Luận văn Vận dụng phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn trong dạy học bất đẳng thức ở trường THPT

há ra hàm số như thế nào? (phải quy về một ẩn để khảo sát hàm số) - Biểu thức 4 4 4P x y z   đối xứng với ba ẩn , ,x y z . Biến đổi P theo , ,x y z xyz xy yz zx    như thế nào? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 Ta có 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2( )P x y z x y z x y y z z x         2 2 2(4 2( )) 2(( ) 2 ( ))xy yz zx xy yz zx xyz x y z          - Với mối quan hệ trên, chuyển P theo biến mới như thế nào? Đặt t xy yz zx   và từ giả thiết 4; 2x y z xyz    ta có 22( 32 144)P t t   - Tìm điều kiện theo ẩn mới như thế nào? Từ các điều kiện đối với x, y, z ta được 2 4 ;y z x yz x     do đó 2 (4 )t x x x    - Tìm điều kiện đối với ẩn x và chuyển điều kiện đó theo ẩn t Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương y, z và từ (2) ta được 2 3 28(4 ) 8 16 8 0x x x x x        2( 2)( 6 4) 0x x x    3 5 2x    . Xét hàm số 2 ( ) (4 )t x x x x    trên đoạn 3 5;2    , có 2 2 2( 1)( 1) ( ) x x x t x x       Từ việc xét dấu của ( )t x trên đoạn 3 5;2    , ta được 5 5 1 5 2 t    . - Khảo sát hàm số 2( ) 2( 32 144)f t t t   trên 5 5 1 5; 2       và suy ra 4 4 4383 165 5 18x y z     Ví dụ 28: Chứng minh rằng nếu , ,a b c là độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 3 thì 2 2 23( ) 4 13a b c abc    . Hoạt động khám phá: - BĐT cần chứng minh chứa ba ẩn , ,a b c và thoả mãn 3a b c   . Hãy suy nghĩ biến đổi 2 2 23 3 3 4T a b c abc    sao cho ít ẩn hơn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 Ta có T  2 23(3 ) 3 2 (2 3)c c ab c    - Tích ab và tổng 3a b c   gợi cho các bạn nghĩ tới BĐT nào? 2 2 3 2 2 a b c ab ab                . Từ đó ta có lời giải sau: Đặt 2 2 23 3 3 4T a b c abc    Do vai trò bình đẳng của , ,a b c nên ta có thể giả sử 0 a b c   Chu vi tam giác bằng 3 nên 3 3a b c a b c       , mà 3 1 2 a b c c     Ta biến đổi 2 2 2 2 23( ) 3 4 3 ( ) 2 3 4T a b c abc a b ab c abc           2 23(3 ) 3 2 (2 3)c c ab c     . Vì 3 2 3 0 2 c c    và 2 2 23 3 (2 3) (2 3) 2 2 2 a b c c ab ab c c                          . Do đó 2 2 2 33(3 ) 3 2(2 3) 2 c T c c c            3 23 27 2 2 c   . Xét hàm số 3 23 27( ) 2 2 f c c c   trên 3 1; 2       , có 2( ) 3 3 ; ( ) 0 1f c c c f c c      Lập bảng biến thiên và suy ra ( ) 13 13f x T   hay 2 2 23( ) 4 13a b c abc    Ví dụ 29: (USA- 1980) Cho  , , 0;1a b c . Chứng minh rằng (1 )(1 )(1 ) 1 1 1 1 a b c a b c b c c a a b              . Hoạt động khám phá: - Với bài này suy nghĩ khám phá ra hàm số như thế nào? Ta có thể xem một biến nào đó là đối số x của hàm số ( )f x , các biến còn lại ta coi là các hằng số, đặt a x ,  0;1x . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 Xét hàm số ( )f x  (1 )(1 )(1 ) 1 1 1 x b c x b c b c c x x b             trên  0;1 Ta có 2 2 1 ( ) (1 )(1 ) 1 ( 1) ( 1) b c f x b c b c c x x b              - Xét dấu đạo hàm như thế nào? Nếu chưa xét được dấu ' ( )f x thì xét dấu '' ( )f x xem có phát hiện gì không?  