Luận văn Trường giá trị của các đặc trưng phức bất khả quy của một số nhóm hữu hạn

ρ, σ và τ lần lượt là phần tử sinh của các nhóm nhân F×q , F×q2 và F × q3 sao cho ρ = σ q+1 = τ q 2+q+1. Khi đó, các lớp liên hợp của GL(3, q) được phân loại như trong Bảng 2.4. Bảng 2.4: Bảng các lớp liên hợp của GL(3, q) Lớp Đại diện g Điều kiện tham số Số lượng ∣∣CGL(3,q)(g)∣∣ A (a) 1 ρ a ρa ρa  1 ≤ a ≤ q − 1 q − 1 q3(q − 1)3(q + 1)(q2 + q + 1) A (a) 2 ρ a 1 ρa ρa  1 ≤ a ≤ q − 1 q − 1 q3(q − 1)2 A (a) 3 ρ a 1 ρa 1 ρa  1 ≤ a ≤ q − 1 q − 1 q2(q − 1) A (a,b) 4 ρ a ρa ρb  1 ≤ a, b ≤ q − 1 a 6= b (q − 1)(q − 2) q(q − 1) 3(q + 1) A (a,b) 5 ρ a 1 ρa ρb  1 ≤ a, b ≤ q − 1 a 6= b (q − 1)(q − 2) q(q − 1) 2 A (a,b,c) 6 ρ a ρb ρc  1 ≤ a < b < c ≤ q − 1 16 (q − 1)(q − 2)(q − 3) (q − 1)3 A (a,b) 7 σ a σaq ρb  1 ≤ a ≤ q2 − 1 a 6≡ 0(mod q + 1) 1 ≤ b ≤ q − 1 A (a,b) 7 = A (aq,b) 7 1 2 q(q − 1)2 (q − 1)2(q + 1) A (a) 8 τ a τaq τaq 2  1 ≤ a ≤ q 3 − 1 a 6≡ 0(mod q2 + q + 1) A (a) 8 = A (aq) 8 = A (aq2) 8 1 3 (q3 − q) q3 − 1 Bây giờ ta xây dựng bảng đặc trưng của nhóm GL(3, q). Đầu tiên, các đặc trưng tuyến tính của nhóm GL(3, q) được xác định tương tự như các đặc trưng tuyến tính của GL(2, q). Mệnh đề 2.1.6. Với 0 ≤ m ≤ q−2, các đặc trưng tuyến tính χ(m)1 củaGL(3, q) 37 được cho bởi χ (m) 1 : GL(3, q)→ C g 7→ (detg)m . Giá trị của các đặc trưng tuyến tính này được cho trong Bảng 2.5. Các đặc trưng tuyến tính χ(m)1 của GL(3, q) còn được ký hiệu là S(ρ m, (3)), trong đó (3) là một phân hoạch của n = 3 [6, Ký hiệu của Dipper-James]. Tiếp theo, xem mỗi phần tử của GL(3, q) là một phép biến đổi xạ ảnh trên mặt phẳng xạ ảnh P2(Fq). Cụ thể vớiM =  a b c d e f g h k  ∈ GL(3, q), phép biến đổi xạ ảnh fM được cho bởi fM : P2(Fq)→ P2(Fq) (x : y : z) 7→ (ax+ by + cz : dx+ ey + fz : gx+ hy + kz). Khi đó, nhóm GL(3, q) tác động lên tập hợp các điểm của mặt phẳng xạ ảnh P2(Fq) bởi các phép biến đổi xạ ảnh. Tác động này cho ta đặc trưng hoán vị ψq2+q+1 bậc q2 + q + 1 của GL(3, q) (Định nghĩa 1.1.30). Hơn nữa,〈 ψq2+q+1, χ (0) 1 〉 = 1 (theo Công thức (1.1.1)). Đặt χq2+q := ψq2+q+1 − χ(0)1 , theo Hệ quả 1.1.25 ta chứng minh được χq2+q là bất khả quy. Mặt khác, theo Mệnh đề 1.2.20, χq2+qχ (m) 1 =: χ (m) q2+q, 0 ≤ m ≤ q− 2 cũng là các đặc trưng bất khả quy của GL(3, q). Mệnh đề 2.1.7. Các đặc trưng χ(m)q2+q(0 ≤ m ≤ q − 2) bậc q2 + q được xây dựng như trên là các đặc trưng bất khả quy của GL(3, q). Giá trị của mỗi đặc trưng tại các lớp liên hợp được cho trong Bảng 2.5. Theo ký hiệu của Dipper-James [6], các đặc trưng χ(m)q2+q được ký hiệu là S(ρm, (2, 1)) với 0 ≤ m ≤ q − 2 và (2, 1) là một phân hoạch của n = 3. Khi 38 đó, χq2+q = χ (0) q2+q được ký hiệu là S(1, (2, 1)) và ta thấy rằng S(ρ m, (2, 1)) = S(1, (2, 1))S(ρm, (3)), trong đó S(ρm, (3)) là đặc trưng tuyến tính củaGL(3, q). Mặt khác, xét các bộ gồm hai đối tượng hình học trên P2(Fq), mỗi bộ này gồm một điểm và một đường thẳng đi qua điểm đó trong mặt phẳng xạ ảnh P2(Fq). Xét