Luận văn Tính toán và mô phỏng số tấm composite lõi lượn sóng chịu xoắn bằng phương pháp đồng nhất hóa

ền thống thường thấy là thuỷ tinh, gốm, sứ, gạch, Ceramic có ưu điểm chung là cách điện, cách nhiệt, bền vững với môi trường kiềm và axít, tuy nhiên gốm lại giòn, không biến dạng dẻo. Vật liệu polyme có hai loại: nhiệt rắn (đông rắn ở nhiệt độ cao, quá trình polyme hoá không có tính thuận nghịch) và nhiệt dẻo (quá trình thuận 15 nghịch, chảy dẻo ở nhiệt độ cao, đông rắn khi nguội và lại có thể chảy dẻo lại được ở nhiệt độ cao). Polyme có thể có nguồn gốc từ thực vật hoặc động vật như xenlulo, cao su, protein, enzym,hoặc được tổng hợp từ các monome bằng các phản ứng trùng hợp như nhựa phenolphomalđehit, polyamit, polyephin, Polyme có cấu trúc mạch thẳng (polyetylen, polystyren,), mạch nhánh, polyme mạng lưới và các polyme cấu trúc không gian (epoxy, phenolphomanđehit,) và được cấu thành nên bởi hai nguyên tố chủ yếu là cacbon và hyđrô, có chứa thêm oxy, clo, nitơ,. Polyme có ưu điểm là nhẹ, cách điện, bền vững với các môi trường hoá học, tuy nhiên lại có mô đun đàn hồi thấp và khả năng chịu nhiệt không cao. Trong các vật liệu kể trên, trước đây người ta thường đánh giá cao vai trò của vật liệu nhóm kim loại và cho rằng chúng giữ vị trí quyết định đến sự phát triển xã hội và kỹ thuật. Tuy nhiên như đã phân tích trên đây, chúng ta có thể thấy vật liệu kim loại (hay hợp kim), gốm và polyme, mặc dù mỗi loại vật liệu có những ưu điểm riêng, nhưng cũng có những yếu điểm. Trong khi công nghiệp hiện đại, nhất là công nghiệp quốc phòng yêu cầu những vật liệu mới, đáp ứng được các đòi hỏi khắt khe của kỹ thuật, như vật liệu chế tạo khí cụ bay phải vừa nhẹ, lại vừa bền nhiệt, là những tính chất lý tưởng mà không vật liệu tự nhiên nào có được. Từ đó con người đã nảy sinh ý tưởng, và sau đó đã trở thành hiện thực là chế tạo những vật liệu mới, tổ hợp được các ưu điểm của các loại vật liệu nói trên. Vật liệu mới composite, có thể có các chỉ tiêu cơ lý cao hơn kim loại và hợp kim, lại bền với cả môi trường hoá học và rất nhẹ. Ngày nay, composite ngày càng chiếm ưu thế, đã dần thay thế kim loại và hợp kim trong chế tạo máy, trong việc chế tạo các vật thể bay, và đã có mặt trong tất cả mọi ngành, mọi lĩnh vực của nền kinh tế quốc dân. Để thấy được quy mô phát triển của ngành vật liệu composite, ta hãy quan sát biểu đồ sử dụng vật liệu composite trong máy bay tàu lượn (Hình 2): 16 năm 1991 composite chiếm có 3% khối lượng, được dùng thay thế dần kim loại và hợp kim, và đến năm 2000 đã chiếm đến 65% khối lượng máy bay. Hình 2. Tỷ lệ composite trong máy bay tàu lượn Ngày nay vật liệu composite đã có mặt ở hầu hết mọi lĩnh vực cũng như trong đời sống hàng ngày. Từ Hình 3 đến Hình 9 thể hiện một số ứng dụng của vật liệu composite trong hầu hết các lĩnh vực như ô tô, xây dựng, máy bay, tên lửa Hình 3. Ứng dụng trong chế tạo động cơ tên lửa xuyên lục địa 17 Hình 4. Ứng