Luận văn Vài kết quả về nghiệm của phương trình ∂

Trong trường hợp này ta có: * *Ker , KerT T T TR R ⊥ ⊥= = Từ đó suy ra: 1 * 2 *Ker , KerT T T TH R H R= ⊕ = ⊕ (2.1.4) Trong mục kế tiếp, toán tử T sẽ là toán tử vi phân ∂ liên kết với phương trình Cauchy-Riemann. Đồng thời H1, H2 là không gian các (p,q)-dạng với các hệ số trong L2. Để giải phương trình u f∂ = với điều kiện 0f∂ = trong không gian Hilbert thì phải chỉ ra rằng miền RT là đóng. Trong trường hợp để chứng minh miền RT là đóng, ta sẽ sử dụng một bổ đề sau đây: Bổ đề 2.1.9 Cho 1 2:T H H→ là toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật. Gọi F là không gian con đóng của H2 và TR F⊆ . Khi đó TR F= khi và chỉ khi tồn tại một hằng số 0C > sao cho 2 1 *y C T y≤ với mọi *Ty F D∈ ∩ (2.1.5) Chứng minh )⇐ Giả sử (2.1.5) đúng. Ta chỉ cần chứng minh TF R⊂ , tức là chứng minh với mỗi z F∈ sẽ tồn tại phần tử 1Tx D H∈ ⊂ sao cho Tx z= . Do định lý 2.1.8 ta có **T T= , phương trình Tx z= tương đương với đẳng thức 1 2( , * ) ( , )x T y z y= , *Ty D∈ Trước hết ta chứng minh 2 2 1( , ) *y z C y T y≤ , *Ty D∈ (2.1.6) Thật vậy, nếu y F ⊥∈ thì 2( , ) 0z y = và * 0T y = vì TR F⊆ . Do đó chỉ cần chứng minh (2.1.6) với *Ty F D∈ ∩ , mà điều này được suy ra từ (2.1.5) và 2 2 2 ( , )y z y z≤ . Ta xét ánh xạ 2: * ( , )T y z yϕ  , ϕ là phiếm hàm tuyến tính thỏa điều kiện (2.1.6) nên áp dụng định lý Hahn-Banach ϕ được thác triển lên 2H . Khi đó có duy nhất x sao cho 2 1( , ) ( * ) ( , * )z y T y x T yϕ= = với mọi *Ty D∈ . Suy ra phương trình Tx z= có nghiệm thuộc **T TD D= . )⇒ Giả sử TR F= , ta cần chứng minh tập hợp { }* 1: * 1TB f D F T f= ∈ ∩ ≤ bị chặn Thật vậy với mọi f B∈ ta có *Tf D F∈ ∩ và 1* 1T f ≤ . Khi đó với mọi g cố định thuộc F , theo giả thiết TR F= tồn tại một phần tử Tu D∈ sao cho Tu g= . Khi đó 2 2 1 1 1 1( , ) ( , ) ( * , ) *f g f Tu T f u T f u u= = ≤ ≤ với mọi f B∈ (2.1.7) Bất phương trình (2.1.7) nghiệm đúng với mọi g F ⊥∈ vì vế trái bằng 0. Họ phiếm hàm tuyến tính { }2: ( , )f f BTu f gψ ∈ thỏa điều kiện (2.1.7) nên áp dụng nguyên lý bị chặn đều ta có M > 0 sao cho 2f Mψ ≤ , f B∀ ∈ . Điều này dẫn đến (2.1.5) ■ Bổ đề 2.1.10 Cho T là ánh xạ tuyến tính, đóng, trù mật từ không gian Hilbert 1H vào không gian Hilbert 2H , F là không gian con đóng của 2H , TF R⊆ . Giả sử (2.1.5) đúng. Khi đó với mỗi 1v H∈ mà trực giao với KerT có thể tìm được *Tf D∈ sao cho *T f v= và 2 1 f C v≤ (2.1.8) Chứng minh Do (2.1.4) 1v H∈ mà trực giao với KerT thì *Tv R∈ . Do TF R⊆ và (2.1.4) ta có phần bù trực giao của F là *KerT . Khi đó: * ** : T TT F D R∩ → có miền giá trị giống miền giá trị của * ** : T TT D R→ . Do bất đẳng thức (2.1.5) nên toán tử T* có miền giá trị là đóng, do đó ta có thể tìm *Tf D∈ sao cho *T f v= và bất đẳng thức (2.1.8) xảy ra. ■ 2.2. Toán tử ∂ trên không gian 2( , ) ( , )p qL φΩ Với Ω là tập mở trong n , p, q là 2 số tự nhiên bất kì thỏa 0 ,p q n≤ ≤ , φ là một hàm liên tục trên Ω , ta ký hiệu 2 ( , )L φΩ là không gian các