tập hợp tất cả (q + 1)(q2 + q + 1) bộ như vậy trong mặt phẳng xạ ảnh P2(Fq). Khi đó, nhóm GL(3, q) tác động lên tập hợp này bởi các phép biến đổi xạ ảnh. Tác động này cho ta một biểu diễn hoán vị bậc (q+1)(q2+q+1) của GL(3, q). Đặt ψ(q+1)(q2+q+1) là đặc trưng hoán vị tương ứng với biểu diễn trên, ta có thể tính được giá trị của ψ(q+1)(q2+q+1) trên các lớp liên hợp của GL(3, q) như sau A (a) 1 : (q + 1)(q 2 + q + 1), A (a) 2 : 2q + 1, A (a) 3 : 1, A (a,b) 4 : 3(q + 1), A (a,b) 5 : 3, A (a,b,c) 6 : 6, A (a,b) 7 : 0, A (a) 8 : 0. Áp dụng Định lý 1.1.24 và Công thức (1.1.1), ta có thể viết ψ(q+1)(q2+q+1) thành ψ(q+1)(q2+q+1) = χ (0) 1 + 2χq2+q + χq3, trong đó χq3 là một đặc trưng của GL(3, q). Theo Hệ quả 1.1.25, ta chứng minh được χq3 là bất khả quy. Hơn nữa, theo Mệnh đề 1.2.20, ta có χq3χ (m) 1 =: χ (m) q3 , 0 ≤ m ≤ q − 2 cũng là các đặc trưng bất khả quy của GL(3, q). Mệnh đề 2.1.8. Các đặc trưng χ(m)q3 , 0 ≤ m ≤ q − 2 được xây dựng như trên là các đặc trưng bất khả quy bậc q3 của GL(3, q). Giá trị của mỗi đặc trưng này tại các lớp liên hợp của GL(3, q) được cho trong Bảng 2.5. Tương tự, theo ký hiệu của Dipper-James, χ(m)q3 còn được ký hiệu là S(ρ m, (13)), trong đó (13) là một phân hoạch của n = 3 và S(ρm, (13)) = S(1, (13))S(ρm, (3)). Tiếp theo, ta xét nhóm con parabolic của GL(3, q) tương ứng với phân hoạch 39 (2, 1) của n = 3, P(2,1) =  A11 A12 0 a22  | A11 ∈ GL(2, q), a22 ∈ GL(1, q)  . Ta có ∣∣P(2,1)∣∣ = q3(q − 1)3(q + 1). Xét nhóm con Levi L(2,1) = GL(2, q) × GL(1, q) của nhóm P(2,1), các đặc trưng bất khả quy của L(2,1) được tính nhờ Mệnh đề 1.2.22. Do P(2,1)/U(2,1) = L(2,1) nên ta có thể nâng các đặc trưng bất khả quy của L(2,1) lên thành các đặc trưng bất khả quy của nhóm P(2,1), sau đó cảm sinh các đặc trưng này thành đặc trưng của nhóm GL(3, q). Giá trị của các đặc trưng cảm sinh này được tính toán sử dụng Mệnh đề 1.2.13. Mệnh đề 2.1.9. [5, trang 229] (1) Với 0 ≤ m, k ≤ q − 2 và m 6= k, xét các đặc trưng χ(m)1 của nhóm GL(2, q) và các đặc trưng tuyến tính φ(k) của GL(1, q), khi đó χ(m)1 φ (k) là các đặc trưng của nhóm L(2,1). Ký hiệu χ (m,k) q2+q+1 là đặc trưng của GL(3, q) được cảm sinh từ χ(m)1 φ (k) bằng cách nêu trên. Khi đó các đặc trưng này là bất khả quy và có bậc q2 + q + 1. (2) Tương tự, với 0 ≤ m, k ≤ q − 2 và m 6= k, xét các đặc trưng χ(m)q của GL(2, q) và các đặc trưng tuyến tính φ(k) củaGL(1, q). Ký hiệu χ(m,k)q(q2+q+1) là các đặc trưng của GL(3, q) cảm sinh từ χ(m)q φ(k) bằng cách nêu trên. Các đặc trưng χ(m,k)q(q2+q+1) là bất khả quy và có bậc q(q 2 + q + 1). (3) Với 0 ≤ m, k, l ≤ q − 2 và m 6= k 6= l, xét các đặc trưng χ(m,k)q+1 của GL(2, q) và các đặc trưng tuyến tính φ(l) của GL(1, q). Ký hiệu χ (m,k,l) (q+1)(q2+q+1) là các đặc trưng của GL(3, q) cảm sinh từ χ (m,k) q+1 φ (l) bằng cách nêu trên. Các đặc trưng χ(m,k,l)(q+1)(q2+q+1) là bất khả quy và có bậc (q + 1)(q2 + q + 1). (4) Với 0 ≤ m ≤ q2 − 2, m 6≡ 0 (mod q + 1) và 0 ≤ k ≤ q − 2, xét các