dụng trong chế tạo máy bay Hình 5. Ứng dụng trong công nghiệp ôtô Hình 6. Ứng dụng trong công nghiệp tàu thủy 18 Hình 7. Ứng dụng trong dụng cụ thể thao Hình 8. Ứng dụng trong kết cấu xây dựng 19 Hình 9. Ứng dụng trong công nghiệp bao bì 1.2. Tấm composite. Tấm composite là một loại vật liệu dạng tấm được tạo thành bằng cách kết hợp nhiều lớp vật liệu theo những phương án cấu trúc khác nhau. Do đó tính chất của nó không những phụ thuộc vào tính chất của các vật liệu thành phần mà còn phụ thuộc vào thiết kế hình học của chúng trong kết cấu. Thường dùng hai loại: dạng lớp và sandwich. Nó có tính năng ưu việt và được ứng dụng rộng rãi trong các ngành công nghiệp (như bao bì, xây dựng, đóng tàu, chế tạo ôtô, hàng không vũ trụ). Dưới góc độ cơ học thì vật liệu composite được phân thành 3 nhóm chính, đó là: composite đẳng hướng (Hình 10a), composite đẳng hướng ngang (Hình 10b), composite trực hướng (Hình 10c). a b c Hình 10. Các loại vật liệu composite Composite dạng tấm có thể có nhiều lớp đồng phương, nhiều lớp “mat”, nhiều lớp vải hoặc tổ hợp các lớp đồng phương, vải và “mat”. 20 a b c Hình 11. Lớp vật liệu composite Lớp đồng phương (Hình 11a), lớp “mat” (Hình 11b) và lớp vải, băng (Hình 11c). Vật liệu trong mỗi lớp cũng có thể khác nhau và phương của cốt sợi trong mỗi lớp cũng không nhất thiết phải giống nhau Để thấy rõ cấu trúc của tấm composite nhiều lớp, có thể tham khảo mô hình của vật liệu composite nhiều lớp như Hình 12. Hình 12: Mô hình cấu trúc của composite nhiều lớp Ngoài ra tùy thuộc vào sự phân bố của các lớp mà vật liệu composite còn được phân ra thành các loại. 21 2 y 1 x z,3  - Composite đối xứng, đúng trục: [0/90]s  (0 0/900/900/00); lệch trục: [15]s  (15 0/ -150/-150/150). - Composite xen lớp đúng trục: [0/90]N  (0 0/900/00/900); lệch trục: [±15]N  (15 0/-150/150/-150). Do vật liệu composite được tạo thành từ nhiều lớp liên tiếp, trong đó phương của sợi hay phương cơ bản của mỗi lớp lại khác nhau. Do vậy mà để tính toán được cơ học cho vật liệu kết cấu composite thì ta cần phải chọn một hệ quy chiếu chung cho cả vật liệu và biến đổi ứng xử của mỗi lớp vật liệu theo hệ quy chiếu chung đó, chính vì thế mà ta cần phải hiểu rõ được khái niệm về hệ trục tọa độ, đó là hệ trục chính của lớp vật liệu (1,2,3) và hệ trục quy chiếu chung của tấm (x, y, z), Hình 13. Hình 13. Hệ trục chính vật liệu và hệ trục quy chiếu chung Để tính toán cơ học vật liệu composite nhiều lớp người ta coi vật liệu là đồng nhất và dị hướng. Để nghiên cứu cơ học của loại vật liệu này ta có thể đi theo hai hướng, đó là nghiên cứu ứng xử của từng lớp vật liệu và nghiên cứu ứng xử của cả vật liệu bao gồm nhiều lớp. Khi đó ta có thể hoàn toàn biết được ứng xử cơ học của toàn bộ kết cấu composite. Các phương pháp tính toán trong lĩnh vực cơ học vật liệu và kết cấu composite có thể được chia thành 2 nhóm, đó là nhóm giải tích và nhóm số: 22 Nhóm giải tích: Các thông số của