Luận văn Tính chất linh hóa tử của môđun Artin

với mỗi số nguyên i, q ∈ SpecR, q ⊆ p mà ta có qRp ∈ AttRp(H ipRp(Mp)) thì q ∈ AttR(H i+tm (M)). Kết quả sau đây của Cường-Nhàn cho ta một cận trên của chiều Noether của môđun đối đồng điều địa phương. Mệnh đề 1.4.6. [5, Định lý 3.1, Định lý 3.5] (i) Cho t là một số nguyên dương và I là một iđêan của R. Giả sử rằng các môđun đối đồng điều địa phương H iI(M) là Artin, với mọi i = 1, . . . , t. Khi đó ta có N-dimR(H i I(M)) 6 i, với mọi i = 0, 1, . . . , t. (ii) ChoM là môđun hữu hạn sinh với dimM = d và I là iđêan của R sao cho môđun Artin HdI (M) là khác 0. Khi đó N-dimR(H d I (M)) = d và do đó, HdI (M) không là hữu hạn sinh nếu d > 0. Mệnh đề 1.4.7. Cho (R,m) là vành địa phương, M hữu hạn sinh với chiều dimM = d. Khi đó AttR(H d m(M)) = {p ∈ AssRM | dimR/p = d}. 1.5 Tính catenary phổ dụng, tính không trộn lẫn và thớ hình thức Nhắc lại rằng vành R được gọi là đẳng chiều nếu dimR/q = dimR, với mọi iđêan nguyên tố tối thiểu q ∈ min(AssR) và môđun M được gọi Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn www.VNMATH.com 15 là đẳng chiều nếu dimR/p = dimM với mọi iđêan nguyên tố tối thiểu p ∈ min(AssM). Tiết này dành để nhắc lại một số tính chất của lớp vành và môđun catenary phổ dụng và không trộn lẫn. Trước hết ta nhắc lại một số khái niệm sau (xem [10] và [12]). Định nghĩa 1.5.1. Cho p ⊂ q là các iđêan nguyên tố của R. Một dãy các iđêan nguyên tố p = p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn = q sao cho pi 6= pi+1, với mọi i, được gọi là dãy nguyên tố bão hoà giữa p và q nếu với mọi i, không tồn tại một iđêan nguyên tố nào chen giữa pi và pi+1. Định nghĩa 1.5.2. (i) Vành R là catenary nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố p, q của R sao cho p ⊂ q, mọi dãy bão hoà các iđêan nguyên tố bắt đầu từ p và kết thúc tại q đều có cùng độ dài. (ii) Ta nói rằng SuppM là catenary nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố p, q ∈ SuppM sao cho p ⊂ q, thì mọi dãy bão hoà các iđêan nguyên tố bắt đầu từ p và kết thúc tại q đều có cùng độ dài. Chú ý rằng nếu vành R là đẳng chiều thì R là catenary nếu và chỉ nếu dimR/p + ht p = dimR, với mọi iđêan nguyên tố p của R, và rõ ràng rằng SuppM là catenary nếu và chỉ nếu R/AnnRM là catenary. Do đó, trong trường hợp M là đẳng chiều thì SuppM là catenary nếu và chỉ nếu dimR/p + dimMp = dimM , với mọi p ∈ SuppM. Định nghĩa 1.5.3. Vành R được gọi là catenary phổ dụng nếu mọi R-đại số hữu hạn sinh đều là catenary. Chú ý rằng nếu S là R-đại số hữu hạn sinh, tức là tồn tại a1, . . . , at ∈ S sao cho S = R[a1, . . . , at] thì có toàn cấu vành ϕ : R[x1, . . . , xt] −→ S từ vành đa thức t biến R[x1, . . . , xt] đến S sao cho ϕ(xi) = ai, với mọi i = 1, . . . , t. Vì thế, S đẳng cấu với vành thương của vành đa thức. Vì vành thương của vành catenary là vành catenary nên suy ra vành R là catenary phổ dụng nếu và chỉ nếu mọi vành đa thức với hệ số trên R đều là catenary. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn www.VNMATH.com 16 Định nghĩa 1.5.4. (Xem [12]) Vành R được gọi là không trộn lẫn (unmixed) nếu dim(R̂/p̂) = dimR với mọi iđêan nguyên tố p̂ ∈ Ass R̂ và vành R được gọi là tựa không trộn lẫn (quasi-unmixed) nếu R̂ là đẳng chiều, tức là dim R̂/p̂ = dim R̂ với mọi iđêan nguyên tố tối thiểu p̂ ∈ Ass R̂. Sau đây là một số kết quả về mối liên hệ giữa tính catenary phổ dụng và tựa không trộn lẫn. Bổ đề 1.5.5. [10, Định lý 31.6] Cho (R,m) là vành Noether địa phương tựa không trộn lẫn. Khi đó (i) Rp là tựa không trộn lẫn, với mọi p ∈ SpecR. (ii) Cho I là iđêan của R. Khi đó R/I là đẳng chiều khi và chỉ khi R/I là tựa không trộn lẫn. (iii) R là vành catenary phổ dụng. Bổ đề 1.5.6. [10, Định lý 31.7] Các mệnh đề sau là tương đương (i) Vành R/p là tựa không trộn lẫn, với mọi p ∈ SpecR, nghĩa là dim R̂/p̂ = dimR/p, với mọi p̂ ∈ min Ass R̂/pR̂. (ii) Vành R là catenary phổ dụng. (iii) Vành R[x] là catenary. Để đi đến khái niệm vành thớ và thớ hình thức của vành, trước hết ta cần nhắc lại khái niệm và các kết quả về môđun phẳng như sau. Một R-môđun N được gọi là phẳng nếu với mỗi dãy khớp 0 −→ L′ −→ L −→ L′′ −→ 0 các R-môđun, dãy cảm sinh 0 −→ L′ ⊗N −→ L⊗N −→ L′′ ⊗N −→ 0 Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn www.VNMATH.com 17 là khớp. Một R-môđun N được gọi là phẳng hoàn toàn nếu dãy 0 −→ L′ −→ L −→ L′′ −→ 0 các R-môđun khớp khi và chỉ khi dãy cảm sinh 0 −→ L′ ⊗N −→ L⊗N −→ L′′ ⊗N −→ 0 là khớp. Cho ϕ : R −→ S là một đồng cấu vành và L là S-môđun. Khi đó L có cấu trúc là R-môđun với tích vô hướng được định nghĩa như sau: với r ∈ R và y ∈ L, ry = ϕ(r)y. Đồng cấu vành ϕ : R −→ S được gọi là đồng cấu phẳng (phẳng hoàn toàn) nếu vành S (xét như R-môđun) là R-môđun phẳng (phẳng hoàn toàn). Chú ý rằng nếu (R,m) và (S, n) là các vành địa phương và ϕ : R −→ S là các đồng cấu địa phương (tức là ϕ(m) ⊆ n) thì ϕ là đồng cấu phẳng nếu và chỉ nếu nó phẳng hoàn toàn. Định nghĩa 1.5.7. Cho ϕ : R −→ S là đồng cấu giữa các vành Noether địa phương. Với mỗi p ∈ SpecR, ta gọi vành S ⊗R R/p là vành thớ của ϕ ứng với p. Giả sử f : R −→ R̂ là đồng cấu chính tắc. Khi đó với mỗi p ∈ SpecR, tồn tại p̂ ∈ Spec R̂ sao cho p̂ ∩ R = p. Đồng cấu f cảm sinh ra đồng cấu phẳng ψ : Rp −→ R̂p̂. Khi đó vành thớ R̂p̂ ⊗Rp (Rp/pRp) của ψ ứng với p được gọi là thớ hình thức của R trên p. Mệnh đề 1.5.8. [10, Định lý 15.1] ϕ : R −→ S là đồng cấu giữa các vành Noether và P ∈ SpecS. Đặt p = ϕ−1(P ) := P ∩R. Khi đó (i) htP 6 ht p + dim ( SP ⊗Rp (Rp/pRp) ) . (ii) Nếu ϕ là đồng cấu phẳng thì bất đẳng thức trên trở thành đẳng thức. Chú ý rằng với mỗi iđêan I của R thì đầy đủ của vành R/I là R̂/IR̂. Vì thế nếu p ∈ SpecR sao cho p ⊇ I thì thớ hình thức của R/I trên p cũng chính là thớ hình thức của R trên p, với p là ảnh của p trong R/I . Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn www.VNMATH.com 18 Chương 2 Tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn của vành địa phương và các môđun đối đồng điều địa phương Trong toàn bộ chương này, ta luôn giả thiết (R,m) là vành Noether địa phương với iđêan tối đại duy nhất là m, A là R-môđun Artin,M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dimRM = d. Chương này nghiên cứu đưa ra một đặc trưng của môđun đối đồng điều địa phương H im(M) thoả mãn tính chất (∗) và trong trường hợp này, như một hệ quả ta có thể mở rộng được công thức liên kết với bội của M. Brodmann và R. Y. Sharp [2]. Hơn nữa, các kết quả thu được khi nghiên cứu tính chất (∗) của môđun đối đồng điều địa phuơng H im(M) còn cho phép ta thu được những tính chất đẹp như là tính catenary phổ dụng của vành R/AnnRM và tính không trộn lẫn của vành R/p, với p ∈ SuppRM . 2.1 Tính chất linh hoá tử Tính chất linh hoá tử (thường được gọi là tính chất (∗)) được giới thiệu bởi N. T. Cường và L. T. Nhàn [5]. Nhắc lại rằng đối với mỗi R-môđun hữu hạn sinh M ta xét một tính chất cơ bản sau: Giả sử p là iđêan nguyên tố của R chứa Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn www.VNMATH.com 19 AnnRM . Khi đó p ∈ SuppRM và do đó Mp 6= 0. Theo Bổ đề Nakayama ta suy ra (M/pM)p = Mp/pMp 6= 0. Do đó p ∈ Supp(M/pM), nghĩa là p ⊇ AnnR(M/pM). Vì vậy ta luôn có tính chất AnnR(M/pM) = p, với mọi iđêan nguyên tố p chứa AnnRM . Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là liệu có một tính chất tương tự như vậy cho mọi môđun Artin trên vành giao hoán bất kỳ hay không. Câu trả lời cho câu hỏi này nhìn chung là phủ định (xem [5, Ví dụ 4.3]), và ở đó, họ đã giới thiệu một lớp môđun Artin thoả mãn câu trả lời khẳng định của câu hỏi trên như sau. Định nghĩa 2.1.1. [5, Định nghĩa 4.2] Ký hiệu V (AnnRA) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa AnnRA. Ta nói rằng A thoả mãn tính chất (∗) nếu AnnR(0 :A p) = p,∀p ∈ V (AnnRA). (∗) Rõ ràng rằng, khi vànhR là đầy đủ thì theo đối ngẫu Matlis, mọiR-môđun Artin A đều thoả mãn tính chất (∗). Lớp môđun Artin thoả mãn tính chất (∗) có nhiều tính chất "tốt", đặc biệt liên quan chặt chẽ đến chiều Noether của một môđun Artin. Nhắc lại rằng chiều Krull của môđun ArtinA, ký hiệu bởi dimRA, là chiều Krull của vành R/AnnRA. Theo I. G. Macdonald [8], mọi môđun Artin đều có biểu diễn thứ cấp và tập các iđêan nguyên tố tối thiểu chứa AnnRA cũng chính là tập các phần tử tối thiểu của AttRA nên dimRA chính là cận trên của các số dimR/p khi p chạy khắp tập iđêan nguyên tố gắn kết dimRA = max{dimR/p | p ∈ AttRA}. Theo Bổ đề 1.3.3, (ii), ta có N-dimA 6 dimA.Mệnh đề sau đây chỉ ra rằng tính chất (∗) là điều kiện đủ để xảy ra dấu đẳng thức. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn www.VNMATH.com 20 Mệnh đề 2.1.2. [5, Mệnh đề 4.5] Nếu A thoả mãn tính chất (∗) thì ta có đẳng thức N-dimRA = dimRA. Giả sử rằng dimRM = d. N. T. Cường, N. T. Dung và L. T. Nhàn [3] tiếp tục nghiên cứu tính chất (∗) cho một lớp môđun Artin đặc biệt: môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất Hdm(M) của môđun hữu hạn sinhM và một số ứng dụng của nó. VìM là môđun hữu hạn sinh trên vành Noether nên M là môđun Noether, do đó tập các môđun con của M luôn thoả mãn điều kiện tối đại. Vì thế ta có thể chứng minh được rằng môđun con lớn nhất của M có chiều thực sự nhỏ hơn d luôn tồn tại và duy nhất. Ký hiệu UM(0) là môđun con lớn nhất của M có chiều thực sự nhỏ hơn d. Kết quả sau đây cho ta cách tính môđun con UM(0) thông qua phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun 0 củaM . Bổ đề 2.1.3. Nếu 0 = ⋂ p∈AssM N(p) là phân tích nguyên sơ thu gọn của môđun con 0 củaM , trong đó N(p) là p−nguyên sơ thì UM(0) = ⋂ p∈AssM,dimR/p=d N(p). Từ bổ đề trên, ta có thể tính được tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun M/UM(0) thông qua tập iđêan nguyên tố liên kết củaM như sau. Ass(M/UM(0)) = {p ∈ AssM : dimR/p = d}. Rõ ràng rằng các iđêan nguyên tố liên kết của môđunM/UM(0) đều có chiều như nhau, vì thế Supp(M/UM(0)) = ⋃ p∈AssM, dimR/p=d V (p). Điều này dẫn đến khái niệm sau. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn www.VNMATH.com 21 Định nghĩa 2.1.4. Tập Supp(M/UM(0)) được gọi là giá không trộn lẫn của M và được ký hiệu bởi UsuppM. Từ định nghĩa trên và vì AttRH d m(M) = {q ∈ AssM : dimR/q = d}, hơn nữa theo Mệnh đề 1.2.2, (i), tập các iđêan nguyên tố tối thiểu chứa AnnRH d m(M) chính là tập các phần tử tối thiểu (theo quan hệ bao hàm) của tập AttRH d m(M) nên ta có kết quả sau. Bổ đề 2.1.5. [3, Bổ đề 3.2] Cho p ∈ SuppM . Khi đó p ∈ UsuppM nếu và chỉ nếu p ⊇ AnnR(Hdm(M). Đặc biệt UsuppM = V (AnnRH d m(M)) = ⋃ p∈AssR M,dimR/p=d Var(p). Như đã nhắc ở tiết trước, SuppM là catenary nếu và chỉ nếu vành R/AnnRM là catenary và nếu M là đẳng chiều thì SuppM là catenary nếu và chỉ nếu dimR/p+dimMp = d, với mọi p ∈ SuppM. Đặc biệt, theo định nghĩa ta luôn có dimR/p = d với mọi p ∈ Ass(M/UM(0)), nên giá không trộn lẫn UsuppM = Supp(M/UM(0)) củaM là catenary nếu và chỉ nếu dimR/p + dimMp = d, với mọi p ∈ UsuppM. Một kết quả thú vị trong [3] đã chỉ ra rằng mặc dù ta có đẳng thức N-dimHdm(M) = dim ( R/AnnRH d m(M) ) nhưng nhìn chung Hdm(M) không thoả mãn tính chất (∗), và một điều đáng ngạc nhiên là điều kiện để môđun Hdm(M) thoả mãn tính chất (∗) lại liên quan đến một tính chất quan trọng: Tính catenary của giá không trộn lẫn của môđunM . Định lý 2.1.6. [3, Định lý 4.1] Các mệnh đề dưới đây là tương đương: (i) UsuppM là catenary. (ii) Hdm(M) thoả mãn tính chất (∗). Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn www.VNMATH.com 22 Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Cho p ∈ Var(AnnR(Hdm(M))). Vì UsuppM là catenary nên dimR/p + dimMp = d. Do đó theo [3, Bổ đề 4.3] ta có Ann(0 :Hdm(M) p) = p. Vì vậy H d m(M) thoả mãn tính chất (∗). (ii) ⇒ (i). Để chứng minh UsuppM là catenary, ta chỉ cần chứng minh dimR/p + dimMp = d với mọi p ∈ UsuppM. Giả sử p ∈ UsuppM . Nếu p = m thì rõ ràng dimR/m + dimMm = 0 + dimM = d. Do đó ta giả thiết p 6= m. Đặt dimR/p = d − r. Ta cần chứng minh dimMp = r. Vì p ⊇ AnnR(M/UM(0)) nên Rad Ann ( M/UM(0)/p(M/UM(0)) ) = Rad(AnnR(M/UM(0)) + p) = p. Do đó ta có dim ( M/UM(0)/p(M/UM(0)) ) = dimR/p = d− r. Vì thế tồn tại một phần hệ tham số (x1, ..., xr) củaM/UM(0) trong p. Rõ ràng phần hệ tham số này là tối đại trong p, tức là không tồn tại một phần tử y ∈ p để (x1, ..., xr, y) là phần hệ tham số củaM/UM(0). Vì p ∈ UsuppM nên tồn tại iđêan nguyên tố p̂ ∈ UsuppR̂ M̂ sao cho p̂∩R = p.