hàm f trên Ω mà bình phương khả tích với độ đo e dφ λ− , tức là thỏa 2 f e dφ λ− < ∞∫ , ở đây dλ là độ đo Lebesgue. Đây là không gian con của không gian 2 ( , loc)L Ω , với 2 ( , loc)L Ω là không gian các hàm xác định trên Ω mà bình phương khả tích địa phương theo độ đo Lebesgue. Như vậy mỗi hàm trong 2 ( , loc)L Ω sẽ thuộc vào 2 ( , )L φΩ với một φ nào đó. Kí hiệu 2( , ) ( , )p qL φΩ là không gian các (p,q)-dạng với hệ số trong 2 ( , )L φΩ , tức là nếu 2( , ) ( , )p qf L φ∈ Ω thì ' ' , JI I J I p J q f f dz d z = = = ∧∑ ∑ với 2, ( , )I Jf L φ∈ Ω , '∑ là kí hiệu cho tổng các đa chỉ số tăng ngặt I, J (đa chỉ số 1 2( , ,..., )pI i i i= được gọi là tăng nếu 11 ... pi i n≤ < < ≤ ). Nếu ' ' , JI I J I p J q f f dz d z = = = ∧∑ ∑ , ' ' , JI I J I p J q g g dz d z = = = ∧∑ ∑ là hai (p,q)-dạng trong 2 ( , ) ( , )p qL φΩ , ta đặt: , , , ( , ) I J I J I J f g f g e dφ λ−= ∑∫ 2'2 , , I J I p J q f f = = = ∑ và 22f f e dφ ϕ λ−= ∫ trong đó (.,.) , . để kí hiệu cho tích vô hướng và chuẩn trong 2( , ) ( , )p qL φΩ . Khi đó 2 ( , ) ( , )p qL φΩ cùng với chuẩn được nêu ra ở trên là một không gian Hilbert. Ta định nghĩa 2( , ) ( , )p qL locΩ tương tự như trên. Gọi ( , ) ( )p qD Ω là tập các hàm (p,q)-dạng có các hệ số thuộc ( )oC ∞ Ω . Ta có ( , ) ( )p qD Ω là tập trù mật trong 2 ( , ) ( , )p qL φΩ với mọi φ . Nếu 2( , ) ( , )p qf L φ∈ Ω là một (p,q) - dạng với ,I Jf là các hệ số trơn ( , ( )I Jf C ∞∈ Ω ) thì toán tử vi phân ∂ xác định như sau: ,' ' 1 ,' ' 1 ,' ' ' 1 , = ( 1) = ( 1) n JI J I k I p J q k k n JI J p I k I p J q k k LI J p L I kJ I p L q k J q k f f d z dz d z z f dz d z d z z f dz d z z ε = = = = = = = = + = ∂ ∂ = ∧ ∧ ∂ ∂ − ∧ ∧ ∂ ∂ − ∧ ∂ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (2.2.1) Trong đó LkJε là dấu của phép hoán vị L kJ       . Khi đó ∂ là toán tử tuyến tính không bị chặn, xác định trù mật trong 2( , ) ( , )p qL φΩ . Lấy ý tưởng trong cách biểu diễn các hệ số ở đẳng thức (2.2.1), để toán tử là đóng ta sẽ xét một mở rộng của ∂ như sau: Xét 1 2, φ φ là hai hàm liên tục trên Ω , toán tử 2 2 ( , ) 1 ( , 1) 2: ( , ) ( , )p q p qT L Lφ φ+Ω → Ω được xác định theo nghĩa yếu ( yếu theo nghĩa đạo hàm suy rộng) trên Ω như sau Với ' 2 , ( , ) 1 , ( , ) JI I J p q I p J q f f dz d z L φ = = = ∧ ∈ Ω∑ ' 2 , ( , 1) 2 , 1 ( , ) LI I L p q I p L q g g dz d z L φ+ = = + = ∧ ∈ Ω∑ Ta nói ( )T f g= nếu với ,I J cố định và ( )oCϕ ∞∈ Ω ta có ' , , , ( 1) p LI J kJ I L k J q k f d g d z ϕε λ ϕ λ =Ω Ω ∂ − − = ∂∑∫ ∫ (2.2.2) Ta đặt ( )T f f= ∂ . Như vậy T = ∂ có các tính chất như là toán tử tuyến tính không bị chặn, xác định trù mật và đóng. Ta chứng minh các tính chất này như sau: * Rõ ràng ∂ là toán tử tuyến tính. * Nếu ( )n nf D∂⊂ : nf f→ và nf g∂ → thì từ định nghĩa đạo hàm theo nghĩa yếu ta có: ( ) ,' 1, , , ( 1) ( 1) ' I Jp L p LI J jJ jJn j jj J j J q n f f d d z z ϕε λ ε ϕ λ+ =Ω Ω ∂ ∂ − = −  ∂  ∑ ∑∫ ∫ Do tính liên tục của tích phân, vế trái của biểu thức trên hội tụ về ' , , ( 1) p LI J