vật liệu và kết cấu có thể được xác định trực tiếp. Các chương trình trên máy tính được xây dựng trên cơ sở giải tích không quá phức tạp như các chương trình tính bằng phương pháp số, nhưng phương pháp này nói chung chỉ giới hạn ở các kết cấu đơn giản và chịu lực đơn giản. Nhóm các phương pháp số: Phương pháp này tỏ ra rất hiệu quả, đặc biệt là phương pháp phần tử hữu hạn, nó rất phù hợp cho các kết cấu có hình dạng, tải trọng tác dụng và kiểu liên kết phức tạp. Tuy nhiên, độ chính xác của kết quả tính toán phụ thuộc rất nhiều vào lý thuyết (mô hình) mà ta sử dụng, các lý thuyết mà ta có thể kể ra đây đó là lý thuyết tấm nhiều lớp kinh điển, lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất Mindlin, lý thuyết tấm bậc cao, Do đó vấn đề quan trọng mang tính quyết định đến độ chính xác của kết quả tính toán chính là lý thuyết mà ta sử dụng. 1.3. Tấm composite với các dạng lõi khác nhau Dạng kết cấu tấm đã và đang được sử dụng hết sức đa dạng, để phù hợp với từng mục đích sử dụng và công nghệ chế tạo của từng cơ sở sản xuất, người ta phân ra làm các dạng tấm sandwich khác nhau:  Theo số lớp sử dụng: tấm lõi đơn, tấm lõi kép, tấm đa lõi; Hình 14. Tấm lõi đơn 23 a. Lõi tổ ong d. Lõi tứ giác g. Lõi tứ diện b. Lõi tứ giác e. Lõi kim cương h. Lõi kim tự tháp c. Lõi tam giác f. Lõi hình mũ i. Lõi Kagome 3D Hình 5: Một số dạng lõi tấm sandwich Hình 15. Tấm lõi kép  Theo kết cấu lõi: dạng lõi lượn sóng, lõi gấp nếp, lõi tổ ong, lõi kim tự tháp, lõi dạng bọt biển (foam); Hình 16. Một số dạng kết cấu lõi của tấm Sandwich  Theo định hướng lớp cốt liệu: tấm lõi đơn hướng, tấm lõi đa hướng.. 24 Hình 17. Các tấm sandwich lõi đơn hướng Hình 18. Tấm sandwich đa lõi, đa hướng Với các dạng tấm composite lõi không liên tục, hiện nay công nghệ chế tạo vẫn còn khá mới mẻ, các phương pháp chế tạo truyền thống cho các dạng tấm composite thông thường cho thấy nhiều hạn chế khi áp dụng đối với các tấm dạng này. Nhu cầu đó đặt ra yêu cầu thường xuyên cải tiến, nâng cấp và áp dụng những phương pháp chế tạo mới cho phù hợp, gần đây với công nghệ in 3D (three dierection) cũng đã mở ra một hướng mới cho việc chế tạo các dạng tấm composite kết cấu lõi phức tạp. Đặc biệt, không chỉ với những vật liệu như trước (chất dẻo), giờ đây in 3D với vật liệu kim loại, thậm chí là kết hợp nhiều loại vật liệu trên một bản in cũng không còn là xa lạ và những bản in được thương mại hóa sẽ sớm có mặt trên thị trường. 25 1.4. Tấm composite lõi lượn sóng Trong các dạng tấm sandwich trên thì dạng tấm sandwich với lõi lượn sóng đơn được sử dụng khá phổ biến, với đặc điểm khá đơn giản trong công nghệ chế tạo nên nó ngày càng phổ biến được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của đời sống. Hình 19. Tấm Sandwich lõi lượn sóng Tấm composite lõi lượn sóng được tạo thành bởi một hoặc nhiều lớp lõi lượn sóng gắn chặt với một hoặc nhiều lớp phẳng để tạo thành một tấm phức tạp, chịu lực