρ ρ ρ ρ′ ′⊂ ≠ ∀ > và thỏa mãn ( ) ( ) 0 ( ) , ; .nn n f z a z a z K a ρ ∞ = = − ∀ ∈∑ Nếu f giải tích tại mọi điểm thuộc D thì f giải tích trên .D Ký hiệu ( )D là tập các hàm giải tích trên .D 1.4.15. Mệnh đề Với ,r +∈ ta có ( )[0; ] ( ).rK r K=H 22 Chứng minh: Vì vành [ ]K z trù mật trong ( )r K nên suy ra ( )( ) [0; ] .r K K r⊂ H Ta cần chứng minh ( )[0; ] ( ).rK r K⊂H Lấy [ ]\ 0; ,a K K r r +∈ ∈ ta có 0 0 1 1 1 kk n k n n n n z zb z a a a a a ∞ ∞ = =         = − = −         −         ∑ ∑ với .nb +∈ Vì a r> nên 0. n nnn n b rr a a →∞ ≤ →     Suy ra 1 ( ). k r Kz a   ∈ −   Do đó ( )[0; ] ( ).rR K r K⊂ Mặt khác, lấy r sao cho 0 ,r ρ≤ ≤ vì . r liên tục tại r nên sup ( ) .r z r f z f ≤ = Do đó [ ]0; , ( ).rK r rf f f K= ∈ Vì ( )r K đầy đủ với chuẩn . r nên ( )r K cũng đầy đủ với chuẩn [ ]0;. .K r Vì ( )[0; ] ( )rR K r K⊂ nên ( )[0; ] ( ).rK r K⊂H □ 1.4.16. Định nghĩa Cho D K⊂ không có điểm cô lập. Hàm { }:f D K→ ∪ ∞ được gọi là hàm phân hình trên D nếu tồn tại một tập không quá đếm được ,S D⊂ S không có điểm giới hạn trong D và ( \ ).f D S∈H Ký hiệu ( )D là tập các hàm phân hình trên .D 1.4.17. Định nghĩa Cho .X K⊂ Hàm :f X K→ gọi là phân hình địa phương tại điểm a X∈ nếu f phân hình tại mọi lân cận của điểm a trong .X 1.4.18. Định lý Cho D K⊂ không có điểm cô lập. Hàm { }:f D K→ ∪ ∞ gọi là phân hình địa phương trên D nếu với mỗi ,a D∈ tồn tại ,r q+ +∈ ∈  và dãy ( )na K⊂ sao cho ( ) [ ]( ) , ; .nn n q f z a z a z D K a r ∞ =− = − ∀ ∈ ∩∑ 23 Đĩa ( );K a ρ gọi là đĩa giải tích cực đại của f tại .a Các hàm giải tích trong D đều có thể có đĩa giải tích cực đại trên .D Ta có ( ) ( ) ( ).D D Hol D⊂ ⊂H Ký hiệu ( )DM là trường các phân thức của ( ).D Người ta chứng minh được rằng trường ( )DM các phân thức của ( )D chính là tập các hàm phân hình ( )D trên .D 1.4.19. Định nghĩa Một hàm ( )f D∈M được gọi là hàm chỉnh hình trên D nếu f không có cực điểm trên .D Lấy ( ).f K∈M Khi đó tồn tại , ( )g h K∈ không có không điểm chung sao cho .gf h = Với 0 ,r ρ≤ ≤ ta có thể mở rộng chuẩn . r cho các hàm phân hình như sau: .r r r g f h = Đặc biệt, 1 1 . r r f f = Lấy .ρ +∈ Nếu ( )(0; )f K ρ∈ thì đĩa giải tích cực đại của f tại mỗi điểm (0; )a K ρ∈ chính là (0; ).K ρ Ta có ( ) ((0; ) ( )K Kρρ =  nên ( ) ((0; ) : , ( ), 0 . gK g h K h h ρ ρ  = ∈ ≠    M Khi đó ( ) ( )(0; ) [0; ] . r K K r ρ ρ < =  M Đặc biệt, mỗi phần tử thuộc ( )(0; ) ( )K K∞ =M M được gọi là hàm phân hình trên .K Như vậy, ( ) ((0; ) : , ( ), , gK g h K g h h ρ ρ = ∈  M không có không điểm },chung ( ) ( )K K⊂ M và ( )KM chứa tập các hàm