2 2 2 2 ( ) 0 0;1 ( 1) ( 1) b c f x x c x x b           ( )f x đồng biến trên  0;1 . Trong 3 trường hợp y luôn dương, y luôn âm, đổi dấu trên đoạn  0;1 ta luôn có  ( ) (0), (1)f x Max f f . - So sánh giữa cái đã biết với yêu cầu bài toán, cần chứng minh (0) 1; (1) 1f f  1 1 (1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b c b c f b c c b b c b c b                    2 21 (0) (1 )(1 ) 1 1 1 1 b c b c b c f b c c b b c bc                . Suy ra  ( ) (0), (1) 1f x Max f f  . Vậy  0;1 : ( ) 1x f x   . Ví dụ 30: (bài thi Olympic Toán 30/4 năm 2004) Cho 3 số thực dương a, b, c thoả mãn 21 2 8 12ab bc ca   . Chứng minh rằng 1 2 3 15 2 S a b c     . Hoạt động khám phá: - Với bài này suy nghĩ khám phá ra hàm số như thế nào? (có thể chuyển theo ẩn mới được không? ) Đặt 1 2 3 ; ;x y z a b c    , bài toán trở thành Cho , , 0x y z  và 2 4 7 2x y z xyz   (1), cần chứng minh 15 2 S x y z    . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 - Có thể chuyển bài toán sao cho ít ẩn hơn được không? Từ (1) suy ra 2 4 (2 7) 2 4 (2 7 0) 2 7 x y z xy x y z xy xy          Do đó 14 14 2 4 2 4 72 7 (2 ) x y x y x xS x y x y xy x y x             . 14 14 2 2 2 2 2 7 7 2 7 2 2 2 7 x x xyx xx y x x xy x x x xy               2 11 7 2 1 2 x x x     (áp dụng bất đẳng thức Côsi ) Xét hàm số 2 11 7 ( ) 2 1 2 f x x x x     trên (0; ) , có 2 3 2 11 14 ( ) 1 2 7 1 f x x x x      - Xét dấu đạo hàm như thế nào? Nếu chưa xét được dấu ' ( )f x thì xét dấu '' ( )f x xem có khám phá ra dấu của ' ( )f x không? Ta có ( ) 0 (0; )f x x     suy ra ( )f x đồng biến trên (0; ) và 11 14 (3) 1 0 18 36 f      . Lập bảng biến thiên và ta đi đến kết luận 15 2 S  . b) Khảo sát lần lƣợt từng biến, nghĩa là tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số với biến thứ nhất và các biến còn lại coi là tham số, rồi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số với biến thứ hai và ứng với giá trị đã xác định của biến thứ nhất mà các biến còn lại coi là tham số. Ví dụ 31: (bài thi Olympic 30/4 năm 2002) Cho  , , 1;2a b c . Chứng minh rằng 1 1 1 ( )( ) 10a b c a b c      (1) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 Hoạt động khám phá: - Với bài này suy nghĩ khám phá ra hàm số như thế nào? (Coi một biến là ẩn, các biến còn lại là tham số, hãy xét hàm số với ẩn đó) Ta có (1) ( )( ) 10 0a b c ab bc ca abc       . Xét hàm số ( ) ( )( ) 10f a a b c ab bc ca abc      ẩn a trên  1;2 Có ( ) ( )( ) 10f a ab bc ca a b c b c bc         - Xét dấu đạo hàm như thế nào? Nếu chưa xét được dấu '( )f a thì xét dấu '' ( )f a xem có khám phá ra điều gì không?  ( ) 2( ) 0 , 1;2f a b c b c b c b c          ( )f a là hàm số đồng biến trên  1;2 Trong 3 trường hợp y luôn dương, y luôn âm, đổi dấu trên đoạn  1;2 ta luôn có  ( ) (1), (2)f a Max f f   (1 )( ) 10 ;(2 )(2 2 ) 20Max b c b c bc bc b c b c bc bc           *) Xét hàm số ( ) (1 )( ) 10g b b c b c bc bc      , ẩn b trên  1;2 . Có ( ) (1 )(1 )g b b c bc b c c        ;  ( ) 2(1 ) 0 1;2g b c c      ( )g b là hàm số đồng biến trên  1;2 Ta luôn có    ( ) (1), (2) (2 )(1 2 ) 10 ;(3 )(2 3 ) 20g b Max g g Max c c c c c c        . +) Xét hàm số ( ) (2 )(1 2 ) 10h c c c c    trên  1;2 Có  ( ) 4 5; ( ) 4 0 1;2h c c h c c      ( )h c đồng biến trên  1;2 Ta luôn có    ( ) (1), (2) 1,0 0h c Max h h Max    . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 53 +) Xét hàm số ( ) (3 )(2 3 ) 20h c c c c    trên  1;2    ( ) (1), (2) 0;0 0h c Max h h Max    . * Xét hàm số ( ) (2 )(2 2 ) 20g b b c b c bc bc      , ẩn b trên  1;2 , tương tự suy ra BĐT cần chứng minh. Ví dụ 32: (bài thi Olympic Toán THPT Việt Nam -1991) Cho các số thực dương , ,x y z với x y z  . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2x y y z z x x y z z x y      . Hoạt động khám phá: - Bạn có nhận xét gì về bậc của hai vế? Có thể chuyển bài toán sao cho ít ẩn hơn không? Chia cả 2 vế cho 5 0y  , thì bất đẳng thức cần chứng minh có dạng 3 2 3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 . ( 1) x z z x x z x z y y y y y y y y      (1). Đặt ; x z u v y y   ta có 1 0u v   và (1) được đưa về dạng 3 2 2 3 2 2( 1)u v u v uv u v    3 2 3 2 2(1 ) (1 ) 0v u v uv v v       (2) Nếu 1v  , thì (2) có dạng 2 2 1 0u u   , tức là (2) đúng. Nếu 0 1v  . Xét hàm số sau (biến là u) 3 2 3 2 2( ) (1 ) (1 )f u u v u v uv v v      với 1u  , thì 2 3 2( ) 3 (1 ) 2 (1 )f u u v uv v v      - Xét dấu đạo hàm như thế nào? Nếu chưa xét được dấu ' ( )f u thì xét dấu '' ( )f u xem có khám phá ra dấu của ' ( )f u không? 3( ) 6 (1 ) 2 0f u u v v     (do 0 1v  và 1u  ). Vậy ( )f u là hàm đồng biến trên  1; nên  1u  ta có 3 2( ) (1) 4 3 ( 1)( 3) 0f u f v v v v v          Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 (do 0 1v  ) ( )f u là hàm đồng biến trên  1; nên  1u  ta có 2( ) (1) 2 1 0f u f v v     . Vậy (2) đúng 1 0u v    . Ví dụ 33: (bài thi Olympic Toán THPT Việt Nam -1999) Xét các số thực dương , ,a b c thoả mãn điều kiện abc a c b   . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 3 10 1 1 1 3a b c       Hoạt động khám phá: - Từ giả thiết abc a c b   , có thể chuyển bài toán sao cho ít ẩn hơn không? Đặt 2 2 2 2 2 3 1 1 1 P a b c       Biến đổi giả thiết thành 1 (1 ) 0a c b ac a c       và 1 a c b ac    (1). Thay (1) vào biểu thức P và biến đổi được 2 2 2 2 2 2 3 2( ) 2 1 1 (1 )(1 ) a c P a c a c          (2) - Với bài này suy nghĩ khám phá ra hàm số như thế nào? (Coi một biến là ẩn, biến còn lại là tham số, hãy xét hàm số với ẩn đó) Xét hàm số 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 1 (1 )(1 ) x c f x x x c       với 1 0 x c   và coi c là tham số ( 0)c  , có 2 2 2 2 2 ( 2 1) ( ) (1 ) (1 ) c x cx f x x c        - Xét dấu đạo hàm như thế nào? Trên 1 0; c       thì ( ) 0f x  có nghiệm duy nhất là 2 0 1x c c    (3) Với 0 1 0 x c   . Qua 0x thì ( )f x đổi dấu từ dương xang âm nên ( )f x đạt cực đại tại 0 0 2 ( ) ( ) 1 1 c x f x f x c      . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55 Từ đó theo (2) ta có: 2 22 3 2 3 2 ( ) 2 ( ) 1 11 c P f x g c c cc         Xét hàm số ( )g c với 0c  , có 2 2 2 2 2(1 8 ) ( ) ( 1) (3 1) c g c c c c       . Với 0c  thì ( ) 0g c  tại 0 1 8 c  và qua 0c thì ( )g c đổi dấu từ dương sang âm nên 0( )g c là giá trị cực đại, suy ra 1 10 38 P g        . Giá trị 10 3 P  đạt được khi 1 2 , 28 c a  và 2b  theo (1), (3). c) Dựa vào dạng chung của các biểu thức có trong bài toán để đặt hàm số Ví dụ 34: Cho tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng 2 1 (sin sin sin ) (tan tan tan ) 3 3 A B C A B C       Hoạt động