đặc trưng χ(m)q−1 của nhóm GL(2, q) và các đặc trưng tuyến tính φ (k) 40 của GL(1, q). Ký hiệu χ(m,k)q3−1 là các đặc trưng của GL(3, q) cảm sinh từ χ (m) q−1φ (k) bằng cách nêu trên. Các đặc trưng χ(m,k)q3−1 là bất khả quy và có bậc là q3 − 1. Giá trị của các đặc trưng này được cho trong Bảng 2.5. Cuối cùng, xét nhóm con H sinh bởi phần tử  τ τ q τ q 2  của nhóm GL(3, q), H có cấp bằng q3 − 1. Cảm sinh các đặc trưng tuyến tính của nhóm conH lên nhóm GL(3, q). Theo Mệnh đề 1.2.13, giá trị của các đặc trưng cảm sinh này là A (a) 1 : q 3(q − 1)2(q + 1)ηma(q2+q+1), A(a)2 : 0, A(a)3 : 0, A(a,b)4 : 0, A (a,b) 5 : 0, A (a,b,c) 6 : 0, A (a,b) 7 : 0, A (a) 8 : η ma + ηmaq + ηmaq 2 , trong đó 0 ≤ m ≤ q3 − 2. Các đặc trưng bất khả quy còn lại của GL(3, q) đặt là χ(m)(q−1)2(q+1) và được tính như sau, kết quả này được tham khảo trong [5, trang 230] χ (m) (q−1)2(q+1) := [χ (0) q3 − χ(0)q2+q + χ(0)1 ]χ(0,m)q3−1 . Mệnh đề 2.1.10. Các đặc trưng χ(m)(q−1)2(q+1) được xây dựng như trên là các đặc trưng bất khả quy của GL(3, q), trong đó 0 ≤ m ≤ q3 − 2,m 6≡ 0 (mod q2 + q + 1) và χ(m)(q−1)2(q+1) = χ (mq) (q−1)2(q+1) = χ (mq2) (q−1)2(q+1). Giá trị của các đặc trưng này được cho trong Bảng 2.5. Các đặc trưng χ(m)(q−1)2(q+1) của GL(3, q) còn được ký hiệu là S(τ m, (1)), trong đó (1) là phân hoạch của 1. Để ý rằng τm có bậc bằng 3 trên trường Fq do τm ∈ Fq3 \ Fq. Bảng 2.5 là bảng đặc trưng của nhóm GL(3, q), trong đó , ι và η lần lượt là các căn nguyên thủy bậc q − 1, q2 − 1 và q3 − 1 của đơn vị trong C. 41 Bảng 2.5: Bảng đặc trưng của nhóm GL(3, q) χ (m) 1 χ (m) q2+q χ (m) q3 χ (m,k) q2+q+1 0 ≤ m ≤ q − 2 0 ≤ m ≤ q − 2 0 ≤ m ≤ q − 2 0 ≤ m, k ≤ q − 2,m 6= k A (a) 1  3ma (q2 + q)3ma q33ma (q2 + q + 1)(2m+k)a A (a) 2  3ma q3ma 0 (q + 1)(2m+k)a A (a) 3  3ma 0 0 (2m+k)a A (a,b) 4  m(2a+b) (q + 1)m(2a+b) qm(2a+b) 2ma+kb + (q + 1)(m+k)a+mb A (a,b) 5  m(2a+b) m(2a+b) 0 2ma+kb + (m+k)a+mb A (a,b,c) 6  m(a+b+c) 2m(a+b+c) n(a+b+c) ∑ a,b,c  m(a+b)+kc A (a,b) 7  m(a+b) 0 −m(a+b) ma+kb A (a) 8  ma −ma ma 0 χ (m,k) q(q2+q+1) χ (m,k,l) (q+1)(q2+q+1) χ (m,k) q3−1 χ (m) (q−1)2(q+1) 0 ≤ m, k ≤ q − 2 m 6= k 0 ≤ m, k, l ≤ q − 2 m 6= k 6= l 0 ≤ m ≤ q2 − 2 m 6≡ 0 (mod q + 1) 0 ≤ k ≤ q − 2 0 ≤ m ≤ q3 − 2 m 6= 0 (mod q2 + q + 1) χ(m) = χ(mq) = χ(mq 2) A (a) 1 q(q 2 + q + 1)(2m+k)a (q + 1)(q2 + q + 1) (m+k+l)a (q3 − 1)ι(m+k)a(q+1) (q − 1) 2(q + 1) ηma(q 2+q+1) A (a) 2 q (2m+k)a (2q + 1)(m+k+l)a ι(m+k)a(q+1) −(q − 1)ηma(q2+q+1) A (a) 3 0  (m+k+l)a −ι(m+k)a(q+1) ηma(q2+q+1) A (a,b) 4 q2ma+kb +(q + 1)(m+k)a+mb (q + 1) ∑ m,k,l  (m+k)a+lb (q − 1)ι(ma+kb)(q+1) 0 A (a,b) 5  (m+k)a+mb ∑ m,k,l  (m+k)a+lb −ι(ma+kb)(q+1) 0 A (a,b,c) 6 ∑ a,b,c  m(a+b)+kc ∑ m,k,l  ma+kb+lc 0 0 A (a,b) 7 −ma+kb 0 −(ιma + ιmaq)ιkb(q+1) 0 A (a) 8 0 0 0 η ma + ηmaq + ηmaq 2 trong đó tổng ∑ a,b,c và ∑ m,k,l  (m+k)a+lb lấy trên các phép hoán vị cấp 2 của a, b, c vàm, k, l, tổng ∑ m,k,l  ma+kb+lc lấy trên tất cả các phép hoán vị củam, k, l. Ký hiệu của Dipper-James cho các đặc trưng bất khả quy của nhóm GL(n, q) Phần này được tham khảo theo các tài liệu [6] và [7, trang 6095]. Với mọi đặc trưng χ ∈ Irr(GL(n, q)), tồn tại duy nhất bộ {(s1, λ1), (s2, λ2), . . . , (sk, λk)} 42 sai khác nhau thứ tự sao cho χ = S(s1, λ1) ◦ S(s2, λ2) ◦ . . . ◦ S(sk, λk), trong đó si ∈ F×q có bậc di trên Fq, λi là phân hoạch của mi và nếu đặt ni = midi thì ∑k i=1 ni = n. Cụ thể, với mọi đặc trưng χ ∈ Irr(GL(n, q)), tồn tại đặc trưng ψ = S(s1, λ1)S(s2, λ2) . . . S(sk, λk) của nhóm con Levi Lχ := GL(n1, q)×GL(n2, q)× . . .×GL(nk, q), trong đó S(si, λi) ∈ Irr(GL(ni, q)), si ∈ F×q có bậc di trên Fq và λi là phân hoạch của ni/di, sao cho khi nâng ψ lên thành đặc trưng của nhóm con parabolic Pχ và cảm sinh đặc trưng này thành đặc trưng của GL(n, q) thì đặc trưng thu được là χ. Khi đó χ được gọi là đặc trưng cảm sinh Lusztig của ψ và ký hiệu là RGL (ψ). Giả sử S(si, λi) là một đặc trưng bất khả quy củaGL(ni, q) sao cho si ∈ F×q . Khi đó λi là phân hoạch của ni và S(si, λi) có thể được viết là S(si, λi) = S(si, (ni)).S(1, λi). Trong đó S(si, (ni)) là một đặc trưng tuyến tính củaGL(ni, q) và S(1, λi) được gọi là đặc trưng lũy đơn của GL(ni, q). Bậc của của đặc trưng S(1, λ1) được tính dựa theo [8, mục 13.8] và đặc trưng này chỉ nhận giá trị là các số nguyên. 43 2.2 Nhóm tuyến tính đặc biệt 2.2.1. Bảng đặc trưng của nhóm SL(2, q) Nhóm SL(2, q) là nhóm con của nhóm GL(2, q) chứa các ma trận vuông cỡ 2× 2 có định thức bằng 1. Do ta có một toàn cấu nhóm cho bởi ϕ : GL(2, q)→ F×q M 7→ detM và Kerϕ = SL(2, q), nên ta có thể tính được |SL(2, q)| = q(q − 1)(q + 1) = q3 − q. Để ý, nếu q chẵn thì GL(2, q) = SL(2, q)× Z(GL(2, q)). Do đó theo Mệnh đề 1.2.23, mỗi đặc trưng bất khả quy của GL(2, q) đều có hạn chế thành một đặc trưng bất khả quy của SL(2, q). Bên cạnh đó, nếu q lẻ thì F×q chứa hai phần tử cấp 2 là 1, −1. Nếu q chẵn thì F×q không chứa phần tử cấp 2. Để xây dựng bảng đặc trưng của nhóm tuyến tính đặc biệt SL(2, q) ta thực hiện các bước sau. • Phân loại các lớp liên hợp của nhóm SL(2, q). • Hạn chế các đặc trưng bất khả quy của nhóm GL(2, q) thành các đặc trưng của nhóm SL(2, q). • Xét tính bất khả quy của các đặc trưng mới tạo thành của nhóm SL(2, q). Cụ thể từng bước xây dựng bảng đặc trưng của nhóm SL(2, q) sẽ được trình bày trong tiết này. Và cách xây dựng bảng đặc trưng của nhóm SL(3, q) cũng đi qua các bước tương tự và được trình bày trong tiết sau. Bảng đặc trưng của nhóm SL(2, q), q lẻ Ta có thể phân loại các lớp liên hợp của nhóm SL(2, q) dựa trên bảng các lớp liên hợp của GL(2, q) (Bảng 2.1): 44 • Xét các lớp liên hợp A(a)1 của GL(2, q), chỉ có 2 lớp A (q−1) 1 và A ( q−12 ) 1 của GL(2, q) nằm trong SL(2, q), đó cũng là hai phần tử I2 và−I2. Ta ký hiệu I2 là A1, tương ứng ký hiệu −I2 là −A1. • Xét hai lớp liên hợp A(q−1)2 và A ( q−12 ) 2 trong GL(2, q). Lớp liên hợp A (q−1) 2 của GL(2, q) tách ra thành hai lớp liên hợp trong nhóm SL(2, q), mỗi lớp có phần tử