hữu tỷ ( ).K z 1.4.20. Định lý Với 0 ,r ρ< < hàm ( ). : (0; )r K ρ +→M thỏa mãn ( ), (0; ) ,f g K ρ∀ ∈M (i) 0 0; r f f= ⇔ = 24 (ii) r r r fg f g= và , . r r f f Kλ λ λ= ∀ ∈ (ii) { }max , .r r rf g f g+ ≤ 1.5. Lý thuyết Nevanlinna trên đường cong đại số Ta sẽ trình bày lý thuyết Nevanlinna và hai định lý cơ bản của Nevanlinna trên các đường cong chỉnh hình thuộc trường không Acsimet. Cho : ( )nf K K→  là đường cong chỉnh hình trên trường không Acsimet. Gọi  ( )0 , , nf f f=  là biểu diễn rút gọn của f với 0 , , nf f là các hàm nguyên trên K không có không điểm chung. 1.5.1. Định nghĩa Hàm đặc trưng Nevanlinna ( )fT r được xác định bởi ( ) logf rT r f= với { }0max , , .nr r rf f f=  Cho Q là một đa thức (dạng) thuần nhất 1n + biến bậc d với hệ số trong .K Ta xét hàm nguyên ( )0 , , nQ f Q f f=  trên .K Gọi ( , )fn r Q là số các không điểm của Q f trong [ ]0; ,K r tính cả bội. Nếu 0Q f ≠ thì đặt 0 ( , ) (0, ) ( , ) (0, ) log ; r f f f f n t Q n Q N r Q dt n Q r t − = +∫ ( , ) log . d r f r f m r Q Q f =  Định lý chuẩn bị Weierstrass chứng tỏ ( , ) ( , ).fn r Q r Q fn=  Theo công thức Poisson-Jensen ta có (0, )( , ) log log .f Q frN r Q Q f an= −  1.5.2. Định lý (Định lý cơ bản thứ nhất) Cho : nf K →  là ánh xạ chỉnh hình và Q là đa thức thuần nhất bậc .d Nếu 0Q f ≠ thì với mỗi số thực 0,r > ( , ) ( , ) ( ) (1)f f fm r Q N r Q dT r O+ = + trong đó (1)O là đại lượng bị chặn. 25 1.5.3. Định nghĩa Các dạng 1, , , ,qQ Q q n> được gọi là ở vị trí tổng quát nếu không có tập 1n + dạng nào lấy từ các dạng này có các không điểm chung trong { }1 \ 0 .n+ 1.5.4. Định lý (Định lý cơ bản thứ hai) Cho : ( )nf K K→  là đường cong chỉnh hình và 1, , , ,qQ Q q n> là các đa thức 1n + biến với hệ số trong K ở vị trí tổng quát. Nếu 0jQ f ≠ với 1 j q≤ ≤ thì với bất kỳ số thực 1,r ≥ ( ) 1 , ( ) (1). deg q f j f j j m r Q nT r O Q= ≤ +∑ Chứng minh: Gọi d là bội số chung nhỏ nhất của 1 2deg ,deg , ,deg .qQ Q Q Bằng cách thay iQ bởi /deg ,id QiQ ta có thể giả sử deg iQ d= với 1 .i q≤ ≤ Cho trước số thực 0,r > bằng cách sắp xếp lại các chỉ số, ta có thể giả sử 1 2 (1).qr r rQ f Q f Q f≤ ≤ ≤    Vì 1, , qQ Q ở vị trí tổng quát nên theo Nullstellensatz của Hilbert với bất kỳ số nguyên , 0 ,k k n≤ ≤ có số nguyên km d≥ thỏa 1 0 0 1 ( , , ) ( , , )k n m k ik n i n i x b x x Q x x + = =∑   với ikb là các đa thức thuần nhất bậc km d− với hệ số trong .K Do đó, { }1 1max , ,k km m dk nr rr rf C f Q f Q f − +≤    trong đó C là hằng số dương chỉ phụ thuộc vào hệ số của , 1 1, 0 .ikb i n k n≤ ≤ + ≤ ≤ Do đó C chỉ phụ thuộc vào hệ số của , 1 1.iQ i n≤ ≤ + Bất đẳng thức trên cho ta { }1 1max , , .d nr r rf C Q f Q f+≤    Kết hợp với (1) ta có 1 1 1 . d dq n r r q n j jj jr r f f CQ f Q f−= = ≤∏ ∏   26 Do đó 1 1 ( , ) ( , ) (1). q n f j f j j j m r Q m r Q O = = ≤ +∑ ∑ Theo định lý cơ bản thứ nhất, 1 ( , ) ( ) (1). n f j f j m r Q ndT r O = ≤ +∑ Suy ra 1 ( , ) ( ) (1). q f j f j m r Q ndT r O = ≤ +∑ Hoàn thành chứng minh. □ Định lý cơ bản thứ hai suy ra định lý tiếp theo sau đây. 1.5.5. Định lý Cho 1, , qQ Q là tập hợp các đa thức thuần nhất 1n + biến trên .K Giả sử 1q n≥ + và 1, , qQ Q ở vị trí tổng quát. Khi đó ánh xạ chỉnh hình bất kỳ trên trường không Acsimet { } 1 : ( ) \ 0 q n j j f K K Q = → = phải là hằng. Nói cách khác, { } 1 ( ) \ 0 q n j j K Q = = là K −hyperbolic. Chứng minh: Giả sử { } 1 : ( ) \ 0 q n j j f K K Q = → = là ánh xạ chỉnh hình thì ( , ) 0f jN r Q = với mọi 1 .j q≤ ≤ Theo định lý cơ bản thứ nhất ta có ( )( , ) deg ( ) (1).f j j fm r Q Q T r O= + Theo định lý cơ bản thứ hai suy ra ( ) ( ) (1).f fqT r nT r O≤ + Vì 1q n≥ + nên ( ) (1).fT r O≤ Do đó f là hằng. □ 27 Chương 2. TÍNH CHẤT HYPERBOLIC TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET 2.1. Định lý Picard cho đường cong đại số trên trường không Acsimet Trong phần này, ta sẽ bàn luận về các định lý tương tự trên trường không Acsimet của định lý Picard cho các ánh xạ chỉnh hình thuộc trường không Acsimet đến các đường cong đại số. Đầu những năm 90, Berkovich [5] đã phát triển một lý thuyết mới về không gian chỉnh hình trên trường không Acsimet. Lý thuyết của Berkovich dựa trên ý tưởng của lý thuyết quang phổ. Bằng cách dùng lý thuyết này và một phần cần đến lý thuyết đơn trị hóa các đường cong đại số trên trường cơ sở thuộc trường không Acsimet, Berkovich đã chứng minh trên trường không Acsimet một định lý tương tự định lý Picard. Sau đây, một chứng minh sơ cấp hơn dựa vào công trình của Green [14] được cho trong [8] đã sử dụng các công cụ của lý thuyết Nevanlinna trên trường không Acsimet. Chúng ta sẽ chỉ đưa ra chứng minh cho các đường cong phẳng không suy biến, nên người đọc có thể nắm bắt ý tưởng dễ dàng. 2.1.1. Bổ đề (Bổ đề về đạo hàm lôgarit) Cho h là hàm chỉnh hình thuộc trường không Acsimet trên đĩa mở ( )0; .K ρ Khi đó, với 0 ,r ρ< ≤ ( ) 1 . n n r h h r ≤ Ở đây ( )nh là đạo hàm thứ n của .h Chứng minh: Giả sử h xác định bởi chuỗi lũy thừa 0 ( ) .kk k h z a z ∞ = =∑ Khi đó [ ]( ) ( ) ( 1) ( 1) .n k nk k n h z a k k k n z ∞ − = = − − +∑  Vì [ ]( 1) ( 1) 1k k k n− − + ≤ nên [ ]( ) sup sup ( 1) ( 1) . k k