jJ jj J f d z ϕε λ Ω ∂ − ∑∫ , còn vế phải hội tụ về ,1 , ( 1) ' I Jp LjJ jj J q f d z ε ϕ λ+ =Ω ∂ − ∂∑∫ , do giới hạn là duy nhất nên ,' 1 , , , ( 1) ( 1) ' I Jp L p LI J jJ jJ j jj J j J q f f d d z z ϕε λ ε ϕ λ+ =Ω Ω ∂∂ − = − ∂∑ ∑∫ ∫ Từ đó suy ra f D ∂ ∈ và f g∂ = . Do đó ∂ là toán tử đóng. Mặt khác (2.2.2) cũng đúng cho các hàm thuộc ( , ) ( )p qC ∞ Ω nên ∂ cũng xác định trù mật. Tương tự ta cũng có định nghĩa toán tử yếu ∂ trên các dạng. Áp dụng bổ đề 2.1.9 với 1 2, H H lần lượt là 2 2 ( , ) 1 ( , 1) 2( , ), ( , )p q p qL Lφ φ+Ω Ω , toán tử T giữa các không gian này là toán tử ∂ vừa được trình bày ở trên và F là không gian tất cả các 2( , 1) 2( , )p qf L φ+∈ Ω với 0f∂ = (theo nghĩa lý thuyết hàm suy rộng). Gọi 3ϕ là một hàm liên tục khác và S là toán tử từ 2( , 1) 2( , )p qL φ+ Ω vào 2 ( , 2) 3( , )p qL φ+ Ω được xác định bởi ∂ . Khi đó KerSF = , để chứng minh điều kiện (2.1.5) ta chỉ cần chứng minh 2 2 22 2 1 3 ( * )f C T f Sf≤ + (2.2.3) vì số hạng cuối sẽ mất đi khi KerSf F∈ = . Ta trình bày sau đây một số kết quả về ∂ và liên hợp của nó. Định lý 2.2.1 Với 2( , 1) ( )p qf D L +∂∈ ∩ Ω , ' , , JI I J I p J q f f dz d z = = = ∧∑ . Ta có 2 2 , , ,' ' , 1 1 , , 1 n n I J I kK I mK I p J q k I p K q m kk m k f f f f z z z= = + = = = =   ∂ ∂ ∂ ∂ = −    ∂ ∂ ∂   ∑ ∑ ∑ ∑ (2.2.4) Chứng minh Với 2( , 1) ( )p qf D L +∂∈ ∩ Ω , do định nghĩa của toán tử vi phân ∂ ta có ,' ' ' 1 , = ( 1) LI J p L I kJ I p L q J q k k f f dz d z z ε = = + = ∂ ∂ − ∧ ∂∑ ∑ ∑ Do đó 2 , ,' ' ' , , , 1 , , , , n I M I J kJ mM I J M k m I J M k m I J M k mm k A B f f f z z ε = = ≠  ∂ ∂ ∂ = = +  ∂ ∂  ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑   ở đây kJmMε là dấu của phép hoán vị, kJ mMε triệt tiêu trừ khi k J∉ , m M∉ và {k} J={m} M∪ ∪ . Như vậy có 2 trường hợp xảy ra như sau : * Nếu k m J M= ⇒ = và k J∉ thì 2 ,' , I J I J k J k f A z∉ ∂ = ∂∑ ∑ * Nếu k m≠ thì 0kJmMε ≠ khi k M∈ và m J∈ . Do đó nếu xóa bỏ chỉ số m khỏi J và k khỏi M thì mỗi bộ đa chỉ số còn lại trong J và M sẽ là tập các đa chỉ số cấp q giống nhau, mà ta đặt là K. Vì kJ kJ kmK mkK J M mM kmK mkK mM mK kK          = = −                  với chú ý rằng , , J I kK kK I Jf fε= thì ta thu được , , , ,' ' , , , I J I M I kK I mKJ M mK kK I J L m k I K m kk m m k f f f f B z z z z ε ε ≠ ≠      ∂ ∂ ∂ ∂ = − = −      ∂ ∂ ∂ ∂      ∑ ∑ ∑ ∑ Từ đó ta có (2.2.4). ■ Vì toán tử ∂ là toán tử tuyến tính, xác định trù mật nên nó có toán tử liên hợp, phần tiếp theo sau đây ta sẽ tìm hiểu kĩ hơn về toán tử liên hợp này. Từ định nghĩa toán tử liên hợp và hệ quả 2.1.6, liên hợp của ∂ kí hiệu là *∂ là toán tử tuyến tính, xác định trù mật và đóng: 2 2 ( , 1) 2 ( , ) 1* : ( , ) ( , )p q p qL Lφ φ+∂ Ω → Ω được xác định như sau: 1 2 ( * , ) ( , )f g f gφ φ∂ = ∂ trong đó ( , ) ( )p qg D∈ Ω . Nếu *f D∂∈ có ' , , JI I J I p J q f f dz d z = = = ∧∑ thì với , ( , ) , ( ) KI I K p q I K g g dz d z D= ∧ ∈ Ω∑ , ta có: 2 1 2 2 ,' , , , 1 ,' , , 1 ( * , ) ( , ) (-1) (-1) n I Kp