Đặt M̂1 = M̂/UM̂(0). Vì (x1, ..., xr) là phần hệ tham số củaM/UM(0) nên nó cũng là phần hệ tham số của môđun đầy đủ m-adic ̂M/UM(0) của M/UM(0). Vì M̂1 là môđun thương của môđun ̂M/UM(0) và dim M̂1 = dim ̂M/UM(0) nên ta có thể kiểm tra được (x1, ..., xr) cũng là phần hệ tham số của M̂1. Chú ý rằng p̂ ∈ SuppR̂ ( M̂1/(x1, .., xr−1)M̂1 ) . Vì thế p̂ ⊇ p̂1 với iđêan nguyên tố tối thiểu p̂1 ∈ SuppR̂ ( M̂1/(x1, .., xr−1)M̂1 ) . Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn www.VNMATH.com 23 Vì xr là phần tử tham số của M̂1/(x1, .., xr−1)M̂1 nên xr tránh tất cả các iđêan nguyên tố liên kết có chiều cao nhất của M̂1/(x1, .., xr−1)M̂1. Vì thế theo [3, Bổ đề 4.2] ta suy ra xr /∈ p̂1. Đặt p1 = p̂1 ∩ R. Khi đó xr /∈ p1. Vì xr ∈ p nên ta có p ⊃ p1 và p 6= p1. Lập luận tương tự, tồn tại iđêan nguyên tố tối thiểu p̂2 ∈ SuppR̂ ( M̂1/(x1, .., xr−2)M̂1 ) . sao cho p̂1 ⊇ p̂2. Đặt p2 = p̂2 ∩ R̂. Khi đó, lại theo [3, Bổ đề 4.2] ta có xr−1 ∈ p1 \ p2. Do đó p1 ⊃ p2 và p1 6= p2. Tiếp tục quá trình trên, sau r bước ta nhận được một dãy các iđêan nguyên tố chứa AnnRM p ⊃ p1 ⊃ . . . ⊃ pr sao cho pi 6= pi+1 với mọi i = 1, . . . , r − 1. Vì thế dimMp = r. 2.2 Tính chất linh hoá tử và bội của môđun đối đồng điều địa phương Như đã đề cập ở tiết trước, tính chất (∗) của môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất tương đương với tính catenary của giá không trộn lẫn của môđun M . Nhưng cần chú ý rằng, ngay cả khi vành R là catenary thì tính chất (∗) không nhất thiết thoả mãn cho các môđun đối đồng điều địa phương cấp i < d. Tiết này dành để nghiên cứu điều kiện cần và đủ để với mỗi số nguyên i, các môđun đối đồng điều địa phương H im(M) thoả mãn tính chất (∗), qua đó nhận được tính đóng của tập giả support PsuppiR(M) được định nghĩa bởi M. Brodmann và R. Y. Sharp [2], đồng thời cũng mở rộng được công thức liên kết với bội của các môđun H im(M). Trước hết ta có định nghĩa sau. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn www.VNMATH.com 24 Định nghĩa 2.2.1. [2] Tập {p ∈ SpecR : H i−dim(R/p)pRp (Mp) 6= 0} được gọi là tập giả support thứ i của M , ký hiệu là PsuppiR(M). Giả chiều thứ i củaM , ký hiệu bởi psdi(M), được định nghĩa bởi psdi(M) = sup{dimR/p : p ∈ PsuppiRM}. Cho (R,m) là vành thương của vành Gorenstein (S, n) với dimS = r. Khi đó ánh xạ f : S −→ R là toàn cấu và R-môđun M có cấu trúc là S-môđun thông qua đồng cấu f. Do đó ta có S-môđun ExtiS(M,S) và vì thế ExtiS(M,S) cũng có cấu trúc là R-môđun. Ký hiệu E = E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m. Khi đó ta luôn có R-môđun HomR(Ext i S(M,S), E) = D(Ext i S(M,S)). Đặt K iM = Ext r−i S (M,S) ∀i = 0, 1, . . . , dimM. Theo [1, Định lý 11.2.6] ta có đẳng cấu H im(M) ∼= Hom(K iM , E),∀i = 0, 1, . . . , dimM và đẳng cấu trên được gọi là công thức đối ngẫu địa phương, môđun KdimMM được gọi là môđun chính tắc củaM và ký hiệu là KM . Vì vành địa phương đầy đủ là vành thương của vành chính quy nên áp dụng công thức đối ngẫu địa phương, ta sẽ chứng minh rằng nếu trên vành đầy đủ R̂ thì tập giả support thứ i củaM cũng chính là tập các iđêan nguyên tố chứa linh hoá tử của môđun đối đồng điều địa phương thứ i củaM . Bổ đề 2.2.2. Với mọi R-môđun hữu hạn sinhM ta có Psuppi R̂ M̂ = Var(AnnR̂(H i m(M))). Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn www.VNMATH.com 25 Chứng minh. Cho p ∈ Spec(R). Khi đó (Rp, pRp) cũng là vành địa phương. Vì R̂ là vành đầy đủ nên f : R̂ −→ R là toàn cấu, do đó f ′ : R̂p̂ −→ Rp cũng là toàn cấu cho bởi f ′(r̂/ŝ) = f(r̂)/f(ŝ), với mọi r̂ ∈ R̂, ŝ ∈ R̂ \ p̂ và dim R̂p̂ = dim R̂− dim(R̂/p̂). Lại vì với mọi i ∈ Z, ta có đẳng cấu giữa các Rp-môđun (K i M̂ )p̂ = (Ext dim R̂−i R̂ (M̂, R̂))p̂ ∼= Extdim R̂−i R̂p̂ (M̂p̂, R̂p̂) nên theo công thức đối ngẫu địa phương và công thức về chiều ở trên ta có H i−dim R̂/p̂ p̂R̂p̂ (M̂p̂) ∼= HomRp ( Ext dim R̂p̂−i+dim(R̂/p̂) R̂p̂ (M̂p̂, R̂p̂), ERp(Rp/pRp) ) ∼= HomRp ( Extdim R̂−i R̂p̂ (M̂p̂, R̂p̂), ERp(Rp/pRp) ) ∼= HomRp ( (K i M̂ )p̂, ERp(Rp/pRp) ) . Vì thế, H i−dim R̂/p̂ p̂R̂p̂ (M̂p̂) 6= 0 khi và chỉ khi (K iM̂)p̂ 6= 0. Suy ra ta có p̂ ∈ Psuppi R̂ M̂ khi và chỉ khi p̂ ∈ SuppR̂(K iM̂). Do K iM̂ là môđun hữu hạn sinh và áp dụng đẳng cấu giữa các R̂-môđun H i mR̂ (M̂) ∼= H im(M), ta có Psuppi R̂ M̂ = SuppR̂(K i M̂ ) = Var(AnnR̂K i M̂ ) = Var(AnnR̂H i mR̂ (M̂)) = Var(AnnR̂H i m(M)). Do đó ta có điều phải chứng minh. Định lý sau là kết quả chính của chương, cho ta mối quan hệ giữa tính chất (∗) của các môđun đối đồng điều địa phương với tập giả support của môđun M . Định lý 2.2.3. Cho i > 0 là một số nguyên. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) Các môđun đối đồng điều địa phương H im(M) thoả mãn tính chất (∗). Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn www.VNMATH.com 26 (ii) Var(AnnR(H i m(M))) = Psupp i RM. Hơn nữa, nếu (i) và (ii) thoả mãn thì ta có psdi(M) = psdi(M̂) = N-dimR(H i m(M)) và {p ∈ PsuppiRM : dimR/p = psdiM} = {p̂ ∩R : p̂ ∈ Psuppi R̂ M̂, dim(R̂/p̂) = psdi M̂}. Chứng minh. Cho số nguyên i ≥ 0. (i) ⇒ (ii). Giả sử H im(M) thỏa mãn tính chất (∗). Cho p ∈ PsuppiR(M). Theo định nghĩa, ta có H i−dim(R/p) pRp (Mp) 6= 0. Theo Mệnh đề 1.2.2, (i), tồn tại iđêan nguyên tố gắn kết qRp ∈ AttRp(H i−dim(R/p)pRp (Mp)), với q ⊆ p. Khi đó, q thoả mãn các điều kiện của Nguyên lý địa phương hoá nâng yếu của Brodmann-Sharp trong Định lý 1.4.5 nên ta có q ∈ AttR(H im(M)). Vì thế p ⊇ q ⊇ AnnR(H im(M)) suy ra PsuppiRM ⊆ Var(AnnR(H im(M))). Ngược lại, lấy p ∈ Var(AnnR(H im(M))). Theo giả thiết H im(M) thỏa mãn tính chất (∗) nên AnnR(0 :Him(M) p) = p. Điều này kéo theo min Var(AnnR(0 :Him(M) p)) = {p}. Do đó, nếu lấy q ⊇ AnnR(0 :Him(M) p) thì q ⊇ p. Kết hợp với giả thiết H im(M) thỏa mãn tính chất (∗), ta có AnnR(0 :0: Him(M) p q) = AnnR(0 :Him(M) q) = q. Vì thế, 0 :Him(M) p cũng thoả mãn tính chất (∗). Theo Mệnh đề 2.1.2, ta có dimR/p = dim(R/AnnR(0 :Him(M) p)) = N-dim(0 :Him(M) p) = dim ( R̂/AnnR̂(0 :Him(M) p) ) = max{dim(R̂/p̂) : p̂ ∈ AttR̂(0 :Him(M) p)}. Vì vậy, tồn tại iđêan p̂ ∈ AttR̂(0 :Him(M) p) sao cho dim(R̂/p̂) = dimR/p. Chú ý rằng nếu p̂ ∈ AttR̂(0 :Him(M) p) thì p̂ ∈ Var(AnnR̂(H im(M))) và Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn www.VNMATH.com 27 p̂ ∩ R ⊇ p. Hơn nữa, vì dim(R̂/p̂) = dimR/p nên p̂ là iđêan nguyên tố tối thiểu của pR̂. Theo Bổ đề 2.2.2, ta có p̂ ∈ Psuppi R̂ M̂ , nghĩa là H i−dim(R̂/p̂) p̂R̂p̂ (M̂p̂) 6= 0. Vì p̂ là iđêan nguyên tố tối thiểu của pR̂ và dim(R̂/p̂) = dimR/p nên theo Định lý đổi cơ sở phẳng 1.4.4, ta có H i−dim(R/p) pRp (Mp)⊗ R̂p̂ ∼= H i−dim(R̂/p̂)p̂R̂p̂ (Mp ⊗ R̂p̂) ∼= H i−dim(R̂/p̂) p̂R̂p̂ (M̂p̂) 6= 0. Do đó H i−dim(R/p) pRp (Mp) 6= 0, tức là p ∈ PsuppiR(M). Vì vậy Var(AnnR(H i m(M))) ⊆ PsuppiR(M). (ii) ⇒ (i). Giả sử rằng Var(AnnR(H im(M))) = PsuppiR(M). Lấy tuỳ ý một iđêan nguyên tố p ⊇ AnnR(H im(M)). Khi đó p ∈ PsuppiR(M), tức là H i−dim(R/p) pRp (Mp) 6= 0. Vì dimR/p = dim R̂/pR̂ nên tồn tại iđêan p̂ ∈ Ass(R̂/pR̂) sao cho dim R̂/p̂ = dimR/p. Khi đó p̂ ∩ R = p và p̂ là iđêan nguyên tố tối thiểu của pR̂. Vì ánh xạ cảm sinh Rp −→ R̂p̂ là đồng cấu phẳng hoàn toàn nên theo Định lý chuyển cơ sở phẳng 1.4.4, ta có H i−dim(R̂/p̂) p̂R̂p̂ (M̂p̂) ∼= H i−dim(R/p)pRp (Mp)⊗ R̂p̂ 6= 0. Vì thế p̂ ∈ Psuppi R̂ (M̂) = Var(AnnR̂(H i m(M))). Ta lại có H i m(M) xem như R̂-môđun Artin luôn thoả mãn tính chất (∗) theo [5, Bổ đề 4.4] nên AnnR̂(0 :Him(M) p̂) = p̂. Do đó ta có p ⊆ AnnR(0 :Him(M) p) ⊆ AnnR̂(0 :Him(M) p̂) ∩R = p̂ ∩R = p. Suy ra AnnR(0 :Him(M) p) = p hay H i m(M) thoả mãn tính chất (∗). Cuối cùng, giả sử rằng điều kiện (i) và (ii) thoả mãn. Theo (ii) ta có psdiM = dim ( R/Ann(H im(M)) ) . Vì thế, theo Mệnh đề 1.3.3, (iii), ta có psdi(M) = N-dimR(H i m(M)) = dim ( R̂/AnnR̂(H i m(M)) ) = psdi(M̂). Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn www.VNMATH.com 28 Đặt N-dimR(H i m(M)) = s. Cho p ∈ PsuppiR(M) sao cho dim(R/p) = s. Khi đó p ∈ Var(AnnR(H im(M))) theo (ii). Bằng lý luận tương tự như trong phần (i)⇒(ii), tồn tại p̂ ∈ Psuppi R̂ (M̂) = Var(AnnR̂(H i m(M))) sao cho p̂ ∩R = p và dim(R̂/p̂) = dim(R/p) = s. Ngược lại, lấy p̂ ∈ Psuppi R̂ (M̂) sao cho dim(R̂/p̂) = s. Khi đó ta có p̂ ∈ Var(AnnR̂(H im(M))). Nếu đặt p̂ ∩ R = p thì theo (ii) ta được p ∈ Var(AnnR(H im(M))) = PsuppiRM . Hơn nữa, s = dim(R̂/p̂) 6 dim(R̂/pR̂) = dimR/p 6 s. Vì thế dimR/p = s và ta có điều phải chứng minh. Từ Định lý 2.2.3 ta có các hệ quả sau. Hệ quả 2.2.4. Nếu vành R/AnnRM là catenary phổ dụng và các thớ hình thức là Cohen-Macaulay thì H im(M) thoả mãn tính chất (∗) với mọi i 6 d. Chứng minh. Vì vành R/AnnRM là catenary phổ dụng và các thớ hình thức là Cohen-Macaulay nên ta có Var(AnnR(H i m(M))) = Psupp iM với mọi i 6 d theo [2, Mệnh đề 2.5]. Do đó áp dụng Định lý 2.2.3, (ii)⇒(i), ta có H im(M) thoả mãn tính chất (∗) với mọi i 6 d. Giả sử dimM = dimR = d. Nhắc lại rằng với mỗi môđun hữu hạn sinh M trên vành địa phương (R,m) và iđêan q của R sao cho `R(M/qM) <∞, hàm độ dài `R(M/q n+1M) luôn là đa thức theo n và có bậc dimM với hệ số hữu tỷ khi n 0. Ta có thể biểu diễn đa thức này dưới dạng `R(M/q n+1M) = e(q;M) d! nd + đa thức có bậc nhỏ hơn d, khi n  0, trong đó e(q;M) là số nguyên dương. Đa thức trên được gọi là đa thức Hilbert - Samuel và e(q;M) được gọi là số bội củaM ứng với iđêan Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn www.VNMATH.com 29 q. Một trong những tính chất quan trọng của số bội là công thức liên kết với bội như sau (xem [10, Định lý 14.7]). e(q;M) = ∑ p∈minAssM dim(R/p)=d `Rp(Mp)e(q;R/p) với q là