n k n k r k n nr k a r h h a k k k n r r r −= − − + ≤ = □ 28 Ý tưởng chính của Green là so sánh hai hàm đặc trưng của hai ánh xạ chỉnh hình. Cho : nf K →  là ánh xạ chỉnh hình, ta đã định nghĩa hàm đặc trưng của f trong phần trước bằng cách lấy một biểu diễn rút gọn. Khi ta lấy một biểu diễn xạ ảnh ( )0 , , nf f khác của f (không nhất thiết là biểu diễn rút gọn), ta sẽ cần thực hiện một số thay đổi trên các hàm đặc trưng. Ký hiệu fZ là tập các không điểm chung của 0, , ,nf f tính cả bội. Khi đó hàm đặc trưng được xác định bởi ( ) : log log . f f r z Z rT r f z∈ = − ∑ Định nghĩa này là mở rộng của định nghĩa trước và ta có mệnh đề sau đây. 2.1.2. Mệnh đề Cho ( )0 , , nf f f=  và ( )0 , , ng g g=  đều là ánh xạ chỉnh hình đi từ K đến .n Khi đó ( ) ( ) (1)g fT r T r O− ≤ (xem [8]). 2.1.3. Định lý (Định lý Picard) Nếu f là ánh xạ chỉnh hình từ K đến đường cong đại số xạ ảnh có giống 1g ≥ thì f là hằng. Chứng minh: Ta sẽ chỉ chứng minh trường hợp đường cong là phẳng trơn. Cách chứng minh đầy đủ trong trường hợp tổng quát có thể được tìm thấy trong [8]. Giả sử C là một đường cong phẳng bất khả quy trơn, C là tập hợp các không điểm của một đa thức thuần nhất ( )0 1 2, ,P X X X với hệ số trong .K Gọi :f K C→ là ánh xạ chỉnh hình trên trường không Acsimet khác hằng. Khi đó có một biểu diễn rút gọn ( )0 1 2, ,f f f f= và ( ) ( )0 1 2, , 0.P f P f f f= = Theo công thức Euler, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 1 1 2 2 deg 0f P f f P f f P f P P f+ + = = với .i i PP X ∂ = ∂ Bằng cách lấy đạo hàm của ( ) ( )0 1 2, , 0,P f P f f f= = ta có được 29 ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 1 1 2 2 0.f P f f P f f P f P f ′′ ′ ′+ + = = Khi đó theo quy tắc Cramer cho ta 2 0 0 11 2 2 0 0 11 2 0 1 2 (3). ( ) ( ) ( ) f f f ff f f f f ff f P f P f P f ′ ′ ′ ′′ ′ = = Kí hiệu 2 0 0 11 2 2 0 0 11 2 , ,f f f f ff f W f f f ff f   =  ′ ′ ′ ′′ ′  và ( )0 1 2( ), ( ), ( ) .P f P f P f P f∂ = Khi đó (3) suy ra fW và P f∂  đều là ánh xạ chỉnh hình đi tử K vào 2.C ⊂  Theo mệnh đề 2.1.2, ( ) ( ) (1) (4). fW P f T r T r O∂= + Vì C không suy biến nên 0 1 2, ,P P P không có không điểm chung dọc theo .C Do đó ( )( ) deg 1 ( ) (1) (5).P f fT r P T r O∂ = − + Mặt khác, ta viết lại định thức i j j ii j i j j i f f f ff f f f f f  ′ ′ = −  ′ ′   và áp dụng bổ đề 2.1.1, ta có ( ) 2 ( ) log (6). fW f T r T r r≤ − Từ (4), (5), (6) ta nhận được ( )deg 3 ( ) log (1).fP T r r O− ≤ − + Nhưng điều này không thể xảy ra vì deg 3.P ≥ Vậy f phải là hằng. Tổng quát, một đường cong xạ ảnh là song hữu tỷ đến một đường cong phẳng bất khả quy với các điểm kép trong trường hợp xấu nhất là kì dị. Để hoàn thành chứng minh, ta cần điều chỉnh phép tính của ( )P fT r∂  để 0 1 2, ,P P P có thể có các không điểm chung. Ta tham khảo chứng minh trong [8] và [14]. □ Tiếp theo, một kết quả được sử dụng trong suốt quá trình chứng minh tính chất hyperbolic trên trường không Acsimet. 