khám phá: - Viết lại BĐT cần chứng minh 2 1 (sin sin sin ) (tan tan tan ) 3 3 A B C A B C A B C        - Các biểu thức xuất hiện trong bài toán có dạng hàm số nào? hãy khảo sát hàm số đó? Xét hàm số 2 1 ( ) sin tan 3 3 f x x x x   trên 0; 2      , có 2 1 1 '( ) (2 3) 3 f x cosx cos x    - Xét dấu đạo hàm như thế nào? Tổng 2 2 1 1 2cosx cosx cosx cos x cos x     chưa phát hiện được gì, nhưng tích của chúng là hằng số. Từ đó gợi cho các bạn nghĩ tới bất đẳng thức nào? áp dụng vào bài này như thế nào? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 56 Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương, ta có 3 2 2 1 1 3 3cosx cosx cosxcosx cos x cos x     '( ) 0 0; 2 f x x          hàm số f(x) đồng biến trên 0; 2      ( ) (0) 0, 0f x f x     Vận dụng vào các góc nhọn A, B, C ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Ví dụ 35: Chứng minh rằng 1 1 12 2 2 3 3 A B C cos cos cos A B C       . Trong đó các góc A, B, C của tam giác ABC đo bằng radian. Hoạt động khám phá: - Ba biểu thức xuất hiện trong bài toán có dạng hàm số nào? Hãy khảo sát hàm số đó? Xét hàm số ( ) tan sin 2f t t t t   trên 0; , (0) 0 2 f      Ta có 2 1 ( ) cos 2, (0) 0, 0; 2 f t t f t cos t            có 2 2 2 1 1 ( ) cos 2 cos 2 2 2 0 0; 2 f t t t t cos t cos t                  Suy ra ( )f t đồng biến trong 0; 2      ( ) (0) 0, 0; 2 f t f t          . Áp dụng vào bài toán đã cho ta có tan 2 2 A A sin A  hay 1 2 cot 2 A cos A A   . Tương tự 1 2 cot 2 B cos B B   ; 1 2 cot 2 C cos C C   . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 57 Do vậy 1 1 12 2 2 cot cot cot 2 2 2 A B C cos cos cos A B C A B C         (1) Mặt khác trong ABC ta luôn có 33cot cot cot cot .cot .cot 3 cot cot cot 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A B C A B C A B C T T      . 3 3T  (2). Từ (1) và (2) suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Khám phá lời giải bằng hàm số khác: Với (0; ) 2 x   thì s inx x nên 2 2 2cos 1 2 1 2( ) 1 2 2 2 x x x x sin      áp dụng vào bài toán ta được 2 2 2 1 ; 1 ; 1 2 8 2 8 2 8 A A B B C C cos cos cos      . Do vậy 1 1 1 2 2 22 2 2 8 A B C cos cos cos A b C A B C A B C            29 144 2. 3 3 8 8A B C           . 2.3. Khám phá ẩn phụ trong chứng minh bất đẳng thức Thông thường đặt ẩn phụ để quy bài toán đã cho về bài toán quen thuộc. a) Phân tích một số ví dụ Ví dụ 36: (bài thi Olympic Toán Quốc tế năm 1983) Cho a, b, c là các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 2 2 2( ) ( ) ( ) 0a b a b b c b c c a c a      , đẳng thức xảy ra khi nào? Hoạt động khám phá: - Ba đại lượng a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì có thể biểu diễn qua ba biến trung gian như thế nào? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 58 Tồn tại x, y, z > 0 thoả mãn , ,a y z b z x c x y      . - Hãy chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo biến trung gian 3 3 3 2 2 2x z y x z y x yz xy z xyz     hay 2 2x y z x y z y z x     - Có thể sử dụng bất đẳng thức nào để khử mẫu số ở vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh Bất đẳng thức Côsi 2 2 2 2 , 2 , 2 x y z y x z y x z y z x       hoặc bất đẳng thức Bunhiacopxki     2 2 2 2x y z x