tốt hơn hẳn lớp thành phần. Ngày nay nó được sử dụng rộng rãi trong các ngành công nghiệp (như bao bì, xây dựng, đóng tàu, chế tạo ôtô); một loại tiêu biểu cho tấm composite lõi lượn sóng được sử dụng rất phổ biến trong công nghiệp bao bì cũng như đời sống hằng ngày là bìa carton. Loại vật liệu thân thiện với môi trường này được sử dụng rất rộng rãi trong các ngành công nghiệp do các ưu điểm như nhẹ, tái chế được và chi phí thấp. Chính vì vậy mà việc sử dụng carton vẫn tăng liên tục hàng năm. Mặc dù tấm carton lõi lượn sóng đã được sử dụng rất rộng rãi trong đời sống cũng như trong kỹ thuật nhưng việc nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm các loại vật liệu và kết cấu này vẫn đang thu hút nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước. Từ những ưu việt và khả năng ứng dụng của loại vật liệu composite lõi lượn sóng này mà luận văn đã tập trung nghiên cứu, tính toán 26 và mô phỏng số khả năng chịu xoắn của chúng nhằm sử dụng tối ưu các ưu điểm của loại vật liệu này. 1.5. Carton lõi lượn sóng Carton lõi lượn sóng được tạo thành bởi một hoặc nhiều lớp giấy lượn sóng dán với một hoặc nhiều lớp giấy phẳng. Các loại giấy được sử dụng để chế tạo carton là vật liệu tấm bao gồm một mạng lưới các sợi đan xen của glucide cellulose polymer. Chúng có thể in được và có các tính chất vật lý cho phép làm được rất nhiều loại bao bì mềm, nửa cứng và rất cứng. Tấm carton lượn sóng được sử dụng làm bao bì lần đầu tiên tại Mỹ vào năm 1871. Việc sử dụng các bao bì bằng giấy và carton đã tăng lên vào những năm cuối thế kỷ 19 để đáp ứng nhu cầu ngày càng tăng của các ngành công nghiệp sản xuất chế tạo. Một lý do rất quan trọng của việc sản xuất giấy và carton là chúng được sử dụng để sản xuất bao bì. Ngày nay, việc sử dụng bao bì bằng giấy và carton tồn tại trong nhiều ngành công nghiệp như [1]: thực phẩm, hàng xa xỉ, ô tô, hóa chất, hàng không vũ trụ, ngành công nghiệp dược phẩm... v.v. Hình 20. Carton lượn sóng lõi đơn (trên) và lõi kép (dưới). Tấm carton lượn sóng được sử dụng để sản xuất hộp kể từ năm 1897. Loại vật liệu thân thiện với môi trường này được sử dụng rộng rãi trong các CD MD CD MD 27 ngành công nghiệp bao bì do trọng lượng của nó khá nhẹ, tái chế được và chi phí thấp. Việc sử dụng vật liệu này tăng liên tục hàng năm. Carton lõi lượn sóng không chỉ được sử dụng làm bao bì, mà chúng còn được sử dụng để làm nhà hoặc các túp lều rất thành công ở Canada. Ngoài ra còn có rất nhiều các đồ nội thất làm bằng carton lõi lượn sóng như: ghế, ghế băng, tủ ngăn kéo, tủ giường, bàn ghế cho trẻ em... vv. Do vậy mà cần thiết phải biết được các tính chất cơ học của nó cho việc thiết kế và tối ưu hóa các kết cấu bao bì. Kết cấu của một carton lõi lượn sóng phụ thuộc vào số lượng các lớp giấy thành phần: carton mặt đơn, carton lượn sóng lõi đơn hoặc mặt kép, carton lượn sóng lõi kép hoặc mặt kép-kép và carton lượn sóng lõi ba,... vv. Carton lượn sóng