J I J kK kI J K k n I Kp I kK I K k k g f g f g f e d z g f e d z φ φ φ φ ε λ λ − Ω = − Ω = ∂  ∂ = ∂ =  ∂  ∂ = ∂ ∑ ∑∫ ∑ ∑∫ Khi đó áp dụng định nghĩa đạo hàm theo nghĩa yếu ta thu được ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 2 1 1 ,1 ' , , 1 ,1 ' , , 1 ,1 ' , , 1 1 ' ( * , ) (-1) (-1) (-1) (-1) n I kKp I K I K k k n I kKp I K I K k k n I kKp I K I K k k p e f f g g d z e f e g e d z e f e g e d z φ φ φ φ φ φ φ φ λ λ λ − − Ω = − −− Ω = − −− =Ω − ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ = ∑ ∑∫ ∑ ∑∫ ∑ ∑∫ ( )2 1 1 , , 1 , n I kK I K k k e f e g z φ φ φ − =  ∂    ∂  ∑ ∑ Do đó toán tử *∂ tác động lên *f D∂∈ được biểu diễn một cách rõ ràng như sau: Định lý 2.2.2 Nếu *f D∂∈ thì 2 1 ,1 ' 1 ( ) * ( 1) n KI kKp I I p k k K q e f f e dz d z z φ φ − − = = =  ∂ ∂ = − ∧  ∂  ∑ ∑ (2.2.5) Mệnh đề 2.2.3 Nếu *f D∂∈ thì 2 1 *e f f Afφ φ ϑ− ∂ = + (2.2.6) trong đó ϑ là toán tử vi phân bậc 1 với hệ số hằng, toán tử A là toán tử vi phân bậc 0. Chứng minh Từ (2.2.5) ta có: 2 1 ,1 ' 1 ' 2 , , 1 , 1 * ( 1) ( 1) n nK KI kKp I p I I kK I K k I K kk k f e f dz d z f dz d z z z φ φ φ− − − = = ∂ ∂ ∂ = − ∧ − − ∧ ∂ ∂∑ ∑ ∑ ∑ f Afϑ= + ■ Lấy ψ , φ như trong định lý 1.3.10 và định lý 1.3.11, ta đặt: ( )k k k k gg e ge g z z z φ φ φδ −∂ ∂ ∂= = − ∂ ∂ ∂ , 2 1, 2φ φ ψ φ φ ψ= − = − ta có kết quả Định lý 2.2.4 Với ( , 1)p qf D +∈ thì: 1 ' 1 ', , , 1 , 1 * ( 1) ( 1) n nK Kp I p I k I kK I kK I K k I K k k e f f dz d z f dz d z z ψ ψδ− − = = ∂ ∂ = − ∧ + − ∧ ∂∑ ∑ ∑ ∑ (2.2.7) Chứng m Từ (2.2.5) ta có: 2 1 ,1 ' 1 ' 2 , , 1 , 1 ,1 ' 1 ' , , 1 , 1 1 ' , * ( 1) ( 1) = ( 1) ( 1) ( 1) n nK KI kKp I p I I kK I K k I K kk k n nK KI kKp I p I I kK I K k I K kk k p I k k f e f dz d z f dz d z z z f dz d z f dz d z z z f z φ φ φ φ φ − − − = = − − = = − ∂ ∂ ∂ = − ∧ − − ∧ ∂ ∂ ∂ ∂ − ∧ − − ∧ ∂ ∂ ∂ + − ∂ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 1 ' 2 , , 1 , 1 ( 1) n nK KI p I K I kK I K k I K k k dz d z f dz d z z φ− = = ∂ ∧ − − ∧ ∂∑ ∑ ∑ ∑ ,1 ' , , 1 1 ' 2 , , 1 ( 1) ( 1) n KI kKp I I kK I K k k k n Kp I I kK I K k k k f f dz d z z z f dz d z z z φ φ φ − = − = ∂ ∂ = − − ∧ ∂ ∂   ∂ ∂ + − − ∧ ∂ ∂  ∑ ∑ ∑ ∑ Do đó: 1 ' 1 ' , , , 1 , 1 * ( 1) ( 1) n nK Kp I p I k I kK I kK I K k I K k k e f f dz d z f dz d z z ψ ψδ− − = = ∂ ∂ = − ∧ + − ∧ ∂∑ ∑ ∑ ∑ ■ Với toán tử kδ được định nghĩa như trên thì toán tử kδ và toán tử jz−∂ ∂ có mối quan hệ như sau: Mệnh đề 2.2.5 2 k k j j k jz z z z φδ δ∂ ∂ ∂− = ∂ ∂ ∂ ∂ (2.2.8) Chứng minh Với 2 ( )u C∈ Ω thì: 2 = k k k kj j j j kk j j u u uu z zz z z z u u zz z z φδ δ φ    ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = −      ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂    ∂ ∂ ∂ − ∂∂ ∂ ∂ Mặt khác: 2 2 k k k kj j k j j k j u u uu u u z z zz z z z z z z φ φ φδ  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − = − − ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂  Suy ra: 2 k k j j k j u u z z z z φδ δ  ∂ ∂ ∂ − =  ∂ ∂ ∂ ∂  ■ Cũng chú ý rằng có thể xem toán tử