đại diện là 1 1 1  và 1 ρ 1 . Tương tự, lớp liên hợp A( q−12 )2 của GL(2, q) tách ra thành hai lớp liên hợp trong SL(2, q), mỗi lớp có đại diện là −1 −1 −1  và −1 −ρ −1 . Ta ký hiệu 4 lớp liên hợp này lần lượt là A2, A2′, −A2 và −A2′. • Đối với các lớp liên hợp A(a,b)3 , GL(2, q) có q−3 2 lớp liên hợp A (a,−a) 3( 1 ≤ a ≤ q−32 ) nằm trong SL(2, q). Các lớp liên hợp này không bị tách ra trong SL(2, q). • Đối với các lớp liên hợp A(a)4 , GL(2, q) có q−1 2 lớp liên hợp A (a) 4 với a = k(q − 1), 1 ≤ k ≤ q và a 6≡ 0 (mod q + 1), nằm trong SL(2, q). Bảng 2.6 là bảng các lớp liên hợp của SL(2, q) với q lẻ. Bây giờ ta xây dựng bảng đặc trưng của nhóm SL(2, q). Ta có giá trị của các đặc trưng bất khả quy, hạn chế từ nhóm GL(2, q) xuống nhóm SL(2, q) được cho trong Bảng 2.7. 45 Bảng 2.6: Bảng các lớp liên hợp của SL(2, q), q lẻ Lớp Đại diện g Điều kiện tham số Số lượng ∣∣CSL(2,q)(g)∣∣ A1 ( 1 1 ) không 1 q3 − q −A1 ( −1 −1 ) không 1 q3 − q A2 ( 1 1 1 ) không 1 2q A2′ ( 1 ρ 1 ) không 1 2q −A2 ( −1 −1 −1 ) không 1 2q −A2′ ( −1 −ρ −1 ) không 1 2q A (a) 3 ( ρa ρ−a ) 1 ≤ a ≤ q−3 2 q − 3 2 q − 1 A (a) 4 ( σa σaq ) a = k(q − 1), 1 ≤ a ≤ q2 − 1 a 6= 0 (mod q + 1), A(a)4 = A(aq)4 q − 1 2 q + 1 Bảng 2.7: Các đặc trưng của GL(2, q) khi hạn chế xuống SL(2, q) χ (m) 1 ↓ SL(2, q) χ(m)q ↓ SL(2, q) χ(m,k)q+1 ↓ SL(2, q) χ(m)q−1 ↓ SL(2, q) 0 ≤ m ≤ q − 2 0 ≤ m ≤ q − 2 0 ≤ m < k ≤ q − 2 0 ≤ m ≤ q 2 − 2,m 6≡ 0 (mod q + 1) χ (m) q−1 = χ (mq) q−1 A1 1 q q + 1 q − 1 −A1 1 q (−1)m+k(q + 1) (−1)m(q − 1) A2 1 0 1 −1 −A2 1 0 (−1)m+k (−1)m+1 A2′ 1 0 1 −1 −A2′ 1 0 (−1)m+k (−1)m+1 A (a) 3 1 1  (m−k)a + (k−m)a 0 A (a) 4 1 −1 0 −(ιma + ιmaq) Đầu tiên, ta thấy rằng giá trị của χ(m)1 , χ (m) q khi hạn chế xuống SL(2, q) không phụ thuộc vào chỉ sốm, hơn nữa các đặc trưng này là bất khả quy (theo Hệ quả 1.1.25). Mệnh đề 2.2.1. Hai đặc trưng bất khả quy ψ1 và ψq của SL(2, q) là hạn chế của các đặc trưng bất khả quy bậc 1 và bậc q của GL(2, q). Tiếp theo, ta chứng minh được ψ(m,k)q+1 := χ (m,k) q+1 ↓ SL(2, q) là bất khả quy 46 vớim = 1 và 1 ≤ k ≤ q−32 . Thật vậy, theo công thức (1.1.1), ta có 〈 ψ (1,k) q+1 , ψ (1,k) q+1 〉 = (q + 1)2 q3 − q + (q + 1)2 q3 − q + 4 2q + 1 q − 1 q−3 2∑ a=1 ( (k−1)a + (1−k)a )2 . Trong đó q−3 2∑ a=1 ( (k−1)a + (1−k)a )2 = q−3 2∑ a=1 2a(k−1) + q−3 2∑ a=1 2a(1−k) + q−3 2∑ a=1 2. Do ∑q−1 a=1  = 0 nên ∑ q−1 2 a=1  2 = 0, hơn nữa ∑ q−1 2 a=1  2a(1−k) = 0. Do đó∑ q−3 2 a=1  2a(k−1) = −(q−1)(k−1) = −1 và ∑ q−32a=1 ((k−1)a + (1−k)a)2 = q − 5. Vậy 〈 ψ (1,k) q+1 , ψ (1,k) q+1 〉 = 2(q + 1) q(q − 1) + 2 q + q − 5 q − 1 = 4 q − 1 + q − 5 q − 1 = 1. Như vậy ta đã có q−32 đặc trưng bất khả quy bậc q + 1 của SL(2, q). Mệnh đề 2.2.2. Các đặc trưng bất khả quy ψ(m)q+1 của SL(2, q) là hạn chế của các đặc trưng χ(1,m)q+1 của GL(2, q) với 1 ≤ m ≤ q−32 . Nếu ta chom = q − 1 2 , k = 0 thì 〈 ψ ( q−12 ,0) q+1 , ψ ( q−12 ,0) q+1 〉 = 2. Khi đóψ( q−1 2 ,0) khả quy và ta có thể tính được các thành phần bất khả quy của nó nhờ Định lý Clifford (Định lý 1.2.3). Tương tự như vậy, ta cũng chứng minh được ψ(m)q−1 := χ (m) q−1 ↓ SL(2, q) là bất khả quy với 1 ≤ m ≤ q−12 (theo Hệ quả 1.1.25). Mặt khác nếu chom = q+12 thì〈 ψ ( q+12 ) q−1 , ψ ( q+12 ) q−1 〉 = 2. Do đó ψ ( q+12 ) q−1 khả quy và ta cũng tính được các thành phần bất khả quy của nó nhờ Định lý Clifford. Mệnh đề 2.2.3. Các đặc trưng bất khả quy ψ(m)q−1 của SL(2, q) là hạn chế của các đặc trưng χ(m)q−1 của GL(2, q) với 1 ≤ m ≤ q−12 . Gọi ψ q+1 2 và ψ′q−1 2 là hai đặc trưng bất khả quy thành phần của ψ ( q+12 ,0) q+1 . Khi đó, hai đặc trưng này có cùng bậc và liên hợp với nhau theo Định lý 1.2.3. Để 47 ý rằng đối với các lớp liên hợp của GL(2, q) không bị tách ra trong SL(2, q), giá trị của ψ q+1 2 và ψ′q−1 2 trên các lớp liên hợp này là bằng nhau. Sử dụng quan hệ trực giao trên một bảng đặc trưng (Định lý 1.1.29) ta có thể tính được giá trị của mỗi đặc trưng. Mặt khác, chú ý rằng nếu q ≡ 3(mod4) thì 1 1 1  −1 = 1 −1 1  ∈ A2′. Do đó bảng đặc trưng của SL(2, q) với q ≡ 3 (mod 4) có chứa đặc trưng phức. Nếu q ≡ 1 (mod 4) thì mỗi phần tử của SL(2, q) và nghịch đảo của nó đều thuộc cùng một lớp liên hợp. Do đó, các đặc trưng của SL(2, q) trong trường hợp này đều nhận giá trị thực. Tính toán tương tự đối với ψ q−1 2 và ψ′q−1 2 là hai thành phần bất khả quy của ψ ( q+12 ) q−1 . Bảng 2.8 là bảng đặc trưng của nhóm SL(2, q), q lẻ. Bảng 2.8: Bảng đặc trưng của nhóm SL(2, q), q lẻ ψ1 ψq ψ (m) q+1 ψ (m) q−1 ψ q+1 2 ψ ′ q+1 2 ψ q−1 2 ψ ′ q−1 2 1 ≤ m ≤ q−32 1 ≤ m ≤ q−12 A1 1 q q + 1 q − 1 q+12 q+12 q−12 q−12 −A1 1 q (−1)m+1(q + 1) (−1)m(q − 1) ε q+12 ε q+12 −ε q−12 −ε q−12 A2 1 0 1 −1 12 + √ εq 2 1 2 − √ εq 2 −12 + √ εq 2 −12 − √ εq 2 −A2 1 0 (−1)m+1 (−1)m+1 ε ( 1 2 + √ εq 2 ) ε ( 1 2 − √ εq 2 ) −ε ( −12 + √ εq 2 ) ε ( −12 − √ εq 2 ) A2′ 1 0 1 −1 12 − √ εq 2 1 2 + √ εq 2 −12 − √ εq 2 −12 + √ εq 2 −A2′ 1 0 (−1)m+1 (−1)m+1 ε ( 1 2 − √ εq 2 ) ε ( 1 2 + √ εq 2 ) −ε ( −12 − √ εq 2 ) −ε ( −12 + √ εq 2 ) A (a) 3 1 1  (m−1)a + (1−m)a 0 (−1)a (−1)a 0 0 A (a) 4 1 −1 0 −(ιma + ιmaq) 0 0 (−1)a+1 (−1)a+1 trong đó ε = (−1) q−12 = { 1, q ≡ 1 (mod 4) −1, q ≡ 3 (mod 4). Bảng đặc trưng của nhóm SL(2, q), q chẵn Tương tự như cách xây dựng bảng các lớp liên hợp của các nhóm trên, ta cũng phân loại được các lớp liên hợp của SL(2, q) với q chẵn. Bảng 2.9 là bảng 48 các lớp liên hợp của SL(2, q), q chẵn. Mặt khác, như đã nhận xét ở phần đầu, mỗi đặc trưng bất khả quy của GL(2, q) đều hạn chế thành một đặc trưng bất khả quy của SL(2, q) với q chẵn. Bảng 2.10 là bảng đặc trưng của SL(2, q), q chẵn. Bảng 2.9: Bảng các lớp liên hợp của SL(2, q), q chẵn Lớp Đại diện g Điều kiện tham số Số lượng ∣∣CGL(2,q)(g)∣∣ A1 ( 1 1 ) không 1 q3 − q A2 ( 1 1 1 ) không 1 q A (a) 3 ( ρa ρ−a ) 1 ≤ a ≤ q−22 q − 2 2 q − 1 A (a) 4 ( σa σaq ) a = k(q − 1), 1 ≤ a ≤ q2 − 1 a 6≡ 0 (mod q + 1), A(a)4 = A(aq)4 q 2 q(q − 1) Bảng 2.10: Bảng đặc trưng của nhóm SL(2, q), q chẵn ψ1 ψq ψ (n) q+1 ψ (n) q−1 1 ≤ n ≤ q − 2 