lõi đơn thường được tạo thành từ hai lớp giấy bên ngoài (vỏ hoặc mặt) chống xuyên thủng và một lõi ở giữa để chống nén và cung cấp một lớp lót bảo vệ các sản phẩm bên trong hộp. Các lớp vỏ và lõi được dán với nhau bằng hồ tinh bột. Do phương pháp chế tạo mà carton lượn sóng có hai phương đặc trưng (Hình 20): Phương máy chạy (Machine Direction-MD) và phương ngang (Cross Direction-CD). Tấm carton lõi lượn sóng bao gồm nhiều lớp khác nhau có thể được mô hình hóa như một cấu trúc 3D của các phần tử vỏ, nhưng việc chuẩn bị hình dáng hình học của các lớp, bộ nhớ máy tính cần thiết để lưu trữ dữ liệu và thời gian tính toán rất tốn kém. Do vậy mà việc mô phỏng số một hệ thống bao bì đòi hỏi phải đồng nhất hóa tấm carton lượn sóng. Các mô hình đồng nhất có thể thu được bằng phương pháp phân tích, phương pháp số và/hoặc thử nghiệm. Luo et al. [3] đã trình bày một phương pháp đồng nhất hóa cho phép tính toán độ cứng uốn của carton lõi lượn sóng. Aboura et al. [4] đã phát triển một mô hình đồng nhất hóa giải tích dựa trên lý thuyết tấm nhiều lớp và so sánh mô hình của họ với các kết quả số và thực nghiệm. Buannic et al. [5] đã trình bày một kỹ thuật đồng nhất hóa dựa trên một phương pháp mở rộng 28 tiệm cận, trong đó ứng xử tổng thể của một carton lượn sóng được xác định từ luật ứng xử của các lớp giấy thành phần. Một cách tiếp cận số bằng phương pháp phần tử hữu hạn đã được thực hiện để đánh giá các hệ số độ cứng cơ học bởi Biancolini [6]. Carlsson et al. [7] và Nordstrand et al. [8] đã thu được bằng giải tích các thuộc tính cơ học của carton lượn sóng và, đặc biệt là lực cắt ngang trên mặt MD. Nordstrand [9] cũng đã nghiên cứu hiện tượng mất ổn định và sau mất ổn định của một tấm trực hướng bao gồm các ảnh hưởng của cắt ngang. Nordstrand [10] đã tính toán được lực tới hạn cho carton lượn sóng chịu nén và liên kết đơn bằng phương pháp phần tử hữu hạn. Bằng việc kể đến ảnh hưởng của cắt ngang trong phân tích, ông đã có thể dự đoán được lực tới hạn của mất ổn định. Một mô hình đồng nhất hóa giải tích cho tấm carton lõi lượn sóng đã được phát triển tại phòng thí nghiệm nghiên cứu MPSE. Mô hình này bao gồm tính toán độ cứng tổng thể mà độ cứng này kết nối các biến dạng tổng thể với các nội lực cho một tấm đồng nhất tương đương. Mô hình này được thực hiện trong một phần tử vỏ tam giác có tên gọi T318 dựa trên lý thuyết Mindlin và có kể đến cắt ngang. Các kết quả thu được cho phân tích tuyến tính, cho uốn dọc và cho phân tích chuyển vị lớn đã thể hiện tính hiệu quả và chính xác của mô hình này. Trong khuôn khổ luận án của Anis Batti [11], phần tử T318 có kể đến phi tuyến hình học và vật liệu được thực thi trong phần mềm Abaqus thể hiện sự so sánh của các kết quả của mô hình đồng nhất hóa này với một mô phỏng số sử dụng phần mềm Abaqus cho mô hình 3D đầy đủ và các kết quả lý thuyết và thực nghiệm trong các công trình đã công bố cho uốn dọc một tấm carton lượn