y z x y z y z x             Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh - Đẳng thức xảy ra khi nào? Đẳng thức xảy ra khi x y z  a b c   hay ABC đều. - Có thể đề xuất bài toán tổng quát được không? Tổng quát: cho a, b, c là các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng với bất kì số nguyên 1n  thì ( ) ( ) ( ) 0n n na b a b b c b c c a c a      , đẳng thức xảy ra khi nào? Qua ví dụ này cho thấy: nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác thì tồn tại các số dương x, y, z thoả mãn , ,a y z b z x c x y      . Ví dụ 37: (bài thi Olympic Toán Quốc tế năm 1985) Cho a, b, c là các số thực dương sao cho abc = 1. Chứng minh rằng 3 3 3 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2a b c b c a c a b       Hoạt động khám phá: - Mối liên hệ giữa các đại lượng a, b, c được xác định như thế nào? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 59 , , 0a b c  và 1abc  - Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua biến trung gian như thế nào? Đặt 1 1 1 ; ;a b c x y z    ta có , , 0x y z  và 1xyz  - Hãy chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo biến trung gian 2 2 2 3 2 x y z y z z x x y       - Có thể sử dụng bất đẳng thức nào để khử mẫu số , ,y z z x x y   ? Bất đẳng thức Côsi 2 ( ) 2 x y z x y z     - Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (khi 1x y z   ) , hãy sửa lại bất đẳng thức trên để phù hợp với nhận xét này? 2 4 x y z x y z     , 2 4 y z x y z x     , 2 4 z x y z x y     hoặc bất đẳng thức Bunhiacopxki   2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) x y z y z z x x y x y z y z z x x y                  Từ đó suy ra 2 2 2 2 x y z x y z y z z x x y         - Khi đó ta phải chứng minh bất đẳng thức trung gian nào? 3 2 2 x y z   hay 3x y z   (BĐT này đúng theo BĐT Côsi, vì 1xyz  ) Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 60 Qua ví dụ này cho thấy: nếu ba số dương a, b, c có tích bằng 1 thì tồn tại các số dương x, y, z có tích bằng 1 thoả mãn 1 1 1 ; ;a b c x y z    . Ví dụ 38: (bài thi Olympic Toán Quốc tế năm 1993) Cho các số thực dương a, b, c, d bất kỳ. Chứng minh rằng 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 a b c d b c d c d a d a b a b c             Hoạt động khám phá: - Nếu coi các đại lượng 2 3 , 2 3 , 2 3 , 2 3b c d c d a d a b a b c        là các biến số trung gian , , ,x y z t thì các biến số , , ,a b c d được biểu diễn qua biến trung gian như thế nào? Đặt 2 3 , 2 3 , 2 3 , 2 3x b c d y c d a z d a b t a b c            thì , , , 0x y z t  Suy ra 1 ( 5 7 ) 24 a x y z t     , 1 ( 5 7 ) 24 b y z t x     1 ( 5 7 ) 24 c z t x y     , 1 ( 5 7 ) 24 d t x y z     - Hãy chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo biến trung gian 20 1 7 7 7 7 2 4 24 3 a b c d y z t z t x t x y x y z x y z t x x x y y y z z z t t t                        - Chứng minh bất đẳng thức trung gian này như thế nào? Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 36 số dương ta có ... ... ... ... 36 y y y t t z z t x t t x y x x y z x x x x x y y y y z z z z t t t t                     Suy ra 20 36 2 24 24 3 a b c d x y z t        , đẳng thức xảy ra a b c d    . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 61 Qua ví dụ này cho thấy: nếu các đại lượng ở mẫu số là tổ hợp của các đại lượng của tử số thì có thể biểu diễn mẫu số qua các biến trung gian nào đó. Ví dụ 39: (bài thi Olympic Toán Quốc tế năm 2008) Cho x, y, z là các số thực khác 1 thoả mãn 1xyz  . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) ( 1) ( 1) x y z x y z       . Hoạt động khám phá: - Nếu coi các đại lượng , , 1 1 1 x y z x y z   là các biến số trung gian , ,a b c . Hãy tìm hệ thức liên hệ giữa , ,a b c Đặt , , 1 1 1 x y z a b c x y z       1 1 1 1 , 1 , 1 1 1 1 a b c x y z           Ta có ( 1)( 1)( 1)a b c    1 ( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1) xyz abc x y z x y z         (vì 1xyz  ) Suy ra ( ) ( ) 1 0ab bc ca a b c       ( ) ( ) 1ab bc ca a b c       - Hãy chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo biến trung gian 2 2 2 1a b c   - Chứng minh bất đẳng thức trung gian này như thế nào? Ta có 2 2 2 2( ) 2( )a b c a b c ab bc ca         2( ) 2( ) 2a b c a b c      21 1 1b c      Ví dụ 40: (bài thi Olympic Toán Châu Á Thái Bình Dương năm 2002) Cho các số dương a, b, c thoả mãn 1 1 1 1 a b c    . Chứng minh rằng a bc b ca c ab abc a b c         . Hoạt động khám phá: - Mối liên hệ giữa các đại lượng a, b, c được xác định như thế nào? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 62 , , 0a b c  và 1 1 1 1 a b c    - Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua biến trung gian như thế nào? Đặt 1 1 1 ; ;a b c x y z    ta có , , 0x y z  và 1x y z   - Hãy chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo biến trung gian 1x yz y zx z xy xy yz zx         hay x yz y zx z xy x y z xy yz zx           - Chứng minh bất đẳng thức trung gian này như thế nào? - Vế trái và vế phải của bất đẳng thức cần chứng minh có gì đặc biệt? Vế trái chứa x yz , vế phải chứa x yz . - Phải chăng có mối quan hệ x yz x yz   , hãy thử chứng minh điều đó Ta có 2(2) 2x yz x yz x yz x x yz yz        1 2 2x yz x y z x yz          2 0y z   , đúng  x, y > 0 Tương tự, ta có y zx y zx   ; z xy z xy   . Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Ví dụ 41: Cho các số thực dương , , ,x y z t thoả mãn 1xyzt  . Chứng minh rằng 3 3 3 3 1 1 1 1 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 3x yz zt ty y xz zt tx z xt ty yx t xy yz zx             . Đẳng thức xảy ra khi nào? Hoạt động khám phá: - Mối liên hệ giữa các đại lượng , , ,x y z t được xác định như thế nào? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 63 , , , 0x y z t  và 1xyzt  - Với mối liên hệ này thì có thể biểu diễn các đại lượng qua biến trung gian như thế nào? Đặt 1 1 1 1 ; ; ;a b c d x y z t     ta có , , , 0a b c d  và 1abcd  - Hãy chuyển bất đẳng thức cần chứng minh theo biến trung gian 2 2 2 2 4 3 a b c d S b c d c d a d a b a b c              - Có thể sử dụng bất đẳng thức nào để khử mẫu số , , ,b c d c d a d a b a b c        ? Bất đẳng thức Côsi 2 ( ) 2 a b c d a b c d       - Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (khi 1a b c d    ) , hãy sửa lại bất đẳng thức trên để phù hợp với nhận xét này? 2 2 9 3 a b c d a b c d       ; 2 2 9 3 b c d a b c d a       2 2 9 3 c d a b c d a b       ; 2 2 9 3 d a b c d a b c       Hoặc bất đẳng thức Bunhiacopxki   2( ) ( ) ( ) ( ) ( )S b c d c d a d a b a b c a b c d               - Khi đó ta phải chứng minh bất đẳng thức trung gian nào? 1 4 ( ) 3 3 a b c d    hay 4a b c d    (BĐT này đúng theo BĐT Côsi, vì 1abcd  ), từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh - Đẳng thức xảy ra khi nào? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 64 Đẳng thức xảy ra khi 1a b c d    hay 1x y z t    . Qua ví dụ này cho thấy: + Nếu bốn số dương a, b, c, d có tích bằng 1 thì tồn tại các số dương x, y, z, t có tích bằng 1 thoả mãn 1 1 1 ; ;a b c x y z    ; 1 d t  . + Có thể sử dụng bất đẳng thức Côsi và Bunhiacopski để khử dạng mẫu Ví dụ 42: (dựa theo bài thi Olympic Toán THPT Việt Nam -1999) Cho các số dương , ,a b c thoả mãn abc a c b   . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 3 10 1 1 1 3a b c       Hoạt động khám phá: - Đẳng thức 1 1 . . 1abc a c b ac a c b b        tương ứng với hệ thức lượng giác nào giữa các góc trong một tam giác? tan tan tan tan tan tan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A    - Có thể biểu diễn các đai lượng , ,a b c qua các hàm số lượng giác tương ứng với đẳng thức trên được không? Chọn , , (0; )A B C  sao cho 1 tan , tan , tan 2 2 2 A B C a c b    Theo giả thiết tan tan tan tan tan tan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A    A B C     - Bất đẳng thức cần chứng minh được chuyển về bất đẳng thức lượng giác nào? 2 2 2 102 2sin 3 2 2 2 3 A B C cos cos   hay 3 11 cos cos cos 2 6 A B C   Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 65 - Chứng minh bất đẳng thức lượng giác này như thế nào? Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 23 112sin (1 2sin ) 2 2 2 2 6 C A B C cos     2 21 1sin 0 2 3 2 9 2 C A B A B cos cos           Bất đẳng thức này đúng, suy ra bất đẳng thức cần chứng minh - Đẳng thức xảy ra khi nào? Đẳng thức xảy ra khi A B và 1 sin 2 3 C  hay 2 1 , 2, 2 8 a b c   Qua ví dụ này cho thấy: nếu giả thiết của bài toán tương ứng với một hệ thức lượng giác nào đó thì có thể đặt ẩn phụ đưa về các bất đẳng thức tam giác. Ví dụ 43: Cho x, y, z dương thoả mãn x y z xyz   . Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 3 21 1 1x y z       Hoạt động khám phá: - Đẳng thức x y z xyz   tương ứng với hệ thức lượng giác nào giữa các góc trong một tam giác? tan tan tan tan tan tanA B C A B C   - Có thể biểu diễn các đại lượng x, y, z qua các hàm số lượng giác tương ứng với đẳng thức trên được không? Chọn , , (0; ) 2 A B C   sao cho tan , tan , tanx A y B z C   Theo giả thiết tan tan tan tan tan tanA B C A B C   A B C    - Bất đẳng thức cần chứng minh được chuyển về bất đẳng thức lượng giác nào? Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 66 2 2 2 1 1 1 3 21 tan 1 tan 1 tanA B C       hay 3 cos cos cos 2 A B C   - Chứng minh bất đẳng thức lượng giác này như thế nào? Ta có cos cos cos 2cos cos cos 2 2 A B A B A B C C        22sin 1 2sin 2 2 2 C A B C cos     2 21 11 2 in 2 2 2 2 A B A B cos cos           1 3 1 2 2    . - Đẳng thức xảy ra khi nào? Đẳng thức xảy ra khi 3 A B C     hay 3x y z   Ví dụ 44: Các số dương , ,x y z thoả mãn 2 2 2 4