2 1 ≤ n ≤ q 2 A1 1 q q + 1 q − 1 A2 1 0 1 −1 A (a) 3 1 1  na + −na 0 A (a) 4 1 −1 0 − (ιna + ιnaq) 2.2.2. Bảng đặc trưng của nhóm SL(3, q) Trước hết, ta có |SL(3, q)| = q3(q− 1)2(q+ 1)(q2 + q+ 1). Chú ý rằng nếu q ≡ 1 (mod 3) thì F×q có ba phần tử cấp 3 sinh bởi ρ q−1 3 . Nếu q 6≡ 1 (mod 3) thì F×q không chứa phần tử cấp 3 nào. Hơn nữa, trong trường hợp q 6≡ 1 (mod 3), GL(3, q) = SL(3, q) × Z(GL(3, q)). Khi đó, mỗi đặc trưng bất khả quy của GL(3, q) đều hạn chế thành một đặc trưng bất khả quy của SL(3, q) (theo Mệnh đề 1.2.23). Trước tiên, các lớp liên hợp của SL(3, q) được phân loại dựa theo 49 bảng các lớp liên hợp của GL(3, q), tương tự như nhóm SL(2, q). Ở đây, các lớpA(a)3 của GL(3, q) mà nằm trong SL(3, q) sẽ bị tách ra thành ba lớp liên hợp khác nhau của SL(3, q). Bảng 2.11 là bảng các lớp liên hợp của SL(3, q), trong đó ω = ρ q−1 3 nếu q ≡ 1 (mod 3) và w = 1 nếu q 6≡ 1 (mod 3). Bảng 2.11: Bảng các lớp liên hợp của SL(3, q) Dạng Đại diện g Điều kiện tham số Số lượng |CSL(3,q)(g)| A (a) 1 ω a ωa ωa  0 ≤ a ≤ d− 1 d q3(q − 1)2(q + 1)(q2 + q + 1) A (a) 2 ω a 1 ωa ωa  0 ≤ a ≤ d− 1 d q3(q − 1) A (a) 3 ω a 1 ωa 1 ωa  0 ≤ a ≤ d− 1 d dq2 A (a) 3′ ω a ρ ωa 1 ωa  0 ≤ a ≤ d− 1 d dq2 A (a) 3′′ ω a 1 ωa ρ ωa  0 ≤ a ≤ d− 1 d dq2 A (a) 4 ρ a ρa ρ−2a  0 ≤ a ≤ q − 2, a 6= 0 (mod q−13 ) q − 1− d q(q − 1)2(q + 1) A (a) 5 ρ a 1 ρa ρ−2a  0 ≤ a ≤ q − 2, a 6= 0 (mod q−13 ) q − 1− d q(q − 1) A (a,b,c) 6 ρ a ρb ρc  1 ≤ a < b < c ≤ q − 1 a + b + c ≡ 0 (mod q − 1) 1 6 (q − 1)(q − 4) + 1 3 d (q − 1)2 A (a) 7 σ a σaq ρ−a  1 ≤ a ≤ q2 − 1, a 6= 0 (mod q + 1) A (a) 7 = A (aq) 7 1 2 (q2 − q) q2 − 1 A (a) 8  τa τaq τaq 2  a = k(q − 1), 1 ≤ k ≤ q2 + q + 1 k 6≡ 0 ( mod q 2+q+1 3 ) A (a) 8 = A (aq) 8 = A (aq2) 8 1 3 (q2 + q + 1− d) q2 + q + 1 trong đó d = { 1, nếu q 6≡ 1 (mod 3) 3, nếu q ≡ 1 (mod 3). Tương tự như nhóm SL(2, q), hạn chế các đặc trưng bất khả quy củaGL(3, q) thành các đặc trưng của SL(3, q). Sau đó áp dụng công thức tích vô hướng (công thức (1.1.1)) để xác định các đặc trưng khả quy và bất khả quy của SL(3, q). Tuy nhiên, việc tính toán trên SL(3, q) không đơn giản như tính toán trên SL(2, q). Do đó, trước khi xây dựng bảng đặc trưng của SL(3, q), ta chứng minh một số kết quả sau, các kết quả này được dựa theo tài liệu [4]. Định nghĩa 2.2.4. [4, Định nghĩa 4.6] Nhóm con M(3) của nhóm GL(3, q) 50 được định nghĩa như sau M(3) = { A ∈ GL(3, q) | detA ∈ (F×q )3} . Dễ dàng chứng minh được nhómM(3) có các tính chất sau. Mệnh đề 2.2.5. [4, Bổ đề 4.6] (1) M(3)GL(3, q), (2) GL(3, q)/M(3) là một nhóm xyclic cấp 3, (3) M(3) = SL(3, q).Z(M(3)). Chứng minh. (1) Dễ dàng chứng minh bằng tiêu chuẩn nhóm con chuẩn tắc. (2) Xét đồng cấu nhóm ϕ từ GL(3, q) vào nhóm xyclic cấp 3 sinh bởi w ϕ(A) =  1, nếu detA = ρ3k; w, nếu detA = ρ3k+1; w2, nếu detA = ρ3k+2. Khi đó, ϕ là một toàn cấu nhóm và Kerϕ = M(3). (3) Rõ ràng SL(3, q).Z(M(3)) ⊆ M(3). Mặt khác, với mọi A = (aij) ∈ M(3), giả sử detA = s3 với s ∈ F×q . Khi đó A có thể được viết thành A = (aijs −1).