sóng. Các cải tiến cho mô hình đã được thực hiện bởi Abbès and Guo [12] và Duong et al. [13] đặc biệt là các độ cứng xoắn. 29 1.6. Mục đích của luận văn. Nghiên cứu, tính toán và phát triển một mô hình đồng nhất hóa để mô phỏng số cho tấm composite lõi lượn sóng dạng 3D bằng một tấm đồng nhất 2D tương đương nhằm tiết kiệm thời gian tính toán (từ 15 đến 20 lần) cũng như thời gian xây dựng mô hình bài toán và chi phí. 30 Chương 2 MÔ HÌNH ĐỒNG NHẤT HÓA CHO TẤM COMPOSITE LÕI LƯỢN SÓNG 2.1. Giới thiệu Trong ngành công nghiệp bao bì, carton lõi lượn sóng là một vật liệu được sử dụng rộng rãi. Do đó, cần thiết phải mô hình hóa và dự đoán các ứng xử cơ học của loại vật liệu này. Một tấm carton lõi lượn sóng có thể được coi như là một cấu trúc 3D và được mô hình hóa (lớp vỏ và lõi lượn sóng) bởi các phần tử vỏ (shell), nhưng việc mô hình hóa và mô phỏng số các tấm composite trực hướng kiểu này rất khó khăn và tốn kém. Do đó, cần thiết phải sử dụng một mô hình đồng nhất hóa để mô phỏng các cấu trúc bao bì bằng carton lõi lượn sóng. Trong chương này, một mô hình đồng nhất hóa rất hiệu quả cho ứng xử cơ học của tấm carton lượn sóng lõi đơn bao gồm 3 lớp sẽ được trình bày. Việc đồng nhất cấu trúc 3D này sẽ cho phép thu được một tấm đồng nhất 2D tương đương. Các kết quả đạt được bởi mô hình đồng nhất này được so sánh với những kết quả thu được bằng mô phỏng 3D sử dụng phần mềm Abaqus. Thí nghiệm xoắn tấm phẳng bằng hợp kim nhôm Д16 lõi lượn sóng bởi hệ thống đồ gá và máy thử xoắn cũng sẽ được thảo luận trong chương này. 2.2. Nhắc lại lý thuyết tấm của Mindlin Đối với một tấm dày, lý thuyết Mindlin phải được sử dụng. Nó giả định rằng một đoạn thẳng và vuông góc với mặt trung bình sẽ vẫn thẳng nhưng không vuông góc với mặt trung bình sau khi biến dạng. Giả định này cho phép tính đến các biến dạng cắt ngang. 31 Trên mặt trung bình của tấm, ta thiết lập các trục x và y nằm trong mặt phẳng và trục z vuông góc với mặt phẳng (Hình 21), lý thuyết Mindlin cho trường chuyển vị được viết như sau: q x q y q u u z v v z w w           (1) trong đó uq, vq và wq là các chuyển vị của một điểm q(x, y, z), u, v và w là các chuyển vị của điểm p(x, y, 0) trên mặt trung bình, x là góc xoay của pháp tuyến z về x hoặc góc xoay quanh trục y (x=y), y là góc xoay của pháp tuyến z về y hoặc góc xoay quanh trục -x (y=-x). Như vậy ta thu được trường biến dạng như sau: x q x x x x y q y y y y xy xy q y q x y x x y y x xz xz q z q x x x yz yz q z q y y y z q z u , u, z , v , v, z , 2 u , v , u, v, z( , , ) 2 u , w , w, 2 v , w , w, w , 0                                         (2) Trong đó ba biểu thức đầu tiên là các biến dạng trong mặt phẳng và các biểu thức thứ 4 và 5 là các biến dạng cắt ngang. Các biến dạng trong mặt phẳng có thể được phân ra thành các thành phần màng và uốn:      m z    (3) trong đó   là véc tơ độ cong. Năm thành phần ứng suất được định nghĩa bởi luật ứng xử như sau: 32     