2.1.4. Bổ đề Cho C là đường cong xạ ảnh bất khả quy. Khi đó {\ 2C điểm phân biệt} là K −hyperbolic. 30 Chứng minh: Theo định lý Picard, C là K −hyperbolic nếu giống của C bé nhất 1. Do đó ta xét trường hợp giống của C là 0. Gọi 0 1,ξ ξ là hai điểm phân biệt trong .C Khi đó tồn tại một cấu xạ toàn ánh song hữu tỷ 1: .Cπ → Cho trước một ánh xạ chỉnh hình { }0 1: \ ,f K C ξ ξ→ thì f cảm sinh ánh xạ chỉnh hình  { }1 1 10 1: \ ( ), ( )f K π ξ π ξ− −→  với .f fπ=  Không mất tính tổng quát, giả sử ( ) ( ) 1 10 10,1 , 1,0 ( ) ( ).π ξ π ξ− −∈ ∪ Khi đó f có thể được đồng nhất như là một hàm chỉnh hình không có không điểm và chỉ có thể là hàm hằng. Do đó, f là hằng. Hoàn thành chứng minh. □ 2.2. Phỏng đoán Kobayashi-Zaidenberg trên trường không Acsimet Theo định lý 1.5.5, {\ 1n n + siêu mặt ở vị trí tổng quát} là K – hyperbolic. Bây giờ ta xét trường hợp bỏ đi ít hơn 1n + siêu mặt. Lưu ý, kết quả trong phần này đã được trình bày trong [3]. 2.2.1. Định nghĩa Cho 1, , , ,qP P q n≤ là các đa thức thuần nhất khác hằng 1n + biến trên .K (1) 1, , qP P ở vị trí tổng quát nếu số đối chiều của { } 1 0 q i i P = = là .q (2) ( )1, , qP P là dãy chính quy của [ ]0 , , nK X X nếu iP không là ước không của [ ] ( )0 1 1, , / , ,n iK X X P P−  với mỗi 1 .i q≤ ≤ Một đa thức thuần nhất ( ) 0 1 0 1 0 0 1, , , nn n k kk n k k k k k d P X X X a X X X + + = = ∑    bậc d với 0 1 nk k k a K∈  được gọi là ước không của [ ]0 , , nK X X nếu có , 0b K b∈ ≠ sao cho 0 1 0. nk k k ba =  Như vậy, điều kiện 1, , qP P ở vị trí tổng quát tương đương với ( )1, , qP P là dãy chính quy của [ ]0 , , .nK X X 31 2.2.2. Định lý Cho 1, , , 2 ,qP P q n≤ ≤ là các đa thức thuần nhất bất khả quy khác hằng với 1n + biến. Giả sử 1, , qP P ở vị trí tổng quát. Khi đó ảnh của ánh xạ chỉnh hình { } 1 : \ 0 q n i i f K P = → = chứa trong một phân thứ của n có số chiều 1.n q− + Chứng minh: Ký hiệu : degi id P= và gọi l là bội số chung nhỏ nhất của 1, , .id d Thay iP bởi ,i l d iP ta có thể giả sử 1 .qd d d= = = Gọi ( )0 , , nf f là biểu diễn rút gọn của f nghĩa là 0 , , nf f là các hàm K −chỉnh hình không có không điểm chung và [ ]0 : : .nf f f=  Khi đó { } 1 : \ 0 q n i i f K