kδ như là một hình thức liên hợp của jz−∂ ∂ trong không gian 2 ( , )L ϕΩ . Tức là: Định lý 2.2.6 Với mọi , ( )ou v C ∞∈ Ω ta có: k k vu e d uve d z φ φλ δ λ− − Ω Ω ∂ = − ∂∫ ∫ (2.2.9) Chứng minh Với mọi , ( )ou v C ∞∈ Ω ta có: Vậy định lý được chứng minh xong. ■ ( ) ( ) = k kk k k v v ueu e d u e d vd z zz uee ve d uve d z φ φ φ φ φ φ φ λ λ λ λ δ λ − − − Ω Ω Ω − − − Ω Ω ∂ ∂ ∂ = = − ∂ ∂∂ ∂ − = − ∂ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Chương 3 2L - ĐÁNH GIÁ VÀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ∂ Trong chương này chúng ta sử dụng kỹ thuật 2L - đánh giá thể hiện trong chương 2 để nghiên cứu các phương trình Cauchy- Riemann (phương trình ∂ ) dẫn đến các định lý tồn tại và xấp xỉ đối với các nghiệm của phương trình Cauchy- Riemann trong các miền giả lồi. Ngoài ra ta cũng nhận được nghiệm của bài toán Lê-vi. 3.1. Các định lý về sự tồn tại nghiệm phương trình ∂ trên miền giả lồi Ta xét dãy ánh xạ sau: ( ) ( ), , 12 2 2 ( , ) 1 ( , 1) 2 ( , 2) 3( , ) ( , ) ( , ) p q p q p q p q p qL L Lφ φ φ +∂ ∂ + +Ω → Ω → Ω trong đó 1φ , 2φ , 3φ là các trọng sẽ được chọn như sau: lấy ψ , φ như trong định lý 1.2.4, định lý 1.3.10, đặt 1 2φ φ ψ= − , 2φ φ ψ= − , 3φ φ= . Để đơn giản kí hiệu ta đặt: ( , )p qT = ∂ , ( , 1)p qS += ∂ , 2 1 ( , ) 1( , )p qH L φ= Ω , 2 2 ( , 1) 2( , )p qH L φ+= Ω , 2 3 ( , 2) 3( , )p qH L φ+= Ω 2SF Ker H= ⊆ . Đồng thời tích vô hướng và chuẩn, ta kí hiệu tương ứng như sau: (.,.) (.,.) (.,.) i ii Hφ = = ; . . . i ii Hφ = = với 1,3i = Nhận xét rằng phát biểu Tf D∈ nghĩa là 2 ( , ) 1( , )p qf L φ∈ Ω , đồng thới f∂ tồn tại (theo nghĩa yếu) và 2( , 1) 2( , )p qf L φ+∂ ∈ Ω . Cũng nghĩa tương tự như vậy cho phát biểu Sg D∈ Bổ đề 3.1.1 Với ( )oCη ∞∈ Ω , Sf D∈ thì Sf Dη ∈ . Chứng minh Vì 2f H∈ nên 2f Hη ∈ . Do Sf D∈ nên f∂ tồn tại theo nghĩa yếu. Giả sử : ,' ' 1 1 n JI J I j I p J q j j f f d z dz d z z= = + = ∂ ∂ = ∧ ∧ ∂∑ ∑ ∑ Với ( )oCϕ ∞∈ Ω bất kì, trước tiên ta có: ( ) ( ), , , , , , , , I J I J I J I J J j j j I J I J I J I J j j j j f d f d f d f d z z z z f f d f d f d z z z z ϕ ϕ ηη λ η λ ηϕ λ ϕ λ η ηηϕ λ ϕ λ η ϕ λ    ∂ ∂ ∂ ∂ = = −      ∂ ∂ ∂ ∂       ∂ ∂∂ ∂ = − − = − +      ∂ ∂ ∂ ∂    ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Do đó: ( ) , ,I JIJ I J j j j ff f z z z ηη η∂ ∂∂ = + ∂ ∂ ∂ theo nghĩa yếu. Trong trường hợp tổng quát, bằng cách nhóm các số hạng ta chứng minh được bổ đề . ■ Bổ đề 3.1.2 Với ( )oCη ∞∈ Ω , Sf D∈ thì ( )S f Sf fη η η− = ∂ ∧ . Chứng minh Trong chứng minh bổ đề 3.1.1, ta có: ( )S f f fη η η= ∂ + ∂ ∧ mà f Sfη η∂ = . Vì vậy ta có chứng minh bổ đề. ■ Bổ đề 3.1.3 Với ( )oCη ∞∈ Ω , *Tf D∈ thì *Tf Dη ∈ . Chứng minh Vì *Tf D∈ nên với mọi Tu D∈ , ta có : ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 , , , , * , , * , , f Tu f Tu f T u f Tu T u T f u f Tu T u T f u f Tu T u η η η η η η η η η η η = = + − = + − = + − Áp dụng bổ đề 3.1.2, ta có ( )Tu T u uη η η− = −∂ ∧ . Do đó: ( ) ( ) ( )2 1 2, * , ,f Tu T f u f uη η η= + −∂ ∧ Vì không có đạo hàm của u xuất hiện trong số hạng cuối cùng, dẫn đến ( )2,f Tuη liên tục theo 1u : ( ( ) { }2 1 2 1, * Lf Tu C T f f uη η η ∞≤ + ∂ ), do đó có một phần tử 2( , ) 1( , )p qv L φ∈ Ω sao cho ( ) ( )1 2, ,v u f Tuη= . Điều này có nghĩa *Tf Dη ∈ . ■ Bổ đề 3.1.4 Với hàm lη ( )*l∈ được chọn như trong định lý 1.3.11 thì khi l →+∞ i. ( ) 0l lS f Sfη η− → trong 3H với Sf D∈ ii. ( )* * 0l lT f T fη η− → trong 1H với *Tf D∈ Chứng minh i. Áp dụng bổ đề 3.1.2 ta có : ( )l l lS f Sf fη η η− = ∂ ∧ và 2 l e ψη∂ ≤ nên ( ) 2 22 2 l l l lS f Sf f C fη η η η− = ∂ ∧ ≤ ∂ với ( )0C > Suy ra ( ) ( ) 3 3 22 2 2 3l l l l l S f Sf S f Sf e d C f e dφ φη η η η λ η λ− − Ω Ω − = − ≤ ∂∫ ∫ Bởi vì 2φ φ ψ= − , 3φ φ= và 1lη = trên 1lK − (xem chứng minh định lý 1.3.11) do đó: ( ) 2 1 2 2 3 \ 0 l l l l l K K S f Sf C f e dφη η λ − − →+∞− ≤ →∫ Áp dụng định lý hội tụ bị chặn ta có điều phải chứng minh. ■ ii. Trong chứng minh của bổ đề 3.1.3 ta có : ( )( ) ( ) ( )11 2 * , * , ,l l lT f u T f u f uη η η= + −∂ ∧ Suy ra: ( )( ) ( )1 2* * , ,l l lT f T f u f uη η η− = −∂ ∧ Do đó: ( )( ) ( ) 21 2* * , ,l l l lT f T f u f u f u e d φη η η η λ−− = −∂ ∧ ≤ ∂∫ Hay ( )( ) 2 12 21* * ,l lT f T f u f e u e d φ φ η η λ − − − ≤ ∫ Vậy ( ) 1 22 2* *l lT f T f e f eφ φη η − −− ≤ . Tương tự lý luận trong chứng minh i., áp dụng định lý hội tụ bị chặn ta thu được: 1 *( ) * 0l lT f T fη η− → khi l →+∞ và *Tf D∈ ■ Bổ đề 3.1.5 Nếu *T Sf D D∈ ∩ thì l f fη → theo chuẩn đồ thị 2 2 2 2 1 2 3 * G f T f f Sf= + + Chứng minh Ta có: ( ) 22 2 22 31* *l l l lGf f T f T f f f S f Sfη η η η− = − + − + − (3.1.1) mà 2 2 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 *( ) * *( ) * * * ( ) ( ) l l l l l l l l T f T f T f T f T f T f S f Sf S f Sf Sf Sf η η η η η η η η − ≤ − + − − ≤ − + − Từ định lý 1.3.11, ta có nhận xét rằng hàm 1lη = trên mỗi tập con compact của Ω khi l đủ lớn. Cùng với nhận xét này, áp dụng bổ đề 3.1.3, 3.1.4 và từ (3.1.1) ta thu được: 2 0l Gf fη − → khi l →+∞ Do đó l f fη → . ■ Bổ đề 3.1.6 i. Nếu Sf D∈ và supp f ⊂⊂ Ω thì sẽ tồn tại dạng ( , 1)p qf Dδ +∈ , 0 1δ< < sao cho f fδ → trong H2 và Sf Sfδ → trong H3 khi 0δ +→ . ii. Nếu *Tf D∈ và supp f ⊂⊂ Ω thì * *T f T fδ → trong H1 khi 0δ +→ . Chứng minh i. Xét ( )NoCδχ ∞∈  , supp (0, )Bδχ δ⊆ , ( ) 0xδχ > với mọi Nx∈ , ( ) 1 n x dxδχ =∫  . Nếu Sf D∈ , ,' JI I Jf f dz d z= ∧∑ và supp f ⊂⊂ Ω đặt '( ) JI IJf f dz d zδ δχ= ∗ ∧∑ , trong đó (supp , )d fδ << ∂Ω . Khi đó sup p fδ ⊂⊂ Ω và áp dụng định lý 1.2.2 ta thu được f fδ → trong 2L và do đó f fδ → trong 2H . Cũng chú ý rằng: ,' JI I J j j j Sf f d z dz d z Sf zδ δ χ  ∂ = ∗ ∧ ∧ →  ∂  ∑ ∑ trong 3H như mô tả. ■ ii. Từ (2.2.6) của mệnh đề 2.2.3 ta có: 2 1 ( )e T f f Af A fφ φ ϑ ϑ− ∗ = + = + Do đó: ( )( ) ( ) ( )( )A f A f A f Afδ δ δ δϑ ϑ χ χ χ+ = + ∗ + ∗ − ∗ hội tụ tới ( )A fϑ + trong không gian tôpô 2( , ) ( )p qL Ω . Vì vậy 1 2 1 2( ) ( )e A f e A f φ φ φ φ δϑ ϑ − −+ → + trong H1. Vậy * *T f T fδ → trong H1. ■ Định lý 3.1.7 Không