0 1 1 0 1 1 0 0 xy yx xy yx xy yx x x x yx x y y y y xy yx xy yx xy xy xy xy EE E E Q G                                                                       với xy yx x yE E    (4)    xz xz xz xz yz yz yz yz G 0 C 0 G                                         (5) Hình 21. Lực màng, mô men uốn-xoắn và lực cắt ngang Mx Myx My z x y My Myx Mxy Mx Mxy Tx Tx Ty Ty z x x y Nx Nx Nxy Nxy Ny Ny Nxy Nxy z x y 33 Các lực màng, mô men uốn và xoắn, và các lực cắt ngang đạt được bằng tích phân các ứng suất theo bề dày của tấm (Hình 21):   h x x2 y y h xy xy2 N N( x, y ) N dz N                          (6)   h x x2 y y h xy xy2 M M( x, y ) M z dz M                          (7)   h 2 x xz y yzh 2 T T( x, y ) dz T                  (8) 2.3. Lý thuyết tấm nhiều lớp Lý thuyết tấm nhiều lớp có kể đến cắt ngang được giới thiệu chi tiết trong cuốn sách của J.M. Berthelot [14]. Xét một tấm composite bao gồm nhiều lớp (Hình 22), các nội lực được định nghĩa trên đây có thể được tính theo từng lớp: Hình 22. Cấu tạo tấm nhiều lớp h hx x 11 12 x xk2 n y y 12 22 y y k 1h hk 1 xy xy 33 xy xyk2 m N Q Q 0 N dz Q Q 0 z dz N 0 0 Q                                                            (9) ekk hk hk-1 zk 34 h hx x 11 12 x xk2 n 2 y y 12 22 y y k 1h hk 1 xy xy 33 xy xyk2 m M Q Q 0 M zdz Q Q 0 z z dz M 0 0 Q                                                            (10) h hk2 n x xz 11 xz y yz 22 yzk 1h khk 1 2 T C 0 dz dz T 0 C                                 (11) Sau khi tích phân theo bề dày, ta đạt được ma trận độ cứng tổng thể biểu diễn mối liên hệ giữa biến dạng tổng với các nội lực: x 11 12 11 12 xm y 12 22 12 22 ym xy 33 33 xym x 11 12 11 12 x y 12 22 12 22 y xy 33 33 xy x 11 xz y 22 N A A 0 B B 0 0 0 N A A 0 B B 0 0 0 N 0 0 A 0 0 B 0 0 M B B 0 D D 0 0 0 M B B 0 D D 0 0 0 M 0 0 B 0 0 D 0 0 T 0 0 0 0 0 0 F 0 T 0 0 0 0 0 0 0 F                                                          yz                           (12) Với             n n k k 1 k k k ij ij ij k 1 k 1 n n 2 2 k k 1 k k k k ij ij ij k 1 k 1 3 kn n 3 3 2 k k 1 k k k k ij ij ij k 1 k 1 n n k k 1 k k k ij ij ij k 1 k 1 A h h Q Q t 1 B h h Q Q t z 2 t1 D h h Q Q t z 3 12 F h h C C t                                                       (13) Luật ứng xử trên đây có thể được viết dưới dạng ma trận thu gọn như sau: 35                               m s N A B 0 M B D 0 T 0 0 F                           (14) Trong đó [A] biểu diễn các độ cứng màng, [D] biểu diễn các độ cứng uốn và xoắn, [F] biểu diễn các độ cứng cắt ngang, [B] biểu diễn tương tác giữa màng và uốn-xoắn, nếu tấm composite đối xứng qua mặt trung bình thì tương tác này sẽ biến mất và [B]=0. 