P = → = kéo theo ( ) ( )0 , , 1i nP f f i q≤ ≤ là hàm chỉnh hình không có không điểm. Theo định lý Picard trên trường không Acsimet, ( )0 , ,i nP f f là một hằng số khác không với mỗi 1 .i q≤ ≤ Do đó, tồn tại các hằng số khác không 2, , qc c sao cho 1( ) ( ) 0i iP f c P f− ≡ với 2 .i q≤ ≤ Nói cách khác, ảnh của f được chứa trong { }1 2 0 . q i i i P c P = − = Tiếp theo, ta sẽ chứng minh ( )2 2 1 1, , q qP c P P c P− − là dãy chính quy của [ ]0 , , nK X X và số chiều của { }1 2 0 q i i i P c P = − = là 1.n q− + Để chứng minh ( )2 2 1 1, , q qP c P P c P− − là dãy chính quy của [ ]0 , , ,nK X X ta cần chứng minh ( )1 2 2 1 1, , , q qP P c P P c P− − là dãy chính quy. Giả sử ( )1 2 2 1 1, , , q qP P c P P c P− − không là dãy chính quy thì i∃ (2 )i q≤ ≤ thỏa mãn 1i iP c P− là ước không của [ ] ( )0 1 2 2 1 1 1 1, , / , , , .n i iK X X P P c P P c P− −− −  32 Do đó tồn tại [ ]0 , , nG K X X∈  không thuộc ideal ( )1 2 2 1 1 1 1, , , i iP P c P P c P− −− − nhưng ( )1i iP c P G− là một phần tử thuộc ideal ( )1 2 2 1 1 1 1, , , i iP P c P P c P− −− − của [ ]0 , , .nK X X Suy ra iGP thuộc ideal ( )1 1, , iP P− của [ ]0 , , .nK X X Vì ( ) ( )1 2 2 1 1 1 1 1 1, , , , ,i i iP P c P P c P P P− − −− − =  nên ( )1 1, , .iG P P−∉  Do đó iP là ước không của [ ] ( )0 1 1, , / , , .n iK X X P P−  Mâu thuẫn với ( )1, , qP P là dãy chính quy của [ ]0 , , .nK X X □ Tiếp theo, ta sẽ nghiên cứu trường hợp n bỏ đi n siêu mặt. Chắc chắn, việc giả sử ở vị trí tổng quát không đủ trong trường hợp này. Ta đưa ra ví dụ sau đây: Cho { }0i iH X= = với 1, , .i n=  Khi đó ( )( ) ,1, ,1f z z=  là ánh xạ K −chỉnh hình khác hằng trong 1 \ . n n i i H =  Do đó, 1 \ n n i i H =  không là K −hyperbolic. Ta sẽ tận dụng điều kiện phát biểu trong định nghĩa sau đây trong trường hợp n thành phần để n bỏ đi n siêu mặt là K −hyperbolic. 2.2.3. Định nghĩa Các siêu mặt không suy biến 1, , nD D trong ( ) n K cắt ngang nhau nếu với mỗi điểm { }, 1 1 , n n i i x i i x D D x = = ∈ Θ =  với ,i xDΘ là không gian tiếp xúc của iD tại .x Chú ý rằng trong 2, ta có thể chọn { }1 0 0D X= = và { }2 2 22 0 1 2 0 .D X X X= + − = Đặt ( )( ) 1, ,f z z z= thì f chỉnh hình khác hằng vào trong { }2 1 2\ .D D∪ Đối với ,n ta chọn { }1 0 0D X= = và { }2 2 20 1 1 0i i in nD X a X a X= + + + = với 1 0 (2 ).i ina a i n+ + = ≤ ≤ Các siêu mặt này cắt ngang nhau ứng với 1n − ma trận con của ma trận ( )ija có hạng 1,n − 2 , 1 .i n j n≤ ≤ ≤ ≤ Đặt (

Các file đính kèm theo tài liệu này:

  • pdftvefile_2015_01_16_5558790132_028_1872724.pdf
Tài liệu liên quan