gian ( , 1)p qD + trù mật trong *T SD D∩ theo chuẩn đồ thị 2 2 2 2 1 2 3 * G f T f f Sf= + + Chứng minh Với *T Sf D D∈ ∩ và 0ε > . Áp dụng bổ đề 3.1.5, tồn tại *l∈ sao cho: 2l G f f εη − < Lại áp dụng bổ đề 3.1.6 và định lý 1.2.2 tồn tại số 0δ > sao cho: ( ) 2l l G f f δ εη η− < Do đó: ( ) ( )l l l lGG Gf f f f f fδ δη η η η ε− ≤ − + − < Vậy ( , )p qD trù mật trong *T SD D∩ . ■ Bây giờ ta sẽ chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình Cauchy – Riemann. Như đã nói ở chương 2 ta muốn chứng minh Tu f= có nghiệm thì ta cần chứng minh TR F= , điều này tương đương với việc chứng minh đánh giá: 2 2 22 2 1 3 ( * )f C T f Sf≤ + với mọi *T Sf D D∈ ∩ Mặt khác do không gian ( , 1)p qD + trù mật trong *T SD D∩ nên ta chỉ việc chứng minh: 2 2 22 2 1 3 ( * )f C T f Sf≤ + với mọi ( , 1) ( )p qf D +∈ Ω Định lý 3.1.8 Cho nΩ⊂  là miền giả lồi (không nhất thiết phải có biên trơn hoặc bị chặn). Với ψ , φ như trong định lý 1.3.11, định lý 1.3.12, đặt 1 2φ φ ψ= − , 2φ φ ψ= − , 3φ φ= , thì 2 2 2 2 1 3 *f T f Sf≤ + với mọi ( , 1) ( )p qf D +∈ Ω . Chứng minh Lấy ( , 1) ( )p qf D +∈ Ω . Từ (2.2.7) của định lý 2.2.4 ta thu được: 1 ' 1 ' , , , 1 , 1 * ( 1) ( 1) n nK Kp I p I k I kK I kK I K k I K k k A B T f e f dz d z e f dz d z z ψ ψ ψδ− − − − = = ∂ = − ∧ + − ∧ ∂∑ ∑ ∑ ∑   Với z x y= + ta có 2 2 22 2z x y≥ − . Suy ra: 2 2 2 1 1 1 2 2T f A B∗ ≥ − Hoặc: 2 2 2' , ,1 , , 1 2 2 n j I jK k I kK I K j k T f f f e d f e dφ φδ δ λ ψ λ− − =Ω Ω ∗ ≥ − ∂∑ ∑∫ ∫ Kết hợp (2.2.9) trong định lý 2.2.6 ta thu được: 2 2 2' , ,1 , , 1 2 * 2 n j I jK I kK I K j k k T f f f e d f e d z φ φδ λ ψ λ− − =Ω Ω  ∂ ≥ − − ∂  ∂  ∑ ∑∫ ∫ (3.1.2) Mặt khác từ (2.2.4) của định lý 2.2.1 và từ (2.2.9) cho ta: 2 2 ,, ,' ' 3 , 1 , , 1 2 ,' ' , , , 1 , , n n I jKI J I kK I J j I K j kj k j n n I J j I jK I kK I J j I K j kj k ff f Sf e d e d z z z f e d f f e d z z φ φ φ φ λ λ λ δ λ − − = =Ω Ω − − =Ω Ω  ∂ ∂ ∂ = −    ∂ ∂ ∂    ∂ ∂ = +   ∂ ∂  ∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ ∑ ∑ ∑ ∑∫ ∫ Kết hợp với (3.1.2) cho ta: 2 2 ' , ,1 3 , , 1 2 2 2,' , 2 * 2 n j j I jK I kK I K j k k k I J I J j T f Sf f f e d z z f e d f e d z φ φ φ δ δ λ λ ψ λ − =Ω − − Ω Ω   ∂ ∂ + ≥ −   ∂ ∂    ∂ + − ∂ ∂ ∑ ∑∫ ∑∫ ∫ Do (2.2.8) trong định lý 2.2.5 nên vế phải của bất đẳng thức trên bằng với 2 2 2 ' , ,1 3 , , 1 2 2 2,' , 2 * 2 n I jK I kK kI K j k j I J jI J T f Sf f f e d z z f e d f e d z φ φ φ φ λ λ ψ λ − =Ω − − Ω Ω ∂ + ≥ ∂ ∂ ∂ + − ∂ ∂ ∑ ∑∫ ∑∫ ∫ (3.1.3) Cũng do bổ đề 1.3.10 ta thu được: ( ) 22 2 2 2 2' ,1 3 , 1 2 * 2 2 n I jK I K j T f Sf e f e d f e dψ φ φψ λ ψ λ− − =Ω Ω + ≥ ∂ + − ∂∑ ∑∫ ∫ (3.1.4) Khai triển vế phải và rút gọn ta thu được kết quả của định lý như sau: 2 22 2 2' ,1 3 2 , 1 2 * 2 2 n I jK I K j T f Sf f e d fφ λ− =Ω + ≥ =∑ ∑∫ với mọi ( , 1) ( )p qf D +∈ Ω ■ Hệ quả 3.1.9 Với 1 2 3, ,φ φ φ như trong định lý 3.1.7. Nếu 2 ( , 1) 2( , )p qf L φ+∈ Ω thỏa mãn 0f∂ = (theo nghĩa yếu) thì phương trình u f∂ = có nghiệm trong 2( , ) 1( , )p qL