(sI3), trong đó ma trận (aijs−1) thuộc SL(3, q). Xét một đặc trưng bất khả quy của GL(3, q), hạn chế đặc trưng này xuống M(3) sẽ cho ta hoặc một đặc trưng bất khả quy hoặc nó là tổng của 3 đặc trưng bất khả quy liên hợp (theo Định lý 1.2.3, Mệnh đề 2.2.5(1,2) và 1.2.6). Mặt 51 khác, theo Mệnh đề 2.2.5 (3) và Mệnh đề 1.2.24, mỗi đặc trưng bất khả quy của M(3) đều hạn chế thành một đặc trưng bất khả quy của SL(3, q). Do đó, ta có kết quả sau. Mệnh đề 2.2.6. [4, Hệ quả 4.8] Giả sử χ ∈ Irr(GL(3, q)), khi đó 〈χ ↓ SL(3, q), χ ↓ SL(3, q)〉 = 1 hoặc 3. Các đặc trưng bất khả quy của GL(3, q) khi hạn chế xuống SL(3, q) trở thành tổng của 3 đặc trưng bất khả quy liên hợp nhau là: χ(m,k,l)(q+1)(q2+q+1) với m = k = l = q−13 và χ (m) (q−1)2(q+1) với m = q2+q+1 3 , 2(q2+q+1) 3 . Chú ý rằng các thành phần bất khả quy trong mỗi đặc trưng hạn chế này có cùng bậc và liên hợp với nhau (theo Định lý 1.2.3). Sử dụng các quan hệ trực giao trên một bảng đặc trưng (Định lý 1.1.29) và để ý tính chất được phát biểu trong Mệnh đề 1.1.21, ta có thể tính được giá trị của các đặc trưng bất khả quy thành phần. Bảng 2.12 là bảng đặc trưng của SL(3, q), với w = e2pii/3. Bảng 2.12: Bảng đặc trưng của nhóm SL(3, q) ψ1 ψq2+q ψq3 ψ (m) q2+q+1 ψ (m) q(q2+q+1) ψ (m,k,l) (q+1)(q2+q+1) 1 ≤ m ≤ q − 2 1 ≤ m ≤ q − 2 1 ≤ m < k < l ≤ q − 1 m+ k + l = 0 (mod q − 1) A (a) 1 1 q 2 + q q3 (q2 + q + 1)wma q(q2 + q + 1)wma (q + 1)(q2 + q + 1)w(m+k+l)a A (a) 2 1 q 0 (q + 1)w ma qwma (2q + 1)w(m+k+l)a A (a) 3 1 0 0 w ma 0 w(m+k+l)a A (a) 3′ 1 0 0 w ma 0 w(m+k+l)a A (a) 3′′ 1 0 0 w ma 0 w(m+k+l)a A (a) 4 1 q + 1 q (q + 1) ma + −2ma (q + 1)ma + q−2ma (q + 1) ∑ m,k,l  (m+k−2l)a A (a) 5 1 1 0  ma + −2ma ma ∑ m,k,l  (m+k−2l)a A (a,b,c) 6 1 2 1  ma + mb + mc ma + mb + mc ∑ m,k,l  ma+kb+lc A (a) 7 1 0 −1 ma −ma 0 A (a) 8 1 −1 1 0 0 0 52 ψx ψ ′ x ψ ′′ x ψ (m) q3−1 ψ (m) (q−1)2(q+1) 1 ≤ m ≤ q2 − 1 m 6= 0 (mod q + 1) (m) = (mq) 1 ≤ m ≤ q2 + q + 1 m 6= 0 ( mod q 2+q+1 3 ) (m) = (mq) = (mq2) A (a) 1 (q+1)(q2+q+1) 3 (q+1)(q2+q+1) 3 (q+1)(q2+q+1) 3 (q 3 − 1)wma (q − 1)2(q + 1)wma A (a) 2 2q+1 3 2q+1 3 2q+1 3 w ma −(q − 1)wma A (a) 3 q − q−13 − q−13 − q−13 −wma wma A (a) 3′ − q−13 q − q−13 − q−13 −wma wma A (a) 3′′ − q−13 − q−13 q − q−13 −wma wma A (a) 4 q + 1 q + 1 q + 1 (q − 1)ma 0 A (a) 5 1 1 1 −ma 0 A (a,b,c) 6 w a−b + wb−a wa−b + wb−a wa−b + wb−a 0 0 A (a) 7 0 0 0 −(ιma + ιmaq) 0 A (a) 8 0 0 0 0 η ma + ηmaq + ηmaq 2 ψy ψ ′ y ψ ′′ y ψz ψ ′ y ψ ′′ y A (a) 1 (q−1)2(q+1) 3 w a (q−1)2(q+1) 3 w a (q−1)2(q+1) 3 w a (q−1)2(q+1) 3 w 2a (q−1)2(q+1) 3 w 2a (q−1)2(q+1) 3 w 2a A (a) 2 q−1 3 w a q−1 3 w a q−1 3 w a q−1 3 w 2a q−1 3 w 2a q−1 3 w 2a A (a) 3 ( q − q−13 ) wa − q−13 wa − q−13 wa ( q − q−13 ) w2a − q−13 w2a − q−13 w2a A (a) 3′ − q−13 wa ( q − q−13 ) wa − q−13 wa − q−13 w2a ( q − q−13 ) w2a − q−13 w2a A (a) 3′′ − q−13 wa − q−13 wa ( q − q−13 ) wa − q−13 w2a − q−13 w2a ( q − q−13 ) w2a A (a) 4 0 0 0 0 0 0