2.4. Áp dụng lý thuyết tấm nhiều lớp vào carton lõi lượn sóng Tấm carton có cấu tạo phức tạp hơn nhiều so với tấm nhiều lớp vì lõi lượn sóng và khoảng rỗng giữa các lớp. Do vậy mà một số độ cứng tổng thể theo lý thuyết tấm nhiều lớp cần phải được điều chỉnh. Cần phải lưu ý rằng lý thuyết tấm nhiều lớp chỉ đúng trong trường hợp môi trường liên tục, ví dụ như một tấm gồm nhiều lớp (Hình 22), các biến dạng được giả định tuyến tính theo bề dày z. Trong trường hợp của carton lượn sóng, lý thuyết tấm nhiều lớp phải được điều chỉnh. Dựa trên các công trình của Aboura et al. [4], lý thuyết tấm nhiều lớp kinh điển đã được áp dụng vào carton lượn sóng. Ở đây, coi mỗi lõi lượn sóng và vỏ phẳng là một lớp. Tuy nhiên lõi lượn sóng là một lớp giấy lượn sóng tạo thành các khoang rỗng trong khi một lớp kinh điển lại là phẳng nằm trong mặt phẳng (O, x, y). Vì vậy, cần phải có những điều chỉnh để thích ứng với lý thuyết tấm nhiều lớp cho trường hợp cụ thể của carton lượn sóng. Xét một tấm carton lượn sóng lõi đơn và sử dụng các chỉ số a, b, c để biểu diễn cho lớp vỏ trên, lõi lượn sóng và lớp vỏ dưới (Hình 23). Hình dáng hình học của lõi lượn sóng được xác định bằng các biểu thức sau:      12sin ; tan 2 b b t t dH xh t H x x x P dx                  (15) 36 Hình 23. Hình dáng hình học của carton lõi lượn sóng Để đồng nhất hóa một tấm bằng carton lượn sóng lõi đơn, ta xét một phân tố thể tích đại diện (VER). Phân tố thể tích này phải đủ lớn để đại diện cho tấm nhưng cũng phải rất nhỏ so với kích thước của toàn bộ tấm. Theo chu kỳ của lõi lượn sóng, ta lấy ra một chu kỳ hình sin làm chiều dài đặc trưng của VER. Ta tính toán các thuộc tính cơ học trung bình hoặc đồng nhất của VER và sử dụng chúng để mô hình hóa cấu trúc 3D bằng một tấm 2D đồng nhất. Trong trường hợp tấm nhiều lớp, tất cả các lớp đều song song với mặt phẳng (O, x, y). Tuy nhiên, lõi lượn sóng có vị trí theo phương thẳng đứng biến thiên theo x (Hình 23). Ý tưởng ở đây là cắt VER thành các lát cắt vô cùng bé theo phương thẳng đứng (có bề dày dx) và thực hiện tích phân theo phương chiều dày (hoặc tổng hợp các phần tham gia của 3 lớp) trên từng lát cắt. Cần chú ý rằng các đoạn lõi lượn sóng vô cùng bé trong một lát cắt dx nằm nghiêng và các thuộc tính cơ học của lõi lượn sóng đạt được bằng thí nghiệm chỉ đúng trong mặt phẳng nghiêng của nó. Bởi vậy cần thiết phải tính toán trong hệ tọa độ nghiêng cục bộ. 37 Một khi các độ cứng tổng thể của mỗi lát cắt thu được bằng cách tích phân theo bề dày, thì đồng nhất hóa theo x sẽ được thực hiện để tính toán các độ cứng trung bình của tất cả các lát cắt trong một chu kì:                 0 0 0 0 1 ( ) ; 1 ( ) ; 1 ( ) ; 1 ( ) P P P P A A x dx P B B x dx P D D x dx P F F x dx P         (16) 2.4.1. Độ cứng xoắn trên mặt MD hoặc CD liên quan đến Mxy hoặc Myx Trong lý thuyết tấm kinh điển, luật ứng xử của xoắn được viết như sau: xy yx 33 xyM M D    (17) trong đó D33 là độ cứng xoắn trên một đơn vị chiều dài của tấm, xy là độ cong xoắn: xy xy2w,   (lý thuyết Kirchhoff cho các tấm mỏng) (18) xy x ,y y ,x    (lý thuyết Mindlin cho các tấm dày) (19) trong đó w là chuyển vị ngang của một điểm A trên mặt phẳng trung bình của tấm, x là góc xoay của