φΩ . Chứng minh Với *T Sf D D∈ ∩ , do ( , 1) ( )p qD + Ω trù mật trong *T SD D∩ nên tồn tại dãy ( ) ( , 1) ( )n p qnf D +⊂ Ω sao cho nf f→ trong *T SD D∩ . Khi đó áp dụng định lý 3.1.8 ta có đánh giá: 2 2 2 2 1 3 ( * )n n nf T f Sf≤ + Lấy giới hạn hai vế ta thu được: 2 2 2 2 1 3 ( * )f T f Sf≤ + với mọi *T Sf D D∈ ∩ Khi đó nếu 0Sf = thì 2 2 2 1 *f T f≤ . Áp dụng bổ đề 2.1.9 với 2F KerS H= ⊆ ta thu được TR F= . Suy ra phương trình Tu f= có nghiệm trong 2 ( , ) 1( , )p qL φΩ . ■ Định lý 3.1.10 Với Ω là miền giả lồi trong n . Khi đó phương trình u f∂ = có một nghiệm 2( , ) ( , loc)p qu L∈ Ω (theo nghĩa yếu) với mỗi 2 ( , 1) ( , loc)p qf L +∈ Ω sao cho 0f∂ = . Chứng minh Với 2( , 1) ( , loc)p qf L +∈ Ω thì sẽ tồn tại một hàm  :φ Ω→  sao cho các hệ số của f thuộc vào 2( , 1) ( , )p qL φ+ Ω . Chọn hàm :φ Ω→  thỏa mãn định lý 1.3.12 và φ đủ lớn để φ ψ φ− ≥ . Khi đó các hệ số của f cũng thuộc vào 2( , 1) 2( , )p qL φ+ Ω mà 2φ φ ψ= − . Do đó từ hệ quả 3.1.8 sẽ tồn tại một (p,q)-dạng u có hệ số thuộc vào 2( , ) 1( , )p qL φΩ mà 1 2φ φ ψ= − thỏa mãn u f∂ = . Nhưng điều này cũng có nghĩa là các hệ số của u cũng thuộc 2( , ) ( , loc)p qL Ω . ■ 3.2. Định lý về tính chính quy của nghiệm phương trình ∂ Bây giờ ta sẽ kiểm tra về tính chính quy (tính đều) của nghiệm u của phương trình u f∂ = mà ta thu được ở mục 3.1. Với f là hàm trơn cho trước không phải mọi nghiệm của phương trình u f∂ = đều là hàm trơn. Tuy nhiên, vì nghiệm của phương trình Tu f= trong bổ đề 2.1.9 có thể được chọn trực giao với TKer (nghĩa là thuộc *TR ) nên có thêm một phương trình vi phân theo u, phương trình này đóng vai trò chủ chốt trong việc chứng minh tính trơn của u. Cụ thể nếu 1KerT H⊆ là nhân của T thì KerT đóng trong 1H . Đặt 1: KerTP H → là phép chiếu trực giao không gian Hilbert. Nếu 2f H∈ mà thỏa mãn 0Sf = thì giả sử u là một nghiệm nào đó thỏa Tu f= . Khi đó ( ) ( )T u Pu Tu T Pu f− = − = hay u u Pu= − cũng là nghiệm, đồng thời  KerTu ⊥ (do tính chất của phép chiếu trực giao). Như vậy nghiệm của phương trình Tu f= có thể được chọn trong không gian trực giao với không gian KerT là *TR . Nếu  *u là một nghiệm khác mà cũng trực giao với KerT thì  * KerTu u− ∈ và  * KerTu u− ⊥ . Vì vậy   *u u= . Nghiệm duy nhất trong không gian KerT ⊥ được gọi nghiệm chính tắc. Điều kiện  KerTu ⊥ cung cấp cho ta thêm một phương trình vi phân cần thiết trong việc chứng minh tính trơn của nghiệm u. Định nghĩa 3.2.1 Đặt ( )sW Ω , với s là số nguyên không âm, là không gian các hàm xác định trên nΩ⊂  có đạo hàm bậc nhỏ hơn hoặc bằng s thuộc 2L . Lưu ý là tất cả các đạo hàm đều theo nghĩa yếu. Ta ký hiệu ( , )sW locΩ là tập hợp các hàm xác định trên nΩ⊂  thỏa điều kiện tương tự trên các tập con compact của Ω . Đặt ( , ) ( ) s p qW Ω , ( , ) ( , loc) s p qW Ω tương ứng là không gian các (p,q)-dạng với hệ số tương ứng thuộc vào ( )sW Ω , ( , )sW locΩ . Giống như (2.2.6) ta đặt: ,' , 1 n KI kK I I K k k f f dz d z z ϑ = ∂ = ∧ ∂∑ ∑ Bổ đề 3.2.2 Nếu