ảnh của q trong R/p.Một suy nghĩ đối ngẫu là liệu rằng có một công thức tương tự như vậy cho môđun Artin hay không, nghĩa là có thể thiết lập được một công thức liên kết với bội cho một môđun Artin bất kỳ hay không. Mặc dù nhiều tính chất của số bội cho môđun Artin đã được đưa ra trong [4], nhưng rất tiếc là công thức trên lại chưa thể có được, vì các khái niệm "đối địa phương hoá" cho môđun Artin đã biết chưa thoả mãn được yêu cầu là đối địa phương hoá tại p của môđun Artin A có độ dài hữu hạn, khi p chạy trên một tập hữu hạn nào đó. Năm 2002, Brodmann và Sharp [2] đã chứng minh rằng nếu vành R là catenary phổ dụng và các thớ hình thức là Cohen-Macaulay thì tất cả các tập giả support của M đều đóng. Với kết quả này, họ đã xây dựng được công thức liên kết với bội cho một lớp môđun Artin đặc biệt là môđun đối đồng điều địa phương H im(M) ứng với mọi iđêan m-nguyên sơ q như sau. e′(q, H im(M)) = ∑ p∈PsuppiR(M) dimR/p=psdi(M) `Rp(H i−dim(R/p) pRp (Mp))e(q, R/p). ở đây, với kết quả của Định lý 2.2.3 ta có thể mở rộng công thức liên kết với bội như trên của họ mà chỉ cần điều kiện các môđun H im(M) thoả mãn tính chất (∗) với mọi i 6 d. Hệ quả 2.2.5. Cho i > 0 là một số nguyên và N-dim(H im(M)) = s. Với mỗi p ∈ PsuppiRM, đặt T (p) = {p̂ ∈ Psuppi R̂ (M̂) : dim R̂/p̂ = dimR/p, p̂ ∩R = p}. Giả sử H im(M) thoả mãn tính chất (∗). Khi đó các mệnh đề sau là đúng. Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn www.VNMATH.com 30 (i) PsuppiR(M) là tập đóng. (ii) Nếu p ∈ PsuppiR(M) sao cho dim(R/p) = s thì T (p) 6= ∅, `Rp(H i−dimR/p pRp (Mp)) khác không, hữu hạn và `R̂p̂(H i−dim(R̂/p̂) p̂R̂p̂ (M̂p̂)) = `Rp(H i−dimR/p pRp (Mp))`R̂p̂(R̂p̂/pR̂p̂) với mỗi p̂ ∈ T (p). (iii) Cho q là iđêan m-nguyên sơ của R. Giả sử H im(M) 6= 0. Khi đó số bội e′(q, H im(M)) của H i m(M) ứng với iđêan q thoả mãn e′(q, H im(M)) = ∑ p∈PsuppiR(M) dimR/p=psdi(M) `Rp(H i−dimR/p pRp (Mp))e(q, R/p). Chứng minh. (i). Theo Định lý 2.2.3, PsuppiR(M) = Var(AnnR(H i m(M))) nên hiển nhiên nó là tập đóng. (ii). áp dụng Định lý 2.2.3 và bằng lý luận tương tự như trong [2, Định lý 2.4, (i)], ta có thể chứng minh khẳng định (ii) như sau. Lấy p ∈ PsuppiR(M) sao cho dim(R/p) = s = N-dim(H im(M)). Vì R −→ R̂ là đồng cấu phẳng nên ánh xạ cảm sinh Spec R̂ −→ SpecR là toàn cấu. Do đó, vì p ∈ PsuppiR(M) ⊆ SpecR nên luôn tồn tại p̂ ∈ Spec R̂ sao cho p̂∩R = p. Ta cần chứng minh p̂ ∈ T (p), tức chứng minh p̂ ∈ Psuppi R̂ (M̂) và dim(R̂/p̂) = dim(R/p) = s. Thật vậy, vì H im(M) thoả mãn tính chất (∗) nên theo Định lý 2.2.3 ta có p̂ ∈ Psuppi R̂ (M̂) và vì dim(R/p) = s = N-dimH im(M) = psd i(M) nên p là phần tử cực tiểu của PsuppiR(M). Gọi p̂1 là phần tử cực tiểu của Psuppi R̂ (M̂) sao cho p̂1 ⊆ p̂. Theo Định lý 2.2.3, p̂1 ∩ R ∈ PsuppiR(M). Vì p̂ ⊇ p̂1 nên p̂1 ∩ R ⊆ p̂ ∩ R = p. Do tính cực tiểu của p nên suy ra p̂1∩R = p. Vì thế p̂1 ⊇ pR̂.Mặt khác, do p̂ là iđêan nguyên tố tối thiểu của Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn www.VNMATH.com 31 pR̂ nên suy ra p̂1 = p̂. Vì vậy, p̂ là phần tử cực tiểu của Psupp i R̂ (M̂). Điều này suy ra dim(R̂/p̂) = dimR/p = s, nghĩa là p̂ ∈ T